Artikel

12.2: Kekuatan dan Akar - Matematik

12.2: Kekuatan dan Akar - Matematik



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Jadual B1

(n ) (n ^ {2} ) ( sqrt {n} ) (n ^ {3} ) ( sqrt [3] {n} )
11111
241.41421481.259921
391.732051271.442250
4162641.587401
5252.2360681251.709976
6362.4494902161.817121
7492.6457513431.912931
8642.8284275122
98137292.080084
101003.1622781,0002.154435
1112133166251,3311.223980
121443.4641021,7282.289428
131693.6055512,1972.351335
141963.7416572,7442.410142
152253.8729833,3752,466212
1625644,0962.519842
172894.1231064,9132.571282
183244.2426415,8322.620741
193614.3588996,8592.668402
204004.4721368,0002.714418
214414.5825769,2612.758924
224844.69041610,6482.802039
235294.79583212,1672.843867
245764.89897913,8242.884499
25625515,6252.924018
266765.09902017,5762.962496
277295.19615219,6833
287845.29150321,9523.036589
298415.38516524,3893.072317
309005.47722627,0003.107233
319615.56776429,7913.141381
321,0245.65685432,7683.17482
331,0895.74456335,9373.207534
341,1565.83095239,3043.239612
351,2255.91608042,8753.271066
361,296646,6563.301927
371,3696.08276350,6533.332222
381,444616441454,8723.361975
391,5216.24499859,3193.391211
401,6006.32455564,0003.419952
411,6816.40312468,9213.448217
421.7646.48074174,0883.476027
431.8496.55743979,5073.503398
441,9366.63325085,1843.530348
452,0256.70820491,1253.556893
462,1166.78233097,3363.583048
472,2096.855655103,8233.608826
482,3046.928203110,5923.6324241
492,4017117,6493.659306
502,5007.071068125,0003.684031
512,6017.141428132,6513.708430
522,7047.211103140,6083.732511
532,8097.280110148,8773.756286
542,9167.348469157,4643.779763
553,0257.416198166,3753.802952
563,1367.483315175,6163.825862
573,2497.549834185,1933.848501
583,3647.615773195,1123.870877
593,4817.681146205,3793.892996
603,6007.745967216,0003.914868
613,7217.810250226,9813.936497
623,8447.874008238,3283.957892
633,9697.937254250,0473.979057
644,0968262,1444
654,2258.062258274,6254.020726
666,3568.124038287,4964.041240
674,4898.185353300,7634.061548
684,6248.246211314,4324.081655
694,7618.306624328,5094.101566
704,9008.366600343,0004.121285
715,0418.426150357,9114.140818
725,1848.485281389,0174.179339
735,3298.544004389,0174.179339
745,4768.602325405,2244.198336
755,6258.660254421,8754.217163
765,7768.17798438,9764.235824
775.9298774964456,5334.254321
786,0848.831761474,5524.272659
796,2418.888194493,0394.290840
806,4008.944272512,0004.308869
816,5619531,4414.326749
826,7249.055385551,3684.344481
836,8899.110434571,7874.362071
847,0569.165151592,7044.379519
857,2259.219544614,1254.396830
867,3969.273618636,0564.414005
877,5699.327379658,5034.431048
887,7449.380832681,4724.447960
897,8218.433981704,9694.464745
908,1009.486833729,0004.481405
918,2819.539392753,5714.497941
928,4649.591663778,6884.514357
938,6499.643651804,3574.530655
948,8369.695360830,5844.546836
959,0259.746794857,3754.562903
969,2169.797959884,7364.578857
979,4099.848858912,6734.594701
989,6049.899495941,1924.610436
999,8019.949874970,2994.62065
10010,000101,000,0004.641589

Matematik Jaina

Agak sukar untuk menentukan matematik Jaina. Jainisme adalah agama dan falsafah yang didirikan di India sekitar abad ke-6 SM. Pada tahap tertentu ia mulai menggantikan agama-agama Veda yang, dengan prosedur pengorbanan mereka, telah menghasilkan matematik membina altar. Matematik agama Veda dijelaskan dalam artikel Sulbasutras India.

Sekarang kita boleh menggunakan istilah matematik Jaina untuk menggambarkan matematik yang dilakukan oleh mereka yang mengikuti Jainisme dan memang ini kemudian merujuk kepada bahagian matematik yang dilakukan di benua kecil India dari penubuhan Jainisme hingga zaman moden. Memang ini adil dan beberapa artikel dalam rujukan merujuk kepada matematik yang cukup moden. Contohnya pada tahun [16] Jha melihat sumbangan Jainas dari abad ke-5 SM hingga abad ke-18 Masihi.

Artikel ini akan memusatkan perhatian pada periode setelah berdirinya Jainisme hingga sekitar masa Aryabhata pada sekitar tahun 500 Masihi. Sebab untuk mengambil selang waktu ini adalah bahawa sehingga baru-baru ini dianggap sebagai masa di mana terdapat sedikit aktiviti matematik di India. Karya Aryabhata dilihat sebagai permulaan zaman klasik baru untuk matematik India dan memang ini wajar. Namun Aryabhata tidak berfungsi dalam pengasingan matematik dan juga dilihat sebagai orang yang membawa era penyelidikan matematik baru di India, penyelidikan yang lebih baru menunjukkan bahawa ada kes untuk melihatnya juga mewakili produk akhir tempoh matematik yang diketahui sedikit. Ini adalah tempoh yang akan kita sebut sebagai tempoh matematik Jaina.

Terdapat teks-teks matematik dari masa ini tetapi mereka tidak mendapat perhatian dari sejarawan hingga akhir-akhir ini. Teks, seperti Surya Prajnapti yang dianggap sekitar abad ke-4 SM dan Jambudvipa Prajnapti dari sekitar masa yang sama, baru-baru ini mendapat perhatian melalui kajian komentar kemudian. The Bhagabati Sutra bermula dari sekitar 300 SM dan mengandungi maklumat menarik mengenai kombinasi. Dari sekitar abad kedua SM adalah Sthananga Sutra yang sangat menarik kerana menyenaraikan topik-topik yang merangkumi matematik yang dipelajari pada masa itu. Sebenarnya senarai topik ini menjadikan lokasi kajian untuk sekian lama datang di benua India. Topik disenaraikan di [2] sebagai: -

Idea-idea matematik yang tidak terbatas dalam matematik Jaina memang sangat menarik dan mereka berkembang terutamanya disebabkan oleh idea kosmologi Jaina. Dalam Jaina kosmologi masa dianggap abadi dan tanpa bentuk. Dunia ini tidak terbatas, tidak pernah diciptakan dan selalu ada. Ruang merangkumi segalanya dan tanpa bentuk. Semua objek alam semesta wujud di ruang angkasa yang terbahagi kepada ruang alam semesta dan ruang bukan alam semesta. Terdapat wilayah tengah alam semesta di mana semua makhluk hidup, termasuk manusia, binatang, dewa dan syaitan, hidup. Di atas wilayah tengah ini adalah dunia atas yang sendiri terbahagi kepada dua bahagian. Di bawah wilayah tengah adalah dunia bawah yang terbahagi kepada tujuh peringkat. Ini membawa kepada karya yang dijelaskan dalam [3] mengenai topik matematik dalam karya Jaina, Tiloyapannatti oleh Yativrsabha. Lingkaran dibahagikan dengan garis selari ke kawasan dengan lebar yang ditentukan. Panjang kord batas dan kawasan wilayah diberikan, berdasarkan peraturan yang dinyatakan.

Kosmologi ini sangat mempengaruhi matematik Jaina dalam banyak cara dan menjadi faktor pendorong dalam pengembangan idea matematik yang tidak terbatas yang tidak dipertimbangkan lagi sehingga zaman Cantor. Kosmologi Jaina mengandungi jangka masa 2 588 2 ^ <588> 2 5 8 8 tahun. Perhatikan bahawa 2 588 2 ^ <588> 2 5 8 8 adalah bilangan yang sangat besar!

Jadi apa idea Jaina yang tidak terhingga. Terdapat daya tarikan dengan sebilangan besar pemikiran India dalam jangka masa yang panjang dan ini sekali lagi menghendaki mereka mempertimbangkan langkah-langkah yang sangat besar. Perkara pertama yang perlu diperhatikan adalah bahawa mereka mempunyai ukuran tak terbatas yang tidak mereka tentukan secara matematik yang ketat, namun demikian cukup canggih. Makalah [6] menerangkan cara nombor pertama yang tidak dapat dikira dibina dengan menggunakan pembinaan rekursif dengan berkesan.

Keseluruhan prosedur diulang, menghasilkan jumlah yang sangat besar yang disebut jaghanya-parita- asamkhyata yang bermaksud "tak terkira pesanan yang ditingkatkan rendah". Meneruskan proses menghasilkan bilangan terkira terkecil.

Matematik Jaina mengenali lima jenis infiniti yang berbeza [2]: -

The Anuyoga Dwara Sutra mengandungi spekulasi berangka lain yang luar biasa oleh Jainas. Contohnya beberapa kali dalam pekerjaan bilangan manusia yang pernah wujud adalah 2 96 2 ^ <96> 2 9 6.

Menjelang abad kedua Masihi Jaina telah menghasilkan teori set. Dalam Satkhandagama pelbagai set dikendalikan oleh fungsi logaritmik untuk mendasarkan dua, dengan kuasa dua dan pengekstrakan akar kuadrat, dan dengan menaikkan ke kekuatan terhingga atau tak terbatas. Operasi diulang untuk menghasilkan set baru.

Menariknya di sini juga terdapat cadangan bahawa aritmetik dapat diperluas ke pelbagai nombor yang tidak terhingga. Dalam karya lain, hubungan bilangan kombinasi dengan pekali yang berlaku dalam pengembangan binomial diperhatikan. Dalam mengulas karya abad ketiga ini pada abad kesepuluh, segitiga Pascal muncul untuk memberikan koefisien pengembangan binomial.

Konsep lain yang menurut Jainas sedikit sebanyak menuju pemahaman adalah konsep logaritma. Mereka sudah mulai memahami hukum indeks. Contohnya Anuyoga Dwara Sutra menyatakan: -

Sebilangan sejarawan yang mengkaji karya-karya ini percaya bahawa mereka melihat bukti bahawa Jainas telah mengembangkan logaritma menjadi asas 2.

Nilai π dalam matematik Jaina telah menjadi topik sejumlah makalah penyelidikan, lihat misalnya [4], [5], [7], dan [17]. Seperti banyak penyelidikan mengenai matematik India, terdapat minat sama ada orang India mengambil idea mereka dari orang Yunani. Perkiraan π = √ 10 nampaknya yang sering digunakan oleh Jainas.

Akhirnya mari kita mengulas mengenai astronomi Jaina. Ini tidak begitu maju. Tidak sampai karya-karya Aryabhata, idea-idea Yunani mengenai epikular memasuki astronomi India. Sebelum zaman Jaina, idea-idea gerhana didasarkan pada setan bernama Rahu yang memakan atau menangkap Bulan atau Matahari yang menyebabkan gerhana mereka. Mazhab Jaina menganggap adanya dua setan Rahu, Dhruva Rahu yang menyebabkan fasa-fasa Bulan dan Parva Rahu yang memiliki gerakan cakerawala yang tidak teratur ke semua arah dan menyebabkan gerhana dengan menutup Bulan atau Matahari atau cahaya mereka. Penulis [23] menunjukkan bahawa, menurut sekolah Jaina, jumlah gerhana terbesar dalam setahun adalah empat.

Walaupun begitu, beberapa ukuran astronomi cukup baik. Data di Surya Prajnapti membayangkan bulan lunar sinodik bersamaan dengan 29 16 31 29 besar frac <16> <31> menormalkan 2 9 3 1 1 6 hari nilai yang betul menjadi hampir 29. 5305888. Terdapat minat yang cukup besar untuk memeriksa data yang disajikan dalam teks Jaina ini untuk melihat apakah data tersebut berasal dari sumber lain. Contohnya di Surya Prajnapti data ada yang menunjukkan nisbah 3: 2 untuk maksimum hingga minimum cahaya siang. Sekarang ini tidak berlaku untuk India tetapi berlaku untuk Babylonia yang membuat sebilangan sejarawan percaya bahawa data di Surya Prajnapti bukan berasal dari India tetapi berasal dari Babel. Namun, dalam [22] Sharma dan Lishk mengemukakan hipotesis alternatif yang memungkinkan data tersebut berasal dari India. Kita harus mengatakan bahawa cadangan mereka bahawa 3: 2 mungkin adalah nisbah jumlah air yang akan dituangkan ke dalam jam air pada hari terpanjang dan terpendek nampaknya kurang meyakinkan.


Apakah Akar Sebenar dalam Matematik?

Dalam aljabar, akar sebenar adalah penyelesaian kepada persamaan tertentu. Istilah akar sebenar bermaksud bahawa penyelesaian ini adalah bilangan yang boleh utuh, positif, negatif, rasional, atau tidak rasional. Walaupun nombor seperti pi dan punca kuasa dua adalah nombor tidak rasional, nombor rasional adalah sifar, nombor bulat, pecahan dan perpuluhan.

Walau bagaimanapun, penyelesaian untuk persamaan boleh menjadi akar sebenar, akar kompleks atau akar khayalan. Walaupun akar khayalan yang diberikan sebagai (i) adalah sqrt (-1), nombor kompleks adalah gabungan nombor nyata dan nombor khayalan seperti (3 + 4i).

Apabila seseorang perlu mencari akar persamaan, seperti untuk persamaan kuadratik, seseorang dapat menggunakan diskriminan untuk melihat apakah akarnya nyata, khayalan, rasional atau tidak rasional.

Untuk mencari punca persamaan kuadratik a x ^ 2 + bx + c = 0, di mana a, b, dan c mewakili pemalar, formula untuk diskriminasi adalah b ^ 2 -4ac. Apabila diskriminan sama dengan sifar, maka ada satu penyelesaian sebenar. Sekiranya diskriminan kurang daripada sifar, terdapat dua penyelesaian khayalan. Begitu juga, apabila diskriminan lebih besar daripada nol, ada dua penyelesaian sebenar yang juga rasional jika diskriminan sama dengan segiempat sempurna. Sekiranya diskriminasi bukan petak sempurna, maka kedua-dua penyelesaian itu nyata dan tidak rasional.

Untuk polinomial yang lebih tinggi, seseorang juga dapat mencari akar persamaan dengan menggunakan teknik lain, seperti Peraturan Tanda Descartes dan Ujian Akar Rasional.


Soalan Tanpa Had

Setelah membuat tugasan, anda dapat menghasilkan semula semua soalannya dengan satu klik. Soalan baru akan sesuai dengan parameter yang sama dengan soalan asal, tetapi soalannya akan sama sekali baru. Ciri ini adalah inti perisian kami dan inilah yang menjadikannya sangat kuat: anda memilih sifat soalan, bukan soalan itu sendiri. Apabila soalan diganti, anda akan mendapat soalan baru yang serupa dengan soalan asal. Bagaimana ia berfungsi. Anda boleh menjana semula keseluruhan tugasan, kumpulan soalan tertentu, atau soalan individu.

Jarak Mudah

Balas keseluruhan tugasan dengan panjang yang dikehendaki dengan satu klik. Beri pelajar anda ruang yang cukup untuk menunjukkan hasil kerja mereka dengan meningkatkan jarak. Atau anda boleh menjimatkan kertas dengan mengurangkan jarak.

Jarak juga dapat dikendalikan secara manual.

Mod Persembahan

Sangat berguna sebagai alat bantu mengajar apabila digunakan bersama dengan projektor LCD atau sistem paparan lain. Satu hingga empat soalan sekaligus ditunjukkan di skrin.

Gunakan ciri ini semasa anda mengajar. Sediakan contoh anda dengan perisian, dan kemudian gunakan projektor untuk memaparkan soalan di papan tulis. Ini menjimatkan masa semasa merancang dan semasa pelajaran, dan menjadikannya sangat mudah untuk mengemukakan soalan atau soalan panjang dengan grafik dan gambar rajah. Dengan satu soalan yang dipaparkan, anda dapat:

  • Tukar tahap zum - supaya pelajar di belakang dapat membacanya
  • Lukis garis di sebelah soalan untuk membantu anda mengatur kerja anda jika anda menyelesaikan soalan
  • Lompat ke soalan lain - berguna semasa menyemak kerja rumah
  • Nyatakan jawapannya
  • Tunjukkan / sembunyikan nombor soalan dan arahannya.

Percetakan Pelbagai Versi

Cetak pelbagai versi tugasan. Anda mengawal bagaimana setiap versi baru dibuat: mengacak pilihan, membacakan soalan, atau membuat soalan baru. Anda juga boleh menyimpan setiap versi baru setelah dibuat.

Tugasan Skala

Menambah atau mengurangkan bilangan soalan dalam tugasan secara berkadar. Ini sangat berguna semasa merancang pelajaran. Anda boleh membuat beberapa soalan untuk digunakan sebagai contoh, dan kemudian meningkatkan jumlah soalan untuk membuat tugasan kerja rumah. Soalan-soalan mengenai kerja rumah akan sama sekali baru, namun mengikuti pelajaran - dan anda tidak perlu merancang soalan lagi.

Soalan Eksport

Eksport soalan sebagai gambar bitmap dan tampalkannya ke dalam perisian pemprosesan kata kegemaran anda. Soalan yang dibuat dengan produk kami dapat ditambahkan ke tugas yang ada yang telah anda buat dengan program lain. Atau anda boleh menyegarkan tugasan lama dengan menggantikan soalan lama dengan yang baru.

Semua soalan tersedia untuk dieksport.

Soalan Pelbagai Pilihan yang Baik

Setiap soalan yang anda buat dapat diubah antara respons bebas dan format pilihan ganda. Soalan pelbagai pilihan disertakan dengan pilihan pintar, berpotensi menyesatkan. Sebilangannya berdasarkan kesilapan biasa yang dilakukan pelajar sementara yang lain hanya rawak tetapi hampir dengan jawapan yang betul.

Anda mengawal jumlah pilihan setiap soalan, dari dua hingga lima.

Gabungkan Tugasan

Gabungkan dua atau lebih tugasan menjadi satu. Buat kuiz, ujian, dan ulasan dengan mudah dengan menggabungkan tugas dari unit dan kemudian meningkatkan jumlahnya dengan panjang yang sesuai. Soalan akan menjadi baru sambil mengikuti tepat dari apa yang anda ajar.

Gambar rajah yang dilukis ke skala

Gambar rajah dilukis dengan tepat, kecuali jika jawapannya akan diberikan. Sekiranya sudut dilabelkan sebagai 30 °, maka betul-betul 30 °. Sekiranya sisi segitiga berlabel 3, 4, dan 5, panjangnya betul-betul dalam nisbah 3: 4: 5. Melihat gambarajah yang tepat membantu pelajar memperoleh pemahaman sudut dan ukuran yang intuitif.

Format Jawapan

Apabila anda mencetak tugasan, anda memilih bagaimana jawapannya dilaporkan:

  • Pada kertas jawapan
  • Pada kertas jawapan dengan kemungkinan besar
  • Dalam konteks (di sebelah atau dalam soalan)
  • Tiada kertas jawapan

Utiliti Kertas Grafik dan Grafik

Lengkapkan pelajaran anda dengan grafik berkualiti tinggi dan kertas grafik dengan pelbagai ukuran. Setiap graf boleh mempunyai sifar hingga dua fungsi yang digambarkan di atasnya. Grafik boleh mempunyai ukuran logik dan fizikal. Anda juga boleh meletakkan graf di seluruh halaman untuk memaksimumkan penggunaan kertas anda.

Petunjuk Khusus dan Soalan Tersuai

Masukkan arahan anda sendiri untuk membuat jenis masalah baru. Ditunjukkan di sebelah kiri adalah soalan urutan operasi standard yang telah diubahsuai menjadi lebih analitis. Anda boleh mengubah arah pada sebarang jenis soalan.

Dari semasa ke semasa, anda perlu memasukkan soalan anda sendiri. Itulah soalan khusus. Mereka boleh menjadi respons percuma atau pilihan ganda dan boleh mengandungi teks berformat matematik (persamaan, ungkapan, dll).

Ubahsuai Soalan yang Dihasilkan Secara Automatik

Sebilangan besar soalan yang dihasilkan secara automatik dapat diubah secara manual. Sekiranya ada pilihan yang tidak anda sukai, anda boleh mengubahnya. Sekiranya anda ingin soalan sedikit berbeza, anda boleh mengubahnya.

Saiz Kertas dan Margin

Cetak tugas pada kertas bersaiz apa pun yang disokong oleh pencetak anda. Sekiranya anda memutuskan untuk mencetak tugas pada kertas berukuran sah, tidak ada masalah. Soalan-soalan akan diubah suai secara automatik untuk anda - tanpa memotong dan menampal tugas bersama-sama hanya untuk menggunakan ukuran kertas yang berbeza. Anda juga mempunyai kawalan terhadap margin, penomboran halaman, dan orientasi kertas.


N akarnya

Dalam matematik, sebuah nakarnya daripada nombor x adalah nombor r yang, apabila dinaikkan kuasa n, hasil x:

di mana n adalah bilangan bulat positif, kadang-kadang disebut ijazah dari akar. Akar darjah 2 dipanggil a punca kuasa dua dan akar darjah 3, a akar kiub. Akar dari peringkat lebih tinggi disebut dengan menggunakan nombor ordinal, seperti dalam akar keempat, akar kedua puluh, dan lain-lain Pengiraan bagi n akarnya adalah a pengekstrakan akar.

Sebagai contoh, 3 adalah punca kuasa dua 9, kerana 3 2 = 9, dan −3 juga punca kuasa dua 9, kerana (−3) 2 = 9.

Sebarang nombor bukan sifar yang dianggap sebagai nombor kompleks mempunyai n kompleks yang berbeza n akarnya, termasuk yang sebenarnya (paling banyak dua). The n Akar 0 adalah sifar untuk semua bilangan bulat positif n , sejak 0 n = 0. Khususnya, sekiranya n genap dan x adalah nombor nyata positif, salah satunya n akarnya nyata dan positif, satu negatif, dan yang lain (bila n & gt 2) adalah nombor kompleks bukan nyata jika n genap dan x adalah nombor nyata negatif, tidak ada satu pun n akarnya adalah nyata. Sekiranya n adalah ganjil dan x adalah nyata, satu n akarnya nyata dan mempunyai tanda yang sama dengan x , sementara yang lain ( n - 1) akar tidak nyata. Akhirnya, sekiranya x tidak nyata, maka tidak ada yang nyata n akarnya adalah nyata.

Akar nombor nyata biasanya ditulis menggunakan simbol radikal atau jejari < displaystyle < sqrt <<

Apabila akar yang kompleks dipertimbangkan, selalunya berguna untuk memilih salah satu akar sebagai nilai pokok. Pilihan umum adalah pilihan yang menjadikan akar n menjadi fungsi berterusan yang nyata dan positif untuk x nyata dan positif. Lebih tepatnya, akar utama x adalah akar ke-n, dengan bahagian nyata yang paling besar, dan, apabila ada dua (untuk x nyata dan negatif), satu dengan bahagian khayalan positif.

Akar yang tidak dapat diselesaikan, terutama yang menggunakan simbol radikal, kadang-kadang disebut sebagai a suruhan [1] atau a radikal. [2] Segala ungkapan yang mengandung radikal, baik itu akar kuadrat, akar kubus, atau akar yang lebih tinggi, disebut ungkapan radikal, dan jika tidak mengandungi fungsi transendental atau nombor transendental, ia disebut ungkapan algebra.

Akar juga boleh didefinisikan sebagai kes eksponen yang khusus, di mana eksponen adalah pecahan:

Akar digunakan untuk menentukan jejari penumpuan rangkaian kuasa dengan ujian akar. Akar ke-1 disebut akar perpaduan dan memainkan peranan asas dalam pelbagai bidang matematik, seperti teori nombor, teori persamaan, dan transformasi Fourier.


Nombor Segitiga

Salah satu bidang matematik yang paling menarik yang menarik minat orang Pythagoras adalah siri nombor (di mana siri dalam bahasa Latin adalah tunggal dan jamak). Amalan kita hari ini bercakap tentang "kotak" dan "kubus" untuk nombor yang didarabkan oleh mereka dua atau tiga kali adalah artifak cara orang Pythagoras suka menggambarkan angka mereka sebagai corak titik-titik kecil. Dimulai dengan 4, nombor persegi selalu dapat ditunjukkan oleh kotak kecil: Orang Pythagoras kemudian mendapati bahawa penambahan nombor ganjil berturut-turut menghasilkan petak berturut-turut.

bilangan bulat123456789101112131415
kemungkinan1357911131517192123252729
petak1
4
9
16
25
36496481100121144169196225

Walau bagaimanapun, siri kegemaran orang Pythagoras adalah nombor segitiga (). Seperti yang kita bayangkan, ini adalah angka yang dapat kita bangunkan segitiga titik kecil, dimulai dengan 3: Peraturan untuk pembinaan siri ini sangat mudah: tambahkan semua bilangan bulat berturut-turut hingga ke titik yang diinginkan. Tiga adalah 1 + 2, 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5, dan lain-lain. Satu formula untuk mengira sebarang segitiga dalam siri secara langsung, tanpa menambahkan semua nombor sebelumnya, ditemui oleh Carl Friedrich Gauss (1777-11855): n = (n (n + 1)) / 2. Di sini 0 =(0(0+1))/2 = 0/2 = 0 , 1 =(1(1+1))/2 = 2/2 = 1 , 2 =(2(2+1))/2 = 2*3/2 = 6/2 = 3 , 3 = (3 (3 + 1)) / 2 = 3 * 4/2 = 12/2 = 6, dll.

Walaupun saya tidak pernah mendengarnya di kelas matematik sekolah menengah, segitiga menarik perhatian kecil dalam matematik moden, misalnya dalam proposisi Pierre Fermat (1601-1665) bahawa setiap nombor "sama ada segitiga atau jumlah dua atau tiga segitiga nombor "[rujuk Constance Reid, From Zero to Infinity, 1955, A.K. Peters, Ltd., 2006, hlm.76]. Walau bagaimanapun, satu siri dengan peraturan yang sangat serupa selalu ditemui dalam kalkulus dan di tempat lain. "Factorials" adalah siri yang dihasilkan oleh penggandaan bilangan bulat berturut-turut, bukan penambahan seperti segi tiga. Factorial cepat menjadi sangat besar. Dalam jadual di bawah, saya menggunakan notasi untuk faktorial, dengan tanda seru (!), Kerana nombor sebenarnya akan menjadikan jadual terlalu besar. Faktor faktor 13 (13!) Sudah 6,227,020,800. Salah satu kalkulator saya tidak boleh melebihi 69! tanpa memaparkan mesej ralat untuk nombor yang terlalu besar untuk dikira - 69! sendiri sudah 1.711 x 10 98. Kebaikan besar faktorial adalah bahawa timbal baliknya cepat menjadi sangat kecil. Satu penggunaan faktorial dapat dilihat dalam siri lanjutan untuk fungsi e tetap dan fungsi trigonometri yang diterokai di tempat lain di laman web ini.

bilangan bulat123456789101112131415
segi tiga1
3
6
10
15
2128364555667891105120
faktorial126241207207!8!9!10!11!12!13!14!15!

Orang Pythagoras menghormati segitiga kerana salah satunya adalah nombor 10, dan orang Pythagoras menghormati 10 sebagai nombor sempurna. Mereka seharusnya bersumpah dengan "Tetractys of the Decade," iaitu gambar segitiga kecil, Alasan mereka untuk mengambil 10 sebagai nombor yang sempurna sekarang kelihatan sedikit konyol - 10 itu sempurna kerana kita mempunyai sepuluh jari dan jari kaki - atau berlebihan - bahawa kebanyakan orang menghitung puluhan (yang mungkin kerana kita mempunyai sepuluh jari dan jari kaki - walaupun orang Babilonia dihitung pada tahun enam puluhan dan orang Maya pada usia dua puluhan). Walaupun begitu, penghormatan mereka terhadap 10 mempunyai pelbagai akibat yang menarik, seperti dalam kosmologi mereka, di mana mereka berpendapat perlu ada sepuluh planet. Ini juga memberikan segitiga kepada mereka yang tidak mereka nikmati sejak itu. Satu penemuan Pythagoras mengenai segitiga adalah bahawa setiap nombor persegi adalah jumlah bagi dua segitiga berturut-turut, mis. 10 + 15 = 25 = 5 2.

bilangan bulat123456789101112131415
segi tiga1
3
6
10
15
2128364555667891105120
petak1
4
9
16
25
36496481100121144169196225

Bukti Pythagoras untuk penemuan ini memberi kita beberapa wawasan penting tentang bagaimana idea pembuktian berkembang dalam matematik Yunani. Orang Pythagoras suka membayangkan bukti mereka, seperti nombor mereka. Oleh itu, mereka beralasan bahawa, kerana mana-mana segi empat sama boleh dibahagi dengan pepenjuru menjadi dua segitiga, setiap nombor persegi harus dibahagikan kepada dua nombor segi tiga:. Kebenaran dalil dapat dibaca dari rajah. Bukti paling awal untuk Teorema Pythagoras jelas seperti ini, dengan bukti menggunakan hujah yang lebih abstrak datang kemudian. Segitiga ini menempati kedudukan kritikal pada hari-hari terawal dalam sejarah matematik.

Kita dapat membuat bukti algebra mengenai penemuan Pythagoras menggunakan formula Gauss untuk segitiga. Kami menggunakan formula untuk, tambahkan padanya formula di mana kami menggantikan n + 1 dengan n, dan selebihnya adalah algebra asas. Perkara yang baik dari bukti ini adalah bahawa untuk setiap n, kita dapat melihat segitiga yang kita bicarakan, dan mempunyai ungkapan yang terpisah di dan untuk petak yang dimaksudkan. Untuk n = 20, segitiga pertama kami ialah 210, yang kedua ialah 231, dan segiempat sama (n + 1) 2 = 441.

Satu dugaan seperti penemuan Pythagoras yang berkaitan dengan segi empat sama dan segi tiga pada masa ini merupakan salah satu masalah yang tidak dapat diselesaikan yang paling terkenal dalam matematik. Ini adalah "Tuduhan Goldbach," dinamai Christian Goldbach (1690-1644), yang mana setiap nombor genap lebih besar dari dua dapat dinyatakan sebagai jumlah hingga dua nombor perdana. Sebenarnya, pada tahun 1742 Goldbach sendiri menulis sepucuk surat kepada ahli matematik besar Leonhard Euler (1707-11783) di mana dia mengusulkan agar setiap bilangan bulat yang lebih besar dari dua dapat dinyatakan sebagai jumlah tiga bilangan prima. Oleh kerana 1 tidak lagi dianggap sebagai bilangan prima, saat ini dinyatakan semula kerana setiap bilangan bulat yang lebih besar daripada lima dapat dinyatakan sebagai jumlah tiga bilangan prima. Euler menjawab kepada Goldbach bahawa cadangan ini sebenarnya akan menjadi akibat dari satu nombor genap sebagai jumlah dua bilangan prima. Oleh itu, "Tuduhan Goldbach" mengenai nombor genap (sangkaan "kuat") secara langsung disebabkan oleh Euler, tetapi Golbach mendapat penghargaan kerana mencadangkan cadangan semacam ini. Oleh itu, seperti karya Pythagoras, matematik moden masih melihat hubungan antara siri nombor, dalam hal ini antara bilangan dan bilangan prima. Tetapi, tidak seperti orang Pythagoras dengan rajah mereka, Goldbach's Conjecture masih belum terbukti - walaupun pada tahun 1995 ahli matematik Perancis Olivier Ramar & eacute membuktikan bahawa setiap bilangan genap sama dengan atau lebih besar dari 4 adalah jumlah tidak lebih dari enam bilangan prima. Oleh itu, kita semakin hampir.


Contoh kerja 13: Sifat akar

Tunjukkan bahawa akar (x ^ 2-2x-7 = 0 ) tidak rasional.

Tafsirkan soalan

Agar akar menjadi nyata dan tidak rasional, kita perlu mengira (& # 916 ) dan menunjukkan bahawa akarnya lebih besar daripada sifar dan bukan petak sempurna.

Pastikan persamaannya dalam bentuk standard (ax ^ 2 + bx + c = 0 )

Kenal pasti pekali untuk menggantikan formula bagi diskriminan

[a = 1 qquad b = -2 qquad c = -7 ]

Tuliskan formula dan nilai pengganti

Kami tahu bahawa (32 & gt 0 ) dan bukan petak sempurna.

Grafik di bawah menunjukkan punca persamaan (x ^ 2 - 2x - 7 = 0 ). Perhatikan bahawa grafik tidak menjadi sebahagian daripada jawapan dan disertakan untuk tujuan ilustrasi sahaja.

Tulis jawapan terakhir

Kami telah mengira bahawa (& # 916 & gt 0 ) dan bukan petak sempurna, oleh itu kami dapat menyimpulkan bahawa akarnya adalah nyata, tidak sama dan tidak rasional.


Ini menggunakan akar kuadrat sederhana 4, iaitu √4 = 2. Masalahnya dapat diselesaikan dengan tepat menggunakan kalkulator, dan √8 = 2.8284.

Dengan menggunakan pendekatan yang sama, cuba buat punca kuasa dua dari 12. Pisahkan akar menjadi faktor, dan kemudian lihat apakah anda boleh membahagikannya menjadi faktor lagi. Cubalah ini sebagai masalah latihan, dan kemudian cari jalan penyelesaian di bawah:

Sekali lagi, ungkapan yang dipermudahkan ini boleh digunakan dalam masalah yang diperlukan, atau dikira dengan tepat menggunakan kalkulator. Kalkulator menunjukkan bahawa


Kumpulan dan Cincin Lain

Teori nombor adalah kajian lebih daripada sekadar bilangan bulat. Ini benar kerana kedua-dua struktur algebra lain adalah generalisasi semula jadi bilangan bulat dan juga kerana mereka sering memberi kita maklumat mengenai bilangan bulat.

Integer Gauss

Generalisasi pertama bagi bilangan bulat yang akan kita bahas ialah Gaegian Integers, lanjutan dari bilangan bulat oleh i, punca kuasa dua negatif.

Unsur-unsur Integer Gauss adalah semua nombor dalam bentuk n + m i, di mana n dan m adalah nombor bulat. Penambahan dan pendaraban dilakukan dengan cara biasa.

Segala-galanya mulai menarik apabila kita berusaha memutuskan apa yang kita maksudkan dengan bilangan prima di Gaussian Integers. Pemerhatian sederhana yang menunjukkan bahawa tidak setiap bilangan bulat yang utama dalam bilangan bulat adalah yang utama dalam Gaegian Integers.

Padang Galois

Medan galois (juga disebut sebagai medan terhingga) adalah lanjutan dari bilangan bulat modulo beberapa prime p.

Kita mulakan dengan bilangan bulat modulo p dan beberapa polinomial yang tidak dapat diselesaikan (iaitu faktor) dalam bidang ini. Mari kita teruskan dengan dua contoh nyata:

Contoh: GF (2 3) = Z2[x] / & lt x 3 + x + 1 & gt

Contoh kita akan bermula dengan bilangan bulat modulo 2 (hanya mengandungi dua nombor 0 dan 1). Sesuai dengan notasi biasa kita akan menyebutnya F2. Memandangkan bidang ini, kita sekarang mengeluarkan topi polinomial kita. Tidak 0 atau 1 memenuhi mod polinomial 2. Sekarang berpura-pura bahawa ada beberapa penyelesaian atau akar polinomial, panggil a dan tambahkan simbol ini ke bidang asal kami. Perkara yang kita ada sekarang disebut F2[a]. Unsur-unsur perkara ini mempunyai bentuk. Perhatikan bahawa tidak ada unsur-unsur yang berbentuk kubik sebagai 3 yang dapat digantikan oleh sebagai yang dianggap sebagai akar dari polinomial asal. Sebenarnya, kerana kita bekerja modulo 2, jadi +1 dan -1 adalah sama, kita dapat mengganti 3 dengan +1. Mengira 2 3 = 8 elemen yang kita ada.

Contoh: GF (5 4) = Z5[x] / & lt x 4 +2 x 3 +3 x 2 + x + 1 & gt

Bermula dengan anggapan naif bahawa polinomial yang menentukan memang mod 5 yang tidak dapat direduksi (dan dengan demikian ini adalah medan terhingga), kami berada dalam kedudukan untuk mencuba pengkomputeran dalam bidang ini:

Yang lebih menarik ialah pengkomputeran kekuatan elemen. Sama seperti dalam kes pengkomputeran dengan bilangan bulat, kita dapat membuat pengiraan dengan cekap menggunakan algoritma Petani Rusia untuk kuasa dua dan pendaraban.

  • Sebagai 26 = 16 + 8 + 2, kita boleh menulis di pangkalan 2, 26 = 110102
  • Oleh itu 26 = (a 16) (a 8) (a 2)
  • Pengkomputeran:
    a 2: a 2 = a 2
    a 4: (a 2) 2 = 3 a 3 + 2 a 2 + 4 a + 4
    a 8: (a 4) 2 = (3 a 3 + 2 a 2 + 4 a + 4) 2 = 3 a 3 + 3
    a 16: (a 8) 2 = (3 a 3 + 3) 2 = 2 a 2 + 4 a
  • Oleh itu 26 = (a 16) (a 8) (a 2) = (2 a 2 + 4 a) (3 a 3 + 3) (a 2) = 3 a 3 + 2 a + 4
  • Sebagai 26 = 110102 kita boleh menulis 26 = 0 + 2 (1 + 2 (0 + 2 (1 + 2 (1))))
  • dan a 26 = a (0 + 2 (1 + 2 (0 + 2 (1 + 2 (1))))) = (a ((a (a) 2) 2) 2) 2)
  • Pengkomputeran:
    (a) 2 = a 2
    a (a) 2 = a 3 (yang merupakan 3 = a (a) 2)
    (a 3) 2 = 3 a 3 + 3 a 2 + a + 4 (yang merupakan 6 = (a (a) 2) 2)
    (3 a 3 + 3 a 2 + a + 4) 2 = 2 a 2 + 3 (yang merupakan 12 = ((a (a) 2) 2) 2)
    a (2 a 2 + 3) = (2 a 3 + 3 a) (yang merupakan 13 = a ((a (a) 2) 2) 2)
    (2 a 3 + 3 a) 2 = 3 a 3 + 2 a + 4 (yang merupakan 26 = (a ((a (a) 2) 2) 2) 2)
  • Oleh itu 26 = 3 a 3 + 2 a + 4
  • Cubalah & isinGF (5 4)
    • a (5 4 -1) = 1
    • a (5 4 -1) / 2 = 1 (jadi a tidak primitif - sebenarnya a mempunyai pesanan 39)
    • (a +1) (5 4 -1) = 1
    • (a +1) (5 4 -1) / 2 = 4 & ne 1
    • (a +1) (5 4 -1) / 3 = 3 a +2 a 3 & ne 1
    • (a +1) (5 4 -1) / 13 = a + a 2 + a 3 & ne 1

    Jadi (a +1) mempunyai pesanan tepat 624 dan primitif. Oleh itu, kami telah menunjukkan bahawa polinomial x 4 +2 x 3 +3 x 2 + x +1 tidak dapat direduksi.


    Arahan asas untuk lembaran kerja

    Setiap lembaran kerja dihasilkan secara rawak dan unik. The kunci jawapan dihasilkan secara automatik dan diletakkan di halaman kedua fail.

    Anda boleh menghasilkan lembaran kerja sama ada dalam format html atau PDF & mdash kedua-duanya senang dicetak. Untuk mendapatkan lembaran kerja PDF, tekan butang bertajuk "Buat PDF"atau"Buat lembaran kerja PDF". Untuk mendapatkan lembaran kerja dalam format html, tekan butang"Lihat di penyemak imbas"atau"Buat lembaran kerja htmlIni mempunyai kelebihan bahawa anda dapat menyimpan lembaran kerja terus dari penyemak imbas anda (pilih Fail & rarr Simpan) dan kemudian sunting dalam Word atau program pemprosesan kata lain.

    Kadang kala lembaran kerja yang dihasilkan tidak sesuai dengan kehendak anda. Cuba lagi! Untuk mendapatkan lembaran kerja yang berbeza menggunakan pilihan yang sama:

    • Format PDF: kembali ke halaman ini dan tekan butang sekali lagi.
    • Format HTML: muat semula halaman lembaran kerja di tetingkap penyemak imbas anda.


    Tonton videonya: Pangkat Tiga dan Akar Pangkat Tiga. Matematika (Ogos 2022).