Artikel

9.2: Persamaan Homogen Pekali Tetap Susunan Tinggi - Matematik


Sekiranya (a_0 ), (a_1 ), ..., (a_n ) adalah pemalar dan (a_0 ne0 ), maka

[a_0y ^ {(n)} + a_1y ^ {(n-1)} + cdots + a_ny = F (x) bukan nombor ]

dikatakan sebagai persamaan pekali tetap. Dalam bahagian ini kita mempertimbangkan persamaan pekali tetap homogen

[ label {eq: 9.2.1} a_0y ^ {(n)} + a_1y ^ {(n-1)} + cdots + a_ny = 0. ]

Oleh kerana Persamaan ref {eq: 9.2.1} adalah normal pada ((- infty, infty) ), teorema dalam Bahagian 9.1 semuanya berlaku dengan ((a, b) = (- infty, infty ) ).

Seperti dalam Bahagian 5.2, kami memanggil

[ label {eq: 9.2.2} p (r) = a_0r ^ n + a_1r ^ {n-1} + cdots + a_n ]

yang polinomial ciri Persamaan ref {eq: 9.2.1}. Kami melihat di Bahagian 5.2 bahawa apabila (n = 2 ) penyelesaian Persamaan ref {eq: 9.2.1} ditentukan oleh sifar ciri polinomial. Ini juga berlaku apabila (n> 2 ), tetapi keadaannya lebih rumit dalam kes ini. Oleh itu, kami mengambil pendekatan yang berbeza.

Sekiranya (k ) adalah bilangan bulat positif, mari (D ^ k ) mewakili operator derivatif (k ) -; itu dia

[D ^ ky = y ^ {(k)}. nombor ]

Sekiranya

[q (r) = b_0r ^ m + b_1r ^ {m-1} + cdots + b_m bukan nombor ]

adalah polinomial sewenang-wenangnya, tentukan pengendali

[q (D) = b_0D ^ m + b_1D ^ {m-1} + cdots + b_m bukan nombor ]

seperti itu

[q (D) y = (b_0D ^ m + b_1D ^ {m-1} + cdots + b_m) y = b_0y ^ {(m)} + b_1y ^ {(m-1)} + cdots + b_my bukan nombor ]

bila-bila (y ) adalah fungsi dengan derivatif (m ). Kami memanggil (q (D) ) a pengendali polinomial.

Dengan (p ) seperti dalam Persamaan ref {eq: 9.2.2},

[p (D) = a_0D ^ n + a_1D ^ {n-1} + cdots + a_n, nonumber ]

jadi Persamaan ref {eq: 9.2.1} boleh ditulis sebagai (p (D) y = 0 ). Sekiranya (r ) adalah pemalar maka

[ start {align *} p (D) e ^ {rx} & = kiri (a_0D ^ ne ^ {rx} + a_1D ^ {n-1} e ^ {rx} + cdots + a_ne ^ {rx } kanan) [4pt] & = (a_0r ^ n + a_1r ^ {n-1} + cdots + a_n) e ^ {rx}; end {align *} nonumber ]

itu dia

[p (D) (e ^ {rx}) = p (r) e ^ {rx}. nombor ]

Ini menunjukkan bahawa (y = e ^ {rx} ) adalah penyelesaian Persamaan ref {eq: 9.2.1} jika (p (r) = 0 ). Dalam kes paling mudah, di mana (p ) mempunyai (n ) nol nyata yang berbeza (r_1 ), (r_2 ), ..., (r_n ), argumen ini menghasilkan (n ) penyelesaian

[y_1 = e ^ {r_1x}, quad y_2 = e ^ {r_2x}, titik, quad y_n = e ^ {r_nx}. nombor ]

Ia boleh ditunjukkan (Latihan 9.2.39) bahawa Wronskian of ( {e ^ {r_1x}, e ^ {r_2x}, dots, e ^ {r_nx} } ) adalah nol jika (r_1 ), (r_2 ),…, (r_n ) berbeza; oleh itu, ( {e ^ {r_1x}, e ^ {r_2x}, dots, e ^ {r_nx} } ) adalah sekumpulan asas penyelesaian (p (D) y = 0 ) dalam ini kes.

Contoh ( PageIndex {1} )

  1. Cari penyelesaian umum [ label {eq: 9.2.3} y "" - 6y "+ 11y'-6y = 0. ]
  2. dan selesaikan masalah nilai awal [ label {eq: 9.2.4} y "" - 6y "+ 11y'-6y = 0, quad y (0) = 4, quad y '(0) = 5, quad y '' (0) = 9. ]

Penyelesaian a

Polinomial ciri Persamaan ref {eq: 9.2.3} adalah

[p (r) = r ^ 3-6r ^ 2 + 11r-6 = (r-1) (r-2) (r-3). nombor ]

Oleh itu ( {e ^ x, e ^ {2x}, e ^ {3x} } ) adalah sekumpulan penyelesaian Persamaan ref {eq: 9.2.3}. Ini adalah satu set asas, kerana Wronskiannya adalah

[W (x) = kiri | start {array} {rrr} e ^ x & e ^ {2x} & e ^ {3x} e ^ x & 2e ^ {2x} & 3e ^ {3x} e ^ x & 4e ^ {2x} & 9e ^ {3x} end {array} kanan | = e ^ {6x} kiri | begin {array} {rrr} 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 1 & 4 & 9 end {array} kanan | = 2e ^ {6x} ne0. nombor ]

Oleh itu penyelesaian umum Persamaan ref {eq: 9.2.3} adalah

[ label {eq: 9.2.5} y = c_1e ^ {x} + c_2e ^ {2x} + c_3e ^ {3x}. ]

Penyelesaian b

Kita mesti menentukan (c_1 ), (c_2 ) dan (c_3 ) dalam Persamaan ref {eq: 9.2.5} supaya (y ) memenuhi syarat awal dalam Persamaan ref {eq: 9.2 .4}. Membezakan Persamaan ref {eq: 9.2.5} dua kali hasil

[ label {eq: 9.2.6} begin {array} {rcl} y '& = & c_1e ^ {x} + 2c_2e ^ {2x} + 3c_3e ^ {3x} y "& = & c_1e ^ { x} + 4c_2e ^ {2x} + 9c_3e ^ {3x}. akhir {array} ]

Menetapkan (x = 0 ) dalam Persamaan ref {eq: 9.2.5} dan Persamaan ref {eq: 9.2.6} dan mengenakan syarat awal

[ begin {array} {rcl} c_1 + phantom {2} c_2 + phantom {3} c_3 & = & 4 c_1 + 2c_2 + 3c_3 & = & 5 c_1 + 4c_2 + 9c_3 & = & 9. end {array} bukan nombor ]

Penyelesaian sistem ini ialah (c_1 = 4 ), (c_2 = -1 ), (c_3 = 1 ). Oleh itu penyelesaian Persamaan ref {eq: 9.2.4} adalah

[y = 4e ^ x-e ^ {2x} + e ^ {3x} bukan nombor ]

(Gambar ( PageIndex {1} )).

Sekarang kita mempertimbangkan kes di mana ciri Persamaan polinomial ref {eq: 9.2.2} tidak mempunyai (n ) sifar nyata yang berbeza. Untuk tujuan ini adalah berguna untuk menentukan apa yang kita maksudkan dengan pemfaktoran operator polinomial. Kita mulakan dengan contoh.

Contoh ( PageIndex {2} )

Pertimbangkan polinomial

[p (r) = r ^ 3-r ^ 2 + r-1 bukan nombor ]

dan pengendali polinomial yang berkaitan

[p (D) = D ^ 3-D ^ 2 + D-1. nombor ]

Oleh kerana (p (r) ) boleh difaktorkan sebagai

[p (r) = (r-1) (r ^ 2 + 1) = (r ^ 2 + 1) (r-1), bukan nombor ]

adalah wajar untuk menjangkakan bahawa p (D) boleh difaktorkan sebagai

[ label {eq: 9.2.7} p (D) = (D-1) (D ^ 2 + 1) = (D ^ 2 + 1) (D-1). ]

Namun, sebelum kita dapat membuat penegasan ini kita mesti tentukan apa yang kita maksudkan dengan mengatakan bahawa dua operator sama, dan apa yang kita maksudkan dengan produk pengendali dalam Persamaan ref {eq: 9.2.7}. Kami mengatakan bahawa dua operator sama jika mereka menggunakan fungsi yang sama dan selalu menghasilkan hasil yang sama. Definisi produk dalam Persamaan ref {eq: 9.2.7} adalah ini: jika (y ) ada fungsi pembezaan tiga kali maka

  1. ((D-1) (D ^ 2 + 1) y ) adalah fungsi yang diperoleh dengan menerapkan pertama (D ^ 2 + 1 ) ke (y ) dan kemudian menerapkan (D-1 ) ke fungsi yang dihasilkan
  2. ((D ^ 2 + 1) (D-1) y ) adalah fungsi yang diperoleh dengan mula-mula menerapkan (D-1 ) ke (y ) dan kemudian menerapkan (D ^ 2 + 1 ) ke fungsi yang dihasilkan.

Dari),

[ label {eq: 9.2.8} begin {array} {rcl} (D-1) (D ^ 2 + 1) y & = & (D-1) [(D ^ 2 + 1) y] & = & (D-1) (y "+ y) = D (y" + y) - (y "+ y) & = & (y" "+ y") - (y '' + y) & = & y '' - y '' + y'-y = (D ^ 3-D ^ 2 + D-1) y. akhir {array} ]

Ini menunjukkan bahawa

[(D-1) (D ^ 2 + 1) = (D ^ 3-D ^ 2 + D-1). nombor ]

Dari (b),

[ label {eq: 9.2.9} begin {array} {rcl} (D ^ 2 + 1) (D-1) y & = & (D ^ 2 + 1) [(D-1) y] & = & (D ^ 2 + 1) (y'-y) = D ^ 2 (y'-y) + (y'-y) & = & (y "" - y ") + (y'-y) & = & y '' - y '' + y'-y = (D ^ 3-D ^ 2 + D-1) y, end {array} ]

[(D ^ 2 + 1) (D-1) = (D ^ 3-D ^ 2 + D-1), bukan nombor ]

yang melengkapkan justifikasi Persamaan ref {eq: 9.2.7}.

Contoh ( PageIndex {3} )

Gunakan hasil Contoh ( PageIndex {2} ) untuk mencari penyelesaian umum untuk

[ label {eq: 9.2.10} y '' - y '' + y'-y = 0. ]

Penyelesaian

Dari Persamaan ref {eq: 9.2.8}, kita dapat menulis semula Persamaan ref {eq: 9.2.10} sebagai

[(D-1) (D ^ 2 + 1) y = 0, bukan nombor ]

yang menunjukkan bahawa sebarang penyelesaian ((D ^ 2 + 1) y = 0 ) adalah penyelesaian Persamaan ref {eq: 9.2.10}. Oleh itu (y_1 = cos x ) dan (y_2 = sin x ) adalah penyelesaian Persamaan ref {eq: 9.2.10}.

Dari Persamaan ref {eq: 9.2.9}, kita dapat menulis semula Persamaan ref {eq: 9.2.10} sebagai

[(D ^ 2 + 1) (D-1) y = 0, bukan nombor ]

yang menunjukkan bahawa sebarang penyelesaian ((D-1) y = 0 ) adalah penyelesaian Persamaan ref {eq: 9.2.10}. Oleh itu (y_3 = e ^ x ) adalah penyelesaian Persamaan ref {eq: 9.2.10}.

Wronskian ( {e ^ x, cos x, sin x } ) adalah

[W (x) = kiri | start {array} {rrr} cos x & sin x & e ^ x - sin x & cos x & e ^ x - cos x & - sin x & e ^ x akhir {array} kanan |. nombor ]

Sejak

[W (0) = kiri | start {array} {rrr} 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 end {array} kanan | = 2, bukan nombor ]

( { cos x, sin x, e ^ x } ) bebas secara linear dan

[y = c_1 cos x + c_2 sin x + c_3e ^ x nonumber ]

adalah penyelesaian umum Persamaan ref {eq: 9.2.10}.

Contoh ( PageIndex {4} )

Cari penyelesaian umum untuk

[ label {eq: 9.2.11} y ^ {(4)} - 16y = 0. ]

Penyelesaian

Polinomial ciri Persamaan ref {eq: 9.2.11} adalah

[ start {align *} p (r) & = r ^ 4-16 [4pt] & = (r ^ 2-4) (r ^ 2 + 4) [4pt] & = (r- 2) (r + 2) (r ^ 2 + 4). end {align *} bukan nombor ]

Dengan argumen yang serupa dengan yang digunakan dalam Contoh ( PageIndex {2} ) dan ( PageIndex {4} ), dapat ditunjukkan bahawa Persamaan ref {eq: 9.2.11} dapat ditulis sebagai

[(D ^ 2 + 4) (D + 2) (D-2) y = 0 bukan nombor ]

atau

[(D ^ 2 + 4) (D-2) (D + 2) y = 0 bukan nombor ]

atau

[(D-2) (D + 2) (D ^ 2 + 4) y = 0. nombor ]

Oleh itu (y ) adalah penyelesaian Persamaan ref {eq: 9.2.11} jika merupakan penyelesaian bagi salah satu daripada tiga persamaan

[(D-2) y = 0, quad (D + 2) y = 0, quad (D ^ 2 + 4) y = 0. nombor ]

Oleh itu, ( {e ^ {2x}, e ^ {- 2x}, cos2x, sin2x } ) adalah sekumpulan penyelesaian Persamaan ref {eq: 9.2.11}. Wronskian dari set ini adalah

[W (x) = kiri | start {array} {rrrr} e ^ {2x} & e ^ {- 2x} & cos2x & sin2x 2e ^ {2x} & - 2e ^ {- 2x} & -2 sin2x & 2 cos2x 4e ^ {2x} & 4e ^ {- 2x} & - 4 cos2x & -4 sin2x 8e ^ {2x} & - 8e ^ {- 2x} & 8 sin2x & -8 cos2x end {array} kanan |. nombor ]

Sejak

[W (0) = kiri | start {array} {rrrr} 1 & 1 & 1 & 0 2 & -2 & 0 & 2 4 & 4 & -4 & 0 8 & -8 & 0 & -8 end {array} kanan | = -512, nombor ]

( {e ^ {2x}, e ^ {- 2x}, cos2x, sin2x } ) bebas secara linear, dan

[y_1 = c_1e ^ {2x} + c_2e ^ {- 2x} + c_3 cos2x + c_4 sin2x bukan nombor ]

adalah penyelesaian umum Persamaan ref {eq: 9.2.11}.

Diketahui dari aljabar bahawa setiap polinomial

[p (r) = a_0r ^ n + a_1r ^ {n-1} + cdots + a_n nonumber ]

dengan pekali sebenar boleh difaktorkan sebagai

[p (r) = a_0p_1 (r) p_2 (r) cdots p_k (r), bukan nombor ]

di mana tidak ada pasangan polinomial (p_1 ), (p_2 ), ..., (p_k ) mempunyai faktor komom dan masing-masing adalah salah satu bentuk

[ label {eq: 9.2.12} p_j (r) = (r-r_j) ^ {m_j}, ]

di mana (r_j ) adalah nyata dan (m_j ) adalah bilangan bulat positif, atau

[ label {eq: 9.2.13} p_j (r) = kiri [(r- lambda_j) ^ 2 + omega_j ^ 2 kanan] ^ {m_j}, ]

di mana ( lambda_j ) dan ( omega_j ) adalah nyata, ( omega_j ne0 ), dan (m_j ) adalah bilangan bulat positif. Sekiranya Persamaan ref {eq: 9.2.12} tahan maka (r_j ) adalah sifar nyata dari (p ), sementara jika Persamaan ref {eq: 9.2.13} tahan maka ( lambda + i omega ) dan ( lambda-i omega ) adalah sifar konjugasi kompleks (p ). Dalam kedua-dua kes, (m_j ) adalah darab daripada sifar.

Dengan hujah yang serupa dengan yang digunakan dalam contoh kami, dapat ditunjukkan bahawa

[ label {eq: 9.2.14} p (D) = a_0p_1 (D) p_2 (D) cdots p_k (D) ]

dan bahawa urutan faktor di sebelah kanan dapat dipilih dengan sewenang-wenangnya. Oleh itu, jika (p_j (D) y = 0 ) untuk beberapa (j ) maka (p (D) y = 0 ). Untuk melihatnya, kita hanya menulis semula Persamaan ref {eq: 9.2.14} sehingga (p_j (D) ) diterapkan terlebih dahulu. Oleh itu masalah mencari penyelesaian (p (D) y = 0 ) dengan (p ) seperti dalam Persamaan ref {eq: 9.2.14} mengurangkan mencari penyelesaian bagi setiap persamaan ini

[p_j (D) y = 0, quad 1 le j le k, nonumber ]

di mana (p_j ) adalah kekuatan istilah darjah pertama atau kuadratik yang tidak dapat direduksi. Untuk mencari satu set penyelesaian asas ( {y_1, y_2, dots, y_n } ) dari (p (D) y = 0 ), kami dapati satu set penyelesaian asas bagi setiap persamaan dan mengambil ( {y_1, y_2, dots, y_n } ) menjadi sekumpulan semua fungsi dalam kumpulan asas yang berasingan ini. Dalam Latihan 9.2.40 kami melakarkan bukti bahawa ( {y_1, y_2, dots, y_n } ) bebas secara linear, dan oleh itu sekumpulan asas penyelesaian (p (D) y = 0 ).

Untuk menerapkan prosedur ini pada persamaan pekali malar homogen umum, kita mesti dapat mencari set asas penyelesaian persamaan bentuk

[(D-a) ^ my = 0 bukan nombor ]

dan

[ kiri [(D- lambda) ^ 2 + omega ^ 2 kanan] ^ my = 0, nonumber ]

di mana (m ) adalah bilangan bulat positif sewenang-wenangnya. Dua teorema seterusnya menunjukkan cara melakukannya.

Teorema ( PageIndex {1} )

Sekiranya (m ) adalah bilangan bulat positif, maka

[ label {eq: 9.2.15} {e ^ {ax}, xe ^ {ax}, dots, x ^ {m-1} e ^ {ax} } ]

adalah satu set penyelesaian asas

[ label {eq: 9.2.16} (D-a) ^ my = 0. ]

Bukti

Kami akan menunjukkan bahawa jika

[f (x) = c_1 + c_2x + cdots + c_mx ^ {m-1} bukan nombor ]

adalah polinomial sewenang-wenang darjah ( le m-1 ), maka (y = e ^ {ax} f ) adalah penyelesaian Persamaan ref {eq: 9.2.16}. Pertama perhatikan bahawa jika (g ) ada fungsi yang boleh dibezakan

[(Da) e ^ {ax} g = De ^ {ax} g-ae ^ {ax} g = ae ^ {ax} g + e ^ {ax} g'-ae ^ {ax} g, nonumber ]

begitu

[ label {eq: 9.2.17} (D-a) e ^ {ax} g = e ^ {ax} g '. ]

Oleh itu

[ start {array} {lcll} (Da) e ^ {ax} f & = & e ^ {ax} f '& mbox {(dari eqref {eq: 9.2.17} dengan $ g = f $)} (Da) ^ 2e ^ {ax} f & = & (Da) e ^ {ax} f '= e ^ {ax} f' & mbox {(dari eqref {eq: 9.2.17} dengan $ g = f '$)} (Da) ^ 3e ^ {ax} f & = & (Da) e ^ {ax} f' '= e ^ {ax} f' '& mbox {(dari eqref {eq: 9.2.17} dengan $ g = f '' $)} & vdots & (Da) ^ me ^ {ax} f & = & (Da) e ^ {ax} f ^ {(m -1)} = e ^ {ax} f ^ {(m)} & mbox {(dari eqref {eq: 9.2.17} dengan $ g = f ^ {(m-1)} $)}. end {array} bukan nombor ]

Oleh kerana (f ^ {(m)} = 0 ), persamaan terakhir menunjukkan bahawa (y = e ^ {ax} f ) adalah penyelesaian Persamaan ref {eq: 9.2.16} jika (f ) adalah polinomial darjah ( le m-1 ). Khususnya, setiap fungsi dalam Persamaan ref {eq: 9.2.15} adalah penyelesaian Persamaan ref {eq: 9.2.16}. Untuk melihat bahawa Persamaan ref {eq: 9.2.15} bebas secara linear (dan oleh itu sekumpulan asas penyelesaian Persamaan ref {eq: 9.2.16}), perhatikan bahawa jika

[c_1e ^ {ax} + c_2xe ^ {ax} + c dots + c_ {m-1} x ^ {m-1} e ^ {ax} = 0 angka ]

untuk semua (x ) dalam beberapa selang ((a, b) ), kemudian

[c_1 + c_2x + c dots + c_ {m-1} x ^ {m-1} = 0 bukan nombor ]

untuk semua (x ) di ((a, b) ). Namun, kita tahu dari aljabar bahawa jika polinomial ini mempunyai lebih daripada (m-1 ) nol maka (c_1 = c_2 = cdots = c_n = 0 ).

Contoh ( PageIndex {5} )

Cari penyelesaian umum untuk

[ label {eq: 9.2.18} y '' + 3y '' + 3y '+ y = 0. ]

Penyelesaian

Polinomial ciri Persamaan ref {eq: 9.2.18} adalah

[p (r) = r ^ 3 + 3r ^ 2 + 3r + 1 = (r + 1) ^ 3. nombor ]

Oleh itu Persamaan ref {eq: 9.2.18} boleh ditulis sebagai

[(D + 1) ^ 3y = 0, bukan nombor ]

jadi Teorema ( PageIndex {1} ) menyiratkan bahawa penyelesaian umum Persamaan ref {eq: 9.2.18} adalah

[y = e ^ {- x} (c_1 + c_2x + c_3x ^ 2). nombor ]

Bukti teorema seterusnya digambarkan dalam Latihan 9.2.41.

Teorema ( PageIndex {2} )

Sekiranya ( omega ne0 ) dan (m ) adalah bilangan bulat positif, maka

[ begin {array} {rl} {e ^ { lambda x} cos omega x, xe ^ { lambda x} cos omega x, & dots, x ^ {m-1} e ^ { lambda x} cos omega x, e ^ { lambda x} sin omega x, xe ^ { lambda x} sin omega x, & dots, x ^ {m-1 } e ^ { lambda x} sin omega x } end {array} bukan nombor ]

adalah satu set penyelesaian asas

[[(D- lambda) ^ 2 + omega ^ 2] ^ my = 0. nombor ]

Contoh ( PageIndex {6} )

Cari penyelesaian umum untuk

[ label {eq: 9.2.19} (D ^ 2 + 4D + 13) ^ 3y = 0. ]

Penyelesaian

Polinomial ciri Persamaan ref {eq: 9.2.19} adalah

[p (r) = (r ^ 2 + 4r + 13) ^ 3 = kiri ((r + 2) ^ 2 + 9 kanan) ^ 3. nombor ]

Oleh itu Persamaan ref {eq: 9.2.19} boleh ditulis sebagai

[[(D + 2) ^ 2 + 9] ^ 3y = 0, bukan nombor ]

jadi Teorema ( PageIndex {2} ) menyiratkan bahawa penyelesaian umum Persamaan ref {eq: 9.2.19} adalah

[y = (a_1 + a_2x + a_3x ^ 2) e ^ {- 2x} cos3x + (b_1 + b_2x + b_3x ^ 2) e ^ {- 2x} sin3x. nombor ]

Contoh ( PageIndex {7} )

Cari penyelesaian umum untuk

[ label {eq: 9.2.20} y ^ {(4)} + 4y '' + 6y '' + 4y '= 0. ]

Penyelesaian

Polinomial ciri Persamaan ref {eq: 9.2.20} adalah

[ start {aligned} p (r) & = r ^ 4 + 4r ^ 3 + 6r ^ 2 + 4r & = r (r ^ 3 + 4r ^ 2 + 6r + 4) & = r ( r + 2) (r ^ 2 + 2r + 2) & = r (r + 2) [(r + 1) ^ 2 + 1]. end {aligned} nonumber ]

Oleh itu Persamaan ref {eq: 9.2.20} boleh ditulis sebagai

[[(D + 1) ^ 2 + 1] (D + 2) Dy = 0. nombor ]

Set penyelesaian asas bagi

[ kiri [(D + 1) ^ 2 + 1 kanan] y = 0, quad (D + 2) y = 0, quad text {dan} quad Dy = 0. nombor ]

diberikan oleh

[ {e ^ {- x} cos x, e ^ {- x} sin x }, quad {e ^ {- 2x} }, quad text {dan} quad { 1 }, bukan nombor ]

masing-masing. Oleh itu penyelesaian umum Persamaan ref {eq: 9.2.20} adalah

[y = e ^ {- x} (c_1 cos x + c_2 sin x) + c_3e ^ {- 2x} + c_4. nombor ]

Contoh ( PageIndex {8} )

Cari satu set penyelesaian asas

[ label {eq: 9.2.21} [(D + 1) ^ 2 + 1] ^ 2 (D-1) ^ 3 (D + 1) D ^ 2y = 0. ]

Penyelesaian

Satu set penyelesaian asas Persamaan ref {eq: 9.2.21} dapat diperoleh dengan menggabungkan set penyelesaian asas

  • ( kiri [(D + 1) ^ {2} +1 kanan] ^ {2} y = 0 )
  • ((D-1) ^ {3} y = 0 )
  • ((D + 1) y = 0 )
  • (D ^ {2} y = 0 )

Set penyelesaian asas bagi persamaan ini diberikan oleh

  • ( {e ^ {- x} cos x, x e ^ {- x} cos x, e ^ {- x} sin x, x e ^ {- x} sin x } )
  • ( kiri {e ^ {x}, x e ^ {x}, x ^ {2} e ^ {x} kanan } )
  • ( kiri {e ^ {- x} kanan } ),
  • ( {1, x } )

masing-masing. Kesepuluh fungsi ini membentuk satu set penyelesaian asas Persamaan ref {eq: 9.2.21}.


Tonton videonya: Vienādojuma ar diviem mainīgajiem grafiks. (Disember 2021).