Artikel

2.6: Menggabungkan Faktor - Matematik


Dalam Bahagian 2.5 kita melihat bahawa jika (M ), (N ), (M_y ) dan (N_x ) berterusan dan (M_y = N_x ) pada segiempat terbuka (R ) maka

[ label {eq: 2.6.1} M (x, y) , dx + N (x, y) , dy = 0 ]

tepat pada (R ). Kadang kala persamaan yang tidak tepat dapat dibuat tepat dengan mengalikannya dengan fungsi yang sesuai. Sebagai contoh,

[ label {eq: 2.6.2} (3x + 2y ^ 2) , dx + 2xy , dy = 0 ]

tidak tepat, kerana (M_y (x, y) = 4y ne N_x (x, y) = 2y ) dalam Persamaan ref {eq: 2.6.2}. Walau bagaimanapun, mengalikan Persamaan ref {eq: 2.6.2} dengan hasil (x )

[ label {eq: 2.6.3} (3x ^ 2 + 2xy ^ 2) , dx + 2x ^ 2y , dy = 0, ]

yang tepat, kerana (M_y (x, y) = N_x (x, y) = 4xy ) dalam Persamaan ref {eq: 2.6.3}. Menyelesaikan Persamaan ref {eq: 2.6.3} dengan prosedur yang diberikan dalam Bahagian 2.5 menghasilkan penyelesaian tersirat

[x ^ 3 + x ^ 2y ^ 2 = C. Nombor ]

Fungsi ( mu = mu (x, y) ) ialah faktor penyatuan untuk Persamaan ref {eq: 2.6.1} jika [ label {eq: 2.6.4} mu (x, y) M (x, y) , dx + mu (x, y) N (x, y) , dy = 0 ] tepat. Sekiranya kita mengetahui faktor penyatuan ( mu ) untuk Persamaan ref {eq: 2.6.1}, kita dapat menyelesaikan persamaan persamaan yang tepat ref {eq: 2.6.4} dengan kaedah Bahagian 2.5. Alangkah baiknya jika kita dapat mengatakan bahawa Persamaan ref {eq: 2.6.1} dan Persamaan ref {eq: 2.6.4} selalu mempunyai penyelesaian yang sama, tetapi ini tidak begitu. Sebagai contoh, penyelesaian (y = y (x) ) Persamaan ref {eq: 2.6.4} sehingga ( mu (x, y (x)) = 0 ) pada beberapa selang (a Latihan 2.6.1), sementara Persamaan ref {eq: 2.6.1} mungkin mempunyai penyelesaian (y = y (x) ) sehingga ( mu (x, y (x)) ) bahkan tidak didefinisikan (Latihan 2.6.2). Komen serupa berlaku jika (y ) adalah pemboleh ubah bebas dan (x ) adalah pemboleh ubah bersandar dalam Persamaan ref {eq: 2.6.1} dan Persamaan ref {eq: 2.6.4}. Walau bagaimanapun, jika ( mu (x, y) ) ditakrifkan dan bukan nol untuk semua ((x, y) ), Persamaan ref {eq: 2.6.1} dan Persamaan ref {eq: 2.6.4 } setaraf; iaitu, mereka mempunyai penyelesaian yang sama.

Mencari Faktor Mengintegrasikan

Dengan menerapkan Teorem 2.5.2 (dengan (M ) dan (N ) digantikan oleh ( mu M ) dan ( mu N )), kita melihat bahawa Persamaan ref {eq: 2.6.4 } tepat pada segiempat terbuka (R ) jika ( mu M ), ( mu N ), (( mu M) _y ), dan (( mu N) _x ) berterusan dan [{ partial over partial y} ( mu M) = { partial over partial x} ( mu N) quad text {atau, bersamaan,} quad mu_yM + mu M_y = mu_xN + mu N_x bukan nombor ] di (R ). Lebih baik menulis semula persamaan terakhir sebagai [ label {eq: 2.6.5} mu (M_y-N_x) = mu_xN- mu_yM, ] yang mengurangkan hasil yang diketahui untuk persamaan yang tepat; iaitu, jika (M_y = N_x ) maka Persamaan ref {eq: 2.6.5} tahan dengan ( mu = 1 ), maka Persamaan ref {eq: 2.6.1} adalah tepat.

Anda mungkin menganggap Persamaan ref {eq: 2.6.5} tidak bernilai, kerana melibatkan separa turunan dari faktor penyatuan yang tidak diketahui ( mu ), dan kami belum mempelajari kaedah untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Walau bagaimanapun, kami sekarang akan menunjukkan bahawa Persamaan ref {eq: 2.6.5} berguna jika kita mengehadkan carian kita untuk mengintegrasikan faktor-faktor yang merupakan produk dari fungsi (x ) dan fungsi (y ); iaitu, ( mu (x, y) = P (x) Q (y) ). Kami tidak mengatakannya setiap persamaan (M , dx + N , dy = 0 ) mempunyai faktor penyatuan bentuk ini; sebaliknya, kita mengatakan bahawa sesetengah persamaan mempunyai faktor penyatuan seperti itu. Kami akan mengembangkan kaedah untuk menentukan sama ada persamaan tertentu mempunyai faktor penyatuan, dan kaedah untuk mencari faktor penyatuan dalam kes ini.

Jika ( mu (x, y) = P (x) Q (y) ), maka ( mu_x (x, y) = P '(x) Q (y) ) dan ( mu_y ( x, y) = P (x) Q '(y) ), jadi Persamaan ref {eq: 2.6.5} menjadi

[ label {eq: 2.6.6} P (x) Q (y) (M_y-N_x) = P '(x) Q (y) NP (x) Q' (y) M, ] atau, setelah membahagi dengan (P (x) Q (y) ),

[ label {eq: 2.6.7} M_y-N_x = {P '(x) over P (x)} N- {Q' (y) over Q (y)} M. ] Sekarang mari [p (x) = {P '(x) over P (x)} quad text {dan} quad q (y) = {Q' (y) over Q (y)}, bukan angka ] jadi Persamaan ref {eq: 2.6.7} menjadi

[ label {eq: 2.6.8} M_y-N_x = p (x) N-q (y) M. ]

Kami memperoleh Persamaan ref {eq: 2.6.8} oleh menganggap bahawa (M , dx + N , dy = 0 ) mempunyai faktor penyatuan ( mu (x, y) = P (x) Q (y) ). Namun, kita sekarang dapat melihat Persamaan ref {eq: 2.6.7} secara berbeza: Sekiranya terdapat fungsi (p = p (x) ) dan (q = q (y) ) yang memenuhi Persamaan ref {eq : 2.6.8} dan kami menentukan

[ label {eq: 2.6.9} P (x) = pm e ^ { int p (x) , dx} quad text {dan} quad Q (y) = pm e ^ { int q (y) , dy}, ]

kemudian membalikkan langkah yang membawa dari Persamaan ref {eq: 2.6.6} ke Persamaan ref {eq: 2.6.8} menunjukkan bahawa ( mu (x, y) = P (x) Q (y) ) adalah faktor penyatuan untuk (M , dx + N , dy = 0 ). Dengan menggunakan hasil ini, kita menjadikan pemalar pemadu dalam Persamaan ref {eq: 2.6.9} menjadi sifar dan memilih tanda dengan mudah sehingga faktor penyatuan mempunyai bentuk paling mudah.

Tidak ada kaedah umum yang mudah untuk memastikan sama ada fungsi (p = p (x) ) dan (q = q (y) ) yang memuaskan Persamaan ref {eq: 2.6.8} ada. Walau bagaimanapun, teorema seterusnya memberikan syarat yang cukup sederhana agar persamaan yang diberikan mempunyai faktor penyatuan yang hanya bergantung pada salah satu pemboleh ubah bebas (x ) dan (y ), dan untuk mencari faktor penyatuan dalam kes ini.

Teorema ( PageIndex {1} )

Biarkan (M, ) (N, ) (M_y, ) dan (N_x ) berterusan pada sebuah segiempat terbuka (R. ) Kemudian (: )

(a) Sekiranya ((M_y-N_x) / N ) tidak bergantung pada (y ) di (R ) dan kami menentukan [p (x) = {M_y-N_x over N} nonumber ] maka [ label {eq: 2.6.10} mu (x) = pm e ^ { int p (x) , dx} ] adalah faktor penyatuan untuk [ label {eq: 2.6. 11} M (x, y) , dx + N (x, y) , dy = 0 ] pada (R. )

(b) Jika ((N_x-M_y) / M ) tidak bergantung pada (x ) di (R ) dan kami menentukan [q (y) = {N_x-M_y over M}, nonumber ] maka [ label {eq: 2.6.12} mu (y) = pm e ^ { int q (y) , dy} ] adalah faktor penyatuan untuk Persamaan ref {eq: 2.6. 11} pada (R. )

Bukti

(a) Sekiranya ((M_y-N_x) / N ) bebas daripada (y ), maka Persamaan ref {eq: 2.6.8} tahan dengan (p = (M_y-N_x) / N ) dan (q equiv0 ). Oleh itu [P (x) = pm e ^ { int p (x) , dx} quad text {dan} quad Q (y) = pm e ^ { int q (y) , dy} = pm e ^ 0 = pm1, nonumber ] jadi Persamaan ref {eq: 2.6.10} adalah faktor penyatuan untuk Persamaan ref {eq: 2.6.11} pada (R ).

(b) Sekiranya ((N_x-M_y) / M ) bebas daripada (x ) maka eqrefeq: 2.6.8 tahan dengan (p equiv0 ) dan (q = (N_x-M_y) / M ), dan argumen serupa menunjukkan bahawa Persamaan ref {eq: 2.6.12} adalah faktor penyatuan untuk Persamaan ref {eq: 2.6.11} di (R ).

Dua contoh seterusnya menunjukkan cara menerapkan Teorem ( PageIndex {1} ).

Contoh ( PageIndex {1} )

Cari faktor penyatuan untuk persamaan [ label {eq: 2.6.13} (2xy ^ 3-2x ^ 3y ^ 3-4xy ^ 2 + 2x) , dx + (3x ^ 2y ^ 2 + 4y) , dy = 0 ] dan selesaikan persamaannya.

Penyelesaian

Dalam Persamaan ref {eq: 2.6.13} [M = 2xy ^ 3-2x ^ 3y ^ 3-4xy ^ 2 + 2x, N = 3x ^ 2y ^ 2 + 4y, nonumber ] dan [M_y -N_x = (6xy ^ 2-6x ^ 3y ^ 2-8xy) -6xy ^ 2 = -6x ^ 3y ^ 2-8xy, nonumber ] sehingga Persamaan ref {eq: 2.6.13} tidak tepat. Walau bagaimanapun, [{M_y-N_x over N} = - {6x ^ 3y ^ 2 + 8xy over 3x ^ 2y ^ 2 + 4y} = - 2x nonumber ] tidak bergantung pada (y ), jadi Teorema ( PageIndex {1} ) (a) berlaku dengan (p (x) = - 2x ). Oleh kerana [ int p (x) , dx = - int 2x , dx = -x ^ 2, nonumber ] ( mu (x) = e ^ {- x ^ 2} ) adalah faktor penyatuan. Mengalikan Persamaan ref {eq: 2.6.13} dengan ( mu ) menghasilkan persamaan yang tepat [ label {eq: 2.6.14} e ^ {- x ^ 2} (2xy ^ 3-2x ^ 3y ^ 3-4xy ^ 2 + 2x) , dx + e ^ {- x ^ 2} (3x ^ 2y ^ 2 + 4y) , dy = 0. ]

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita mesti mencari fungsi (F ) sedemikian rupa sehingga [ label {eq: 2.6.15} F_x (x, y) = e ^ {- x ^ 2} (2xy ^ 3-2x ^ 3y ^ 3-4xy ^ 2 + 2x) ] dan [ label {eq: 2.6.16} F_y (x, y) = e ^ {- x ^ 2} (3x ^ 2y ^ 2 + 4y). ] Mengintegrasikan Persamaan ref {eq: 2.6.16} berkenaan dengan hasil (y ) hasil [ label {eq: 2.6.17} F (x, y) = e ^ {- x ^ 2} (x ^ 2y ^ 3 + 2y ^ 2) + psi (x). ] Membezakan ini berkenaan dengan hasil (x ) [F_x (x, y) = e ^ {- x ^ 2} (2xy ^ 3- 2x ^ 3y ^ 3-4xy ^ 2) + psi '(x). Nonumber ] Membandingkan ini dengan Persamaan ref {eq: 2.6.15} menunjukkan bahawa ( psi' (x) = 2xe ^ {- x ^ 2} ); oleh itu, kita boleh membiarkan ( psi (x) = - e ^ {- x ^ 2} ) dalam Persamaan ref {eq: 2.6.17} dan menyimpulkan bahawa [e ^ {- x ^ 2} kiri (y ^ 2 (x ^ 2y + 2) -1 kanan) = c bukan nombor ] adalah penyelesaian tersirat dari Persamaan ref {eq: 2.6.14}. Ia juga merupakan penyelesaian tersirat dari Persamaan ref {eq: 2.6.13}.

Rajah ( PageIndex {1} ) menunjukkan medan arah dan beberapa lengkung integral untuk Persamaan ref {eq: 2.6.13}

Contoh ( PageIndex {2} )

Cari faktor penyatuan untuk

[ label {eq: 2.6.30} 2xy ^ {3} dx + (3x ^ {2} y ^ {2} + x ^ {2} y ^ {3} +1) dy = 0 ]

dan selesaikan persamaan.

Penyelesaian

Dalam Persamaan ref {eq: 2.6.30},

[M = 2xy ^ {3}, quad N = 3x ^ {2} y ^ {2} + x ^ {2} y ^ {3} +1, bukan bilangan ]

dan

[M_ {y} -N_ {x} = 6x ^ {2} - (6xy ^ {2} + 2xy ^ {3}) = - 2xy ^ {3}, bukan nombor ]

jadi Persamaan ref {eq: 2.6.30} tidak tepat. Lebih-lebih lagi,

[ frac {M_y-N_x} {N} = - frac {2xy ^ 3} {3x ^ 2y ^ 2 + x ^ 2y ^ 2 + 1} bukan nombor ]

tidak bebas dari (y ), jadi Teorema 2.6.1 (a) tidak berlaku. Walau bagaimanapun, Teorema 2.6.1 (b) berlaku, sejak

[ frac {N_x-M_y} {M} = frac {2xy ^ 3} {2xy ^ 3} = 1 bukan nombor ]

tidak bebas dari (x ), jadi kita boleh mengambil (q (y) = 1 ). Sejak

[ int q (y) dy = int dy = y, bukan nombor ]

( mu (y) = e ^ {y} ) adalah faktor penyatuan. Mengalikan Persamaan ref {eq: 2.6.30} dengan ( mu ) menghasilkan persamaan yang tepat.

[ label {eq: 2.6.36} 2xy ^ {3} e ^ {y} dx + (3x ^ {2} y ^ {2} + x ^ {2} y ^ {3} +1) e ^ { y} dy = 0. ]

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita mesti mencari fungsi (F ) sedemikian rupa

[ label {eq: 2.6.37} F_x (x, y) = 2xy ^ {3} e ^ {y} ]

dan

[ label {eq: 2.6.38} F_ {y} (x, y) = (3x ^ {2} y ^ {2} + x ^ {2} y ^ {3} +1) e ^ {y }. ]

Mengintegrasikan Persamaan ref {eq: 2.6.37} berkenaan dengan hasil (x )

[ label {eq: 2.6.39} F (x, y) = x ^ {2} y ^ {3} e ^ {y} + phi (y) ]

Membezakan ini sehubungan dengan hasil (y )

[F_ {y} = (3x ^ {2} y ^ {2} + x ^ {2} y ^ {3}) e ^ {y} + phi '(y) bukan nombor ]

dan membandingkannya dengan Persamaan ref {eq: 2.6.38} menunjukkan bahawa φ 0 (y) = e y. Oleh itu kami menetapkan φ (y) = e y dalam Persamaan ref {eq: 2.6.39} dan menyimpulkan bahawa

[(x ^ {2} y ^ {3} +1) e ^ {y} = c bukan nombor ]

adalah penyelesaian tersirat ref {eq: 2.6.36}. Ia juga merupakan penyelesaian tersirat ref {eq: 2.6.30}. Rajah ( PageIndex {2} ) menunjukkan medan arah dan beberapa lengkung integral untuk ref {eq: 2.6.30}.

Teorem ( PageIndex {1} ) tidak berlaku dalam contoh seterusnya, tetapi argumen yang lebih umum yang membawa kepada Teorem ( PageIndex {1} ) memberikan faktor penyatuan.

Contoh ( PageIndex {3} )

Cari faktor penyatuan untuk

[ label {eq: 2.6.42} (3xy + 6y ^ {2}) dx + (2x ^ {2} + 9xy) dy = 0 ]

dan selesaikan persamaan.

Penyelesaian

Dalam Persamaan ref {eq: 2.6.42}

[M = 3xy + 6y ^ 2, quad N = 2x ^ 2 + 9xy, nonumber ]

dan

[M_y -N_x = (3x + 12y) - (4x + 9y) = - x + 3y. Nonumber ]

Oleh itu

[ frac {M_y - N_x} {M} = frac {-x + 3y} {3xy + 6y ^ 2} quad text {dan} quad frac {N_x - M_y} {N} = frac {x-3y} {2x ^ 2 + 9xy} bukan nombor ]

jadi Teorema ( PageIndex {1} ) tidak berlaku. Mengikuti hujah yang lebih umum yang membawa kepada Teorem ( PageIndex {1} ), kami mencari fungsi (p = p (x) ) dan (q = q (y) ) sehingga

[M_y - N_x = p (x) N-q (y) M; bukan nombor ]

itu dia,

[- x + 3y = p (x) (2x ^ 2 + 9xy) -q (y) (3xy + 6y ^ 2). nonumber ]

Oleh kerana sebelah kiri hanya mengandungi istilah darjah pertama di (x ) dan (y ), kami menulis semula persamaan ini sebagai

[xp (x) (2x + 9y) -yq (y) (3x + 6y) = - x + 3y. nonumber ]

Ini akan menjadi identiti jika

[ label {eq: 2.6.49} xp (x) = A quad text {dan} yq (y) = B, ]

di mana (A ) dan (B ) adalah pemalar sedemikian

[- x + 3y = A (2x + 9y) -B (3x + 6y), bukan nombor ]

atau, bersamaan,

[- x + 3y = (2A-3B) x + (9A-6B) y. bukan nombor ]

Menyamakan pekali x dan y di kedua sisi menunjukkan bahawa persamaan terakhir berlaku untuk semua ((x, y) ) jika

[ start {aligned} 2A-3B & = - 1 9A-6B & = 3 end {aligned} nonumber ]

yang mempunyai penyelesaian A = 1, B = 1. Oleh itu Persamaan ref {eq: 2.6.49} menyiratkan bahawa

[p (x) = frac {1} {x} quad text {dan} quad q (y) = frac {1} {y}. nonumber ]

Sejak

[ int p (x) dx = ln | x | quad text {dan} quad int q (y) dy = ln | y |, nonumber ]

kita boleh membiarkan (P (x) = x ) dan (Q (y) = y ); oleh itu, (µ (x, y) = xy ) adalah faktor penyatuan. Mengalikan Persamaan ref {eq: 2.6.42} dengan (µ ) menghasilkan persamaan yang tepat

[(3x ^ {2} y ^ {2} + 6xy ^ {3}) dx + (2x ^ {3} y + 9x ^ {2} y ^ {2}) dy = 0. Nonumber ]

Kami menyerahkan kepada anda untuk menggunakan kaedah Bahagian 2.5 untuk menunjukkan bahawa persamaan ini mempunyai penyelesaian tersirat

[ label {eq: 2.6.55} x ^ {3} y ^ {2} + 3x ^ {2} y ^ {3} = c. ]

Ini juga merupakan penyelesaian tersirat dari Persamaan ref {eq: 2.6.42}. Oleh kerana x ≡ 0 dan y ≡ 0 memenuhi Persamaan ref {eq: 2.6.55}, anda harus memastikan bahawa x ≡ 0 dan y ≡ 0 juga merupakan penyelesaian Persamaan ref {eq: 2.6.42}. (Mengapa perlu diperiksa ini?) Rajah ( PageIndex {3} ) menunjukkan medan arah dan lengkung integral untuk Persamaan ref {eq: 2.6.42}. Lihat Latihan 2.6.28 untuk perbincangan umum mengenai persamaan seperti Persamaan ref {eq: 2.6.42}.

Contoh ( PageIndex {4} )

Persamaan yang boleh dipisahkan

[ label {eq: 2.6.56} -dyd + (x + x ^ {6}) dy = 0 ]

boleh ditukar kepada persamaan yang tepat

[ label {eq: 2.6.57} - frac {dx} {x + x ^ {6}} + frac {dy} {y} = 0 ]

dengan mengalikan dengan faktor penyatuan

[ mu (x, y) = frac {1} {y (x + x ^ {6})}. bukan nombor ]

Walau bagaimanapun, untuk menyelesaikan Persamaan ref {eq: 2.6.57} dengan kaedah Bahagian 2.5 kita harus menilai integral yang tidak baik

[ int frac {dx} {x + x ^ {6}}. bukan nombor ]

Sebaliknya, kami menyelesaikan Persamaan ref {eq: 2.6.56} secara eksplisit untuk (y ) dengan mencari faktor penyatuan bentuk (µ (x, y) = x ^ {a} y ^ {b} ) .

Penyelesaian

Dalam Persamaan ref {eq: 2.6.56}

[M = -y, N = x + x ^ 6, bukan nombor ]

dan

[M_y-N_x = -1- (1 + 6x ^ 5) = - 2-6x ^ 5. Bukan nombor ]

Kami mencari fungsi (p = p (x) ) dan (q = q (y) ) sedemikian rupa

[M_y-N_x = p (x) N-q (y) M; bukan nombor ]

itu dia,

[ label {eq: 2.6.28} -2-6x ^ 5 = p (x) (x + x ^ 6) + q (y) y. ]

Bahagian kanan akan mengandungi istilah (- 6x ^ 5 ) jika (p (x) = - 6 / x ). Kemudian Persamaan ref {eq: 2.6.28} menjadi

[- 2-6x ^ 5 = -6-6x ^ 5 + q (y) y, bukan nombor ]

jadi (q (y) = 4 / y ). Sejak

[ int p (x) , dx = - int {6 lebih x} , dx = -6 ln | x | = ln {1 lebih x ^ 6}, bukan nombor ]

dan

[ int q (y) , dy = int {4 over y} , dy = 4 ln | y | = ln {y ^ 4}, bukan nombor ]

kita dapat mengambil (P (x) = x ^ {- 6} ) dan (Q (y) = y ^ 4 ), yang menghasilkan faktor penyatuan ( mu (x, y) = x ^ { -6} y ^ 4 ). Mengalikan Persamaan ref {eq: 2.6.56} dengan ( mu ) menghasilkan persamaan yang tepat

[- {y ^ 5 atas x ^ 6} , dx + kiri ({y ^ 4 atas x ^ 5} + y ^ 4 kanan) , dy = 0. nonumber ]

Kami menyerahkan kepada anda untuk menggunakan kaedah Bahagian 2.5 untuk menunjukkan bahawa persamaan ini mempunyai penyelesaian tersirat

[ kiri ({y atas x} kanan) ^ 5 + y ^ 5 = k. bukan nombor ]

Menyelesaikan hasil (y )

[y = k ^ {1/5} x (1 + x ^ 5) ^ {- 1/5}, bukan nombor ]

yang kami tulis semula sebagai

[y = cx (1 + x ^ 5) ^ {- 1/5} bukan nombor ]

dengan menamakan semula pemalar sewenang-wenangnya. Ini juga merupakan penyelesaian Persamaan ref {eq: 2.6.56}.

Rajah ( PageIndex {4} ) menunjukkan medan arah dan beberapa lengkung integral untuk Persamaan ref {eq: 2.6.56}.


2.6: Menggabungkan Faktor - Matematik

Selalunya anda akan mendapati bahawa sukar (atau mustahil) membuktikan sesuatu secara langsung, tetapi lebih mudah (sekurang-kurangnya mungkin) membuktikannya secara tidak langsung. Inti idea itu mudah: misalnya, andaikan anda ingin mengetahui sama ada ia mendung atau cerah, tetapi anda tidak dapat melihat langit melalui tingkap anda. Anda biasanya dapat mengetahui, secara tidak langsung, dengan kualiti cahaya yang anda boleh lihat. Tanpa memformalkan prosesnya, anda akan menggunakan perkara seperti berikut: Sekiranya cerah, saya akan dapat melihat kawasan cahaya terang dan kawasan bayangan di taman yang tidak saya lakukan, jadi mestilah (sekurang-kurangnya sebahagian) mendung .

Terdapat dua kaedah bukti tidak langsung: bukti kontrapositif dan bukti dengan percanggahan. Mereka berkait rapat, bahkan dapat dipertukarkan dalam beberapa keadaan, walaupun bukti dengan percanggahan lebih kuat. Apa yang menyatukan mereka ialah mereka berdua bermula dengan andaian penolakan kesimpulan.


6.3 Transformasi Kesamaan (Bahagian 2)

Gambar lakaran serupa dengan Gambar A yang hanya menggunakan transformasi yang disenaraikan untuk menunjukkan kesamaan.

  1. Terjemahan dan renungan. Labelkan lakaran anda Gambar B. Berhenti sebentar di sini supaya guru anda dapat memeriksa hasil kerja anda.
  2. Pantulan dan pelebaran dengan faktor skala lebih besar daripada 1. Labelkan lakaran anda Gambar C.
  3. Putaran dan renungan. Labelkan lakaran anda Gambar D.
  4. Pelebaran dengan faktor skala kurang dari 1 dan terjemahan. Labelkan lakaran anda Gambar E.

Kandungan

Faktor penggabungan adalah ungkapan yang mana persamaan pembezaan dikalikan untuk memudahkan penyatuan. Contohnya, persamaan urutan kedua tidak linear

Untuk mengintegrasikan, perhatikan bahawa kedua-dua sisi persamaan boleh dinyatakan sebagai derivatif dengan pergi ke belakang dengan peraturan rantai:

Borang ini mungkin lebih berguna, bergantung pada aplikasi. Melakukan pemisahan pemboleh ubah akan memberi

Ini adalah penyelesaian tersirat yang melibatkan kamiran tidak asas. Kaedah yang sama ini digunakan untuk menyelesaikan tempoh bandul sederhana.

Menyelesaikan persamaan pembezaan biasa linier pertama Edit

Faktor penyatuan berguna untuk menyelesaikan persamaan pembezaan biasa yang dapat dinyatakan dalam bentuk

  1. M (x) (y ′ + P (x) y ⏟) terbitan separa < displaystyle M (x) < underset < text> <( tanda kurung )>>>
  2. M (x) y ′ + M (x) P (x) y
  3. M (x) y ′ + M ′ (x) y ⏟ jumlah terbitan < displaystyle underbrace _ < teks>>

Untuk mengesahkan, mengalikan dengan M (x) < displaystyle M (x)> memberi

y ′ M (x) + P (x) y M (x) = Q (x) M (x)

Dengan menerapkan peraturan produk secara terbalik, kita melihat bahawa sebelah kiri dapat dinyatakan sebagai turunan tunggal dalam x

y ′ M (x) + P (x) y M (x) = y ′ M (x) + y M ′ (x) = ddx (y M (x)) < displaystyle y'M (x) + P (x) yM (x) = y'M (x) + yM '(x) = < frac > (yM (x))>

Kami menggunakan fakta ini untuk mempermudah ungkapan kami

Menggabungkan kedua-dua belah pihak berkenaan dengan x

Menggerakkan eksponen ke sebelah kanan penyelesaian umum untuk Persamaan Pembezaan Biasa adalah:

sebagai contoh, pertimbangkan persamaan pembezaan

Kita dapat melihat bahawa dalam kes ini P (x) = - 2 x < displaystyle P (x) = < frac <-2>>>

Mendarab kedua-dua sisi dengan M (x) < displaystyle M (x)> kita perolehi

Persamaan di atas boleh ditulis semula sebagai

Dengan menyatukan kedua-dua belah pihak sehubungan dengan x yang kita perolehi

Hasil yang sama dapat dicapai dengan menggunakan pendekatan berikut

Menyelesaikan persamaan pembezaan biasa linear turutan kedua Edit

Ini menunjukkan bahawa persamaan urutan kedua mestilah tepat dalam bentuk y ″ + 2 p (x) y ′ + (p (x) 2 + p ′ (x)) y = h (x) < displaystyle y "+ 2p (x) y '+ kiri (p (x) ^ <2> + p' (x) kanan) y = h (x)> agar faktor penyatuan dapat digunakan.

Contoh 1 Edit

Contohnya, persamaan pembezaan

yang boleh disusun semula untuk memberi

Membahagi dengan faktor penyatuan memberikan:

Contoh 2 Edit

Penerapan faktor penyatuan urutan kedua yang kurang jelas melibatkan persamaan pembezaan berikut:

dan dari identiti Pythagoras yang berkaitan dengan kotangen dan kosekant,

jadi kita sebenarnya mempunyai istilah yang diperlukan di hadapan y < displaystyle y> dan boleh menggunakan faktor penyatuan.

Mengalikan setiap istilah dengan sin ⁡ (x) < displaystyle sin (x)> memberi

sin ⁡ (x) y ″ + 2 cot ⁡ (x) sin ⁡ (x) y ′ - sin ⁡ (x) y = sin ⁡ (x)

Akhirnya, membahagi dengan faktor penyatuan memberi

Menyelesaikan persamaan pembezaan linear urutan ke-9 Edit

Faktor penggabungan dapat diperluas ke setiap pesanan, walaupun bentuk persamaan yang diperlukan untuk menerapkannya semakin spesifik seiring dengan kenaikan pesanan, menjadikannya kurang berguna untuk pesanan 3 dan ke atas. Idea umum adalah untuk membezakan fungsi M (x) y < displaystyle M (x) y> n < displaystyle n> kali untuk persamaan pembezaan urutan n < displaystyle n> dan menggabungkan istilah seperti. Ini akan menghasilkan persamaan dalam bentuk


Penukaran Unit untuk Kawasan

Kita juga boleh melakukan penukaran unit kawasan, di mana unitnya kuasa dua. Video berikut akan menerangkan bagaimana ini berfungsi.

Faktor penukaran untuk panjang boleh membantu kita membuat faktor penukaran untuk kawasan jika kita memahami bagaimana hubungannya antara satu sama lain.

Apakah hubungan antara ( teks^ <2> : teks: teks^<2>) ?

Mari kita lihat sebuah dataran yang berjarak 1 km dengan 1 km.

Kita tahu bahawa luas petak dijumpai dengan mengalikan panjang & lebar kali.

Luas petak ini ialah (1 : teks: kali : 1 : teks= 1 : teks^<2>) .

Sejak (1 : teks= 1000 : teks), Ini juga sama dengan (1000 : teks: kali : 1000 : teks= 1,000,000 : teks^<2>) .

Oleh itu, dengan dua maklumat ini, kita dapat mengetahui teks (1 : ^ <2> = 1,000,000 : teks^<2>) .

Kita sekarang boleh menggunakan faktor penukaran baru ini untuk menukar antara ( teks^ <2> : teks: teks^<2>) .

Prinsip yang sama berlaku untuk mencari faktor penukaran antara jenis unit persegi yang lain.

Sebagai contoh, kita dapat mencari faktor penukaran antara ( teks^ <2> : teks: teks^ <2> ) dengan cara yang sama.

Satu kaki persegi adalah segi empat sama dengan sisi yang panjangnya 1 kaki.

Oleh kerana 1 kaki = 12 inci, kita juga boleh mengatakan segi empat sama ini ialah 12 inci dengan 12 inci.

Kita tahu bahawa luas petak dijumpai dengan mengalikan ( teks: kali : teks) .

Luas petak ini ialah (1 : teks: kali : 1 : teks= 1 : teks^<2>) .

Oleh itu, dengan dua maklumat ini, kita dapat mengetahui teks (1 : ^ <2> = 144 : teks^<2>) .

Video berikut menunjukkan dan menerangkan contoh penukaran yang lebih rumit antara kawasan yang berbeza. Paling penting untuk diingat bahawa apabila kita menukar antara unit kuasa dua, kita harus menjadualkan faktor penukaran.

Jumpa Mary dan Bill. Mary memiliki sebidang harta tanah yang ingin dibeli oleh Bill.

Mary menggunakan ekar untuk mengukur tanahnya. Dia memiliki tanah yang diukur oleh juru ukur yang mengatakan tanah seluas 0.75 ekar.

Bill menggunakan kilometer persegi untuk mengukur tanah.

Agar Bill dan Mary menyetujui harga tanah, mereka perlu mengetahui ukuran tanah di ( teks^ <2> : teks: teks^<2>) .

Bill tahu bahawa 1 m & # 61 3.281 kaki.

Bill dan Mary bekerjasama untuk mengetahui seberapa besar sebidang tanah ini dalam kilometer persegi atau ( teks^<2>) .

Perkara pertama yang mereka lakukan adalah bermula dengan apa yang mereka tahu. Mereka tahu tanah seluas 0.75 ekar.

Faktor penukaran pertama yang mereka gunakan menukar ekar menjadi kaki persegi atau ( teks^<2>) .

Faktor penukaran seterusnya yang mereka gunakan menukar dari ( teks^ <2> ) ke ( teks^ <2> ). Mereka menemuinya dengan mengkuadratkan faktor penukaran antara kaki dan meter.

Mengkuadarkan pembilang dan penyebut memberi mereka faktor penukaran berikut.

Mencari faktor penukaran dengan cara ini sama dengan mencarinya dengan mengira luas petak dengan dimensi ini. (Berpura-pura gambar di bawah adalah segi empat sama.)

Ini membolehkan mereka menukar dari ( teks^ <2> ) ke ( teks^ <2> ). Tetapi mereka masih perlu mendapatkan ( teks^ <2> ). Syukurlah, Bill mengetahui bahawa 1 km & # 61 1000 m.

Ini membantu mereka mengetahui faktor penukaran antara ( teks^ <2> ) dan ( teks^ <2> ) dengan cara yang sama seperti yang mereka lakukan sebelumnya.

Mereka menggunakan faktor penukaran terakhir ini untuk membatalkan ( teks^ <2> ) dan akhirnya tiba di ( teks^<2>) .

Mereka menggunakan kaedah zig-zag untuk melakukan pengiraan.

Setelah kedua-dua Bill dan Mary tahu betapa besarnya sebidang tanah itu, mereka dapat menyetujui harga yang wajar untuk tanah tersebut.

  1. Luas permukaan bilik tidur kecil adalah teks ((145 : ) teks^ <2> ). Gunakan fakta bahawa 1 kaki & # 61 0,3048 m untuk menukar kawasan ini menjadi ( teks^ <2> ). Bulat ke kesepuluh terdekat.
  2. Luas permukaan setem pos (550 : teks^ <2> ). Gunakan fakta bahawa 10 mm & # 61 1 cm untuk menukar kawasan ini menjadi ( teks^ <2> ). Bulat ke kesepuluh terdekat. ((10 : teks)) ^ <2> = (1 : teks)^<2>)
  3. Luas permukaan meja adalah (1440 : teks^ <2> ). Gunakan fakta bahawa 1 in & # 61 2,54 cm untuk menukar kawasan ini menjadi ( teks^ <2> ). Bulat ke kesepuluh terdekat.
  4. Peternakan besar mempunyai dimensi yang berbentuk segi empat dengan panjang 31 batu dan lebar 26 batu. Cari kawasan peternakan dalam batu persegi ( ( teks^ <2> )) dan kemudian ubah ini menjadi kilometer kuadrat ( ( teks^ <2> )) menggunakan fakta bahawa 1 batu & # 61 1.60934 kilometer. Bulatkan jawapan anda ke nombor bulat terdekat.
  5. Susan tahu bahawa gelanggang tenis mempunyai panjang 78 kaki dan lebar 27 kaki. Dia perlu mengetahui luas permukaan gelanggang di meter persegi ( ( teks^ <2> )). Cari luas permukaan gelanggang tenis dengan kaki persegi ( ( teks^ <2> )), dan kemudian ubah ini menjadi meter kuadrat ( ( teks^ <2> )). Gunakan fakta bahawa 1 halaman & # 61 3 kaki.
  6. Pintu garaj mempunyai keluasan teks (112 : teks^ <2> ). Cari luas permukaan garaj dalam inci persegi ( ( teks^ <2> )) menggunakan fakta bahawa 1 kaki & # 61 12 inci.

Penyelesaian

  • Dalam masalah tersebut, kita diberi 145 ( teks^ <2> ), jadi unit yang kita miliki adalah kaki persegi ( ( teks^<2>) )
  • Masalahnya meminta kita menukar kaki kuadrat ( ( teks^ <2> )) ke meter kuadrat ( ( teks^ <2> )), jadi kami mahu, meter kuadrat ( ( teks^<2>) ).

Teks ( kami)^ <2> ) akan dibatalkan, dan kami boleh menggunakan kaedah zig-zag untuk mencari jawapan kami. (Kira dari kiri ke kanan.)

(145 div 1 kali 0.0929 : teks^ <2> div 1 = 13.5 : teks^<2>)

  • Dalam masalah tersebut, kita diberi teks 550 (^ <2> ), jadi unit yang kita miliki adalah milimeter persegi ( ( teks^<2>) )
  • Masalahnya meminta kita menukar milimeter persegi ( ( teks)^ <2> )) ke sentimeter kuasa dua ( ( teks^ <2> )), jadi kami mahu sentimeter kuadrat ( ( teks^<2>) ).

Teks ( kami)^ <2> ) akan dibatalkan, dan kami dapat menggunakan kaedah zig-zag untuk mencari jawapan kami. (Pastikan untuk mengira dari kiri ke kanan.)

  • Dalam masalah tersebut, kita diberi teks 1440 (^ <2> ), jadi unit yang kita miliki adalah inci kuadrat ( ( teks^<2>) )
  • Masalahnya meminta kita menukar inci persegi ( ( teks)^ <2> )) ke sentimeter kuasa dua ( ( teks^ <2> )), jadi kami mahu sentimeter kuadrat ( ( teks^<2>) ).

Teks ( kami)^ <2> ) akan dibatalkan, dan kami boleh menggunakan kaedah zig-zag untuk mencari jawapan kami.

(1440 div 1 kali 6.4516 : teks^ <2> div 1 = 9290.3 : teks^<2>)

  • Dalam masalah tersebut, kami diberi maklumat untuk mencari kawasan peternakan. Kita tahu bahawa panjangnya 31 batu dan lebarnya 26 batu. Menggandakan panjang & lebar kali, kita mendapat 31 batu & kali 26 mi & # 61 (31 & kali 26) & kali (mi & kali mi) & # 61 806 ( teks^ <2> ), jadi unit yang kita miliki adalah mil persegi ( ( teks^<2>) ).
  • Masalahnya meminta kita menukar batu kuasa dua ( ( teks)^ <2> )) menjadi kilometer kuadrat ( ( teks^ <2> )), jadi kami mahu kilometer kuadrat ( ( teks^<2>) ).

(1 : teks^ <2> = 2.59 : teks^ <2> ) (Ini dibundarkan ke perseratus terdekat.)

Teks ( kami)^ <2> ) akan dibatalkan, dan kami boleh menggunakan kaedah zig-zag untuk mencari jawapan kami, mengira dari kiri ke kanan.

  • Dalam masalah tersebut, kami diberi maklumat untuk mencari luas permukaan gelanggang tenis. Kita tahu bahawa panjangnya 78 kaki dan lebarnya 27 kaki. Mengalikan panjang & lebar kali, kita mempunyai 78 kaki & kali 27 kaki & # 61 (78 & kali 27) & kali (kaki & kali kaki) & # 61 2106 ( teks^ <2> ), jadi unit yang kita miliki adalah kaki persegi ( ( teks^<2>) ).
  • Masalahnya meminta kita menukar kaki kuadrat ( ( teks^ <2> )) menjadi meter kuadrat ( ( teks^ <2> )), jadi kami ingin meter kuadrat ( ( teks^<2>) ).

Teks ( kami)^ <2> ) akan dibatalkan, dan kami boleh menggunakan kaedah zig-zag untuk mencari jawapan kami, mengira dari kiri ke kanan.

  • Dalam masalah tersebut, kita diberi teks 112 (^ <2> ), jadi unit yang kita miliki adalah kaki persegi ( ( teks^<2>) ).
  • Masalahnya meminta kita menukar kaki kuadrat ( ( teks^ <2> )) menjadi inci kuadrat ( ( teks^ <2> )), jadi kami ingin inci persegi ( ( teks^<2>) ).

Teks ( kami)^ <2> ) akan dibatalkan, dan kami boleh menggunakan kaedah zig-zag untuk mencari jawapan kami, mengira dari kiri ke kanan.


Kesepaduan Sistem Pembezaan Polinomial

Bukti

Oleh kerana wujudnya faktor penyatuan terbalik V ditakrifkan dalam U, kita mempunyai medan vektor X /V adalah Hamiltonian di U .. Oleh kerana aliran medan vektor Hamilton memelihara kawasan tersebut dan dalam lingkungan kitaran had aliran tidak memelihara kawasan tersebut, teorinya mengikuti.

Bukti Teorema 8.1

Biarkan C = <C1,…, Cn > menjadi konfigurasi kitaran had yang diberikan dalam pernyataan Teorem 8.1. Untuk setiap keluk utama Cj kami memilih titik hlmj di bahagian dalam komponen yang dibatasi dibatasi oleh Cj. Oleh kerana kita akan bekerja dengan konfigurasi kitaran had yang setara, tanpa kehilangan keluasan, kita dapat menganggapnya

setiap keluk Ci adalah bulatan yang ditakrifkan oleh

lengkung utama konfigurasi C adalah lekuk Cj, dan titik yang dipilih hlmj mempunyai koordinat (xj, yj), untuk j = 1,…, r.

Untuk setiap titik yang dipilih hlmj kita tentukan

Sekarang, kami mempertimbangkan fungsinya

Jelas H ˜ (x, y) adalah fungsi sebenar. Oleh itu, fungsi

Kami mendakwa bahawa medan vektor

memenuhi kesimpulan penyataan (b) Teorem 8.1. Sekarang kita akan membuktikan tuntutannya.

Pertama, kita perhatikan bahawa kita mempunyai persamaan

Oleh itu, sejak H dan ∏ k = 1 n + 2 r f k adalah fungsi sebenar, kami mendapatnya P, Q, dan akibatnya χ adalah nyata.

Jelas, dari definisi χ itu mengikutinya P dan Q adalah polinomial darjah paling banyak n + 2r - 1. Jadi, χ adalah medan vektor polinomial sebenar paling banyak n + 2r - 1.

Dari (72) menunjukkan bahawa V = ∏ k = 1 n + 2 r f k adalah faktor penyatuan polynomial inverse of χ, dan itu H adalah Hamiltonian untuk bidang vektor Hamiltonian

Sejak V adalah polinomial, V ditakrifkan secara keseluruhan ℝ 2. Oleh itu, oleh Teorem 8.2 dan sejak V (x, y) = 0 jika dan hanya jika (x, y) ∈ (∪ i = 1 n C i) ∪

, jika medan vektor χ mempunyai kitaran had, ini mestilah bulatan Ci untuk i = 1,…, n. Sekarang, kita akan membuktikan bahawa semua bulatan ini adalah kitaran had. Oleh itu, medan vektor polinomial χ akan mewujudkan konfigurasi kitaran had <C1,…, Cn > dan teorema akan dibuktikan.

Kami perhatikan bahawa kerana H ˜ = exp (H) adalah kamiran pertama dari medan vektor χ di ℝ2 <V = 0>, bulatan dibentuk oleh penyelesaian kerana terkandung dalam lengkung aras V ˜ = 0, dan V = 0 dibentuk oleh penyelesaian. Sekarang kita akan membuktikannya pada setiap bulatan Ci tidak ada titik tunggal χ dan, oleh itu, Ci akan menjadi orbit berkala. Anggap bahawa (x0, y0) adalah titik tunggal χ yang terkandung dalam bulatan Ci iaitu, P (x0, y0) = Q (x0, y0) = fi (x0, y0) = 0. Dari definisi P dan Q kita ada

Sejak fl (x0, y0) ≠ 0 untuk li, kita memperoleh bahawa ∂ f i ∂ x (x 0, y 0) = 0 dan ∂ f i ∂ y (x 0, y 0) = 0. Oleh itu, intinya (x0, y0) adalah pusat bulatan Ci bertentangan bahawa fi (x0, y0) = 0. Oleh itu, setiap bulatan Ci ialah orbit berkala medan vektor χ. Sekarang, kita akan membuktikannya Ci akan menjadi had kitaran, dan ini akan melengkapkan bukti Teorem 8.1.

Kami perhatikan bahawa semua kalangan Ci dan semua mata hlmj berada di tahap H ˜ (x, y) = 0, dan bahawa mereka adalah orbit unik χ dalam tahap ini. Sekarang anggap itu Ci bukan kitaran had. Kemudian, terdapat orbit berkala γ = <(x (t), y (t)): t ∈ ℝ> berbeza dari C1,…, Cn dan cukup dekat dengan Ci sedemikian dalam komponen yang dibatasi B dibatasi oleh γ terdapat titik yang sama dengan <hlm1,…, hlmr > daripada pada komponen terikat yang dibatasi oleh Ci. Tanpa kehilangan kesamaan kita dapat menganggap bahawa perkara-perkara ini adalah hlm1,…, hlms.

Sebagai γ berbeza dari C1,…, Cn, ada h ≠ 0 sedemikian

di mana θj (t) = arg [(x (t) - xj) + i (y (t) - yj)]. Fungsinya A (x (t), y (t)) B (x (t), y (t)) terikat pada γ. Jelas, sudut θ1 (t),…, θs (t) cenderung semua secara serentak (kerana definisi) kepada + ∞ atau –∞, ketika t → + ∞, sambil sudut θs+1 (t),…, θr (t) tetap terikat bila t → + ∞. Fakta-fakta ini bertentangan dengan persamaan (73). Oleh itu, kami telah membuktikan bahawa Ci adalah kitaran had. Pendek kata, Teorem 8.1 terbukti.


Menggabungkan Faktor dan Integrasi Pertama untuk Jenis Liénard dan Pengayun Berkurang Frekuensi

simetri persamaan memungkinkan penentuan faktor penyatuan atau kamiran pertama dengan menggunakan sistem linear orde pertama yang digabungkan dari persamaan pembezaan separa. Kami akan membandingkan hasil kami dengan hasil yang diperoleh dengan kaedah lain.

1. Pengenalan

Faktor penyatuan dan integrasi pertama adalah alat yang kuat dalam kajian persamaan pembezaan biasa (ODEs). Di kawasan ini, kami melihat banyak kajian. Sebahagian daripadanya disenaraikan dalam [1–8]. Beberapa pengarang memperoleh syarat yang diperlukan dan mencukupi untuk suatu fungsi

menjadi faktor penyatuan ODE pesanan kedua. Sebilangan besar pendekatan mereka bergantung pada fakta bahawa pendaraban fungsi

dengan orde kedua ODE adalah derivatif total, dan oleh itu derivatif variasinya adalah nol. Akibatnya, faktor pengintegrasian dapat ditentukan sebagai penyelesaian sistem linear orde kedua dari persamaan pembezaan separa (PDE). Oleh kerana menyelesaikan sistem ini biasanya merupakan tugas yang lebih sukar daripada menyelesaikan ODE yang asal, banyak kajian telah dilakukan untuk menyiasat kelas khas faktor penyatuan, melalui ansatze khusus untuk

[9]. Sebagai contoh, dalam [10] Anco dan Bluman memperoleh faktor-faktor penyatuan sebagai penyelesaian persamaan adjoint dari persamaan linear dan persamaan tambahan yang menerangkan keadaan invoint-invariance tambahan.

Dalam makalah terbaru mereka, Muriel dan Romero [11, 12] mengemukakan apa yang mereka sebut sebagai algoritma sistematik untuk pembinaan faktor penyatuan bentuk

untuk ODE pesanan kedua. Dengan kaedah baru yang kuat ini, faktor-faktor penyatuan dan gabungan pertama yang berkaitan diperoleh daripada kaedah untuk mengira

-simetri dan algoritma pengurangan yang berkaitan. Di samping itu, pengetahuan mengenai a

-simetri persamaan memungkinkan penentuan faktor penyatuan atau kamiran pertama dengan sistem gandingan sistem urutan pertama PDE yang digabungkan.

The main purpose of this paper is to study integrating factors and first integrals of two important oscillation equations which are Liénard type and frequency-damped oscillation equations by the

-symmetry methods. An interesting feature of our study is that the method of [10] does not produce integrating factors for Liénard type oscillation equation however,

-symmetry methods yield integrating factor and first integral. Moreover, we obtain new integrating factor by

-symmetry methods different from that which is previously derived by [10] for frequency-damped oscillation equation.

The paper is structured thusly. In Section 2, we present the necessary preliminaries. This section is devoted to integrating factors and the associated first integrals which are derived from the method to compute

-symmetries and the associated reduction algorithm. In addition, we introduce Anco and Bluman's method [10].

-symmetries, integrating factors, first integrals for Liénard type, and frequency-damped oscillator equations. In addition, we make comparisons between two methods which are pointed out briefly above. The final section includes some conclusions.

2. Necessary Preliminaries

We first present notation to be used and recall the definitions and theorems that appear in [10, 11].

th-order ordinary differential equation

denotes the corresponding

-jet space, and the elements of

Suppose that (2.1) admits an integrating factor,

converts the left-hand side of (2.1) into the total derivative of some function

-symmetry, and the trivial reduction of order

, appears as a consequence of the reduction algorithm associated to that

is any solution of the partial differential equation

is an analytic function of its arguments in some open subset

, and it appears when (2.1) is locally written in explicit form.

Theorem 2.1 (see [12]). Assume that (2.1) is an

th-order ordinary differential equation that admits an integrating factor

is any particular solution of (2.3), then the vector field

An algorithm to obtain an integrating factor (or first integral) of a given ODE once a

-symmetry is known has been derived in [12]. For second-order equations, the method reads as follows.

, the corresponding second-order ODEs can be written in explicit form as

the vector field associated with (2.4). In terms of

, a first integral of (2.4) is any function

is a first-order invariant of

, that is, any particular solution of the equation

The reduction process associated to the

gives a first-order reduced equation of the form

, the general solution of which is implicitly given by an equation of the form

is an equivalent form of (2.4). Oleh itu,

is an integrating factor of (2.4).

For second-order ODEs, there is a correspondence between

-symmetries and first integrals in the sense of Theorem 2 in [11].

is a first integral of (2.4), then the vector field

-symmetry of (2.4) for some function

, then there exists a first integral

is a first integral of (2.4), then

is an integrating factor of (2.4) and

is also a first integral of

is compatible that is, when

-symmetry, we know that system (2.7) is compatible. Therefore, system (2.7) could be used to obtain through a line integral a first integral of (2.4) associated with

Similarly, for second-order ODEs, there is a correspondence between integrating factors and Lie point symmetries in the sense of Theorem 7 in [11].

is a Lie point symmetry of (2.4) and

is its characteristic, then

, and any solution of the first-order linear system

is an integrating factor of (2.4).

Now, we briefly summarize the approach which is presented in [10].

The linearized ODE for (2.4) is given by

and the corresponding adjoint ODE is

satisfying the second-order ODE (2.4), are the adjoint symmetries of (2.4). The adjoint invariance conditions for

to be an integrating factor of (2.4) are

Equations (2.11)-(2.12) must hold for arbitrary values of

-Symmetries, Integrating Factors, and First Integrals

3.1. Liénard Type Oscillator Equation

Liénard type nonlinear oscillators of the form

and their generalizations are widely used in applications in the context of nonlinear oscillations [14–18].

is any particular solution to the following equation:

. Therefore, we obtain the following equation:

For the sake of simplicity, we try to find a solution

. This ansatz leads to the following system:

A particular solution of the second equation is given by

. The first and third equations become

The general solution of the first equation is given by

. Since the last equation becomes

In order to find an integrating factor associated to

, we must find a first-order invariant

. The equation that corresponds to (2.5) is

is a solution of (3.7). In terms of

, the general solution of which is given by

According to (2.6), an integrating factor is given by

We observe that the method we have followed not only provides the integrating factor but also gives the conserved form of the equation without additional computation. The conserved form of the resulting equation is given by

We note that (3.1) is a particular case of a family of equations

appearing in [19]. Muriel and Romero in that reference suggest a well-defined algorithm through general Sundman transformations for the class of nonlinear second-order ODEs. They propose considering the problem of linearization through nonlocal transformations from the point of the

-symmetries admitted by the equation and their associated first integrals. In our study without considering nonlocal transformations, integrating factors and the associated first integrals are derived from the method to compute

-symmetries and the associated reduction algorithm. Moreover, our results (3.8) and (3.9) are compatible with the results obtained in [19].

Now, we try to obtain the integrating factor of (3.1) with the method of [10]. The ODE (3.1) is not self-adjoint, so that its adjoint symmetries are not symmetries.

Here, the adjoint symmetry determining equation (2.11) for

The extra adjoint-invariance determining equation (2.12) becomes

If we consider the special case

Seperating by monomials, that is,

are a more difficult task than solving the original ODE.

3.2. Frequency-Damped Oscillator Equation

We consider the frequency-damped oscillator equation

studied by Gordon [20], Sarlet et al. [21], and Mimura and Nono [22].

is a Lie point symmetry of (3.15). The vector field associated with (3.15) is

and the characteristic of

. The corresponding second equation of (2.8) becomes

The solution of (3.17) can be obtained by the characteristic method of Lagrange

is an arbitrary function of

must also satisfy the first equation in (2.8),

is an integrating factor of (3.15), where

In order to find a first integral

, we must solve the system that corresponds to (2.7). If, for example, we choose

, then we get the particular integrating factor

The above integrating factor is different from the previously derived integrating factors for (3.15) by Anco and Bluman [10].

Integrating factor (3.21) of (3.15), the corresponding system, (2.7), becomes

By evaluating the corresponding line integral, we get the general solution of (3.22) and a class of first integrals of (3.15),

We note that (3.15) is a particular case of a family of equations

appearing in [23]. The authors characterized the (3.24) that admits first integrals of the form

through an easy-to-check criterion expressed in terms of functions

given by (3.3) and (3.4)–(3.6) in [23]. We could obtained our results (3.21) and (3.23) using this novel approach. Moreover, (3.15) was studied by the same authors from the point of view of linearizations through local and nonlocal transformations in [24]. Our results (3.21) and (3.23) are compatible with the results obtained in [24].

4. Conclusions

In this paper, we derived integrating factors and first integrals for Liénard type and frequency-damped oscillator equations by

-symmetry approach. Daripada

-symmetry and the associated algorithm of reduction, the integrating factor (3.8) and the associated first integral (3.9) were derived for Liénard type equation. We also show the difficulties to get integrating factors for Liénard type equation by the other methods.

-symmetry of the equation permits the determination of an integrating factor or a first integral by means of coupled first-order linear systems (2.8) of partial differential equations. Solving this system, we obtain the integrating factor (3.21) and the associated first integral (3.23) for frequency-damped oscillator equation (3.15).

Acknowledgment

The author would like to thank the reviewers for their comments that helped improve the manuscript.

Rujukan

  1. N. H. Ibragimov, A Practical Course in Differential Equations and Mathematical Modelling, ALGA Publications, Karlskrona, Sweden, 2006. View at: Zentralblatt MATH
  2. G. W. Bluman and S. C. Anco, Symmetry and Integration Methods for Differential Equations, jilid 154 of Applied Mathematical Sciences, Springer, New York, NY, USA, 2002. View at: Zentralblatt MATH
  3. N. H. Ibragimov, “Integrating factors, adjoint equations and Lagrangians,” Journal of Mathematical Analysis and Applications, jilid 318, no. 2, pp. 742–757, 2006. View at: Publisher Site | Google Scholar | Zentralblatt MATH | MathSciNet
  4. N. H. Ibragimov, “Classical and new results on integrating factors,” Archives of ALGA, jilid 5, pp. 121–124, 2008. View at: Google Scholar
  5. K. Gehrs, “Integrating factors of some classes of third-order ODEs,” Applied Mathematics Letters, jilid 21, no. 7, pp. 748–753, 2008. View at: Publisher Site | Google Scholar | Zentralblatt MATH
  6. Y. Hu and X. Yang, “A method for obtaining first integrals and integrating factors of autonomous systems and application to Euler-Poisson equations,” Reports on Mathematical Physics, jilid 58, no. 1, pp. 41–50, 2006. View at: Publisher Site | Google Scholar | Zentralblatt MATH | MathSciNet
  7. P. G. L. Leach and S. Bouquet, “Symmetries and integrating factors,” Journal of Nonlinear Mathematical Physics, jilid 9, no. 2, pp. 73–91, 2002. View at: Publisher Site | Google Scholar | MathSciNet
  8. S. Moyo and P. G. L. Leach, “Symmetry properties of autonomous integrating factors,” SIGMA. Symmetry, Integrability and Geometry. Methods and Applications, jilid 1, Article ID 024, 12 pages, 2005. View at: Publisher Site | Google Scholar | Zentralblatt MATH
  9. E. S. Cheb-Terrab and A. D. Roche, “Integrating factors for second-order ODEs,” Journal of Symbolic Computation, jilid 27, no. 5, pp. 501–519, 1999. View at: Publisher Site | Google Scholar | Zentralblatt MATH | MathSciNet
  10. S. C. Anco and G. Bluman, “Integrating factors and first integrals for ordinary differential equations,” European Journal of Applied Mathematics, jilid 9, no. 3, pp. 245–259, 1998. View at: Publisher Site | Google Scholar | Zentralblatt MATH | MathSciNet
  11. C. Muriel and J. L. Romero, “First integrals, integrating factors and λ-symmetries of second-order differential equations,” Journal of Physics A, jilid 42, no. 36, Article ID 365207, 17 pages, 2009. View at: Publisher Site | Google Scholar
  12. C. Muriel and J. L. Romero, “Integrating factors and λ-symmetries,” Journal of Nonlinear Mathematical Physics, jilid 15, no. 3, pp. 300–309, 2008. View at: Publisher Site | Google Scholar
  13. C. Muriel and J. L. Romero, “ C ∞ -symmetries and reduction of equations without Lie point symmetries,” Journal of Lie Theory, jilid 13, no. 1, pp. 167–188, 2003. View at: Google Scholar | Zentralblatt MATH
  14. V. K. Chandrasekar, M. Senthilvelan, and M. Lakshmanan, “Unusual Liénard-type nonlinear oscillator,” Physical Review E, jilid 72, no. 6, Article ID 066203, 8 pages, 2005. View at: Publisher Site | Google Scholar
  15. V. K. Chandrasekar, M. Senthilvelan, and M. Lakshmanan, “A nonlinear oscillator with unusual dynamical properties,” in Proceedings of the 3rd National Conference on Nonlinear Systems and Dynamics (NCNSD '06), pp. 1–4, Allied Publishers, Chennai, India, 2006. View at: Google Scholar
  16. V. K. Chandrasekar, M. Senthilvelan, and M. Lakshmanan, “On the complete integrability and linearization of certain second-order nonlinear ordinary differential equations,” Proceedings of the Royal Society A, jilid 461, no. 2060, pp. 2451–2476, 2005. View at: Publisher Site | Google Scholar | Zentralblatt MATH | MathSciNet
  17. V. K. Chandrasekar, S. N. Pandey, M. Senthilvelan, and M. Lakshmanan, “A simple and unified approach to identify integrable nonlinear oscillators and systems,” Journal of Mathematical Physics, jilid 47, no. 2, Article ID 023508, 2006. View at: Publisher Site | Google Scholar | Zentralblatt MATH | MathSciNet
  18. V. K. Chandrasekar, M. Senthilvelan, A. Kundu, and M. Lakshmanan, “A nonlocal connection between certain linear and nonlinear ordinary differential equations/oscillators,” Journal of Physics A, jilid 39, no. 31, pp. 9743–9754, 2006. View at: Publisher Site | Google Scholar | Zentralblatt MATH | MathSciNet
  19. C. Muriel and J. L. Romero, “Symmetries and linerization of ordinary differential equations through nonlocal transformations,” in Proceedings of the 3rd Conference on Nonlinear Science and Complexity, pp. 88–92, Ankara, Turkey, 2010. View at: Google Scholar
  20. T. J. Gordon, “On the symmetries and invariants of the harmonic oscillator,” Journal of Physics A, jilid 19, no. 2, pp. 183–189, 1986. View at: Publisher Site | Google Scholar
  21. W. Sarlet, F. Cantrijn, and M. Crampin, “Pseudo-symmetries, Noether's theorem and the adjoint equation,” Journal of Physics A, jilid 20, no. 6, pp. 1365–1376, 1987. View at: Publisher Site | Google Scholar
  22. F. Mimura and T. Nono, “A new conservation law for a system of second-order differential equations,” Bulletin of the Kyushu Institute of Technology. Mathematics, Natural Science, no. 41, pp. 1–10, 1994. View at: Google Scholar | Zentralblatt MATH
  23. C. Muriel and J. L. Romero, “Second-order ordinary differential equations and first integrals of the form A ( t , x ) x ˙ + B ( t , x ) ,” Journal of Nonlinear Mathematical Physics, jilid 16, pp. 209–222, 2009. View at: Google Scholar
  24. C. Muriel and J. L. Romero, “Nonlocal transformations and linearization of second-order ordinary differential equations,” Journal of Physics A, jilid 43, no. 43, Article ID 434025, 2010. View at: Publisher Site | Google Scholar

Hak cipta

Copyright © 2011 Emrullah Yaᗺr. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.


Integrating Factor Technique

an exact one. The function u ( x , y ) (if it exists) is called the integrating factor . Note that u ( x , y ) satisfies the following equation:

This is not an ordinary differential equation since it involves more than one variable. This is what's called a partial differential equation. These types of equations are very difficult to solve, which explains why the determination of the integrating factor is extremely difficult except for the following two special cases: Case 1: There exists an integrating factor u ( x ) function of x only. This happens if the expression

is a function of x only, that is, the variable y disappears from the expression. In this case, the function u is given by

Case 2: There exists an integrating factor u ( y ) function of y only. This happens if the expression

is a function of y only, that is, the variable x disappears from the expression. In this case, the function u is given by

Once the integrating factor is found, multiply the old equation by u to get a new one which is exact. Then you are left to use the previous technique to solve the new equation.
Advice: if you are not pressured by time, check that the new equation is in fact exact!

Let us summarize the above technique. Consider the equation

If your equation is not given in this form you should rewrite it first. Step 1 : Check for exactness, that is, compute

then compare them.
Step 2 : Assume that the equation is not exact (if it is exact go to step ?). Then evaluate

If this expression is a function of x only, then go to step 3. Otherwise, evaluate

If this expression is a function of y only, then go to step 3. Otherwise, you can not solve the equation using the technique developped above!
Step 3 : Find the integrating factor. We have two cases: 3.1 If the expression is a function of x only. Then an integrating factor is given by

3.2 If the expression is a function of y only, then an integrating factor is given by

Step 4 : Multiply the old equation by u , and, if you can, check that you have a new equation which is exact.
Step 5 : Solve the new equation using the steps described in the previous section.

The following example illustrates the use of the integrating factor technique:


Wawasan Matematik

A first order linear ordinary differential equation (ODE) is an ODE for a function, call it $x(t)$, that is linear in both $x(t)$ and its first order derivative $diff(t)$. An example of such a linear ODE is egin diff + t^3x(t)=cos t. akhir Although this ODE is nonlinear in the independent variable $t$, it is still considered a linear ODE, since we only care about the dependence of the equation on $x$ and its derivative. As you will see, we easily handle nonlinearities in $t$. Such nonlinearities may result in integrals that cannot be computed analytically, but we will consider a differential equation &ldquosolved&rdquo if we can write $x(t)$ as an expression containing just integrals of functions of $t$.

As background, recall one of the simplest types of ODEs mentioned in the introductory page. If we have an equation such as $diff = t^2,$ we can quickly solve it by integration. This equation is so simple because the left hand side is just a derivative with respect to $t$ and the right hand side is just a function of $t$. We can solve by integrating both sides with respect to $t$ to get that $x(t)=frac <3>+ C$.

An initial example

Let's make the equation slightly more complicated, adding an extra $x$ to make it egin diff + x(t)=t^2. label ag <1>end Adding that little term would seem innocuous, but it ruined the perfect situation we had with the previous equation. The right hand side is still a function of $t$ alone, but the left hand side is no longer a derivative with respect to $t$. We can't just integrate the left hand side, as we don't know how to compute egin int left(diff + x(t) ight)dt. akhir

If we could somehow return the left hand side into the derivative of an expression with respect to $t$ (while keeping the right hand side a function of $t$ alone), we could restore the perfect situation of the earlier equation and could solve the ODE by integrating with respect to $t$.

The trick is to find a way to manipulate $diff + x(t)$ into a derivative of some expression. The term $x(t)$ simply is not the derivative of any algebraic function of $x(t)$. However, the product rule is a useful tool in this situation, since in the derivative of a product, each factor is untouched in one of the terms. If we multiply $x(t)$ by some factor $mu(t)$ and differentiate, we obtain egin diff<>(mu(t)x(t)) = mu(t)diff + diffx(t). akhir That's looking closer to what we need. In fact, if we multiply both sides of the ODE of eqref by $mu(t)$, the ODE becomes egin mu(t)diff + mu(t)x(t)=mu(t)t^2. label ag <2>end

We are so close to turning the left hand side into the derivative of a product. If only the coefficient of $x(t)$ were $diff$ rather than $mu(t)$! Then, the left hand side of equation eqref would indeed be the derivative of $mu(t)x(t)$, and we could solve the ODE by integration.

Fortunately, we are free to choose whatever $mu(t)$ we want. Why not choose $mu(t)$ to make everything work out perfectly? We could let $mu(t)$ be a function that lets us switch $mu(t)$ with $diff$. In other words, we could let $mu(t)$ be the solution to the ODE egin diff = mu(t). label ag <3>end

We can easily solve the ODE of eqref for $mu$. In fact, it's a special case of the linear ODE of equation (3) from the ODE introduction, with $a=1$ and $b=0$. Using the solution from equation (4) of that page, we calculate that $mu(t) = C_1e^t,$ where $C_1$ is an arbitrary constant.

For this choice of $mu$, we can exchange $mu$ with the equivalent expression $diff$, and the left hand side of equation eqref is indeed the derivative of $mu(t)x(t)$. We can rewrite the equation as egin diff<>(C_1e^tx(t))=C_1e^tt^2. akhir

It is immediately obvious that we don't care about the integration constant $C_1$, as we can cancel it from both sides of the equation. The reason $C_1$ doesn't matter is that we just need any factor $mu(t)$ that satisfies equation eqref in order to make the left hand side of equation eqref be the derivative of $mu(t)x(t)$. The expression for $mu(t)$ is one of the few cases where we can ignore the constant of integration, and we can safely define $mu(t)=e^t.$

The new version of our ODE is egin diff<>(e^tx(t))=e^tt^2. label ag <4>end Finally we have transformed the ODE of eqref to the simple form we desired. The left hand side of equation eqref is a derivative with respect to $t$ and the right hand side is a function of $t$ alone. We can find the solution by integrating with respect to $t$: egin int diff<>(e^tx(t)) dt &= int e^tt^2 dt + C e^t x(t) &= e^t (2 - 2 t + t^2) +C. akhir

In this case, the integral $int e^tt^2 dt$ was simple enough that we could calculate the result analytically by integrating by parts two times to obtain $e^t (2 - 2 t + t^2)$. Even if we ended up with an integral that we couldn't compute, we would still consider the ODE to be solved, leaving the solution in terms of an integral.

Dividing through by $e^t$, we obtain the general form for the solution of eqref bermula x(t) &=2 - 2 t + t^2 +Ce^<-t>, label ag <5>end where the constant $C$, as usual, must be determined from initial conditions.

To verify this solution, we differentiate equation eqref $diff =- 2 + 2t -Ce^<-t>$ and add $x(t)$ to both sides egin diff +x(t) &=- 2 + 2t -Ce^ <-t>+ (2- 2 t + t^2 +Ce^<-t>) &= t^2. akhir The solution does satisfy equation eqref.

Since multiplying the ODE by the factor $mu(t)$ allowed us to integrate the equation, we refer to $mu(t)$ as an integrating factor.

General first order linear ODE

We can use an integrating factor $mu(t)$ to solve any first order linear ODE. Recall that such an ODE is linear in the function and its first derivative. The general form for a first order linear ODE in $x(t)$ is egin diff + p(t)x(t)=q(t). label ag <6>end (If an ODE has a function of $t$ multiplying $diff$, you can divide through by the function to put it into this form, assuming the function is never zero.)

We repeat the above procedure in order to turn the left hand side of equation eqref into a derivative of $t$. Multiplying by an integrating factor $mu(t)$, the ODE becomes egin mu(t)diff + mu(t)p(t)x(t)=mu(t)q(t). label ag <7>end The left hand side of equation eqref would be the derivative of $mu(t)x(t)$ $diff<>(mu(t)x(t)) = mu(t)diff + diffx(t)$ if we could exchange $diff$ with $mu(t)p(t)$. The only difference from the first example is the presence of function $p(t)$.

The integrating factor $mu(t)$ must satisfy the equation egin diff = p(t)mu(t). label ag <8>end This equation is similar to equation (3) from the ODE introduction, except we have a time varying coefficient $p(t)$. It can be solved in a similar manner, as follows.

If we divide equation eqref by $mu(t)$, the left hand side becomes $displaystylefrac<1>diff = diff<> log |mu(t)|$. We can transform equation eqref into egin diff<> log |mu(t)| = p(t), end which is easily solved by integrating egin int diff<> log |mu(t)| dt&= int p(t)dt log |mu(t)| &= int p(t)dt + C_2. akhir Exponentiating both sides and simplifying, we obtain egin |mu(t)| &= e^ mu(t) &= pm e^ e^ mu(t) &= C_3 e^ end where $C_3=pm e^$ is just another constant. As before, we can ignore the constant $C_3$, or set $C_3=1$, as we just need any integrating factor $mu(t)$ that satisfies eqref. We let egin mu(t) = e^. label ag <9>end

With the integrating factor in hand, solving the ODE of eqref is simply a matter of integrating. If we plug the integrating factor into equation eqref, we have succeeded in transforming the left hand side into the derivative of $mu(t)x(t)$: egin diff<> left(e^ x(t) ight) =e^q(t). label ag <10>end

The left hand side of equation eqref is a derivative and the right hand side is a function of $t$. There is nothing more to do other than integrating the equation. For completeness, we'll go ahead and do this integration, though it's probably not worthwhile memorizing the resulting equation: egin int diff<> left(e^ x(t) ight) dt &=int e^q(t) dt + C e^ x(t) &= int e^q(t) dt+C x(t) &= fracq(t) dt +C>>. akhir The equation looks fairly ugly, though we can make it simpler by writing it in terms of the integrating factor $mu(t)$ egin x(t) &= frac otag mu(t) &= e^. label ag <11>end

Rather than trying to memorize equation eqref, you may be better off just memorizing the solution eqref for the integrating factor. With $mu(t)$ in hand and knowledge that multiplying by $mu(t)$ puts the ode in the nice form of equation eqref, you can then integrate equation eqref for any specific equation to get the solution.

Of course, for any functions $p(t)$ and $q(t)$, one may not be able to analytically compute the integrals for the solution of the first order linear ordinary differnetial equation eqref. Even so, we consider the ODE solved if the solution is just in terms of integrals of $t$.

Some examples may help you better understand how to use integrating factors.


Complete the problem sets:

Ini adalah salah satu daripada lebih daripada 2,400 kursus di OCW. Terokai bahan untuk kursus ini di halaman yang dipautkan di sebelah kiri.

MIT OpenCourseWare adalah penerbitan bahan percuma & terbuka dari beribu-ribu kursus MIT, yang merangkumi keseluruhan kurikulum MIT.

Tiada pendaftaran atau pendaftaran. Jelajah dan gunakan bahan OCW secara bebas mengikut kadar anda sendiri. Tidak ada pendaftaran, dan tidak ada tarikh mula atau akhir.

Ilmu adalah ganjaran anda. Gunakan OCW untuk membimbing pembelajaran sepanjang hayat anda sendiri, atau untuk mengajar orang lain. Kami tidak menawarkan kredit atau pensijilan untuk menggunakan OCW.

Dibuat untuk berkongsi. Muat turun fail untuk kemudian. Hantar kepada rakan dan rakan sekerja. Ubah, remix, dan gunakan semula (ingat untuk menyebut OCW sebagai sumbernya.)


Tonton videonya: BELAJAR FIZIK DI YOUTUBE - FORCE DAYA (Disember 2021).