Artikel

2.5: Persamaan Tepat - Matematik


Dalam bahagian ini adalah mudah untuk menulis persamaan pembezaan urutan pertama dalam bentuk

[ label {eq: 2.5.1} M (x, y) , dx + N (x, y) , dy = 0. ]

Persamaan ini dapat ditafsirkan sebagai

[ label {eq: 2.5.2} M (x, y) + N (x, y) , {dy over dx} = 0, ]

di mana (x ) adalah pemboleh ubah bebas dan (y ) adalah pemboleh ubah bersandar, atau sebagai

[ label {eq: 2.5.3} M (x, y) , {dx over dy} + N (x, y) = 0, ]

di mana (y ) adalah pemboleh ubah tidak bersandar dan (x ) adalah pemboleh ubah bersandar. Oleh kerana penyelesaian Persamaan ref {eq: 2.5.2} dan Persamaan ref {eq: 2.5.3} selalunya harus ditinggalkan dalam bentuk tersirat, kita akan mengatakan bahawa (F (x, y) = c ) adalah penyelesaian tersirat dari Persamaan ref {eq: 2.5.1} jika setiap fungsi yang dapat dibezakan (y = y (x) ) yang memenuhi (F (x, y) = c ) adalah penyelesaian Persamaan ref {eq: 2.5.2} dan setiap fungsi yang dapat dibezakan (x = x (y) ) yang memenuhi (F (x, y) = c ) adalah penyelesaian Persamaan ref {eq: 2.5.3}

Berikut adalah beberapa contoh:

Jadual ( PageIndex {1} ): Contoh Persamaan Pembezaan Tepat dalam tiga bentuk
Persamaan ref {eq: 2.5.1}Persamaan ref {eq: 2.5.2}Persamaan ref {eq: 2.5.3}
(3x ^ 2y ^ 2 , dx + 2x ^ 3y , dy = 0 ) (3x ^ 2y ^ 2 + 2x ^ 3y , {dy over dx} = 0 ) (3x ^ 2y ^ 2 , {dx over dy} + 2x ^ 3y = 0 )
((x ^ 2 + y ^ 2) , dx + 2xy , dy = 0 ) ((x ^ 2 + y ^ 2) + 2xy , {dy over dx} = 0 ) ((x ^ 2 + y ^ 2) , {dx over dy} + 2xy = 0 )
(3y sin x , dx-2xy cos x , dy = 0 ) (3y sin x-2xy cos x , {dy over dx} = 0 ) (3y sin x , {dx over dy} -2xy cos x = 0 )

Perhatikan bahawa persamaan yang dapat dipisahkan boleh ditulis sebagai Persamaan ref {eq: 2.5.1} sebagai

[M (x) , dx + N (y) , dy = 0. nombor ]

kami akan mengembangkan kaedah untuk menyelesaikan Persamaan ref {eq: 2.5.1} di bawah andaian yang sesuai pada (M ) dan (N ). Kaedah ini adalah lanjutan dari kaedah pemisahan pemboleh ubah. Sebelum menyatakannya, kita mempertimbangkan satu contoh.

Contoh ( PageIndex {1} )

Tunjukkan bahawa

[ label {eq: 2.5.4} x ^ 4y ^ 3 + x ^ 2y ^ 5 + 2xy = c ]

adalah penyelesaian tersirat dari

[ label {eq: 2.5.5} (4x ^ 3y ^ 3 + 2xy ^ 5 + 2y) , dx + (3x ^ 4y ^ 2 + 5x ^ 2y ^ 4 + 2x) , dy = 0. ]

Penyelesaian

Mengenai (y ) sebagai fungsi (x ) dan membezakan Persamaan ref {eq: 2.5.4} secara implisit berkenaan dengan hasil (x )

[(4x ^ 3y ^ 3 + 2xy ^ 5 + 2y) + (3x ^ 4y ^ 2 + 5x ^ 2y ^ 4 + 2x) , {dy over dx} = 0. nombor ]

Begitu juga, mengenai (x ) sebagai fungsi (y ) dan membezakan Persamaan ref {eq: 2.5.4} secara implisit berkenaan dengan hasil (y )

[(4x ^ 3y ^ 3 + 2xy ^ 5 + 2y) {dx over dy} + (3x ^ 4y ^ 2 + 5x ^ 2y ^ 4 + 2x) = 0. nombor ]

Oleh itu Persamaan ref {eq: 2.5.4} adalah penyelesaian tersirat dari Persamaan ref {eq: 2.5.5} dalam salah satu daripada dua kemungkinan penafsirannya.

Anda mungkin menganggap Contoh ( PageIndex {1} ) tidak berguna, kerana membuat persamaan pembezaan yang mempunyai penyelesaian tersirat tidak begitu menarik. Namun, ini menggambarkan teorema penting seterusnya, yang akan kita buktikan dengan menggunakan pembezaan tersirat, seperti dalam Contoh ( PageIndex {1} ).

Teorema ( PageIndex {1} )

Sekiranya (F = F (x, y) ) mempunyai turunan separa berterusan (F_x ) dan (F_y ), maka

[ label {eq: 2.5.6} F (x, y) = c ]

(dengan (c ) sebagai pemalar) adalah penyelesaian tersirat dari persamaan pembezaan

[ label {eq: 2.5.7} F_x (x, y) , dx + F_y (x, y) , dy = 0. ]

Bukti

Mengenai (y ) sebagai fungsi (x ) dan membezakan Persamaan ref {eq: 2.5.6} secara implisit berkenaan dengan hasil (x )

[F_x (x, y) + F_y (x, y) , {dy over dx} = 0. nombor ]

Sebaliknya, mengenai (x ) sebagai fungsi (y ) dan membezakan Persamaan ref {eq: 2.5.6} secara implisit sehubungan dengan hasil (y )

[F_x (x, y) , {dx over dy} + F_y (x, y) = 0. nombor ]

Oleh itu, Persamaan ref {eq: 2.5.6} adalah penyelesaian tersirat dari Persamaan ref {eq: 2.5.7} dalam salah satu daripada dua kemungkinan penafsirannya.

Kami akan mengatakan bahawa persamaan

[ label {eq: 2.5.8} M (x, y) , dx + N (x, y) , dy = 0 ]

adalah tepat pada segiempat terbuka (R ) jika ada fungsi (F = F (x, y) ) seperti (F_x ) dan (F_y ) berterusan, dan

[ label {eq: 2.5.9} F_x (x, y) = M (x, y) quad text {dan} quad F_y (x, y) = N (x, y) ]

untuk semua ((x, y) ) di (R ). Penggunaan "tepat" ini terkait dengan penggunaannya dalam kalkulus, di mana ungkapan

[F_x (x, y) , dx + F_y (x, y) , dy bukan nombor ]

(diperoleh dengan menggantikan Persamaan ref {eq: 2.5.9} ke sebelah kiri Persamaan ref {eq: 2.5.8}) adalah pembezaan tepat bagi (F ).

Contoh ( PageIndex {1} ) menunjukkan bahawa mudah untuk menyelesaikan Persamaan ref {eq: 2.5.8} jika tepat dan kita tahu fungsi (F ) yang memenuhi Persamaan ref {eq: 2.5.9}. Soalan penting adalah:

  • Soalan 1. Diberi persamaan Persamaan ref {eq: 2.5.8}, bagaimana kita dapat menentukan sama ada tepat?
  • Soalan 2. Sekiranya Persamaan ref {eq: 2.5.8} tepat, bagaimana kita dapati fungsi (F ) memuaskan Persamaan ref {eq: 2.5.9}?

Untuk mengetahui jawapan untuk Soalan 1, anggap ada fungsi (F ) yang memenuhi Persamaan ref {eq: 2.5.9} pada beberapa persegi panjang terbuka (R ), dan di samping itu (F ) mempunyai terbitan separa campuran berterusan (F_ {xy} ) dan (F_ {yx} ). Kemudian teorema dari kalkulus menunjukkan bahawa [ label {eq: 2.5.10} F_ {xy} = F_ {yx}. ] Jika (F_x = M ) dan (F_y = N ), membezakan yang pertama persamaan ini berkenaan dengan (y ) dan yang kedua berkenaan dengan hasil (x )

[ label {eq: 2.5.11} F_ {xy} = M_y quad text {dan} quad F_ {yx} = N_x. ]

Dari Persamaan ref {eq: 2.5.10} dan Persamaan ref {eq: 2.5.11}, kami menyimpulkan bahawa syarat yang diperlukan untuk ketepatan ialah (M_y = N_x ). Ini mendorong teorema seterusnya, yang kita nyatakan tanpa bukti.

Teorema ( PageIndex {2} ): Keadaan Ketepatan

Katakan (M ) dan (N ) adalah berterusan dan mempunyai terbitan separa berterusan (M_y ) dan (N_x ) pada segiempat terbuka (R. ) Kemudian

[M (x, y) , dx + N (x, y) , dy = 0 bukan nombor ]

tepat pada (R ) jika dan hanya jika

[ label {eq: 2.5.12} M_y (x, y) = N_x (x, y) ]

untuk semua ((x, y) ) di (R. ).

Untuk membantu anda mengingat keadaan ketepatan, perhatikan bahawa pekali (dx ) dan (dy ) dibezakan dalam Persamaan ref {eq: 2.5.12} berkenaan dengan pemboleh ubah "berlawanan"; iaitu, pekali (dx ) dibezakan sehubungan dengan (y ), sementara pekali (dy ) dibezakan sehubungan dengan (x ).

Contoh ( PageIndex {2} )

Tunjukkan bahawa persamaan

[3x ^ 2y , dx + 4x ^ 3 , dy = 0 bukan nombor ]

tidak tepat pada segi empat terbuka.

Penyelesaian

Di sini

[M (x, y) = 3x ^ 2y quad text {dan} quad N (x, y) = 4x ^ 3 nonumber ]

begitu

[M_y (x, y) = 3x ^ 2 quad text {dan} N_x (x, y) = 12 x ^ 2. nombor ]

Oleh itu (M_y = N_x ) pada baris (x = 0 ), tetapi tidak pada segiempat terbuka, jadi tidak ada fungsi (F ) sehingga (F_x (x, y) = M (x, y) ) dan (F_y (x, y) = N (x, y) ) untuk semua ((x, y) ) pada sebarang segiempat terbuka.

Contoh seterusnya menggambarkan dua kaedah yang mungkin untuk mencari fungsi (F ) yang memenuhi syarat (F_x = M ) dan (F_y = N ) jika (M , dx + N , dy = 0 ) tepat.

Contoh ( PageIndex {3} )

Selesaikan

[ label {eq: 2.5.13} (4x ^ 3y ^ 3 + 3x ^ 2) , dx + (3x ^ 4y ^ 2 + 6y ^ 2) , dy = 0. ]

Penyelesaian (Kaedah 1)

Di sini [M (x, y) = 4x ^ 3y ^ 3 + 3x ^ 2, quad N (x, y) = 3x ^ 4y ^ 2 + 6y ^ 2, nonumber ] dan [M_y (x, y) = N_x (x, y) = 12 x ^ 3y ^ 2 nonumber ] untuk semua ((x, y) ). Oleh itu Teorema ( PageIndex {2} ) menyiratkan bahawa ada fungsi (F ) sedemikian rupa sehingga

[ label {eq: 2.5.14} F_x (x, y) = M (x, y) = 4x ^ 3y ^ 3 + 3x ^ 2 ]

dan

[ label {eq: 2.5.15} F_y (x, y) = N (x, y) = 3x ^ 4y ^ 2 + 6y ^ 2 ]

untuk semua ((x, y) ). Untuk mencari (F ), kami mengintegrasikan Persamaan ref {eq: 2.5.14} berkenaan dengan (x ) untuk mendapatkan

[ label {eq: 2.5.16} F (x, y) = x ^ 4y ^ 3 + x ^ 3 + phi (y), ]

di mana ( phi (y) ) adalah "pemalar" integrasi. (Di sini ( phi ) adalah "malar" kerana ia bebas dari (x ), pemboleh ubah integrasi.) Jika ( phi ) ada fungsi yang berbeza dari (y ) maka ( F ) memenuhi Persamaan ref {eq: 2.5.14}. Untuk menentukan ( phi ) sehingga (F ) juga memenuhi Persamaan ref {eq: 2.5.15}, andaikan bahawa ( phi ) dapat dibezakan dan dibezakan (F ) berkenaan dengan ( y ). Ini menghasilkan

[F_y (x, y) = 3x ^ 4y ^ 2 + phi '(y). nombor ]

Membandingkannya dengan Persamaan ref {eq: 2.5.15} menunjukkan bahawa

[ phi '(y) = 6y ^ 2. nombor ]

Kami mengintegrasikan ini sehubungan dengan (y ) dan menjadikan pemalar integrasi menjadi sifar kerana kami hanya berminat mencari sesetengah (F ) yang memenuhi Persamaan ref {eq: 2.5.14} dan Persamaan ref {eq: 2.5.15}. Ini menghasilkan

[ phi (y) = 2y ^ 3. nombor ]

Mengganti ini menjadi hasil Persamaan ref {eq: 2.5.16}

[ label {eq: 2.5.17} F (x, y) = x ^ 4y ^ 3 + x ^ 3 + 2y ^ 3. ]

Sekarang Teorema ( PageIndex {1} ) menyiratkan bahawa [x ^ 4y ^ 3 + x ^ 3 + 2y ^ 3 = c nonumber ] adalah penyelesaian tersirat dari Persamaan ref {eq: 2.5.13}. Menyelesaikan ini untuk (y ) menghasilkan penyelesaian yang jelas

[y = kiri (c-x ^ 3 over2 + x ^ 4 kanan) ^ {1/3}. nombor ]

Penyelesaian (Kaedah 2)

Daripada mengintegrasikan Persamaan pertama ref {eq: 2.5.14} sehubungan dengan (x ), kita dapat mulai dengan mengintegrasikan Persamaan ref {eq: 2.5.15} sehubungan dengan (y ) untuk mendapatkan

[ label {eq: 2.5.18} F (x, y) = x ^ 4y ^ 3 + 2y ^ 3 + psi (x), ]

di mana ( psi ) adalah fungsi sewenang-wenang (x ). Untuk menentukan ( psi ), kami menganggap bahawa ( psi ) dapat dibezakan dan dibezakan (F ) sehubungan dengan (x ), yang menghasilkan

[F_x (x, y) = 4x ^ 3y ^ 3 + psi '(x). nombor ]

Membandingkannya dengan Persamaan ref {eq: 2.5.14} menunjukkan bahawa

[ psi '(x) = 3x ^ 2. nombor ]

Mengintegrasikan ini dan sekali lagi menjadikan pemalar integrasi menjadi hasil sifar

[ psi (x) = x ^ 3. nombor ]

Mengganti ini menjadi Persamaan ref {eq: 2.5.18} menghasilkan Persamaan ref {eq: 2.5.17}.

Rajah ( PageIndex {1} ) menunjukkan medan arah dan beberapa lengkung integral Persamaan ref {eq: 2.5.13}.

Berikut adalah ringkasan prosedur yang digunakan dalam Kaedah 1 contoh ini. Anda harus merangkum prosedur yang digunakan dalam Kaedah 2.

HOWTO: Prosedur Untuk Menyelesaikan Persamaan Tepat (Kaedah 1)

  • Langkah 1. Periksa sama ada persamaan [ label {eq: 2.5.19} M (x, y) , dx + N (x, y) , dy = 0 ] memenuhi syarat ketepatan (M_y = N_x ). Sekiranya tidak, jangan lanjutkan prosedur ini.
  • Langkah 2. Gabungkan [{ partial F (x, y) over partial x} = M (x, y) nonumber ] berkenaan dengan (x ) untuk mendapatkan [ label {eq: 2.5.20} F (x, y) = G (x, y) + phi (y), ] di mana (G ) adalah antivatif dari (M ) sehubungan dengan (x ), dan ( phi ) adalah fungsi yang tidak diketahui dari (y ).
  • Langkah 3. Bezakan Persamaan ref {eq: 2.5.20} berkenaan dengan (y ) untuk mendapatkan [{ partial F (x, y) over partial y} = { partial G (x, y) over separa y} + phi '(y). nombor ]
  • Langkah 4. Persamaan sisi kanan persamaan ini dengan (N ) dan selesaikan ( phi '); dengan demikian, [{ partial G (x, y) over partial y} + phi '(y) = N (x, y), quad text {so} quad phi' (y) = N (x, y) - { separa G (x, y) atas separa y}. nombor ]
  • Langkah 5. Integrasikan ( phi ') sehubungan dengan (y ), menjadikan pemalar integrasi menjadi sifar, dan ganti hasilnya dalam Persamaan ref {eq: 2.5.20} untuk mendapatkan (F (x, y ) ).
  • Langkah 6. Tetapkan (F (x, y) = c ) untuk mendapatkan penyelesaian tersirat dari Persamaan ref {eq: 2.5.19}. Sekiranya boleh, selesaikan (y ) secara eksplisit sebagai fungsi (x ).

Adalah kesalahan biasa untuk menghilangkan Langkah 6 dalam prosedur di atas. Walau bagaimanapun, adalah penting untuk memasukkan langkah ini, kerana F bukanlah penyelesaian Persamaan ref {eq: 2.5.19}. Banyak persamaan dapat diselesaikan dengan mudah dengan salah satu daripada dua kaedah yang digunakan dalam Contoh ( PageIndex {3} ). Namun, kadang-kadang integrasi yang diperlukan dalam satu pendekatan lebih sukar daripada yang lain. Dalam kes seperti ini, kita memilih pendekatan yang memerlukan penyatuan yang lebih mudah.

Contoh ( PageIndex {4} )

Selesaikan persamaan

[ label {eq: 2.5.21} left (ye ^ {xy} tan x + e ^ {xy} sec ^ {2} x kanan) dx + xe ^ {xy} tan x , dy = 0 ]

Penyelesaian

Kami menyerahkan kepada anda untuk memeriksa bahawa (M_y = N_x ) pada mana-mana kotak terbuka di mana ( tan x ) dan ( sec x ) ditentukan. Di sini kita mesti mencari fungsi F sedemikian rupa

[ label {eq: 2.5.22} F_x (x, y) = ye ^ {xy} tan x + e ^ {xy} sec ^ 2 x ]

dan

[ label {eq: 2.5.23} F_y (x, y) = xe ^ {xy} tan x. ]

Sukar untuk mengintegrasikan Persamaan ref {eq: 2.5.22} sehubungan dengan (x ), tetapi mudah untuk mengintegrasikan Persamaan ref {eq: 2.5.23} berkenaan dengan (y ). Ini menghasilkan

[ label {eq: 2.5.24} F (x, y) = e ^ {xy} tan x + psi (x). ]

Membezakan ini sehubungan dengan hasil (x )

[F_x (x, y) = y e ^ {xy} tan x + e ^ {xy} sec ^ 2 x + psi '(x). nombor ]

Membandingkannya dengan Persamaan ref {eq: 2.5.22} menunjukkan bahawa ( psi '(x) = 0 ). Oleh itu, ( psi ) adalah pemalar, yang boleh kita anggap sifar dalam Persamaan ref {eq: 2.5.24}, dan

[e ^ {xy} tan x = c, bukan nombor ]

adalah penyelesaian tersirat dari Persamaan ref {eq: 2.5.21}.

Mencuba untuk menerapkan prosedur kita pada persamaan pembezaan yang tidak tepat akan menyebabkan kegagalan dalam Langkah 4, kerana fungsi tersebut

[N - frac { partial G} { partial y} nonumber ]

tidak akan bebas dari (x ) jika (M_y neq N_x ), dan oleh itu tidak boleh menjadi turunan fungsi (y ) sahaja. Contoh ( PageIndex {5} ) menggambarkan ini.

Contoh ( PageIndex {5} )

Sahkan bahawa persamaan

[ label {eq: 2.5.25} 3x ^ 2y ^ 2 , dx + 6x ^ 3y , dy = 0 ]

tidak tepat, dan tunjukkan bahawa prosedur untuk menyelesaikan persamaan tepat gagal apabila diterapkan pada Persamaan ref {eq: 2.5.25}.

Penyelesaian

Di sini [M_y (x, y) = 6x ^ 2y quad text {dan} quad N_x (x, y) = 18x ^ 2y, nonumber ]

jadi Persamaan ref {eq: 2.5.25} tidak tepat. Walaupun begitu, mari kita cuba mencari fungsi (F ) sedemikian rupa

[ label {eq: 2.5.26} F_x (x, y) = 3x ^ 2y ^ 2 ]

dan

[ label {eq: 2.5.27} F_y (x, y) = 6x ^ 3y. ]

Mengintegrasikan Persamaan ref {eq: 2.5.26} berkenaan dengan hasil (x )

[F (x, y) = x ^ 3y ^ 2 + phi (y), bukan nombor ]

dan membezakan ini sehubungan dengan hasil (y )

[F_y (x, y) = 2x ^ 3y + phi '(y). nombor ]

Agar persamaan ini selaras dengan Persamaan ref {eq: 2.5.27},

[6x ^ 3y = 2x ^ 3y + phi '(y), bukan nombor ]

atau

[ phi '(y) = 4x ^ 3y. nombor ]

Ini adalah percanggahan, kerana ( phi ') mesti bebas dari (x ). Oleh itu prosedur gagal.


2.5 Persamaan Kuadratik

Monitor komputer di sebelah kiri dalam Gambar 1 adalah model 23,6 inci dan yang di sebelah kanan adalah model 27 inci. Secara proporsional, monitor kelihatan sangat serupa. Sekiranya terdapat ruang yang terhad dan kami menginginkan monitor sebanyak mungkin, bagaimana kita memutuskan mana yang hendak dipilih? Di bahagian ini, kita akan belajar bagaimana menyelesaikan masalah seperti ini menggunakan empat kaedah yang berbeza.

Menyelesaikan Persamaan Kuadratik dengan Memfaktorkan

Selalunya kaedah termudah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik adalah pemfaktoran. Pemfaktoran bermaksud mencari ungkapan yang dapat dikalikan bersama untuk memberikan ungkapan di satu sisi persamaan.

Mengalikan faktor memperluas persamaan ke rentetan istilah yang dipisahkan dengan tanda tambah atau tolak. Jadi, dalam erti kata itu, operasi pendaraban membatalkan operasi pemfaktoran. Sebagai contoh, kembangkan ekspresi faktor (x - 2) (x + 3) (x - 2) (x + 3) dengan menggandakan dua faktor tersebut bersama-sama.

Proses memfaktorkan persamaan kuadratik bergantung pada pekali utama, sama ada 1 atau bilangan bulat yang lain. Kami akan melihat kedua-dua situasi tersebut tetapi pertama, kami ingin mengesahkan bahawa persamaan ditulis dalam bentuk standard, x x + + x = c, 0, x 2 + b x + c = 0, di mana a, b, dan c adalah nombor nyata, dan a ≠ 0. a ≠ 0. Persamaan x 2 + x - 6 = 0 x 2 + x - 6 = 0 adalah dalam bentuk piawai.

Kita boleh menggunakan sifat produk sifar untuk menyelesaikan persamaan kuadratik di mana kita pertama kali harus menentukan faktor sepunya terbesar (GCF), dan untuk persamaan yang mempunyai formula pemfaktoran khas juga, seperti perbezaan kuasa dua, yang kedua-duanya kita akan lihat kemudian di bahagian ini.

Harta Produk Sifar dan Persamaan Kuadratik

Harta produk sifar menyatakan

di mana a dan b adalah nombor nyata atau ungkapan algebra.

Persamaan kuadratik adalah persamaan yang mengandungi polinomial darjah kedua misalnya

Menyelesaikan Kuadratik dengan Pekali Utama 1

Bagaimana untuk

Diberi persamaan kuadratik dengan pekali utama 1, faktorkannya.


2.5: Persamaan Tepat - Matematik

Mari lukiskan graf persamaan ini.

Salah satu kaedah yang dapat kita gunakan adalah mencari nilai x dan y dari dua titik yang memuaskan persamaan, plot setiap titik, dan kemudian gariskan titik-titiknya. Kita boleh mulakan dengan dua nilai x yang kita suka, dan kemudian cari y untuk setiap x dengan menggantikan nilai x ke dalam persamaan. Mari mulakan dengan x = 1.

Mari kita petikkan titik-titik ini dan gariskannya.

Membuat Graf Menggunakan Slope dan Y-Intercept
Terdapat kaedah lain untuk membuat persamaan menggunakan pengetahuan anda mengenai cerun dan pintasan-y. Lihat semula persamaannya.

Kita dapat mencari cerun dan pintasan-y dari garis hanya dengan melihat persamaan: m = 1/2 dan pintasan y = 2.

Hanya dengan melihat nilai-nilai ini, kita sudah mengetahui satu titik! Pintasan-y memberi kita titik di mana garis memotong paksi-y, jadi kita tahu koordinat titik itu (0, 2) , kerana nilai x bagi setiap titik yang terletak pada paksi y adalah sifar.

Untuk mencari titik kedua, kita boleh menggunakan cerun garis. Cerunnya adalah & frac12, yang memberi kita perubahan dalam nilai y berbanding perubahan nilai x. Perubahan dalam nilai x, penyebutnya adalah 2, jadi kami bergerak ke 2 unit yang betul.

Perubahan nilai y, pengangka, adalah positif. Kami menaikkan satu unit. Ini memberi kita titik kedua yang kita perlukan. Sekarang kita dapat menarik garis melalui titik.

Ini adalah garis yang sama yang kami dapati menggunakan kaedah pertama. Adakah anda melihat bahawa lebih pantas dan lebih mudah menggunakan pintasan-y dan cerun? Anda boleh menggunakan salah satu kaedah untuk membuat grafik garis, bergantung pada maklumat yang anda ada mengenai garis dan persamaannya.


Pengenalan kepada Persamaan

Dengan persamaan kita bermaksud ayat matematik yang menyatakan bahawa dua ungkapan algebra adalah sama. Sebagai contoh, a (b + c) = ab + ac, ab = ba, dan x 2 -1 = (x-1) (x + 1) adalah semua persamaan yang telah kita gunakan. Kami ingat bahawa kami mendefinisikan pemboleh ubah sebagai huruf yang mungkin digantikan oleh angka dari set tertentu, semasa perbincangan diberikan. Kumpulan nombor yang ditentukan ini kadang-kadang dipanggil set pengganti. Dalam bab ini kita akan membahas persamaan yang melibatkan pemboleh ubah di mana set penggantian, kecuali dinyatakan sebaliknya, adalah set semua nombor nyata yang mana semua ungkapan dalam persamaan ditentukan.

Sekiranya persamaan itu benar setelah pemboleh ubah diganti dengan nombor tertentu, maka nombor tersebut disebut sebagai penyelesaian persamaan dan dikatakan memuaskannya. Jelas sekali, setiap penyelesaian adalah ahli dari set penggantian. Nombor sebenar 3 adalah penyelesaian persamaan 2x-1 = x + 2, kerana 2 * 3-1 = 3 + 2. sementara 1 adalah penyelesaian persamaan (x-1) (x + 2) = 0. Kumpulan semua penyelesaian persamaan dipanggil set penyelesaian persamaan.

Pada persamaan pertama di atas <3> adalah set penyelesaian, sementara pada contoh kedua <-2,1> adalah set penyelesaian. Kami dapat mengesahkan dengan penggantian bahawa setiap nombor ini adalah penyelesaian persamaan masing-masing, dan kita akan melihat kemudian bahawa ini adalah satu-satunya penyelesaian.

Persamaan bersyarat adalah persamaan yang dipuaskan oleh beberapa nombor dari set penggantinya dan tidak dipuaskan oleh yang lain. Identiti adalah persamaan yang dipuaskan oleh semua nombor dari set penggantinya.

Contoh 1 Pertimbangkan persamaan 2x-1 = x + 2

Set penggantian di sini adalah set semua nombor nyata. Persamaan itu bersyarat kerana, misalnya, 1 adalah anggota kumpulan pengganti tetapi bukan dari set penyelesaian.

Contoh 2 Pertimbangkan persamaan (x-1) (x + 1) = x 2 -1

Set penggantian adalah set semua nombor nyata. Dari undang-undang nombor nyata kita jika a adalah nombor nyata, maka (a-1) (a + 1) = a 2 -1

Oleh itu, setiap anggota set penggantian juga menjadi anggota kumpulan penyelesaian. Akibatnya persamaan ini adalah identiti.

Contoh 3 Pertimbangkan

Set penggantian untuk persamaan ini adalah kumpulan nombor nyata kecuali 0, kerana 1 / x dan (1- x) / x tidak ditentukan untuk x = 0. Sekiranya ada nombor nyata dalam set penggantian, maka

supaya persamaan asal adalah identiti.

Contoh 4 Pertimbangkan

Set penggantian adalah kumpulan semua nombor nyata bukan negatif, kerana bukan nombor nyata jika x adalah negatif. Persamaan itu bersyarat kerana, misalnya, 4 adalah anggota set penggantian tetapi bukan dari set penyelesaian.


9.5 Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

Thales of Miletus (sekitar 625–547 SM) dikenali sebagai pengasas geometri. Legenda adalah bahawa dia menghitung ketinggian Piramid Agung Giza di Mesir menggunakan teori segitiga serupa, yang dikembangkannya dengan mengukur bayangan kakitangannya. Berdasarkan perkadaran, teori ini mempunyai aplikasi di sejumlah bidang, termasuk geometri fraktal, kejuruteraan, dan seni bina. Selalunya, sudut ketinggian dan sudut kemurungan didapati menggunakan segitiga yang serupa.

Pada bahagian awal bab ini, kita melihat identiti trigonometri. Identiti adalah benar untuk semua nilai dalam domain pemboleh ubah. Dalam bahagian ini, kita memulakan kajian kita mengenai persamaan trigonometri untuk mengkaji senario dunia nyata seperti mencari dimensi piramid.

Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Linear dalam Sinus dan Kosinus

Persamaan trigonometri adalah, seperti namanya, persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri. Sama dalam banyak cara untuk menyelesaikan persamaan polinomial atau persamaan rasional, hanya nilai tertentu dari pemboleh ubah yang akan menjadi penyelesaian, jika ada penyelesaian sama sekali. Selalunya kita akan menyelesaikan persamaan trigonometri pada selang waktu yang ditentukan. Namun, seperti biasa, kita akan diminta untuk mencari semua penyelesaian yang mungkin, dan kerana fungsi trigonometri berkala, penyelesaian diulang dalam setiap tempoh. Dengan kata lain, persamaan trigonometri mungkin mempunyai sebilangan besar penyelesaian. Selain itu, seperti persamaan rasional, domain fungsi mesti dipertimbangkan sebelum kita menganggap bahawa sebarang penyelesaian adalah sah. Tempoh fungsi sinus dan fungsi kosinus adalah 2 π. 2 π. Dengan kata lain, setiap 2 π 2 π unit, the y-nilai berulang. Sekiranya kita perlu mencari semua penyelesaian yang mungkin, maka kita mesti menambahkan 2 π k, 2 π k, di mana k k adalah bilangan bulat, ke penyelesaian awal. Ingat kembali peraturan yang memberikan format untuk menyatakan semua kemungkinan penyelesaian untuk fungsi dengan jangka masa 2 π: 2 π:

Terdapat peraturan yang serupa untuk menunjukkan semua kemungkinan penyelesaian untuk fungsi trigonometri yang lain. Menyelesaikan persamaan trigonometri memerlukan teknik yang sama dengan menyelesaikan persamaan algebra. Kami membaca persamaan dari kiri ke kanan, mendatar, seperti ayat. Kami mencari corak, faktor yang diketahui, mencari penyebut yang sama, dan mengganti ungkapan tertentu dengan pemboleh ubah untuk menjadikan penyelesaian proses yang lebih mudah. Walau bagaimanapun, dengan persamaan trigonometri, kami juga mempunyai kelebihan menggunakan identiti yang kami kembangkan di bahagian sebelumnya.

Contoh 1

Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Linear yang Melibatkan Fungsi Kosinus

Cari semua kemungkinan penyelesaian tepat untuk persamaan cos θ = 1 2. cos θ = 1 2.


Persamaan

Dalam matematik, sebuah persamaan adalah pernyataan yang menegaskan persamaan dua ungkapan, yang dihubungkan oleh tanda sama dengan "cite_ref-: 0_2-0"> [2] [3] [4] Perkataan persamaan dan kognitifnya dalam bahasa lain mungkin mempunyai makna yang berbeza secara halus misalnya, dalam bahasa Perancis dan equation ditakrifkan sebagai mengandungi satu atau lebih pemboleh ubah, sementara dalam bahasa Inggeris, persamaan apa pun adalah persamaan. [5]

Menyelesaikan persamaan yang mengandungi pemboleh ubah terdiri daripada menentukan nilai pemboleh ubah yang menjadikan persamaan itu benar. Pemboleh ubah yang mana persamaan harus diselesaikan juga disebut tidak diketahui, dan nilai-nilai yang tidak diketahui yang memenuhi persamaan disebut sebagai penyelesaian persamaan. Terdapat dua jenis persamaan: identiti dan persamaan bersyarat. Identiti adalah benar untuk semua nilai pemboleh ubah. Persamaan bersyarat hanya berlaku untuk nilai pemboleh ubah tertentu. [6] [7]

Persamaan ditulis sebagai dua ungkapan, dihubungkan oleh tanda sama dengan ("cite_ref-: 1_3-1"> [3] Ungkapan pada dua sisi tanda sama disebut "sisi kiri" dan "tangan kanan sisi "persamaan. Selalunya sebelah kanan persamaan dianggap sifar. Dengan anggapan ini tidak mengurangkan keluasan, kerana ini dapat disedari dengan mengurangkan sisi kanan dari kedua sisi.

Jenis persamaan yang paling biasa adalah persamaan polinomial (biasa disebut juga persamaan algebra) di mana kedua-dua sisi adalah polinomial. Sisi persamaan polinomial mengandungi satu atau lebih istilah. Contohnya, persamaan

mempunyai sisi kiri A x 2 + B x + C - y < displaystyle Ax ^ <2> + Bx + Cy>, yang mempunyai empat istilah, dan sisi kanan 0 < displaystyle 0>, yang terdiri daripada hanya satu istilah. Nama pemboleh ubah menunjukkan bahawa x dan y tidak diketahui, dan itu A , B , dan C adalah parameter, tetapi ini biasanya diperbaiki oleh konteks (dalam beberapa konteks, y mungkin merupakan parameter, atau A , B , dan C mungkin pemboleh ubah biasa).

Persamaan serupa dengan skala di mana berat ditempatkan. Apabila berat sesuatu yang sama (misalnya, biji-bijian) dimasukkan ke dalam dua kuali, kedua-dua timbangan itu menyebabkan timbangan tidak seimbang dan dikatakan sama. Sekiranya kuantiti biji-bijian dikeluarkan dari satu loyang, timbunan biji-bijian yang sama mesti dikeluarkan dari loyang yang lain untuk menjaga keseimbangan. Secara lebih umum, persamaan tetap seimbang jika operasi yang sama dilakukan di kedua-dua belah pihak.

Dalam geometri Cartesian, persamaan digunakan untuk menggambarkan angka geometri. Oleh kerana persamaan yang dipertimbangkan, seperti persamaan tersirat atau persamaan parametrik, mempunyai banyak penyelesaian, objektifnya sekarang berbeza: bukannya memberikan penyelesaian secara eksplisit atau menghitungnya, yang mustahil, seseorang menggunakan persamaan untuk mengkaji sifat angka. Inilah idea permulaan geometri algebra, bidang matematik yang penting.

Algebra mengkaji dua keluarga persamaan utama: persamaan polinomial dan, antaranya, kes khas persamaan linear. Apabila hanya ada satu pemboleh ubah, persamaan polinomial mempunyai bentuk P(x) = 0, di mana P adalah polinomial, dan persamaan linear mempunyai bentuk kapak + b = 0, di mana a dan b adalah parameter. Untuk menyelesaikan persamaan dari salah satu keluarga, seseorang menggunakan teknik algoritma atau geometri yang berasal dari aljabar linear atau analisis matematik. Aljabar juga mengkaji persamaan Diophantine di mana pekali dan penyelesaiannya adalah bilangan bulat. Teknik yang digunakan berbeza dan berasal dari teori nombor. Persamaan ini sukar secara umum seseorang sering mencari hanya untuk mencari kewujudan atau ketiadaan penyelesaian, dan, jika ada, untuk menghitung jumlah penyelesaiannya.

Persamaan pembezaan adalah persamaan yang melibatkan satu atau lebih fungsi dan terbitannya. Mereka dipecahkan dengan mencari ungkapan untuk fungsi yang tidak melibatkan terbitan. Persamaan pembezaan digunakan untuk memodelkan proses yang melibatkan kadar perubahan pemboleh ubah, dan digunakan dalam bidang seperti fizik, kimia, biologi, dan ekonomi.

"Robert Recorde, yang menganggap bahawa tidak ada yang lebih setara daripada garis lurus selari dengan panjang yang sama. [1]


Penyelesaian Tepat Persamaan Burgers dengan Penyelesaian Linearisasi

Makalah ini menganggap persamaan Burgers umum dengan pekali istilah tidak linier menjadi pemalar sewenang-wenangnya. Dua penyelesaian yang sama dari persamaan Burgers umum diturunkan secara berasingan dengan kaedah penyatuan langsung dan kaedah persamaan termudah dengan persamaan Bernoulli menjadi persamaan termudah. Penyelesaian tepat yang dicadangkan mengatasi masalah ketakselanjaran yang telah lama wujud dan berjaya dikurangkan menjadi linear, sementara pekali jangka tidak linier menghampiri sifar. Sebagai tambahan, transformasi Cole-Hopf umum diperkenalkan. Akhirnya, penyelesaian yang dicadangkan itu dibandingkan dengan penyelesaian gangguan dan penyelesaian tepat lain yang ada. Fenomena baru, yang kami namakan sebagai "keriting gelongsor," diperhatikan.

1. Pengenalan

Persamaan Burgers pertama kali diperkenalkan oleh Bateman [1] pada tahun 1915 dan kemudian dianalisis oleh Burgers [2] pada tahun 1948. Persamaan tersebut digunakan sebagai model dalam banyak bidang seperti akustik [3], proses stokastik berterusan [4], air penyebaran [5], gelombang kejutan [5], pengaliran haba [6], dan pergolakan [7]. Persamaan burger juga dapat dianggap sebagai bentuk sederhana dari persamaan Navier-Stokes [8] kerana bentuk istilah perolakan tidak linear dan terjadinya istilah kelikatan.

Persamaan burger adalah satu daripada sedikit persamaan pembezaan separa tidak linear yang dapat diselesaikan dengan tepat. Apabila nilai mutlak koefisien istilah nonlinear persamaan Burgers adalah 2 atau 1, penyelesaian tepat dapat diperoleh dengan kaedah fungsi tanh diperpanjang yang diubah suai [9], kaedah fungsi Exp [10], kaedah tanh-coth [11], dan kaedah transformasi Cole-Hopf [11–16]. Dalam makalah ini, pekali istilah nonlinear persamaan Burgers dianggap sebagai pemalar sewenang-wenangnya. Penyelesaian tepat persamaan Burgers am ini diperoleh dengan empat kaedah yang disebutkan di atas [9–16]. Di samping itu, mereka juga diturunkan secara berasingan dengan kaedah persamaan termudah dengan persamaan Riccati menjadi persamaan termudah dan kaedah transformasi umum Cole-Hopf yang baru dikembangkan [11, 12]. Ini ditunjukkan bahawa apabila pekali istilah tidak linier sama dengan persamaan Burgers biasa, penyelesaian tepat yang diperoleh adalah sama dengan yang ada dalam literatur yang ada. Walau bagaimanapun, semua penyelesaian tepat ini tidak memenuhi syarat kesinambungan dan tidak akan dapat dikurangkan kepada penyelesaian linear apabila pekali istilah tidak linier dalam persamaan Burgers menghampiri sifar.

Dalam makalah ini, penyelesaian tepat baru persamaan Burgers umum secara berasingan diturunkan dengan kaedah penyatuan langsung dan kaedah persamaan termudah dengan persamaan Bernoulli masing-masing menjadi persamaan termudah. Kedua-dua penyelesaian tepat ditunjukkan sama. Di samping itu, penyelesaian yang baru diturunkan dapat berjaya dikurangkan menjadi linear, sementara pekali istilah tidak linier menghampiri sifar. Akhirnya, penyelesaian yang dicadangkan itu dibandingkan dengan penyelesaian gangguan dan penyelesaian tepat lain yang ada. Beberapa hasil berangka dibentangkan dan digambarkan.


Kandungan

Contoh dalam dua dimensi Edit

Pertimbangkan sistem 3 persamaan dan 2 tidak diketahui ( X dan Y ), yang terlalu ditentukan kerana 3 & gt2, dan yang sesuai dengan Rajah # 1:

Terdapat satu penyelesaian untuk setiap pasangan persamaan linear: untuk persamaan pertama dan kedua (0.2, −1.4), untuk persamaan pertama dan ketiga (−2/3, 1/3), dan untuk kedua dan ketiga (1.5, 2.5 ). Namun, tidak ada penyelesaian yang dapat memenuhi ketiga-tiganya secara serentak. Rajah # 2 dan 3 menunjukkan konfigurasi lain yang tidak konsisten kerana tidak ada titik pada semua garis. Sistem pelbagai ini dianggap tidak konsisten.

Satu-satunya kes di mana sistem yang terlalu ditentukan sebenarnya mempunyai penyelesaian yang ditunjukkan dalam Rajah # 4, 5, dan 6. Pengecualian ini hanya boleh berlaku apabila sistem yang terlalu ditentukan mengandungi persamaan yang bergantung secara linear sehingga bilangan persamaan bebas tidak melebihi bilangannya tidak diketahui. Ketergantungan linear bermaksud bahawa beberapa persamaan dapat diperoleh daripada menggabungkan persamaan lain secara linear. Sebagai contoh, Y = X + 1 dan 2Y = 2X + 2 adalah persamaan yang bergantung secara linear kerana yang kedua dapat diperoleh dengan mengambil dua kali yang pertama.

Bentuk matriks Edit

Sebarang sistem persamaan linear boleh ditulis sebagai persamaan matriks. Sistem persamaan sebelumnya (dalam Rajah # 1) boleh ditulis seperti berikut:

Perhatikan bahawa baris matriks pekali (sesuai dengan persamaan) melebihi lajur (sesuai dengan yang tidak diketahui), yang bermaksud bahawa sistem terlalu ditentukan. Peringkat matriks ini adalah 2, yang sesuai dengan bilangan pemboleh ubah bersandar dalam sistem. [3] Sistem linear konsisten jika dan hanya jika matriks pekali mempunyai peringkat yang sama dengan matriks tambahannya (matriks pekali dengan lajur tambahan ditambahkan, lajur itu adalah vektor pemalar lajur). Matriks tambahan mempunyai peringkat 3, jadi sistemnya tidak konsisten. Kekosongan adalah 0, yang bermaksud bahawa ruang kosong hanya mengandungi vektor sifar dan dengan itu tidak mempunyai asas.

Dalam aljabar linear konsep ruang baris, ruang lajur dan ruang kosong adalah penting untuk menentukan sifat matriks. Perbincangan tidak formal mengenai kekangan dan tahap kebebasan di atas berkaitan langsung dengan konsep yang lebih formal ini.

Kes homogen (di mana semua istilah tetap adalah sifar) selalu konsisten (kerana terdapat penyelesaian sepele dan sifar). Terdapat dua kes, bergantung pada jumlah persamaan yang bergantung secara linear: sama ada hanya penyelesaian sepele, atau ada penyelesaian remeh ditambah satu set penyelesaian lain yang tidak terbatas.

Pertimbangkan sistem persamaan linear: Li = 0 untuk 1 ≤ iM, dan pemboleh ubah X1, X2, . XN, di mana masing-masing Li ialah jumlah berwajaran dari Xis. Kemudian X1 = X2 = ⋯ = XN = 0 is always a solution. Bila M & lt N the system is underdetermined and there are always an infinitude of further solutions. In fact the dimension of the space of solutions is always at least NM.

Untuk MN, there may be no solution other than all values being 0. There will be an infinitude of other solutions only when the system of equations has enough dependencies (linearly dependent equations) that the number of independent equations is at most N − 1. But with MN the number of independent equations could be as high as N, in which case the trivial solution is the only one.

In systems of linear equations, Li=ci for 1 ≤ iM, in variables X1, X2, . XN the equations are sometimes linearly dependent in fact the number of linearly independent equations cannot exceed N+1. We have the following possible cases for an overdetermined system with N unknowns and M equations (M& gtN).

  • M = N+1 and all M equations are linearly independent. This case yields no solution. Contoh: x = 1, x = 2.
  • M & gt N but only K equations (K & lt M dan KN+1) are linearly independent. There exist three possible sub-cases of this:
    • K = N+1. This case yields no solutions. Example: 2x = 2, x = 1, x = 2.
    • K = N. This case yields either a single solution or no solution, the latter occurring when the coefficient vector of one equation can be replicated by a weighted sum of the coefficient vectors of the other equations but that weighted sum applied to the constant terms of the other equations does not replicate the one equation's constant term. Example with one solution: 2x = 2, x = 1. Example with no solution: 2x + 2y = 2, x + y = 1, x + y = 3.
    • K & lt N. This case yields either infinitely many solutions or no solution, the latter occurring as in the previous sub-case. Example with infinitely many solutions: 3x + 3y = 3, 2x + 2y = 2, x + y = 1. Example with no solution: 3x + 3y + 3z = 3, 2x + 2y + 2z = 2, x + y + z = 1, x + y + z = 4.

    These results may be easier to understand by putting the augmented matrix of the coefficients of the system in row echelon form by using Gaussian elimination. This row echelon form is the augmented matrix of a system of equations that is equivalent to the given system (it has exactly the same solutions). The number of independent equations in the original system is the number of non-zero rows in the echelon form. The system is inconsistent (no solution) if and only if the last non-zero row in echelon form has only one non-zero entry that is in the last column (giving an equation 0 = c where c is a non-zero constant). Otherwise, there is exactly one solution when the number of non-zero rows in echelon form is equal to the number of unknowns, and there are infinitely many solutions when the number of non-zero rows is lower than the number of variables.

    Putting it another way, according to the Rouché–Capelli theorem, any system of equations (overdetermined or otherwise) is inconsistent if the rank of the augmented matrix is greater than the rank of the coefficient matrix. If, on the other hand, the ranks of these two matrices are equal, the system must have at least one solution. The solution is unique if and only if the rank equals the number of variables. Otherwise the general solution has k free parameters where k is the difference between the number of variables and the rank hence in such a case there are an infinitude of solutions.

    All exact solutions can be obtained, or it can be shown that none exist, using matrix algebra. See System of linear equations#Matrix solution.

    The method of ordinary least squares can be used to find an approximate solution to overdetermined systems. For the system A x = b , =mathbf ,> the least squares formula is obtained from the problem

    the solution of which can be written with the normal equations, [4]

    where T >> indicates a matrix transpose, provided ( A T A ) − 1 >A ight)^<-1>> exists (that is, provided A has full column rank). With this formula an approximate solution is found when no exact solution exists, and it gives an exact solution when one does exist. However, to achieve good numerical accuracy, using the QR factorization of A to solve the least squares problem is preferred. [5]

    The concept can also be applied to more general systems of equations, such as systems of polynomial equations or partial differential equations. In the case of the systems of polynomial equations, it may happen that an overdetermined system has a solution, but that no one equation is a consequence of the others and that, when removing any equation, the new system has more solutions. For example, ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 0 , ( x − 1 ) ( x − 3 ) = 0 has the single solution x = 1 , but each equation by itself has two solutions.


    Math Insight

    Solve the ordinary differential equation (ODE) $diff = 5x -3$ for $x(t)$.

    Penyelesaian: Using the shortcut method outlined in the introduction to ODEs, we multiply through by $dt$ and divide through by $5x-3$: $frac <5x-3>= dt.$ We integrate both sides egin int frac <5x-3>&= int dt frac<1> <5>log |5x-3| &= t + C_1 5x-3 &= pm exp(5t+5C_1) x &= pm frac<1><5>exp(5t+5C_1) + 3/5 . akhir Letting $C = frac<1><5>exp(5C_1)$, we can write the solution as $x(t) = Ce^<5t>+ frac<3><5>.$

    We check to see that $x(t)$ satisfies the ODE: egin diff = 5Ce^<5t> 5x-3 = 5Ce^<5t>+ 3-3 = 5Ce^<5t>. akhir Both expressions are equal, verifying our solution.

    Contoh 2

    Solve the ODE combined with initial condition: egin diff &= 5x -3 x(2) &= 1. end

    Penyelesaian: This is the same ODE as example 1, with solution $x(t) = Ce^<5t>+ frac<3><5>.$ We just need to use the initial condition $x(2)=1$ to determine $C$.

    $C$ must satisfy egin 1 = Ce^<5cdot 2>+ frac<3><5>, end so it must be egin C = frac<2> <5>e^<-10>. akhir

    Our solution is $x(t) = frac<2><5>e^<5(t-2)>+ frac<3><5>.$ You can verify that $x(2)=1$.

    Contoh 3

    Solve the ODE with initial condition: egin diff &= 7y^2x^3 y(2) &= 3. end

    Penyelesaian: We multiply both sides of the ODE by $dx$, divide both sides by $y^2$, and integrate: egin int y^<-2>dy &= int 7x^3 dx - y^ <-1>&= frac<7><4>x^4 +C y & = frac<-1><4>x^4 +C>. akhir The general solution is egin y(x) & = frac<-1><4>x^4 +C>. akhir

    Verify the solution: egin diff &= diff<>left(frac<-1><4>x^4 +C> ight) &=frac<7x^3><(frac<7><4>x^4 +C)^2>. akhir Given our solution for $y$, we know that egin y(x)^2 & = left(frac<-1><4>x^4 +C> ight)^2 = frac<1><(frac<7><4>x^4 +C)^2>. akhir Therefore, we see that indeed egin diff &= frac<7x^3><(frac<7><4>x^4 +C)^2> = 7x^3y^2. akhir The solution satisfies the ODE.

    To determine the constant $C$, we plug the solution into the equation for the initial conditions $y(2) = 3$: egin 3 & = frac<-1><4>2^4 +C>. akhir The constant $C$ is egin C = -28frac<1><3>= -frac<85><3>, end and the final solution is egin y(x) & = frac<-1><4>x^4 -frac<85><3>>. akhir


    Tonton videonya: Latihan Persamaan Kuadrat no. 1-3 Matematika kelas 9 Bab 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat hal. 81 (Disember 2021).