Artikel

12.2: Pendaraban Matriks - Matematik

12.2: Pendaraban Matriks - Matematik



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Operasi matriks penting seterusnya yang akan kita terokai ialah pendaraban matriks. Operasi pendaraban matriks adalah salah satu operasi matriks yang paling penting dan berguna. Sepanjang bahagian ini, kami juga akan menunjukkan bagaimana pendaraban matriks berkaitan dengan sistem persamaan linear.

Pertama, kami memberikan definisi formal mengenai vektor baris dan lajur.

Definisi ( PageIndex {1} ): Vektor Baris dan Lajur

Matriks ukuran (n kali 1 ) atau (1 kali n ) dipanggil vektor. Sekiranya (X ) adalah matriks seperti itu, maka kita menulis (x_ {i} ) untuk menandakan kemasukan (X ) dalam baris (i ^ {th} ) matriks lajur, atau lajur (i ^ {th} ) matriks baris.

Matriks (n times 1 ) [X = kiri [ begin {array} {c} x_ {1} vdots x_ {n} end {array} kanan] ] adalah disebut a vektor lajur. Matriks (1 times n ) [X = kiri [ begin {array} {ccc} x_ {1} & cdots & x_ {n} end {array} kanan] ] disebut sebagai vektor baris.

Kita mungkin menggunakan istilah itu vektor sepanjang teks ini merujuk kepada vektor lajur atau baris. Sekiranya kita melakukannya, konteksnya akan menjelaskan dengan jelas mana yang kita maksudkan.

Dalam bab ini, kita sekali lagi akan menggunakan pengertian kombinasi vektor linear seperti dalam Definisi [def: linearcombination]. Dalam konteks ini, gabungan linear adalah jumlah yang terdiri daripada vektor dikalikan dengan skalar. Contohnya, [ kiri [ begin {array} {r} 50 122 end {array} kanan] = 7 kiri [ begin {array} {r} 1 4 end {array} kanan] +8 kiri [ begin {array} {r} 2 5 end {array} kanan] +9 kiri [ begin {array} {r} 3 6 end {array} kanan] ] adalah gabungan linear dari tiga vektor.

Ternyata kita dapat mengekspresikan sebarang sistem persamaan linear sebagai kombinasi vektor linear. Sebenarnya, vektor yang akan kita gunakan hanyalah lajur dari matriks tambahan yang sesuai!

Definisi ( PageIndex {2} ): Bentuk Vektor Sistem Persamaan Linear

Katakan kita mempunyai sistem persamaan yang diberikan oleh [ begin {array} {c} a_ {11} x_ {1} + cdots + a_ {1n} x_ {n} = b_ {1} vdots a_ {m1} x_ {1} + cdots + a_ {mn} x_ {n} = b_ {m} end {array} ] Kami dapat menyatakan sistem ini dalam bentuk vektor seperti berikut: [x_1 kiri [ begin {array} {c} a_ {11} a_ {21} vdots a_ {m1} end {array} kanan] + x_2 kiri [ begin {array} {c} a_ {12} a_ {22} vdots a_ {m2} end {array} kanan] + cdots + x_n kiri [ begin {array } {c} a_ {1n} a_ {2n} vdots a_ {mn} end {array} kanan] = kiri [ start {array} {c} b_1 b_2 vdots b_m end {array} kanan] ]

Perhatikan bahawa setiap vektor yang digunakan di sini adalah satu lajur dari matriks tambahan yang sesuai. Terdapat satu vektor untuk setiap pemboleh ubah dalam sistem, bersama dengan vektor malar.

Bentuk pendaraban matriks penting pertama ialah mengalikan matriks dengan vektor. Pertimbangkan produk yang diberikan oleh [ kiri [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end {array} kanan] kiri [ mula {array} {r} 7 8 9 end {array} kanan] ] Kita akan segera melihat bahawa ini sama dengan [7 kiri [ begin {array} {c} 1 4 end {array} kanan] + 8 kiri [ begin {array} {c} 2 5 end {array} kanan] +9 kiri [ begin {array} {c} 3 6 end {array} kanan] = kiri [ begin {array} {c} 50 122 end {array} kanan] ]

Secara umum, [ begin {aligned} left [ begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} a_ {21} & a_ {22} & a_ { 23} end {array} kanan] kiri [ begin {array} {c} x_ {1} x_ {2} x_ {3} end {array} kanan] & = & x_ {1} kiri [ begin {array} {c} a_ {11} a_ {21} end {array} kanan] + x_ {2} kiri [ begin {array} {c} a_ { 12} a_ {22} end {array} kanan] + x_ {3} kiri [ begin {array} {c} a_ {13} a_ {23} end {array} kanan] & = & kiri [ begin {array} {c} a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + a_ {13} x_ {3} a_ {21} x_ { 1} + a_ {22} x_ {2} + a_ {23} x_ {3} end {array} kanan] akhir {sejajar} ] Oleh itu, anda mengambil (x_ {1} ) kali lajur pertama , tambahkan ke (x_ {2} ) kali lajur kedua, dan akhirnya (x_ {3} ) kali lajur ketiga. Jumlah di atas adalah gabungan linear lajur matriks. Apabila anda mengalikan matriks di sebelah kiri dengan vektor di sebelah kanan, angka yang membentuk vektor hanyalah skalar yang akan digunakan dalam kombinasi lajur linier seperti yang digambarkan di atas.

Berikut adalah definisi formal tentang cara mengalikan matriks (m kali n ) dengan vektor lajur (n kali 1 ).

Definisi ( PageIndex {3} ): Pendaraban Vektor dengan Matriks

Biarkan (A = kiri [a_ {ij} kanan] ) menjadi matriks (m kali n ) dan biarkan (X ) menjadi matriks (n kali 1 ) yang diberikan oleh [ A = kiri [A_ {1} cdots A_ {n} kanan], X = kiri [ begin {array} {r} x_ {1} vdots x_ {n} end {array } kanan] ]

Maka produk (AX ) adalah vektor lajur (m kali 1 ) yang sama dengan gabungan linier lajur berikut (A ): [x_ {1} A_ {1} + x_ {2 } A_ {2} + cdots + x_ {n} A_ {n} = sum_ {j = 1} ^ {n} x_ {j} A_ {j} ]

Sekiranya kita menulis lajur (A ) dari segi entri mereka, ia adalah dalam bentuk [A_ {j} = kiri [ begin {array} {c} a_ {1j} a_ {2j} vdots a_ {mj} end {array} kanan] ] Kemudian, kita dapat menulis produk (AX ) sebagai [AX = x_ {1} kiri [ begin {array} { c} a_ {11} a_ {21} vdots a_ {m1} end {array} kanan] + x_ {2} kiri [ start {array} {c} a_ {12} a_ {22} vdots a_ {m2} end {array} kanan] + cdots + x_ {n} kiri [ start {array} {c} a_ {1n} a_ {2n} vdots a_ {mn} end {array} kanan] ]

Perhatikan bahawa pendaraban matriks (m kali n ) dan vektor (n kali 1 ) menghasilkan vektor (m kali 1 ).

Inilah contohnya.

Contoh ( PageIndex {1} ): Vektor yang didarab dengan Matriks

Hitung produk (AX ) untuk [A = kiri [ begin {array} {rrrr} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 2 & 1 & -2 2 & 1 & 4 & 1 end {array} kanan], X = kiri [ begin {array} {r} 1 2 0 1 end {array} kanan] ]

Penyelesaian

Kami akan menggunakan Definition [def: multiplicationvectormatrix] untuk mengira produk. Oleh itu, kami mengira produk (AX ) seperti berikut. [ start {aligned} & 1 left [ begin {array} {r} 1 0 2 end {array} kanan] + 2 kiri [ begin {array} {r} 2 2 1 end {array} kanan] + 0 kiri [ begin {array} {r} 1 1 4 end {array} kanan] + 1 kiri [ begin {array } {r} 3 -2 1 end {array} kanan] & = kiri [ begin {array} {r} 1 0 2 end {array} kanan] + kiri [ begin {array} {r} 4 4 2 end {array} kanan] + kiri [ begin {array} {r} 0 0 0 end {array } kanan] + kiri [ begin {array} {r} 3 -2 1 end {array} kanan] & = kiri [ mulai {array} {r} 8 2 5 end {array} kanan] hujung {sejajar} ]

Dengan menggunakan operasi di atas, kita juga dapat menulis sistem persamaan linear dalam bentuk matriks. Dalam bentuk ini, kami menyatakan sistem sebagai matriks dikalikan dengan vektor. Pertimbangkan definisi berikut.

Definisi ( PageIndex {4} ): Bentuk Matriks Sistem Persamaan Linear

Andaikan kita mempunyai sistem persamaan yang diberikan oleh [ begin {array} {c} a_ {11} x_ {1} + cdots + a_ {1n} x_ {n} = b_ {1} a_ {21} x_ {1} + cdots + a_ {2n} x_ {n} = b_ {2} vdots a_ {m1} x_ {1} + cdots + a_ {mn} x_ {n} = b_ { m} end {array} ] Kemudian kita dapat menyatakan sistem ini dalam bentuk matriks seperti berikut. [ kiri [ begin {array} {cccc} a_ {11} & a_ {12} & cdots & a_ {1n} a_ {21} & a_ {22} & cdots & a_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_ {m1} & a_ {m2} & cdots & a_ {mn} end {array} kanan] kiri [ start {array} {c} x_ {1} x_ {2} vdots x_ {n} end {array} kanan] = kiri [ mulai {array} {c} b_ {1} b_ {2} vdots b_ {m} end {array} kanan] ]

Ungkapan (AX = B ) juga dikenali sebagai Bentuk Matriks sistem persamaan linear yang sepadan. Matriks (A ) hanyalah matriks pekali sistem, vektor (X ) adalah vektor lajur yang dibina dari pemboleh ubah sistem, dan akhirnya vektor (B ) adalah vektor lajur yang dibina dari pemalar sistem. Penting untuk diperhatikan bahawa sebarang sistem persamaan linear boleh ditulis dalam bentuk ini.

Perhatikan bahawa jika kita menulis sistem persamaan homogen dalam bentuk matriks, ia akan mempunyai bentuk (AX = 0 ), untuk vektor sifar (0 ).

Anda dapat melihat dari definisi ini bahawa vektor [X = kiri [ begin {array} {c} x_ {1} x_ {2} vdots x_ {n} end {array} kanan] ] akan memenuhi persamaan (AX = B ) hanya apabila entri (x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {n} ) vektor (X ) adalah penyelesaian ke sistem asal.

Sekarang setelah kita meneliti cara mengalikan matriks dengan vektor, kita ingin mempertimbangkan keadaan di mana kita mengalikan dua matriks dengan ukuran yang lebih umum, walaupun ukuran ini masih harus sesuai seperti yang akan kita lihat. Sebagai contoh, dalam Contoh [exa: vectormultbymatrix], kita mengalikan matriks (3 kali 4 ) dengan vektor (4 kali 1 ). Kami ingin menyiasat bagaimana mengalikan ukuran matriks lain.

Kami belum memberikan sebarang syarat bila pendaraban matriks mungkin berlaku! Untuk matriks (A ) dan (B ), untuk membentuk produk (AB ), bilangan lajur (A ) mesti sama dengan bilangan baris (B. ) Pertimbangkan produk (AB ) di mana (A ) mempunyai ukuran (m kali n ) dan (B ) mempunyai ukuran (n kali p ). Kemudian, produk dari segi ukuran matriks diberikan oleh [(m times overset { text {ini mesti sepadan!}} { Widehat {n) ; (n} kali p}) = m kali p ]

Perhatikan dua nombor luar memberikan ukuran produk. Salah satu peraturan yang paling penting mengenai pendaraban matriks adalah berikut. Sekiranya dua nombor tengah tidak sepadan, anda tidak boleh mengalikan matriks!

Apabila bilangan lajur (A ) sama dengan bilangan baris (B ) kedua matriks tersebut dikatakan bersesuaian dan produk (AB ) diperoleh seperti berikut.

Definisi ( PageIndex {4} ): Pendaraban Dua Matriks

Biarkan (A ) menjadi matriks (m kali n ) dan biarkan (B ) menjadi matriks (n kali p ) bentuk [B = kiri [B_ {1} cdots B_ {p} kanan] ] di mana (B_ {1}, ..., B_ {p} ) adalah lajur (n kali 1 ) (B ). Maka matriks (m times p ) (AB ) ditakrifkan seperti berikut: [AB = A kiri [B_ {1} cdots B_ {p} kanan] = kiri [(AB) _ {1} cdots (AB) _ {p} kanan] ] di mana ((AB) _ {k} ) adalah vektor matriks atau lajur (m kali 1 ) yang memberikan (k ^ {th} ) lajur (AB ).

Pertimbangkan contoh berikut.

Contoh ( PageIndex {2} ): Mendarab Dua Matriks

Cari (AB ) jika boleh. [A = kiri [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} kanan], B = kiri [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 0 0 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 end {array} kanan] ]

Penyelesaian

Perkara pertama yang perlu anda sahkan semasa mengira produk adalah sama ada pendaraban mungkin. Matriks pertama mempunyai ukuran (2 kali 3 ) dan matriks kedua mempunyai ukuran (3 kali 3 ). Nombor dalam adalah sama, jadi (A ) dan (B ) adalah matriks yang boleh disesuaikan. Menurut perbincangan di atas (AB ) akan menjadi matriks (2 kali 3 ). Definisi [def: multiplicationoftwomatrices] memberi kita cara untuk mengira setiap lajur (AB ), seperti berikut.

[ kiri [ overset { text {First column}} { overbrace { left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} kanan] kiri [ begin {array} {r} 1 0 -2 end {array} kanan]}}, overset { text {Lajur kedua}} { overbrace { left [ begin { array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} kanan] kiri [ begin {array} {r} 2 3 1 end {array} kanan ]}}, overset { text {Lajur ketiga}} { overbrace { left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} kanan] kiri [ begin {array} {r} 0 1 1 end {array} kanan]}} kanan] ] Anda tahu cara mengalikan matriks kali vektor, menggunakan Definisi [def: multiplicationvectormatrix] untuk setiap tiga lajur. Oleh itu [ kiri [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} kanan] kiri [ mula {array} {rrr} 1 & 2 & 0 0 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 end {array} kanan] = kiri [ begin {array} {rrr} -1 & 9 & 3 -2 & 7 & 3 end {array} kanan] ]

Oleh kerana vektor hanya matriks (n kali 1 ) atau (1 kali m ), kita juga boleh mengalikan vektor dengan vektor lain.

Contoh ( PageIndex {3} ): Pendaraban Vektor Waktu Vektor

Gandakan jika boleh ( kiri [ begin {array} {r} 1 2 1 end {array} kanan] kiri [ begin {array} {rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 tamat {array} kanan]. )

Penyelesaian

Dalam kes ini, kita mengalikan matriks ukuran (3 kali 1 ) dengan matriks ukuran (1 kali 4. ) Nombor dalam sepadan sehingga produk ditentukan. Perhatikan bahawa produk akan menjadi matriks ukuran (3 kali 4 ). Dengan menggunakan Definisi [def: multiplicationoftwomatrices], kita dapat mengira produk ini seperti berikut (: ) [ kiri [ begin {array} {r} 1 2 1 end {array} kanan] kiri [ begin {array} {rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 end {array} kanan] = kiri [ overset { text {First column}} { overbrace { left [ begin {array } {r} 1 2 1 end {array} kanan] kiri [ begin {array} {r} 1 end {array} kanan]}}, overset { text {Lajur kedua }} { overbrace { left [ begin {array} {r} 1 2 1 end {array} kanan] kiri [ begin {array} {r} 2 end {array} kanan]}}, overset { text {Lajur ketiga}} { overbrace { left [ begin {array} {r} 1 2 1 end {array} kanan] kiri [ mula {array} {r} 1 end {array} kanan]}}, overset { text {Fourth column}} { overbrace { left [ begin {array} {r} 1 2 1 end {array} kanan] kiri [ begin {array} {r} 0 end {array} kanan]}} kanan] ]

Anda boleh menggunakan Definisi [def: multiplicationvectormatrix] untuk mengesahkan bahawa produk ini [ kiri [ begin {array} {cccc} 1 & 2 & 1 & 0 2 & 4 & 2 & 0 1 & 2 & 1 & 0 end {array} kanan] ]

Contoh ( PageIndex {4} ): Pendaraban Yang Tidak Ditentukan

Cari (BA ) jika boleh. [B = kiri [ begin {array} {ccc} 1 & 2 & 0 0 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 end {array} kanan], A = kiri [ mulakan {array} {ccc} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} kanan] ]

Penyelesaian

Periksa terlebih dahulu jika mungkin. Produk ini berupa ( kiri (3 kali 3 kanan) kiri (2 kali 3 kanan). ) Nombor dalam tidak sepadan dan anda tidak boleh melakukan pendaraban ini.

Dalam kes ini, kita mengatakan bahawa pendaraban tidak ditentukan. Perhatikan bahawa ini adalah matriks yang sama yang kita gunakan dalam Contoh [exa: multiplicationoftwomatrices]. Dalam contoh ini, kami cuba mengira (BA ) dan bukannya (AB ). Ini menunjukkan sifat pendaraban matriks yang lain. Walaupun produk (AB ) mungkin ditentukan, kita tidak boleh menganggap bahawa produk (BA ) akan dapat dilaksanakan. Oleh itu, adalah mustahak untuk selalu memeriksa bahawa produk itu ditentukan sebelum melakukan pengiraan.

Sebelumnya, kami mendefinisikan matriks sifar (0 ) sebagai matriks (dengan ukuran yang sesuai) yang mengandungi nol dalam semua entri. Pertimbangkan contoh berikut untuk pendaraban dengan matriks sifar.

Contoh ( PageIndex {5} ): Pendaraban dengan Zero Matrix

Hitung produk (A0 ) untuk matriks [A = kiri [ begin {array} {rr} 1 & 2 3 & 4 end {array} kanan] ] dan (2 kali 2 ) matriks sifar diberikan oleh [0 = kiri [ begin {array} {rr} 0 & 0 0 & 0 end {array} kanan] ]

Penyelesaian

Dalam produk ini, kami mengira [ kiri [ begin {array} {rr} 1 & 2 3 & 4 end {array} kanan] kiri [ begin {array} {rr} 0 & 0 0 & 0 end {array} kanan] = kiri [ begin {array} {rr} 0 & 0 0 & 0 end {array} kanan] ]

Oleh itu, (A0 = 0 ).

Perhatikan bahawa kita juga dapat mengalikan (A ) dengan (2 kali 1 ) vektor sifar yang diberikan oleh ( kiri [ begin {array} {r} 0 0 end {array} kanan] ). Hasilnya adalah vektor sifar (2 kali 1 ) sifar. Oleh itu, selalu berlaku (A0 = 0 ), untuk matriks atau vektor sifar bersaiz tepat.


Pendaraban matriks

Sekiranya perlu, rujuk halaman notasi matriks untuk penyegaran semula notasi yang digunakan untuk menerangkan ukuran dan entri matriks.

Pendaraban Matriks-Skalar

Pendaraban matriks jenis pertama adalah pendaraban matriks dengan skalar, yang akan disebut sebagai pendaraban matriks-skalar. Skalar adalah angka yang menjadikan sesuatu menjadi lebih besar, lebih kecil, atau bahkan negatif (fikirkan skalar negatif sebagai "menunjuk ke belakang" atau "membalikkan" sesuatu ke arah yang berlawanan). Diberi matriks m & # 215 n, A, dan skalar, c, matriks, cA, atau Ac, adalah matriks m & # 215 n yang entri i, j adalah c kali kemasukan i, j dari A . Dalam kata lain,

untuk semua i = 1. m dan j = 1. n. sebagai contoh,


Sifat pendaraban Matriks-Skalar

  • Peribahasa: cA = Ac
  • Bersekutu: (cd) A = c (dA)
  • Distributive over matrix penambahan: c (A + B) = cA + cB
  • Distributive over scalar penambahan: (c + d) A = cA + dA

Pendaraban Matriks-Matriks

Untuk mengalikan dua matriks, A dan B, bilangan lajur A mesti sama dengan bilangan baris B. Untuk matriks produk, AB, yang akan ditentukan secara umum, A mesti m & # 215 n, dan B mestilah n & # 215 p, untuk beberapa bilangan bulat positif m, n, dan p. Sekiranya A adalah m & # 215 n, adn B adalah n & # 215 p, matriks produk, AB, adalah matriks m & # 215 p sehingga kemasukan i, j AB, dilambangkan (AB)i, j, adalah produk titik dari vektor baris pertama A

dengan vektor lajur ketiga B

Oleh itu, (AB)i, j diberikan dengan formula:

untuk semua i = 1,2. m dan j = 1,2,. p (saya berjalan melalui baris A, yang mana terdapat m, dan j berjalan melalui lajur B, yang mana terdapat p). Contohnya, jika A adalah matriks 2 & # 215 3 berikut dan B adalah matriks 3 & # 215 2 berikut


Pendaraban Matriks

Biarkan A dan B menjadi dua matriks. Kemudian, pendaraban matriks A dan B iaitu produk A dan B dilambangkan oleh AB jika ditakrifkan. Produk AB boleh didefinisikan atau tidak dapat ditentukan. Ia bergantung pada susunan A dan B.

Dua matriks A dan B dikatakan sesuai atau serasi untuk produk AB jika dan hanya jika bilangan lajur di A sama dengan bilangan baris di B. Ini bermaksud kita dapat menentukan produk AB hanya apabila bilangan lajur di A dan bilangan baris di B adalah sama. Sekiranya keadaan ini tidak dipenuhi maka produk matriks A dan B tidak dapat dilaksanakan. Dalam keadaan sedemikian matriks A dan B tidak sesuai untuk pendaraban.

Sekiranya A dan B sesuai untuk produk AB, maka bilangan baris di A diikuti dengan bilangan lajur di B memberikan urutan produk AB.

Biarkan urutan A menjadi m & # 215 n dan urutan B menjadi n & # 215 p. Di sini, bilangan lajur A dan bilangan baris B adalah sama. Jadi, matriks A dan B sesuai untuk produk AB. Bilangan baris di A adalah m dan bilangan lajur di B adalah p. Jadi, pesanan produk AB adalah m & # 215 p.

Sekiranya dua matriks A dan B sesuai atau serasi untuk produk AB, tidak perlu kedua-dua matriks itu sesuai atau serasi untuk produk BA. Sekiranya A dan B adalah matriks persegi dengan urutan yang sama, maka itu sesuai untuk produk AB dan juga BA.

Elemen pada baris i dan lajur j produk AB diperoleh dengan mengalikan unsur-unsur pada baris I dari A dengan unsur-unsur yang sesuai pada lajur ke-B, dan kemudian dengan menambahkan produk yang dihasilkan.

& # 8756 (i, j) elemen produk AB = Jumlah produk unsur-unsur baris pertama A dengan unsur-unsur yang sesuai bagi lajur B.

Di sini, pesanan produk AB akan menjadi 2 & # 215 2. Sekiranya cij menunjukkan unsur matriks produk AB, maka

Peraturan Kerja (Langkah-langkah untuk mengalikan matriks):

Mula-mula meneka susunan produk AB dan tuliskan seperti berikut:

Contoh:

Sifat Pendaraban Matriks

1. Pendaraban matriks, amnya , tidak bersifat komutatif, iaitu AB & # 8800 BA, secara umum.

i. Apabila matriks AB ditakrifkan, tidak semestinya BA juga dapat ditentukan. Contohnya, jika matriks A adalah m & # 215 n dan matriks B adalah n & # 215 p, AB wujud sedangkan BA tidak wujud kerana p & # 8800 m.

ii. Apabila kedua-dua AB dan BA ditakrifkan, tidak semestinya keduanya sama jenis. Contohnya, jika matriks A berada dalam urutan m & # 215 n dan matriks B berada dalam urutan n & # 215 m, kedua-dua matriks AB dan BA wujud tetapi AB adalah urutan m & # 215 m sementara BA berada dalam keadaan teratur n & # 215 n.

iii. Apabila A dan B adalah matriks segiempat sama, maka AB dan BA wujud, tetapi tidak semestinya sama. Sebagai contoh,

iv. Tetapi, kadang-kadang AB dan BA juga sama. Sebagai contoh,

Oleh itu secara amnya AB & # 8800 BA.

2. Pendaraban matriks adalah bersekutu iaitu jika matriks A, B dan C sesuai untuk pendaraban, maka (AB) C = A (BC).

3. Pendaraban matriks bersifat distributif sehubungan dengan penambahan, iaitu jika matriks A, B dan C serasi untuk penambahan dan pendaraban yang diperlukan, maka A (B + C) = AB + AC dan (A + B) C = AC + BC.

4. Sekiranya A adalah matriks segiempat dan I adalah matriks identiti dengan urutan yang sama, maka AI = IA = A.

Nota: Pendaraban matriks memberi kita beberapa hasil yang berbeza dengan hasil yang diperoleh dalam kes nombor. Beberapa hasil ini digambarkan dalam contoh berikut:

i. Sekiranya AB adalah matriks nol, ini tidak menunjukkan bahawa sekurang-kurangnya satu matriks A atau B mestilah matriks sifar. Sebagai contoh,

ii. Undang-undang pembatalan mungkin tidak berlaku dalam pendaraban matriks. Sebagai contoh,

Contoh Berfungsi

Adakah anda mempunyai pertanyaan mengenai pendaraban matriks?

Anda boleh mengemukakan soalan atau masalah anda di sini, di bahagian komen di bawah.


Kandungan

Tanda tersebut dikodkan dalam Unicode pada U + 00D7 × TANDA MULTIPLIKASI (HTML & amp # 215 · & waktu ampt).

Terdapat notasi matematik lain untuk pendaraban:

  • Pendaraban juga dilambangkan dengan tanda titik, [3] biasanya titik kedudukan tengah (jarang titik):
  • Dalam aljabar, pendaraban yang melibatkan pemboleh ubah sering ditulis sebagai penjajaran (mis., xy untuk x kali y atau 5x selama lima kali x), juga dipanggil pendaraban tersirat. [4] Notasi juga dapat digunakan untuk jumlah yang dikelilingi oleh tanda kurung (mis., 5 (2) atau (5) (2) selama lima kali dua). Penggunaan pendaraban secara tersirat ini dapat menyebabkan kekaburan apabila pemboleh ubah gabungan berpadanan dengan nama pemboleh ubah lain, apabila nama pemboleh ubah di depan kurungan dapat dikelirukan dengan nama fungsi, atau dalam penentuan urutan operasi yang betul.
  • Dalam pendaraban vektor, terdapat perbezaan antara simbol salib dan titik. Simbol silang pada amnya menunjukkan pengambilan silang dua vektor, menghasilkan vektor sebagai hasilnya, sementara titik menunjukkan pengambilan produk titik dari dua vektor, menghasilkan skalar.

Dalam pengaturcaraan komputer, tanda bintang (seperti dalam 5 * 2) masih merupakan notasi yang paling umum. Ini disebabkan oleh fakta bahawa kebanyakan komputer secara historis terbatas pada set aksara kecil (seperti ASCII dan EBCDIC) yang tidak mempunyai tanda pendaraban (seperti ⋅ atau ×), sementara tanda bintang muncul di setiap papan kekunci. Penggunaan ini berasal dari bahasa pengaturcaraan FORTRAN.

Nombor yang akan didarabkan secara umum disebut "faktor". Nombor yang akan didarabkan adalah "darab", dan nombor yang didarabkan adalah "pengganda". Biasanya pengganda diletakkan pertama dan darab ditempatkan kedua [1] namun kadangkala faktor pertama ialah darab dan kedua pengganda. [5] Juga sebagai hasil pendaraban tidak bergantung pada susunan faktor, perbezaan antara "darab" dan "pengganda" hanya berguna pada tahap yang sangat dasar dan dalam beberapa algoritma pendaraban, seperti pendaraban panjang. Oleh itu, dalam beberapa sumber, istilah "multiplicand" dianggap sebagai sinonim untuk "factor". [6] Dalam aljabar, angka yang merupakan pengganda pemboleh ubah atau ungkapan (mis., 3 dalam 3xy 2) dipanggil pekali.

Hasil pendaraban disebut produk. Produk bilangan bulat adalah gandaan bagi setiap faktor. Sebagai contoh, 15 adalah produk 3 dan 5, dan kedua-dua kelipatan 3 dan gandaan 5.

Kaedah umum untuk mengalikan nombor menggunakan pensil dan kertas memerlukan jadual pendaraban produk yang dihafal atau dikonsultasikan dengan bilangan kecil (biasanya dua nombor dari 0 hingga 9), namun satu kaedah, algoritma pendaraban petani, tidak.

Mengalikan nombor menjadi lebih daripada beberapa tempat perpuluhan dengan tangan membosankan dan ralat. Logaritma biasa diciptakan untuk mempermudah pengiraan tersebut, kerana menambahkan logaritma sama dengan pendaraban. Peraturan slaid membenarkan nombor digandakan dengan cepat menjadi kira-kira tiga tempat ketepatan. Bermula pada awal abad ke-20, kalkulator mekanikal, seperti Marchant, pendaraban automatik hingga 10 digit nombor. Komputer elektronik moden dan kalkulator telah mengurangkan keperluan pendaraban dengan tangan.

Algoritma sejarah Edit

Kaedah pendaraban didokumentasikan dalam tulisan tamadun Mesir kuno, Yunani, India dan Cina.

Tulang Ishango, sekitar 18.000 hingga 20.000 SM, mungkin mengisyaratkan pengetahuan pendaraban pada era Paleolitik Atas di Afrika Tengah, tetapi ini adalah spekulatif.

Orang Mesir Edit

Kaedah Mesir penggandaan bilangan bulat dan pecahan, yang didokumentasikan dalam Papirus Ahmes, adalah dengan penambahan berturut-turut dan penggandaan. Sebagai contoh, untuk mencari produk 13 dan 21 seseorang harus menggandakan 21 tiga kali, memperoleh 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168. Produk lengkap kemudian boleh didapati dengan menambahkan istilah yang sesuai yang terdapat dalam urutan penggandaan:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Penyuntingan Babilonia

Orang Babilonia menggunakan sistem nombor kedudukan seksual, yang serupa dengan sistem perpuluhan moden. Oleh itu, pendaraban Babylon sangat serupa dengan pendaraban perpuluhan moden. Kerana kesukaran relatif untuk mengingati 60 × 60 produk yang berbeza, ahli matematik Babylon menggunakan jadual pendaraban. Jadual-jadual ini terdiri daripada senarai dua puluh gandaan pertama tertentu nombor pokok n: n, 2n, . 20n diikuti dengan gandaan 10n: 30n 40n, dan 50n. Kemudian untuk mengira sebarang produk seksagesimal, katakan 53n, satu hanya perlu menambah 50n dan 3n dikira dari jadual.

Sunting Bahasa Cina

Dalam teks matematik Zhoubi Suanjing, bertarikh sebelum 300 SM, dan Sembilan Bab mengenai Seni Matematik, pengiraan pendaraban ditulis dengan kata-kata, walaupun ahli matematik Cina awal menggunakan kalkulus Rod yang melibatkan penambahan nilai tempat, pengurangan, pendaraban dan pembahagian. Orang Cina sudah menggunakan jadual pendaraban perpuluhan pada akhir tempoh Negara-negara Berperang. [7]

Kaedah moden Edit

Kaedah pendaraban moden berdasarkan sistem angka Hindu-Arab pertama kali dijelaskan oleh Brahmagupta. Brahmagupta memberikan peraturan untuk penambahan, pengurangan, pendaraban dan pembahagian. Henry Burchard Fine, ketika itu profesor Matematik di Universiti Princeton, menulis perkara berikut:

Orang India adalah penemu bukan sahaja sistem perpuluhan kedudukan itu sendiri, tetapi sebahagian besar proses yang terlibat dalam perhitungan dasar dengan sistem. Penambahan dan pengurangan yang mereka lakukan sama seperti yang dilakukan pada masa ini pendaraban yang mereka lakukan dengan banyak cara, yang kita miliki di antara mereka, tetapi pembelahan yang mereka lakukan dengan curang. [8]

Algoritma aritmetik perpuluhan nilai tempat ini diperkenalkan ke negara-negara Arab oleh Al Khwarizmi pada awal abad ke-9, dan dipopularkan di dunia Barat oleh Fibonacci pada abad ke-13.

Kaedah grid Edit

Pendaraban kaedah grid atau kaedah kotak, digunakan di sekolah rendah di England dan Wales dan di beberapa kawasan di Amerika Syarikat untuk membantu mengajar pemahaman tentang bagaimana pendaraban berganda berfungsi. Contoh mengalikan 34 dengan 13 ialah meletakkan nombor dalam grid seperti:

Edit algoritma komputer

Kaedah klasik mengalikan dua n -digit nombor memerlukan n Pendaraban 2 digit. Algoritma pendaraban telah dirancang yang mengurangkan masa pengiraan dengan banyak ketika mengalikan bilangan besar. Kaedah berdasarkan transformasi Fourier diskrit mengurangkan kerumitan komputasi menjadi O(n balak n log log n). Baru-baru ini, log log faktor n telah digantikan oleh fungsi yang meningkat jauh lebih perlahan walaupun masih tidak tetap (seperti yang diharapkan). [9]

Pada bulan Mac 2019, David Harvey dan Joris van der Hoeven mengemukakan artikel yang memaparkan algoritma pendaraban integer dengan kerumitan O (n log ⁡ n) yang dituntut. < displaystyle O (n log n).> [10] Algoritma, juga berdasarkan transformasi Fourier yang pantas, diduga akan optimum secara asimtotik. [11] Algoritma tidak dianggap berguna secara praktikal, kerana kelebihannya hanya muncul ketika mengalikan bilangan yang sangat besar (mempunyai lebih dari 2 1729 12 bit). [12]

Seseorang hanya boleh menambah atau mengurangkan kuantiti dengan jenis yang sama, tetapi kuantiti dari pelbagai jenis dapat digandakan atau dibahagi tanpa masalah. Contohnya, empat beg dengan tiga biji guli masing-masing boleh dianggap sebagai: [1]

[4 beg] × [3 biji guli setiap beg] = 12 biji guli.

Apabila dua pengukuran dikalikan bersama, produk adalah jenis bergantung kepada jenis pengukuran. Teori umum diberikan oleh analisis dimensi. Analisis ini diterapkan secara rutin dalam fizik, tetapi juga terdapat aplikasi yang terdapat di bidang keuangan dan bidang terapan lainnya.

Contoh biasa dalam fizik adalah hakikat bahawa mengalikan kelajuan dengan masa memberikan jarak. Sebagai contoh:

50 kilometer sejam × 3 jam = 150 kilometer.

Dalam kes ini, unit jam dibatalkan, meninggalkan produk dengan unit kilometer sahaja.

Contoh pendaraban lain yang melibatkan unit termasuk:

2.5 meter × 4.5 meter = 11.25 meter persegi 11 meter / saat × 9 saat = 99 meter 4.5 penduduk per rumah × 20 rumah = 90 penduduk

Huraian huruf besar Edit

Produk urutan faktor boleh ditulis dengan simbol produk, yang berasal dari huruf besar ∏ < displaystyle textstyle prod> (pi) dalam abjad Yunani (sama seperti huruf besar same < displaystyle textstyle sum> (sigma) digunakan dalam konteks penjumlahan). [13] [14] [15] Kedudukan Unicode U + 220F (∏) ​​mengandungi tanda terbang untuk menunjukkan produk seperti itu, berbeza dengan huruf U + 03A0 (Π). Makna notasi ini diberikan oleh:

Langganan memberikan simbol untuk pemboleh ubah terikat (i dalam kes ini), disebut "indeks pendaraban", bersama dengan batas bawahnya (1), sedangkan superskrip (di sini 4) memberikan batas atasnya. Batas bawah dan atas adalah ungkapan yang menunjukkan bilangan bulat. Faktor produk diperoleh dengan mengambil ungkapan mengikuti pengendali produk, dengan nilai integer berturut-turut menggantikan indeks pendaraban, bermula dari batas bawah dan meningkat 1 hingga (dan termasuk) batas atas. Sebagai contoh:

Secara lebih umum, notasi didefinisikan sebagai

di mana m dan n adalah bilangan bulat atau ungkapan yang dinilai menjadi integer Sekiranya di mana m = n , nilai produk adalah sama dengan faktor tunggal xm sekiranya m & gt n , produk itu adalah produk kosong yang nilainya adalah 1 — tanpa mengira ungkapan faktornya.

Edit Properties

Sekiranya semua istilah itu sama, urutan produk sama dengan eksponen.

Produk tanpa had Edit

Seseorang juga boleh mempertimbangkan produk dengan banyak istilah yang disebut sebagai produk tanpa batas. Secara nota, ini terdiri daripada penggantian n di atas dengan simbol Infinity ∞. Produk dari urutan tak terhingga ditakrifkan sebagai had produk pertama n istilah, sebagai n tumbuh tanpa terikat. Itu dia,

Orang juga boleh menggantikan m dengan infiniti negatif, dan tentukan:

dengan syarat kedua-dua had itu ada.

Untuk nombor nyata dan kompleks, yang merangkumi contohnya nombor semula jadi, nombor bulat, dan pecahan, pendaraban mempunyai sifat tertentu:

Properti komutatif Urutan di mana dua nombor didarab tidak penting: x ⋅ y = y ⋅ x. < displaystyle x cdot y = y cdot x.> Ungkapan harta bersekutu semata-mata yang melibatkan pendaraban atau penambahan tidak berubah sehubungan dengan susunan operasi: (x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z) < displaystyle ( x cdot y) cdot z = x cdot (y cdot z)> Pegangan harta distributif berkaitan dengan pendaraban penambahan. Identiti ini sangat penting dalam mempermudah ungkapan algebra: x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z < displaystyle x cdot (y + z) = x cdot y + x cdot z> Elemen identiti Identiti pendaraban adalah 1 apa sahaja yang didarab dengan 1 adalah dirinya sendiri. Ciri 1 ini dikenali sebagai identity property: x ⋅ 1 = x Property of 0 Any number multiplied by 0 is 0. This is known as the zero property of multiplication: x ⋅ 0 = 0 Negation −1 times any number is equal to the songsang tambah of that number. ( − 1 ) ⋅ x = ( − x ) where ( − x ) + x = 0 –1 times –1 is 1. ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) = 1 Inverse element Every number x, except 0, has a pendalikan darab, 1 x >> , such that x ⋅ ( 1 x ) = 1 > ight)=1> . Order preservation Multiplication by a positive number preserves order: For a > 0 , if b & gt c kemudian ab & gt ac . Multiplication by a negative number reverses order: For a < 0 , if b & gt c kemudian ab & lt ac . The complex numbers do not have an ordering.

Other mathematical systems that include a multiplication operation may not have all these properties. For example, multiplication is not, in general, commutative for matrices and quaternions.

In the book Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano proposed axioms for arithmetic based on his axioms for natural numbers. [16] Peano arithmetic has two axioms for multiplication:

Di sini S(y) represents the successor of y, or the natural number that follows y. The various properties like associativity can be proved from these and the other axioms of Peano arithmetic including induction. For instance S(0), denoted by 1, is a multiplicative identity because

x × 1 = x × S ( 0 ) = ( x × 0 ) + x = 0 + x = x

The axioms for integers typically define them as equivalence classes of ordered pairs of natural numbers. The model is based on treating (x,y) as equivalent to xy bila x dan y are treated as integers. Thus both (0,1) and (1,2) are equivalent to −1. The multiplication axiom for integers defined this way is

The rule that −1 × −1 = 1 can then be deduced from

( 0 , 1 ) × ( 0 , 1 ) = ( 0 × 0 + 1 × 1 , 0 × 1 + 1 × 0 ) = ( 1 , 0 )

Multiplication is extended in a similar way to rational numbers and then to real numbers.

The product of non-negative integers can be defined with set theory using cardinal numbers or the Peano axioms. See below how to extend this to multiplying arbitrary integers, and then arbitrary rational numbers. The product of real numbers is defined in terms of products of rational numbers, see construction of the real numbers.

There are many sets that, under the operation of multiplication, satisfy the axioms that define group structure. These axioms are closure, associativity, and the inclusion of an identity element and inverses.

A simple example is the set of non-zero rational numbers. Here we have identity 1, as opposed to groups under addition where the identity is typically 0. Note that with the rationals, we must exclude zero because under multiplication, it does not have an inverse: there is no rational number that can be multiplied by zero to result in 1. In this example we have an abelian group, but that is not always the case.

To see this, consider the set of invertible square matrices of a given dimension over a given field. Here, it is straightforward to verify closure, associativity, and inclusion of identity (the identity matrix) and inverses. However, matrix multiplication is not commutative, which shows that this group is non-abelian.

Another fact worth noticing is that the integers under multiplication is not a group—even if we exclude zero. This is easily seen by the nonexistence of an inverse for all elements other than 1 and −1.

Multiplication in group theory is typically notated either by a dot, or by juxtaposition (the omission of an operation symbol between elements). So multiplying element a by element b could be notated as ab atau ab. When referring to a group via the indication of the set and operation, the dot is used. For example, our first example could be indicated by ( Q / < 0 >, ⋅ ) /<0>,,cdot ight)> .

Numbers can count (3 apples), pesanan (the 3rd apple), or measure (3.5 feet high) as the history of mathematics has progressed from counting on our fingers to modelling quantum mechanics, multiplication has been generalized to more complicated and abstract types of numbers, and to things that are not numbers (such as matrices) or do not look much like numbers (such as quaternions).

When multiplication is repeated, the resulting operation is known as exponentiation. For instance, the product of three factors of two (2×2×2) is "two raised to the third power", and is denoted by 2 3 , a two with a superscript three. In this example, the number two is the pangkalan, and three is the eksponen. In general, the exponent (or superscript) indicates how many times the base appears in the expression, so that the expression

menunjukkan bahawa n copies of the base a are to be multiplied together. This notation can be used whenever multiplication is known to be power associative.


Step by step guide to multiply matrices

  • Step 1: Make sure that it’s possible to multiply the two matrices (the number of columns in the 1st one should be the same as the number of rows in the second one.)
  • Step 2: The elements of each row of the first matrix should be multiplied by the elements of each column in the second matrix.
  • Step 3: Add the products.

Matrix Multiplication – Example 1:

Multiply the rows of the first matrix by the columns of the second matrix. (egin(-5)(-2)+(-5).3 & (-5)(-3)+(-5).5 (-1)(-2)+2.3 & (-1)(-3)+2.5 end=egin-5 & -10 8 & 13 end)

Matrix Multiplication – Example 2:

Multiply the rows of the first matrix by the columns of the second matrix. (egin(-4).0+(-6)(-3)+(-6).0 .0+6(-3)+3.0 end=egin18 -18 end)

Matrix Multiplication – Example 3:

Matrix Multiplication – Example 4:

Multiply the rows of the first matrix by the columns of the second matrix. (egin2(-2)+(-1)(-1)+(-1) .43(-2)+1 .(-1)+5 .4 end=egin-7 13 end)


Review of Matrices

In today's blog, I will review some very basic results in 2x2 and 1x2 matrices.

This represents a very basic introduction that is meant to provide background for my larger blog on Fermat's Last Theorem: n = 5 (see here).

Today's blog is based on the work by Harold M. Stark in his book An Introduction to Number Theory.

A matrix is a grouping of numbers that allows working on all the numbers at the same time.

For example, let's consider a 2 x 2 matrix that can be based on a set of numbers: 1, 2, 3, 4 .

The matrix itself looks like this:

2. Addition and subtraction of matrices

Addition and subtraction of matrices are exactly the same as if you added and subtracted the numbers independently:

3. Multiplication of Numbers with Matrices

Multiplication with an integer just applies the integer to all the values involved so that:

4. Product of Two Matrices

In addition to these properites, matrices have there own special operations. The product of 2 matrices is a bit confusing. We define a product of a 1 x 2 matrix with a 2 x 2 matrix as the following:

We define a product a 2 x 2 matrix with a 2 x 2 matrix as the following:

Now, here's where it gets a bit confusing. We normally refer to a matrix using a capital letter. So let's say we have two matrices A,B such that: A is a 2x2 matrix and B is a 2x2 matrix. We cannot assume that AB = BA . For example, if we reverse the matrices above, we get the following equation:

Another important point is that there is no product defined for a 2x1 matrix and a 2x2 matrix or a 2x2 matrix and 1x2 matrix (since order is important in matrix products) and for that matter, there is no product defined a 2x2 matrix with a 1x2 matrix. In the case of 2x2 matrices, you can only get a product for a 2x2 matrix with a 2x2 matrix or a 1x2 matrix with a 2x2 matrix.

A determinant is a value that is derived from a 2x2 matrix. Here is the definition:

(3) det(AB) = (ae+bg)(cf+dh) - (af+bh)(ce+dg) = (acef + adeh + bcfg + bdgh) - (acef + adfg + bceh + bdgh) = adeh + bcfg - adfg - bceh.

(4) det(A) = ad - bc
(5) det(B) = eh - fg
(6) So det(A)det(B) = (ad - bc)(eh - fg) = adeh + bcfg - adfg - bceh

The Identity Matrix is referred to as I and defined as:

We denote the inverse of A as A -1 and we define it as:
A -1 =

(1) (det A)(det A -1 ) = det(AA -1 ) [From Lemma 1]

(2) det(AA -1 ) = det(I) [From Lemma 2]

(3) det(I) = 1*1 - 0*0 = 1. [Definition of I, Definition of Determinant]

(5) And dividing both sides by (det A) gives us:
det A -1 = 1/(det A)

The last point here is that while AA -1 = I , it is not necessarily true that ABA -1 = B . The reason is that AB does not necessarily equal BA and we are not allowed to change the order of the matrix elements.

10 comments :

hai
we have a blog on math and want to have relationship with you. contact us and join.
we publish our blog in english/french/persian language.
join us and contact me.
http://mathcom.blogfa.com

I tried to contact you but was unable. Feel free to e-mail me directly at [email protected]

I am very sorry that it took me so long to respond to this posting.

In 5(6):
(ad - bc)(eh - fg) = adeh + bcfg - adfh - bceh
Should be:
(ad - bc)(eh - fg) = adeh + bcfg - adfg - bceh

In 7 (Final Points):
Should it be:
AB does not necessarily equal AB
Instead of:
AB does not necessarily equal A

Thanks again for the comments! I fixed both the typos that you found.

Thanks so much, this was very helpful!

Dalam 4. Product of Two Matrices

Another important point is that there is no product defined for a 2x1 matrix and a 2x2 matrix or a 2x2 matrix and 2x1 matrix.

I thought that you could get the product of a 2x2 matrix and a 2x1 matrix (in that order) and that the result would be a 2x1 matrix.

Thanks so much, this math blog helps me refresh my memory of this than my professor did of explaining. :D thank you. :)

Can you please verify what Scouse Rob said for his last comment?
I'm doing Hill-cipher question which C= KP mod26. KP (2x2 by 2x1) or PK(1x2 by 2x2)? Please help


Matrix to Matrix Multiplication a.k.a “Messy Type”

Always remember this!

In order for matrix multiplication to work, the number of columns of the left matrix MUST EQUAL to the number of rows of the right matrix.

Suppose we are given the matrices A and B , find AB (do matrix multiplication, if applicable). Determine which one is the left and right matrices based on their location. It is a very important step.

To determine if I can multiply the two given matrices, I need to pay attention to the number of columns of matrix A and the number of rows of matrix B . If they are equal, then I can proceed with Matrix Multiplication. Otherwise, I will conclude that the answer is undefined!

Kerana Matrix A has the number of columns of 2 , dan Matrix B has the number of rows of 3 , and they are not equal ( 2 ≠ 3 ), I conclude that AB = undefined. That means their product can’t be found.

Examples of Matrix Multiplication a.k.a. “Messy Type”

Directions: Given the following matrices, perform the indicated operation.

Contoh 1: Calculate, if possible, the product of B and E .

In order for matrices B and E to have a product, the number of columns of left matrix B must equal the number of rows of right matrix E .

Since this is the case, then it is okay to multiply them together. Now, these are the steps:

Langkah 1: Place them side by side.

Step 2: Multiply the rows of B into the columns of E by multiplying the corresponding elements of each row to each elements of column, and then add them together.

Please watch the animated solution carefully.

If you have no patience watching the animated solution above on how to perform matrix multiplication, you can view the regular solution I have included below.

Contoh 2: Calculate, if possible, the product of E and F .

Check first if the product of the two matrices exists by making sure that the number of columns of left matrix E equals the number of rows of right matrix F .

This is wonderful since the number of columns of matrix E equals the number of rows of matrix F . This means the product of EF is defined so we can go ahead and perform matrix multiplication. See below for the animated step by step solution of matrix multiplication.

Contoh 3: Calculate, if possible, the product of F and E .

In our previous example, we have successfully obtained the product of EF . This time around, we want to find if we can find the product of E[latex] and [latex]F , in that order.

Just to remind you, real numbers are commutative under multiplication operation which means that the order of multiplication does not affect the final product. For instance.

So the big question becomes, does it work also in matrix multiplication?

Let's check if the number of columns of matrix F equals the number of rows of matrix E .

Obviously, the number of columns of Matrix F does not equal the number of rows of Matrix E . The implication is that the product of FE cannot be calculated, therefore undefined!

In general, matrix multiplication is not commutative.

Contoh 4: Calculate, if possible, the product of AE .

The standard way to describe the size or dimension of a matrix is to.

( state number of rows ) x ( state number of columns )

. read as "the number of rows by the number of columns".

3 x 3 (three by three matrix)

3 x 2 (three by two matrix)

Since the number of columns of matrix A equals the number of rows of matrix E then we conclude that the product of AE is defined.

Let's work it out. See animated solution below.

Contoh 5: Calculate, if possible, the product of E and A .

3 x 2 (three by two matrix)

3 x 3 (three by three matrix)

Obviously, the number of columns of matrix E does not equal the number of columns of matrix A . Therefore, the product of EA cannot be calculated, or undefined.

Contoh 6: Calculate, if possible, the product of D and F .

Since the number of columns of matrix D equals the number of rows of matrix F , the product of DF is defined.

Contoh 7: What is the product of matrix C when multiplied by itself?

This is rather simple. We will simply multiply matrix C by matrix C which can be written as CC or . In other words, we are squaring matrix C .

We need to be cautious here. Notice that only a square matrix can be squared. Just to remind you, a square matrix is a matrix where the number of its row is equal to the number of its column.

I will leave it to you to verify that the solution below is correct. For math problem such as this, although tedious, I always recommend to do it by hand using pencil and paper.


3 Answers 3

Matrix multiplication is a symbolic way of substituting one linear change of variables into another one. If $x' = ax + by$ and $y' = cx+dy$, and $x'' = a'x' + b'y'$ and $y'' = c'x' + d'y'$ then we can plug the first pair of formulas into the second to express $x''$ and $y''$ in terms of $x$ and $y$: $ x'' = a'x' + b'y' = a'(ax + by) + b'(cx+dy) = (a'a + b'c)x + (a'b + b'd)y $ and $ y'' = c'x' + d'y' = c'(ax+by) + d'(cx+dy) = (c'a+d'c)x + (c'b+d'd)y. $ It can be tedious to keep writing the variables, so we use arrays to track the coefficients, with the formulas for $x'$ and $x''$ on the first row and for $y'$ and $y''$ on the second row. The above two linear substitutions coincide with the matrix product $ left( egin a'&b'c'&d' end ight) left( egin a&bc&d end ight) = left( egin a'a+b'c&a'b+b'dc'a+d'c&c'b+d'd end ight). $ So matrix multiplication is just a bookkeeping device for systems of linear substitutions plugged into one another (order matters). The formulas are not intuitive, but it's nothing other than the simple idea of combining two linear changes of variables in succession.


Addition of Matrices

Denote the sum of two matrices $A$ and $B$ (of the same dimensions) by $C = A + B..$ The sum is defined by adding entries with the same indices

Subtraction of Matrices

Subtraction is performed in analogous way.

Scalar multiplication

To multiply a matrix with a real number, each element is multiplied by that number.

Multiplication of a row vector by a column vector

This multiplication is only possible if the row vector and the column vector have the same number of elements. To multiply the row by the column, corresponding elements are multiplied, then added to the results.

If the row vector and the column vector are not of the same length, their product is not defined.

The Product of a Row Vector and Matrix

When the number of elements in row vector is the same as the number of rows in the second matrix then this matrix multiplication can be performed.

If the number of elements in row vector is TIDAK the same as the number of rows in the second matrix then their product is not defined.

Matrix Multiplication - General Case

When the number of columns of the first matrix is the same as the number of rows in the second matrix then matrix multiplication can be performed.

Multiplying a $2 imes 3$ matrix by a $3 imes 2$ matrix is possible, and it gives a $2 imes 2$ matrix as the result.

Multiplying a $2 imes 3$ matrix by a $2 imes 3$ matrix is not defined.

Here is an example of matrix multiplication for two concrete matrices

Example: Find the product $AB$ where $A$ and $B$ are matrices:

The product $AB$ is defined since $A$ is a $2 imes 3$ matrix and $B$ is a $3 imes 2$ matrix. The answer is a $2 imes 2$ matrix. The multiplication is divided into 4 steps.

Multiply the 1st row of the first matrix and 1st column of the second matrix, element by element. The result goes in the position (1, 1)

Now, multiply the 1st row of the first matrix and 2nd column of the second matrix. The result goes in the position (1, 2)

Next, multiply 2nd row of the first matrix and the 1st column of the second matrix. The result goes in the position (2, 1)

Finally, multiply 2nd row of the first matrix and the 2st column of the second matrix. The result goes in the position (2, 2)


References

[2] Grattan-Guinness, Convolutions in French Mathematics, 1800-1830 (Basel, 1990). WID-LC QA27.F8 G73 1990

[3] Vachov, D. Anniversaries in mathematics history for 1986. (Bulgarian) Translated in Proc. Steklov Inst. Matematik. 1990, no. 1, 279-284.

[4] Fiz.-Mat. Spis. Bcdprime lgar. Akad. Nauk. 29(62) (1987), no. 2, 118--120. Cabot Science Library PER 3740

[9]J. Tvrdá, On the origin of the theory of matrices, Acta Historiae Rerum Naturalium necnon Technicarum (Prague, 1971), 335-354. Widener Library Info Aus 80037.5

[10] E. Knobloch, Der Beginn der Determinantentheorie, Leibnizens nachgelassene Studien zum Determinantenkalkül (Hildesheim, 1980).

[11] A.E. Malykh, Development of the general theory of determinants up to the beginning of the nineteenth century (Russian), Mathematical analysis (Leningrad, 1990), 88-97.

[13] Nicolas Bourbaki: Elements of the history of mathematics, 1965 Scan.

[14] Bell: Toward mathematical structure, Scanned pages.

[15] Thomas Muir, Contributions to the History of determinants, (review) Nature, 126, 839, 1930 [Scan]

[16] [added Aug 1, 2014] Binet's 1812 paper (Thanks to Christoph Vignat) [PDF].


Tonton videonya: Bab 2 part 4 Matematik Tingkatan 5 KSSM: Pendaraban dua matriks (Ogos 2022).