Artikel

1: ODE pesanan pertama - Matematik


1: ODE pesanan pertama - Matematik

Persamaan Pembezaan Biasa dengan Algebra Linear Gunaan

Kursus ini meneroka salah satu soalan paling asas yang telah difikirkan oleh manusia: Bagaimana masa depan ditentukan oleh masa kini dan masa lalu? Kami akan menyiasat soalan ini secara matematik dengan mengkaji pelbagai jenis persamaan yang melibatkan fungsi yang tidak diketahui dan terbitannya. Ini persamaan pembezaan bantu kami memahami banyak fenomena dunia nyata, termasuk dalam sains dan sains sosial.

Jenis Kursus: Laju diri Prasyarat: Kalkulus 2

Apa yang Anda Akan Pelajari

Kami akan menghabiskan sepertiga pertama kursus untuk mempelajari persamaan pembezaan biasa (ODEs), mengembangkan beberapa teori yang berkaitan serta beberapa teknik untuk menyelesaikan ODE. Kami juga akan menerapkan teori dan teknik penyelesaian kami untuk ODE yang timbul dalam bidang fizik, biologi, dan disiplin lain. Pada akhir kajian kami mengenai ODE yang lebih tinggi, kami memerlukan algebra linear. Kami akan menghabiskan sepertiga kedua kursus untuk mempelajarinya, meneroka aplikasinya dan menggunakannya untuk menyelesaikan ODE. Sepertiga terakhir kursus akan memberi tumpuan kepada kajian kualitatif ODE. Pendekatan ini, walaupun tidak dapat menghasilkan penyelesaian yang tepat, memberikan wawasan mengenai penyelesaian untuk ODE tertentu melalui penggunaan medan arah dan potret fasa.

Topik yang Diliputi

  • Topik persamaan pembezaan merangkumi pemodelan dengan dan menyelesaikan ODE orde pertama dan kedua, ODE yang boleh dipisahkan, dan perbincangan mengenai ODE yang lebih tinggi dan tidak linear.
  • Topik aljabar linier merangkumi menyelesaikan sistem melalui operasi baris dasar, pangkalan, dimensi, penentu, ruang lajur, dan nilai / vektor eigen.

Matlamat pembelajaran

Kursus ini telah dirancang untuk mencapai hasil pembelajaran berikut pada masa anda menyelesaikan kursus ini.


1: ODE pesanan pertama - Matematik

Berikut adalah sekumpulan masalah latihan untuk bab Persamaan Pembezaan Pesanan Pertama nota Persamaan Pembezaan.

  1. Sekiranya anda mahukan dokumen pdf yang mengandungi penyelesaiannya, tab muat turun di atas mengandungi pautan ke pdf yang mengandungi penyelesaian untuk buku, bab dan bahagian penuh. Pada masa ini, saya tidak menawarkan pdf untuk menyelesaikan masalah individu.
  2. Sekiranya anda ingin melihat penyelesaian di web, pergi ke laman web penyelesaian masalah, klik pautan penyelesaian untuk sebarang masalah dan ini akan membawa anda ke penyelesaian masalah tersebut.

Perhatikan bahawa beberapa bahagian akan mempunyai lebih banyak masalah daripada yang lain dan beberapa bahagian akan mempunyai lebih kurang daripada pelbagai masalah. Sebilangan besar bahagian mesti mempunyai pelbagai tahap kesukaran dalam masalahnya walaupun ini akan berbeza dari bahagian ke bahagian.

Berikut adalah senarai semua bahagian di mana masalah latihan telah ditulis serta penerangan ringkas mengenai bahan yang diliputi dalam nota untuk bahagian tersebut.

Persamaan Linear - Di bahagian ini kita menyelesaikan persamaan pembezaan urutan pertama linear, iaitu persamaan pembezaan dalam bentuk (y '+ p (t) y = g (t) ). Kami memberikan gambaran mendalam mengenai proses yang digunakan untuk menyelesaikan jenis persamaan pembezaan ini serta turunan formula yang diperlukan untuk faktor penyatuan yang digunakan dalam proses penyelesaian.

Persamaan Terpisah - Pada bahagian ini kita menyelesaikan persamaan pembezaan urutan pertama yang boleh dipisahkan, iaitu persamaan pembezaan dalam bentuk (N (y) y '= M (x) ). Kami akan memberikan hasil proses penyelesaian kepada jenis persamaan pembezaan ini. Kami juga akan mula mencari selang kesahan untuk penyelesaian persamaan pembezaan.

Persamaan Tepat - Di bahagian ini kita akan membincangkan mengenal pasti dan menyelesaikan persamaan pembezaan tepat. Kami akan mengembangkan ujian yang boleh digunakan untuk mengenal pasti persamaan pembezaan tepat dan memberikan penjelasan terperinci mengenai proses penyelesaian. Kami juga akan melakukan beberapa selang masalah kesahan di sini juga.

Persamaan Pembezaan Bernoulli - Pada bahagian ini kita menyelesaikan persamaan pembezaan urutan pertama linear, iaitu persamaan pembezaan dalam bentuk (y '+ p (t) y = y ^). Bahagian ini juga akan memperkenalkan idea menggunakan pengganti untuk membantu kita menyelesaikan persamaan pembezaan.

Penggantian - Di bahagian ini kita akan melihat bahagian terakhir yang ditinggalkan dan melihat beberapa penggantian lain yang boleh digunakan untuk menyelesaikan beberapa persamaan pembezaan. Khususnya kita akan membincangkan penggunaan penyelesaian untuk menyelesaikan persamaan pembezaan dari bentuk (y '= F ( frac) ) dan (y '= G (ax + by) ).

Selang Masa Berlaku - Di bahagian ini kita akan melihat secara mendalam selang kesahan serta jawapan kepada persoalan kewujudan dan keunikan untuk persamaan pembezaan urutan pertama.

Pemodelan dengan Persamaan Pembezaan Pesanan Pertama - Di bahagian ini kita akan menggunakan persamaan pembezaan urutan pertama untuk memodelkan keadaan fizikal. Secara khusus kita akan melihat masalah pencampuran (memodelkan jumlah bahan yang dilarutkan dalam cecair dan cecair yang masuk dan keluar), masalah populasi (memodelkan populasi di bawah pelbagai situasi di mana populasi boleh masuk atau keluar) dan benda jatuh (memodelkan halaju objek yang jatuh di bawah pengaruh rintangan graviti dan udara).

Penyelesaian Keseimbangan - Pada bahagian ini kita akan menentukan penyelesaian keseimbangan (atau titik keseimbangan) untuk persamaan pembezaan autonomi, (y '= f (y) ). Kami membincangkan pengkelasan penyelesaian keseimbangan sebagai penyelesaian keseimbangan asimptotik, tidak stabil atau separa stabil.

Kaedah Euler - Di bahagian ini kita akan melihat secara ringkas kaedah yang cukup mudah untuk menghampiri penyelesaian terhadap persamaan pembezaan. Kami memperoleh formula yang digunakan oleh Kaedah Euler dan memberikan perbincangan ringkas mengenai kesalahan dalam pendekatan penyelesaiannya.


Latihan 17.2

Cari penyelesaian umum setiap persamaan dalam 1 & ndash4.

Dalam 5 & ndash14, selesaikan masalah nilai awal.

Cth 17.2.5 $ ds dot y + y = 0 $, $ y (0) = 4 $ (jawapan)

Cth 17.2.6 $ ds dot y -3y = 0 $, $ y (1) = - 2 $ (jawapan)

Cth 17.2.7 $ ds dot y + y sin t = 0 $, $ y ( pi) = 1 $ (jawapan)

Cth 17.2.8 $ ds dot y + ye ^ t = 0 $, $ y (0) = e $ (jawapan)

Cth 17.2.10 $ ds dot y + y cos (e ^ t) = 0 $, $ y (0) = 0 $ (jawapan)

Cth 17.2.11 $ ds t dot y - 2y = 0 $, $ y (1) = 4 $ (jawapan)

Cth 17.2.12 $ ds t ^ 2 dot y + y = 0 $, $ y (1) = - 2 $, $ t> 0 $ (jawapan)

Cth 17.2.13 $ ds t ^ 3 dot y = 2y $, $ y (1) = 1 $, $ t> 0 $ (jawapan)

Cth 17.2.14 $ ds t ^ 3 dot y = 2y $, $ y (1) = 0 $, $ t> 0 $ (jawapan)

Cth 17.2.15 Fungsi $ y (t) $ adalah penyelesaian $ ds dot y + ky = 0 $. Katakan bahawa $ y (0) = 100 $ dan $ y (2) = 4 $. Cari $ k $ dan cari $ y (t) $. (jawapan)

Cth 17.2.16 Fungsi $ y (t) $ adalah penyelesaian $ ds dot y + t ^ ky = 0 $. Katakan bahawa $ y (0) = 1 $ dan $ y (1) = e ^ <-13> $. Cari $ k $ dan cari $ y (t) $. (jawapan)

Cth 17.2.17 Budaya bakteria tumbuh pada kadar yang sebanding dengan populasinya. Sekiranya populasi adalah satu juta pada $ t = 0 $ dan 1,5 juta pada $ t = 1 $ jam, cari penduduk sebagai fungsi masa. (jawapan)

Cth 17.2.18 Unsur radioaktif merosot dengan jangka hayat 6 tahun. Sekiranya sekumpulan elemen mempunyai jisim 10 kilogram pada $ t = 0 $, cari jumlah elemen pada masa itu $ t $. (jawapan)


Kehadiran dan Keunikan

Dalam bahagian ini kita akan mempertimbangkan ODEs pesanan pertama, biasanya masalah nilai awal dalam bentuk tertentu

Kami akan menyebutnya sebagai "IVP".

Adalah berguna untuk mengetahui masalah matematik sama ada seseorang boleh mengharapkan untuk mencari jalan keluar, dan jika ada lebih dari satu penyelesaian. Soalan ini sedikit lebih halus untuk persamaan pembezaan daripada masalah algebra sederhana (seperti polinomial kuadratik).

Untuk menggambarkan salah satu masalah yang terlibat, mari kita pertimbangkan contoh berikut.

Contoh: Masalah baldi.

Anggaplah bahawa baldi diisi dengan air hingga ketinggian y, dan baldi mempunyai lubang kecil di bahagian bawah. Sekiranya baldi mempunyai luas keratan rentas yang tetap maka ketinggian akan memenuhi ODE:

di mana k adalah pemalar positif yang bergantung pada luas lubang dan unit y dan t.

Ini adalah ODE yang dapat dipisahkan untuk menyelesaikannya yang kita bahagikan dengan sqrt dan mengintegrasikan:

yang menghasilkan penyelesaian tersirat˜

Sekarang kita dapat menyelesaikan penyelesaian yang jelas:

Penyelesaiannya nampaknya cukup mudah secara matematik, tetapi menafsirkannya menimbulkan beberapa persoalan. Sekiranya kita mulakan dengan keadaan awal y (0) = 1, maka C_0 = 2 dan kita ada

Penyelesaian ini telah berkurang sehingga menjadi 0 pada t = 2 / k, setelah itu nampaknya baldi mula (ajaib?) Mengisi dirinya sendiri. Walau bagaimanapun penyelesaian ini tidak memenuhi ODE selepas t = 2 / k. Secara intuitif tentu saja kita menjangkakan baldi kosong akan tetap kosong, yang sesuai dengan penyelesaian berterusan y = 0. Adalah mudah untuk mengesahkan bahawa y = 0 juga merupakan penyelesaian yang sah untuk ODE. Sekiranya kita menganggap keadaan awal adalah y (2) = 0, terdapat banyak penyelesaian yang mundur dalam masa, dan hanya penyelesaian sifar yang meneruskan ke masa.

Jadi secara keseluruhan masalah nilai awal dengan y (0) = 1 agak rumit: kita mesti beralih pada masa t = 2 / k ke penyelesaian yang berbeza (y = 0) dari yang diberikan oleh kaedah pemisahan. Petak penyelesaian ini dengan k = 1 ditunjukkan di bawah.

Giuseppe Peano.

Nasib baik ada beberapa teorema tepat ketika ada penyelesaian untuk ODE (teorema kewujudan) dan ketika ada satu penyelesaian (teorema keunikan). Kami akan meringkaskan dua teorema termudah seperti, teorema kewujudan Peano dan teorema keunikan Picard.

Adanya penyelesaian: Teorema keberadaan Peano, yang dibuktikan oleh Giuseppe Peano sekitar tahun 1890, mengatakan bahawa jika medan cerun f (t, y) berterusan dalam satu set terbuka (contohnya cakera terbuka di satah (t, y)) yang mengandungi keadaan awal (t_0, y_0), maka ada penyelesaian y (t) ke IVP dalam beberapa selang nilai t yang mengandungi t_0.

Keunikan penyelesaian: Teorema Picard (atau Picard-Lindelöf) menguatkan teorema Peano: jika fungsi cerun f (t, y) kedua-duanya berterusan dan mempunyai turunan separa berterusan frac < partial f> < partial y> di satu set terbuka yang mengandungi keadaan awal, maka ada penyelesaian unik y (t) ke IVP dalam beberapa selang nilai t yang mengandungi t_0.

Ingat bahawa derivatif separa f (x, y) berkenaan dengan y hanyalah terbitan dalam arah-y, dengan nilai tetap x:

Pengulangan Picard (pilihan). Bukti keunikan Picard menggunakan teknik pendekatan penyelesaian yang disebut iterasi Picard. Kita mulakan dengan anggaran berterusan y_0 (t) = y (t_0). Kemudian untuk setiap fungsi y_i (t), kita mendapat penyelesaian anggaran yang lebih baik y_(t) dari:

(lihat di bawah untuk contoh iterasi Picard).

Contoh: lelaran Picard

Untuk melihat bagaimana iterasi Picard berfungsi, kita akan menemui beberapa pendekatan penyelesaian IVP yang dapat kita selesaikan secara jelas:

Ini adalah contoh pertumbuhan eksponensial, dengan penyelesaian y = e ^ <2t>. Tiga penghampiran pertama dari iterasi Picard adalah:

Dan lelaran ketiga memberikan:

Ini sama dengan empat istilah pertama siri kuasa e ^ <2t> pada 0:

Salah satu cara untuk memikirkan teorema keunikan adalah bahawa penyelesaian tidak dapat dilalui jika ia unik. Ini dapat membantu ketika memikirkan kemungkinan tingkah laku keluarga penyelesaian dengan keadaan awal yang berbeza.

Contoh: Selang Penyelesaian

Mari kita pertimbangkan satu contoh yang menunjukkan bahawa selang penyelesaian ada mungkin lebih kecil daripada kawasan di mana medan cerun berterusan:

Dalam contoh ini, fungsi cerun f (t, y) = y ^ 2 hanya bergantung pada y, dan ia dapat dibezakan tanpa batas pada semua titik dalam satah (t, y). Oleh itu, ada penyelesaian unik untuk setiap keadaan nilai awal. Kita dapat mencari penyelesaiannya dengan pemisahan (membahagi dengan y ^ 2):

Kita boleh memasukkan keadaan awal di sini untuk mengetahui bahawa C_0 = -1, begitu

Penyelesaian ini mempunyai asimptot menegak pada t = 1, jadi penyelesaian untuk IVP hanya ditentukan secara berterusan untuk selang waktu (- infty, 1).

Contoh: Masalah baldi dikaji semula

Mari kita pertimbangkan semula masalah baldi dari atas berdasarkan teorema Peano dan Picard. ODE adalah

dan kami hanya menganggap y dalam domain y ge 0. Oleh kerana fungsi cerun tidak bergantung pada t, ia secara berterusan berterusan dalam pemboleh ubah tersebut. Untuk y positif, fungsi sqrt juga berterusan, jadi teorema Peano menjamin bahawa ada penyelesaian untuk selang nilai t di sekitar keadaan awal dengan y positif (dan nilai t). Derivatif separa fungsi cerun adalah - frac<2 sqrt>, yang juga berterusan untuk y positif, jadi teorema Picard mengatakan penyelesaiannya akan unik.

Walau bagaimanapun, jika nilai awal y adalah sifar, maka kedua-dua teorema ini tidak berlaku dan tidak jelas apakah penyelesaian itu wujud dan adakah penyelesaian yang diberikan itu unik, kerana fungsi sqrt dan 1 / sqrt tidak berterusan dalam lingkungan sifar (mereka bahkan tidak didefinisikan untuk negatif y).

Mari kita lihat contoh terakhir yang mempunyai keunikan yang agak luar biasa untuk penyelesaiannya.

Contoh: ODE tunggal

Andaikan kita ingin mencari jalan penyelesaian untuk ODE

Ini adalah ODE yang dapat dipisahkan, dan kita dapat memindahkan t dan y ke seberang dari tempat mereka bermula dan menyatukan:

Sekarang setelah memperluas dan menggunakan fakta bahawa e ^ <2 log (| t |)> = t ^ 2, kita dapati bahawa

Untuk menerapkan teorema Picard untuk masalah ini, kita perlu menulis ODE dalam bentuk standard y '= f (t, y), yang dalam hal ini adalah:

Derivatif separa fungsi cerun adalah

dan kita dapat melihat bahawa kedua-dua f dan frac < partial f> < partial y> adalah fungsi berterusan kecuali pada t = 0. Oleh itu untuk sebarang keadaan awal y (t_0) = y_0 ada penyelesaian unik untuk beberapa selang terbuka nilai t yang mengandungi t_0 yang dapat kita selesaikan untuk C_1 tetap kita untuk melihat bahawa penyelesaian ini

Namun jika t_0 = 0, maka tidak ada penyelesaian jika y_0 neq 0, atau banyak penyelesaian jika y_0 = 0. Ini adalah contoh yang baik dari fakta bahawa jika syarat-syarat teorema Picard tidak dipenuhi, itu tidak bermaksud bahawa penyelesaiannya tidak unik - kita tidak dapat membuat kesimpulan tertentu dalam situasi itu.

Latihan: Kehadiran dan keunikan untuk y '= 3y ^ t.

Untuk masalah nilai awal frac = 3 y ^ <2/3> t, y (1) = 1:

a. Cari penyelesaian untuk IVP.

b. Tentukan selang terbesar nilai t di mana penyelesaian anda dari (a) ditentukan.

c. Adakah ia mempunyai penyelesaian yang unik? Periksa sama ada syarat-syarat teorema keberadaan / keunikan Picard berlaku. (Perhatikan ini bergantung hanya pada fungsi cerun f (t, y) = 3 y ^ <2/3> t, BUKAN penyelesaian dari bahagian (a).)

Ulangi masalah di atas, tetapi kali ini dengan nilai awal y (1) = 0.


Selamat datang!

Ini adalah salah satu daripada lebih daripada 2.400 kursus di OCW. Terokai bahan untuk kursus ini di halaman yang dipautkan di sebelah kiri.

MIT OpenCourseWare adalah penerbitan bahan percuma & terbuka dari beribu-ribu kursus MIT, yang merangkumi keseluruhan kurikulum MIT.

Tiada pendaftaran atau pendaftaran. Jelajah dan gunakan bahan OCW secara bebas mengikut kadar anda sendiri. Tidak ada pendaftaran, dan tidak ada tarikh mula atau akhir.

Ilmu adalah ganjaran anda. Gunakan OCW untuk membimbing pembelajaran sepanjang hayat anda sendiri, atau untuk mengajar orang lain. Kami tidak menawarkan kredit atau pensijilan untuk menggunakan OCW.

Dibuat untuk berkongsi. Muat turun fail untuk kemudian. Hantar kepada rakan dan rakan sekerja. Ubah, remix, dan gunakan semula (ingat untuk menyebut OCW sebagai sumbernya.)


Selesaikan Persamaan Pembezaan Pesanan Pertama

Tutorial bagaimana menyelesaikan persamaan pembezaan pesanan pertama. Contoh dengan penyelesaian terperinci disertakan.

Bentuk umum persamaan pembezaan linear orde pertama adalah seperti berikut

dy / dx + P (x) y = Q (x)
di mana P (x) dan Q (x) adalah fungsi x.
Sekiranya kita menggandakan semua istilah dalam persamaan pembezaan yang diberikan di atas oleh fungsi u (x) yang tidak diketahui, persamaan menjadi
u (x) dy / dx + u (x) P (x) y = u (x) Q (x)
Bahagian kiri dalam persamaan di atas mempunyai istilah u dy / dx, kita mungkin berfikir untuk menulis keseluruhan sisi kiri persamaan sebagai d (u y) / dx. Menggunakan peraturan produk derivatif yang kami perolehi
d (u y) / dx = y du / dx + u dy / dx
Agar y du / dx + u dy / dx dan u (x) dy / dx + u (x) P (x) y sama, kita perlu mempunyai
du / dx = u (x) P (x)
Yang mungkin ditulis sebagai
(1 / u) du / dx = P (x)
Gabungkan kedua-dua belah pihak untuk memperoleh
ln (u) = P (x) dx
Selesaikan perkara di atas untuk anda perolehi
u (x) = e P (x) dx
u (x) dipanggil faktor penyatuan. Penyelesaian untuk fungsi u yang tidak diketahui telah dijumpai. Ini akan membantu menyelesaikan persamaan pembezaan.
d (uy) / dx = u (x) Q (x)
Gabungkan kedua-dua belah pihak untuk memperoleh
u (x) y = u (x) Q (x) dx
Akhirnya selesaikan agar y dapat diperoleh
y = (1 / u (x)) u (x) Q (x) dx

Contoh 1: Selesaikan persamaan pembezaan

Penyelesaian kepada Contoh 1
Membandingkan persamaan pembezaan yang diberikan dengan persamaan pembezaan orde pertama umum, kita ada

Contoh 2: Selesaikan persamaan pembezaan

dy / dx + y / x = - 2 untuk x> 0

Penyelesaian kepada Contoh 2
Kami pertama kali menjumpai P (x) dan Q (x)
P (x) = 1 / x dan Q (x) = - 2
Faktor penyatuan u (x) diberikan oleh
u (x) = e P (x) dx
= e (1 / x) dx
= e ln | x | = | x | = x sejak x> 0.
Kami sekarang menggantikan u (x) = x dan Q (x) = - 2 dalam persamaan u (x) y = u (x) Q (x) dx untuk mendapatkan
x y = -2 x dx
Gabungkan istilah tangan kanan untuk memperoleh
x y = -x 2 + C, C ialah pemalar perpaduan.
Selesaikan perkara di atas untuk mendapatkan y
y = C / x - x
Sebagai latihan cari dy / dx dan gantikan y dan dy / dx dalam persamaan yang diberikan untuk memeriksa bahawa penyelesaian yang dijumpai betul.

Contoh 3: Selesaikan persamaan pembezaan

x dy / dx + y = - x 3 untuk x> 0

Penyelesaian kepada Contoh 3
Kami membahagikan terlebih dahulu semua syarat persamaan dengan x untuk mendapatkan
dy / dx + y / x = - x 2
Kami sekarang menjumpai P (x) dan Q (x)
P (x) = 1 / x dan Q (x) = - x 2
Faktor penyatuan u (x) diberikan oleh
u (x) = e P (x) dx
= e (1 / x) dx
= e ln | x | = | x | = x sejak x> 0.
Kami sekarang menggantikan u (x) = x dan Q (x) = - x 2 dalam persamaan u (x) y = u (x) Q (x) dx untuk mendapatkan
x y = - x 3 dx
Integrasi hasil jangka masa kanan
x y = -x 4/4 + C, C ialah pemalar perpaduan.
Selesaikan perkara di atas untuk mendapatkan y
y = C / x - x 3/4
Sebagai latihan cari dy / dx dan gantikan y dan dy / dx dalam persamaan yang diberikan untuk memeriksa bahawa penyelesaian yang dijumpai betul.
CATATAN: Sekiranya anda dapat "melihat" bahawa sebelah kanan persamaan yang diberikan
x dy / dx + y = - x 3
boleh ditulis sebagai d (x y) / dx, penyelesaiannya dapat dijumpai dengan mudah seperti berikut
d (x y) / dx = - x 3
Gabungkan kedua-dua belah pihak untuk memperoleh
x y = - x 4/4 + C.
Kemudian selesaikan untuk mendapatkan
y = - x 3/4 + C / x

Latihan: Selesaikan persamaan pembezaan berikut.
1. dy / dx + y = 2x + 5
2. dy / dx + y = x 4
Jawapan untuk Latihan Di Atas
1. y = 2x + 3 + C e -x, pemalar pemalar C.
2. y = x 4 - 4x 3 + 12x 2 - 24 x + Ce -x + 24, C pemalar perpaduan.


Johnivan Johnivan mengambil Matematik Lanjutan T sebagai subjek ke-5 dalam STPM 2009. Dengan sumber yang terhad, dan tanpa guru, dia bekerja sangat keras untuk mendapat markah yang baik dalam Matematik Lanjutan T. Pada akhirnya, dia adalah salah satu daripada 2 yang lulus kertas pada tahun 2009, di mana dia memperoleh A-.

Johnivan belajar Fizik (khusus dalam Astrofizik) di Universiti Nasional Singapura. Dia kemudian melanjutkan pengajian PhD di University College London, yang mengkhususkan diri dalam bidang kosmologi. Kini beliau adalah pensyarah kanan di Universiti Sains Malaysia.

Dia mencipta blog ini pada tahun 2010 untuk membantu dan menolong mereka yang ingin mengambil subjek ini. Lebih menyedihkan bahawa silibus subjek telah diubah pada tahun 2012, dan kemudian dihapuskan dari STPM pada tahun 2014, jadi sekarang blog ini akan berfungsi sebagai arkib bagi sukatan pelajaran lama. Walaupun begitu, kandungannya tetap dapat membantu pelajar sekolah menengah dan kolej.


Bab 1 Persamaan Pembezaan Tertib Pertama - Pembentangan PowerPoint PPT

Tajuk: Persembahan PowerPoint Terakhir diubah suai oleh: Tarikh Dibuat oleh Pengguna: 1/1/1601 12:00:00 AM Format persembahan dokumen: Tajuk lain & ndash Persembahan PPT PowerPoint

PowerShow.com adalah laman web perkongsian persembahan / tayangan slaid yang terkemuka. Sama ada aplikasi anda adalah perniagaan, cara, pendidikan, perubatan, sekolah, gereja, penjualan, pemasaran, latihan dalam talian atau hanya untuk bersenang-senang, PowerShow.com adalah sumber yang hebat. Dan yang paling penting, kebanyakan ciri-ciri kerennya percuma dan senang digunakan.

Anda boleh menggunakan PowerShow.com untuk mencari dan memuat turun contoh persembahan ppt PowerPoint dalam talian mengenai hampir semua topik yang anda bayangkan sehingga anda dapat belajar bagaimana memperbaik slaid dan persembahan anda secara percuma. Atau gunakannya untuk mencari dan memuat turun persembahan ppt PowerPoint berkualiti tinggi dengan slaid bergambar atau animasi yang akan mengajar anda bagaimana melakukan sesuatu yang baru, juga secara percuma. Atau gunakannya untuk memuat naik slaid PowerPoint anda sendiri supaya anda dapat membaginya dengan guru, kelas, pelajar, bos, pekerja, pelanggan, bakal pelabur atau dunia. Atau gunakannya untuk membuat tayangan slaid foto yang sangat menarik - dengan peralihan 2D dan 3D, animasi, dan muzik pilihan anda - yang boleh anda kongsi dengan rakan Facebook atau kalangan Google+ anda. Itu semua percuma juga!

Dengan sedikit bayaran, anda boleh mendapatkan privasi dalam talian terbaik industri atau mempromosikan persembahan dan persembahan slaid anda secara terbuka dengan kedudukan teratas. Tetapi selain itu percuma. Kami bahkan akan menukar persembahan dan tayangan slaid anda ke dalam format Flash sejagat dengan semua kemuliaan multimedia asalnya, termasuk animasi, kesan peralihan 2D dan 3D, muzik terbenam atau audio lain, atau bahkan video yang disertakan dalam slaid. Semua percuma. Sebilangan besar persembahan dan tayangan slaid di PowerShow.com percuma untuk dilihat, malah banyak yang percuma untuk dimuat turun. (Anda boleh memilih sama ada membenarkan orang memuat turun persembahan PowerPoint dan tayangan slaid foto anda dengan bayaran atau percuma atau tidak sama sekali.) Lihat PowerShow.com hari ini - secara PERCUMA. Ada benar-benar sesuatu untuk semua orang!

persembahan secara percuma. Atau gunakannya untuk mencari dan memuat turun persembahan ppt PowerPoint berkualiti tinggi dengan slaid bergambar atau animasi yang akan mengajar anda bagaimana melakukan sesuatu yang baru, juga secara percuma. Atau gunakannya untuk memuat naik slaid PowerPoint anda sendiri supaya anda dapat membaginya dengan guru, kelas, pelajar, bos, pekerja, pelanggan, bakal pelabur atau dunia. Atau gunakannya untuk membuat tayangan slaid foto yang sangat menarik - dengan peralihan 2D dan 3D, animasi, dan muzik pilihan anda - yang boleh anda kongsi dengan rakan Facebook atau kalangan Google+ anda. Itu semua percuma juga!


Ch. 1 ODE Pesanan Pertama - Pembentangan PPT PowerPoint

PowerShow.com adalah laman web perkongsian persembahan / tayangan slaid yang terkemuka. Sama ada aplikasi anda adalah perniagaan, cara, pendidikan, perubatan, sekolah, gereja, penjualan, pemasaran, latihan dalam talian atau hanya untuk bersenang-senang, PowerShow.com adalah sumber yang hebat. Dan, yang paling penting, kebanyakan ciri-ciri kerennya percuma dan senang digunakan.

Anda boleh menggunakan PowerShow.com untuk mencari dan memuat turun contoh persembahan ppt PowerPoint dalam talian mengenai hampir semua topik yang anda bayangkan sehingga anda dapat belajar bagaimana memperbaik slaid dan persembahan anda secara percuma. Atau gunakannya untuk mencari dan memuat turun persembahan ppt PowerPoint berkualiti tinggi dengan slaid bergambar atau animasi yang akan mengajar anda bagaimana melakukan sesuatu yang baru, juga secara percuma. Atau gunakannya untuk memuat naik slaid PowerPoint anda sendiri supaya anda dapat membaginya dengan guru, kelas, pelajar, bos, pekerja, pelanggan, bakal pelabur atau dunia. Atau gunakannya untuk membuat tayangan slaid foto yang sangat menarik - dengan peralihan 2D dan 3D, animasi, dan muzik pilihan anda - yang boleh anda kongsi dengan rakan Facebook atau kalangan Google+ anda. Itu semua percuma juga!

Dengan sedikit bayaran, anda boleh mendapatkan privasi dalam talian terbaik industri atau mempromosikan persembahan dan persembahan slaid anda secara terbuka dengan kedudukan teratas. Tetapi selain itu percuma. Kami bahkan akan menukar persembahan dan pertunjukan slaid anda ke dalam format Flash sejagat dengan semua kemuliaan multimedia asalnya, termasuk animasi, kesan peralihan 2D dan 3D, muzik terbenam atau audio lain, atau bahkan video yang disertakan dalam slaid. Semua percuma. Sebilangan besar persembahan dan tayangan slaid di PowerShow.com percuma untuk dilihat, malah banyak juga yang boleh dimuat turun secara percuma. (Anda boleh memilih sama ada membenarkan orang memuat turun persembahan PowerPoint dan tayangan slaid foto anda dengan bayaran atau percuma atau tidak sama sekali.) Lihat PowerShow.com hari ini - secara PERCUMA. Ada benar-benar sesuatu untuk semua orang!

persembahan secara percuma. Atau gunakannya untuk mencari dan memuat turun persembahan ppt PowerPoint berkualiti tinggi dengan slaid bergambar atau animasi yang akan mengajar anda bagaimana melakukan sesuatu yang baru, juga secara percuma. Atau gunakannya untuk memuat naik slaid PowerPoint anda sendiri supaya anda dapat membaginya dengan guru, kelas, pelajar, bos, pekerja, pelanggan, bakal pelabur atau dunia. Atau gunakannya untuk membuat tayangan slaid foto yang sangat menarik - dengan peralihan 2D dan 3D, animasi, dan muzik pilihan anda - yang boleh anda kongsi dengan rakan Facebook atau kalangan Google+ anda. Itu semua percuma juga!


Tonton videonya: PTTI Matematik SPM - Ubahan (Disember 2021).