Artikel

8.6: Penyelesaian untuk Bab6 - Matematik

8.6: Penyelesaian untuk Bab6 - Matematik



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Latihan 6.3

Biarkan A = {a, b}, dan pertimbangkan preorder yang ditunjukkan di sini: ( begin {array} {l} a bullet end {array} ) ( begin {array} {l} b bullet end {array } ), ( begin {array} {l} a bullet end {array} ) → ( begin {array} {l} b bullet end {array} ), ( begin {array} {l} a bullet end {array} ) ( leftrightarrows ) ( begin {array} {l} b bullet end {array} ) .

  1. Yang paling kiri (preorder diskret dihidupkan A) tidak mempunyai objek awal, kerana a (nleq ) b dan b (nleq ) a.
  2. Yang tengah mempunyai satu objek awal, iaitu a.
  3. Yang paling kanan (preorder diskrit bersama dihidupkan A) mempunyai dua objek awal.

Latihan 6.6

Ingat bahawa objek kategori bebas pada grafik adalah titik grafik, dan morfisme adalah jalan. Oleh itu kategori percuma pada grafik G mempunyai objek awal sekiranya terdapat bucu v yang mempunyai jalan yang unik untuk setiap objek. Dalam 1. dan 2., bucu a mempunyai harta ini, jadi kategori percuma pada grafik 1. dan 2. mempunyai objek awal. Dalam grafik 3., tidak ada a tidak juga b mempunyai jalan satu sama lain, dan jadi tidak ada objek awal. Dalam graf 4., bucu a mempunyai banyak jalan untuk dirinya sendiri, dan karenanya kategori percuma juga tidak mempunyai objek awal.

Latihan 6.7

1. Syarat selebihnya adalah f (1 (_ {R} )) = 1 (_ {S} ), dan itu f (r1 ∗ (_ {R} ) r2) = f (r1) ∗ (_ {S} ) f (r2).

2. Objek awal dalam kategori Rig ialah rig nombor semula jadi ( ( mathbb {N} ), 0, +, 1, ∗).

Fakta yang awal bermaksud bahawa untuk pelantar lain R = (R, 0 (_ {R} ), + (_ {R} ), 1 (_ {R} ), ∗ (_ {R} )), terdapat homomorfisme rig unik f : ( mathbb {N} ) → R.

Apakah homomorfisme ini? Nah, untuk menjadi homomorfisme rig, f mesti menghantar 0 hingga 0 (_ {R} ), 1 hingga 1 (_ {R} ). Selain itu, kita juga mesti mempunyai f (m + n) = f (m) + (_ {R} ) f (n), dan oleh itu

Jadi sekiranya terdapat homomorfisme rig f : ( mathbb {N} ) → R, mesti diberikan oleh formula di atas. Tetapi adakah formula ini berfungsi dengan betul untuk pendaraban?
Ia masih perlu diperiksa f (m n) = f (m) ∗ (_ {R} ) f (n), dan ini akan berpunca daripada pembahagian. Memerhatikan itu f (m nadalah sama dengan jumlah m n salinan 1 (_ {R} ), kami ada

Oleh itu ( ( mathbb {N} ), 0, +, 1, ∗) adalah objek awal di Rig.

Latihan 6.8

Dalam Definisi 6.1, ia adalah objek awal Ø ( in ) C yang universal. Dalam kes ini, semua objek c ( in ) C adalah 'objek yang boleh dibandingkan'. Jadi sifat universal objek awal adalah untuk mana-mana objek c ( in ) C, ada peta unik Ø → c berasal dari objek awal.

Latihan 6.10

Sekiranya c (_ {1} ) adalah awal kemudian oleh harta sejagat, untuk mana-mana c ada morfisme yang unik c(_{1}) → c; khususnya, terdapat morfisme yang unik c(_{1}) → c (_ {2} ), panggilnya f . Begitu juga jika c (_ {2} ) adalah awal maka terdapat morfisme yang unik c(_{2}) → c (_ {1} ), panggilnya g. Tetapi bagaimana kita tahu bahawa f dan g saling songsang? Sejak itu c (_ {1} ) awalnya terdapat morfisme yang unik c(_{1}) → c (_ {1} ). Tetapi kita boleh memikirkan dua: idc1 dan f ; g. Oleh itu mereka mesti sama. Begitu juga untuk c (_ {2} ), jadi kami ada f ; g = id (_ {c_ {1}} ) dan g; f = id (_ {c_ {2}} ), yang merupakan definisi bagi f dan g saling songsang.

Latihan 6.13

Biarkan (P, ≤) menjadi praorder, dan hlm, q ( dalam ) P. Ingat bahawa praorder adalah kategori dengan paling banyak satu morfisme, yang dilambangkan ≤, di antara dua objek. Ingat juga bahawa semua rajah dalam perjalanan praorder, kerana ini bermakna dua morfisme dengan domain dan codomain yang sama adalah sama.
Menterjemahkan Definisi 6.11 ke kes ini, produk sampingan hlm + q adalah P adalah unsur P seperti itu hlm hlm + q dan q hlm + q, dan sedemikian rupa untuk semua elemen x ( dalam ) P dengan peta hlm x dan q x, kita ada hlm + q x. Tetapi ini mengatakan bahawa hlm + q adalah gabungan: ia adalah elemen paling sedikit di atas kedua-duanya hlm dan q. Oleh itu, koproduk dalam preorder sama seperti bergabung.

Latihan 6.16

Fungsinya [f , g] ditakrifkan oleh

[f , g] : A B ( longrightarrow ) T

apple1 ( mapsto ) a

pisang1 ( mapsto ) b

pear1 ( mapsto ) hlm

ceri1 ( mapsto ) c

oren1 ( mapsto ) o

epal2 ( mapsto ) e

tomato2 ( mapsto ) o

mangga2 ( mapsto ) o.

Latihan 6.17

1. Persamaan ι (_ {A} ); [f , g] = f ialah komutativiti segitiga tangan kiri dalam rajah komutatif (6.12) yang menentukan [f , g].

2. Persamaan ι (_ {B} ); [f , g] = g ialah komutatif segitiga tangan kanan dalam rajah komutatif (6.12) yang menentukan [f , g].

3. Persamaan [f , g] ; h = [f ; h, g ; h] berikut dari sifat sejagat dari produk sampingan. Memang, rajah

berulang-alik, dan harta sejagat mengatakan ada peta unik [f ; h, g ; h]: A + B D yang mana ini berlaku.

Oleh itu kita mesti mempunyai [f , g] ; h = [f ; h, g ; h]. 4. Begitu juga, untuk menunjukkan [ι (_ {A} ), ι (_ {B} )] = id (_ {A + B} ), perhatikan bahawa rajah

berulang-alik. Oleh itu oleh keunikan dalam (6.12), [ι (_ {A} ), ι (_ {B} )] = id (_ {A + B} ).

Latihan 6.18

Latihan ini adalah untuk menunjukkan bahawa koproduk dan objek awal memberikan kategori monoid simetri. Oleh kerana semua yang kita miliki adalah koproduk dan objek awal, dan kerana ini ditentukan oleh sifat sejagatnya, maka penyelesaiannya adalah dengan menggunakan sifat sejagat ini berulang-ulang kali, untuk membuktikan bahawa semua data Definisi 4.45 dapat dibina.

1. Untuk menentukan penggerak +: C × C → C kita mesti menentukan tindakannya terhadap objek dan morfisme. Dalam kedua-dua kes, kami hanya mengambil produk sampingan. Sekiranya (A, B) adalah objek C × C, gambarnya A + B adalah, seperti biasa, produk sampingan dari dua objek C.

Sekiranya (f, g): (A, B) → (C, D) adalah morfisme, maka kita dapat membentuk morfisme f + g = [f ; ι (_ {C} ), g ; ι (_ {D} )]: A + B C + D, di mana ι (_ {C} ): C C + D dan ι (_ {D} ): D C + D adalah morfisme kanonik yang diberikan oleh definisi koproduk A + B.

Perhatikan bahawa pembinaan ini menghantar morfisme identiti kepada morfisme identiti, kerana oleh Latihan 6.17 4 kita ada

id (_ {A} ) + id (_ {B} ) = [id (_ {A} ); ι (_ {A} ), id (_ {B} ); ι (_ {B} )] = [ι (_ {A} ), ι (_ {B} )] = id (_ {A + B} ).

Untuk menunjukkan bahawa + adalah pelawak, kita juga perlu menunjukkannya mengekalkan komposisi. Katakan kita juga mempunyai amorfisme (h, k): (C, D) → (E, F) dalam C × C. Kita perlu menunjukkan bahawa (f + g) ; (h + k) = (f ; h) + (g ; k). Ini adalah versi hujah yang lebih rumit dalam Latihan 6.17 3. Ini berpunca dari fakta bahawa rajah di bawah berulang-ulang:

Memang, kami sekali lagi menggunakan keunikan copairing di (6.12), kali ini untuk menunjukkan bahawa (f ; h) + (g ; k) = [f ; h ; ι (_ {E} ), k ; ι (_ {F} )] = (f + g) ; (h + k), seperti yang dikehendaki.

2. Ingat semula sifat universal objek awal memberikan peta unik! (_ {A} ): Ø → A. Maka copairing [id (_ {A} ),! (_ {A} )] adalah peta A + Ø → A. Lebih-lebih lagi, ia adalah isomorfisme dengan kebalikan ι (_ {A} ): A A + Ø.

Sesungguhnya, dengan menggunakan sifat-sifat dalam Latihan 6.17 dan sifat sejagat objek awal, kita mempunyai _ _ {A} ); [id (_ {A} ),! (_ {A} )] = id (_ {A} ), dan

[id (_ {A} ),! (_ {A} )]; ι (_ {A} ) = [id (_ {A} ); ι (_ {A} ),! (_ {A} ); ι (_ {A} )] = [ι (_ {A} ),! (_ {A + Ø} )] = [ι (_ {A} ), ι (_ {Ø} )] = id (_ {A + Ø} ).

Argumen analog menunjukkan [! (_ {A} ), id (_ {A} )]: Ø + A A adalah isomorfisme.

3. Kami hanya akan menuliskan peta dan sebaliknya; kami menyerahkannya kepada anda, jika anda mahu, untuk memastikan bahawa ia benar-benar terbalik

a) Peta [id (_ {A + ι_ {B}, ι_ {C}} )] = [[ι (_ {A} ), ι (_ {B} ); ι (_ {B + C} )], ι (_ {C} ); ι (_ {B + C} )]: (A + B) + C A + (B + C) adalah isomorfisme, dengan terbalik [ι (_ {A} ), ι (_ {B} ) + id (_ {C} )]: A + (B + C) → (A + B) + C.

b) Peta [ι (_ {A} ), ι (_ {B} )]: A + B B + A adalah isomorfisme.

Perhatikan notasi kami di sini sedikit membingungkan: terdapat dua peta bernama ι (_ {A} ), (i) ι (_ {A} ): A A + B, dan (ii) ι (_ {A} ): A B + A, dan serupa untuk ι (_ {B} ). Di atas kita bermaksud peta (ii). Ia terbalik [ι (_ {A} ), ι (_ {B} )]: B + A A + B, di mana dalam kes ini kita bermaksud peta (i).

Latihan 6.24

1. Andaikan diberi gambarajah bentuk sewenang-wenangnya B A C dalam Cakera (_ {S} ); kita perlu menunjukkan bahawa ia mempunyai tolakan. Satu-satunya morfisme di Cakera (_ {S} ) adalah identiti, jadi khususnya A = B = C, dan segi empat sama yang terdiri daripada semua identiti adalah jalan keluarnya.

2. Andaikan Cakera (_ {S} ) mempunyai objek awal s. Kemudian S tidak boleh kosong! Tetapi ia juga tidak boleh memiliki lebih dari satu objek, kerana jika sObject adalah objek lain maka ada morfisme s s′, Tetapi satu-satunya morfisme di S adakah identiti begitu s = s′. Oleh itu set S mesti terdiri daripada satu elemen.

Latihan 6.26

Pushout adalah set ( garis bawah {4} ), seperti yang digambarkan di kanan atas dalam rajah di bawah, dilengkapi juga dengan fungsi yang digambarkan:

Kami ingin melihat bahawa ini diperiksa dengan keterangan dari Contoh 6.25, iaitu bahawa itu adalah kumpulan kelas kesetaraan dalam ( garis bawah {5} ) ⊔ 3 yang dihasilkan oleh hubungan {f (a) ∼ g(a) | a ( in ) ( garis bawah {4} )}. Sekiranya kita menunjukkan unsur 5 sebagai {1, ..., 5} dan elemen ( garis bawah {3} ) sebagai {1 1, 2 ′, 3 ′}, kita dapat menggambar semula fungsi f, g:

yang mengatakan bahawa kita mengambil hubungan kesetaraan pada ( garis bawah {5} ) ⊔ ( garis bawah {3} ) dihasilkan oleh: 1 ∼ 1 ′,, 3 ∼ 1 ′, 5 ∼ 2 ′, dan 5 ∼ 3 ′. Kelas kesetaraan adalah {1, 1 ′, 3}, {2}, {4}, dan {5, 2 ′, 3 ′}. Keempat-empat ini betul-betul empat elemen dalam set berlabel ‘pushout’ dalam Persamaan. (A.1).

Latihan 6.28

1. Gambar rajah ke kiri bergerak kerana Ø adalah awal, dan begitu juga dengan peta unik Ø → X + Y. Ini menunjukkan bahawa kita mesti ada f ; ι (_ {X} ) = g ; ι (_ {Y} ).

2. Terdapat peta yang unik X + Y T membuat gambarajah di (6.21) berulang-ulang yang disiratkan oleh sifat universal kopoduk (6.12) yang diterapkan pada peta x : X T dan y : Y T.

3. Andaikan X + (_ {Ø} )Y ada. Dengan sifat universal Ø, diberikan sepasang anak panah x : X T dan y : Y T, rajah

berulang-alik. Ini bermaksud, oleh sifat universal pushout X + (_ {Ø} )Y, ada peta unik t : X + (_ {Ø} )Y T seperti itu ι (_ {X} ); t = x dan ι (_ {Y} ); t = y.

Oleh itu X + (_ {Ø} )Y adalah produk sampingan X + Y.

Latihan 6.35

Kita harus memeriksa bahawa kolum rajah yang ditunjukkan di sebelah kiri benar-benar diberikan dengan mengambil tiga tolak seperti yang ditunjukkan di sebelah kanan:

Kita mesti menunjukkannya S, bersama dengan peta dari A, B, X, Y, dan Z, mempunyai harta sejagat yang diperlukan. Jadi anggap diberi objek T dengan dua gambarajah perjalanan seperti yang ditunjukkan:

Kita perlu menunjukkan bahawa ada peta yang unik S T membuat semuanya berulang-alik. Sejak Q adalah tolakan dari X A Y, ada peta unik Q T membuat segitiga komutatif dengan Y, dan sejak R adalah tolakan dari Y B Z, ada peta unik R T membuat segitiga komutatif dengan Y. Ini menunjukkan bahawa terdapat perjalanan (Y, Q, R, T) persegi, dan dengan itu peta yang unik S T dari tolakannya membuat semuanya bergerak. Inilah yang ingin kami tunjukkan.

Latihan 6.41

Rumus dalam Teorem 6.37 mengatakan bahawa tolakan X + (_ {N} ) Y diberikan oleh kumpulan kelas kesetaraan dari X N Y di bawah hubungan kesetaraan yang dihasilkan oleh x n sekiranya x = f (n), dan y n sekiranya y(n, di mana x ( dalam ) X, y ( dalam ) Y, n ( dalam ) N. Sejak untuk setiap n ( dalam ) N ada wujud x ( dalam ) X seperti itu x = f (n, set ini sama dengan set kelas kesetaraan dari X Y di bawah hubungan kesetaraan yang dihasilkan oleh x y sekiranya ada n seperti itu x = f (n) dan y = g(n). Ini adalah tepat gambaran Contoh 6.25.

Latihan 6.48

Produk monoid adalah

Latihan 6.49

Biarkan x dan y menjadi cospan komposit di Cospan (_ {FinSet} ). Dari segi wayar dan komponen yang disambungkan, komposisi menetapkan Cospan (_ {FinSet} ) mengatakan bahawa (i) kospan komposit mempunyai elemen unik di puncak untuk setiap komponen yang bersambung dari penggabungan diagram dawai x dan y, dan (ii) dalam rajah wayar untuk x ; y, setiap elemen kaki disambungkan dengan wayar ke elemen yang mewakili komponen bersambung yang menjadi miliknya.

Latihan 6.57

Morfisme 1, 4, dan 6 adalah sama, dan morfisme 3 dan 5 adalah sama. Morfisme 3 tidak sama dengan morfisme lain yang digambarkan. Ini adalah akibat langsung dari Teorem 6.55.

Latihan 6.59

1. Input untuk h harus dilabel B.

2. Keluaran dari g harus dilabel D, kerana kita tahu dari label di kanan atas bahawa h adalah morfisme B D D.

3. Kawat keluaran keempat komposit hendaklah dilabel D juga!

Latihan 6.62

Kami melukis gambaran fungsi di atas, dan gambaran pendawaian di bawah. Perhatikan bahawa kami menggambarkan set kosong dengan ruang kosong.

Latihan 6.63

Undang-undang khas mengatakan bahawa gabungan kospan

adalah identiti. Ini datang untuk memeriksa bahawa alun-alun

adalah kotak tolak. Adalah remeh untuk melihat bahawa dataran bergerak. Anggaplah sekarang kita mempunyai peta f : X Y dan g : X Y seperti itu

Tulis ι (_ {1} ): X X + X untuk peta menjadi salinan pertama X dalam X + X, diberikan oleh definisi coproduct. Kemudian, menggunakan fakta bahawa ι (_ {1} ); [id, id] = id dari Latihan 6.17 1, dan komutativiti petak di atas, kita mempunyai f = ι (_ {1} ); [saya telah lakukan] ; f = ι (_ {1} ); [saya telah lakukan] ; g = g. Ini bermaksud bahawa f : X T adalah peta unik sedemikian rupa

berulang-alik, dan begitu (A.2) ialah kotak tolak.

Latihan 6.67

Gambarajah yang hilang adalah

Latihan 6.70

Biarkan A ( subseteq ) S dan B ( subseteq ) T. Kemudian

( mulakan {sejajar}
varphi_ {S ^ { prime}, T ^ { prime}} kiri ( kiri ( mathrm {im} _ {f} kali mathrm {im} _ {g} kanan) (A kali B) kanan) & = varphi_ {S ^ { prime}, T ^ { prime}} ( {f (a) pertengahan a di A } kali {g (b) pertengahan b di B })
& = {(f (a), g (b)) ​​mid a in A, b in B }
& = nama operasi {im} _ {f kali g} (A kali B)
& = nama operasi {im} _ {f kali g} kiri ( varphi_ {S, T} (A, B) kanan)
end {sejajar} )

Oleh itu, petak yang diperlukan berulang-alik.

Latihan 6.78

Mereka bermaksud bahawa setiap kategori Cospan (_ {C} ) sama dengan kategori Cospan (_ {F} ), untuk beberapa yang terpilih F. Mereka juga memberitahu anda bagaimana memilih ini F: ambil pelakon F : C → Tetapkan yang menghantar setiap objek C ke set {∗}, dan setiap morfisme C ke fungsi identiti pada {∗}. Sudah tentu, anda harus menyemak fungsi ini adalah funtor monoid simetrik yang lemah, tetapi sebenarnya ini tidak sukar dilakukan.
Untuk memeriksa itu Cospan (_ {C} ) sama dengan Cospan (_ {F} ), perhatikan terlebih dahulu bahawa mereka mempunyai objek yang sama: objek C. Seterusnya, perhatikan bahawa morfisme di Cospan (_ {F} ) adalah kospan X N Y dalam C bersama-sama dengan unsur FN = {∗}. Tetapi FN juga mempunyai elemen unik, ∗! Jadi tidak ada pilihan di sini, dan kita boleh mempertimbangkan morfisme Cospan (_ {F} ) hanya untuk menjadi cospan di C.

Lebih-lebih lagi, komposisi morfisme di Cospan (_ {F} ) hanyalah komposisi kospan biasa melalui pushout, jadi Cospan (_ {F} ) = Cospan (_ {C} ).
(Lebih teknikal, kita mungkin mengatakannya Cospan (_ {C} ) dan Cospan (_ {F} ) adalah isomorfik, di mana isomorfisme adalah penggerak identiti-objek-objek Cospan (_ {C} ) → Cospan (_ {F} ) yang hanya menghiasi setiap cospan dengan ∗, dan yang terbalik adalah yang melupakan ini ∗. Tetapi ini cukup dekat dengan banyak teori kategori, termasuk kami, tidak keberatan mengatakan hal yang sama dalam kes ini.)

Latihan 6.79

Kita boleh mewakili litar dalam Persamaan. (6.71) oleh tuple (V, A, s, t, l) di mana V = {ul, ur, dl, dr}, A = {r1, r2, r3, c1, i1}, dan s, t, dan saya ditentukan oleh jadual

Latihan 6.80

Litar litar (f )(cadalah

Latihan 6.82

Litar ψ (_ { garis bawah {2, 2}} ) (b, s) adalah penyatuan tak bersuara dari dua graf berlabel b dan s :

Latihan 6.83

Cospan adalah cospan ( garis bawah {1} stackrel {f} { rightarrow} garis bawah {2} stackrel {g} { leftarrow} garis bawah {1} ), di mana f (1) dan g(1) = 2. Hiasannya adalah C-ciruit ( ( garis bawah {2} ), {a}, s, t, l), di mana s(a) = 1, t(a) = 2 dan l (a) = bateri.

Latihan 6.86

Ingat litar C = (V, A, s, t, l) dari penyelesaian hingga Latihan 6.79. Kemudian cospan yang dihiasi pertama diberikan oleh cospan ( underline {1} stackrel {f} { rightarrow} V stackrel {g} { leftarrow} underline {2} ), f (1) = ul, (1) = ur, dan g(2) = ur, dihiasi oleh litar C. Cospan yang dihiasi kedua diberikan oleh cospan ( underline {1} stackrel {f '} { rightarrow} V' stackrel {g '} { leftarrow} underline {2} ) dan litar C′:= (V′, A′, s′, t′, L ′), di mana V′ = {l, r, d}, A′ = {R1 ′, r2 ′}, dan fungsi diberikan oleh jadual

Untuk menyusunnya, pertama-tama kita mengambil tolak (V stackrel {g} { leftarrow} garis bawah {2} stackrel {f '} { leftarrow} V' ).

Ini memberikan puncak baru V ′ ′ = {Ul, dl, dr, m, r} dengan lima elemen, dan cospan komposit ( garis bawah {1} stackrel {h} { rightarrow} V '' stackrel {k} { leftarrow} gariskan {2} ) yang diberikan oleh h(1) = ul, k(1) = r dan k(2) = m. Litar baru diberikan oleh (V,′′ A + A′, s,′′ t, ′ ′ L ′ ′) di mana fungsi diberikan oleh

Inilah yang digambarkan dalam Persamaan. (6.74).

Latihan 6.88

Mengarang η dan x kita ada

dan menyusun hasil ( mathcal {E} ) memberi

Latihan 6.96

1. Cospan yang ditunjukkan di sebelah kiri sesuai dengan gambarajah pendawaian yang ditunjukkan di sebelah kanan:

Ia mempunyai dua bulatan dalaman, masing-masing dengan dua port. Satu port yang pertama dihubungkan ke port yang kedua. Satu port yang pertama disambungkan ke lingkaran luar, dan satu port yang kedua disambungkan ke lingkaran luar. Inilah yang dikatakan oleh cospan.

2. Cospan yang ditunjukkan di sebelah kiri sesuai dengan gambarajah pendawaian yang ditunjukkan di sebelah kanan:

3. Komposit g ◦(_{1}) f mempunyai arity (2, 2, 2, 2; 0); terdapat gambaran di sebelah kiri:

4. Gambar rajah pendawaian yang berkaitan ditunjukkan di sebelah kanan atas. Kita dapat melihat bahawa satu rajah telah diganti menjadi bulatan yang lain.


Penyelesaian Matematik untuk Matematik Kelas 8 Bab 6 - Pemfaktoran Ungkapan Algebra

Penyelesaian Penyelesaian Matematik untuk Matematik Kelas 8 Bab 6 Pemfaktoran Ungkapan Algebra disediakan di sini dengan penjelasan langkah demi langkah yang mudah. Penyelesaian ini untuk Factorisation Of Algebraic Expressions sangat popular di kalangan pelajar Kelas 8 untuk Maths Factorisation Of Algebraic Expressions Penyelesaian berguna untuk menyelesaikan kerja rumah anda dengan cepat dan bersiap sedia untuk menghadapi peperiksaan. Semua soalan dan jawapan dari Buku Matematik Penyelesaian Matematik Kelas 8 Bab 6 disediakan di sini untuk anda secara percuma. Anda juga akan menyukai pengalaman bebas iklan di Solusi Penyelesaian Matematik Meritnation. Semua Penyelesaian Penyelesaian Matematik untuk kelas 8 Matematik disediakan oleh pakar dan 100% tepat.

Halaman No 30:

Soalan 1:

Jawapan:


1 & # 160 x 2 + 9 x + 18 = x 2 + 6 x + 3 x + 18 = x x + 6 + 3 x + 6 = x + 3 x + 6
2 & # 160 x 2 - 10 x + 9 = x 2 - 9 x - x + 9 = x x - 9 - 1 x - 9 = x - 1 x - 9
3 & # 160 y 2 + 24 y + 144 = & # 160 y 2 + 12 y + 12 y + 144 = & # 160 y y + 12 + 12 y + 12 = & # 160 y + 12 y + 12
4 & # 160 5 y 2 + 5 y - 10 = & # 160 5 y 2 + 10 y - 5 y - 10 = & # 160 5 yy + 2 - 5 & # 160 y + 2 = 5 y - 5 y + 2 = 5 y - 1 y + 2
5 & ​​# 160 p 2 - 2 p - 35 = p 2 - 7 p + 5 p - 35 = p p - 7 + 5 p - 7 = p + 5 p - 7
6 & # 160 p 2 - 7 p - 44 = & # 160 p 2 - 11 p + 4 p - 44 = p p - 11 + 4 p - 11 = p + 4 & # 160 p - 11
7 & # 160 m 2 - 23 m + 120 = m 2 - 15 m - 8 m + 120 = m m - 15 - 8 m - 15 = m - 8 m - 15
8 & # 160 m 2 - 25 m + 100 = m 2 & # 160 - 20 m - 5 m + 100 = m m - 20 - 5 m - 20 = m - 5 m - 20
9 & # 160 3 x 2 + 14 x + 15 = 3 x 2 + 9 x + 5 x + 15 = 3 x x + 3 + 5 x + 3 = 3 x + 5 x + 3
10 & # 160 2 x 2 + x - 45 = & # 160 2 x 2 + 10 x - 9 x - 45 = & # 160 2 x x + 5 - 9 x + 5 = 2 x - 9 x + 5
11 & # 160 20 x 2 - 26 x + 8 = 20 x 2 - 16 x - 10 x + 8 = 4 x 5 x - 4 - 2 5 x - 4 = 4 x - 2 5 x - 4 = 2 2 x - 1 5 x - 4
12 & # 160 44 x 2 - x - 3 = & # 160 44 x 2 + 11 x - 12 x - 3 = 11 x 4 x + 1 - 3 4 x + 1 = 11 x - 3 4 x + 1

Halaman No 31:

Soalan 1:

Jawapan:

Adalah diketahui bahawa,
a 3 + b 3 = a + b a 2 + b 2 - a b
1 & # 160 x 3 + 64 y 3 = x 3 + 4 y 3 = x + 4 y x 2 + 4 y 2 - x & # 215 4 y = x + 4 y x 2 + 16 y 2 - 4 x y
2 & # 160 125 p 3 + q 3 = 5 p 3 + q 3 = 5 p + q 5 p 2 + q 2 - 5 p & # 215 q = 5 p + q 25 p 2 + q 2 - 5 p q
3 & # 160 125 k 3 + 27 m 3 = 5 k 3 + 3 m 3 = 5 k + 3 m 5 k 2 + 3 m 2 - 5 k & # 215 3 m = 5 k + 3 m 25 k 2 + 9 m 2 - 15 km
4 & # 160 2 l 3 + 432 m 3 = 2 l 3 + 216 m 3 = 2 l 3 + 6 m 3 = 2 l + 6 ml 2 + 6 m 2 - l & # 215 6 m = 2 l + 6 m & # 160 l 2 + 36 m 2 - 6 lm
5 & ​​# 160 24 a 3 + 81 b 3 = 3 8 a 3 + 27 b 3 = 3 2 a 3 + 3 b 3 = 3 2 a + 3 b 2 a 2 + 3 b 2 - 2 a & # 215 3 b = 3 2 a + 3 b 4 a 2 + 9 b 2 - 6 ab
6 & # 160 y 3 + 1 8 y 3 = y 3 + 1 2 y 3 = y + 1 2 yy 2 + & # 160 1 2 y 2 - y & # 215 1 2 y = y + 1 2 yy 2 + 1 4 y 2 - 1 2
7 & # 160 a 3 + 8 a 3 = a 3 + 2 a 3 = a + 2 a a 2 + 2 a 2 - a & # 215 2 a = a + 2 a & # 160 a 2 + 4 a 2 - 2
8 & # 160 1 + q 3 125 = 1 3 + q 5 3 = 1 + q 5 1 2 + q 5 2 - 1 & # 215 q 5 = 1 + q 5 1 + q 2 25 - q 5

Halaman No. 32:

Soalan 1:

Jawapan:

Adalah diketahui bahawa,
a 3 - b 3 & # 160 = & # 160 a - b a 2 + b 2 + a b
1 & # 160 y 3-27 = & # 160 y 3 - 3 3 = y - 3 y 2 + 3 2 + y & # 215 3 = y - 3 & # 160 y 2 + 9 + 3 y
2 & # 160 x 3 - 64 y 3 = x 3 - 4 y 3 = x - 4 y x 2 + 4 y 2 + x & # 215 4 y = x - 4 y x 2 + 16 y 2 + 4 x y
3 & # 160 27 m 3 - 216 n 3 = 27 m 3 - 8 n 3 = 27 m 3 - 2 n 3 = 27 m - 2 nm 2 + 2 n 2 + m & # 215 2 n = 27 m - 2 nm 2 + 4 n 2 + 2 mn
4 & # 160 125 y 3 - 1 = 5 y 3 - 1 3 = 5 y - 1 5 y 2 + 1 2 + 5 y & # 215 1 = 5 y - 1 25 y 2 + 1 + 5 y
5 & ​​# 160 8 p 3 - 27 p 3 = 2 p 3 - 3 p 3 = 2 p - 3 p 2 p 2 + 3 p 2 + 2 p & # 215 3 p = 2 p - 3 p 4 p 2 + 9 p 2 + 6
6 & # 160 343 a 3 - 512 b 3 = 7 a 3 - 8 b 3 = 7 a - 8 b 7 a 2 + 8 b 2 + 7 a & # 215 8 b = 7 a - 8 b 49 a 2 + 64 b 2 + 56 ab
7 & # 160 64 x 3 - 729 y 3 = 4 x 3 - 9 y 3 = 4 x - 9 y 4 x 2 + 9 y 2 + 4 x & # 215 9 y = 4 x - 9 y 16 x 2 + 81 y 2 + 36 xy
8 & # 160 16 a 3 - 128 b 3 = 16 a 3 - 8 b 3 = 16 a 3 - 2 b 3 = 16 a - 2 ba 2 + 2 b 2 + a & # 215 2 b = 16 a - 2 ba 2 + 4 b 2 + 2 ab

Halaman No. 32:

Soalan 2:

Jawapan:

Adalah diketahui bahawa,
a 3 - b 3 = a - b a 2 + b 2 + a b
1 & # 160 x + y 3 - x - y 3 = x + y - x - yx + y 2 + x - y 2 + x + yx - y = 2 yx 2 + y 2 + 2 xy + x 2 + y 2 - 2 xy + x 2 - y 2 = 2 y 3 x 2 + y 2
2 & # 160 3 a + 5 b 3 - 3 a - 5 b 3 = 3 a + 5 b - 3 a - 5 b 3 a + 5 b 2 + 3 a - 5 b 2 + 3 a + 5 b 3 a - 5 b = 10 b 9 a 2 + 25 b 2 + 30 ab + 9 a 2 + 25 b 2 - 30 ab + 9 a 2 - 25 b 2 = 10 b 27 a 2 + 25 b 2
3 & # 160 a + b 3 - a 3 - b 3 = a + b 3 - a 3 + b 3 = a + b 3 - a + ba 2 + b 2 - ab = a + ba + b 2 - a 2 + b 2 - ab = a + ba 2 + b 2 + 2 ab - a 2 - b 2 + ab = a + b 3 ab = 3 a 2 b + 3 ab 2
4 & # 160 p 3 - p + 1 3 = p - p + 1 p 2 + p + 1 2 + p & # 215 p + 1 = - 1 p 2 + p 2 + 1 + 2 p + p 2 + p = - 1 3 p 2 + 3 p + 1 = - 3 p 2 - 3 p - 1
5 & ​​# 160 3 xy - 2 ab 3 - 3 xy + 2 ab 3 = 3 xy - 2 ab - 3 xy + 2 ab 3 xy - 2 ab 2 + 3 xy + 2 ab 2 + 3 xy - 2 ab 3 xy + 2 ab = - 4 ab 9 x 2 y 2 + 4 a 2 b 2 - 12 abxy + 9 x 2 y 2 + 4 a 2 b 2 + 12 abxy + 9 x 2 y 2 - 4 a 2 b 2 = - 4 ab 27 x 2 y 2 + 4 a 2 b 2 = - 108 x 2 y 2 ab - 16 a 3 b 3

Halaman No. 33:

Soalan 1:

Permudahkan:
(1) m 2 - n 2 m + n 2 & # 215 m 2 + m n + n 2 m 3 - n 3

(2) a 2 + 10 a + 21 a 2 + 6 a - 7 & # 215 a 2 - 1 a + 3

(3) 8 x 3 - 27 y 3 4 x 2 - 9 y 2

(4) x 2 - 5 x - 24 x + 3 x + 8 & # 215 x 2 - 64 x - 8 2

(5) 3 x 2 - x - 2 x 2 - 7 x + 12 & # 247 3 x 2 - 7 x - 6 x 2 - 4

(6) 4 x 2 - 11 x + 6 16 x 2 - 9

(7) a 3 - 27 5 a 2 - 16 a + 3 & # 247 a 2 + 3 a + 9 25 a 2 - 1

(8) 1 - 2 x + x 2 1 - x 3 & # 215 1 + x + x 2 1 + x

Jawapan:

Adalah diketahui bahawa,
a 2 - b 2 = a + b a - b & # 160 & # 160 a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2
1 & # 160 m 2 - n 2 m + n 2 & # 215 m 2 + mn + n 2 m 3 - n 3 = & # 160 m + nm - nm + nm + n & # 215 m 2 + mn + n 2 m - nm 2 + mn + n 2 = & # 160 1 m + n
2 & # 160 a 2 + 10 a + 21 a 2 + 6 a - 7 & # 215 a 2 - 1 a + 3 = a 2 + 7 a + 3 a + 21 a 2 + 7 a - a - 7 & # 160 & # 215 & # 160 a + 1 a - 1 a + 3 = & # 160 aa + 7 + 3 a + 7 a & # 160 a + 7 - 1 a & # 160 + & # 160 7 & # 215 a + 1 a - 1 a + 3 = & # 160 a + 7 a + 3 a - 1 a + 7 & # 215 a + 1 a - 1 a + 3 = & # 160 a + 1
3 & # 160 8 x 3 - 27 y 3 4 x 2 - 9 y 2 = 2 x 3 - 3 y 3 2 x 2 - 3 y 2 = & # 160 2 x - 3 y 2 x 2 + & # 160 2 x & # 215 3 y + 3 y 2 2 x + 3 y 2 x - 3 y = & # 160 2 x - 3 y 4 x 2 + 6 xy + 9 y 2 2 x + 3 y 2 x - 3 y = 4 x 2 + & # 160 6 xy + 9 y 2 2 x + 3 y
4 & # 160 x 2 - 5 x - 24 x + 3 x + 8 & # 215 x 2 - 64 x - 8 2 = x 2 - 8 x + 3 x - 24 x + 3 x + 8 & # 215 x 2 - 8 2 x - 8 2 = xx - 8 + 3 x - 8 & # 160 x + 3 x + 8 & # 215 x + 8 x - 8 x - 8 x - 8 = x + 3 x - 8 x + 3 x + 8 & # 215 x + 8 x - 8 x - 8 x - 8 = 1
5 & ​​# 160 3 x 2 - x - 2 x 2 - 7 x + 12 & # 247 3 x 2 - 7 x - 6 x 2 - 4 = 3 x 2 - 3 x + 2 x - 2 x 2 - 4 x - 3 x + 12 & # 160 & # 247 & # 160 3 x 2 - 9 x + 2 x - 6 x 2 - 2 2 = 3 xx - 1 + 2 x - 1 xx - 4 - 3 x - 4 & # 247 3 xx - 3 + 2 x - 3 x + 2 x - 2 = 3 x + 2 x - 1 x - 3 x - 4 & # 247 3 x + 2 x - 3 x + 2 x - 2 = 3 x + 2 x - 1 x - 3 x - 4 & # 215 x + 2 x - 2 3 x + 2 x - 3 = x - 1 x + 2 x - 2 x - 4 x - 3 x - 3
6 & # 160 4 x 2 - 11 x + 6 16 x 2 - 9 = 4 x 2 - 8 x - 3 x + 6 4 x 2 - 3 2 = 4 xx - 2 - 3 x - 2 4 x + 3 4 x - 3 = 4 x - 3 x - 2 4 x + 3 4 x - 3 = x - 2 4 x + 3
7 & # 160 a 3 - 27 5 a 2 - 16 a + 3 & # 247 a 2 + 3 a + 9 25 a 2 - 1 = a 3 - 3 3 5 a 2 - 15 a - a + 3 & # 160 & # 247 & # 160 a 2 + 3 a + 9 5 a 2 - 1 2 = a - 3 a 2 + a & # 215 3 + 3 2 5 aa - 3 - 1 a - 3 & # 247 a 2 + 3 a + 9 5 a + 1 5 a - 1 = a - 3 a 2 + 3 a + 9 5 a - 1 a - 3 & # 247 a 2 + 3 a + 9 5 a + 1 5 a - 1 = a - 3 a 2 + 3 a + 9 5 a - 1 a - 3 & # 215 5 a + 1 5 a - 1 a 2 + 3 a + 9 = 5 a + 1
8 & # 160 1 - 2 x + x 2 1 - x 3 & # 215 1 + x + x 2 1 + x = 1 - x - x + x 2 1 3 - x 3 & # 215 1 + x + x 2 1 + x = 1 1 - x - x 1 - x 1 - x 1 2 + 1 & # 215 x + x 2 & # 160 & # 215 & # 160 1 + x + x 2 1 + x = 1 - x 1 - x 1 - x 1 + x + x 2 & # 215 1 + x + x 2 1 + x = 1 - x 1 + x


Pelajar kelas 8 akan mempelajari pelbagai formula algebra berurusan dengan pemboleh ubah. Mereka harus belajar bagaimana melakukan operasi matematik dengan istilah algebra. Syarat-syarat ini akan berkelakuan mengikut format tertentu semasa operasi algebra dilakukan. RS Aggarwal Kelas 8 Matematik Bab 6 akan memberi tumpuan kepada pengajaran pelajar mengenai operasi ini pada pelbagai jenis ungkapan algebra.

Di sini, anda memerlukan bantuan penyelesaian RS Aggarwal Kelas 8 Matematik Bab 6 yang dibuat oleh mentor Vedantu. Masalah latihan telah diselesaikan dengan kaedah termudah untuk mengikuti dan mengembangkan asas anda. Muat turun penyelesaian ini dan gunakannya sebagai rujukan mengikut keselesaan anda untuk menyiapkan bab ini.

Vedantu adalah platform yang menyediakan Penyelesaian NCERT percuma dan bahan kajian lain untuk pelajar. Anda juga boleh memuat turun NCERT Solutions untuk Kelas 8 Matematik dan Kelas 8 Sains untuk membantu anda menyemak semula sukatan pelajaran yang lengkap dan mendapat lebih banyak markah dalam peperiksaan anda.


Penyelesaian CBSE NCERT Untuk Matematik Kelas 8 Bab 6

Penyelesaian untuk soalan yang diberikan di Buku Teks Matematik Kelas 8 NCERT akan membantu anda memahami topik dengan lebih baik. Penyelesaian ini akan sangat membantu semasa persiapan peperiksaan akhir. Sebelum anda menyemak penyelesaiannya, biarkan & # 8217 mempunyai gambaran keseluruhan topik dan subtopik dalam bab ini. Klik pada mana-mana topik untuk memuat turun penyelesaiannya sebagai PDF.

6.1Pengenalan6.5.1 Mencari punca kuasa dua
6.2Sifat Nombor Persegi6.5.2 Mencari punca kuasa dua melalui pengurangan berulang
6.3Beberapa Corak Lebih Menarik6.5.3Mencari punca kuasa dua melalui pemfaktoran utama
6.4Mencari Petak Nombor6.5.4 Mencari punca kuasa dua dengan kaedah pembahagian
6.4.1Corak lain dalam petak6.6Akar Perangkaan Persegi
6.4.2Kembar tiga pythagoras6.7Menganggar Akar Persegi
6.5Akar Persegi

Sukatan Pelajaran Bahasa Inggeris Kelas 8 CBSEBuku Bahasa Inggeris Kelas 8 NCERT
Sukatan Pelajaran Matematik Kelas 8 CBSEBuku Matematik NCERT Kelas 8
Sukatan Pelajaran Sains Kelas 8 CBSEBuku Sains Kelas 8 NCERT
Sukatan Pelajaran Sains Sosial Kelas 8 CBSEBuku Sains Sosial Kelas 8 NCERT
Sukatan Bahasa Hindi Kelas 8 CBSEBuku Bahasa Inggeris Kelas 8 NCERT

Penyelesaian CBSE NCERT untuk Matematik Kelas 8 Bab 6: Latihan dan Soalan Dalam Teks yang Diselesaikan

Berikut adalah penyelesaian untuk soalan dan soalan dalam teks yang terdapat dalam latihan. Muat turun Penyelesaian NCERT untuk Matematik Kelas 8 Bab 6 PDF. Anda dapat melihat bahawa semua penyelesaian telah dijelaskan secara langkah demi langkah dan telah dirangka mengikut skema penandaan CBSE.

Muat turun CBSE Class 8 Solutions for Maths untuk bab lain dari jadual di bawah:


Penyelesaian Papan Bengal Barat 6 Matematik Bab 6 Vognangsoke Purnosonkha O Vognangso Diye Gun O Vag Kose Dekhi 6 Penyelesaian

Penyelesaian Matematik Kelas 6 Dewan Bahasa Bengal Barat Latihan penuh 6 oleh Pakar. Di sini di halaman ini Pelajar Kelas 6 Dewan WB dapat mencari Matematik Kelas 6 Ganit Prabha Bab 6 Vognangsoke Purnosonkha O Vognangso Diye Gun O Vag (ভগ্নাংশকে পূর্ণ সংখ্যা ও ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ ও ভাগ) Kose Dekhi 6 Penyelesaian.

(c) 12 টাকার 1/3 অংশ 4 টাকা

(d) 36 মিনিটের 1/6 অংশ 6 মিনিটে

(e) ধরি, মালার ঝুড়িতে 1 অংশ আম ছিল

মা রান্না করেছেন = (10 x 1/5) লি. = 2 লি.

সুতরাং, খাওয়া হয়েছে = (8 x 1/4) লি. = 2 লি.

খাওয়ার পর তখনও জল = (8 & # 8211 2) লি. = 6 লি.

(3) একটি বালতিতে 1/2 লিটার জল ধরে। এইরকম 7 টি বালতিতে কত লিটার জল ধরে হিসাব করি।

Jawapan: & # 8211 7 টি বালতি তে মোট জল ধরে = (7 x ½) লি.

(4) অখিলবাবু অবসর গ্রহণের পর তার সম্পত্তির ¼ অংশ পাড়ার লাইব্রেরিতে দান করেন। সম্পত্তির সম্পত্তির 1/6 অংশ স্ত্রীকে দেন। বাকি অংশ দুই ছেলেরে মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দেন। হিসাব করে দেখি অখিলবাবু স্ত্রীকে ও দুই ছেলের প্রত্যেককে কত অংশ সম্পত্তি দিলেন।

Jawapan: - ধরি, অখিলবাবুর মোট সম্পত্তির পরিমান = 1 অংশ

= 5/8 অংশ দুই ছেলেকে সমান ভাগে ভাগ করে দিল।

(5) 150 টাকার ½ অংশ থেকে কত টাকা নিলে 30 টাকা পড়ে থাকবে।

সুতরাং, 45 টাকা দিলে 30 টাকা পড়ে থাকবে।

(7) শহরের একটা অনুষ্ঠানে প্রথম বছর 1400 জন দর্শক এসেছিলেন। পরের বছর দর্শক সংখ্যা প্রথম বছরের চেয়ে 7/10 অংশ বেড়ে গেল। পরের বছর মোট কতজন দর্শক এসেছিলেন হিসাব করি।

Jawapan: - পরের বছর দর্শক সংখ্যা হয়েছিল

সুতরাং, মোট দর্শক এসেছিলো = (1400+ 980) জন

(9) 1 এর অনোন্যক 1 এর সমান

(10) রমার কাছে যতগুলি স্ট্যাম্প আছে তার 2/3 অংশ আমাকে দিল। রমা যদি 18 টি স্ট্যাম্প আমাকে দেয় তবে রমার কাছে কতগুলি স্ট্যাম্প ছিল হিসাব করি।

Penyelesaian: 2/3 অংশ = 18 টি

(11) রাজিয়া তার টাকার 2/5 অংশ দেবনাথকে ও 3/10 অংশ সুনিতাকে দেয়ার পরে তার কাছে 180 টাকা রইল। প্রথমে রাজিয়ার কাছে কত টাকা ছিল হিসাব করি।

(i) ¾ এর মধ্যে 1/16 আছে = (b) 12 বার

(ii) একটি ফিতের 7/8 অংশের দৈর্ঘ্য 56 মিটার, ফিতের মোট দৈর্ঘ্য = (b) 64 মিটার

সুতরাং, 5 ভাগে কাটার পর একটি টুকরোর দৈর্ঘ্য হবে

(16) আজ আমার ঠাকুরমা অনেকটা কুলের আচার তৈরি করলেন। তিনি সেই আচারের 4/6 অংশ কাঁচের শিশিতে ভরতি করে তুলে রাখলেন এবং বাকিটা আমাদের 6 জনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দিলেন। হিসাব করে দেখি আমরা প্রত্যেকে মোট আচারের কত অংশ পেলাম


Selina Ringkas Matematik Kelas 6 Penyelesaian ICSE Bab 6 Nombor dan Bilangan bulat Negatif

Selina Publishers Concise Mathematics Class 6 ICSE Solutions Bab 6 Nombor Negatif dan Bilangan bulat

APlusTopper.com menyediakan penyelesaian langkah demi langkah untuk Selina Concise ICSE Solutions untuk Kelas 6 Matematik. Anda boleh memuat turun Selina Concise Mathematics ICSE Solutions untuk Kelas 6 dengan pilihan muat turun PDF Percuma. Selina Publishers Concise Mathematics for Class 6 ICSE Solutions semua soalan diselesaikan dan dijelaskan oleh guru matematik pakar mengikut garis panduan ICSE.

Nombor Negatif dan Integer Latihan 6 & # 8211 Selina Ringkas Matematik Kelas 6 Penyelesaian ICSE

Soalan 1.
Isi tempat kosong :
(i) Negatif -20 ialah & # 8230 & # 8230 & # 8230.
(ii) Negatif 0 ialah & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230
(iii) Negatif 8 ialah & # 8230 & # 8230 & # 8230.
(iv) Sekiranya 10 mewakili keuntungan ₹ 10, maka -10 mewakili & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230.
(v) If going south is negative then going north is …………
(vi) Because 5 < 7, therefore -5 ……….. -7. (vii) If 3 > -2, then 3 is on the ………….. of -2.
(viii) If -8 < -6, then -8 is on the …………. of-6.
Penyelesaian:
(i) 20
(ii) 0
(iii) -8
(iv) loss of ₹ 10
(v) positive
(vi) less than
(vii) right side
(viii) left side

Question 2.
Use a number line to write the following integers in ascending (increasing) order :
(i) -5, 8, 0, -9, 4, -14 and 12
(ii) -6, 7, 0, -9, 5 and 9
Penyelesaian:
(i) -5, 8, 0, -9, 4, -14 and 12
Draw a number line for integers,, as shown below, and mark on it all the given integers.

Clearly, the given integers in the ascending order are :
-14 < -9 < -5 < 0 < 4 < 8 < 12
(ii) -6, 7, 0, -9, 5 and 9
Draw a number line for integers, as shown below, and mark on it all the given integers.

Clearly, the given integers in the ascending order are :
-9 < -6 < 0 < 5 < 7 < 9

Question 3.
Use a number line to write the following integers in descending (decreasing) order :
(i) -10, 0, 3, -4, 12, 11, -1 and 5
(ii) -4, 3, -8, -12, -7 and 6.
Penyelesaian:
(i) -10, 0, 3,-4, 12, 11,-1 and 5
Draw a number line for integers, as shown below, and mark on it all the given integers.

Clearly, the given integers in the descending order are :
6 > 3 > 0 > -7 > -8 > -10 > – 12
(ii) -4, 3, -8, -12, -7 and 6.
Draw a number line for integers, as shown below, and mark on it all the given integers.

Clearly, the given integers in the descending order are :
6 > 3 > -4 > -7 > -8 > -12

Question 4.
Add:
(i) 13 and 15
(ii) -13 and 15
(iii) 13 and -15
(iv) -13 and -15
Penyelesaian:
(i) 13 and 15
13 + 15 = 28
(ii) -13 and 15
(-13) + 15 = 2
(iii) 13 and -15
= (13)+ (-15)
= 13 – 15 = -2
(iv) -13 and-15
= (-13) + (-15)
= -13 – 15 = -28

Question 5.
Add:
(i) 259 from 214
(ii) -528 and -243
(iii) -623 and 326
(iv) 258 and -473
(v) -622 and -254
(vi) 257 and -254
Penyelesaian:
(i) 259 from 214
= 259 + 214 = 473
(ii) -528 and-243
= -528 + (-243)
= -528 – 243
= -771
(iii) -623 and 326
= -623 + 326 = -297
(iv) 258 and —473
= 258 +(-473)
= 258 – 473
= -215
(v) -622 and-254
= -622 +(-254)
= -622 – 254
= -876
(vi) 257 and-254
= 257 +(-254)
= 257 – 254
= 3

Question 6.
Subtract :
(i) 5 from 8
(ii) -5 from 8
(iii) 4 from -7
(iv) -8 from -2
(v) -3 from 12
(vi) -6 from -3
Penyelesaian:
(i) 5 from 8
= 8 – 5 = 3
(ii) -5 from 8
= 8 – (-5)
= 8 + 5 = 13
(ii) 4 from -7
= -7 – 4
= -11
(iv) -8 from -2 = -2 – (-8)
= -2 + 8
= 6
(v) -3 from 12
= -12 – 3 = -15
(vi) -6 from -3
= -3 – 3 (-6)
= – 3 + 6 = + 3

Question 7.
Subtract:
(i) -123 from 453
(ii) -78 from -12
(iii) 329 and -124
(iv) -222 from 0
Penyelesaian:
(i) -123 from 453
= + 453 – (-123)
= 453 + 123 = 576
(ii) -78 from -12
= -12 – (-78)
= -12 + 78 = 66
(iii) 329 and-124
= + 329 – 124 = 205
(iv) -222 from 0
= 0 – (-222)
= 0 + 222 = 222

Question 8.
Using a number line, find the integer which is :
(i) 3 more than -1
(ii) 5 less than 2
(iii) 5 more than -9
(iv) 4 less than -4
(v) 7 more than 0
(vi) 7 less than -8
Penyelesaian:



Chapter 6 Class 8 Squares and Square Roots

Get NCERT Solutions of Chapter 6 Class 8 Squares and Square Roots free at Teachoo. All NCERT Exercise questions and examples have been solved in an easy to understand way with detailed explanation of each step.

In this chapter, we will learn

  • Apakah Square Numbers
  • Hartanah of Square numbers
    • Unit digit of square numbers
    • Number of zeroes in square of a number
    • Number of numbers between two square numbers
    • Sum of first n odd numbers is n 2

    Click on a topic or an exercise link below to start doing the chapter

    Nota: When you click on a link, the first question will open. To see the other questions, there is a list at the bottom of the page (list with arrows). Important questions are also marked in that list.


    NCERT Solutions for Class 8 Math Chapter 6 – Squares and Square Roots

    What will be the unit digit of the squares of the following numbers?

    Jawapan:

    We know that if a number has its unit’s place digit as a, then its square will end with the unit digit of the multiplication a × a.

    Since the given number has its unit’s place digit as 1, its square will end with the unit digit of the multiplication (1 ×1 = 1) i.e., 1.

    Since the given number has its unit’s place digit as 2, its square will end with the unit digit of the multiplication (2 × 2 = 4) i.e., 4.

    Since the given number has its unit’s place digit as 9, its square will end with the unit digit of the multiplication (9 × 9 = 81) i.e., 1.

    Since the given number has its unit’s place digit as 3, its square will end with the unit digit of the multiplication (3 × 3 = 9) i.e., 9.

    Since the given number has its unit’s place digit as 4, its square will end with the unit digit of the multiplication (4 × 4 = 16) i.e., 6.

    Since the given number has its unit’s place digit as 7, its square will end with the unit digit of the multiplication (7 × 7 = 49) i.e., 9.

    Since the given number has its unit’s place digit as 8, its square will end with the unit digit of the multiplication (8 × 8 = 64) i.e., 4.

    Since the given number has its unit’s place digit as 0, its square will have two zeroes at the end. Therefore, the unit digit of the square of the given number is 0.

    Since the given number has its unit’s place digit as 6, its square will end with the unit digit of the multiplication (6 × 6 = 36) i.e., 6.

    Since the given number has its unit’s place digit as 5, its square will end with the unit digit of the multiplication (5 × 5 = 25) i.e., 5.

    Soalan 2:

    The following numbers are obviously not perfect squares. Give reason.

    Jawapan:

    The square of numbers may end with any one of the digits 0, 1, 5, 6, or 9. Also, a perfect square has even number of zeroes at the end of it.

    (i) 1057 has its unit place digit as 7. Therefore, it cannot be a perfect square.

    (ii) 23453 has its unit place digit as 3. Therefore, it cannot be a perfect square.

    (iii) 7928 has its unit place digit as 8. Therefore, it cannot be a perfect square.

    (iv) 222222 has its unit place digit as 2. Therefore, it cannot be a perfect square.

    (v) 64000 has three zeros at the end of it. However, since a perfect square cannot end with odd number of zeroes, it is not a perfect square.

    (vi) 89722 has its unit place digit as 2. Therefore, it cannot be a perfect square.

    (vii) 222000 has three zeroes at the end of it. However, since a perfect square cannot end with odd number of zeroes, it is not a perfect square.

    (viii) 505050 has one zero at the end of it. However, since a perfect square cannot end with odd number of zeroes, it is not a perfect square.

    Soalan 3:

    The squares of which of the following would be odd numbers?

    Jawapan:

    The square of an odd number is odd and the square of an even number is even. Here, 431 and 7779 are odd numbers.

    Thus, the square of 431 and 7779 will be an odd number.

    Soalan 4:

    Observe the following pattern and find the missing digits.

    Jawapan:

    In the given pattern, it can be observed that the squares of the given numbers have the same number of zeroes before and after the digit 2 as it was in the original number. Oleh itu,

    10000001 2 = 100000020000001

    Soalan 5:

    Observe the following pattern and supply the missing number.

    Jawapan:

    By following the given pattern, we obtain

    101010101 2 = 10203040504030201

    Question 6:

    Using the given pattern, find the missing numbers.

    Jawapan:

    From the given pattern, it can be observed that,

    (i) The third number is the product of the first two numbers.

    (ii) The fourth number can be obtained by adding 1 to the third number.

    Thus, the missing numbers in the pattern will be as follows.

    Question 7:

    Without adding find the sum

    (ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19

    (iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23

    Jawapan:

    We know that the sum of first n odd natural numbers is n 2 .

    (i) Here, we have to find the sum of first five odd natural numbers.

    Therefore, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (5) 2 = 25

    (ii) Here, we have to find the sum of first ten odd natural numbers.

    Therefore, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = (10) 2 = 100

    (iii) Here, we have to find the sum of first twelve odd natural numbers.

    Therefore, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +17 + 19 + 21 + 23 = (12) 2 = 144

    Soalan 8:

    (i) Express 49 as the sum of 7 odd numbers.

    (ii) Express 121 as the sum of 11odd numbers.

    Jawapan:

    We know that the sum of first n odd natural numbers is n 2 .

    Therefore, 49 is the sum of first 7 odd natural numbers.

    49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

    Therefore, 121 is the sum of first 11 odd natural numbers.

    121 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21

    Soalan 9:

    How many numbers lie between squares of the following numbers?

    (i) 12 and 13 (ii) 25 and 26 (iii) 99 and 100

    Jawapan:

    We know that there will be 2n numbers in between the squares of the numbers n dan (n + 1).

    (i) Between 12 2 and 13 2 , there will be 2 × 12 = 24 numbers

    (ii) Between 25 2 and 26 2 , there will be 2 × 25 = 50 numbers

    (iii) Between 99 2 and 100 2 , there will be 2 × 99 = 198 numbers

    Page No 98:

    Soalan 1:

    Find the square of the following numbers

    Jawapan:

    (ii) The number 35 has 5 in its unit’s place. Oleh itu,

    35 2 = (3) (3 + 1) hundreds + 25

    Soalan 2:

    Write a Pythagorean triplet whose one member is

    Jawapan:

    For any natural number m > 1, 2m, m 2 − 1, m 2 + 1 forms a Pythagorean triplet.

    (i) If we take m 2 + 1 = 6, then m 2 = 5

    Nilai m will not be an integer.

    If we take m 2 − 1 = 6, then m 2 = 7

    Again the value of m is not an integer.

    Therefore, the Pythagorean triplets are 2 × 3, 3 2 − 1, 3 2 + 1 or 6, 8, and 10.

    (ii) If we take m 2 + 1 = 14, then m 2 = 13

    Nilai m will not be an integer.

    If we take m 2 − 1 = 14, then m 2 = 15

    Again the value of m is not an integer.

    Oleh itu, m 2 − 1 = 49 − 1 = 48 and m 2 + 1 = 49 + 1 = 50

    Therefore, the required triplet is 14, 48, and 50.

    (iii) If we take m 2 + 1 = 16, then m 2 = 15

    Nilai m will not be an integer.

    If we take m 2 − 1= 16, then m 2 = 17

    Again the value of m is not an integer.

    Oleh itu, m 2 − 1 = 64 − 1 = 63 and m 2 + 1 = 64 + 1 = 65

    Therefore, the Pythagorean triplet is 16, 63, and 65.

    (iv) If we take m 2 + 1 = 18,

    Nilai m will not be an integer.

    If we take m 2 − 1 = 18, then m 2 = 19

    Again the value of m is not an integer.

    Oleh itu, m 2 − 1 = 81 − 1 = 80 and m 2 + 1 = 81 + 1 = 82

    Therefore, the Pythagorean triplet is 18, 80, and 82.

    Page No 102:

    Soalan 1:

    What could be the possible ‘one’s’ digits of the square root of each of the following numbers?

    Jawapan:

    (i) If the number ends with 1, then the one’s digit of the square root of that number may be 1 or 9. Therefore, one’s digit of the square root of 9801 is either 1 or 9.

    (ii) If the number ends with 6, then the one’s digit of the square root of that number may be 4 or 6. Therefore, one’s digit of the square root of 99856 is either 4 or 6.

    (iii) If the number ends with 1, then the one’s digit of the square root of that number may be 1 or 9. Therefore, one’s digit of the square root of 998001 is either 1 or 9.

    (iv) If the number ends with 5, then the one’s digit of the square root of that number will be 5. Therefore, the one’s digit of the square root of 657666025 is 5.

    Soalan 2:

    Without doing any calculation, find the numbers which are surely not perfect squares.

    Jawapan:

    The perfect squares of a number can end with any of the digits 0, 1, 4, 5, 6, or 9 at unit’s place. Also, a perfect square will end with even number of zeroes, if any.

    (i) Since the number 153 has its unit’s place digit as 3, it is not a perfect square.

    (ii) Since the number 257 has its unit’s place digit as 7, it is not a perfect square.

    (iii) Since the number 408 has its unit’s place digit as 8, it is not a perfect square.

    (iv) Since the number 441 has its unit’s place digit as 1, it is a perfect square.

    Soalan 3:

    Find the square roots of 100 and 169 by the method of repeated subtraction.

    Jawapan:

    We know that the sum of the first n odd natural numbers is n 2 .

    (i) 100 − 1 = 99 (ii) 99 − 3 = 96 (iii) 96 − 5 = 91

    (iv) 91 − 7 = 84 (v) 84 − 9 = 75 (vi) 75 − 11= 64

    (vii) 64 − 13 = 51 (viii) 51 − 15 = 36 (ix) 36 − 17 = 19

    We have subtracted successive odd numbers starting from 1 to 100, and obtained 0 at 10 th step.

    The square root of 169 can be obtained by the method of repeated subtraction as follows.

    (i) 169 − 1 = 168 (ii) 168 − 3 = 165 (iii) 165 − 5 = 160

    (iv) 160 − 7 = 153 (v) 153 − 9 = 144 (vi) 144 − 11 = 133

    (vii) 133 − 13 = 120 (viii) 120 − 15 = 105 (ix) 105 − 17 = 88

    (x) 88 − 19 = 69 (xi) 69 − 21 = 48 (xii) 48 − 23 = 25

    We have subtracted successive odd numbers starting from 1 to 169, and obtained 0 at 13 th step.

    Soalan 4:

    Find the square roots of the following numbers by the Prime Factorisation Method.


    If You are Choosing For Your Class 6 Math Book Solution Of ICSE Board You Have Reached The Perfect Place. Many Teachers Are Given All Easy Type Solution Of Class 6 Math Book Of Selina Concise.Here You get Of Your Math Bool All Problems Solutions As per New Syllabus in ICSE Selina Class 6 Math Text Book Solution.

    Netexplanations Provides Step By Step Easy Solution For Selina Concise ICSE For Class 6 Mathematics. By Studying These ICSE Selina Solutions For Class 6 Maths From Your Desktop Or Mobile You Score More Marks in ICSE Class 6 Board Examination.

    ICSE Solutions For Class 6 Maths Are Given Below For All Chapter. Select Chapter Number to Get ICSE Selina Solution Chapter Wise.


    Tonton videonya: 605 Matematik Tingkatan 1 Bab 6 Persamaan Linear Serentak Menggunakan Kaedah Penggantian Part 2 of 2 (Ogos 2022).