Artikel

3.7E: Fungsi Berbalik (Latihan) - Matematik


Untuk latihan berikut, cari (f ^ {- 1} (x) ) untuk setiap fungsi.

69. (f (x) = 9 + 10 x )
70. (f (x) = frac {x} {x + 2} )

Untuk latihan berikut, cari domain di mana fungsi (f ) satu-ke-satu dan tidak menurun. Tulis domain dalam notasi selang. Kemudian cari kebalikan (f ) yang terhad pada domain tersebut.

  1. (f (x) = x ^ {2} +1 )
  2. Diberi (f (x) = x ^ {3} -5 ) dan (g (x) = sqrt [3] {x + 5} ):
    1. Cari (f (g (x)) ) dan (g (f (x)) ).
    2. Apa jawapan yang dijelaskan kepada kami mengenai hubungan antara (f (x) ) dan (g (x) )?

Untuk latihan berikut, gunakan utiliti grafik untuk menentukan sama ada setiap fungsi satu-ke-satu.

73. (f (x) = frac {1} {x} )
74. (f (x) = - 3 x ^ {2} + x )
75. Sekiranya (f (5) = 2, ) cari (f ^ {- 1} (2) ).
76. Sekiranya (f (1) = 4, ) cari (f ^ {- 1} (4) ).


-: Topik yang Disertakan: -

Soalan serupa untuk Amalan

OP Malhotra Fungsi Trigonometri Terbalik S.Chand ISC Class-12 Maths Solutions Ch-4

Fungsi Trigonometri songsang:

Fungsi trigonometri adalah fungsi banyak-satu tetapi kita tahu bahawa fungsi terbalik wujud jika fungsi itu bersifat bijektif. Sekiranya kita menyekat domain fungsi trigonometri, maka fungsi-fungsi ini menjadi bijektif dan fungsi trigonometri terbalik ditentukan dalam domain terhad. Pembalikan f dilambangkan dengan ‘f -1.

Fungsi trigonometri songsang juga dikenali sebagai fungsi arka kerana mereka menghasilkan panjang busur, yang diperlukan untuk mendapatkan nilai tertentu. Terdapat enam fungsi trigonometri terbalik yang merangkumi arcsine (sin -1), arccosine (cos -1), arctangent (tan -1), arcsecant (sec -1), arccosecant (cosec -1), dan arccotangent (cot -1) .

Fungsi Rasional songsang:

Fungsi rasional adalah fungsi bentuk f (x) = P (x) / Q (x) di mana Q (x) ≠ 0. Untuk mencari kebalikan fungsi rasional, ikuti langkah berikut. Contohnya juga diberikan di bawah yang dapat membantu anda memahami konsep dengan lebih baik.

  • Langkah 1: Gantikan f (x) = y
  • Langkah 2: Pertukaran x dan y
  • Langkah 3: Selesaikan bagi y dari segi x
  • Langkah 4: Gantikan y dengan f -1 (x) dan fungsi terbalik diperoleh.

Exe-4

OP Malhotra Fungsi Trigonometri Terbalik S.Chand ISC Class-12 Maths Solutions Ch-4

Fungsi songsang:

Sekiranya y = f (x) dan x = g (y) adalah dua fungsi seperti f (g (y)) = y dan g (f (y)) = x, maka f dan y dikatakan terbalik masing-masing yang lain

Semakan Kendiri

OP Malhotra Fungsi Trigonometri Terbalik S.Chand ISC Class-12 Maths Solutions Ch-4

Fungsi Trigonometri songsang:

Sekiranya y = sin X -1, maka x = sin -1 y, sama untuk fungsi trigonometri lain.

Ini dipanggil fungsi trigonometri songsang.

Sekarang, y = sin -1 (x), y ∈ [π / 2, π / 2] dan x ∈ [-1,1].

(i) Oleh itu, sin -1 x mempunyai banyak nilai untuk x given [-1, 1].

(ii) Hanya ada satu nilai di antara nilai-nilai ini yang terletak pada selang waktu [π / 2, π / 2]. Nilai ini dipanggil nilai pokok.

Ujian Bab

OP Malhotra Fungsi Trigonometri Terbalik S.Chand ISC Class-12 Maths Solutions Ch-4

Fungsi Hiperbola Berbalik:

Sama seperti fungsi trigonometri songsang, fungsi hiperbolik songsang adalah kebalikan dari fungsi hiperbolik. Terdapat terutamanya 6 fungsi hiperbolik terbalik yang ada termasuk sinh -1, cosh -1, tanh -1, csch -1, coth -1, dan sech -1. Lihat formula fungsi hiperbolik terbalik untuk mengetahui lebih lanjut mengenai fungsi ini secara terperinci.

Soalan serupa untuk Amalan

OP Malhotra Fungsi Trigonometri Terbalik S.Chand ISC Class-12 Maths Solutions Ch-4

-: Fungsi Trigonometri Terbalik OP Malhotra S. Chand Penyelesaian Bab-4 Matematik ISC Bab-4: -


Bukti:

Mula-mula kita perlu membuktikan dua lemma mengenai aljabar linear yang akan kita gunakan.

Lemma 1: Biarkan pemetaan linear yang tidak dapat diubah, dan jadilah pemetaan linear dari yang sedemikian rupa. Kemudian juga boleh dibalikkan. bermaksud pengendali norma.

Bukti 1: Dari ketaksamaan segitiga.

Sekarang kerana norma-norma pengendali mempunyai harta, kita mempunyai itu.

Selanjutnya, begitu, secara keseluruhan, yang sifar jika dan hanya jika kerana, begitu juga boleh dibalikkan.

Lemma 2: Fungsi berterusan sehubungan dengan norma operator.

Bukti 2: Kerana itu jika tetap, kita dapat membuat sekecil yang kita suka, dan akan sekecil yang kita inginkan.

Sekarang kita sudah bersedia untuk memulakan bukti sebenar.

Bukti suntikan:

Biarlah seperti yang kita ada. Adalah mungkin untuk memilihnya kerana derivatifnya berterusan dan begitu juga norma pengendali. Perhatikan bahawa dengan Lemma 1 ini bermaksud tidak dapat ditukar.

Biarkan. Kami akan memberikan batas yang lebih rendah, menunjukkan bahawa ia positif, oleh itu fungsinya disuntik.

Untuk melakukannya, mari & # 8217s membuktikan lemma kecil yang akan membantu kita.

Bukti 3: Tentukan oleh. Perhatikan bahawa. Perhatikan juga bola cembung, begitu juga di dalam bola untuk semua.

Jadi dari teori asas kalkulus:

yang ingin kami tunjukkan.

Mari & # 8217s menyambung semula bukti suntikan kami. Lihat itu, dan sisi yang bergerak kita dapat:

Oleh itu, yang manakah menyimpulkan bukti suntikan.

Sebagai kesimpulan, jika ada, adalah mungkin untuk mencari yang kecil yang menyuntik.

Bukti keberanian:

Sekiranya kita mendefinisikan, maka dari definisi itu adalah kata sifat.

Ini menunjukkan bahawa kebalikannya wujud, seperti itu dan.

Yang tinggal ialah membuktikan bahawa ia berterusan, perbezaannya berterusan, terbuka dan itu.

Kesinambungan bukti terbalik:

Biarkan $ x, x + h di U_a $, dan $ y = f (x), y + k = f (x + h) di V_b $.

Dalam bukti suntikan kita melihatnya.

Tetapi sekarang kita tahu bahawa kebalikannya wujud, kita mempunyai dan.

Jadi secara keseluruhan, yang membuktikan kelangsungan, seperti yang dapat dibuat dengan sewenang-wenangnya kecil, menjadikannya sewenang-wenangnya kecil.

Imej adalah bukti terbuka:

Kami ingin membuktikan bahawa itu terbuka.

Ini mudah kerana berterusan, jadi set terbuka terbuka. Tetapi adalah, dan dan terbuka, begitu juga terbuka.

Kebezaan bukti terbalik:

Oleh kerana boleh dibezakan, kita mempunyai di mana, atau dengan kata lain, jika dan di sana cukup kecil.

Mari kita ingatkan lagi bahawa $ k = f (x + h) & # 8211 f (x) $ dan menggunakan notasi sebelumnya (dari bahagian kesinambungan).

kemudian, darab dengan dan dapatkan, beralih sisi untuk melihat

Oleh itu, jika kita menunjukkannya, kita akan menunjukkan bahawa itu boleh dibezakan, oleh itu ia dapat dibezakan.

Tetapi sekali lagi dari bukti suntikan kita melihatnya, begitu.

Begitu kecilnya sewenang-wenangnya menurun, oleh itu dapat dibezakan dan turunannya adalah!

Kesinambungan pembezaan bukti terbalik:

Ini mengikuti dengan mudah dari peraturan rantai. . Bahagian kanan adalah komposisi dari tiga fungsi:, dan yang telah kita buktikan adalah berterusan di bahagian aljabar linear pada awalnya. Jadi semuanya berterusan, jadi komposisi juga berterusan.


Jawapan

Terdapat jawapan untuk latihan ini tetapi mereka ada di ruang ini untuk guru, tutor dan ibu bapa yang telah melanggan langganan Transum mereka di komputer ini.

Langganan Transum membuka jawapan kepada latihan, kuiz dan teka-teki dalam talian. Ini juga memberi guru akses kepada pautan luaran yang berkualiti di setiap halaman Topik Transum dan kemudahan untuk menambah koleksi itu sendiri.

Pelanggan boleh menguruskan senarai kelas, rancangan pelajaran dan data penilaian dalam aplikasi Pentadbir Kelas dan mempunyai akses ke laporan Trofi Transum yang diperoleh oleh ahli kelas.

Sekiranya anda ingin menikmati akses tanpa iklan ke beribu-ribu sumber Transum, terima buletin bulanan kami, buka kunci lembaran kerja yang dapat dicetak dan lihat Matematik Pelengkap Penyudah kami kemudian mendaftar untuk melanggan sekarang:


Cari nilai maksimum koordinat pada elipsoid menggunakan teorema fungsi tersirat.

Tentukan fungsi dan anggap titik dengan nilai maksimum koordinat adalah. Yang juga bermaksud seperti pada elipsoid.

Kemudian dari IFT kita tahu terbuka, dan terbuka, dan ada fungsi seperti:

Oleh kerana ini adalah titik yang kita cari, ia mengikutinya. Jadi

yang menghasilkan. Memasukkan ini ke dalam kita mendapat sama ada atau. Oleh kerana kami berminat dengan nilai maksimum koordinat, kami memilih sebagai penyelesaian mungkin. Jadi nilai maksimum semasa kami adalah.

Kita perlu memeriksa kes di mana.

Jadi maksud kami adalah. Kami tidak dapat menggunakan IFT untuk koordinat, tetapi kami mungkin dapat melakukannya untuk koordinat. Mencari minimum kehendak sama dengan mencari nilai maksimum.

Kemudian dari IFT di sana terbuka, dan buka, dan fungsi seperti:

Oleh kerana itu adalah titik yang kita perlukan, di mana minimumnya adalah,.

Oleh itu bermakna dan maksud kami adalah.

Memasang ini kepada kita sehingga ini bukan koordinat maksimum.

Bahagian 2.2: Andaikan, atau dengan kata lain dan maksud kita adalah.

Pasangkan ini kepada kami sehingga ini juga tidak maksimum.

Secara keseluruhan titik yang kami cari adalah dan nilai maksimum koordinat adalah.


Pertukaran mata wang

Satu Dolar A.S. sama dengan .747558 ​​Euro.

a) Nyatakan fungsi untuk menerangkan kadar pertukaran dari dolar ke Euro.

Kami menggunakan kadar pertukaran untuk mendapatkannya E(d) = .747558d dalam Euro di mana d adalah jumlah mata wang dalam dolar.

b) Menyatakan fungsi untuk menggambarkan kadar pertukaran dari Euro ke dolar.

Kami menggunakan kebalikan dari fungsi asal untuk mendapatkannya E -1 (d) = 1.33769d


3.7 Derivatif Fungsi Berbalik

Dalam bahagian ini kita meneroka hubungan antara terbitan fungsi dan terbitan terbalik. Untuk fungsi yang terbitannya sudah kita ketahui, kita dapat menggunakan hubungan ini untuk mencari derivatif terbalik tanpa harus menggunakan definisi had derivatif. Secara khusus, kami akan menggunakan formula untuk turunan fungsi terbalik untuk fungsi trigonometri. Rumus ini juga dapat digunakan untuk memperluas peraturan daya ke eksponen rasional.

Derivatif Fungsi Berbalik

Kita juga boleh memperoleh formula untuk turunan terbalik dengan mengingat semula bahawa x = f (f −1 (x)). x = f (f −1 (x)). Kemudian dengan membezakan kedua-dua sisi persamaan ini (menggunakan peraturan rantai di sebelah kanan), kita memperoleh

Kami merumuskan hasil ini dalam teorema berikut.

Teorema Fungsi songsang

Contoh 3.60

Mengaplikasikan Teorema Fungsi Terbalik

Penyelesaian

Kita dapat mengesahkan bahawa ini adalah derivatif yang betul dengan menerapkan peraturan hasil bagi g (x) g (x) untuk mendapatkannya

Gunakan teorema fungsi songsang untuk mencari terbitan g (x) = 1 x + 2. g (x) = 1 x + 2. Bandingkan hasil yang diperoleh dengan membezakan g (x) g (x) secara langsung.

Contoh 3.61

Mengaplikasikan Teorema Fungsi Terbalik

Gunakan teorema fungsi songsang untuk mencari terbitan g (x) = x 3. g (x) = x 3.

Penyelesaian

Dari contoh sebelumnya, kita dapat melihat bahawa kita dapat menggunakan teorema fungsi terbalik untuk memperluas peraturan daya ke eksponen bentuk 1 n, 1 n, di mana n n adalah bilangan bulat positif. Sambungan ini akhirnya akan membolehkan kita membezakan x q, x q, di mana q q adalah nombor rasional.

Memperluas Peraturan Kuasa ke Eksponen Rasional

Peraturan kuasa boleh diperluas ke eksponen rasional. Iaitu, jika n n adalah bilangan bulat positif, maka

Bukti

Contoh 3.62

Mengamalkan Peraturan Kuasa pada Kekuatan Rasional

Cari persamaan garis lurus dengan graf y = x 2/3 y = x 2/3 pada x = 8. x = 8.

Penyelesaian

cerun garis tangen ke graf pada x = 8 x = 8 ialah 1 3. 1 3.

Pusat Pemeriksaan 3.44

Cari terbitan s (t) = 2 t + 1. s (t) = 2 t + 1.

Derivatif Fungsi Trigonometri Berbalik

Kami sekarang mengalihkan perhatian untuk mencari turunan fungsi trigonometri songsang. Derivatif ini akan terbukti tidak ternilai dalam kajian integrasi dalam teks ini. Derivatif fungsi trigonometri songsang agak mengejutkan kerana terbitannya sebenarnya adalah fungsi algebra. Sebelumnya, terbitan fungsi algebra telah terbukti menjadi fungsi algebra dan terbitan fungsi trigonometri telah terbukti sebagai fungsi trigonometri. Di sini, untuk pertama kalinya, kita melihat bahawa turunan fungsi tidak boleh sama dengan fungsi asalnya.

Contoh 3.63

Derivatif Fungsi Sinus Terbalik

Gunakan teorema fungsi songsang untuk mencari terbitan g (x) = sin −1 x. g (x) = sin −1 x.

Penyelesaian

Analisis

Akibatnya, dalam semua kes, cos (sin −1 x) = 1 - x 2. cos (sin −1 x) = 1 - x 2.

Contoh 3.64

Mengamalkan Peraturan Rantai pada Fungsi Sinus Terbalik

Terapkan peraturan rantai pada formula yang diturunkan dalam Contoh 3.61 untuk mencari terbitan h (x) = sin −1 (g (x)) h (x) = sin −1 (g (x)) dan gunakan hasil ini untuk mencari terbitan h (x) = sin −1 (2 x 3). h (x) = sin −1 (2 x 3).

Penyelesaian

Memohon peraturan rantai ke h (x) = sin −1 (g (x)), h (x) = sin −1 (g (x)), kita mempunyai

Gunakan teorema fungsi songsang untuk mencari terbitan g (x) = tan −1 x. g (x) = tan −1 x.

Derivatif dari fungsi trigonometri songsang yang tersisa juga dapat dijumpai dengan menggunakan teorema fungsi terbalik. Rumusan ini disediakan dalam teorema berikut.

Derivatif Fungsi Trigonometri Berbalik

Contoh 3.65

Menerapkan Formula Pembezaan pada Fungsi Tangen Terbalik

Cari terbitan f (x) = tan −1 (x 2). f (x) = tan −1 (x 2).

Penyelesaian

Contoh 3.66

Mengamalkan Formula Pembezaan pada Fungsi Sinus Terbalik

Cari terbitan h (x) = x 2 sin −1 x. h (x) = x 2 dosa −1 x.

Penyelesaian

Dengan menerapkan peraturan produk, kita mempunyai

Cari terbitan h (x) = cos −1 (3 x - 1). h (x) = cos −1 (3 x - 1).

Contoh 3.67

Menerapkan Fungsi Tangen Terbalik

Penyelesaian

Cari persamaan garis singgung dengan graf f (x) = sin −1 x f (x) = sin −1 x pada x = 0. x = 0.

Bahagian 3.7 Latihan

Untuk latihan berikut, gunakan graf y = f (x) y = f (x) hingga

Untuk latihan berikut, gunakan fungsi y = f (x) y = f (x) untuk mencari

f (x) = 9 - x 2, 0 ≤ x ≤ 3, x = 2 f (x) = 9 - x 2, 0 ≤ x ≤ 3, x = 2

Untuk setiap fungsi berikut, cari (f −1) ′ (a). (f −1) ′ (a).

f (x) = x 2 + 3 x + 2, x ≥ - 3 2, a = 2 f (x) = x 2 + 3 x + 2, x ≥ - 3 2, a = 2

f (x) = x - 2 x, x & lt 0, a = 1 f (x) = x - 2 x, x & lt 0, a = 1

f (x) = tan x + 3 x 2, a = 0 f (x) = tan x + 3 x 2, a = 0

Untuk setiap fungsi yang diberikan y = f (x), y = f (x),

f (x) = (x 3 + 1) 4, P (16, 1) f (x) = (x 3 + 1) 4, P (16, 1)

f (x) = - x 3 - x + 2, P (−8, 2) f (x) = - x 3 - x + 2, P (−8, 2)

f (x) = x 5 + 3 x 3 - 4 x - 8, P (−8, 1) f (x) = x 5 + 3 x 3 - 4 x - 8, P (−8, 1)

Untuk latihan berikut, cari d y d x d y d x untuk fungsi yang diberikan.

y = cos −1 (2 x) · sin −1 (2 x) y = cos −1 (2 x) · sin −1 (2 x)

Untuk latihan berikut, gunakan nilai yang diberikan untuk mencari (f −1) ′ (a). (f −1) ′ (a).

f (π) = 0, f ′ (π) = −1, a = 0 f (π) = 0, f ′ (π) = −1, a = 0

f (6) = 2, f ′ (6) = 1 3, a = 2 f (6) = 2, f ′ (6) = 1 3, a = 2

f (1 3) = −8, f ′ (1 3) = 2, a = −8 f (1 3) = −8, f ′ (1 3) = 2, a = −8

f (3) = 1 2, f ′ (3) = 2 3, a = 1 2 f (3) = 1 2, f ′ (3) = 2 3, a = 1 2

f (1) = −3, f ′ (1) = 10, a = −3 f (1) = −3, f ′ (1) = 10, a = −3

f (1) = 0, f ′ (1) = −2, a = 0 f (1) = 0, f ′ (1) = −2, a = 0

[T] Kedudukan poki hoki bergerak selepas t t saat adalah s (t) = tan −1 t s (t) = tan −1 t di mana s s berada dalam meter.

[T] Kamera televisyen di permukaan tanah berjarak 2000 kaki dari peluncur roket ruang angkasa yang diatur untuk lepas landas secara menegak, seperti yang terlihat pada gambar berikut. Sudut ketinggian kamera dapat dijumpai oleh θ = tan −1 (x 2000), θ = tan −1 (x 2000), di mana x x adalah ketinggian roket. Cari kadar perubahan sudut ketinggian selepas pelancaran ketika kamera dan roket berada sejauh 5000 kaki.

[T] Teater filem tempatan dengan skrin setinggi 30 kaki yang berada 10 kaki di atas paras mata seseorang ketika duduk mempunyai sudut tonton θ θ (dalam radian) yang diberikan oleh θ = cot −1 x 40 - cot −1 x 10, θ = katil bayi −1 x 40 - katil bayi −1 x 10,

Sebagai Amazon Associate, kami memperoleh hasil dari pembelian yang layak.

Ingin memetik, berkongsi, atau mengubahsuai buku ini? Buku ini adalah Lisensi Atribusi-NonCommercial-ShareAlike Creative Commons 4.0 dan anda mesti mengaitkan OpenStax.

    Sekiranya anda mengedarkan semula seluruh atau sebahagian buku ini dalam format cetakan, maka anda mesti memasukkan setiap halaman fizikal atribusi berikut:

  • Gunakan maklumat di bawah untuk menghasilkan petikan. Kami mengesyorkan menggunakan alat petikan seperti ini.
    • Pengarang: Gilbert Strang, Edwin "Jed" Herman
    • Penerbit / laman web: OpenStax
    • Tajuk buku: Kalkulus Jilid 1
    • Tarikh penerbitan: 30 Mac 2016
    • Lokasi: Houston, Texas
    • URL Buku: https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/1-pengenalan
    • URL bahagian: https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-7-derivatives-of-inverse-functions

    © 7 Jan 2021 OpenStax. Kandungan buku teks yang dihasilkan oleh OpenStax dilesenkan di bawah lesen Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0. Nama OpenStax, logo OpenStax, sampul buku OpenStax, nama OpenStax CNX, dan logo OpenStax CNX tidak tertakluk kepada lesen Creative Commons dan tidak boleh diterbitkan semula tanpa persetujuan bertulis terlebih dahulu dari Universiti Rice.


    2 Jawapan 2

    Sepintas lalu saya nampak bahawa idea anda, sebagai strategi pembuktian, pada dasarnya betul tetapi mungkin sukar dilaksanakan secara langsung. Saya rasa lebih mudah untuk menunjukkan bahawa $ DF $, orang Jacobe dari $ F $, adalah tunggal pada $ (2, 1) $ dengan cara yang mudah, seperti berikut:

    Marilah kita menunjukkan komponen $ F: Bbb R ^ 2 to Bbb R ^ 2 $ by $ F_x $ dan $ F_y $, sehingga $ F (x, y) = (F_x (x, y), F_y (x, y)) $ untuk $ (x, y) in Bbb R ^ 2 $. Pertimbangkan keluk $ gamma (t) = (3t ^ 3 + 2, e ^) $ dalam $ Bbb R ^ 2 $. Jelas $ gamma (0) = (2, 1) $, jadi $ gamma (t) $ melewati titik $ (2, 1) in Bbb R ^ 2 $ apabila $ t = 0 $. Kami diberi $ F (3t ^ 3 + 2, e ^) = (3, 6) $ untuk semua $ t in Bbb R $ menuliskannya dari segi hasil komponen

    Sekiranya kita sekarang membezakan (1) dan (2) berkenaan dengan $ t $ menggunakan peraturan rantai, kita memperoleh

    $ ( partial F_x / partial x) (3t ^ 3 + 2, e ^) (9t ^ 2) + ( sebahagian F_x / separa y) (3t ^ 3 + 2, e ^) (2te ^) = 0 tag <3> $

    $ ( partial F_y / partial x) (3t ^ 3 + 2, e ^) (9t ^ 2) + ( sebahagian F_y / separa y) (3t ^ 3 + 2, e ^) (2te ^) = 0 tag <4> $

    menahan sebarang $ t in Bbb R $. Kita boleh menulis semula (3), (4) sebagai persamaan matriks-vektor

    $ bermula partial F_x / partial x & amp partial F_x / partial y partial F_y / partial x & amp partial F_y / partial y akhir_ <(3t ^ 3 + 2, e ^)> bermula 9t ^ 2 2te ^ akhir = 0, tag <5> $

    yang menunjukkan Jacobean $ F $ adalah tunggal untuk $ t ne 0 $, kerana vektor $ (9t ^ 2, 2te ^) ^ T ne 0 $ untuk $ t ne 0 $. Ini menunjukkan bahawa

    $ det ( bermula partial F_x / partial x & amp partial F_x / partial y partial F_y / partial x & amp partial F_y / partial y akhir_ <(3t ^ 3 + 2, e ^)>) = 0 tag <6> $

    untuk mana-mana titik pada lengkung $ gamma (t) $ di mana $ t ne 0 $ kerana penentu matriks persegi adalah fungsi berterusan dari entrinya, membiarkan $ t hingga 0 $ menunjukkan

    $ det (DF (2, 1)) = det ( bermula partial F_x / partial x & amp partial F_x / partial y partial F_y / partial x & amp partial F_y / partial y akhir_ <(2, 1)>) = 0, tag <7> $

    dari mana $ DF (2, 1) $ tidak boleh dibalikkan. QED.

    Dari sudut pandangan yang lain, $ F $ jelas tidak dapat disuntik di mana-mana kawasan yang berjumlah $ (2, 1) $ kerana memetakan keseluruhan lengkung $ gamma (t) $ ke titik tunggal $ (3, 6) $. Dan seperti yang ditunjukkan oleh Profesor Shifrin dalam jawapannya, terdapat selang keseluruhan $ I = (- epsilon, epsilon) $, $ epsilon & gt 0 $, dengan $ gamma (I) subset U $.


    Inter Maths 1 & # 8211 1A Panduan Pelajaran bijak

    Pelajaran Sub-Topik Topik yang Dihapus kerana COVID-19 pada AP Topik yang Dihapus kerana COVID-19 di TS Bahan Kajian
    Fungsi Jenis fungsi - Definisi. Fungsi songsang dan Teorema.

    Skala darab satu matriks dan pendaraban matriks Transpose suatu matriks

    Bersebelahan dan Sebalik matriks

    Konsistensi dan ketidakkonsistenan Persamaan- Kedudukan matriks

    3.4.10 Masalah yang diselesaikan Latihan.3 (d) Masalah II dan III Bukti A-1 = adjA /! A! dan

    3.6.8 hingga 3.6.13 (Sistem yang konsisten dan tidak konsisten) termasuk latihan 3g

    3.7: Penyelesaian persamaan linear serentak Kaedah Gauss-Jordan

    Penambahan vektor. Pendaraban skalar.

    Sudut antara dua vektor bukan sifar. Gabungan vektor linear.

    Komponen vektor dalam tiga dimensi.

    Ekspresi produk titik dalam sistem i, j, k & # 8211 Sudut antara dua vektor.

    Kaedah Vektor Geometri.

    Vektor persamaan satah dalam bentuk normal. Sudut antara dua satah.

    Produk vektor dua vektor dan sifat. Produk vektor dalam sistem i, j, k.

    Scalar Triple Product. Persamaan vektor dalam bentuk yang berbeza, garis miring, jarak terpendek dan setara Cartesiannya. Pesawat melalui garis persimpangan dua satah, keadaan untuk koplanariti dua garis, jarak tegak lurus dari satu titik dari satah, Sudut antara garis dan satah. Setara Cartesian dari semua hasil ini Produk Triple Vektor

    Grafik dan Berkala fungsi Trigonometri.

    Nisbah trigonometri dan sudut Sebatian.

    Nisbah trigonometri pelbagai dan sub-berganda.

    Grafik Fungsi Trigonometri Terbalik.

    Definisi Fungsi Hiperbola Berbalik - Grafik.

    Peraturan sinus, kosinus, tangen dan unjuran.

    Rumus sudut separuh dan luas segitiga


    Larson Algebra 2 Penyelesaian Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 1E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 1GP

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 1MR

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 2E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri 13.3 2GP


    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 2MR

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 3E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri 13.3 3GP

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 3MR

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 4E


    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 4GP


    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 4MR

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 5E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri 13.3 5GP

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 5MR

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 6E


    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri 13.3 6GP

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 7E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 7GP

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 7MR

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 8E


    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 8GP


    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 9E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 9GP

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 10E


    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 10GP

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 11E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 11GP

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 12E


    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 13E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 14E


    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 15E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 16E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 17E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 18E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 19E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 20E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 21E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 22E


    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 23E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 24E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 25E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 26E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 27E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 28E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 29E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 30E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 31E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 32E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 33E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 34E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 35E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 37E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 38E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 39E


    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 41E


    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 42E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 43E

    Petak titik pada sistem koordinat dan gabungkan dengan lengkung.

    Menurut ujian garis mendatar, jika mungkin untuk melukis garis sedemikian sehingga ia bersilang
    graf pada lebih daripada satu titik, maka kebalikan dari f tidak akan menjadi fungsi.
    Lakukan ujian garis mendatar pada grafik untuk menentukan sama ada kebalikan f adalah fungsi.

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 44E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 45E


    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 46E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 47E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 48E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 49E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 50E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 51E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 52E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri 13.3 53E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 54E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 55E

    Bab 13 Nisbah dan Fungsi Trigonometri Latihan 13.3 56E