Artikel

8.1.E: Masalah Fungsi Terukur dan Elemen di ((S, mathcal {M}) ) - Matematik

8.1.E: Masalah Fungsi Terukur dan Elemen di  ((S,  mathcal {M}) ) - Matematik



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Latihan ( PageIndex {1} )

Isi semua butiran bukti dalam Corollaries 2 dan 3 dan Teorema 1 dan 2.

Latihan ( PageIndex {2} )

Tunjukkan bahawa ( mathcal {P} ^ { prime} cap P ^ { prime prime} ) adalah seperti yang dinyatakan pada akhir Definisi 2.

Latihan ( PageIndex {3} )

Diberi (A subseteq S ) dan (f, f_ {m}: S rightarrow left (T, rho ^ { prime} kanan), m = 1,2, ldots, ) membiarkan
[
H = A kiri (f_ {m} kanan bawah f kanan)
]
dan
[
A_ {m n} = A kiri ( rho ^ { prime} kiri (f_ {m}, f kanan) < frac {1} {n} kanan).
]
Buktikan bahawa
(i) (H = bigcap_ {n = 1} ^ { infty} bigcup_ {k = 1} ^ { infty} bigcap_ {m = k} ^ { infty} A_ {m n}; )
(ii) (H in mathcal {M} ) jika semua (A_ {mn} ) berada di ( mathcal {M} ) dan ( mathcal {M} ) adalah ( sigma ) - cincin.
[Petunjuk: (x di H ) jika
[
( forall n) ( wujud k) ( forall m geq k) quad x in A_ {m n}.
]
Kenapa?]

Latihan ( PageIndex {3 '} )

Lakukan Masalah 3 untuk (T = E ^ {*} ) dan (f = pm infty ) di (H ).
[Petunjuk: Jika ( left.f = + infty, A_ {m n} = A kiri (f_ {m}> n kanan) cdot kanan] )

Latihan ( PageIndex {4} )

( Rightarrow 4 ). Mari (f: S panah kanan T ) menjadi ( mathcal {M} ) - dasar pada (A, ) dengan ( mathcal {M} ) a ( sigma ) -ring (S. ) Tunjukkan perkara berikut.
(i) (A (f = a) in mathcal {M}, A (f neq a) in mathcal {M} ).
(ii) Jika (T = E ^ {*}, ) maka
(A (f a), ) dan (A (f geq a) )
berada di ( mathcal {M}, ) juga.
(iii) (( forall B subseteq T) A cap f ^ {- 1} [B] in mathcal {M} ).
[Petunjuk: Sekiranya
[
A = bigcup_ {i-1} ^ { infty} A_ {i}
]
dan ( left.f = a_ {i} text {on} A_ {i}, text {then} A (f = a) text {adalah gabungan antara mereka} A_ {i} text { yang mana} a_ {i} = a. kanan] )

Latihan ( PageIndex {5} )

Lakukan Masalah (4 ( mathrm {i}) ) untuk diukur (f ).
[Petunjuk: Jika (f = lim f_ {m} ) untuk peta asas (f_ {m}, ) maka
[
H = A (f = a) = A kiri (f_ {m} kanan bawah kanan).
]
Ungkapkan (H ) seperti dalam Masalah (3, ) dengan
[
A_ {m n} = A kiri (h_ {m} < frac {1} {n} kanan),
]
di mana (h_ {m} = rho ^ { prime} kiri (f_ {m}, a kanan) ) adalah asas. (Mengapa?) Kemudian gunakan Masalah (4 ( teks {ii) dan} 3 ( teks {ii}).] )

Latihan ( PageIndex {6} )

( Rightarrow 6 ). Diberi (f, g: S rightarrow left (T, rho ^ { prime} kanan), ) biarkan (h = rho ^ { prime} (f, g), ) iaitu,
[
h (x) = rho ^ { prime} (f (x), g (x)).
]
Buktikan bahawa jika (f ) dan (g ) adalah asas, sederhana, atau dapat diukur pada (A, ) begitu juga (h. )
[Petunjuk: Hujah seperti dalam Teorema 1. Gunakan Teorema (4 teks {dalam Bab} 3, §15.] )

Latihan ( PageIndex {7} )

( Rightarrow 7 ). ( kiri. teks {Satu set} kiri.B subseteq kiri (T, rho ^ { prime} kanan) teks {disebut terpisah (di} T kanan) teks {iff} B subseteq overline {D} text {(penutupan} D kanan) ) untuk set yang dapat dikira (D subseteq T ).
Buktikan bahawa jika (f: S rightarrow T ) adalah ( mathcal {M} ) - dapat diukur pada (A, ) maka (f [A] ) dapat dipisahkan di (T. )
[Petunjuk: (f = lim f_ {m} ) untuk peta asas (f_ {m}; ) katakan,
[
f_ {m} = a_ {m i} teks {on} A_ {m i} in mathcal {M}, quad i = 1,2, ldots
]
Mari (D ) terdiri daripada semua (a_ {m mathrm {i}} (m, i = 1,2, ldots); ) sehingga (D ) dapat dikira (mengapa?) Dan ( D subseteq T ).
Sahkan bahawa
[
( forall y in f [A]) ( ada x di A) quad y = f (x) = lim f_ {m} (x),
]
dengan (f_ {m} (x) di D. ) Oleh itu
[
( forall y in f [A]) quad y in overline {D},
]
oleh Teorema (3 teks {dari Bab} 3, §16.] )

Latihan ( PageIndex {8} )

( Rightarrow 8 ). Masalah Berterusan (7, ) membuktikan bahawa jika (B subseteq overline {D} ) dan (D = kiri {q_ {1}, q_ {2}, ldots kanan }, kemudian
[
( forall n) quad B subseteq bigcup_ {i = 1} ^ { infty} G_ {q_ {i}} kiri ( frac {1} {n} kanan),
]
[Petunjuk: Sekiranya (p in B subseteq overline {D}, ) mana-mana (G_ {p} kiri ( frac {1} {n} kanan) ) mengandungi beberapa (q_ {1 } di D; ) begitu
[
rho ^ { prime} kiri (p, q_ {i} kanan) < frac {1} {n}, teks {atau} p di G_ {q_ {i}} kiri ( frac { 1} {n} kanan).
]
Oleh itu
[
kiri. ( forall p in B) quad p in bigcup_ {i-1} ^ { infty} G_ {q_ {i}} kiri ( frac {1} {n} kanan) cdot kanan]
]

Latihan ( PageIndex {9} )

Buktikan Corollaries 2 dan 3 dan Teorema 1 dan (2, ) dengan anggapan bahawa ( mathcal {M} ) adalah semiring sahaja.

Latihan ( PageIndex {10} )

Lakukan Masalah 4 untuk ( mathcal {M} ) - peta ringkas, dengan anggapan bahawa ( mathcal {M} ) adalah cincin sahaja.


Tonton videonya: ISO 45001 for IMS (Ogos 2022).