Artikel

Bahagian 3.5E: Latihan - Matematik


1.4: Komposisi Fungsi

Andaikan kita mahu mengira berapa kos untuk memanaskan rumah pada hari tertentu dalam setahun. Dengan menggabungkan kedua hubungan ini menjadi satu fungsi, kita telah melakukan komposisi fungsi, yang menjadi fokus bahagian ini.

Latihan Bahagian

Lisan

Latihan 1.4.1

Bagaimana seseorang dapat menemui domain bagi dua fungsi, ( frac {f} {g} )?

Jawapan:
Cari nombor yang menjadikan fungsi di penyebut (g ) sama dengan sifar, dan periksa sebarang batasan domain lain pada (f ) dan (g ), seperti akar atau nol yang diindeks genap di penyebut.

Latihan 1.4.2

Apakah komposisi dua fungsi, (f { circ} g )?

Latihan 1.4.3

Sekiranya susunan terbalik ketika menyusun dua fungsi, bolehkah hasilnya sama dengan jawapan dalam susunan asal komposisi? Sekiranya ya, berikan contoh. Sekiranya tidak, terangkan mengapa tidak.

Jawapan:
Ya. Contoh jawapan: Let (f (x) = x + 1 ) dan (g (x) = x − 3 ). Kemudian (f (g (x)) = f (x − 3) = (x − 3) + 1 = x-2 ) dan (g (f (x)) = g (x + 1) = ( x + 1) −3 = x-2 ). Oleh itu (f { circ} g = g { circ} f ).

Latihan 1.4.4

Bagaimana anda mencari domain untuk komposisi dua fungsi, (f { circ} g )?

Algebra

Latihan 1.4.5

Diberi (f (x) = x ^ 2 + 2x ) dan (g (x) = 6 − x ^ 2 ), cari (f + g ), (f − g ), ( fg ), dan ( frac {f} {g} ). Tentukan domain untuk setiap fungsi dalam notasi selang.

Jawapan:

((f + g) (x) = 2x + 6 ), domain: ((- infty, infty) )

((f − g) (x) = 2x ^ 2 + 2x − 6 ), domain: ((- infty, infty) )

((fg) (x) = - x ^ 4−2x ^ 3 + 6x ^ 2 + 12x ), domain: ((- - infty, infty) )

( Big ( dfrac {f} {g} Big) (x) = dfrac {x ^ 2 + 2x} {6 − x ^ 2}, ) domain: ((- infty, - sqrt {6}) cup ( sqrt {6}, sqrt {6}) cup ( sqrt {6}, infty) )

Latihan 1.4.6

Diberi (f (x) = - 3x ^ 2 + x ) dan (g (x) = 5 ), cari (f + g ), (f − g ), (fg ) , dan ( frac {f} {g} ). Tentukan domain untuk setiap fungsi dalam notasi selang.

Latihan 1.4.7

Diberi (f (x) = 2x ^ 2 + 4x ) dan (g (x) = frac {1} {2x} ), cari (f + g ), (f − g ) , (fg ), dan ( frac {f} {g} ). Tentukan domain untuk setiap fungsi dalam notasi selang.

Jawapan:

((f + g) (x) = frac {4x ^ 3 + 8x ^ 2 + 1} {2x} ), domain: ((- infty, 0) cup (0, infty) )

((f − g) (x) = frac {4x3 + 8x2−1} {2x} ), domain: ((- infty, 0) cup (0, infty) )

((fg) (x) = x + 2 ), domain: ((- infty, 0) cup (0, infty) )

((fg) (x) = 4x ^ 3 + 8x ^ 2 ), domain: ((- infty, 0) cup (0, infty) )

Latihan 1.4.8

Diberi (f (x) = dfrac {1} {x − 4} ) dan (g (x) = frac {1} {6 − x} ), cari (f + g ), (f − g ), (fg ), dan ( frac {f} {g} ). Tentukan domain untuk setiap fungsi dalam notasi selang.

Latihan 1.4.9

Diberi (f (x) = 3x ^ 2 ) dan (g (x) = sqrt {x − 5} ), cari (f + g ), (f − g ), ( fg ), dan ( frac {f} {g} ). Tentukan domain untuk setiap fungsi dalam notasi selang.

Jawapan:

((f + g) (x) = 3x ^ 2 + sqrt {x − 5} ), domain: ( kiri [5, infty kanan) )

((f − g) (x) = 3x ^ 2− sqrt {x − 5} ), domain: ( kiri [5, infty kanan) )

((fg) (x) = 3x ^ 2 sqrt {x − 5} ), domain: ( kiri [5, infty kanan) )

( Big ( dfrac {f} {g} Big) (x) = frac {3x ^ 2} { sqrt {x − 5}} ), domain: ((5, infty) )

Latihan 1.4.10

Diberi (f (x) = sqrt {x} ) dan (g (x) = | x − 3 | ), cari ( frac {g} {f} ). Tentukan domain fungsi dalam notasi selang.

Latihan 1.4.11

Diberi (f (x) = 2x ^ 2 + 1 ) dan (g (x) = 3x − 5 ), cari yang berikut:

a. (f (g (2)) )
b. (f (g (x)) )
c. (g (f (x)) )
d. ((g { circ} g) (x) )
e. ((f { circ} f) (- 2) )

Jawapan:
a. 3;
b. (f (g (x)) = 2 (3x − 5) ^ 2 + 1 )
c. (f (g (x)) = 6x ^ 2−2 )
d. ((f { circ} g) (x) = 3 (3x − 5) −5 = 9x − 20 )
e. ((f { circ} f) (- 2) = 163 )

Untuk latihan berikut, gunakan setiap pasangan fungsi untuk mencari (f (g (x)) ) dan (g (f (x)) ). Permudahkan jawapan anda.

Latihan 1.4.12

(f (x) = x ^ 2 + 1 ), (g (x) = sqrt {x + 2} )

Latihan 1.4.13

(f (x) = sqrt {x} +2 ), (g (x) = x ^ 2 + 3 )

Jawapan:
(f (g (x)) = sqrt {x + 3} ), (g (f (x)) = x + 4 sqrt {x} +7 )

Latihan 1.4.14

(f (x) = | x | ), (g (x) = 5x + 1 )

Latihan 1.4.15

(f (x) = sqrt [3] {x} ), (g (x) = frac {x + 1} {x ^ 3} )

Jawapan:
(f (g (x)) = sqrt [3] { dfrac {x + 1} {x ^ 3}} = dfrac { sqrt [3] {x + 1}} {x} ), (g (f (x)) = dfrac { sqrt [3] {x} +1} {x} )

Latihan 1.4.16

(f (x) = dfrac {1} {x − 6} ), (g (x) = dfrac {7} {x} +6 )

Latihan 1.4.17

(f (x) = dfrac {1} {x − 4} ), (g (x) = dfrac {2} {x} +4 )

Jawapan:
((f { circ} g) (x) = dfrac {1} { frac {2} {x} + 4-4} = dfrac {x} {2} ), ((g { circ} f) (x) = 2x-4 )

Untuk latihan berikut, gunakan setiap set fungsi untuk mencari f (g (h (x))). Permudahkan jawapan anda.

Latihan 1.4.18

(f (x) = x ^ 4 + 6 ), (g (x) = x − 6 ), dan (h (x) = sqrt {x} )

Latihan 1.4.19

(f (x) = x ^ 2 + 1 ), (g (x) = frac {1} {x} ), dan (h (x) = x + 3 )

Jawapan:
(f (g (h (x))) = Besar ( dfrac {1} {x + 3} Besar) ^ 2 + 1 )

Latihan 1.4.20

Diberi (f (x) = frac {1} {x} ) dan (g (x) = x − 3 ), cari yang berikut:

a. ((f { circ} g) (x) )
b. domain ((f { circ} g) (x) ) dalam notasi selang
c. ((g { circ} f) (x) )
d. domain ((g { circ} f) (x) )
3. ( Besar ( frac {f} {g} Besar) x )

Latihan 1.4.21

Diberi (f (x) = sqrt {2−4x} ) dan (g (x) = - frac {3} {x} ), cari yang berikut:

a. ((g { circ} f) (x) )
b. domain ((g { circ} f) (x) ) dalam notasi selang

Jawapan:
a. ((g { circ} f) (x) = - dfrac {3} { sqrt {2−4x}} )
b. ((- infty, frac {1} {2}) )

Latihan 1.4.22

Dengan fungsi (f (x) = frac {1 − x} {x} ) dan (g (x) = frac {1} {1 + x ^ 2} ), cari yang berikut:

a. ((g { circ} f) (2) )

Latihan 1.4.23

Fungsi yang diberikan (p (x) = frac {1} { sqrt {x}} ) dan (m (x) = x ^ 2−4 ), nyatakan domain setiap fungsi berikut menggunakan selang tatatanda:

a. ( frac {p (x)} {m (x)} )
b. (p (m (x)) )
c. (m (p (x)) )

Jawapan:
a. ((0,2) cawan (2, infty) )
b. ((- infty, −2) cawan (2, infty) )
c. ((0, infty) )

Latihan 1.4.24

Fungsi yang diberikan (q (x) = frac {1} { sqrt {x}} ) dan (h (x) = x ^ 2−9 ), nyatakan domain setiap fungsi berikut menggunakan selang tatatanda.

a. ( frac {q (x)} {h (x)} )
b. (q (h (x)) )
c. (h (q (x)) )

Latihan 1.4.25

Untuk (f (x) = frac {1} {x} ) dan (g (x) = sqrt {x − 1} ), tulis domain ((f { circ} g) (x) ) dalam notasi selang.

Jawapan:
((1, infty) )

Untuk latihan berikut, cari fungsi (f (x) ) dan (g (x) ) supaya fungsi yang diberikan dapat dinyatakan sebagai (h (x) = f (g (x)) ).

Latihan 1.4.26

(h (x) = (x + 2) ^ 2 )

Latihan 1.4.27

(h (x) = (x − 5) ^ 3 )

Jawapan:

contoh: (f (x) = x ^ 3 )

(g (x) = x − 5 )

Latihan 1.4.28

(h (x) = frac {3} {x − 5} )

Latihan 1.4.29

(h (x) = frac {4} {(x + 2) ^ 2} )

Jawapan:

contoh: (f (x) = frac {4} {x} )

(g (x) = (x + 2) ^ 2 )

Latihan 1.4.30

(h (x) = 4 + sqrt [3] {x} )

Latihan 1.4.31

(h (x) = sqrt [3] { frac {1} {2x − 3}} )

Jawapan:

contoh: (f (x) = sqrt [3] {x} )

(g (x) = frac {1} {2x − 3} )

Latihan 1.4.32

(h (x) = frac {1} {(3x ^ 2−4) ^ {- 3}} )

Latihan 1.4.33

(h (x) = sqrt [4] { frac {3x − 2} {x + 5}} )

Jawapan:

contoh: (f (x) = sqrt [4] {x} )

(g (x) = frac {3x − 2} {x + 5} )

Latihan 1.4.34

(h (x) = ( frac {8 + x ^ 3} {8 − x ^ 3}) ^ 4 )

Latihan 1.4.35

(h (x) = sqrt {2x + 6} )

Jawapan:

contoh: (f (x) = sqrt {x} )

(g (x) = 2x + 6 )

Latihan 1.4.36

(h (x) = (5x − 1) ^ 3 )

Latihan 1.4.37

(h (x) = sqrt [3] {x − 1} )

Jawapan:
contoh: (f (x) = sqrt [3] {x} )

(g (x) = (x − 1) )

Latihan 1.4.38

(h (x) = | x ^ 2 + 7 | )

Latihan 1.4.39

(h (x) = frac {1} {(x − 2) ^ 3} )

Jawapan:
contoh: (f (x) = x ^ 3 )
(g (x) = frac {1} {x − 2} )

Latihan 1.4.40

(h (x) = Besar ( frac {1} {2x − 3} Besar) ^ 2 )

Latihan 1.4.41

(h (x) = sqrt { frac {2x − 1} {3x + 4}} )

Jawapan:
contoh: (f (x) = sqrt {x} )
(g (x) = frac {2x − 1} {3x + 4} )

Grafik

Untuk latihan berikut, gunakan grafik (f ), ditunjukkan dalam Rajah 1.4.6, dan (g ), ditunjukkan dalam Rajah 1.4.7, untuk menilai ungkapan.

Rajah 1.4.6: Graf fungsi.


Rajah 1.4.7: Graf fungsi.

Latihan 1.4.42

(f (g (3)) )

Latihan 1.4.43

(f (g (1)) )

Latihan 1.4.44

(g (f (1)) )

Latihan 1.4.45

(g (f (0)) )

Latihan 1.4.46

(f (f (5)) )

Latihan 1.4.47

(f (f (4)) )

Latihan 1.4.48

(g (g (2)) )

Latihan 1.4.49

(g (g (0)) )

Untuk latihan berikut, gunakan grafik (f (x) ), ditunjukkan dalam Rajah 1.4.8, (g (x) ), ditunjukkan dalam Rajah 1.4.9, dan (h (x) ), ditunjukkan dalam Rajah 1.4.10, untuk menilai ungkapan.

Rajah 1.4.8: Graf parabola.


Rajah 1.4.9: Graf fungsi punca kuasa dua.

Rajah 1.4.10: Graf fungsi nilai mutlak.

Latihan 1.4.50

(g (f (1)) )

Latihan 1.4.51

(g (f (2)) )

Latihan 1.4.52

(f (g (4)) )

Latihan 1.4.53

(f (g (1)) )

Latihan 1.4.54

(f (h (2)) )

Latihan 1.4.55

(h (f (2)) )

Latihan 1.4.56

(f (g (h (4))) )

Latihan 1.4.57

(f (g (f (−2))) )

Berangka

Untuk latihan berikut, gunakan nilai fungsi untuk (f ) dan (g ) ditunjukkan dalam Jadual 1.4.3 untuk menilai setiap ungkapan.

(x ) (f (x) ) (g (x) )
079
165
256
382
441
508
627
713
894
930

Jadual 1.4.3

Latihan 1.4.58

(f (g (8)) )

Latihan 1.4.59

(f (g (5)) )

Latihan 1.4.60

(g (f (5)) )

Latihan 1.4.61

(g (f (3)) )

Latihan 1.4.62

(f (f (4)) )

Latihan 1.4.63

(f (f (1)) )

Latihan 1.4.64

(g (g (2)) )

Latihan 1.4.65

(g (g (6)) )

Untuk latihan berikut, gunakan nilai fungsi untuk (f ) dan (g ) yang ditunjukkan dalam Jadual 1.4.4 untuk menilai ungkapan.

(x ) (f (x) ) (g (x) )
-311-8
-29-3
-170
051
130
21-3
3-1-8

Latihan 1.4.66

((f { circ} g) (1) )

Latihan 1.4.67

((f { circ} g) (2) )

Latihan 1.4.68

((g { circ} f) (2) )

Latihan 1.4.69

((g { circ} f) (3) )

Latihan 1.4.70

((g { circ} g) (1) )

Latihan 1.4.71

((f { circ} f) (3) )

Untuk latihan berikut, gunakan setiap pasangan fungsi untuk mencari (f (g (0)) ) dan (g (f (0)) ).

Latihan 1.4.72

(f (x) = 4x + 8 ), (g (x) = 7 − x ^ 2 )

Latihan 1.4.73

(f (x) = 5x + 7 ), (g (x) = 4−2x ^ 2 )

Jawapan:
(f (g (0)) = 27 ), (g (f (0)) = - 94 )

Latihan 1.4.74

(f (x) = sqrt {x + 4} ), (g (x) = 12 − x ^ 3 )

Latihan 1.4.75

(f (x) = frac {1} {x + 2} ), (g (x) = 4x + 3 )

Jawapan:
(f (g (0)) = frac {1} {5} ), (g (f (0)) = 5 )

Untuk latihan berikut, gunakan fungsi (f (x) = 2x ^ 2 + 1 ) dan (g (x) = 3x + 5 ) untuk menilai atau mencari fungsi komposit seperti yang ditunjukkan.

Latihan 1.4.76

(f (g (2)) )

Latihan 1.4.77

(f (g (x)) )

Latihan 1.4.78

(g (f (−3)) )

Latihan 1.4.79

((g { circ} g) (x) )

Jawapan:
(g { circ} g (x) = 9x + 20 )

Sambungan

Untuk latihan berikut, gunakan (f (x) = x ^ 3 + 1 ) dan (g (x) = sqrt [3] {x − 1} ).

Latihan 1.4.80

Cari ((f { circ} g) (x) ) dan ((g { circ} f) (x) ). Bandingkan dua jawapan.

Latihan 1.4.81

Cari ((f { circ} g) (2) ) dan ((g { circ} f) (2) ).

Latihan 1.4.82

Apakah domain ((g { circ} f) (x) )?

Latihan 1.4.83

Apakah domain ((f { circ} g) (x) )?

Jawapan:
((- infty, infty) )

Latihan 1.4.84

Mari (f (x) = frac {1} {x} ).

a. Cari ((f { circ} f) (x) ).

b. Adakah ((f { circ} f) (x) ) untuk sebarang fungsi (f ) sama dengan jawapan pada bahagian (a) untuk sebarang fungsi? Terangkan.

Untuk latihan berikut, mari (F (x) = (x + 1) ^ 5 ), (f (x) = x ^ 5 ), dan (g (x) = x + 1 ).

Latihan 1.4.85

Betul atau Salah: ((g { circ} f) (x) = F (x) ).

Latihan 1.4.86

Betul atau Salah: ((f { circ} g) (x) = F (x) ).

Untuk latihan berikut, cari komposisi ketika (f (x) = x ^ 2 + 2 ) untuk semua (x geq0 ) dan (g (x) = sqrt {x − 2} ).

Latihan 1.4.87

((f { circ} g) (6) ); ((g { circ} f) (6) )

Jawapan:
((f { circ} g) (6) = 6 ), ((g { circ} f) (6) = 6 )

Latihan 1.4.88

((g { circ} f) (a) ); ((f { circ} g) (a) )

Latihan 1.4.89

((f { circ} g) (11) ); ((g { circ} f) (11) )

Jawapan:
((f { circ} g) (11) = 11 ), ((g { circ} f) (11) = 11 )

Aplikasi Dunia Sebenar

Latihan 1.4.90

Fungsi (D (p) ) memberikan jumlah item yang akan diminta ketika harganya (p ). Kos pengeluaran (C (x) ) adalah kos menghasilkan (x ) item. Untuk menentukan kos pengeluaran apabila harganya adalah $ 6, anda akan melakukan perkara berikut?

a. Nilaikan (D (C (6)) ).
b. Nilaikan (C (D (6)) ).
c. Selesaikan (D (C (x)) = 6 ).
d. Selesaikan (C (D (p)) = 6 ).

Latihan 1.4.91

Fungsi (A (d) ) memberikan tahap kesakitan pada skala 0 hingga 10 yang dialami oleh pesakit dengan (d ) miligram ubat penahan sakit di sistemnya. Miligram ubat dalam sistem pesakit selepas (t ) minit dimodelkan oleh (m (t) ). Manakah antara berikut yang akan anda lakukan untuk menentukan bila pesakit akan berada pada tahap kesakitan 4?

a. Nilaikan (A (m (4)) ).
b. Nilaikan (m (A (4)) ).
c. Selesaikan (A (m (t)) = 4 ).
d. Selesaikan (m (A (d)) = 4 ).

Latihan 1.4.92

Sebuah kedai menawarkan pelanggan potongan 30% pada harga x barang terpilih. Kemudian, kedai mengeluarkan tambahan 15% di daftar tunai. Tuliskan fungsi harga (P (x) ) yang mengira harga akhir item dari segi harga asal (x ). (Petunjuk: Gunakan komposisi fungsi untuk mencari jawapan anda.)

Latihan 1.4.93

Titisan hujan yang memukul tasik membuat riak bulat. Sekiranya jejari, dalam inci, tumbuh sebagai fungsi masa dalam beberapa minit mengikut (r (t) = 25 sqrt {t + 2} ), cari luas riak sebagai fungsi masa. Cari kawasan riak di (t = 2 ).

Jawapan:
(A (t) = pi (25 sqrt {t + 2}) ^ 2 ) dan (A (2) = pi (25 sqrt {4}) ^ 2 = 2500 pi ) kotak inci

Latihan 1.4.94

Api hutan meninggalkan kawasan rumput yang dibakar dengan corak bulat yang meluas. Sekiranya jejari lingkaran rumput yang terbakar meningkat seiring dengan waktu mengikut formula (r (t) = 2t + 1 ), ungkapkan kawasan yang terbakar sebagai fungsi waktu, (t ) (minit).

Latihan 1.4.95

Gunakan fungsi yang anda temukan dalam latihan sebelumnya untuk mengetahui jumlah kawasan yang terbakar setelah 5 minit.

Jawapan:
(A (5) = pi (2 (5) +1) 2 = 121 pi ) unit persegi

Latihan 1.4.96

Radius (r ), dalam inci, balon sfera berkaitan dengan isipadu, (V ), oleh (r (V) = sqrt [3] { frac {3V} {4 pi }} ). Udara dipompa ke dalam balon, jadi isipadu setelah (t ) saat diberikan oleh (V (t) = 10 + 20t ).

a. Cari fungsi komposit (r (V (t)) ).

b. Cari tepat masa ketika jejari mencapai 10 inci.

Latihan 1.4.97

Bilangan bakteria dalam produk makanan yang disejukkan diberikan oleh (N (T) = 23T ^ 2−56T + 1 ), (3

Cari fungsi komposit (N (T (t)) ).
Cari masa (pusingan hingga dua tempat perpuluhan) apabila bilangan bakteria mencapai 6752.

Jawapan:
a. (N (T (t)) = 23 (5t + 1.5) ^ 2−56 (5t + 1.5) +1 )
b. 3.38 jam

Ini Tentang Dunia Sebenar

Daripada menguji anda pada setiap topik matematik yang ada, SAT meminta anda untuk menggunakan matematik yang paling anda harapkan dalam semua situasi. Soalan mengenai Ujian Matematik dirancang untuk menggambarkan penyelesaian masalah dan pemodelan yang akan anda lakukan dalam:

  • Kursus matematik, sains, dan sains sosial
  • Pekerjaan yang anda pegang
  • Kehidupan peribadi anda

Sebagai contoh, untuk menjawab beberapa soalan, anda perlu menggunakan beberapa langkah — kerana di dunia nyata satu pengiraan jarang sekali dapat dilakukan.


Bahagian 3.5E: Latihan - Matematik

Selamat datang di Zon Interaktif & mdash laman web tambahan ke OnlineMathLearning.com yang kaya dengan kandungan kami! Cari latihan yang menarik untuk membina kemahiran, lembaran kerja dengan pemberian markah automatik untuk maklum balas pantas, permainan, teka-teki, simulasi dan perkara-perkara menyeronokkan lain yang membantu anda menyusun konsep matematik menjadi kemahiran bertahan untuk pekerjaan peringkat lebih tinggi.

Yang Baru

2015-04-14: Teka-teki logik baru di bahagian Fun Stuff: Train Tracks.

2015-04-14: Halaman baru yang menerangkan soalan "Cheryl's Birthday" yang terkenal di bahagian Fun Stuff.

2013-01-20: Menambahkan Undang-Undang Sinus dan Undang-Undang Kosinus ke bahagian Trigonometri.

2013-12-24: Menambahkan Teorema Kekal ke bahagian Algebra.

2013-12-08: Menambah Kuasa i ke bahagian Nombor Kompleks.

2013-12-05: Menambah Titik Tengah Antara Nombor Kompleks ke bahagian Nombor Kompleks.

2013-12-02: Menambah Besarnya Nombor Kompleks dan Jarak Antara Nombor Kompleks ke bahagian Nombor Kompleks.

2013-11-22: Ditambah Bandingkan Pecahan (dengan penyebut yang sama) ke bahagian Pecahan.

2013-11-14: Ditambah Bandingkan Pecahan dengan bahagian Pecahan.

2013-11-05: Menambah Pendaraban dengan Gandaan 10 ke bahagian Pendaraban.

2013-10-30: Menambah Faktor Hilang ke bahagian Pendaraban.

2013-10-24: Ditambah Kehilangan Tambah ke bahagian Penambahan.

2013-10-10: Keluarga Fakta Ditambah terdapat di bahagian Penambahan dan Penolakan.

2013-09-18: Ditambah Bandingkan Jumlah ke bahagian Nombor.

2013-09-05: Menambah operasi aritmetik Nombor Campuran ke bahagian Pecahan.

2013-08-31: Menambah Nombor Campuran dan Pecahan Tidak Betul ke bahagian Pecahan.

2013-08-14: Ditambah Mengurangkan Pecahan ke bahagian Pecahan.

2013-08-08: Menambah Tanda Membilang dan Menghitung ke bahagian Nombor.

2013-06-10: Menambah Pembahagi Biasa Paling Besar dan Kelipatan Biasa Paling Sedikit ke bahagian Pecahan.

2013-06-10: Bahagian baru: Pecahan, dengan operasi aritmetik di bawah 1.

2013-04-15: Teka-teki baru di bahagian Fun Stuff: Binary (Takuzu).

2013-04-10: Teka-teki baru di bahagian Fun Stuff: Haunted Mirror Maze.

2012-11-30: Bon Nombor Ditambah ke Bahagian Penambahan.

2012-04-30: Teka-teki baru di bahagian Fun Stuff: Mutiara (Masyu).

2012-03-21: Menambah Darjah dan Radian ke bahagian Geometri.

2012-02-23: Menambah Panjang Arc dan Kawasan Sektor - Radian ke bahagian Geometri.

2012-02-18: Penambahan Panjang Arc dan Kawasan Sektor - Darjah ke bahagian Geometri.

2012-01-15: Permainan baru tersedia di bahagian Fun Stuff: Safecracker. Tebak kodnya dalam sekerap mungkin, gunakan jumlah digit sebagai petunjuk anda!

2011-09-20: Menambah Nama Poligon ke bahagian Geometri.

2011-09-14: Penambahan Tambah Ganjil Atau Genap, Pengurangan Ganjil Atau Genap, dan Pendaraban Ganjil Atau Genap ke bahagian Nombor.

2011-09-06: Menambah Nombor Perdana ke bahagian Nombor.

2011-03-17: Menambah Julat (Kurodoko) ke bahagian Fun Stuff.

2010-12-12: Menambah penukaran isipadu Metrik ke bahagian Pengukuran.

2010-12-09: Menambah penukaran berat Metrik ke bahagian Pengukuran.

2010-11-23: Menambah penukaran Panjang Metrik ke bahagian Pengukuran.

2010-11-07: Menambah Nombor Ke Kata dan Kata ke Nombor ke bahagian Nombor.

2010-10-17: Ditambah Bandingkan Nombor Perpuluhan ke bahagian Perpuluhan.

2010-10-12: Ditambah Bahagi dengan 10, 100, 1000 ke bahagian Perpuluhan.

2010-10-05: Menambah bahagian Pengukuran baru dengan penukaran Suhu.

2010-09-28: Menambah Exponents ke bahagian Integers.

2010-08-13: Menambah sejumlah teka-teki logik ke bahagian Fun Stuff!

2010-08-08: Memperbaiki beberapa pepijat di lembaran kerja nombor kompleks, dan menjadikan soalan yang dihasilkan lebih mudah. Juga menambah pembahagian nombor Kompleks.

2010-08-06: Menambah bahagian Matematik Mental baru, dengan beberapa lembaran kerja.

2010-07-27: Menambah pendaraban nombor Kompleks ke bahagian Nombor Kompleks.

2010-07-26: Menambah pengurangan nombor Kompleks ke bahagian Nombor Kompleks.

2010-07-20: Menambah bahagian Nombor Kompleks baru dengan penambahan nombor Kompleks.

2010-07-18: Permainan baru: menambahkan CellCraft ke bahagian Fun Stuff!

2010-06-02: Menambah Titik Tengah ke bahagian Koordinat.

2010-05-18: Integers Ditambah - Bercampur ke bahagian Integers.

2010-04-06: Menambah bahagian Koordinat dengan Formula Jarak.

2010-02-18: Menambah Sinus, Kosinin, Tangen, dan Segitiga Kanan Campuran ke bahagian Trigonometri.

2010-02-09: Menambah bahagian Trigonometri dengan Teorem Pythagoras.

2010-02-09: Menambah Trapezoids ke bahagian Geometri.

2010-02-02: Menambah Kerucut dan Piramid Persegi ke bahagian Geometri.

2010-01-27: Menambah Sfera dan Silinder ke bahagian Geometri.

2010-01-21: Menambah kubus dan kuboid ke bahagian Geometri.

2010-01-11: Menambah lebih banyak pilihan pada Peratusan.

2010-01-07: Peratusan Tambah.

2010-01-04: Menambah Pembundaran Perpuluhan ke bahagian Perpuluhan.

2009-12-15: Menambah Rantai Tambah ke bahagian Penambahan.

2009-12-07: Menambah Ganjil dan Genap ke bahagian Nombor.

2009-11-30: Penambahan Pembundaran ke bahagian Nombor.

2009-10-14: Fakta Penambahan Berubah dan Fakta Pengurangan untuk membolehkan fakta pada nombor tertentu.


Bahagian 3.5E: Latihan - Matematik

Geometri hiperbolik adalah geometri yang anda dapat dengan menganggap semua postulat Euclid, kecuali yang kelima, yang digantikan oleh penolakannya.

Dalam geometri hiperbolik terdapat garis dan titik yang tidak sedemikian rupa sehingga sekurang-kurangnya dua garis yang berbeza selari untuk dilalui.

Lebih sukar untuk dibayangkan, tetapi ingatlah gambar berikut (dan bayangkan bahawa garis tidak pernah bertemu):

Harta pertama yang kami dapat dari aksioma ini adalah lemma berikut (kami menghilangkan buktinya, yang agak teknikal):

Dengan menggunakan lemma ini, kita dapat membuktikan Teorema Hyperbolic Universal berikut:

Jatuhkan tegak lurus ke dan tegakkan garis melalui tegak lurus ke, seperti pada gambar di bawah.

Biarkan titik lain, tegak tegak lurus dan turun tegak lurus ke. Sekarang selari dengan, kerana keduanya tegak lurus dengan.

Anggaplah itu dan garis yang sama (begitu). Ini bermaksud segi empat tepat, yang bertentangan dengan lemma di atas. Oleh itu terdapat dua persamaan yang berbeza untuk dilalui. Dengan berbeza-beza, kita mendapat banyak persamaan.


Akibat penting lain dari Lemma di atas adalah teorema berikut:

Catatan: Ini sama sekali berbeza daripada kes Euclidean. Ini memberitahu bahawa mustahil untuk memperbesar atau mengecilkan segitiga tanpa penyelewengan.

Anggap sebaliknya: ada segitiga dan serupa (mereka mempunyai sudut yang sama), tetapi tidak sepadan. Bahagian yang tidak sepadan adalah kongruen (jika tidak, mereka akan sesuai, menggunakan prinsip). Kita mungkin menganggap, tanpa kehilangan umum, bahawa dan.

Kemudian, dengan definisi ada titik dan titik mengenai itu dan. Oleh itu, kerana sudut adalah sama, oleh,. Oleh itu dan.

Tetapi kita juga mempunyai itu, dan begitu. Ini menunjukkan bahawa garis dan selari, maka segiempat sama cembung, dan jumlah sudutnya tepat, yang bertentangan dengan teorema di atas.

Oleh itu segitiga serupa serupa.

Akibat teorema yang luar biasa ini ialah dalam geometri hiperbolik segmen dapat ditentukan dengan bantuan sudut. Ini dinyatakan dengan lebih dramatik dengan mengatakan bahawa geometri hiperbolik mempunyai panjang unit mutlak!

Kecacatan dan luas segitiga

Sekarang setelah anda merasakan rasa bukti dalam geometri hiperbolik, Cuba buat latihan!

Latihan

Apa maksudnya model? Oleh a model, kami bermaksud pilihan ruang yang mendasari, bersama dengan pilihan bagaimana untuk mewakili objek geometri asas, seperti titik dan garis, di ruang yang mendasari ini. Keperluan untuk mempunyai model untuk satah hiperbolik (atau lebih baik dikatakan, geometri hiperbolik pesawat) adalah sangat sukar untuk bekerja dengan perwakilan Euclidean, tetapi melakukan geometri bukan Euclidean. Seperti yang anda lihat di atas, sukar untuk membayangkan tanggapan yang kita bekerjasama, walaupun buktinya mengikut logik dari andaian kita.


Amalan Matematik PETA

Bahagian matematik MAP berbeza dengan banyak jenis ujian matematik lain, kerana tidak ada 'risiko'. Secara sederhana, mustahil untuk gagal dalam ujian matematik NWEA. Jadi mengapa anak anda mesti belajar? Nah, dengan skor matematik MAP muncul gambaran kemampuan akademik anak anda dalam matematik.

Guru menggunakan skor MAP pelajar untuk mendapatkan pemahaman menyeluruh mengenai bidang kemajuannya. Skor yang kuat, atau di atas rata-rata dapat memberi peluang kepada anak anda untuk menonjol, dan dapat memastikan pertumbuhan akademik lebih lanjut di masa depan. Di samping itu, ujian MAP diformat sedemikian rupa sehingga kesukaran satu soalan bergantung pada apakah pertanyaan sebelum itu dijawab dengan betul. Pelajar yang tidak biasa dengan ungkapan ujian, atau sesuatu yang semudah sebutan terminologi, mungkin mendapat jawapan yang salah, dan didorong ke tahap yang, pada kenyataannya, terlalu mudah.

Mempersiapkan ujian dengan betul, dan mengetahui apa yang diharapkan, dapat mengurangkan risiko salah faham mengenai kemampuan akademik anak. Pakej latihan NWEA MAP kami dilengkapi dengan tiga kuiz yang berbeza-beza dalam kesukaran, ujian matematik latihan penuh, dan masalah pengayaan matematik untuk mencabar anak anda. Dalam setiap pek, terdapat lebih dari 200 soalan yang bertujuan hanya untuk meningkatkan kemampuan matematik anak anda.

Belum Pasti Mengenai Pek Kami?

Ujian OLSAT, NNAT, CogAT, New York City Gifted and Talented Test, MAP, dan lain-lain adalah hak milik pemegang tanda dagangan masing-masing. Tiada pemegang tanda dagangan yang berafiliasi dengan TestPrep-Online atau laman web ini.


Bahagian 8B

( log_ <10> (8 kali 10 ^ 9) ) antara (9 ) dan (10 ​​) benar kerana ( log_ <10> (8 kali 10 ^ 9) = 9+ log_ <10> 8 ),
dan ( log_ <10> 8 ) berada di antara (0 ) dan (1 ).

Latihan Logaritma 24

Dengan menggunakan penghampiran ( log_ <10> 5 lebih kurang 0.699 ), nilaikan setiap perkara berikut tanpa kalkulator.

( log_ <10> 50 = log_ <10> 5 + log_ <10> 10 lebih kurang 0.699 +1 = 1.669 )

( log_ <10> 5000 = log_ <10> 5 + log_ <10> 1000 lebih kurang 0.699 +3 = 3.669 )

( log_ <10> 0.05 = log_ <10> 5 + log_ <10> 10 ^ <-2> lebih kurang 0.699 -2 = -1.301 )

( log_ <10> 25 = log_ <10> 5 ^ 2 = 2 log_ <10> 5 lebih kurang 2 kali 0.699 = 1.398 )

( log_ <10> 0.04 = log_ <10> 5 ^ <-2> = -2 kali log_ <10> 5 lebih kurang -1.398 )

Menggandakan masa Latihan 28

Harga meningkat dengan dua kali ganda masa 2 bulan. Dengan faktor apa kenaikan harga dalam setahun?

Dengan (T _ < teks> = 2 ), dan (t = 12 ) faktor yang dimaksudkan adalah

Menggandakan masa Latihan 30

Penduduk awal di sebuah bandar adalah (12,000 ), dan ia bertambah dengan masa berlipat ganda (8 ) tahun. Berapakah jumlah penduduk dalam (12 ) tahun? dalam (24 ) tahun?

Dengan (T _ < teks> = 8 ), nilai awal (12,000 ), dan (t = 12 ) kami kirakan

( teks = 12,000 kali 2 ^ <12/8> lebih kurang 33,941 )

Sementara untuk (t = 24 ) kami mengira

( teks = 12,000 kali 2 ^ <24/8> lebih kurang 96,000 )

Menggandakan masa Latihan 34

Pada pertengahan 2013, anggaran penduduk dunia adalah 7.1 bilion. Anggap masa penggandaan 65 tahun untuk meramalkan jumlah penduduk pada tahun 2023,2063, dan 2113.

dengan nilai awal 7.1 bilion dan (T _ < teks> = 65 ) tahun.

Selama 2023, (t = 10 ) tahun, dan ramalannya adalah ( teks = teks kali 2 ^>> = 7.1 kali 2 ^ <10/65> lebih kurang 7.9 teks )

Selama 2063, (t = 50 ) tahun, dan ramalannya adalah ( teks = teks kali 2 ^>> = 7.1 kali 2 ^ <50/65> lebih kurang 12.1 teks )

Selama 2113, (t = 100 ) tahun, dan ramalannya adalah ( lebih kurang 20.6 teks) ( teks = teks kali 2 ^>> = 7.1 kali 2 ^ <100/65> lebih kurang 20.6 teks )

Menggandakan masa Latihan 38

Penduduk bandar bertambah pada kadar 3.5% setiap tahun. Berapakah masa penggandaannya? Dengan faktor apa populasi akan meningkat dalam 50 tahun?

Penyelesaian. Rumus masa penggandaan memberi kita masa penggandaan sebanyak

dengan (T _ < teks> = 20 ) tahun dan (t = 50 ) tahun untuk mengira faktor sebagai (2 ^>> = 2 ^ <50/20> lebih kurang 5.7 )

Latihan Separuh Hayat 42

Separuh hayat bahan radioaktif ialah 400 tahun. Sekiranya anda memulakan dengan sejumlah bahan ini, pecahan apa yang akan tinggal dalam 120 tahun? dalam 2500 tahun?

Penyelesaian. Kami menggunakan formula separuh hayat ( teks = teks kali kiri ( frac <1> <2> kanan) ^>> )

Pecahan yang tinggal selepas (t = 120 ) tahun adalah faktornya

Begitu juga, setelah (t = 2500 ) tahun, ( kiri ( frac <1> <2> kanan) ^>> = kiri ( frac <1> <2> kanan) ^ <2500/400> lebih kurang 0.013 = 1.3 \% )

Latihan Separuh Hayat 48

Radium-226 adalah logam dengan jangka hayat 1600 tahun. Sekiranya anda memulakan dengan 1 kilogram radium-226, berapa banyak yang akan tinggal setelah 1000 tahun? selepas 10,000 tahun?

Penyelesaian. Kami menggunakan formula separuh hayat ( teks = teks kali kiri ( frac <1> <2> kanan) ^>> )

dengan (T _ < teks> = 1600 ) tahun dan nilai awal 1 kilogram.

(t = 1000 ) tahun kemudian kami mempunyai:

( teks = 1 kali kiri ( frac <1> <2> kanan) ^ <1000/1600> lebih kurang 0.648 = 648 teks )

(t = 10,000 ) tahun kemudian kami mempunyai:

( teks = 1 kali kiri ( frac <1> <2> kanan) ^ <10000/1600> lebih kurang 0.013 = 13 teks )

Latihan Separuh Hayat 50

Projek pembersihan mengurangkan kepekatan bahan pencemar dalam bekalan air dengan penurunan 3.5% setiap minggu. Berapakah anggaran jangka hayat kepekatan bahan pencemar? Mengenai pecahan berapa jumlah asal pencemar yang akan kekal apabila projek ini berakhir setelah satu tahun (52 minggu)?

Penyelesaian. Kami menentukan anggaran separuh hayat sebagai

Latihan Separuh Hayat 50. bersambung

dengan (t = 52 ) dan (T _ < teks> = 20 ) untuk mencari faktor

Latihan 54

Hyperinflasi menaikkan harga pada kadar 80% sebulan. Untuk item yang berharga ( $ 1,000 ) hari ini, berapakah harganya dalam 1 tahun?

Penyelesaian 1 Kami pertama kali menggunakan formula masa penggandaan yang tepat:

Kami sekarang menggunakan nilai ini, (t = 12 ), dan nilai awal ( $ 1000 ) dalam formula biasa:

Latihan 54. bersambung

Hyperinflasi menaikkan harga pada kadar 80% sebulan. Untuk item yang berharga ( $ 1,000 ) hari ini, berapakah harganya dalam 1 tahun?

Penyelesaian 2. Perhatikan bahawa setiap bulan harga item ini dikalikan dengan faktor (1.8 ). Selepas (12 ) bulan, harganya digandakan dengan faktor ini (12 ) kali. Sama, ia dikalikan dengan faktor (1.8 ^ <12> ). Oleh itu harga selepas setahun akan menjadi (1000 kali 1,8 ^ <12> lebih kurang $ 1,156,831 )


Ujian CPT digunakan untuk tujuan penempatan, jadi tidak ada markah lulus atau gagal untuk peperiksaan.

Walau bagaimanapun, jika anda mendapat skor rendah dalam ujian, anda mungkin perlu mengikuti kelas tambahan sebelum atau semasa tahun pertama anda.

Mengambil kelas tambahan sebaiknya dielakkan kerana mungkin melambatkan tarikh tamat pengajian anda, apatah lagi dengan beban kewangan yuran tambahan yang jelas.

Oleh itu, untuk melakukan yang terbaik dalam peperiksaan, anda perlu mengetahui bahawa ujian CPT adalah ujian penempatan yang dapat disesuaikan dengan komputer.

"Komputer-adaptif" bermaksud bahawa ujiannya diambil alih dari internet dan soalan-soalan pada setiap bahagian ujian menjadi lebih mencabar ketika peperiksaan berlangsung.

Oleh itu, anda harus berhati-hati pada permulaan ujian.

Sekiranya anda menjawab terlalu banyak soalan dengan tidak betul pada awalnya, komputer secara automatik akan mula menyampaikan soalan lebih mudah yang bernilai lebih sedikit mata, memberi anda skor yang lebih rendah.

Anda mungkin hanya perlu mengambil satu bahagian dari ujian penempatan, seperti kemahiran ayat atau membaca.

Sekiranya anda hanya mengambil satu bahagian dari ujian, bahagian masing-masing juga akan disesuaikan dengan komputer, jadi berhati-hatilah ketika anda memilih jawapan anda.

Skor anda biasanya akan dipaparkan di monitor komputer setelah anda mengklik butang hantar.


Bahagian 3.5E: Latihan - Matematik

Sebilangan nombor nyata boleh ditafsirkan sebagai ukuran radian sudut seperti berikut: Jika, fikirkan untuk membungkus panjang tali di sekitar unit lingkaran bulat C di dalam pesawat, dengan titik awal P (1,0), dan bergerak berlawanan arah jarum jam di sekitar bulatan melakukan perkara yang sama jika, tetapi bungkus tali mengikut arah jam mengikut bulatan. Proses ini dijelaskan dalam Rajah 1 di bawah.

Sekiranya Q (x, y) adalah titik pada bulatan di mana tali berakhir, kita mungkin menganggapnya sebagai sudut dengan mengaitkannya dengan sudut tengah dengan bucu O (0,0) dan sisi yang melewati titik P dan Q . Sekiranya daripada membungkus tali panjang di sekeliling lingkaran unit, kami memutuskan untuk membungkus lingkaran bulatan R, sudut (dalam radian) yang dihasilkan dalam proses akan memenuhi hubungan berikut:

Perhatikan bahawa panjang s tali memberikan ukuran sudut hanya apabila R = 1.

Sebagai praktik dan kemudahan umum, berguna untuk mengukur sudut dalam darjah, yang ditentukan dengan membahagikan satu keseluruhan revolusi menjadi 360 bahagian yang sama, yang masing-masing kemudian disebut satu darjah. Dengan cara ini, satu revolusi seluruh lingkaran unit mengukur radian dan juga 360 darjah (atau), iaitu:

Setiap darjah boleh dibahagikan lagi kepada 60 bahagian, yang disebut minit, dan pada gilirannya setiap minit dapat dibahagikan kepada 60 bahagian lain, yang disebut detik:

CONTOH 1 Nyatakan sudut dalam notasi Degree-Minute-Second (DMS).

Penyelesaian: Kami menggunakan Persamaan 3 untuk menukar pecahan darjah menjadi minit dan pecahan minit menjadi beberapa saat:

CONTOH 2 Nyatakan sudut dalam radian.

Penyelesaian: Dari Persamaan 2 kita melihatnya

CONTOH 3 Cari panjang lengkok pada bulatan jejari 75 inci yang merangkumi sudut ukuran tengah.

Penyelesaian: Kami menggunakan Persamaan 1, dengan R = 75 inci dan
, untuk mendapatkan

Berikut adalah beberapa latihan dalam penggunaan peraturan yang diberikan dalam Persamaan 1,2, dan 3.

LATIHAN 1 Menyatakan radian sudut dalam (a) bentuk perpuluhan dan (b) bentuk DMS.

LATIHAN 2 Menyatakan sudut dalam radian.

LATIHAN 3 Andaikan bahawa Bandar A dan Bandar B terletak di meridian yang sama di hemisfera Utara dan bahawa bumi adalah sfera radius 4000 mi. Lintang Bandar A dan Bandar B masing-masing dan.


Bahagian 3.5E: Latihan - Matematik

HKDSE 2017 Matematik (Bahagian Wajib) Matematik NSS dalam Kertas Tindakan Mockboleh didapati.

HKDSE 2016 Matematik (Bahagian Wajib) Matematik NSS dalam Kertas Tindakan Mengejekboleh didapati.

Kemas kini Bank Soalan untuk Buku 6A ada.

HKDSE 2015 Matematik (Bahagian Wajib) Matematik NSS dalam Kertas Tindakan Mockboleh didapati.

HKDSE 2014 Matematik (Bahagian Wajib) Matematik NSS dalam Kertas Tindakan Mockboleh didapati.

Ringkasan mengenai NSS Review untuk Matematik dan garis panduan untuk menggunakan NSS MIA boleh didapati.

Latihan Tambahan for Book 6A are available.

Question Bank Update for Book 5B are available.

Preparation for HKDSE for Book 6A (ch 3 - 5) are available.

Preparation for HKDSE for Book 6A (ch 1 - 2) are available.

HKDSE 2013 Mathematics (Compulsory Part) NSS Mathematics in Action Mock Paperis available.

Training Pack for HKDSE Questions with &ldquoExplain Your Answer&rdquois available.

Question Bank Updatefor Book 5A is available.

Amendmentfor Book 6A and 6B are available.

Preparation for HKDSEfor Book 5B is available .

Preparation for HKDSEfor Book 5A (ch 2 - 3) are available .

Preparation for HKDSEfor Book 5A (ch 1, 4 - 5) are available .

Supplementary Exercises for Book 5B ch 8 is available.

Supplementary Exercises for Book 5B ch 9 - 10 are available.

Supplementary Exercises for Book 5B ch 6 - 7 are available.

Supplementary Exercises for Book 5A are available.

Additional Basic Topical Worksheet (S2) is uploaded.

Question Bank Update for Book 4B ch 11 - 12 is available.

Question Bank Update for Book 4B ch 7 - 10 is available.

Question Bank Update for Book 4A ch 4 - 6 is available.

Question Bank Update for Book 4A ch 1 - 3 is available. HKDSE 2012 Mathematics (Compulsory Part) Mock Exam Paper I is available.