Artikel

6.1: Pramula kepada Persamaan Parametrik dan Koordinat Polar

6.1: Pramula kepada Persamaan Parametrik dan Koordinat Polar



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

The nautilus ruang adalah makhluk yang menarik. Haiwan ini memakan ketam pertapa, ikan, dan krustasea lain. Ia memiliki cangkang luar yang keras dengan banyak ruang yang terhubung secara berputar, dan ia dapat menarik kembali ke cangkangnya untuk mengelakkan pemangsa. Apabila bahagian cangkang dipotong, lingkaran yang sempurna akan terungkap, dengan ruang di dalamnya agak serupa dengan cincin pertumbuhan di sebatang pokok.

Fungsi matematik yang menerangkan spiral dapat dinyatakan menggunakan koordinat segi empat tepat (atau Cartesian). Walau bagaimanapun, jika kita mengubah sistem koordinat kita kepada sesuatu yang berfungsi lebih baik dengan corak bulat, fungsinya menjadi lebih mudah untuk dijelaskan. Sistem koordinat kutub sangat sesuai untuk menerangkan keluk jenis ini. Bagaimana kita dapat menggunakan sistem koordinat ini untuk menerangkan lingkaran dan angka radial lain?

Dalam bab ini kita juga mempelajari persamaan parametrik, yang memberi kita cara yang mudah untuk menggambarkan lengkung, atau untuk mempelajari kedudukan zarah atau objek dalam dua dimensi sebagai fungsi waktu. Kami akan menggunakan persamaan parametrik dan koordinat kutub untuk menerangkan banyak topik kemudian dalam teks ini.


Persamaan Utama

Sebagai Amazon Associate, kami memperoleh hasil dari pembelian yang layak.

Ingin memetik, berkongsi, atau mengubahsuai buku ini? Buku ini adalah Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 dan anda mesti mengaitkan OpenStax.

    Sekiranya anda mengedarkan semula seluruh atau sebahagian buku ini dalam format cetakan, maka anda mesti memasukkan setiap halaman fizikal atribusi berikut:

  • Gunakan maklumat di bawah untuk menghasilkan petikan. Kami mengesyorkan menggunakan alat petikan seperti ini.
    • Pengarang: Gilbert Strang, Edwin "Jed" Herman
    • Penerbit / laman web: OpenStax
    • Tajuk buku: Kalkulus Jilid 3
    • Tarikh penerbitan: 30 Mac 2016
    • Lokasi: Houston, Texas
    • URL Buku: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-pengenalan
    • URL bahagian: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-key-equations

    © 21 Dis 2020 OpenStax. Kandungan buku teks yang dihasilkan oleh OpenStax dilesenkan di bawah lesen Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0. Nama OpenStax, logo OpenStax, sampul buku OpenStax, nama OpenStax CNX, dan logo OpenStax CNX tidak tertakluk kepada lesen Creative Commons dan tidak boleh diterbitkan semula tanpa persetujuan bertulis terlebih dahulu dari Universiti Rice.


    Kalkulus Aktif - Berbilang

    Soalan Motivasi

    Apakah parameterisasi permukaan?

    Bagaimana kita mencari luas permukaan yang ditentukan secara parametrik?

    Kami sekarang telah mengkaji panjang lebar bagaimana lengkung di ruang boleh didefinisikan secara parametrik oleh fungsi bentuk ( vr (t) = langle x (t), y (t), z (t) rangle text <,> ) dan permukaan dapat diwakili oleh fungsi (z = f (x, y) text <.> ) Dalam apa yang berikut, kita akan melihat bagaimana kita juga dapat menentukan permukaan secara parametrik. Lengkung satu dimensi di ruang hasil dari fungsi vektor yang bergantung pada satu parameter, jadi permukaan dua dimensi secara semula jadi melibatkan penggunaan dua parameter. Sekiranya (x = x (s, t) text <,> ) (y = y (s, t) text <,> ) dan (z = z (s, t) ) adalah fungsi parameter bebas (s ) dan (t teks <,> ) maka titik terminal semua vektor borang

    membentuk permukaan di ruang angkasa. Persamaan (x = x (s, t) text <,> ) (y = y (s, t) text <,> ) dan (z = z (s, t) ) adalah yang persamaan parametrik untuk permukaan, atau a parametrization permukaan. Dalam Aktiviti Pratonton 11.6.1 kita menyiasat bagaimana memareterisasi silinder dan kon.

    Aktiviti Pratonton 11.6.1.

    Ingat parameterisasi standard bulatan unit yang diberikan oleh

    Tentukan parameterisasi bulatan jejari 1 di ( R ^ 3 ) yang berpusat di ((0,0,1) ) dan terletak di satah (z = 1 teks <.> )

    Tentukan parameterisasi lingkaran jejari 1 dalam ruang 3 yang berpusat di ((0,0, -1) ) dan terletak di satah (z = -1 teks <.> )

    Tentukan parameterisasi lingkaran jejari 1 dalam ruang 3 yang berpusat di ((0,0,5) ) dan terletak di satah (z = 5 teks <.> )

    Dengan mengambil kira jawapan anda di (a), (b), dan (c), terangkan grafik yang dihasilkan dari set persamaan parametrik

    di mana (0 le t le 2 pi ) dan (- 5 le s le 5 teks <.> ) Terangkan pemikiran anda.

    Sama seperti silinder yang dapat dilihat sebagai "tumpukan" lingkaran lingkaran radius tetap, kerucut dapat dilihat sebagai tumpukan lingkaran dengan radius yang bervariasi. Ubah parametriasi bulatan di atas untuk membina parameterisasi kerucut yang bucunya terletak di tempat asal, yang jejari pangkalnya adalah 4, dan yang tinggi 3, di mana pangkal kerucut terletak di satah (z = 3 text <.> ) Gunakan teknologi yang sesuai untuk merancang persamaan parametrik yang anda kembangkan. (Petunjuk: Keratan rentas selari dengan satah (xy ) adalah bulatan, dengan jari-jari berubah secara linear apabila (z ) meningkat.)

    Subseksyen 11.6.1 Permukaan Parametrik

    Dalam tetapan pemboleh ubah tunggal, fungsi apa pun mungkin grafiknya dinyatakan secara parametrik. Sebagai contoh, diberikan (y = g (x) text <,> ) dengan mempertimbangkan parameterisasi ( langle t, g (t) rangle ) (di mana (t ) tergolong dalam domain (g )), kami menghasilkan keluk yang sama. Yang lebih penting adalah bahawa lengkung tertentu yang bukan fungsi dapat diwakili secara parametrik misalnya, lingkaran (yang tidak dapat diwakili oleh satu fungsi) dapat diukur dengan ( langle cos (t), sin (t) rangle text <,> ) di mana (0 le t le 2 pi text <.> )

    Dengan cara yang sama, dalam pengaturan dua pemboleh ubah, permukaan (z = f (x, y) ) dapat dinyatakan secara parametrik dengan mempertimbangkan

    di mana ((s, t) ) berbeza-beza di seluruh domain (f text <.> ) Oleh itu, permukaan yang sudah kita pelajari selama ini dapat dihasilkan sebagai permukaan parametrik. Tetapi yang lebih kuat ialah ada permukaan yang tidak dapat dihasilkan oleh satu fungsi (z = f (x, y) ) (seperti unit sphere), tetapi dapat ditunjukkan secara parametrik. Kami sekarang menganggap contoh penting.

    Contoh 11.6.1.

    Pertimbangkan torus (atau donat) yang ditunjukkan dalam Rajah 11.6.2.

    Untuk mencari parametriasi torus ini, kita ingat kerja kita dalam Preview Activity 11.6.1. Di sana, kami melihat bahawa bulatan jejari (r ) yang berpusat di titik ((0,0, z_0) ) dan terkandung dalam satah mendatar (z = z_0 text <,> ) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 11.6.3, dapat diparamatisasi menggunakan fungsi nilai vektor ( vr ) yang ditentukan oleh

    Untuk mendapatkan torus pada Gambar 11.6.2, kita mulai dengan lingkaran jejari (a ) di (xz ) - satah berpusat di ((b, 0) teks <,> ) seperti yang ditunjukkan pada sebelah kiri Rajah 11.6.4. Kami mungkin memusatkan titik pada bulatan ini, menggunakan parameter (s text <,> ) dengan menggunakan persamaan

    Mari fokuskan perhatian kita pada satu titik pada bulatan ini, seperti titik yang ditunjukkan, yang mempunyai koordinat ((x (s), 0, z (s)) ) untuk nilai tetap parameter (s text < .> ) Apabila titik ini berputar mengenai paksi (z ) -, kita memperoleh bulatan yang terdapat dalam satah mendatar yang berpusat di ((0,0, z (s)) ) dan memiliki radius (x (s) text <,> ) seperti yang ditunjukkan di sebelah kanan Rajah 11.6.4. Sekiranya kita membiarkan (t ) menjadi parameter baru yang menghasilkan bulatan untuk putaran mengenai sumbu (z ) - lingkaran ini mungkin diparamatisasi oleh

    Sekarang menggunakan persamaan parametrik sebelumnya untuk (x (s) ) dan (z (s) ) untuk bulatan yang lebih kecil yang asal, kami mempunyai parameterisasi keseluruhan torus yang diberikan oleh

    Untuk mengesan keseluruhan torus, kami memerlukan parameternya berbeza mengikut nilai (0 leq s leq 2 pi ) dan (0 leq t leq 2 pi teks <.> )

    Aktiviti 11.6.2.

    Dalam aktiviti ini, kami mencari parametrizasi sfera jejari (R ) yang berpusat pada asal, seperti yang ditunjukkan di sebelah kiri pada Gambar 11.6.5. Perhatikan bahawa sfera ini dapat diperoleh dengan memutar setengah bulatan yang terkandung dalam satah (xz ) - mengenai sumbu (z ) - seperti yang ditunjukkan di sebelah kanan.

    Mulakan dengan menulis parametriisasi separuh bulatan ini menggunakan parameter (s text <:> )

    Pastikan untuk menyatakan domain parameter (s text <.> )

    Dengan memutar titik pada separuh bulatan ini mengenai paksi (z ) -, dapatkan parametrization ( vr (s, t) ) titik pada sfera jejari (R teks <.> ) Pastikan untuk memasukkan domain kedua-dua parameter (s ) dan (t text <.> ) (Petunjuk: Berapakah jejari bulatan yang diperoleh ketika memutar titik pada separuh bulatan di sekitar ( paksi z )?)

    Lukis permukaan yang ditentukan oleh parameterisasi anda dengan teknologi yang sesuai.

    Subseksyen 11.6.2 Kawasan Permukaan Permukaan yang Ditakrifkan secara Parametrik

    Ingatlah bahawa fungsi yang dapat dibezakan adalah linear tempatan - iaitu, jika kita memperbesar permukaan sekitar titik, permukaannya kelihatan seperti satah tangennya. Kami sekarang memanfaatkan idea ini untuk menentukan luas permukaan yang dihasilkan oleh parametrization ( langle x (s, t), y (s, t), z (s, t) rangle text <.> ) The idea asas adalah sesuatu yang biasa: kita akan membahagikan permukaan menjadi kepingan kecil, dalam bentuk bentuk selari dengan selari kecil, dan dengan itu menganggarkan keseluruhan luas permukaan dengan menambahkan luas selari dengan pendekatan ini. Pada akhirnya, kami menggunakan kamiran untuk menjumlahkan perkiraan ini dan menentukan luas permukaan yang tepat.

    tentukan permukaan di atas domain segi empat tepat (a leq s leq b ) dan (c leq t leq d text <.> ) Sebagai fungsi dari dua pemboleh ubah, (s ) dan ( t text <,> ) adalah wajar untuk mempertimbangkan dua terbitan separa fungsi bernilai vektor ( vr text <,> ) yang kita tentukan oleh

    Dengan cara biasa, kami memotong domain menjadi segi empat kecil. Khususnya, kita membahagi selang ([a, b] ) ke dalam (m ) subinterval panjang ( Delta s = frac) dan biarkan (s_0 text <,> ) (s_1 text <,> ) ( ldots text <,> ) (s_m ) menjadi titik akhir sub-selang ini, di mana ( a = s_0 lt s_1 lt s_2 lt cdots lt s_m = b text <.> ) Juga bahagikan selang ([c, d] ) ke dalam (n ) sub-selang dengan panjang yang sama Delta t = frac) dan biarkan (t_0 text <,> ) (t_1 text <,> ) ( ldots text <,> ) (t_n ) menjadi titik akhir subinterval ini, di mana ( c = t_0 lt t_1 lt t_2 lt cdots lt t_n = d text <.> ) Kedua-dua partisi ini membuat partisi segi empat tepat (R = [a, b] kali [c, d] ) di (st ) - koordinat menjadi (mn ) sub-segi empat (R_) dengan bucu bertentangan ((s_, t_) ) dan ((s_i, t_j) ) untuk (i ) antara (1 ) dan (m ) dan (j ) antara (1 ) dan (n teks < .> ) Segi empat segi ini semua mempunyai luas yang sama ( Delta A = Delta s cdot Delta t text <.> )

    Sekarang kita ingin memikirkan bahagian kecil di permukaan itu sendiri yang terletak di atas salah satu segi empat kecil kecil di domain ini. Perhatikan bahawa jika kita meningkatkan (s ) dengan jumlah yang sedikit ( Delta s ) dari titik ((s_, t_) ) dalam domain, kemudian ( vr ) berubah kira-kira ( vr_s (s_, t_) Delta s text <.> ) Begitu juga, jika kita meningkatkan (t ) dengan jumlah yang sedikit ( Delta t ) dari titik ((s_, t_) text <,> ) kemudian ( vr ) berubah kira-kira ( vr_t (s_, t_) Delta t text <.> ) Oleh itu, kita dapat menghampiri permukaan yang ditentukan oleh ( vr ) pada (st ) - segi empat tepat ([s_, s_i] kali [t_, t_] ) dengan selari yang ditentukan oleh vektor ( vr_s (s_, t_) Delta s ) dan ( vr_t (s_, t_) Delta t text <,> ) seperti yang dilihat pada Gambar 11.6.6.

    Katakan bahawa parallelogram kecil mempunyai luas (S_ text <.> ) Sekiranya kita dapat mencari luasnya, maka yang tinggal hanyalah menjumlahkan luas semua paralelogram yang dihasilkan dan mengambil batas. Ingat dari karya kami yang terdahulu dalam kursus yang diberikan dua vektor ( vu ) dan ( vv text <,> ) luas selari dengan span ( vu ) dan ( vv ) diberikan oleh besarnya produk silang mereka, (| vu times vv | text <.> ) Dalam konteks sekarang, ia menunjukkan bahawa kawasan itu, (S_ text <,> ) paralelogram yang ditentukan oleh vektor ( vr_s (s_, t_) Delta s ) dan ( vr_t (s_, t_) Delta t ) adalah

    di mana persamaan yang terakhir berlaku dari sifat standard produk silang dan panjangnya.

    Kami menjumlahkan perkiraan luas permukaan dari Persamaan (11.6.1) di atas semua sub-segi empat tepat untuk mendapatkan anggaran bagi jumlah luas permukaan, (S text <,> ) yang diberikan oleh

    Mengambil had sebagai (m, n to infty ) menunjukkan bahawa luas permukaan permukaan yang ditentukan oleh ( vr ) di atas domain (D ) diberikan seperti berikut.

    Kawasan permukaan.

    Mari ( vr (s, t) = langle x (s, t), y (s, t), z (s, t) rangle ) menjadi parameterisasi permukaan licin di atas domain (D teks <.> ) The luas permukaan ditakrifkan oleh ( vr ) pada (D ) diberikan oleh

    Aktiviti 11.6.3.

    Pertimbangkan silinder dengan jejari (a ) dan tinggi (h ) yang ditentukan secara parametrik oleh

    untuk (0 leq s leq 2 pi ) dan (0 leq t leq h teks <,> ) seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 11.6.7.

    Sediakan kamiran yang berulang untuk menentukan luas permukaan silinder ini.

    Nilai kamiran yang berulang.

    Ingat bahawa salah satu cara untuk memikirkan luas permukaan silinder adalah memotong silinder secara mendatar dan mencari perimeter bulatan keratan rentas yang dihasilkan, kemudian kalikan dengan ketinggian. Hitung luas permukaan silinder yang diberikan menggunakan pendekatan alternatif ini, dan bandingkan kerja anda di (b).

    Seperti yang kita perhatikan sebelumnya, kita dapat mengambil permukaan apa pun (z = f (x, y) ) dan menghasilkan parameterisasi yang sesuai untuk permukaan dengan menulis ( langle s, t, f (s, t) rangle text <.> ) Oleh itu, kami dapat menggunakan karya terbaru kami dengan permukaan yang ditentukan secara parametrik untuk mencari luas permukaan yang dihasilkan oleh fungsi (f = f (x, y) ) di atas domain tertentu.

    Aktiviti 11.6.4.

    Mari (z = f (x, y) ) mendefinisikan permukaan yang halus, dan pertimbangkan parameterisasi yang sesuai ( vr (s, t) = langle s, t, f (s, t) rangle text < .> )

    Mari (D ) menjadi wilayah dalam domain (f text <.> ) Dengan menggunakan Persamaan (11.6.2), tunjukkan bahawa kawasan, (S teks <,> ) dari permukaan yang ditentukan oleh graf (f ) atas (D ) adalah

    Gunakan formula yang dikembangkan di (a) untuk mengira luas permukaan yang ditentukan oleh (f (x, y) = sqrt <4-x ^ 2> ) di atas segi empat (D = [-2,2] kali [0,3] teks <.> )

    Perhatikan bahawa permukaan pepejal yang dijelaskan di (b) adalah separuh daripada silinder bulat. Gunakan formula standard untuk luas permukaan silinder untuk mengira luas permukaan dengan cara yang berbeza, dan bandingkan hasil anda dari (b).

    Subseksyen 11.6.3 Ringkasan

    Parameterisasi lengkung menggambarkan koordinat titik pada lengkung dari segi parameter tunggal (t text <,> ) sementara parameterisasi permukaan menerangkan koordinat titik di permukaan dari segi dua parameter bebas .

    Jika ( vr (s, t) = langle x (s, t), y (s, t), z (s, t) rangle ) menerangkan permukaan licin dalam 3-ruang pada domain ( D text <,> ) maka kawasan, (S text <,> ) permukaan itu diberikan oleh


    Persamaan Parametrik: Menghilangkan Parameter

    Untuk membuat lakaran graf persamaan parametrik, koordinat x dan y mesti diperoleh. Ini dapat dicapai dengan memilih nilai untuk parameter dan menghitung nilai x dan y satu demi satu. Proses ini, disebut titik plot, berfungsi dengan baik apabila diberi selang terbatas kecil untuk parameter.

    x = 4t, y = 8t 2, apabila 0 & # x2264 t & # x2264 4


    Apabila selang waktu tidak kecil dan terbatas, plot point menjadi membosankan dan tidak selalu memperlihatkan tingkah laku grafik secara keseluruhan. Sketsa lengkung boleh menjadi tidak membosankan dengan menukar dua persamaan parametrik menjadi satu persamaan segi empat tepat. Kaedah ini disebut sebagai menghapuskan parameter .

    Untuk menghilangkan parameter, selesaikan salah satu persamaan parametrik untuk parameter. Kemudian ganti hasil ini dengan parameter dalam persamaan parametrik yang lain dan permudahkan.

    PANDUAN UNTUK MENGHILANGKAN PARAMETER:

    1. Selesaikan satu persamaan parametrik dari segi parameter.

    2. Ganti ungkapan yang dihasilkan untuk parameter ke dalam persamaan parametrik yang lain.

    Mari gunakan kaedah ini pada pasangan persamaan parametrik di atas. Selesaikan salah satu persamaan parametrik untuk parameter, katakan x = 4t.


    Ganti ungkapan yang dihasilkan untuk parameter ke dalam persamaan parametrik yang lain dan permudahkan.

    y = 8 t 2 & # x2192 y = 8 (x 4) 2 & # x2192 y = 8 x 2 16 & # x2192 y = x 2 2


    Persamaan segi empat tepat yang dihasilkan, 1 2 x 2, mewakili parabola yang terbuka, mempunyai paksi simetri pada x = 0 dan titik puncak (0, 0).


    Lihat bagaimana persamaan segi empat tepat ini memberikan pemahaman yang lebih baik mengenai lengkung secara keseluruhan.

    Ketahui bahawa menghapuskan parameter hanyalah cara untuk memahami keseluruhan tingkah laku kurva. Persamaan parametrik masih diperlukan untuk menggambarkan parameter dan orientasi lengkung.

    Dengan berhati-hati ketika menghilangkan parameter, domain persamaan segi empat yang dihasilkan mungkin perlu disesuaikan untuk menyetujui domain parameter seperti yang diberikan dalam persamaan parametrik.

    Dalam contoh di atas, domain parameter t dalam kedua persamaan parametrik adalah kumpulan semua nombor nyata, x = 4t dan y = 8t 2. Domain persamaan segi empat tepat, y = 1 2 x 2, juga merupakan set nombor nyata. Oleh kerana domain adalah sama untuk parameter dan persamaan segi empat tepat, tidak diperlukan penyesuaian domain.

    Lihat set persamaan parametrik berikut:


    Selesaikan persamaan parametrik pertama untuk parameter.

    x = t + 3 & # x2192 x & # x2212 3 = t & # x2192 (x & # x2212 3) 2 = t


    Ganti ungkapan yang dihasilkan untuk parameter ke dalam persamaan parametrik yang lain dan permudahkan.

    Berdasarkan persamaan segi empat tepat yang dihasilkan, y = x 2 - 6x + 40, domain adalah semua nombor nyata. Walau bagaimanapun, persamaan parametrik, x = t + 3, menghadkan domain t ke nombor di mana t> 0. Oleh itu domain persamaan segi empat tepat, y = x 2 - 6x + 40, mesti dihadkan ke semua nombor di mana x> 0.

    Mari cuba beberapa contoh.

    Langkah 1: Selesaikan salah satu persamaan parametrik untuk parameter

    Langkah 2: Ganti ungkapan yang dihasilkan untuk parameter ke dalam persamaan parametrik yang lain dan permudahkan.

    y = 3 t 2 + 5 Persamaan lain

    y = 3 (& # x00B1 x + 4) 2 + 5 Pengganti untuk t

    y = 3 x + 12 + 5 Darab / Sebarkan

    Langkah 3: Tentukan domain persamaan segi empat tepat.

    Domain untuk t dalam kedua persamaan parametrik adalah semua nombor nyata dan domain untuk x dalam persamaan segi empat tepat adalah semua nombor nyata. Oleh itu, tidak perlu penyesuaian pada domain persamaan segi empat tepat.

    Langkah 4: Lakarkan lengkung.

    Langkah 1: Selesaikan salah satu persamaan parametrik untuk parameter

    Langkah 2: Ganti ungkapan yang dihasilkan untuk parameter ke dalam persamaan parametrik yang lain dan permudahkan.

    y = 1 t 2 + 10 Persamaan lain

    y = 1 (1 x & # x2212 1 2) 2 + 10 Pengganti untuk t

    y = 1 1 x 2 & # x2212 1 x + 1 4 + 10 Denom segi empat sama.

    y = x 2 & # x2212 x + 4 + 10 x mengikut timbal balik

    Langkah 3: Tentukan domain persamaan segi empat tepat.

    Domain untuk t dalam persamaan parametrik pertama, x = 1 t & # x2212 1 2, adalah t & # x003E 1 2. Domain untuk t dalam persamaan parametrik kedua, y = 1 t 2 + 10 ialah t & # x003E 0. Untuk memenuhi kedua-dua kekangan tersebut, domain t mestilah t & # x003E 1 2. Oleh itu, domain persamaan segi empat tepat, x 2 & # x2212 x + 14, adalah x & # x003E 1 2

    Langkah 4: Lakarkan lengkung.

    Untuk menghubungkan ke ini Persamaan Parametrik: Menghilangkan Parameter halaman, salin kod berikut ke laman web anda:


    Bagaimana anda menukar #r = 2 sin theta # menjadi bentuk kartesian?

    Gunakan beberapa formula dan lakukan beberapa penyederhanaan. Lihat di bawah.

    Penjelasan:

    Semasa menangani transformasi antara koordinat kutub dan Cartesian, selalu ingat formula berikut:

    Dari # y = rsintheta #, kita dapat melihat bahawa membahagikan kedua-dua sisi dengan # r # memberi kita # y / r = sintheta #. Oleh itu, kita boleh menggantikan # sintheta # di # r = 2sintheta # dengan # y / r #:
    # r = 2sinteta #
    # - & gtr = 2 (y / r) #
    # - & gtr ^ 2 = 2y #

    Kami juga boleh menggantikan # r ^ 2 # dengan # x ^ 2 + y ^ 2 #, kerana # r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 #:
    # r ^ 2 = 2y #
    # - & gtx ^ 2 + y ^ 2 = 2y #

    Kita boleh membiarkannya, tetapi jika anda berminat.

    Penyederhanaan Lebih Lanjut
    Sekiranya kita mengurangkan # 2y # dari kedua-dua belah pihak, kita berakhir dengan ini:
    # x ^ 2 + y ^ 2-2y = 0 #

    Perhatikan bahawa kami dapat melengkapkan kuadrat pada # y ^ 2-2y #:
    # x ^ 2 + (y ^ 2-2y) = 0 #
    # - & gtx ^ 2 + (y ^ 2-2y + 1) = 0 + 1 #
    # - & gtx ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 1 #

    Dan bagaimana dengan itu! Kami berakhir dengan persamaan bulatan dengan pusat # (h, k) - & gt (0,1) # dan jejari # 1 #. Kami tahu bahawa persamaan kutub bentuk # y = asintheta # membentuk bulatan, dan kami baru mengesahkannya menggunakan koordinat Cartesian.


    Kalkulus APEX

    Kami secara umum diperkenalkan kepada idea melengkung grafik dengan menghubungkan (x ) - nilai dengan (y ) - nilai melalui fungsi (f teks <.> ) Maksudnya, kita menetapkan (y = f (x) text <,> ) dan plot banyak pasangan titik ((x, y) ) untuk mendapatkan idea yang baik tentang bagaimana keluk itu kelihatan. Kaedah ini berguna tetapi mempunyai batasan, yang paling tidak adalah lekukan yang "gagal uji garis tegak" tidak dapat digambarkan tanpa menggunakan beberapa fungsi.

    Dua bahagian sebelumnya memperkenalkan dan mengkaji cara baru untuk memetakan titik di satah (x, y ). Dengan menggunakan persamaan parametrik, nilai (x ) dan (y ) dihitung secara bebas dan kemudian diplot bersama. Kaedah ini membolehkan kita membuat graf lengkung yang luar biasa. Bahagian ini memperkenalkan cara lain untuk memetakan titik dalam satah: menggunakan koordinat kutub.

    Subseksyen 10.4.1 Koordinat Kutub

    Mulakan dengan titik (O ) dalam satah yang disebut tiang (kita akan selalu mengenal pasti titik ini dengan asal). Dari tiang, lukis sinar, yang disebut sinar awal (kita akan selalu melukis sinar ini secara mendatar, mengenal pasti dengan paksi positif (x ) -. Titik (P ) dalam satah ditentukan oleh jarak (r ) dari (P ) dari (O text <,> ) dan sudut ( theta ) yang terbentuk antara sinar awal dan segmen ( garis atas) (diukur berlawanan arah jam). Kami merakam jarak dan sudut sebagai pasangan tertib ((r, theta) teks <.> ) Untuk mengelakkan kekeliruan dengan koordinat segi empat tepat, kami akan menunjukkan koordinat kutub dengan huruf (P text <,> ) seperti dalam (P (r, theta) teks <.> ) Ini digambarkan dalam Rajah 10.4.2

    Amalan akan menjadikan proses ini lebih jelas.

    Contoh 10.4.3. Memplotkan Koordinat Polar.

    Petak koordinat kutub berikut:

    Untuk membantu dalam lukisan, grid kutub disediakan di bawah. Untuk meletakkan titik (A text <,> ) keluar 1 unit di sepanjang sinar awal (meletakkan anda pada bulatan dalam yang ditunjukkan pada grid), kemudian putar radian lawan jam ( pi / 4 ) radian ( atau (45 ^ circ )). Sebagai alternatif, seseorang boleh mempertimbangkan putaran terlebih dahulu: fikirkan sinar dari (O ) yang membentuk sudut ( pi / 4 ) dengan sinar awal, kemudian pindahkan 1 unit di sepanjang sinar ini (sekali lagi menempatkan anda di bulatan dalam grid).

    Untuk memplot (B text <,> ) keluar unit (1.5 ) di sepanjang sinar awal dan putar radian ( pi ) ( (180 ^ circ )).

    Untuk plot (C text <,> ) keluar 2 unit di sepanjang sinar awal kemudian putar mengikut arah jam ( pi / 3 ) radian, kerana sudut yang diberikan adalah negatif.

    Untuk memplot (D text <,> ) bergerak di sepanjang sinar awal unit " (- 1 )" - dengan kata lain, "sandarkan" 1 unit, kemudian putar berlawanan arah jarum jam dengan ( pi / 4 text <.> ) Hasilnya diberikan dalam Rajah 10.4.4.

    Pertimbangkan dua titik berikut: (A = P (1, pi) ) dan (B = P (-1,0) teks <.> ) Untuk mencari (A teks <,> ) keluar 1 unit pada sinar awal kemudian putar radian ( pi ) untuk mencari (B text <,> ) keluar (- 1 ) unit pada sinar awal dan jangan berputar. Seseorang harus melihat bahawa (A ) dan (B ) terletak pada titik yang sama dalam satah. Kita juga boleh mempertimbangkan (C = P (1,3 pi) text <,> ) atau (D = P (1, - pi) text <> ) keempat-empat titik ini sama lokasi.

    Keupayaan ini untuk mengenal pasti titik dalam satah dengan koordinat kutub berganda adalah "berkat" dan "kutukan". Kita akan melihat bahawa ia bermanfaat kerana kita dapat merancang fungsi indah yang bersilang (seperti yang kita lihat dengan fungsi parametrik). Bahagian yang malang adalah bahawa sukar untuk menentukan kapan ini berlaku. Kami akan menerangkannya lebih lanjut di bahagian ini.

    Subseksyen 10.4.2 Penukaran Kutub ke Segi Empat

    Adalah berguna untuk mengenali koordinat segi empat tepat (atau, Cartesian) suatu titik dalam satah dan koordinat kutubnya. Rajah 10.4.5 menunjukkan titik (P ) dalam satah dengan koordinat segi empat tepat ((x, y) ) dan koordinat kutub (P (r, theta) teks <.> ) Dengan menggunakan trigonometri, kita boleh membuat identiti yang diberikan dalam Idea Utama berikut.

    Idea Utama 10.4.6. Menukar Antara Koordinat Segi Empat dan Kutub.

    Diberi titik kutub (P (r, theta) teks <,> ) koordinat segi empat tepat ditentukan oleh

    Diberi koordinat segiempat ((x, y) text <,> ) koordinat kutub ditentukan oleh

    Contoh 10.4.7. Menukar Antara Koordinat Kutub dan Segi Empat.

    Tukar koordinat kutub (P (2,2 pi / 3) ) dan (P (-1,5 pi / 4) ) ke koordinat segi empat tepat.

    Tukarkan koordinat segiempat ((1,2) ) dan ((- 1,1) ) ke koordinat kutub.

    Kita mulakan dengan (P (2,2 pi / 3) text <.> ) Menggunakan Idea Utama 10.4.6, kita mempunyai

    Jadi koordinat segi empat tepat adalah ((- - 1, sqrt <3>) lebih kurang (-1,1.732) teks <.> )

    Titik kutub (P (-1,5 pi / 4) ) ditukar menjadi segi empat tepat dengan:

    Jadi koordinat segi empat tepat adalah (( sqrt <2> / 2, sqrt <2> / 2) lebih kurang (0.707.0.707) teks <.> )

    Titik-titik ini ditunjukkan dalam Rajah 10.4.8. (A) Sistem koordinat segi empat tepat dilukis dengan ringan di bawah sistem koordinat kutub sehingga hubungan antara keduanya dapat dilihat.

    Untuk menukar titik segi empat ((1,2) ) ke koordinat kutub, kami menggunakan Idea Utama untuk membentuk dua persamaan berikut:

    Persamaan pertama memberitahu kita bahawa (r = sqrt <5> text <.> ) Dengan menggunakan fungsi tangen terbalik, kita dapati

    Oleh itu, koordinat kutub ((1,2) ) adalah (P ( sqrt <5>, 1.11) teks <.> )

    Untuk menukar ((- 1,1) ) ke koordinat kutub, kami membentuk persamaan

    Oleh itu (r = sqrt <2> text <.> ) Kita perlu berhati-hati dalam pengkomputeran ( theta text <:> ) menggunakan fungsi tangen terbalik, kita mempunyai

    Ini bukan sudut yang kita mahukan. Julat ( tan ^ <-1> (x) ) adalah ((- pi / 2, pi / 2) teks <> ) iaitu, ia mengembalikan sudut yang terletak di ( Kuadran pertama dan (4 ). Untuk mencari lokasi di kuadran (2 ) nd dan (3 ) rd, tambahkan ( pi ) pada hasil ( tan ^ <-1> (x) teks <.> ) Oleh itu ( pi + (- pi / 4) ) meletakkan sudut pada (3 pi / 4 teks <.> ) Oleh itu titik kutub adalah (P ( sqrt <2>, 3 pi / 4) text <.> ) Kaedah alternatif adalah dengan menggunakan sudut ( theta ) yang diberikan oleh arctangent, tetapi mengubah tanda (r text <.> ) Oleh itu, kita juga dapat merujuk ke ((-1,1) ) sebagai (P (- sqrt <2>, - pi / 4) teks <.> )

    Titik-titik ini ditunjukkan dalam Rajah 10.4.8. (B) Sistem kutub digambar dengan ringan di bawah grid segi empat dengan sinar untuk menunjukkan sudut yang digunakan.

    Subseksyen 10.4.3 Fungsi Kutub dan Graf Kutub

    Mendefinisikan sistem koordinat baru membolehkan kita membuat jenis fungsi baru, a fungsi kutub. Koordinat segi empat tepat memberikan fungsi yang berkaitan dengan (x ) dan (y text <,> ) seperti (y = x ^ 2 text <.> ) Koordinat kutub membolehkan kita membuat fungsi yang relate (r ) dan ( theta text <.> ) Biasanya fungsi ini kelihatan seperti (r = f ( theta) text <,> ) walaupun kita dapat membuat fungsi bentuk ( theta = f (r) text <.> ) Contoh berikut memperkenalkan kita kepada konsep ini.

    Contoh 10.4.9. Pengenalan Fungsi Kutub Grafik.

    Huraikan graf fungsi kutub berikut.

    Persamaan (r = 1.5 ) menerangkan semua titik yang berjarak 1.5 unit dari tiang kerana sudut tidak ditentukan, sebarang ( theta ) dibenarkan. Semua titik 1.5 unit dari tiang menggambarkan bulatan jejari 1.5. Kita boleh mempertimbangkan persamaan segi empat tepat dengan persamaan ini dengan menggunakan (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 text <,> ) kita melihat bahawa (1.5 ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 text <, > ) yang kita kenali sebagai persamaan bulatan yang berpusat di ((0,0) ) dengan jejari 1.5. Ini digambarkan dalam Rajah 10.4.10.

    Persamaan ( theta = pi / 4 ) menerangkan semua titik sehingga garis yang melaluinya dan tiang membuat sudut ( pi / 4 ) dengan sinar awal. Oleh kerana jejari (r ) tidak ditentukan, ia boleh menjadi nilai apa pun (bahkan negatif). Oleh itu ( theta = pi / 4 ) menerangkan garis melalui tiang yang membuat sudut ( pi / 4 = 45 ^ circ ) dengan sinar awal. Kita sekali lagi boleh mempertimbangkan persamaan segi empat tepat dari persamaan ini. Gabungkan ( tan ( theta) = y / x ) dan ( theta = pi / 4 text <:> )

    Grafik ini juga diplotkan dalam Rajah 10.4.10.

    Persamaan segi empat tepat asas dalam bentuk (x = h ) dan (y = k ) membuat garis menegak dan mendatar, masing-masing persamaan kutub asas (r = h ) dan ( theta = alpha ) buat bulatan dan garis melalui tiang, masing-masing. Dengan ini sebagai asas, kita dapat membuat fungsi kutub yang lebih rumit dari bentuk (r = f ( theta) text <.> ) Input adalah sudut yang outputnya panjang, sejauh mana arah sudut untuk keluar.

    Kami membuat sketsa fungsi ini seperti membuat lakaran fungsi segi empat tepat dan parametrik: kami merancang banyak titik dan "menghubungkan titik" dengan lengkung. Kami menunjukkan ini dalam contoh berikut.

    Contoh 10.4.11. Melakarkan Fungsi Kutub.

    Lakarkan fungsi kutub (r = 1 + cos ( theta) ) di ([0,2 pi] ) dengan merancang titik.

    Soalan biasa ketika membuat sketsa lengkung dengan memetakan titik adalah "Titik mana yang harus saya plot?" Dengan persamaan segi empat tepat, kita sering memilih nilai "mudah" - bilangan bulat, kemudian menambahkan lebih banyak jika diperlukan. Semasa merancang persamaan kutub, mulakan dengan sudut "biasa" - gandaan ( pi / 6 ) dan ( pi / 4 teks <.> ) Rajah 10.4.12 memberikan jadual hanya beberapa nilai ( theta ) di ([0, pi] teks <.> )

    Pertimbangkan titik (P (2,0) ) yang ditentukan oleh baris pertama jadual. Sudutnya adalah 0 radian - kita tidak berputar dari sinar awal - kemudian kita keluar 2 unit dari tiang. Apabila ( theta = pi / 6 text <,> ) (r = 1.866 ) (sebenarnya, ia (1+ sqrt <3> / 2 )) jadi putar dengan ( pi / 6 ) radian dan keluar 1,886 unit.

    Grafik yang ditunjukkan menggunakan lebih banyak titik, dihubungkan dengan garis lurus. (Titik-titik pada grafik yang sesuai dengan titik-titik dalam tabel ditandai dengan titik-titik yang lebih besar.) Sketsa semacam itu mungkin cukup baik untuk memberi gambaran tentang bagaimana grafik itu.

    Nota Teknologi: Fungsi merancang dengan cara ini dapat membosankan, seperti halnya dengan fungsi segi empat tepat. Untuk mendapatkan graf yang sangat tepat, teknologi sangat membantu. Sebilangan besar kalkulator grafik dapat memplot fungsi polar dalam menu, mengatur mod plot ke sesuatu seperti polar atau POL, bergantung pada kalkulator seseorang. Seperti merencanakan fungsi parametrik, tampilan "tetingkap" tidak lagi menentukan nilai (x ) - yang diplot, jadi maklumat tambahan perlu diberikan. Selalunya dengan tetapan "tetingkap" adalah tetapan untuk nilai awal dan akhir ( theta ) (sering disebut ( theta_ < text > ) dan ( theta_ < text > )) serta ( theta_ < text > ) - iaitu sejauh mana jarak ( theta ) nilai jarak. Semakin kecil nilai ( theta_ < text > ), semakin tepat graf (yang juga meningkatkan masa merancang). Dengan menggunakan teknologi, kami membuat grafik fungsi kutub (r = 1 + cos ( theta) ) dari Contoh 10.4.11 pada Rajah 10.4.13.

    Contoh 10.4.14. Melakarkan Fungsi Kutub.

    Lakarkan fungsi kutub (r = cos (2 theta) ) pada ([0,2 pi] ) dengan merancang titik.

    Kita mulakan dengan membuat jadual ( cos (2 theta) ) yang dinilai pada sudut sepunya ( theta text <,> ) seperti yang ditunjukkan pada Rajah 10.4.15. Titik-titik ini kemudian digambarkan dalam Rajah 10.4.16. (A) Grafik tertentu ini "bergerak" sedikit dan seseorang dapat dengan mudah melupakan titik mana yang harus dihubungkan antara satu sama lain. Untuk membantu kami dalam hal ini, kami membilang setiap titik dalam jadual dan grafik.

    Pt. ( theta ) ( cos (2 theta) )
    (1) (0) (1)
    (2) ( pi / 6 ) (0.5)
    (3) ( pi / 4 ) (0)
    (4) ( pi / 3 ) (-0.5)
    (5) ( pi / 2 ) (-1)
    (6) (2 pi / 3 ) (-0.5)
    (7) (3 pi / 4 ) (0)
    (8) (5 pi / 6 ) (0.5)
    (9) ( pi ) (1)
    (10) (7 pi / 6 ) (0.5)
    (11) (5 pi / 4 ) (0)
    (12) (4 pi / 3 ) (-0.5)
    (13) (3 pi / 2 ) (-1)
    (14) (5 pi / 3 ) (-0.5)
    (15) (7 pi / 4 ) (0)
    (16) (11 pi / 6 ) (0.5)
    (17) (2 pi ) (1)
    Rajah 10.4.15. Jadual titik untuk merancang lengkung kutub dalam Contoh 10.4.14

    Dengan menggunakan lebih banyak titik (dan bantuan teknologi) plot yang lebih lancar dapat dibuat seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 10.4.16. (B). Plot ini adalah contoh a keluk mawar.

    Kadang-kadang diinginkan untuk merujuk kepada grafik melalui persamaan kutub, dan lain-lain dengan persamaan segi empat tepat. Oleh itu, perlu untuk menukar antara fungsi kutub dan segi empat tepat, yang kita praktikkan dalam contoh berikut. Kami akan menggunakan identiti yang terdapat dalam Idea Utama 10.4.6.

    Contoh 10.4.17. Menukar antara persamaan segi empat tepat dan kutub.

    Tukar dari segi empat tepat menjadi kutub

    Tukarkan dari kutub ke segi empat tepat.

    Ganti (y ) dengan (r sin ( theta) ) dan gantikan (x ) dengan (r cos ( theta) text <,> ) memberikan:

    Kami telah menemui bahawa (r = sin ( theta) / cos ^ 2 ( theta) = tan ( theta) sec ( theta) text <.> ) Domain fungsi kutub ini adalah ((- pi / 2, pi / 2) text <> ) plotkan beberapa titik untuk melihat bagaimana parabola yang biasa dikesan oleh persamaan kutub.

    We again replace (x) and (y) using the standard identities and work to solve for (r ext<:>)

    This function is valid only when the product of (cos( heta) sin( heta)) is positive. This occurs in the first and third quadrants, meaning the domain of this polar function is ((0,pi/2) cup (pi,3pi/2) ext<.>) We can rewrite the original rectangular equation (xy=1) as (y=1/x ext<.>) This is graphed in Figure 10.4.18 note how it only exists in the first and third quadrants.

    There is no set way to convert from polar to rectangular in general, we look to form the products (rcos( heta)) and (rsin( heta) ext<,>) and then replace these with (x) and (y ext<,>) respectively. We start in this problem by multiplying both sides by (sin( heta) -cos( heta) ext<:>)

    The original polar equation, (r=2/(sin( heta) -cos( heta) )) does not easily reveal that its graph is simply a line. However, our conversion shows that it is. The upcoming gallery of polar curves gives the general equations of lines in polar form.

    By multiplying both sides by (r ext<,>) we obtain both an (r^2) term and an (rcos( heta)) term, which we replace with (x^2+y^2) and (x ext<,>) respectively.

    We recognize this as a circle by completing the square we can find its radius and center.

    bermula x^2-2x+y^2 amp = 0 (x-1)^2 + y^2 amp =1 ext <.>end

    The circle is centered at ((1,0)) and has radius 1. The upcoming gallery of polar curves gives the equations of sesetengah circles in polar form circles with arbitrary centers have a complicated polar equation that we do not consider here.

    Some curves have very simple polar equations but rather complicated rectangular ones. For instance, the equation (r=1+cos( heta)) describes a cardioid (a shape important the sensitivity of microphones, among other things one is graphed in the gallery in the Limaçon section). It's rectangular form is not nearly as simple it is the implicit equation (x^4+y^4+2x^2y^2-2xy^2-2x^3-y^2=0 ext<.>) The conversion is not “hard,” but takes several steps, and is left as a problem in the Exercise section.

    There are a number of basic and “classic” polar curves, famous for their beauty and/or applicability to the sciences. This section ends with a small gallery of some of these graphs. We encourage the reader to understand how these graphs are formed, and to investigate with technology other types of polar functions.

    Symmetric about (x)-axis: (r=apm bcos( heta))

    Symmetric about (y)-axis: (r=apm bsin( heta) ext<>) (a,b gt 0)

    Symmetric about (x)-axis: (r=a cos(n heta))

    Symmetric about (y)-axis: (r=asin(n heta))

    Curve contains (2n) petals when (n) is even and (n) petals when (n) is odd.

    Earlier we discussed how each point in the plane does not have a unique representation in polar form. This can be a “good” thing, as it allows for the beautiful and interesting curves seen in the preceding gallery. However, it can also be a “bad” thing, as it can be difficult to determine where two curves intersect.

    Example 10.4.24 . Finding points of intersection with polar curves.

    Determine where the graphs of the polar equations (r=1+3cos( heta)) and (r=cos( heta)) intersect.

    As technology is generally readily available, it is usually a good idea to start with a graph. We have graphed the two functions in Figure 10.4.25.(a) to better discern the intersection points, Figure 10.4.25.(b) zooms in around the origin.

    We start by setting the two functions equal to each other and solving for ( heta ext<:>)

    (There are, of course, infinite solutions to the equation (cos( heta) =-1/2 ext<>) as the limaçon is traced out once on ([0,2pi] ext<,>) we restrict our solutions to this interval.)

    We need to analyze this solution. When ( heta = 2pi/3) we obtain the point of intersection that lies in the (4)th quadrant. When ( heta = 4pi/3 ext<,>) we get the point of intersection that lies in the second quadrant. There is more to say about this second intersection point, however. The circle defined by (r=cos( heta)) is traced out once on ([0,pi] ext<,>) meaning that this point of intersection occurs while tracing out the circle a second time. It seems strange to pass by the point once and then recognize it as a point of intersection only when arriving there a “second time.” The first time the circle arrives at this point is when ( heta = pi/3 ext<.>) It is key to understand that these two points are the same: ((cos(pi/3),pi/3)) and ((cos(4pi/3),4pi/3) ext<.>)

    To summarize what we have done so far, we have found two points of intersection: when ( heta=2pi/3) and when ( heta=4pi/3 ext<.>) When referencing the circle (r=cos( heta) ext<,>) the latter point is better referenced as when ( heta=pi/3 ext<.>)

    There is yet another point of intersection: the pole (or, the origin). We did not recognize this intersection point using our work above as each graph arrives at the pole at a different ( heta) value.

    A graph intersects the pole when (r=0 ext<.>) Considering the circle (r=cos( heta) ext<,>) (r=0) when ( heta = pi/2) (and odd multiples thereof, as the circle is repeatedly traced). The limaçon intersects the pole when (1+3cos( heta) =0 ext<>) this occurs when (cos( heta) = -1/3 ext<,>) or for ( heta = cos^<-1>(-1/3) ext<.>) This is a nonstandard angle, approximately ( heta = 1.9106 = 109.47^circ ext<.>) The limaçon intersects the pole twice in ([0,2pi] ext<>) the other angle at which the limaçon is at the pole is the reflection of the first angle across the (x)-axis. That is, ( heta = 4.3726 = 250.53^circ ext<.>)

    If all one is concerned with is the ((x,y)) coordinates at which the graphs intersect, much of the above work is extraneous. We know they intersect at ((0,0) ext<>) we might not care at what ( heta) value. Likewise, using ( heta =2pi/3) and ( heta=4pi/3) can give us the needed rectangular coordinates. However, in the next section we apply calculus concepts to polar functions. When computing the area of a region bounded by polar curves, understanding the nuances of the points of intersection becomes important.


    6.1: Prelude to Parametric Equations and Polar Coordinates

    Math 101 - Section T14
    Thursday 1330 -1420
    Math 103

    TA: Michael Kozdron
    Office: TBA
    Office Hours: TBA
    Telephone: 221-9732
    E-mail: [email protected] Topics to be Covered

    January 8: The Definite Integral and Fundamental Theorem of Calculus §5.1 - §5.4

    January 15: The Substitution Rule §5.5, §5.6

    January 22: Integration by Parts and Trigonometric Integrals §7.1, §7.2

    January 29: Trigonometric Substitutions and Partial Fractions §7.3, §7.4

    February 5: Approximating Integrals §7.8

    February 12: Improper Integrals §7.9 READING WEEK

    February 26: Area Between Curves, Volumes by Slicing - Disks and Washers §6.1, §6.2

    March 5: Volumes by Shells and Average Value §6.3 - §6.5

    March 12: Arc Length and Surface Area, Centroids and Centres of Mass §8.2 - §8.4

    March 19: Pappus? Theorem and Differential Equations §8.4, §8.1

    March 26: Parametric Equations and Polar Coordinates §9.1 - §9.5


    Vertical Tangents with Parametric Curves

    We will continue the analysis of our parametric curve defined by $x = 6t^3$ and $y = sin t$ . A vertical tangent arises when $frac

    = 0$ and $frac
    ≠ 0$ , essentially the opposite conditions for horizontal tangents.

    Let's look at where $frac

    = 0$ .

    Note that when $t = 0$ , $frac

    ≠ 0$ , so we have a vertical tangent at $t = 0$ . To find the specific coordinates, we can plug back into our parametric equations like before.

    Thus there is a vertical tangent at $(0, 0)$ , which should be evident from the graph of this parametric curve from earlier.


    Hmmm. You want an equation, but I have to not use "math jargon." And you want me to explain how to derive them, but presumably I'm not allowed to use words like "parametric." This does present a challenge.

    I'm going to start with a circle in the $xy$-plane of 3-space. There are two ways to describe it: $ x^2 + y^2 = 1 ext < and >z = 0, $ or $ t mapsto (cos t, sin t, 0) ext<, where $t$ ranges from $ to $2 pi$>. $

    The first of these is called "the implicit form", because there's no way, just looking at it, to produce a point $(x, y, z)$ that satisfies both equations. (Yeah, it's clear that $z$ has to be $. And if you then try $x = 0$, you can guess that $y = 1$ and $y= -1$ work. But what if the $xy$ part of the equation had been sometime like $13x^2 - 11xy + 13 x + 2y - 3y^2 = -2$? Then you'd be in a pickle. So this kind of description of a shape is called "implicit" because it only lets you test whether a point's part of the shape or not, but doesn't explicitly produce any points.)

    The second is called the "parametric form", because there's a "parameter" ($t$) that you can vary to generate points on the shape. As $t$ is varied from $ to $2 pi$, you generate every point of the curve. In many situations, this kind of description is preferable, although there are also cases where the implicit description is better. We use both in mathematics. The parametric form has one disadvantage: sometimes two different parameter values (like $t = 0$ and $t = 2pi$) correspond to the same location on the shape. There's a reason for that: the interval $[0, 2pi]$ is a fundamentally different shape from a circle. Because of that, there's no "nice" way to send points of the interval to points of the circle and vice-versa and have the mapping be a one-to-one correspondence. (That's hard to prove thoroughly, but it's true.)

    So what about surfaces? Well, for those, we need dua parameters, like "latitude" and "longitude", to describe each point of the surface. Once again, we'll have the "colliding parameters" problem. On the earth, for instance, longitude 180W and 180E both correspond to points of the international dateline, and when you look at longitude-latitude pairs where the latitude is 90N, all mungkin longitudes correspond to the same point -- the North Pole.

    The first thing I'm going to do is to describe a cylinder using two parameters. Once again, $t$ will tell us where we are in the "around the circle" direction, but I'll use a new parameter, $s$, to say how high on the cylinder we are. (The cylinder's aligned like a can of beans sitting on a table in this example): $ (t, s) mapsto (cos t, sin t, s) ext<, where le t le 2pi$ and $-1 le s le 1$>. $ I've cut off $s$ at $-1$ and $1$ to make a cylinder of height 2.

    Roughly speaking, at each point of the unit circle, by varying $s$ I can move up and down in the $z$-direction.

    For a Mobius strip, you also want to move "perpendicular to the core circle," but you don't want to always move up and down you want to move in a "tilted" direction. So I'm going to rewrite what I wrote above for the cylinder in a new form:

    $ (t, s) mapsto (cos t, sin t, 0) + s (0, 0, 1) ext<, where le t le 2pi$ and $-1 le s le 1$>. $ In that form, you can see that we're starting at a point of the circle, and adding to it a displacement in the direction $(0, 0, 1)$, with the amount of the displacement goverened by $s$.

    To make a Mobius band, we need to change that displacement direction to one that rotates as we move around the circle. That is, we want to write

    where $v(t)$ is a direction that changes when we vary $t$. At $t = 0$, we want it to point straight up. By the time we reach $t = pi$, we want it to point in the $(-1, 0, 0)$ direction. And by the time we reach $t = 2pi$, we want it to point straight down.

    To build $v(t)$, I'm going to combine the straight-up direction, $(0, 0, 1)$ with the "pointing outward in the $xy$-plane direction", $(cos t, sin t, 0)$ in a way that varies as a function of $t$. Here goes:

    $ v(t) = cos(t/2) (0, 0, 1) + sin(t/2) (cos t, sin t, 0). $

    The reason for the $t/2$ is that as $t$ ranges from $ to $2pi$, I wanted the angle that the ray was pointing to rotate only separuh a turn. Combining all that, the final parametric description is

    bermula (t, s) &mapsto (cos t, sin t, 0) + s (cos(t/2) (0, 0, 1) + sin(t/2) (cos t, sin t, 0)) &= (cos t, sin t, 0) + (0, 0, scos(t/2) ) + (ssin(t/2)cos t,s sin(t/2)sin t, 0) &= (cos t + ssin(t/2)cos t, sin t + s sin(t/2)sin t, scos(t/2) ). akhir

    I hope that's of some help.

    By the way, I entirely agree with Daniel Rust that the "strip with identified edges" description of the band is more useful in almost every context. But sometimes it's nice to be able to write things down explicitly, too.


    6.1: Prelude to Parametric Equations and Polar Coordinates

    4.10 Antiderivatives
    5.1 Areas and Distances
    5.2 Definite Integral
    5.3 Fundamental Theorem of Calculus
    5.4 Indefinite Integrals and the Net Change Theorem
    5.5 Substitution Rule
    6.1 Area Between Curves
    6.2 Volumes

    Exam 1: Tuesday, March 2, 6-7:30 PM

    7.1 Integration by Parts
    7.2 Trigonometric Integrals
    7.3 Trigonometric Substitution
    7.8 Improper Integrals

    Symbolic Test: Wednesday, March 31, 6:15 - 7:15 PM

    10.1 Curves defined by Parametric Equations
    10.2 Calculus with parametric curves
    10.3 Polar Coordinates
    10.4 Areas and Lengths in Polar Coordinates

    Exam 2: Tuesday, April 20, 6-7:30 PM

    11.1 Sequences
    11.2 Series
    11.3 Integral Test
    11.4 Comparison Tests
    11.5 Alternating Series
    11.6 Absolute Convergence, Ratio and Root Tests
    11.8 Power Series
    11.9 Functions as Power Series
    11.10 Taylor and Maclaurin Series

    Final Exam: To be scheduled. The terakhir day of finals is May 21, 2004


    Tonton videonya: Persamaan Parametrik (Ogos 2022).