Artikel

7: Transformasi Laplace

7: Transformasi Laplace



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

DALAM BAB INI kita mengkaji kaedah transformasi Laplace, yang menggambarkan salah satu teknik asas penyelesaian masalah dalam matematik: mengubah masalah yang sukar menjadi yang lebih mudah, menyelesaikan yang terakhir, dan kemudian menggunakan penyelesaiannya untuk mendapatkan penyelesaian masalah yang asli. Ini berlaku terutamanya dalam masalah fizikal yang berkaitan dengan fungsi paksa yang tidak berterusan.


Transformasi Laplace dari fungsi f (t) < displaystyle f (t)> dapat diperoleh dengan menggunakan definisi formal transformasi Laplace. Walau bagaimanapun, beberapa sifat transformasi Laplace dapat digunakan untuk mendapatkan transformasi Laplace dari beberapa fungsi dengan lebih mudah.

Edit Lineariti

dan, oleh itu, dianggap sebagai operator linear.

Peralihan masa Edit

Mengubah frekuensi Edit

Transformasi Laplace unilateral mengambil sebagai input fungsi yang domain waktunya adalah real non-negatif, itulah sebabnya semua fungsi domain waktu dalam jadual di bawah adalah gandaan fungsi langkah Heaviside, awak(t) .

Catatan jadual yang melibatkan kelewatan masa τ dikehendaki bersikap kausal (bermaksud itu τ & gt 0). Sistem kausal adalah sistem di mana tindak balas impuls h(t) adalah sifar untuk semua masa t sebelum t = 0. Secara umum, wilayah penumpuan untuk sistem kausal tidak sama dengan sistem antikausa.


Sumber tambahan OCW ini menyediakan bahan dari luar kurikulum MIT rasmi.

MIT OpenCourseWare adalah penerbitan bahan percuma & terbuka dari beribu-ribu kursus MIT, yang merangkumi keseluruhan kurikulum MIT.

Tiada pendaftaran atau pendaftaran. Jelajah dan gunakan bahan OCW secara bebas mengikut kadar anda sendiri. Tidak ada pendaftaran, dan tidak ada tarikh mula atau akhir.

Ilmu adalah ganjaran anda. Gunakan OCW untuk membimbing pembelajaran sepanjang hayat anda sendiri, atau untuk mengajar orang lain. Kami tidak menawarkan kredit atau pensijilan untuk menggunakan OCW.

Dibuat untuk berkongsi. Muat turun fail untuk kemudian. Hantar kepada rakan dan rakan sekerja. Ubah, remix, dan gunakan semula (ingat hanya untuk menyebut OCW sebagai sumbernya.)


Transformasi Laplace - Rhea

Kadang-kadang ODE boleh menjadi sangat rumit dan sukar diselesaikan dengan kaedah asas yang telah kita lihat dalam tutorial sebelumnya. Sebagai contoh, ia mungkin melibatkan fungsi eksponensial, fungsi trigonometri, fungsi Heaviside, dan apa sahaja yang anda bayangkan. Oleh itu, seorang ahli fizik Perancis yang terkenal Pierre-Simon Laplace menemui kaedah transformasi, yang mengubah fungsi dalam "domain-time" menjadi "domain number-complex", untuk mengatasi masalah tersebut. Ini bagus untuk mengubah pengiraan pembezaan dan integrasi kepada pengiraan algebra sederhana.

Berikut adalah peta konsep asas dari nota kursus saya semasa pertama kali belajar Transformasi Laplace:

$ bermula ODE & amp in & amp y (t) & quotTime-domain & quot end → bermula Laplace & amp Transform L = [y (t)] akhir → bermula Algebraic & amp persamaan & amp di & amp Y s & quot; Kompleks & amp nombor domain & quot end $

$ bermula Algebraic & amp persamaan & amp di & amp Y s & quot; Kompleks & amp nombor domain & quot end → bermula Pembalikan & amp Laplace & amp Transform L ^ <-1> [Y (s)] end → bermula ODE & amp in & amp y (t) & quotTime-domain & quot end $ .


Ini bermaksud untuk beberapa ODE yang rumit, Laplace Transform digunakan untuk menukarnya menjadi beberapa persamaan algebra. Kemudian Laplace Transform terbalik digunakan untuk menukar kembali penyelesaian.


Transformasi Laplace ditakrifkan sebagai $ Y (s) = L [y (t)] = int_ <0> ^ < infty> y (t) e ^ <-st> dt $ , yang juga merupakan fungsi masa $ y ( t) $ dinyatakan dalam domain "frekuensi kompleks".


Sekiranya melakukan Transformasi Laplace menjadi $ frac terbitan

$ :

$ L [ frac

] = int_ <0> ^ < infty> frac
e ^ <-st> dt $, dengan definisi Laplace Transform,

$ = [ye ^ <-st> - int (-s e ^ <-st> y dt)] _ <0> ^ < infty> $, penyatuan mengikut bahagian,

$ = [ye ^ <-st>] _ <0> ^ < infty> + sY (s) $, sekali lagi dengan definisi Laplace Transform,


Sekarang pertimbangkan derivatif pesanan kedua $ frac $ ,

Di sini kita dapat melihat corak biasa dan menyimpulkan bentuk umum $ L [ frac] = s ^ n Y (s) - s ^y (0) -. - frac<>y><>(0)> $ .


Klik di sini untuk jadual Laplace Transform yang sering digunakan.


Inverse Laplace Transform mengubah hasilnya menjadi penyelesaian kepada ODE. Pengiraannya mungkin melibatkan kaedah pecahan separa. Dengan kata lain, apabila kita menyelesaikan fungsi algebra yang ditukar (mempunyai $ Y (s) $), kita perlu menukarnya kembali, masih merujuk kepada jadual Laplace Transform, untuk mempunyai $ L ^ <-1> [Y (s) ] = y (t) $. Rujuk di sini untuk melihat cara melakukan pecahan separa.


7.2 Lineariti Transformasi Laplace

Dengan definisi transformasi linear, jika fungsi $ f (x) $ adalah linear, maka $ f (a + bx) = f (a) + bf (x) $. Uji kesamaan untuk definisi Laplace Transform $ L [y (t)] = int_ <0> ^ < infty> y (t) e ^ <-st> dt $ oleh harta ini,


Kita boleh melakukan ujian yang sama untuk transformasi songsang, yang juga linear:


7.3 Fungsi Langkah Unit Heaviside

Fungsi Heaviside step step adalah fungsi tidak putus yang dinamakan oleh ahli matematik Oliver Heaviside. Fungsi ini mempunyai nilai $ 1 $ untuk argumen positif dan nilai $ 0 $ untuk argumen negatif. Dalam tutorial sebelumnya, semua yang kami selesaikan adalah ODE berterusan, sementara Laplace Transform mampu mengubah fungsi tak putus menjadi fungsi berterusan untuk operasi selanjutnya. Fungsi langkah Heaviside step adalah contoh khas fungsi tak putus: $ H (t-a) = begin 0, & amp if & amp t < a 1, & amp if & amp t≥a end $ .

Rujuk jadual Transformasi Laplace yang kerap di atas untuk transformasi fungsi langkah Heaviside.

Cari transformasi Laplace fungsi $ y (t) = begin 3t, & amp 0≤t < 1, 1, & amp 1≤t < 2 e ^ t, & amp 2≤t akhir $ .

Untuk menggerakkan fungsi yang diberikan lebih dekat dengan gaya Heaviside, kami membuat sedikit perubahan:

Tambahkan kesemuanya hingga $ y (t) = 3t + H (t-1) (1-3t) + H (t-2) (e ^ t-1) $

$ = frac <3>-e ^ <-s> ( frac <3>+ frac <2>) + frac>- frac <2e ^ <-5>> $, mengikut jadual Laplace Transform. Di sini fungsi tak putus diubah menjadi fungsi algebra berterusan, dan kami bersedia untuk analisis lebih lanjut.

Institut Sains Alam dan Matematik, Universiti Massey. (2017). 160.204 Persamaan Pembezaan I: Bahan kursus. Auckland, New Zealand.

Robinson, J. C. (2003). Pengenalan kepada persamaan pembezaan biasa. New York, NY., Amerika Syarikat: Cambridge University Press.


Konvolusi

Integrasi konvolusi sangat penting dalam kajian sistem. Penerangan terperinci boleh didapati di sini. Singkatnya, konvolusi dapat digunakan untuk menghitung tindak balas keadaan sifar (iaitu, respons terhadap input apabila sistem mempunyai keadaan awal sifar) dari sistem ke input sewenang-wenangnya dengan menggunakan tindak balas impuls sistem. Memandangkan tindak balas impuls sistem, h (t), dan input, f (t), output, y (t) adalah konvolusi h (t) dan f (t):

Walau bagaimanapun, kamiran ini agak sukar untuk dikira dalam bentuk ini, tetapi cukup mudah jika menggunakan Laplace Transform.

Contoh: Konvolusi di Laplace Domain

[y kiri (t kanan) = kiri (<1 - >> kanan) - kiri (<1 - kanan) >>> kanan) gamma kiri ( kanan] ]

& salin Hak Cipta 2005 hingga 2019 Erik Cheever Halaman ini boleh digunakan secara bebas untuk tujuan pendidikan.


2 Jawapan 2

Untuk domain analisis litar, penggunaan transformasi laplace membolehkan kita menyelesaikan persamaan pembezaan yang mewakili litar ini melalui penerapan peraturan mudah dan proses algebra dan bukannya teknik matematik yang lebih kompleks. Ia juga memberi gambaran mengenai tingkah laku litar.

Terdapat banyak perubahan yang mungkin dilakukan dan analisis domain berguna dan mungkin lebih mudah untuk diajarkan bahawa teknik lain sering dilakukan sebelum penggunaan analisis kompleks sepenuhnya. Ia tidak menjadikannya kurang kuat atau berguna, hanya sesuai dengan masalah yang dihadapi. Selalunya transformasi laplace diajar bahkan sebelum persamaan pembezaan diterima sepenuhnya sehingga merupakan pendekatan pelengkap.

Intuisi di sebalik itu ialah $ s $ adalah "frekuensi kompleks". $ s $ tidak berubah ke $ j omega $. Sebaliknya, $ s $ adalah nombor kompleks yang dapat dipecah menjadi bahagian sebenar dan khayalannya yang disebut sigma dan omega: $ s = sigma + j omega $. Setiap masa, di mana sahaja anda melihat $ s $ anda boleh menggantikan $ sigma + j omega $!

Apa yang berlaku apabila $ s $ nampaknya digantikan oleh $ j omega $ ialah kita mempertimbangkan hanya bahagian tertentu dari domain $ s $: paksi khayalan (positif). Kami tidak mengubah $ s $, tetapi hanya menjatuhkan bahagian sebenar $ sigma $ (atau lebih tepatnya menetapkannya menjadi sifar) dan mengekalkan komponen $ j omega $.

Ini kerana paksi khayalan positif di ruang frekuensi kompleks $ s $ adalah di mana frekuensi biasa terletak.

Oleh itu, jika kita mempunyai fungsi pemindahan dari segi $ s $, maka jika kita melihat potongan fungsi tersebut di sepanjang paksi khayalan, yang dihasilkan oleh $ j omega $ untuk pelbagai nilai parameter $ omega $, maka kita melihat domain frekuensi fungsi pemindahan itu: transformasi Fourier!

Transformasi Laplace adalah generalisasi transformasi Fourier. Transformasi Fourier akhirnya tertanam di domain Laplace di sepanjang paksi khayalan. Nilai ini kompleks, tetapi domainnya adalah satu dimensi. Transformasi Fourier menangani fungsi invarian masa (berkala), tetapi Laplace menyamaratakan fungsi yang merangkumi pertumbuhan eksponensial atau kerosakan. Fourier berurusan dengan isyarat bentuk $ e ^ $, sedangkan Laplace berurusan dengan $ e ^ $, di mana $ s = sigma + j omega $. Ini merangkumi pertumbuhan / pereputan eksponensial serta ayunan tumbuh atau merosot yang tidak berkala.


WSRESTF - Pengajian Asasi

Ia adalah transformasi linear yang membawa x ke pemboleh ubah kompleks baru, secara umum, s. Ia digunakan untuk menukar persamaan pembezaan menjadi persamaan aljabar semata-mata.

Beberapa contoh diberikan dalam jadual di bawah:

Menjana perubahan terbalik bermasalah. Ia cenderung dilakukan melalui penggunaan jadual
perubahan seperti yang di atas.

Untuk aplikasi ke persamaan pembezaan kita mulakan dengan menilai L (df / dx) menggunakan integrasi oleh
bahagian, hasilnya adalah

Proses ini boleh diulang untuk dll, memberi

Oleh itu transformasi Laplace dari sebarang derivatif dapat dinyatakan dalam bentuk L (f) ditambah derivatif yang dinilai pada x = 0. Oleh itu, adalah mungkin untuk menulis semula sebarang persamaan pembezaan dari segi persamaan algebra untuk L (y).

Empat sifat berguna transformasi Laplace dapat ditentukan.

4.3.1 Aplikasi teori kawalan

Transformasi Laplace banyak digunakan dalam teori kawalan klasik. Pemboleh ubah bebas sering diambil sebagai masa t. Dalam banyak aplikasi, persamaan pembezaan yang berubah akan menjadi nisbah dua polinomial dalam s, misalnya

Sekiranya diperlukan, ini boleh dibahagi dengan pecahan separa untuk diberikan


di mana transformasi songsang L-1 boleh didapati secara berasingan untuk setiap elemen. Oleh itu


Selalunya dalam teori kawalan, transformasi songsang tidak diambil kerana banyak yang dapat disimpulkan (mengenai kestabilan dll) dari bentuk F (s).

Fungsi pemindahan sistem linier didefinisikan sebagai nisbah transformasi Laplace output sistem ke transformasi Laplace input ke sistem. Ia dilambangkan dengan G (s) atau H (s). Anggapan linear bermaksud bahawa sifat sistem (misalnya G) tidak bergantung pada keadaan sistem (nilai t atau s).

Untuk fungsi pemindahan, syarat awal dianggap sifar sehingga

Persamaan pembezaan diubah menjadi domain Laplace hanya dengan menggantikan Fungsi pemindahan yang dihasilkan kemudiannya boleh ditulis

di mana P dan Q adalah polinomial dalam s. Sifat G ditentukan oleh akar Q (s) = 0 (yang dikenali sebagai persamaan ciri).

NB. Akar ini disebut sebagai tiang sistem sejak G (s) menjadi tidak terbatas pada nilai s ini. Susunan sistem adalah susunan Q (s).

4.3.2 Mengira tindak balas sementara untuk input langkah

Pendekatan yang dikembangkan di atas dapat digunakan untuk mengira tindak balas sementara sistem linear. Sistem pesanan pertama mudah dianalisis tetapi tidak begitu menarik. Kami akan menumpukan perhatian pada sistem pesanan kedua.

Keluaran sistem sering dilambangkan oleh c (t) dan transformasi Laplace oleh C (s) dengan
input menjadi u (t) dan U (s) masing-masing.

Transformasi Laplace input langkah adalah 1 / s dan lebih kurang

menggunakan pecahan separa di mana A1 dan A2 adalah pemalar dan p1 dan p2 adalah punca persamaan ciri. Oleh itu, dengan mengambil perubahan terbalik,

Sifat tindak balas bergantung pada sifat akar, yang ditentukan oleh faktor redaman ζ. Rajah di bawah menunjukkan bentuk tindak balas langkah untuk sistem pesanan kedua.


23 pemikiran mengenai & ldquo Head Talking Mengajar Transformasi Laplace & rdquo

buku kalkulus lama itu sangat bagus, saya memberikannya kepada anak saya beberapa tahun yang lalu untuk digunakan. Oleh kerana ia sangat tua, tidak mengandaikan pengetahuan yang tidak anda miliki, tidak mengandaikan bahawa anda melakukan semua perkara di komputer, tetapi juga tidak menganggap anda benar-benar bodoh. Ini juga membantu :-) untuk memberitahu remaja anda bahawa ini adalah kemahiran asas yang dapat dilakukan oleh orang yang berusia lebih dari 100 tahun yang lalu dengan pen dan kertas, jadi tidak ada sebab dia dapat & # 8217t .. :-)

Tidak, mereka tidak dapat & # 8217t. Sebilangan besar penduduk masih buta huruf

& gt dan kemudian lakukan perubahan terbalik untuk mendapatkan jawapan yang tepat.

Setelah anda mengenal LT, kadangkala mungkin berfungsi sepenuhnya dalam domain tersebut. Jawapan & # 8220tepat & # 8221 & # 8217 tidak semestinya dalam domain masa.

Ini setara dengan cara untuk menganalisis atau merancang sistem penguat (dll) sepenuhnya dalam domain logaritmik & # 8220dB & # 8221.

Yup, adalah normal untuk merancang keseluruhan sistem tanpa pernah meninggalkan domain S atau Z.

maksudnya, jatuhkan video di tengah-tengah siri. sekarang saya perlu menonton video seterusnya dan sebelumnya & # 8230 ^ _ ^

& # 8220 Transformasi Laplace kurang dikenali, walaupun merupakan generalisasi transformasi Fourier. & # 8221
Seseorang yang mengenali Fourier mungkin juga mengetahui LaPlace & # 8230 Saya sukar melihat bagaimana lagi untuk belajar (Discrete) Fourier dengan betul sejak awal & # 8230

Juga, LaPlace diperlukan untuk analisis / kerosakan litar (seperti reka bentuk penapis).

Berasal dari latar belakang fizik, hanya Fourier yang diliputi dalam kurikulum (dan di mana-mana bidang fizik). Laplace tidak pernah mendapat sebutan. Saya telah menggunakan penggunaan transformasi Laplace dengan perlahan sejak memasuki elektronik, dan ini adalah persembahan yang cukup baik untuk latar belakang seperti saya.

Menarik. Saya selalu menganggap Laplace Transform diliputi dalam setiap latar belakang yang menyentuh persamaan pembezaan, saya rasa kerana pertama kali diperkenalkan kepada mereka dalam kelas DE sebelum benar-benar menggunakannya dalam teori kawalan,

Yeah, saya merasa agak kekurangan dengan itu. Versi kursus persamaan pembezaan kami sejauh siri Fourier. Bukan juga perubahan frekuensi berterusan, hanya sejumlah sinusoid. Semua transformasi Fourier yang sebenarnya & yang lain, menyambung ke ruang vektor, menyamaratakan bahawa dengan pengembangan fungsi ortogonal yang lain & # 8212 kebanyakannya dibiarkan secara implisit dari fizik, di mana para profesor dan penulis buku teks menganggap bahawa kelas matematik telah mengajar anda matematik ini.

Ini mungkin ada kaitan dengan sikap umum jabatan matematik bahawa sesiapa sahaja yang tidak jurusan matematik adalah orang bodoh yang tidak dapat diajar apa-apa, jadi semua kursus matematik untuk bukan jurusan sangat dibodohkan.

Saya pernah menerangkannya seperti ini:

Oleh itu, anda mempunyai masalah matematik yang sangat rumit ini, dan anda tidak tahu bagaimana menyelesaikannya. Anda telah menggaru kepala hingga ke tulang dan ia sangat menyakitkan.
Kemudian anda dapati anda mempunyai jiran yang merupakan ketua matematik terbesar di bandar.
Masalahnya, dia hanya boleh berbahasa Yunani.

Jadi sekarang, anda hanya perlu menterjemahkan masalah matematik anda ke dalam bahasa Yunani, kemudian dia menyelesaikan masalah anda dengan cepat dan mudah, dan anda (pilihan) menerjemahkan jawapannya dari bahasa Yunani.

Oleh itu, topi saya & # 8217s untuk Pierre-Simon Laplace (1749 & # 8211 1827) yang mungkin mencipta ini sebelum Charles Babbage (1791 & # 8211 1871) bermain dengan roda gigi.

Jadi, LAPLACE lebih baik daripada FOURIER, namun kedua-duanya berbulu.

LA PLACE berasal dari Perancis, bukan dari L.A.
FOURIER juga berasal dari Perancis (tidak boleh dikelirukan dengan FURRIES: berbulu, tetapi tidak dari Perancis).

Fourier adalah mengenai penyelesaian keadaan tetap untuk persamaan perbezaan.
Laplace adalah mengenai penemuan penuh melalui keadaan awal sistem untuk dikeluarkan setelah beberapa waktu. (diberikan kond dan rangsangan awal)

Itulah yang saya fikir adalah perbezaannya. Apa pendapat anda?

FT adalah subset kecil LT, yang cukup mengejutkan bagi jenis fizik yang telah menggunakan FT selama bertahun-tahun. LT memerlukan banyak perhatian. Zach Star mempunyai video yang bagus. IIRC dia menunjukkan bagaimana FT adalah potongan LT https://www.youtube.com/watch?v=n2y7n6jw5d0

Terdapat dua perbezaan.
Salah satunya ialah had integrasi adalah 0 hingga tak terhingga (& # 8220one & # 8221) untuk LT dan -infinity hingga + infinity (& # 8220 dua sisi & # 8221) untuk FT.
Yang lain ialah pemboleh ubah & # 8216s & # 8217 kompleks di LT, sedangkan frekuensi & # 8216j omega & # 8217 FT bersamaan dengan paksi Y di satah-s.

BTW, ada seperti transformasi Laplace dua sisi. Saya tidak pernah menggunakannya.

Terdapat TIGA video secara berurutan oleh Steve Brunton di Laplace Transform. Top-down mengikut tarikh, tertua pertama:

Saya harus katakan: Saya & # 8217m cukup terkesan dengan tulisan terbalik.

Ya, Da Vinci juga boleh menulis ke belakang!

Saya tertanya-tanya apakah profesor ini memutuskan sejak dulu, bahawa terlalu banyak maklumat hilang di dalam kelas oleh pengajar yang menyekat sebahagian besar apa yang mereka tulis di papan [kapur putih] dengan badan mereka.

Dia hanya melentikkan videonya secara mendatar, sambil terus menulis ke hadapan

& # 8220 & # 8230 Transformasi Laplace kurang dikenali, walaupun merupakan generalisasi transformasi Fourier & # 8230 & # 8221

Transformasi Laplace tidak lagi berkaitan dengan Transformasi Fourier daripada Transformasi Fourier berkaitan dengan transformasi & # 8216logaritma & # 8217 & # 8211 atau, untuk itu, kerana & # 8220 bug kilat & # 8221 berkaitan dengan & # 8220lightning & # 8221.

Anda sangat memerlukan Editor Teknikal yang baik, Hackaday.

ada penjelasan di sini mengenai hubungan antara keduanya. Ini menyebutkan ada hubungan dalam keadaan tertentu.

Jadikan bahagian eksponen nyata dalam kamiran 0 dan Laplace menjadi empat.


Transformasi Laplace dari fungsi tanjakan (fungsi berterusan)

(3)

Untuk menyelesaikannya, kita perlu menggunakan kaedah penyatuan mengikut peraturan. Terdapat kaedah mudah untuk mendapatkan integrasi dengan peraturan bahagian. Yaitu, biarkan dan menjadi dua fungsi, kemudian dengan membezakan kedua fungsi ini, kita memperoleh

(4)

Dari persamaan terakhir, kita memperoleh

(5)


Oleh itu, marilah kita menerapkan penyatuan dengan bahagian ke persamaan (3). Dengan melakukan penggantian berikut

(6)

(7)

Mari kita menilai penggal pertama

(8)

Istilah pertama sama dengan sifar sejak fungsi tumbuh lebih cepat daripada fungsinya . Sebagai alternatif, anda boleh memperoleh hasil ini dengan menggunakan peraturan L & # 8217Hôpital & # 8217. Istilah kedua sama dengan sifar.
Dengan mengira istilah kedua dalam persamaan (7), kita memperoleh

(9)


Blog Symbolab

Dalam catatan sebelumnya, kita membincangkan empat jenis ODE - susunan pertama linear, boleh dipisahkan, Bernoulli, dan tepat. Dalam catatan hari ini & # 8217, kita akan mengetahui mengenai Laplace Transforms, cara mengira perubahan Laplace dan transformasi Laplace terbalik. Saya akan mengakui bahawa saya takut dengan perubahan Laplace sebelum saya mempelajarinya. Simbol baru dan kekacauan masalah benar-benar menakutkan saya. Namun, setelah saya mengetahui apa itu perubahan Laplace dan bagaimana melakukan masalah seperti ini, saya mula menyedari bahawa ia tidak begitu menakutkan. Dengan bantuan jadual dan beberapa formula, sesiapa sahaja boleh melakukan perubahan Laplace.

Apakah Transformasi Laplace?

Transformasi Laplace boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan pembezaan. Mereka mengubah persamaan pembezaan menjadi masalah algebra.

Definisi:
Katakan f (t) adalah fungsi berterusan sepotong, fungsi yang terdiri daripada sebilangan kepingan berterusan. Transformasi Laplace dari f (t) dilambangkan L dan ditakrifkan sebagai:

Sekiranya anda melihat L kiri = int _ <- infty> ^ < infty> e ^ <-st> f (t) dt, maka anda boleh menganggap bahawa untuk t lt0, quad f (t) = 0, dan kemudian anda boleh menggunakan definisi asal Transformasi Laplace.


Sekarang, kita akan mengetahui cara mengira transformasi Laplace:

Transformasi Laplace dapat dihitung menggunakan jadual dan sifat linearitas, & # 8220Diberikan f (t) dan g (t) kemudian, L kiri = aF (s) + bG (s). & # 8221 Pernyataan itu bermaksud bahawa setelah anda melakukan perubahan fungsi individu, maka anda boleh menambahkan kembali sebarang pemalar dan menambah atau mengurangkan hasilnya.

Lihat jadual dan lihat fungsi apa yang boleh anda ubah. Manipulasi algebra mungkin diperlukan. Jadual akan menjadi penyelamat anda ketika menghadapi masalah ini.

Cukup sederhana! Mari & # 8217 lihat contoh (klik di sini):

Masalah ini sangat mudah. Ia memerlukan melihat fungsi yang berbeza, mencari transformasi yang sesuai dalam jadual, dan kemudian menambahkan pemalar dan menambah dan mengurangkan hasilnya bersama-sama.


Mari & # 8217 memasuki transformasi Laplace terbalik!

Apakah transformasi Laplace terbalik?

Transformasi Laplace terbalik adalah ketika kita diberi transformasi, F, dan bertanya fungsi apa yang kita mulakan.
Definisi:

Cara mengira transformasi Laplace terbalik:

Sama seperti transformasi Laplace mempunyai sifat linearitas, begitu juga transformasi Laplace terbalik. & # 8220Mengingat dua transformasi Laplace F (s) dan G (s), kemudian L ^ <-1> kiri = aL ^ <-1> kiri + bL ^ <-1> kiri .”

Semasa mencuba transformasi Laplace terbalik, penting untuk melihat penyebutnya terlebih dahulu dan kemudian cuba mengenal pasti transformasi berdasarkannya. Sekiranya anda tidak dapat mengetahuinya hanya berdasarkan melihat penyebutnya, lihat pembilangnya. Kadang-kadang anda mungkin harus memanipulasi pembilang untuk masuk ke dalam bentuk yang betul yang diperlukan.


Dengan melihat jadual, kita dapat melihat bahawa penyebutnya hampir sama dengan penyebut bagi transformasi untuk sqrt . Dengan beberapa manipulasi algebra ke pengangka, kita dapat mengetahui transformasi Laplace terbalik.


Lihat, Laplace menjelma tidak begitu sukar. Mereka boleh menjadi agak tidak kemas dan memerlukan masa yang lama untuk diselesaikan setelah pertama, tetapi dengan lebih banyak latihan, semakin baik anda dapat. Pastikan anda mempunyai jadual yang berguna!


Tonton videonya: Video 7 Transformasi Laplace 1 (Ogos 2022).