Artikel

1.E: Fungsi dan Grafik (Latihan)


1.1: Kajian Fungsi

Untuk latihan berikut, (a) tentukan domain dan julat setiap hubungan, dan (b) nyatakan sama ada hubungan itu adalah fungsi.

Senaman:

1)

(x ) (y) (x ) (y )
-3911
-2424
-1139
00

Penyelesaian: a. Domain = { (- 3, −2, −1,0,1,2,3 )}, julat = { (0,1,4,9 )}

b. Ya, fungsi

2)

(x ) (y ) (x ) (y )
-3-211
-2-828
-1-13-2
00

3)

(x ) (y ) (x ) (y )
1-311
2-222
3-133
00

Penyelesaian: a. Domain = { (0,1,2,3 )}, julat = { (- 3, −2, −1,0,1,2,3 )}

b. Tidak, bukan fungsi

4)

(x ) (y ) (x ) (y )
1151
2161
3171
41

5)

(x ) (y ) (x ) (y )
33151
52212
81333
100

Penyelesaian: a. Domain = { (3,5,8,10,15,21,33 )}, julat = { (0,1,2,3 )}

b. Ya, fungsi

6)

(x ) (y ) (x ) (y )
-7111-2
-2534
-21611
0-1

Senaman:

Untuk latihan berikut, cari nilai untuk setiap fungsi, jika ada, maka permudahkan.

a. (f (0) ) b. (f (1) ) c. (f (3) ) d. (f (−x) ) e. (f (a) ) f. (f (a + h) )

1) (f (x) = 5x − 2 )

Penyelesaian: a. (- 2 ) b. (3 ) c. (13 ) d. (- 5x − 2 ) e. (5a − 2 ) f. (5a + 5h − 2 )

2) (f (x) = 4x ^ 2−3x + 1 )

3) (f (x) = frac {2} {x} )

Penyelesaian: a. Tidak ditentukan b. (2 ) c. (23 ) d. (- frac {2} {x} ) e ( frac {2} {a} ) f. ( frac {2} {a + h} )

4) (f (x) = | x − 7 | +8 )

5) (f (x) = sqrt {6x + 5} )

Penyelesaian: a. ( sqrt {5} ) b. ( sqrt {11} ) c. ( sqrt {23} ) d. ( sqrt {−6x + 5} ) e. ( sqrt {6a + 5} ) f. ( sqrt {6a + 6j + 5} )

6) (f (x) = frac {x − 2} {3x + 7} )

7) (f (x) = 9 )

Penyelesaian: a. 9 b. 9 c. 9 d. 9 e. 9 f. 9

Untuk latihan berikut, cari domain, julat, dan semua sifar / pintasan, jika ada, fungsi.

1) (f (x) = frac {x} {x ^ 2−16} )

2) (g (x) = sqrt {8x − 1} )

Penyelesaian: (x≥ frac {1} {8}; y≥0; x = frac {1} {8} ); tiada pintasan-y

3) (h (x) = frac {3} {x ^ 2 + 4} )

4) (f (x) = - 1+ sqrt {x + 2} )

Penyelesaian: (x≥ − 2; y≥ − 1; x = −1; y = −1 + sqrt {2} )

5) (f (x) = 1x− sqrt {9} )

6) (g (x) = frac {3} {x − 4} )

Penyelesaian: (x ≠ 4; y ≠ 0 ); tiada pintasan-x; (y = - frac {3} {4} )

7) (f (x) = 4 | x + 5 | )

8) (g (x) = sqrt { frac {7} {x − 5}} )

Penyelesaian: (x> 5; y> 0 ); tiada pintasan

Untuk latihan berikut, sediakan jadual untuk membuat lakaran grafik setiap fungsi menggunakan nilai berikut: (x = −3, −2, −1,0,1,2,3. )

1) (f (x) = x ^ 2 + 1 )

(x ) (y ) (x ) (y )
-31012
-2525
-12310
01

2) (f (x) = 3x − 6 )

(x ) (y ) (x ) (y )
-3-151-3
-2-1220
-1-933
0-6

Penyelesaian:

3) (f (x) = frac {1} {2} x + 1 )

(x ) (y ) (x ) (y )
-3 (- frac {1} {2} )1 ( frac {3} {2} )
-2022
-1 ( frac {1} {2} )3 ( frac {5} {2} )
01

4) (f (x) = 2 | x | )

(x ) (y ) (x ) (y )
-3612
-2424
-1236
00

Penyelesaian:

5) (f (x) = - x ^ 2 )

(x ) (y ) (x ) (y )
-3-91-1
-2-42-4
-1-13-9
00

6) (f (x) = x ^ 3 )

(x ) (y ) (x ) (y )
-3-2711
-2-828
-1-1327
00

Penyelesaian:

Senaman:

Untuk latihan berikut, gunakan ujian garis menegak untuk menentukan sama ada setiap graf yang diberikan mewakili fungsi. Anggapkan bahawa graf berterusan di kedua-dua hujungnya jika melampaui grid yang diberikan. Sekiranya grafik mewakili fungsi, tentukan yang berikut untuk setiap grafik:

Domain dan julat

(x ) -pintas, jika ada (anggaran jika perlu)

(y ) - Pintas, jika ada (anggaran jika perlu)

Selang yang mana fungsinya meningkat

Selang yang mana fungsi ini semakin berkurang

Selang yang fungsinya tetap

Simetri mengenai sumbu dan / atau asal usul

Sama ada fungsinya sama rata, ganjil, atau tidak

1)

2)

Penyelesaian: Fungsi; a. Domain: semua nombor nyata, julat: (y≥0 ) b. (x = ± 1 ) c. (y = 1 ) d. (- 1

3)

4)

Penyelesaian: Fungsi; a. Domain: semua nombor nyata, julat: (- 1.5≤y≤1.5 ) b. (x = 0 ) c. (y = 0 ) d. semua nombor nyata e. Tiada f. Asal h. Aneh

5)

6)

Penyelesaian: Fungsi; a. Domain: (- ∞

7)

8)

Penyelesaian: Fungsi; a. Domain: (- 4≤x≤4 ), julat: (- 4≤y≤4 ) b. (x = 1 ). 2 c. (y = 4 ) d. Tidak meningkat e. (0

Senaman:

Untuk latihan berikut, untuk setiap pasangan fungsi, cari a. (f + g ) b. (f − g ) c. (f⋅g ) d. (f / g ). Tentukan domain setiap fungsi baru ini.

1) (f (x) = 3x + 4, g (x) = x − 2 )

2) (f (x) = x − 8, g (x) = 5x ^ 2 )

Penyelesaian: a. (5x ^ 2 + x − 8 ); semua nombor nyata b. (- 5x ^ 2 + x − 8 ); semua nombor nyata c. (5x ^ 3−40x ^ 2 ); semua nombor nyata d. ( frac {x − 8} {5x ^ 2} ); (x ≠ 0 )

3) (f (x) = 3x ^ 2 + 4x + 1, g (x) = x + 1 )

4) (f (x) = 9 − x ^ 2, g (x) = x ^ 2−2x − 3 )

Penyelesaian: a. (- 2x + 6 ); semua nombor nyata b. (- 2x ^ 2 + 2x + 12 ); semua nombor nyata c. (- x ^ 4 + 2x ^ 3 + 12x ^ 2−18x − 27 ); semua nombor nyata d. (- frac {x + 3} {x + 1}; x ≠ −1,3 )

5) (f (x) = sqrt {x}, g (x) = x − 2 )

6) (f (x) = 6 + frac {1} {x}, g (x) = frac {1} {x} )

Penyelesaian: (a. 6+ frac {2} {x}; x ≠ 0 b. 6; x ≠ 0 c. 6x + frac {1} {x ^ 2}; x ≠ 0 d. 6x + 1; x ≠ 0 )

Senaman:

Untuk latihan berikut, untuk setiap pasangan fungsi, cari a. ((f∘g) (x) ) dan b. ((g∘f) (x) ) Permudahkan hasilnya. Cari domain setiap hasilnya.

1) (f (x) = 3x, g (x) = x + 5 )

2) (f (x) = x + 4, g (x) = 4x − 1 )

Penyelesaian: a. (4x + 3 ); semua nombor nyata b. (4x + 15 ); semua nombor nyata

3) (f (x) = 2x + 4, g (x) = x ^ 2−2 )

4) (f (x) = x ^ 2 + 7, g (x) = x ^ 2−3 )

Penyelesaian: a. (x ^ 4−6x ^ 2 + 16 ); semua nombor nyata b. (x ^ 4 + 14x ^ 2 + 46 ); semua nombor nyata

5) (f (x) = sqrt {x}, g (x) = x + 9 )

6) (f (x) = frac {3} {2x + 1}, g (x) = frac {2} {x} )

Penyelesaian: a. ( frac {3x} {4 + x}; x ≠ 0, −4 ) b. ( frac {4x + 2} {3}; x ≠ −12 )

7) (f (x) = | x + 1 |, g (x) = x ^ 2 + x − 4 )

8) Jadual di bawah menyenaraikan pemenang kejuaraan NBA untuk tahun 2001 hingga 2012.

TahunPemenang
2001LA Lakers
2002LA Lakers
2003Sam Antonio Spurs
2004Detroit Pistons
2005Sam Antonio Spurs
2006Miami Panas
2007Sam Antonio Spurs
2008Boston Celtics
2009LA Lakers
2010LA Lakers
2011Dallas Mavericks
2012Miami Panas
  1. Pertimbangkan hubungan di mana nilai domain adalah tahun 2001 hingga 2012 dan julatnya adalah pemenang yang sesuai. Adakah hubungan ini berfungsi? Terangkan mengapa atau mengapa tidak.
  2. Pertimbangkan hubungan di mana nilai domain adalah pemenang dan julatnya adalah tahun yang sesuai. Adakah hubungan ini berfungsi? Terangkan mengapa atau mengapa tidak.

Penyelesaian: a. Ya, kerana hanya ada satu pemenang untuk setiap tahun.

b. Tidak, kerana ada tiga pasukan yang menang lebih dari sekali selama tahun 2001 hingga 2012.

9) [T] Luas (A ) persegi bergantung pada panjang sisi s.

1. Tulis fungsi (A (s) ) untuk luas petak.

2. Cari dan tafsirkan (A (6.5) ).

3. Cari tepat dan dua digit penting bagi panjang sisi segi empat sama dengan luas 56 unit persegi.

10) [T] Isi padu kubus bergantung pada panjang sisi.

Tulis fungsi (V (s) ) untuk luas petak.

Cari dan tafsirkan (V (11.8) ).

Penyelesaian: a. (V (s) = s ^ 3 ) b. (V (11.8) ≈1643 ); sebuah kubus dengan panjang sisi 11.8 masing-masing mempunyai isipadu kira-kira 1643 unit padu.

11) [T] Sebuah syarikat kereta sewa menyewa kereta dengan bayaran tetap $ 20 dan bayaran setiap jam sebanyak $ 10.25. Oleh itu, jumlah kos C untuk menyewa kereta adalah fungsi dari jam (t ) kereta disewa ditambah dengan bayaran tetap.

  1. Tulis formula untuk fungsi yang memodelkan keadaan ini.
  2. Cari jumlah kos untuk menyewa kereta selama 2 hari 7 jam.
  3. Tentukan berapa lama kereta itu disewa jika bilnya adalah $ 432.73.

12) [T] Sebuah kenderaan mempunyai tangki 20 gal dan mendapat 15 mpg. Jumlah batu N yang boleh didorong bergantung pada jumlah gas x di dalam tangki.

1. Tulis formula yang memodelkan keadaan ini.

2. Tentukan bilangan batu yang boleh dilalui kenderaan pada (i) tangki gas penuh dan (ii) 3/4 tangki gas.

3. Tentukan domain dan julat fungsi.

4. Tentukan berapa kali pemandu terpaksa berhenti untuk mendapatkan petrol sekiranya dia telah memandu sejauh 578 batu.

Penyelesaian:

a. (N (x) = 15x ) b. i. (N (20) = 15 (20) = 300 ); oleh itu, kenderaan boleh menempuh jarak 300 mil dengan tangki penuh gas. Ii. (N (15) = 225 ); oleh itu, kenderaan boleh menempuh jarak 225 mi pada tangki gas sebanyak 3/4. c. Domain: (0≤x≤20 ); julat: [ (0,300 )] d. Pemandu terpaksa berhenti sekurang-kurangnya sekali, memandangkan memerlukan kira-kira 39 gal gas untuk memandu sejauh 578 mi.

13) [T] Isipadu V sfera bergantung pada panjang jejarinya sebagai (V = (4/3) πr3 ). Oleh kerana Bumi bukan sfera yang sempurna, kita dapat menggunakan radius rata-rata ketika mengukur dari pusat ke permukaannya. Radius min adalah jarak rata-rata dari pusat fizikal ke permukaan, berdasarkan sebilangan besar sampel. Cari isipadu Bumi dengan jejari min (6.371 × 106 ) m.

14) [T] Bakteria tertentu tumbuh dalam kultur di kawasan bulat. Jejari bulatan, diukur dalam sentimeter, diberikan oleh (r (t) = 6 - ) [ (5 / (t2 + 1) )], di mana t adalah waktu yang diukur dalam beberapa jam sejak lingkaran Jejari bakteria 1 cm dimasukkan ke dalam kultur.

1. Ungkapkan kawasan bakteria mengikut fungsi masa.

2. Cari kawasan tepat kultur bakteria dalam 3 jam.

3.Menyatakan lilitan bakteria mengikut fungsi masa.

4. Cari lilitan bakteria yang tepat dan hampir dalam 3 jam.

Penyelesaian: a. (A (t) = A (r (t)) = π⋅ (6− frac {5} {t ^ 2 + 1}) ^ 2 ) b. Tepat: ( frac {121π} {4} ); lebih kurang 95 cm2 c. (C (t) = C (r (t)) = 2π (6− frac {5} {t ^ 2 + 1}) ) d. Tepat: (11π ); lebih kurang 35 cm

15) [T] Seorang pelancong Amerika mengunjungi Paris dan mesti menukar dolar AS ke Euro, yang boleh dilakukan menggunakan fungsi (E (x) = 0,79x ), di mana x adalah bilangan dolar AS dan (E ( x) ) adalah jumlah yang setara dengan Euro. Oleh kerana kadar penukaran berubah-ubah, ketika pelancong kembali ke Amerika Syarikat 2 minggu kemudian, penukaran dari Euro ke dolar AS adalah (D (x) = 1.245x ), di mana x adalah bilangan Euro dan (D (x ) ) adalah jumlah setara dengan dolar AS.

1. Cari fungsi komposit yang menukar terus dari dolar A.S. ke dolar A.S. melalui Euro. Adakah pelancong ini kehilangan nilai dalam proses penukaran?

2.Gunakan (a) untuk menentukan berapa dolar AS yang akan dikembalikan oleh pelancong pada akhir perjalanannya jika dia menukar $ 200 tambahan ketika dia tiba di Paris.

16) [T] Pengurus di sebuah kedai papan selaju membayar pekerjanya gaji bulanan S $ 750 ditambah komisen $ 8.50 untuk setiap papan selaju yang mereka jual.

1. Tulis fungsi (y = S (x) ) yang memodelkan gaji bulanan pekerja berdasarkan bilangan papan selaju x yang dia jual.

2. Cari anggaran gaji bulanan apabila pekerja menjual papan selaju 25, 40, atau 55.

3. Gunakan ciri INTERSECT pada kalkulator grafik untuk menentukan bilangan papan selaju yang mesti dijual untuk pekerja untuk memperoleh pendapatan bulanan $ 1400. (Petunjuk: Cari persimpangan fungsi dan garis (y = 1400 ).)

Penyelesaian: a. (S (x) = 8.5x + 750 ) b. $ 962.50, $ 1090, $ 1217.50 c. 77 papan selaju

17) [T] Gunakan kalkulator grafik untuk membuat graf separuh bulatan (y = sqrt {25− (x − 4) ^ 2} ). Kemudian, gunakan ciri INTERCEPT untuk mencari nilai pintasan (x ) - dan (y ).

1.2: Kelas Fungsi Asas

Untuk latihan berikut, untuk setiap pasangan mata, a. cari cerun garisan yang melewati titik dan b. nyatakan sama ada garis bertambah, menurun, mendatar, atau menegak.

1) ((- 2,4) ) dan ((1,1) )

Penyelesaian: a. −1 b. Menurun

2) ((- 1,4) ) dan ((3, -1) )

3 ((3,5) ) dan ((- 1,2) )

Penyelesaian: a. 3/4 b. Meningkat

4) ((6,4) ) dan ((4, -3) )

5) ((2,3) ) dan ((5,7) )

Penyelesaian: a. 4/3 b. Menurun

6) ((1,9) ) dan ((- 8,5) )

7) ((2,4) ) dan ((1,4) )

Penyelesaian: a. 0 b. Melintang

8) ((1,4) ) dan ((1,0) )

Untuk latihan berikut, tulis persamaan garis yang memenuhi syarat yang diberikan dalam bentuk cerun-pintasan.

1) Cerun = (- 6 ), melewati ((1,3) )

Penyelesaian: (y = −6x + 9 )

2) Cerun = (3 ), melewati ((- 3,2) )

3) Cerun = ( frac {1} {3} ), melewati ((0,4) )

Penyelesaian: (y = frac {1} {3} x + 4 )

4) Cerun = ( frac {2} {5} ), (x ) - pintasan = (8 )

5) Melewati ((2,1 ) dan ((- 2, −1) )

Penyelesaian: (y = frac {1} {2} x )

6) Melewati ((- 3,7) ) dan ((1,2) )

7) (x ) - pintasan = (5 ) dan (y ) - pintasan = (- 3 )

Penyelesaian: (y = frac {3} {5} x − 3 )

8) (x ) - Pintas = - (6 ) dan (y ) - pintasan = (9 )

Untuk latihan berikut, untuk setiap persamaan linear, a. berikan cerun (m ) dan (y ) - pintasan b, jika ada, dan b. graf garis.

1) (y = 2x − 3 )

Penyelesaian: a. ((m = 2, b = −3) )

b.

2) (y = - frac {1} {7} x + 1 )

3) (f (x) = - 6x )

a. ((m = −6, b = 0) )

b.

4) (f (x) = - 5x + 4 )

5) (4y + 24 = 0 )

Penyelesaian: a. ((m = 0, b = −6) )

b.

6) (8x-4 = 0 )

7) (2x + 3y = 6 )

Penyelesaian: a. ((m = - frac {2} {3}, b = 2) )

b.

8) (6x − 5y + 15 = 0 )

Untuk latihan berikut, untuk setiap polinomial, a. cari ijazah; b. cari sifar, jika ada; c. cari (y ) - pintasan, jika ada; d. gunakan pekali utama untuk menentukan tingkah laku akhir grafik; dan e. tentukan secara algebra sama ada polinomial itu sama rata, ganjil atau tidak.

1) (f (x) = 2x ^ 2−3x − 5 )

Penyelesaian: a. 2 b. ( frac {5} {2} ), - 1; c. −5 d. Kedua-dua hujungnya naik e. Tidak

2) (f (x) = - 3x ^ 2 + 6x )

3) (f (x) = frac {1} {2} x ^ 2−1 )

Penyelesaian: a. ± ( sqrt {2} ) c. −1 d. Walaupun

4) (f (x) = x ^ 3 + 3x ^ 2 − x − 3 )

5) (f (x) = 3x − x ^ 3 )

Penyelesaian: a. 3 b. 0, ± ( sqrt {3} ) c. 0 d. Hujung kiri naik, hujung kanan jatuh e. Aneh

Untuk latihan berikut, gunakan grafik (f (x) = x ^ 2 ) untuk membuat grafik setiap fungsi yang diubah (g ).

Senaman:

1) (g (x) = x ^ 2−1 )

2) (g (x) = (x + 3) ^ 2 + 1 )

Penyelesaian:

Untuk latihan berikut, gunakan grafik (f (x) = sqrt {x} ) untuk membuat grafik setiap fungsi yang diubah (g ).

1) (g (x) = sqrt {x + 2} )

2) (g (x) = - sqrt {x} −1 )

Untuk latihan berikut, gunakan grafik (y = f (x) ) untuk membuat grafik setiap fungsi yang diubah (g ).

1) (g (x) = f (x) +1 )

2) (g (x) = f (x − 1) +2 )

Penyelesaian:

Untuk latihan berikut, untuk setiap fungsi yang ditentukan mengikut kepingan, a. menilai pada nilai yang diberikan bagi pemboleh ubah bebas dan b. lakarkan graf.

1) (f (x) = begin {case} 4x + 3, & x≤0 -x + 1, & x> 0 end {case}; f (−3); f (0); f (2) )

2) (f (x) = begin {case} x ^ 2-3, & x≤0 4x + 3, & x> 0 end {case}; f (−4); f (0) ; f (2) )

Penyelesaian: a. (13, −3,5 )

b.

3) (h (x) = bermula {kes} x + 1, & x≤5 4, & x> 5 akhir {kes}; h (0); h (π); h (5) )

4) (g (x) = begin {case} frac {3} {x − 2}, & x ≠ 2 4, & x = 2 end {case}; g (0); g (−4 ); g (2) )

Penyelesaian: a. ( frac {−3} {2}, frac {−1} {2}, 4 )

b.

Untuk latihan berikut, tentukan sama ada penyataannya betul atau salah. Terangkan mengapa.

1) (f (x) = (4x + 1) / (7x − 2) ) adalah fungsi transendental.

2) (g (x) = sqrt [3] {x} ) adalah fungsi akar ganjil

Penyelesaian: Betul; (n = 3 )

3) Fungsi logaritma adalah fungsi algebra.

4) Fungsi bentuk (f (x) = x ^ b ), di mana (b ) adalah pemalar bernilai nyata, adalah fungsi eksponensial.

Penyelesaian: Salah; (f (x) = x ^ b ), di mana (b ) adalah pemalar bernilai nyata, adalah fungsi daya

5) Domain fungsi root genap adalah semua nombor nyata.

6) [T] Sebuah syarikat membeli sebilangan peralatan komputer dengan harga $ 20,500.Pada akhir tempoh 3 tahun, nilai peralatan telah menurun secara linear kepada $ 12,300.

1. Cari fungsi (y = V (t) ) yang menentukan nilai V peralatan pada akhir t tahun.

2. Cari dan tafsirkan maksud pintasan (x ) - dan (y ) untuk keadaan ini.

3. Berapakah nilai peralatan pada akhir 5 tahun?

4. Bilakah nilai peralatan akan menjadi $ 3000?

Penyelesaian: a. (V (t) = - 2733t + 20500 ) b. ((0,20,500) ) bermaksud bahawa harga pembelian awal peralatan adalah $ 20,500; ((7.5,0) ) bermaksud bahawa dalam 7.5 tahun peralatan komputer tidak mempunyai nilai. $ 6835 d. Dalam jangka masa lebih kurang 6.4 tahun

7) [T] Jumlah belanja dalam talian semasa cuti Krismas telah meningkat secara mendadak selama 5 tahun yang lalu. Pada tahun 2012 ((t = 0) ), jumlah penjualan percutian dalam talian adalah $ 42.3 bilion, sedangkan pada tahun 2013 adalah $ 48.1 bilion.

1. Cari fungsi linear S yang menganggarkan jumlah penjualan percutian dalam talian pada tahun t.

2. Mentafsir cerun graf S.

3. Gunakan bahagian a. untuk meramalkan tahun ketika belanja dalam talian semasa Krismas akan mencapai $ 60 bilion.

8) [T] Kedai roti keluarga membuat kek cawan dan menjualnya di festival luar tempatan. Untuk festival muzik, terdapat kos tetap $ 125 untuk membuat cupcake stand. Pemiliknya menganggarkan berharga $ 0.75 untuk membuat setiap kek cawan. Pemiliknya berminat untuk menentukan jumlah kos (C ) sebagai fungsi dari jumlah kek cawan yang dibuat.

1. Cari fungsi linear yang menghubungkan kos C hingga x, bilangan kek cawan yang dibuat.

2. Cari kos untuk membakar 160 kek cawan.

3. Sekiranya pemilik menjual kek cawan seharga $ 1,50, berapakah jumlah kek cawan yang perlu dia jual untuk mula menjana keuntungan? (Petunjuk: Gunakan fungsi INTERSECTION pada kalkulator untuk mencari nombor ini.)

Penyelesaian: a. (C = 0.75x + 125 ) b. $ 245 c. 167 kek cawan

9) [T] Sebuah rumah yang dibeli dengan harga $ 250,000 dijangka bernilai dua kali ganda dari harga beliannya dalam 18 tahun.

1. Cari fungsi linear yang memodelkan harga P rumah berbanding jumlah tahun t sejak pembelian asal.

2. Mentafsir cerun graf P.

3. Cari harga rumah 15 tahun sejak ia mula dibeli.

10) [T] Sebuah kereta dibeli dengan harga $ 26,000. Nilai kereta menyusut sebanyak $ 1500 setiap tahun.

1. Cari fungsi linear yang memodelkan nilai V kereta selepas t tahun.

2. Cari dan tafsirkan (V (4) ).

Penyelesaian: a. (V (t) = - 1500t + 26,000 ) b. Dalam 4 tahun, nilai kereta adalah $ 20,000.

11) [T] Sebuah kondominium di bahagian bandar mewah dibeli dengan harga $ 432,000. Dalam 35 tahun ia bernilai $ 60,500. Cari kadar susut nilai.

12) [T] Jumlah kos C (dalam ribuan dolar) untuk menghasilkan item tertentu dimodelkan oleh fungsi (C (x) = 10.50x + 28.500 ), di mana x adalah bilangan item yang dihasilkan. Tentukan kos untuk menghasilkan 175 item.

Penyelesaian: $ 30,337.50

13) [T] Seorang profesor meminta kelasnya melaporkan jumlah masa yang mereka habiskan untuk menulis dua tugasan. Sebilangan besar pelajar melaporkan bahawa mereka memerlukan masa sekitar 45 minit untuk menaip tugasan empat halaman dan kira-kira 1.5 jam untuk menaip tugasan sembilan halaman.

1. Cari fungsi linear (y = N (t) ) yang memodelkan keadaan ini, di mana (N ) adalah bilangan halaman yang ditaip dan t adalah masa dalam beberapa minit.

2. untuk menentukan berapa banyak halaman yang dapat ditaip dalam 2 jam.

3. untuk menentukan berapa lama masa yang diperlukan untuk menaip tugasan 20 halaman.

14) [T] Keluaran (sebagai peratus daripada jumlah kapasiti) loji tenaga nuklear di Amerika Syarikat dapat dimodelkan dengan fungsi (P (t) = 1.8576t + 68.052 ), di mana t adalah masa dalam tahun dan (t = 0 ) sesuai dengan awal tahun 2000. Gunakan model untuk meramalkan peratusan output pada tahun 2015.

Penyelesaian: 96% daripada jumlah kapasiti

15) [T] Pejabat kemasukan di universiti awam menganggarkan bahawa 65% pelajar yang ditawarkan kemasukan ke kelas 2019 sebenarnya akan mendaftar.

1. Cari fungsi linear (y = N (x) ), di mana (N ) adalah bilangan pelajar yang benar-benar mendaftar dan (x ) adalah jumlah semua pelajar yang ditawarkan kemasukan ke kelas 2019 .

2. Sekiranya universiti mahukan saiz kelas pelajar tahun 2019 menjadi 1350, tentukan berapa banyak pelajar yang harus diterima masuk.

1.3: Fungsi Trigonometri

Untuk latihan berikut, ubah setiap sudut dalam darjah menjadi radian. Tulis jawapan sebagai gandaan (π ).

1) (240°)

Penyelesaian: ( frac {4π} {3} rad )

2) (15°)

3) (60°)

Penyelesaian: ( frac {-π} {3} rad )

4) (-225°)

5) (330°)

Penyelesaian: ( frac {11π} {6} rad )

Untuk latihan berikut, ubah setiap sudut dalam radian ke darjah.

1) ( frac {π} {2} rad )

2) ( frac {7π} {6} rad )

Penyelesaian: (210 ° )

3) ( frac {11π} {2} rad )

4) (- 3π rad )

Penyelesaian: (- 540 ° )

5) ( frac {5π} {12} rad )

Nilaikan nilai fungsi berikut.

1) (cos ( frac {4π} {3} ))

Penyelesaian: -0.5

2) (tan ( frac {19π} {4} ))

3) (sin (- frac {3π} {4} ))

Penyelesaian: (- frac {sqrt {2}} {2} )

4) (saat (- frac {π} {6} ))

5) (sin (- frac {π} {12} ))

Penyelesaian: ( frac { sqrt {3} -1} {2 sqrt {2}} )

6) (cos (- frac {5π} {12} ))

Untuk latihan berikut, pertimbangkan segitiga ABC, segitiga tepat dengan sudut tepat pada C. a. Cari sisi segitiga yang hilang. b. Cari enam nilai fungsi trigonometri untuk sudut pada A. Sekiranya perlu, bulat ke satu tempat perpuluhan.

225 ° = 225 ° ⋅π180 ° = 5π4

1) (a = 4, c = 7) )

Penyelesaian: (a. B = 5.7 b. SinA = frac {4} {7}, cosA = frac {5.7} {7}, tanA = frac {4} {5.7}, cscA = frac {7 } {4}, secA = frac {7} {5.7}, cotA = frac {5.7} {4} )

2) (a = 21, c = 29) )

3) (a = 85.3, b = 125.5) )

Penyelesaian: (a. C = 151.7 b. SinA = 0.5623, cosA = 0.8273, tanA = 0.6797, cscA = 1.778, secA = 1.209, cotA = 1.471 )

4) (b = 40, c = 41) )

5) (a = 84, b = 13) )

Penyelesaian: (a. C = 85 b. SinA = frac {84} {85}, cosA = frac {13} {85}, tanA = frac {84} {13}, cscA = frac {85 } {84}, secA = frac {85} {13}, cotA = frac {13} {84} )

6) (b = 28, c = 35) )

Untuk latihan berikut, (P ) adalah titik pada bulatan unit. Cari nilai koordinat yang hilang (tepat) bagi setiap titik dan b. cari nilai enam fungsi trigonometri untuk sudut (θ ) dengan sisi terminal yang melalui titik (P ). Rasionalkan penyebut.

1) (P ( frac {7} {25}, y), y> 0 )

Penyelesaian: (ay = frac {24} {25} b.sinθ = frac {24} {25}, cosθ = frac {7} {25}, tanθ = frac {24} {7}, cscθ = frac {25} {24}, secθ = frac {25} {7}, cotθ = frac {7} {24} )

2) (P ( frac {-15} {17}, y), y> 0 )

3) (P ( frac {x} { frac { sqrt {7}} {3}}), y> 0 )

Penyelesaian: a. (x = - frac { sqrt {2}} {3} b. sinθ = frac { sqrt {7}} {3}, cosθ = frac {- sqrt {2}} {3}, tanθ = frac { sqrt {−14}} {2}, cscθ = frac {3 sqrt {7}} {7}, secθ = frac {−3 sqrt {2}} {2}, cotθ = frac {- sqrt {14}} {7} )

4) (P ( frac {x} { frac {- sqrt {15}} {4}}), y> 0 )

Untuk latihan berikut, permudahkan setiap ungkapan dengan menulisnya dari segi sinus dan kosinus, kemudian permudahkan. Jawapan terakhir tidak harus dari segi sinus dan kosinus sahaja.

1) (tan ^ 2x + sinxcscx )

Penyelesaian: (sec ^ 2x )

2) (secxsinxcotx )

3) ( frac {tan ^ 2x} {saat ^ 2x} )

Penyelesaian: (sin ^ 2x )

4) (secx-kosx )

5) ((1 + tanθ) ^ 2-2tanθ )

Penyelesaian: seks ^ 2θ

6) (sinx (cscx-sinx) )

7) ( frac {cos t} {sin t} + frac {sin t} {1 + cos t} )

Penyelesaian: (1 / sin t) = csc t )

8) ( frac {1 + tan ^ 2α} {1 + cot ^ 2α} )

Untuk latihan berikut, sahkan bahawa setiap persamaan adalah identiti.

1) ( frac {tanθcotθ} {cscθ} = sinθ )

2) ( frac {sec ^ 2θ} {tanθ} = secθcscθ )

3) ( frac {sin t} {csc t} + frac {cos t} {sec t} = 1 )

4) ( frac {sinx} {cosx + 1} + frac {cosx − 1} {sinx} = 0 )

5) (cotγ + tanγ = secγcscγ )

6) (sin ^ 2β + tan ^ 2β + cos ^ 2β = sec ^ 2β )

7) ( frac {1} {1 − sinα} + frac {1} {1 + sinα} = 2sec ^ 2α )

8) ( frac {tanθ − cotθ} {sinθcosθ} = sec ^ 2θ − csc ^ 2θ )

Untuk latihan berikut, selesaikan persamaan trigonometri pada selang (0≤θ <2π. )

1) (2sinθ − 1 = 0 )

Penyelesaian: { ( frac {π} {6}, frac {5π} {6} )}

2) (1 + cosθ = frac {1} {2} )

3) (2tan ^ 2θ = 2 )

Penyelesaian: { ( frac {π} {4}, frac {3π} {4}, frac {5π} {4}, frac {7π} {4} )}

4) (4sin ^ 2θ − 2 = 0 )

5) ( sqrt {3} cotθ + 1 = 0 )

Penyelesaian: { ( frac {2π} {3}, frac {5π} {3} )}

6) (3secθ − 2 sqrt {3} = 0 )

7) (2cosθsinθ = sinθ )

Penyelesaian: { (0, π, frac {π} {3}, frac {5π} {3} )}

8) (csc ^ 2θ + 2cscθ + 1 = 0 )

Untuk latihan berikut, setiap graf adalah dalam bentuk (y = AsinBx ) atau (y = AcosBx ), di mana (B> 0 ). Tuliskan persamaan graf.

1)

Penyelesaian: (y = 4sin ( frac {π} {4} x) )

2)

3)

Penyelesaian: (y = cos (2πx) )

4)

Untuk latihan berikut, cari a. amplitud, b. tempoh, dan c. peralihan fasa dengan arah untuk setiap fungsi.

1) (y = sin (x− frac {π} {4}) )

Penyelesaian: (a. 1 b. 2π c. Frac {π} {4} ) unit di sebelah kanan

2) (y = 3cos (2x + 3) )

3) (y = - frac {1} {2} sin ( frac {1} {4} x) )

Penyelesaian: (a. Frac {1} {2} b. 8π c. Tiada peralihan fasa )

4) (y = 2cos (x− frac {π} {3}) )

5) (y = −3sin (πx + 2) )

Penyelesaian: (a. 2 c. Frac {2} {π} ) unit di sebelah kiri

6) (y = 4cos (2x− frac {π} {2}) )

Senaman

1) [T] Diameter roda yang bergolek di tanah ialah 40 in. Sekiranya roda berputar melalui sudut (120 ) °, berapakah inci bergerak? Kira-kira ke satu inci terdekat.

Penyelesaian: Lebih kurang 42 in.

2) [T] Cari panjang arka yang dipintas oleh sudut tengah (θ ) dalam bulatan jejari (r ). Bundarkan ke perseratus terdekat.

a. (r = 12.8 ) cm, (θ = 5π6 ) rad b. (r = 4.378 ) cm, (θ = 7π6 ) rad c. (r = 0.964 ) cm, (θ = 50 ) ° d. (r = 8.55 ) cm, (θ = 325 ) °

3) [T] Ketika titik P bergerak mengelilingi bulatan, ukuran sudut berubah. Ukuran seberapa pantas sudut berubah dipanggil kelajuan sudut, (ω ), dan diberikan oleh (ω = θ / t ), di mana (θ ) berada dalam radian dan t adalah masa. Cari kelajuan sudut untuk data yang diberikan. Bulatkan ke seperseribu terdekat.

a. (θ = frac {7π} {4} ) rad, (t = 10 ) saat b. (θ = frac {3π} {5} ) rad, (t = 8 ) saat c. (θ = frac {2π} {9} ) rad, (t = 1 ) min d. (θ = 23.76 ) rad, (t = 14 ) min

Penyelesaian: (0,550 rad / saat b. 0,236 rad / saat c. 0,698 rad / min d. 1,669 rad / min )

4) [T] Sebanyak 250,000 m2 tanah diperlukan untuk membina loji tenaga nuklear. Andaikan diputuskan bahawa kawasan di mana loji janakuasa hendak dibina harus berbentuk bulat.

a) Cari jejari luas tanah bulat.

b) Sekiranya luas tanah membentuk sektor (45 ) ° bulatan dan bukannya bulatan keseluruhan, cari panjang sisi melengkung.

5) [T] Luas segitiga isoseles dengan sisi sama panjang x ialah ( frac {1} {2} x ^ 2sinθ ),

di mana (θ ) adalah sudut yang dibentuk oleh dua sisi. Cari luas segitiga isoseles dengan sisi panjang sama 8 inci dan sudut sudut (θ = 5π / 12 ) rad.

Penyelesaian: (≈30.9in ^ 2 )

6) [T] Zarah bergerak dalam lintasan bulat pada kelajuan sudut tetap (ω ). Kelajuan sudut dimodelkan oleh fungsi (ω = 9 | cos (πt − π / 12) | ). Tentukan kelajuan sudut pada (t = 9 ) saat.

7) [T] Arus bergantian untuk outlet di rumah mempunyai voltan yang diberikan oleh fungsi

(V (t) = 150cos368t ),

di mana V adalah voltan dalam volt pada masa t dalam beberapa saat.

a) Cari jangka masa fungsi dan tafsirkan maksudnya.

b) Tentukan bilangan tempoh yang berlaku apabila 1 saat telah berlalu.

Penyelesaian: a. π / 184; voltan berulang setiap π / 184 saat b. Lebih kurang 59 tempoh

8) [T] Jumlah jam siang di bandar timur laut dimodelkan oleh fungsi

(N (t) = 12 + 3sin [ frac {2π} {365} (t − 79)] ),

di mana t ialah bilangan hari selepas 1 Januari.

a) Cari amplitud dan noktah.

b) Tentukan bilangan jam siang pada hari terpanjang dalam setahun.

c) Tentukan bilangan jam siang pada hari terpendek dalam setahun.

d) Tentukan bilangan jam siang hari 90 hari selepas 1 Januari.

e) Lakarkan graf fungsi untuk satu tempoh bermula pada 1 Januari.

9) [T] Andaikan bahawa (T = 50 + 10sin [ frac {π} {12} (t − 8)] ) adalah model matematik suhu (dalam darjah Fahrenheit) pada t jam selepas tengah malam pada hari tertentu dalam seminggu.

a) Tentukan amplitud dan tempoh.

b) Cari suhu 7 jam selepas tengah malam.

c) Pukul berapa (T = 60 ) °?

d) Lakarkan graf (T ) di atas (0≤t≤24 ).

Penyelesaian: a. Amplitudo = (10; tempoh = 24 ) b. (47.4 ° F ) c. 14 jam kemudian, atau 2 petang d.

10) [T] Fungsi (H (t) = 8sin ( frac {π} {6} t) ) memodelkan ketinggian H (dalam kaki) air pasang t jam selepas tengah malam. Anggap bahawa (t = 0 ) tengah malam.

a) Cari amplitud dan noktah.

b) Grafkan fungsi dalam satu tempoh.

c) Berapakah ketinggian air pasang pada pukul 4:30 pagi?

1.4: Fungsi Terbalik

Untuk latihan berikut, gunakan ujian garis mendatar untuk menentukan sama ada setiap graf yang diberikan adalah satu-ke-satu.

1)

Penyelesaian: Bukan satu-satu

2)

3)

Penyelesaian: Bukan satu-satu

4)

5)

Penyelesaian: Satu-ke-satu

6)

Untuk latihan berikut, a. cari fungsi terbalik, dan b. cari domain dan julat fungsi terbalik.

1) (f (x) = x ^ 2−4, x≥0 )

Penyelesaian: a. (f ^ {- 1} (x) = sqrt {x + 4} ) b. Domain: (x≥ − 4 ), julat: (y≥0 )

2) (f (x) = sqrt [3] {x − 4} )

3) (f (x) = ^ 3 + 1 )

Penyelesaian: a. (f ^ {- 1} (x) = frac {3} {x − 1} ) b. Domain: semua nombor nyata, julat: semua nombor nyata

4) (f (x) = (x − 1) ^ 2, x≤1 )

5) (f (x) = sqrt {x − 1} )

Penyelesaian: a. (f ^ {- 1} (x) = x ^ 2 + 1 ), b. Domain: (x≥0 ), julat: (y≥1 )

6) (f (x) = frac {1} {x + 2} )

Untuk latihan berikut, gunakan graf f untuk membuat lakaran grafik fungsi terbalik.

1)

Penyelesaian

2)

3)

Penyelesaian:

4)

Untuk latihan berikut, gunakan komposisi untuk menentukan pasangan fungsi mana yang terbalik.

1) (f (x) = 8x, g (x) = frac {x} {8} )

Penyelesaian: Ini adalah kebalikan.

2) (f (x) = 8x + 3, g (x) = frac {x-3} {8} )

3) (f (x) = 5x − 7, g (x) = frac {x + 5} {7} )

Penyelesaian: Ini bukan kebalikan.

4) (f (x) = frac {2} {3} x + 2, g (x) = frac {3} {2} x + 3 )

5) (f (x) = frac {1} {x − 1}, x ≠ 1, g (x) = frac {1} {x} + 1, x ≠ 0 )

Penyelesaian: Ini adalah kebalikan.

6) (f (x) = x ^ 3 + 1, g (x) = (x − 1) ^ {1/3} )

7) (f (x) = x ^ 2 + 2x + 1, x≥ − 1, g (x) = - 1+ sqrt {x}, x≥0 )

Penyelesaian: Ini adalah kebalikan.

8) (f (x) = sqrt {4 − x ^ 2}, 0≤x≤2, g (x) = sqrt {4 − x ^ 2}, 0≤x≤2 )

Untuk latihan berikut, nilaikan fungsinya. Berikan nilai yang tepat.

1) (tan ^ {- 1} ( frac { sqrt {3}} {3}) )

Penyelesaian: ( frac {π} {6} )

2) (cos ^ {- 1} (- frac { sqrt {2}} {2}) )

3) (cot ^ {- 1} (1) )

Penyelesaian: ( frac {π} {4} )

4) (sin ^ {- 1} (- 1) )

5) (cos ^ {- 1} ( frac { sqrt {3}} {2}) )

Penyelesaian: ( frac {π} {6} )

6) (cos (tan ^ {- 1} ( sqrt {3})) )

7) (sin (cos ^ {- 1} ( frac { sqrt {2}} {2})) )

Penyelesaian: ( frac { sqrt {2}} {2} )

8) (sin ^ {- 1} (sin ( frac {π} {3})) )

9) (tan ^ {- 1} (tan (- frac {π} {6})) )

Penyelesaian: (- frac {π} {6} )

Senaman:

1) Fungsi (C = T (F) = (5/9) (F − 32) ) menukar darjah Fahrenheit kepada darjah Celsius.

a) Cari fungsi terbalik (F = T ^ {- 1} (C) )

b) Untuk apa fungsi terbalik digunakan?

2) [T] Halaju V (dalam sentimeter sesaat) darah dalam arteri pada jarak x cm dari pusat arteri dapat dimodelkan oleh fungsi (V = f (x) = 500 (0.04 − x ^ 2) ) untuk (0≤x≤0.2. )

a) Cari (x = f ^ {- 1} (V). )

b) Mentafsirkan fungsi terbalik yang digunakan.

c) Cari jarak dari pusat arteri dengan halaju 15 cm / saat, 10 cm / saat, dan 5 cm / saat.

Penyelesaian: a. (x = f ^ {- 1} (V) ) = sqrt {0.04− frac {V} {500}} ) b. Fungsi songsang menentukan jarak dari pusat arteri di mana darah mengalir dengan halaju V. 0.1 cm; 0.14 cm; 0.17 sm

3) Fungsi yang menukar ukuran pakaian di Amerika Syarikat kepada yang ada di Eropah diberikan oleh (D (x) = 2x + 24. )

a) Cari saiz pakaian Eropah yang sesuai dengan ukuran 6, 8, 10, dan 12 di Amerika Syarikat.

b) Cari fungsi yang menukar saiz pakaian Eropah ke saiz pakaian A.S.

c) Gunakan bahagian b. untuk mencari ukuran pakaian di Amerika Syarikat yang sesuai dengan 46, 52, 62, dan 70.

4) [T] Kos untuk membuang toksin dari tasik dimodelkan oleh fungsi (C (p) = 75p / (85 − p), ) di mana (C ) adalah kos (dalam ribuan dolar ) dan (p ) adalah jumlah toksin di sebuah tasik kecil (diukur dalam bahagian per bilion [ppb]). Model ini hanya berlaku apabila jumlah toksin kurang daripada 85 ppb.

a) Cari kos untuk membuang 25 ppb, 40 ppb, dan 50 ppb toksin dari tasik.

b) Cari fungsi songsang. Gunakan bahagian b. untuk menentukan berapa banyak toksin yang dikeluarkan sebanyak $ 50,000.

Penyelesaian: a. $ 31,250, $ 66,667, $ 107,143 b. ( (p = frac {85C} {C + 75} )) c. 34 ppb

5) [T] Sebuah kereta lumba memecut dengan kecepatan yang diberikan oleh (v (t) = frac {25} {4} t + 54, )

di mana v adalah halaju (dalam kaki sesaat) pada waktu t.

a) Cari halaju kereta pada 10 saat.

b) Cari fungsi songsang.

c) Gunakan bahagian b. untuk menentukan berapa lama masa yang diperlukan untuk kereta mencapai kelajuan 150 kaki / saat.

6) [T] Mach nombor M pesawat adalah nisbah kelajuannya dengan kelajuan suara. Apabila pesawat terbang pada ketinggian tetap, maka sudut Machnya diberikan oleh (μ = 2sin ^ {- 1} ( frac {1} {M}). )

Cari sudut Mach (hingga darjah terdekat) untuk nombor Mach berikut.

a. μ = 1.4

b. μ = 2.8

c. μ = 4.3

Penyelesaian: a. (~ 92 ° ) b. (~ 42 ° ) c. (~ 27 ° )

7) [T] Dengan menggunakan (μ = 2sin ^ {- 1} ( frac {1} {M}) ), cari nombor Mach M untuk sudut berikut.

a. μ = ( frac {π} {6} )

b. μ = ( frac {2π} {7} )

c. μ = ( frac {3π} {8} )

8) [T] Suhu (dalam darjah Celsius) sebuah bandar di utara Amerika Syarikat dapat dimodelkan oleh fungsi

(T (x) = 5 + 18sin [ frac {π} {} 6 (x − 4.6)], )

di mana (x ) adalah waktu dalam bulan dan (x = 1,00 ) sepadan dengan 1 Januari. Tentukan bulan dan hari ketika suhunya (21 ° C. )

Penyelesaian: (x≈6.69,8.51 ); jadi, suhu berlaku pada 21 Jun dan 15 Ogos

9) [T] Kedalaman air di dermaga berubah dengan naik dan turunnya air pasang. Ia dimodelkan oleh fungsi (D (t) = 5sin ( frac {π} {6} t− frac {7π} {6}) + 8, ) di mana (t ) adalah bilangan jam selepas tengah malam. Tentukan kali pertama selepas tengah malam apabila kedalamannya 11.75 kaki.

10) [T] Objek yang bergerak dalam gerakan harmonik sederhana dimodelkan oleh fungsi (s (t) = - 6cos ( frac {πt} {2}), ) di mana (s ) diukur dalam inci dan t diukur dalam beberapa saat. Tentukan kali pertama bila jarak bergerak ialah 4.5 kaki.

Penyelesaian: (~ 1.5 ) saat

11) [T] Galeri seni tempatan mempunyai potret setinggi 3 kaki yang digantung 2.5 kaki di atas paras mata rata-rata orang. Sudut tontonan (θ ) dapat dimodelkan oleh fungsi (θ = tan ^ {- 1} frac {5.5} {x} −tan ^ {- 1} frac {2.5} {x} ), di mana (x ) adalah jarak (dalam kaki) dari potret. Cari sudut pandangan ketika seseorang berada 4 kaki dari potret.

12) [T] Gunakan kalkulator untuk menilai (tan ^ {- 1} (tan (2.1)) ) dan (cos ^ {- 1} (cos (2.1)) ). Terangkan hasil masing-masing.

Penyelesaian: (tan ^ {- 1} (tan (2.1)) ≈ − 1.0416 ); ungkapan tidak sama dengan (2.1 ) kerana (2.1> 1.57 = frac {π} {2} ) - dengan kata lain, ia tidak berada dalam domain terhad (tanx ). ( cos ^ {- 1} (cos (2.1)) = 2.1 ), kerana (2.1 ) berada dalam domain terhad (cosx ).

13) [T] Gunakan kalkulator untuk menilai (sin (sin ^ {- 1} (- 2)) ) dan (tan (tan ^ {- 1} (- 2)) ). Terangkan hasil masing-masing.

1.5: Fungsi Eksponen dan Logaritma

Untuk latihan berikut, nilai fungsi eksponensial yang diberikan seperti yang ditunjukkan, tepat kepada dua digit penting selepas perpuluhan.

1) (f (x) = 5 ^ x ) a. (x = 3 ) b. (x = frac {1} {2} ) c. (x = sqrt {2} )

Penyelesaian: (a. 125 b. 2.24 c. 9.74 )

2) (f (x) = (0.3) ^ x ) a. (x = −1 ) b. (x = 4 ) c. (x = −1.5 )

3) (f (x) = 10 ^ x ) a. (x = −2 ) b. (x = frac {5} {3} )

Penyelesaian: (a. 0,01 b. 10,000 c. 46,42 )

4) (f (x) = e ^ x ) a. (x = 2 ) b. (x = −3.2 ) c. (x = π )

Untuk latihan berikut, padankan persamaan eksponensial dengan graf yang betul.

a. (y = 4 ^ {- x} )

b. (y = 3 ^ {x − 1} )

c. (y = 2 ^ {x + 1} )

d. (y = ( frac {1} {2}) ^ x + 2 )

e. (y = −3 ^ {- x} )

f. (y = 1−5 ^ x )

1)

Penyelesaian: d

2)

3)

Penyelesaian: b

4)

5)

Penyelesaian: e

6)

Untuk latihan berikut, lakarkan graf fungsi eksponensial. Tentukan domain, julat, dan asimptot mendatar.

1) (f (x) = e ^ x + 2 )

Penyelesaian: Domain: semua nombor nyata, julat: ((2, ∞), y = 2 )

2) (f (x) = - 2 ^ x )

3) (f (x) = 3 ^ {x + 1} )

Penyelesaian: Domain: semua nombor nyata, julat: ((0, ∞), y = 0 )

4) (f (x) = 4 ^ x − 1 )

5) (f (x) = 1−2 ^ {- x} )

Penyelesaian: Domain: semua nombor nyata, julat: ((- ∞, 1), y = 1 )

6) (f (x) = 5 ^ {x + 1} +2 )

7) (f (x) = e ^ {- x} −1 )

Penyelesaian: Domain: semua nombor nyata, julat: ((- 1, ∞), y = −1 )

Untuk latihan berikut, tulis persamaan dalam bentuk eksponensial setara.

1) (log_381 = 4 )

2) (log_82 = frac {1} {3} )

Penyelesaian: (8 ^ {1/3} = 2 )

3) (log_51 = 0 )

4) (log_525 = 2 )

Penyelesaian: (5 ^ 2 = 25 )

5) (log0.1 = −1 )

6) (ln ( frac {1} {e ^ 3}) = - 3 )

Penyelesaian: (e ^ {- 3} = frac {1} {e ^ 3} )

7) (log_93 = 0.5 )

8) (ln1 = 0 )

Penyelesaian: (e ^ 0 = 1 )

Untuk latihan berikut, tulis persamaan dalam bentuk logaritmik yang setara.

1) (2^3=8)

2) (4 ^ {- 2} = frac {1} {16} )

Penyelesaian: (log_4 ( frac {1} {16}) = - 2 )

3) (10^2=100)

4) (9^0=1)

Penyelesaian: (log_91 = 0 )

5) (( frac {1} {3}) ^ 3 = frac {1} {27} )

6) ( sqrt [3] {64} = 4 )

Penyelesaian: (log_ {64} 4 = frac {1} {3} )

7) (e ^ x = y )

8) (9 ^ y = 150 )

Penyelesaian: (log_9150 = y )

9) (b ^ 3 = 45 )

10) (4^{-3/2}=0.125)

Penyelesaian: (log_40.125 = - frac {3} {2} )

Untuk latihan berikut, lakarkan graf fungsi logaritma. Tentukan domain, julat, dan asimptot menegak.

1) (f (x) = 3 + lnx )

2) (f (x) = ln (x − 1) )


Penyelesaian: Domain: ((1, ∞) ), julat: ((- ∞, ∞), x = 1 )

3) (f (x) = ln (−x) )

4) (f (x) = 1 − lnx )

Penyelesaian: Domain: ((0, ∞) ), julat: ((- - ∞, ∞), x = 0 )

5) (f (x) = log x − 1 )

6) (f (x) = ln (x + 1) )

Penyelesaian: Domain: ((- 1, ∞) ), julat: ((- - ∞, ∞) ), (x = −1 )

Untuk latihan berikut, gunakan sifat logaritma untuk menulis ungkapan sebagai jumlah, perbezaan, dan / atau produk logaritma.

1) (logx ^ 4y )

2) (log_3 frac {9a ^ 3} {b} )

Penyelesaian: (2 + 3log_3a − log_3b )

3) (lna sqrt [3] {b} )

4) (log_5 sqrt {125xy ^ 3} )

Penyelesaian: ( frac {3} {2} + frac {1} {2} log_5x + frac {3} {2} log_5y )

5) (log_ frac { sqrt [3] {xy}} {64} )

6) (ln ( frac {6} { sqrt {e ^ 3}}) )

Penyelesaian: (- frac {3} {2} + ln6 )

Untuk latihan berikut, selesaikan persamaan eksponensial dengan tepat.

1) (5 ^ x = 125 )

2) (e ^ {3x} −15 = 0 )

Penyelesaian: ( frac {ln15} {3} )

3) (8 ^ x = 4 )

4) (4 ^ {x + 1} −32 = 0 )

Penyelesaian: ( frac {3} {2} )

5) (3 ^ {x / 14} = frac {1} {10} )

6) (10 ​​^ x = 7.21 )

Penyelesaian: (log7.21 )

7) (4⋅2 ^ {3x} −20 = 0 )

8) (7 ^ {3x − 2} = 11 )

Penyelesaian: ( frac {2} {3} + frac {log11} {3log7} )

Untuk latihan berikut, selesaikan persamaan logaritma dengan tepat, jika boleh.

1) (log_3x = 0 )

2) (log_5x = −2 )

Penyelesaian: (x = frac {1} {25} )

3) (log_4 (x + 5) = 0 )

4) (log (2x − 7) = 0 )

Penyelesaian: (x = 4 )

5) (ln sqrt {x + 3} = 2 )

6) (log_6 (x + 9) + log_6x = 2 )

Penyelesaian: (x = 3 )

7) (log_4 (x + 2) −log_4 (x − 1) = 0 )

8) (lnx + ln (x − 2) = ln4 )

Penyelesaian: (1+ sqrt {5} )

Untuk latihan berikut, gunakan formula pertukaran asas dan sama ada asas 10 atau asas e untuk menilai ungkapan yang diberikan. Jawab dalam bentuk tepat dan dalam bentuk perkiraan, membundarkan kepada empat tempat perpuluhan.

1) (log_547 )

2) (log_782 )

Penyelesaian: (( frac {log82} {log7} ≈2.2646) )

3) (log_6103 )

4) (log_ {0} 211 )

Penyelesaian: (( frac {log211} {log0.5} ≈ − 7.7211) )

5) (log_2π )

6) (log_ {0.2} 0.452 )

Penyelesaian: (( frac {log0.452} {log0.2} ≈0.4934) )

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1) Tulis semula ungkapan berikut dari segi eksponensial dan permudahkan.

a. (2cosh (lnx) ) b. (cosh4x + sinh4x ) c. (cosh2x − sinh2x ) d. (ln (coshx + sinhx) + ln (coshx − sinhx) )

2) [T] Bilangan bakteria N dalam kultur setelah t hari dapat dimodelkan oleh fungsi (N (t) = 1300⋅ (2) ^ {t / 4} ). Cari bilangan bakteria yang ada selepas 15 hari.

Penyelesaian: (~ 17,491 )

3) [T] Permintaan D (dalam jutaan tong) untuk minyak di negara kaya minyak diberikan oleh fungsi (D (p) = 150⋅ (2.7) ^ {- 0.25p} ), di mana p ialah harga (dalam dolar) setong minyak. Cari jumlah minyak yang diminta (hingga juta tong terdekat) apabila harganya antara $ 15 hingga $ 20.

4) [T] Jumlah A pelaburan $ 100,000 yang dibayar berterusan dan dikompaun selama t tahun diberikan oleh (A (t) = 100,000⋅e ^ {0,055t} ). Cari jumlah A yang terkumpul dalam 5 tahun.

Penyelesaian: Kira-kira $ 131,653 terkumpul dalam 5 tahun.

5) [T] Pelaburan dikompaun bulanan, suku tahunan, atau tahunan dan diberikan oleh fungsi (A = P (1+ frac {j} {n}) ^ {nt} ), di mana (A adalah nilai pelaburan pada masa (t ), (P ) adalah prinsip awal yang dilaburkan, (j ) adalah kadar faedah tahunan, dan n adalah bilangan masa faedah digabungkan setiap tahun. Dengan kadar faedah tahunan sebanyak 3.5% dan prinsip awal $ 100,000, cari jumlah (A ) yang terkumpul dalam 5 tahun untuk faedah yang dikompaunkan a. setiap hari, b., bulanan, c. setiap suku tahun, dan d. setiap tahun.

6) [T] Kepekatan ion hidrogen dalam suatu zat dilambangkan dengan ([H +] ), diukur dalam mol per liter. PH suatu bahan ditentukan oleh fungsi logaritma (pH = −log [H +] ). Fungsi ini digunakan untuk mengukur keasidan suatu bahan. PH air adalah 7. Bahan dengan pH kurang dari 7 adalah asid, sedangkan yang mempunyai pH lebih dari 7 adalah basa.

a. Cari pH bahan berikut. Jawapan bulat kepada satu digit.

b. Tentukan sama ada bahan itu asid atau basa.

i. Telur: ([H +] = 1.6 × 10 ^ {- 8} ) mol / L

ii. Bir: ([H +] = 3.16 × 10 ^ {- 3} ) mol / L

iii. Jus Tomato: ([H +] = 7,94 × 10 ^ {- 5} ) mol / L

Penyelesaian: i. pH = 8 b. Pangkalan ii. pH = 3 b. Asid iii. pH = 4 b. Asid

7) [T] Iodin-131 adalah bahan radioaktif yang terurai mengikut fungsi (Q (t) = Q_0⋅e ^ {- 0.08664t} ), di mana (Q_0 ) adalah kuantiti awal sampel bahan dan t adalah dalam beberapa hari. Tentukan berapa lama masa (hingga hari terdekat) hingga 95% kuantiti mereput.

8) [T] Menurut Bank Dunia, pada akhir tahun 2013 ((t = 0) ) penduduk A.S. adalah 316 juta dan meningkat mengikut model berikut:

(P (t) = 316e ^ {0,0074t} ),

di mana P diukur dalam berjuta-juta orang dan t diukur pada tahun selepas 2013.

a. Berdasarkan model ini, berapa jumlah penduduk Amerika Syarikat pada tahun 2020?

b. Tentukan bila jumlah penduduk A.S. akan meningkat dua kali ganda daripada tahun 2013.

Penyelesaian: a. (~ 333 ) juta b. 94 tahun dari 2013, atau pada tahun 2107

9) [T] Jumlah A yang terkumpul setelah 1000 dolar dilaburkan selama t tahun dengan kadar faedah 4% dimodelkan oleh fungsi (A (t) = 1000 (1.04) ^ t ).

a. Cari jumlah yang terkumpul selepas 5 tahun dan 10 tahun.

b. Tentukan berapa lama pelaburan asal meningkat tiga kali ganda.

10) [T] Koloni bakteria yang tumbuh di makmal diketahui meningkat dua kali ganda dalam 12 jam. Andaikan, pada awalnya, terdapat 1000 bakteria yang ada.

a. Gunakan fungsi eksponensial (Q = Q_0e ^ {kt} ) untuk menentukan nilai (k ), yang merupakan kadar pertumbuhan bakteria. Bulat hingga empat tempat perpuluhan.

b. Tentukan berapa lama masa yang diperlukan untuk 200,000 bakteria tumbuh.

Penyelesaian: a. (k≈0.0578 ) b. ≈ (92 ) jam

11) [T] Populasi arnab di rizab permainan berganda setiap 6 bulan. Katakan pada awalnya terdapat 120 ekor arnab.

a. Gunakan fungsi eksponen (P = P_0a ^ t ) untuk menentukan pemalar kadar pertumbuhan (a ). Gunakan fungsi di bahagian a. untuk menentukan kira-kira berapa lama masa populasi arnab mencapai 3500.

12) [T] Gempa 1906 di San Francisco mempunyai skala 8.3 pada skala Richter. Pada masa yang sama, di Jepun, gempa dengan skala 4.9 hanya menyebabkan kerosakan kecil. Kira-kira berapa banyak tenaga yang dikeluarkan oleh gempa San Francisco daripada gempa Jepun?

Penyelesaian: Gempa di San Francisco mempunyai (10 ​​^ {3.4} atau ~ 2512 ) kali lebih banyak tenaga daripada gempa Jepun.

Latihan Ulangkaji Bab

Betul atau salah? Justifikasikan jawapan anda dengan bukti atau contoh.

1) Fungsi selalu satu-satu.

2) (f∘g = g∘f ), dengan anggapan f dan g adalah fungsi.

Penyelesaian: Salah

3) Hubungan yang melepasi ujian garis mendatar dan menegak adalah fungsi satu-ke-satu.

4) Hubungan yang melewati ujian garis mendatar adalah fungsi.

Penyelesaian: Salah

Untuk masalah berikut, nyatakan domain dan julat fungsi yang diberikan:

(f = x ^ 2 + 2x − 3 ), (g = ln (x − 5) ), (h = frac {1} {x + 4} )

1) h

2) g

Penyelesaian: Domain: (x> 5 ), julat: semua nombor nyata

3) (h∘f )

4) (g∘f )

Penyelesaian: Domain: (x> 2 ) dan (x <−4 ), julat: semua nombor nyata

Cari darjah, pintasan-y, dan sifar untuk fungsi polinomial berikut.

1) (f (x) = 2x ^ 2 + 9x − 5 )

2) (f (x) = x ^ 3 + 2x ^ 2−2x )

Penyelesaian: Darjah 3, (y ) - pintasan: 0, nol: (0, sqrt {3} −1, −1− sqrt {3} )

Permudahkan ungkapan trigonometri berikut.

1) ( frac {tan ^ 2x} {sec ^ 2x} + {cos ^ 2x} )

2) (cos (2x) = sin ^ 2x )

Penyelesaian: (cos (2x) ) atau ( frac {1} {2} (cos (2x) +1) )

Selesaikan persamaan trigonometri berikut pada selang (θ = [- 2π, 2π] ) dengan tepat.

1) (6cos2x − 3 = 0 )

2) (sec ^ 2x − 2secx + 1 = 0 )

Penyelesaian: (0, ± 2π )

Selesaikan persamaan logaritma berikut.

1) (5 ^ x = 16 )

2) log_2 (x + 4) = 3 )

Penyelesaian: 4

Adakah fungsi berikut satu demi satu atas domain kewujudannya? Adakah fungsi mempunyai kebalikan? Sekiranya demikian, cari (f ^ {- 1} (x) ) terbalik fungsi. Benarkan jawapan anda.

1) (f (x) = x ^ 2 + 2x + 1 )

2) (f (x) = frac {1} {x} )

Penyelesaian: Satu-ke-satu; ya, fungsi tersebut mempunyai kebalikan; songsang: (f ^ {- 1} (x) = frac {1} {y} )

Untuk masalah berikut, tentukan domain terbesar di mana fungsinya satu-ke-satu dan cari kebalikan pada domain tersebut.

1) (f (x) = sqrt {9 − x} )

2) (f (x) = x ^ 2 + 3x + 4 )

Penyelesaian: (x≥− frac {3} {2}, f ^ {- 1} (x) = - frac {3} {2} + frac {1} {2} sqrt {4y − 7 } )

3) Sebuah kereta berlumba di sepanjang trek bulat dengan diameter 1 mi. Seorang pelatih yang berdiri di tengah bulatan menandakan kemajuannya setiap 5 saat. Selepas 5 saat, pelatih harus berpusing 55 ° untuk mengikuti kereta. Berapa pantas kereta bergerak?

Untuk masalah berikut, pertimbangkan pemilik restoran yang ingin menjual kemeja-T yang mengiklankan jenamanya. Dia ingat bahawa ada kos tetap dan kos berubah, walaupun dia tidak ingat nilainya. Dia tahu bahawa syarikat percetakan T-shirt mengenakan $ 440 untuk 20 baju dan $ 1000 untuk 100 baju.

1) a. Cari persamaan (C = f (x) ) yang menerangkan jumlah kos sebagai fungsi bilangan baju dan b. tentukan berapa banyak baju yang mesti dia jual untuk pecah walaupun dia menjual baju itu dengan harga $ 10 setiap satu.

Penyelesaian: a. (C (x) = 300 + 7x ) b. 100 helai baju

2) a. Cari fungsi terbalik (x = f ^ {- 1} (C) ) dan terangkan maksud fungsi ini. Tentukan berapa banyak baju yang dapat dibeli oleh pemiliknya jika dia mempunyai $ 8000 untuk dibelanjakan.

Untuk masalah berikut, pertimbangkan populasi Ocean City, New Jersey, yang berpusing mengikut musim.

1) Populasi boleh dimodelkan dengan (P (t) = 82.5−67.5cos [(π / 6) t] ), di mana (t ) adalah masa dalam bulan ( (t = 0 ) mewakili Januari 1) dan (P ) adalah populasi (dalam ribuan). Selama setahun, dalam jangka masa berapa populasi kurang dari 20,000? Dalam jangka masa berapa populasi melebihi 140,000?

Penyelesaian: Penduduk kurang dari 20,000 dari 8 Disember hingga 23 Januari dan lebih daripada 140,000 dari 29 Mei hingga 2 Ogos

2) Pada hakikatnya, keseluruhan populasi kemungkinan besar meningkat atau menurun sepanjang tahun.Mari kita susun semula model sebagai (P (t) = 82.5−67.5cos [(π / 6) t] + t ), di mana t adalah masa dalam bulan ( (t = 0 ) mewakili 1 Januari) dan ( P ) adalah populasi (dalam ribuan). Bilakah kali pertama populasi mencapai 200,000?

Untuk masalah berikut, pertimbangkan temu janji radioaktif. Kerangka manusia dijumpai dalam penggalian arkeologi. Carbon dating dilaksanakan untuk menentukan umur kerangka dengan menggunakan persamaan (y = e ^ {rt} ), di mana (y ) adalah peratusan karbonkarbon yang masih ada dalam bahan, t adalah bilangan tahun lulus, dan (r = −0.0001210 ) adalah d78.51% kadar ecay radiocarbon.

1) Sekiranya kerangka itu dijangka berusia 2000 tahun, berapakah peratus radiokarbon yang harus ada?

Penyelesaian: 78.51%

2) Cari kebalikan dari persamaan temu janji karbon. Apakah maksudnya? Sekiranya terdapat radiokarbon 25%, berapa kerangka?


1.E: Fungsi dan Grafik (Latihan)

Untuk latihan berikut, tentukan sama ada setiap hubungan berikut adalah fungsi.

Untuk latihan berikut, nilaikan fungsi [lateks] f kiri (x kanan) = - 3^ <2> + 2x [/ lateks] pada input yang diberikan.

5. Tunjukkan bahawa fungsi [lateks] f kiri (x kanan) = - 2 < kiri (x - 1 kanan)> ^ <2> +3 [/ lateks] bukan satu-satu.

6. Tulis domain fungsi [lateks] f kiri (x kanan) = sqrt <3-x> [/ latex] dalam notasi selang.

7. Diberi [lateks] f kiri (x kanan) = 2^ <2> -5x [/ latex], cari [latex] f kiri (a + 1 kanan) -f kiri (1 kanan) [/ lateks].

8. Grafkan fungsi [lateks] mulaf kiri (x kanan) & = x + 1 & teks -2 & lt x & lt 3 teks <> & = -x & teks x ge 3 akhir[/ lateks]

9. Cari kadar perubahan purata fungsi [lateks] f kiri (x kanan) = 3 - 2^ <2> + x [/ latex] dengan mencari [lateks] frac[/ susu getah].

Untuk latihan berikut, gunakan fungsi [lateks] f kiri (x kanan) = 3 - 2^ <2> + x teks g kiri (x kanan) = sqrt[/ lateks] untuk mencari fungsi komposit.

10. [lateks] kiri (g circ f kanan) kiri (x kanan) [/ lateks]

11. [lateks] kiri (g circ f kanan) kiri (1 kanan) [/ lateks]

12. Ungkapkan [lateks] H kiri (x kanan) = sqrt [3] <5^ <2> -3x> [/ lateks] sebagai komposisi dua fungsi, f dan g, di mana [lateks] kiri (f circ g kanan) kiri (x kanan) = H kiri (x kanan) [/ lateks].

Untuk latihan berikut, grafik fungsi dengan menerjemahkan, meregangkan, dan / atau memampatkan fungsi toolkit.

Untuk latihan berikut, tentukan sama ada fungsinya sama rata, ganjil, atau tidak.

18. Grafkan fungsi nilai mutlak [lateks] f kiri (x kanan) = - 2 | x - 1 | +3 [/ lateks].

19. Selesaikan [lateks] | 2x - 3 | = 17 [/ lateks].

20. Selesaikan [lateks] - | frac <1> <3> x - 3 | ge 17 [/ lateks]. Nyatakan penyelesaiannya dalam notasi selang.

Untuk latihan berikut, cari fungsi terbalik.

21. [lateks] f kiri (x kanan) = 3x - 5 [/ lateks]

Untuk latihan berikut, gunakan graf g ditunjukkan di bawah.

23. Pada selang berapa fungsi meningkat?

24. Pada selang berapa fungsi menurun?

25. Kira minimum fungsi tempatan. Nyatakan jawapan sebagai pasangan tertib.

26. Kira maksimum fungsi tempatan. Nyatakan jawapan sebagai pasangan tertib.

Untuk latihan berikut, gunakan grafik fungsi sepotong ditunjukkan di bawah.

27. Cari [lateks] f kiri (2 kanan) [/ lateks].

28. Cari [lateks] f kiri (-2 kanan) [/ lateks].

29. Tuliskan persamaan untuk fungsi kepingan.

Untuk latihan berikut, gunakan nilai yang disenaraikan di bawah.

x F(x)
0 1
1 3
2 5
3 7
4 9
5 11
6 13
7 15
8 17

30. Cari [lateks] F kiri (6 kanan) [/ lateks].

31. Selesaikan persamaan [lateks] F kiri (x kanan) = 5 [/ lateks].

32. Adakah grafik meningkat atau menurun pada domainnya?

33. Adakah fungsi diwakili oleh graf satu-ke-satu?

34. Cari [lateks]^ <-1> kiri (15 kanan) [/ lateks].

35. Diberi [lateks] f kiri (x kanan) = - 2x + 11 [/ lateks], cari [lateks]^ <-1> kiri (x kanan) [/ lateks].


1.E: Fungsi dan Grafik (Latihan)

Pada bahagian sebelumnya kita melihat bagaimana kita dapat menggunakan derivatif pertama fungsi untuk mendapatkan beberapa maklumat mengenai grafik fungsi. Pada bahagian ini kita akan melihat maklumat bahawa turunan kedua fungsi dapat memberi kita gambaran tentang grafik fungsi.

Sebelum kita melakukan ini, kita memerlukan beberapa definisi. Konsep utama yang akan kita bincangkan dalam bahagian ini adalah kesimpulan. Kesimpulan adalah yang paling mudah dilihat dengan grafik (kami akan memberikan definisi matematik sedikit).

Jadi, fungsi adalah cekung jika "terbuka" dan fungsinya cekung ke bawah jika "terbuka" ke bawah. Perhatikan juga bahawa cekungan tidak ada kaitan dengan peningkatan atau penurunan. Fungsi boleh menjadi cekung dan sama ada bertambah atau menurun. Begitu juga, fungsi boleh menjadi cekung dan sama ada meningkat atau menurun.

Ini mungkin bukan kaedah terbaik untuk menentukan kesimpulan dengan mengatakan cara "terbuka" kerana ini adalah definisi yang agak kabur. Berikut adalah definisi matematik bagi kesimpulan.

Definisi 1

Diberi fungsi (f kiri (x kanan) ) maka

    (f kiri (x kanan) ) adalah cekung pada selang (I ) jika semua tangen ke lengkung di (I ) berada di bawah graf (f kiri (x kanan) ).

Untuk menunjukkan bahawa graf di atas sebenarnya mempunyai kesimpulan yang dituntut di atas adalah grafiknya lagi (diletupkan sedikit untuk menjadikan semuanya lebih jelas).

Oleh itu, seperti yang anda lihat, dalam dua graf atas semua garis tangen yang dilakarkan berada di bawah grafik fungsi dan ini adalah cekung ke atas. Dalam dua graf yang lebih rendah, semua garis tangen berada di atas graf fungsi dan ini cekung ke bawah.

Sekali lagi, perhatikan bahawa kesimpulan dan aspek peningkatan / penurunan fungsi benar-benar terpisah dan tidak mempunyai kaitan antara satu sama lain. Ini penting untuk diperhatikan kerana pelajar sering mencampuradukkan kedua-duanya dan menggunakan maklumat tentang satu untuk mendapatkan maklumat mengenai yang lain.

Terdapat satu lagi definisi yang perlu kita hilangkan.

Definisi 2

Titik (x = c ) disebut sebagai titik pemesongan jika fungsi berterusan pada titik dan kesimpulan graf berubah pada ketika itu.

Sekarang kita mempunyai semua definisi kesimpulan dari cara yang kita perlukan untuk memasukkan terbitan kedua ke dalam campuran. Kami telah memulakan bahagian ini dengan mengatakan bahawa kami akan menggunakan derivatif kedua untuk mendapatkan maklumat mengenai grafik. Fakta berikut mengaitkan turunan kedua fungsi dengan kesimpulannya. Bukti fakta ini terdapat di bahagian Bukti Dari Aplikasi Turunan pada bab Ekstra.

Memandangkan fungsi (f kiri (x kanan) ) maka,

    Sekiranya (f '' kiri (x kanan) & gt 0 ) untuk semua (x ) dalam beberapa selang (I ) maka (f kiri (x kanan) ) cekung di (Saya ).

Oleh itu, apa yang dinyatakan oleh fakta ini kepada kita adalah bahawa titik perubahan akan menjadi semua titik yang merupakan tanda perubahan terbitan kedua. Kami melihat pada bab sebelumnya bahawa fungsi dapat mengubah tanda jika ia sifar atau tidak ada. Perhatikan bahawa kami bekerja dengan derivatif pertama di bahagian sebelumnya tetapi hakikat bahawa fungsi mungkin mengubah tanda di mana ia sifar atau tidak wujud tidak ada kaitan dengan derivatif pertama. Ini adalah fakta yang berlaku untuk semua fungsi tidak kira sama ada turunannya atau tidak.

Ini seterusnya memberitahu kita bahawa senarai titik perubahan yang mungkin akan menjadi titik di mana terbitan kedua adalah sifar atau tidak ada, kerana ini adalah satu-satunya titik di mana derivatif kedua mungkin berubah tanda.

Hati-hati namun tidak membuat anggapan bahawa hanya kerana derivatif kedua adalah sifar atau tidak ada bahawa titik itu akan menjadi titik belokan. Kita hanya akan mengetahui bahawa ia adalah titik belokan setelah kita menentukan kesimpulan di kedua sisi itu. Ia hanya akan menjadi titik belokan jika kesimpangan berbeza di kedua-dua sisi titik.

Sekarang setelah kita mengetahui tentang kesimpulan, kita dapat menggunakan maklumat ini serta maklumat yang bertambah / menurun dari bahagian sebelumnya untuk mendapatkan idea yang cukup baik tentang rupa grafik. Mari kita lihat contohnya.

Baiklah, kita akan memerlukan dua derivatif pertama jadi mari kita dapatkan yang pertama.

[ bermulah ' kiri (x kanan) & = 15 - 15 = 15dibiarkan( kanan] kiri ( kanan) h " kiri (x kanan) & = 60 - 30x = 30x kiri (<2- 1> kanan) akhir]

Mari kita mulakan dengan peningkatan / penurunan maklumat kerana kita harus cukup selesa dengan maklumat tersebut selepas bahagian terakhir.

Terdapat tiga titik kritikal untuk fungsi ini: (x = - 1 ), (x = 0 ), dan (x = 1 ). Berikut adalah garis nombor untuk maklumat yang meningkat / menurun.

Jadi, sepertinya kita mempunyai selang kenaikan dan penurunan berikut.

Perhatikan bahawa dari ujian derivatif pertama kita juga dapat mengatakan bahawa (x = - 1 ) adalah maksimum relatif dan (x = 1 ) adalah minimum relatif. Juga (x = 0 ) bukan minimum atau maksimum relatif.

Sekarang mari kita selang di mana fungsi itu cekung dan cekung ke bawah. Sekiranya anda memikirkannya, proses ini hampir sama dengan proses yang kita gunakan untuk mengenal pasti selang kenaikan dan penurunan. Satu-satunya perbezaan ialah kita akan menggunakan derivatif kedua dan bukan derivatif pertama.

Perkara pertama yang perlu kita lakukan ialah mengenal pasti titik-titik lencongan yang mungkin. Ini akan berada di tempat terbitan kedua adalah sifar atau tidak ada. Derivatif kedua dalam kes ini adalah polinomial dan akan wujud di mana-mana. Ia akan menjadi sifar pada titik berikut.

Seperti bahagian yang bertambah dan menurun kita dapat menarik garis nombor dan menggunakan titik-titik ini untuk membahagi garis nombor menjadi kawasan. Di wilayah-wilayah ini kita tahu bahawa derivatif kedua akan selalu mempunyai tanda yang sama kerana ketiga-tiga titik ini adalah satu-satunya tempat di mana fungsi tersebut mungkin tanda perubahan. Oleh itu, semua yang perlu kita lakukan adalah memilih titik dari setiap wilayah dan memasukkannya ke turunan kedua. Derivatif kedua kemudian akan mempunyai tanda itu di seluruh wilayah dari mana asalnya

Berikut adalah garis nombor untuk kata terbitan kedua ini.

Jadi, sepertinya kita mempunyai selang kesudahan berikut.

adalah semua titik perubahan.

Semua maklumat ini boleh menjadi sedikit keterlaluan semasa membuat lakaran grafik. Perkara pertama yang harus kita lakukan adalah mendapatkan beberapa titik permulaan. Titik kritikal dan titik belokan adalah titik permulaan yang baik. Jadi, grafikkan titik-titik ini.

Dari sudut ini terdapat beberapa cara untuk meneruskan lakaran grafik. Cara yang kami anggap paling mudah (walaupun anda mungkin tidak dan itu baik-baik saja….) Adalah dengan memulakan dengan menambah / menurunkan maklumat dan mula membuat sketsa grafik hanya dari maklumat seperti yang kami lakukan di bahagian sebelumnya. Namun, tidak seperti bahagian sebelumnya, kali ini ketika kita melukis bahagian kurva yang bertambah atau menurun, kita juga akan memperhatikan kesimpulan dari lengkung ketika kita melakukan ini.

Jadi, jika kita mulakan dengan (x & lt - 1 ) kita tahu bahawa kita mempunyai fungsi yang semakin meningkat. Pada masa yang sama, kita tahu bahawa kita juga harus cekung dalam julat ini. Jadi, kita dapat memulai dengan membuat sketsa keluk yang semakin meningkat juga cekung hingga kita mencapai (x = - 1 ).

Pada ketika ini grafik mula menurun dan akan terus menurun sehingga kita menekan (x = 1 ). Walau bagaimanapun, semasa kita mengurangkan, kesimpulan perlu beralih ke cekung di (x lebih kurang - 0,707 ) dan kemudian beralih kembali ke cekung di (x = 0 ) dengan suis terakhir untuk cekung di (x lebih kurang 0.707 ).

Sebaik sahaja kita menekan (x = 1 ) grafik mula meningkat dan masih cekung dan kedua-dua tingkah laku ini berterusan untuk grafik yang selebihnya.

Menggabungkan semua maklumat ini akan memberi kita grafik fungsi berikut.

Kita boleh menggunakan contoh sebelumnya untuk menggambarkan cara lain untuk mengklasifikasikan beberapa titik kritikal fungsi sebagai maksimum maksimum atau minimum relatif.

Perhatikan bahawa (x = - 1 ) adalah maksimum maksimum dan bahawa fungsi cekung pada titik ini. Ini bermaksud (f '' kiri (<- 1> kanan) ) mestilah negatif. Begitu juga, (x = 1 ) adalah minimum relatif dan fungsinya cekung pada ketika ini. Ini bermaksud (f '' kiri (1 kanan) ) mesti positif.

Seperti yang akan kita lihat sebentar, kita perlu berhati-hati dengan (x = 0 ). Dalam kes ini, derivatif kedua adalah sifar, tetapi sebenarnya tidak akan bermakna bahawa (x = 0 ) bukan relatif minimum atau maksimum. Kita akan melihat beberapa contoh ini sedikit demi sedikit, tetapi kita perlu terlebih dahulu menguruskan beberapa maklumat lain.

Penting juga untuk diperhatikan di sini bahawa semua titik kritikal dalam contoh ini adalah titik kritikal di mana terbitan pertama adalah sifar dan ini diperlukan agar ini berfungsi. Kami tidak akan dapat menggunakan ujian ini pada titik kritikal di mana turunannya tidak wujud.

Berikut adalah ujian yang boleh digunakan untuk mengklasifikasikan beberapa titik kritikal fungsi. Bukti ujian ini terdapat di bahagian Bukti Aplikasi Derivatif pada bab Ekstra.

Ujian Derivatif Kedua

Katakan bahawa (x = c ) adalah titik kritikal (f kiri (x kanan) ) sehingga (f ' kiri (c kanan) = 0 ) dan (f' ' kiri (x kanan) ) berterusan di kawasan sekitar (x = c ). Kemudian,

    Sekiranya (f '' kiri (c kanan) & lt 0 ) maka (x = c ) adalah maksimum maksimum.

Bahagian ketiga ujian derivatif kedua adalah penting untuk diperhatikan. Sekiranya terbitan kedua adalah sifar maka titik kritikal boleh menjadi apa-apa. Berikut adalah graf tiga fungsi yang semuanya mempunyai titik kritikal di (x = 0 ), turunan kedua dari semua fungsi adalah sifar di (x = 0 ) dan ketiga kemungkinan itu ditunjukkan.

Yang pertama ialah graf (f kiri (x kanan) = ). Grafik ini mempunyai minimum relatif pada (x = 0 ).

Seterusnya ialah graf (f kiri (x kanan) = - ) yang mempunyai maksimum relatif pada (x = 0 ).

Akhirnya, terdapat graf (f kiri (x kanan) = ) dan grafik ini tidak mempunyai minimum relatif atau maksimum relatif pada (x = 0 ).

Oleh itu, kita dapat melihat bahawa kita harus berhati-hati sekiranya kita jatuh ke dalam kes ketiga. Pada masa-masa ketika kita berada dalam kes ini, kita harus menggunakan kaedah lain untuk mengklasifikasikan titik kritikal. Ini biasanya dilakukan dengan ujian terbitan pertama.

Mari kita kembali dan melihat titik kritikal dari contoh pertama dan gunakan Ujian Derivatif Kedua pada mereka, jika boleh.

Perhatikan bahawa semua yang kami lakukan di sini adalah mengesahkan hasil dari contoh pertama. Derivatif kedua adalah,

Tiga titik kritikal ( (x = - 1 ), (x = 0 ), dan (x = 1 )) fungsi ini adalah semua titik kritikal di mana terbitan pertama adalah sifar sehingga kita tahu bahawa kita di sekurang-kurangnya berpeluang bahawa Ujian Derivatif Kedua akan berfungsi. Nilai terbitan kedua untuk setiap ini adalah,

[h " kiri (<- 1> kanan) = - 30 hspace <0.5in> h" kiri (0 kanan) = 0 hspace <0.5in> h " kiri (1 betul) = 30 ]

Derivatif kedua di (x = - 1 ) adalah negatif sehingga oleh Ujian Derivatif Kedua titik kritikal ini adalah maksimum maksimum seperti yang kita lihat pada contoh pertama. Derivatif kedua di (x = 1 ) adalah positif dan oleh itu kami mempunyai minimum relatif di sini dengan Ujian Derivatif Kedua seperti yang kita lihat pada contoh pertama.

Sekiranya (x = 0 ) terbitan kedua adalah sifar dan oleh itu kami tidak dapat menggunakan Ujian Derivatif Kedua untuk mengklasifikasikan titik kritikal ini. Walau bagaimanapun, perhatikan bahawa kita tahu dari Ujian Derivatif Pertama yang kita gunakan dalam contoh pertama bahawa dalam kes ini titik kritikal bukan ekstrem relatif.

Mari kita buat satu lagi contoh.

Kami memerlukan derivatif pertama dan kedua untuk memulakan kami. Kami akan menyerahkan kepada anda untuk mengesahkan derivatif ini tetapi perlu diketahui bahawa kami melakukan sedikit penyederhanaan setelah mengambil setiap derivatif.

Perhatikan juga bahawa kita tidak akan dapat menggunakan ujian terbitan kedua pada (t = 6 ) untuk mengklasifikasikan titik kritikal ini kerana derivatif tidak ada pada ketika ini. Untuk mengklasifikasikannya, kami memerlukan maklumat yang meningkat / menurun yang akan kami dapat untuk membuat lakaran grafik.

Kita boleh, bagaimanapun, menggunakan Ujian Derivatif Kedua untuk mengklasifikasikan titik kritikal yang lain, jadi mari kita lakukan itu sebelum kita meneruskan kerja membuat sketsa. Berikut adalah nilai terbitan kedua pada (t = 3.6 ).

Jadi, menurut ujian terbitan kedua (t = 3.6 ) adalah maksimum maksimum.

Sekarang mari kita teruskan untuk mendapatkan lakaran grafik dan perhatikan bahawa setelah kita mendapat maklumat yang meningkat / menurun kita akan dapat mengklasifikasikan (t = 6 ).

Berikut adalah garis nombor untuk kata terbitan pertama.

Oleh itu, menurut ujian terbitan pertama kita dapat mengesahkan bahawa (t = 3.6 ) sebenarnya adalah maksimum yang relatif. Kita juga dapat melihat bahawa (t = 6 ) adalah minimum relatif.

Berhati-hatilah untuk tidak menganggap bahawa titik kritikal yang tidak dapat digunakan dalam ujian terbitan kedua tidak akan menjadi ekstrem relatif. Kami telah melihat dengan jelas sekarang baik dengan contoh ini dan dalam perbincangan setelah kami menjalani ujian bahawa hanya kerana kami tidak dapat menggunakan Ujian Derivatif Kedua atau Ujian Derivatif Kedua tidak memberitahu kami apa-apa mengenai titik kritikal tidak bermaksud bahawa titik kritikal tidak akan menjadi ekstrem relatif. Ini adalah kesalahan biasa yang dilakukan oleh banyak pelajar, jadi berhati-hatilah semasa menggunakan Ujian Derivatif Kedua.

Baiklah, mari selesaikan masalahnya. Kita akan memerlukan senarai titik perubahan yang mungkin. Ini adalah,

Berikut adalah garis nombor untuk kata terbitan kedua. Perhatikan bahawa kita memerlukan ini untuk melihat apakah kedua-dua titik di atas sebenarnya titik belokan.

Jadi, kesimpulan hanya berubah pada (t = 7.2 ) dan ini adalah satu-satunya titik belokan untuk fungsi ini.

Berikut adalah lakaran grafik.

Perubahan kesimpulan pada (t = 7.2 ) sukar dilihat, tetapi di sinilah perubahan yang sangat halus dalam kesesakan.


Apakah graf itu? Mengapa mereka begitu penting?

Grafik memainkan peranan penting dalam pemodelan dan pemahaman sistem semula jadi yang kompleks dan muncul di sejumlah tempat dalam kurikulum geosains pengantar. Walaupun konsep plot dan grafik diajarkan sepanjang kelas K-12, saya dapati sebilangan pelajar bergelut - walaupun dengan konsep mudah yang saya harapkan dapat mereka ketahui. Sekiranya ini berlaku dalam kursus anda, mungkin perlu mengkaji semula asas-asas grafik atau plot.


Menyelesaikan Persamaan Secara Grafik Kandungan: Halaman ini sesuai dengan & mazhab 2.2 (hlm. 187) teks. Masalah yang Dicadangkan dari Teks: hlm. 187 # 2, 4, 8, 9, 15, 16, 28, 29, 31, 32, 34, 35, 39, 41, 45, 51, 53, 56, 63, 69 Sifar Fungsi

Nilai sifar f adalah nombor a sehingga f (a) = 0. Dengan kata lain, sifar f adalah penyelesaian untuk persamaan f (x) = 0. Selanjutnya, x = a adalah sifar f jika dan hanya jika titik (a, 0) adalah pintasan-x bagi graf f.

Dengan persamaan dalam x, terdapat persamaan setara dengan bentuk f (x) = 0. Menyelesaikan persamaan adalah sama dengan mencari sifar f, yang sama dengan mencari pintasan-x dari grafik persamaan .

Masalah: Selesaikan 5x + 2 = 3x - 7

Menolak 3x dan menambahkan 7 pada kedua sisi persamaan menghasilkan persamaan yang sama:

2x + 9 = 0.

Jadi, tiga masalah berikut adalah setara:

Selesaikan 5x + 2 = 3x - 7.

Cari sifar f (x) = 2x + 9.

Cari pintasan-x bagi y = 2x + 9.

Menyelesaikan Persamaan Secara Grafik

Fakta bahawa menyelesaikan persamaan boleh dianggap mencari pintasan-x bagi graf menjadikan utiliti grafik sangat berguna untuk menyelesaikan persamaan. Anda harus memahami bahawa dalam kebanyakan kes, utiliti grafik tidak akan menemui penyelesaian persamaan yang tepat, hanya perkiraan.

Kira penyelesaian untuk x 3 + 5x = 2x 2 + 7.

Langkah pertama adalah menulis semula persamaan dalam bentuk & quotf (x) = 0 & quot, memindahkan semua istilah ke satu sisi persamaan. Dengan menggunakan notasi yang diperlukan oleh Java Grapher, kami memiliki

x ^ 3 + 5 * x - 2 * x ^ 2 - 7 = 0.

Sekarang grafik fungsi f (x) = x ^ 3 + 5 * x - 2 * x ^ 2 - 7.

Terdapat beberapa perkara yang perlu diperhatikan mengenai graf f.

1. pintasan-y nampaknya (0, -7), dan sebenarnya ini adalah koordinat tepat. Pintasan-y bagi suatu fungsi senang dicari. Anda hanya menilai fungsi pada 0, dan dalam contoh ini, f (0) = -7. Sudah tentu, jika 0 tidak berada dalam domain fungsi, maka tidak ada pintasan-y.

2. Dalam contoh ini nampaknya hanya ada satu pintasan-x dengan koordinat pertama kira-kira 1.5. Mungkin ada orang lain yang berada di luar segi empat tepat tontonan, tetapi dalam hal ini tidak ada.

3. Sekiranya anda menggunakan ciri Jadual untuk menilai fungsi f pada 1.5, anda dapati f (1.5) = -0.625, yang tidak terlalu dekat dengan 0, jadi 1.5 bukanlah penghampiran yang sangat baik.

Gunakan ciri Jejak untuk mendapatkan idea yang lebih baik di mana pintasan-x berada. Semasa titik jejak mendekati pintasan, perhatikan tetingkap koordinat y. Ingat bahawa tujuannya adalah mencari titik jejak (titik pada grafik) dengan koordinat y 0. Biasanya anda tidak memukul 0 tepat, jadi anda ingin perhatikan di mana koordinat y berubah tanda. Dalam contoh ini, mereka berubah dari negatif ke positif kerana grafnya semakin meningkat. Jadual di bawah menunjukkan dua titik jejak yang paling hampir dengan paksi-x.

Ini memberitahu bahawa penyelesaian untuk persamaan adalah antara x = 1.6 dan x = 1.6666667. Pada ketika ini kita tahu bahawa tempat perpuluhan pertama adalah 6 tetapi kita tidak tahu yang kedua.

Perhatikan bahawa grafik ini cukup & quotsteep. & Quot Kerana kecuraman ini, hanya memperbesar tidak akan meningkatkan ketepatan penghampiran kita dengan cepat. Menggunakan Zoom Box akan memberikan hasil yang lebih baik. Ideanya adalah untuk menyeret kotak supaya grafik tidak seperti curam. Kotak & quottall dan nipis & quot seperti yang digambarkan di bawah adalah yang kita mahukan. Sekiranya sudut kiri bawah dan sudut kanan atas kotak menyentuh grafik, maka apabila segi empat tepat pandangan diubah, bahagian grafik yang kelihatan akan kelihatan seperti pepenjuru pada janda tontonan, walaupun tidak lurus sempurna.

Kelebihan memiliki graf yang tidak curam adalah apabila kita mengesan, perubahan x tidak menghasilkan perubahan besar dalam y. Setelah menyesuaikan segi empat tepat pandangan dengan Zoom Box yang digambarkan di atas, dua titik jejak yang paling dekat dengan paksi-x disenaraikan dalam jadual di bawah.

Kita sekarang tahu bahawa penyelesaiannya adalah antara x = 1.60 dan x = 1.6044445. Oleh itu, tempat perpuluhan kedua adalah 0. Selanjutnya, jika kita membundarkan ke dua tempat perpuluhan, maka hasilnya adalah 1.60 kerana tempat perpuluhan ketiga paling banyak 4, jadi kita tidak akan membulatkan.

Jadi, pendekatan kami untuk penyelesaian untuk persamaan adalah x = 1.60, dan ini adalah nilai jawapan tepat yang dibundarkan kepada dua tempat perpuluhan.

Cari tiga penyelesaian untuk x 3 + 1 = 3x, tepat apabila dibundarkan kepada dua tempat perpuluhan. Jawapan

Titik Persilangan Grafik

Biarkan f dan g menjadi fungsi dan anggap bahawa graf f dan g bersilang pada titik (a, b). Oleh kerana (a, b) berada pada graf f, b = f (a). (Semua titik pada grafik f adalah dalam bentuk (x, f (x)).) Tetapi (a, b) juga terdapat pada grafik g, jadi b = g (a). Oleh itu, f (a) = g (a) iaitu, a adalah penyelesaian untuk persamaan f (x) = g (x).

Katakan f (x) = x 2 + 1, dan g (x) = x + 3. Grafik bersilang dalam dua titik, dan koordinat pertama titik persilangan adalah -1 dan 2.

Persamaan x 2 + 1 = x + 3 mempunyai dua penyelesaian, x = -1 dan x = 2.

Setelah anda mengetahui koordinat x titik-titik persimpangan, maka anda dapati koordinat y dengan menilai salah satu fungsi pada nilai-nilai x.

Dalam contoh ini, g (-1) = f (-1) = 2 dan g (2) = f (2) = 5, jadi titik persimpangan adalah (-1,2) dan (2,5).

Anda boleh menggunakan kaedah & quotZoom and Trace & quot dengan utiliti grafik untuk menghampiri titik persilangan graf fungsi f dan g. Secara amnya, lebih baik mencari pintasan x dari graf h (x) = f (x) - g (x).

Cari titik persilangan graf f (x) = x 2 + 1 dan g (x) = 3 - x / 2.

Katakan h (x) = f (x) - g (x) = (x 2 + 1) - (3 - x / 2) = x 2 - 2 + x / 2. Grafik f, g, dan h digambarkan di bawah.

Kedua-dua titik persimpangan itu dilingkari. Perhatikan bahawa pintasan-x dari graf h sesuai dengan koordinat pertama dari dua titik persimpangan.

Koordinat pertama bagi pintasan-x h adalah kira-kira -1.69 dan 1.19.

Perhatikan bahawa ini bukan nilai yang tepat. Sekiranya kita menilai f dan g pada nombor ini, kita akan mendapat nilai yang sedikit berbeza. Oleh kerana g adalah fungsi yang lebih sederhana, kita akan menggunakan g.

g (-1.69) = 3.845 dan g (1.19) = 2.405. Jadi titik persimpangan lebih kurang

(-1.69, 3.85) dan (1.19, 2.41).

Kira titik persilangan graf f (x) = x 2 - 2x dan g (x) = x + 1. Jawapan


Bagaimana cara memindahkan fungsi dalam arah-x?

  • Anda mesti mengganti setiap x dengan
  • dan ingat tanda: Jika anda mahu ke arah x, gantikan x dengan. Tetapi jika anda mahu ke arah yang bertentangan, anda menggantikan x dengan.

Grafik sebelum transformasi:

Dein Browser unterst tzt den HTML-Canvas-Tag nicht. Hol dir einen neuen. : P
Fungsi selepas transformasi:
Dein Browser unterst tzt den HTML-Canvas-Tag nicht. Hol dir einen neuen. : P
Inilah yang dikira Mathepower:

Gerakkan graf dengan 2 ke arah kanan:
Ganti setiap x dengan
Fungsi yang dipindahkan:


Adanya Penyelesaian:

Bekalkan set pemberian yang boleh dicetak ini kepada para pelajar sekolah menengah dan ketuklah kemahiran mereka! Mereka perlu memeriksa sama ada persamaan yang diberikan mempunyai penyelesaian atau tidak.

Selesaikan persamaan nilai mutlak dan cari jalan penyelesaiannya. Soalannya ada dua penyelesaian atau tiada jalan penyelesaian.

Tetapkan x + a = b dan x + a = -b, dan selesaikan persamaan nilai mutlak.

Mengasingkan ungkapan nilai mutlak dan kemudian menyelesaikannya.

Mengasingkan ungkapan nilai mutlak dari jangka masa tetap dan menyelesaikan x.

Yang perlu anda lakukan dalam set latihan pdf ini ialah: cari titik putus, atur selang waktu, selesaikan x dan periksa penyelesaian yang tidak wajar.


1.E: Fungsi dan Grafik (Latihan)

Sekarang pertimbangkan fungsi pengeluaran berkadar tetap F (z 1 , z 2) = min <z 1 /2,z 2>, yang memodelkan teknologi di mana 2 unit input 1 dan 1 unit input 2 diperlukan untuk menghasilkan setiap unit output. 1-isokant untuk teknologi ini adalah set semua pasangan (z 1 , z 2) yang mana min <z 1 /2,z 2> = 1. Isoquant ini, bersama-sama dengan 2-isokant ditunjukkan dalam rajah berikut.

Untuk fungsi pengeluaran berkadar tetap umum F (z 1 , z 2) = min <az 1 ,bz 2>, isoquants mengambil bentuk yang ditunjukkan dalam gambar berikut.

Isoquants untuk teknologi di mana terdapat dua teknik yang mungkin

Dua sudut isokant sesuai dengan kes di mana semua mesin di kilang berjalan perlahan, dan kes di mana semuanya berjalan dengan cepat. Titik-titik di antara, pada bahagian miring ke bawah, sesuai dengan kes di mana firma menjalankan beberapa mesinnya dengan cepat dan beberapa perlahan.

Isoquants untuk fungsi pengeluaran di mana inputnya adalah pengganti yang sempurna

Isoquants untuk fungsi pengeluaran Cobb-Douglas

Untuk fungsi pengeluaran Cobb-Douglas yang lebih umum, isokant tidak semestinya hiperbola, tetapi mempunyai bentuk umum yang sama. Untuk fungsi pengeluaran

Senaman

Senaman

Kadar penggantian teknikal marginal untuk fungsi pengeluaran perkadaran tetap

Kadar penggantian teknikal marginal apabila inputnya adalah pengganti yang sempurna

Kadar penggantian teknikal marginal untuk fungsi pengeluaran Cobb-Douglas

CATATAN: Ini BUKAN formula umum untuk MRTS! Ini khusus untuk contoh ini.


Lembaran Kerja Grafik

Di bawah ini kami telah membuat borang yang membolehkan anda memasukkan nilai anda sendiri untuk membuat lembaran kerja grafik. Anda boleh menukar warna dan nombor yang berkaitan dengan masing-masing. Setelah selesai kami akan menghasilkan lembaran kerja menarik yang boleh anda cetak untuk digunakan di dalam kelas.

Catatan: Beberapa percubaan mungkin diperlukan untuk melihat apa yang paling sesuai pada halaman bercetak. Anda boleh menggunakan fungsi 'pratonton cetak' penyemak imbas anda untuk melihat seperti apa grafik yang dicetak di halaman.

Penjana lembaran kerja ini kini dalam fasa pengujian. Sekiranya anda mempunyai komen atau cadangan, beritahu kami di kotak di bahagian bawah halaman ini. Terima kasih.

Ciri Langganan merangkumi:

  • Semua Iklan Sepanduk dikeluarkan dari seluruh laman web
    Catatan: Langganan TIDAK membenarkan penghapusan kutipan dari teka-teki dan lembaran kerja yang dibuat di laman web kami.
  • Lebih banyak pilihan tersedia untuk menyesuaikan teka-teki!
    • Lebih banyak gambar stok untuk dipilih!
    • Lebih banyak gambar dibenarkan setiap teka-teki!
    • Banyak lagi fon yang ada! (lebih daripada 125 fon!)
    • Gunakan SETIAP fon yang dipasang di komputer anda
    • 10 slot senarai senarai perkataan - dan akses senarai tersimpan anda dari mana sahaja!
    • Lebih banyak perkataan / petunjuk untuk teka-teki silang (sehingga 50)
    • Lebih banyak perkataan / petunjuk untuk pertandingan (sehingga 100)
    • Lebih banyak perkataan / petunjuk untuk mengisi tempat kosong (sehingga 100)
    • Lebih banyak perkataan / petunjuk untuk perebutan kata (sehingga 100)
    • Lebih banyak pilihan untuk teka-teki Sudoku
    • Tiada penangguhan menunggu yang dikenakan untuk menyimpan teka-teki pada gambar atau PDF
    • 'Fake Bank' pada lembaran kerja Isi-kosong-kosong kami
    • Lebih banyak ciri akan datang tidak lama lagi

    CATATAN: SEMUA Pakej mengandungi ciri yang sama, langganan yang lebih lama mendapat jeda harga yang lebih baik

    SELAMAT: Semua langganan boleh dibayar melalui Paypal atau Stripe, jadi maklumat perbankan sensitif anda tidak pernah dilihat atau disimpan oleh laman web kami.

    Klik di Facebook dan SUKA KAMI untuk mendapatkan maklumat terkini mengenai pelepasan langganan kami dan dapatkan kod kupon berharga!


    Fungsi: Grafik dan Persimpangan

    Katakan f (x) dan g (x) adalah dua fungsi yang mengambil input nombor nyata, dan mengeluarkan nombor nyata.

    Maka titik-titik persilangan f (x) dan g (x) adalah nombor-nombor x yang f (x) = g (x).

    Kadang kala nilai tepat dapat dijumpai dengan mudah dengan menyelesaikan persamaan f (x) = g (x) secara algebra.

    Apakah titik persilangan fungsi f (x) dan g (x) jika f (x) = x + 6 dan g (x) = & tolak x?

    Titik persilangan f (x) dan g (x) adalah nombor x yang mana f (x) = g (x).

    x + 6 = & tolak x 2 x + 6 = 0 2 x = & tolak 6 x = & tolak 3

    Sekarang, anda boleh menggunakan nilai x untuk mencari koordinat y yang sesuai dari titik persimpangan.

    Ganti nilai x dalam salah satu daripada dua fungsi tersebut.

    Persamaan juga dapat diselesaikan secara grafik dengan memetakan dua fungsi pada satah koordinat dan mengenal pasti titik persilangan kedua-duanya.

    Dalam kes lain, nilai yang tepat sukar dicari. Anda mungkin perlu menggunakan teknologi untuk menganggarkannya.

    Cari titik persilangan kedua fungsi tersebut.

    f (x) = | & thinsp x & tolak 5 & thinsp | g (x) = log x

    Di sini, penyelesaian secara algebra tidak begitu mudah. ​​Penyelesaian kepada persamaan | x & tolak 5 | = log x bukan nombor rasional yang cantik.

    Anda boleh menggunakan utiliti grafik untuk mengetahui bahawa koordinat titik persimpangan kira-kira (4.36, 0.64) dan (5.76, 0.76).


    Tonton videonya: Latihan PAT 1 materi Fungsi Lanjutan dan Grafiknya (Disember 2021).