Artikel

6.6: Pembahagian polinomial - Matematik


6.6: Pembahagian polinomial - Matematik

Pembahagian panjang polinomial

Dalam aljabar, pembahagian panjang polinomial adalah algoritma untuk membahagi polinomial dengan polinomial lain yang sama atau lebih rendah, versi umum teknik aritmetik biasa yang disebut pembahagian panjang. Ia dapat dilakukan dengan mudah dengan tangan, kerana ia memisahkan masalah pembahagian yang kompleks dengan yang lain. Kadang-kadang menggunakan versi pendek yang disebut pembahagian sintetik lebih pantas, dengan penulisan yang lebih sedikit dan pengiraan yang lebih sedikit. Kaedah lain yang disingkat adalah pembahagian pendek polinomial (kaedah Blomqvist).

Pembahagian panjang polinomial adalah algoritma yang menerapkan pembahagian polinomial Euclidean, yang bermula dari dua polinomial A (yang dividen) dan B (yang pembahagi) menghasilkan, jika B bukan sifar, a sangka Q dan a baki R seperti itu

dan sama ada R = 0 atau darjah R lebih rendah daripada darjah B. Keadaan ini menentukan secara unik Q dan R, yang bermaksud Q dan R jangan bergantung pada kaedah yang digunakan untuk mengira mereka.

Keputusan R = 0 berlaku jika dan hanya jika polinomial A telah B sebagai faktor. Oleh itu, pembahagian panjang adalah kaedah untuk menguji sama ada satu polinomial mempunyai faktor lain, dan, jika berlaku, untuk memfaktorkannya. Contohnya, jika akar r daripada A diketahui, ia boleh difaktorkan dengan memecah belah A oleh (xr).


Ijazah Polinomial

Tahap polinomial yang mempunyai faktor literal tunggal adalah istilah yang mempunyai tahap tertinggi:

4x 2 - 2x + 4 adalah polinomial darjah kedua yang ditentukan oleh faktor literal "x 2".

Sekiranya terdapat dua atau lebih pemboleh ubah dalam istilah tahap polinomial adalah jumlah eksponen pemboleh ubah:

2ax 3 - 4x + 6 adalah polinomial darjah keempat yang ditentukan oleh jumlah faktor "a" dan "x 3".

3x + 5ab + 2b + 4 adalah polinomial darjah kedua, "a" dan "b" masing-masing dikira sebagai satu dari istilah "5ab".


MathJax Pembahagian panjang sintetik dan polinomial

Sehingga kini, saya tidak pernah cuba memaparkan teknik pembelahan menggunakan $ LaTeX $ kerana sepertinya tidak ada cara yang baik untuk melaksanakannya. Walau bagaimanapun, kami mungkin menggunakan persekitaran array untuk paparan kaedah pembahagian panjang sintetik dan polinomial dengan sangat baik.

Saya akan menunjukkan cara menggunakan persekitaran array untuk menunjukkan bahawa:

menggunakan dua kaedah pembahagian yang biasa diajar kepada pelajar aljabar, iaitu pembahagian panjang sintetik dan polinomial.

Pertama, mari kita bincangkan persekitaran array. Untuk menentukan array anda boleh menggunakan tag:

Seterusnya, anda perlu menentukan berapa banyak lajur yang akan ada dan apakah penjajaran lajur tersebut. Anda menggunakan & quotl & quot untuk kiri, & quotc & quot untuk pusat, dan & quotr & quot untuk kanan. Setiap baris perlu ditentukan menggunakan salah satu daripada tiga watak ini. Dengan meletakkan watak bar menegak & quot | & quot di antara dua lajur dalam definisi penjajaran ini, anda boleh menyebabkan bar menegak ditampilkan dalam array. Setiap baris dalam susunan dipisahkan dengan garis miring terbalik dua & quot & quot dan setiap elemen dalam baris dipisahkan oleh tanda ampersand & quot & amp & quot. Elemen data mungkin juga kosong.

Lajur pertama mungkin sejajar tengah, dan kemudian bar menegak harus memisahkan lajur pertama dari yang lain, yang semuanya harus sejajar kanan.

Perhatikan bahawa arahan hline menghasilkan garis mendatar.

Pembahagian panjang polinomial

Di sini kita boleh menggunakan hanya satu lajur yang tepat untuk tatasusunan kita.

Baris pertama mengandungi hasil tambah, dan baris kedua harus berupa:

Garis bawah arahan boleh digunakan di mana pengurangan dilakukan.

Perhatikan bahawa perintah ruang mendatar hspace <#em> dapat digunakan untuk memperkenalkan ruang putih pada akhir baris untuk menyelaraskan data sesuai keperluan. Anda mungkin perlu bereksperimen untuk mendapatkannya dengan betul.


Kandungan

Cincin polinomial di atas bilangan bulat atau di atas medan adalah domain pemfaktoran yang unik. Ini bermaksud bahawa setiap elemen cincin ini adalah produk pemalar dan produk polinomial yang tidak dapat direduksi (yang bukan produk dari dua polinomial tidak tetap). Lebih-lebih lagi, penguraian ini unik sehingga penggandaan faktor dengan pemalar yang boleh dibalikkan.

Pemfaktoran bergantung pada bidang asas. Sebagai contoh, teorema asas algebra, yang menyatakan bahawa setiap polinomial dengan pekali kompleks mempunyai akar yang kompleks, menyiratkan bahawa satu polinomial dengan pekali integer dapat difaktorkan (dengan algoritma penemuan akar) menjadi faktor linear di atas bidang kompleks C. Begitu juga, di atas bidang real, faktor yang tidak dapat direduksi mempunyai darjah paling banyak dua, sementara ada polinomial dari tahap apa pun yang tidak dapat direduksi di atas bidang rasional Q.

Persoalan faktorisasi polinomial masuk akal hanya untuk pekali dalam a bidang yang boleh dikira yang setiap elemennya dapat ditunjukkan dalam komputer dan yang mana terdapat algoritma untuk operasi aritmetik. Walau bagaimanapun, ini bukan syarat yang mencukupi: Fröhlich dan Shepherdson memberikan contoh bidang seperti itu yang mana algoritma faktorisasi tidak dapat wujud. [3]

Bidang koefisien yang dikenal pasti algoritma faktorisasi merangkumi bidang perdana (iaitu, bidang rasional dan aritmetik modular perdana) dan peluasan bidangnya yang dihasilkan dengan sempurna. Pekali integer juga dapat dikesan. Kaedah klasik Kronecker hanya menarik dari sudut sejarah algoritma moden diteruskan secara berturut-turut:

  • Dari kes multivariate hingga kes univariate.
  • Dari pekali dalam peluasan transendental semata-mata hingga kes multivariate di atas permukaan tanah (lihat di bawah).
  • Dari pekali dalam peluasan algebra hingga pekali di medan tanah (lihat di bawah).
  • Dari pekali rasional hingga pekali integer (lihat di bawah).
  • Dari pekali integer hingga pekali dalam bidang utama dengan hlm elemen, untuk dipilih dengan baik hlm (lihat di bawah).

Dalam bahagian ini, kami menunjukkan bahawa pemfaktoran berakhir Q (nombor rasional) dan lebih Z (bilangan bulat) pada dasarnya adalah masalah yang sama.

The kandungan dari polinomial hlmZ[X], dilambangkan "cont (hlm) ", adalah, sehingga tanda, pembahagi umum yang paling besar bagi pekali bahagian primitif daripada hlm adalah primpart (hlm)=hlm/ samb (hlm), yang merupakan polinomial primitif dengan pekali integer. Ini mentakrifkan faktorisasi hlm menjadi produk bilangan bulat dan polinomial primitif. Pemfaktoran ini unik sehingga tanda kandungannya. Adalah kebiasaan untuk memilih tanda kandungan supaya pekali utama bahagian primitif positif.

adalah faktorisasi ke dalam kandungan dan bahagian primitif.

Setiap polinomial q dengan pekali rasional mungkin ditulis

di mana hlmZ[X] dan cZ: cukup untuk diambil c gandaan dari semua penyebut pekali bagi q (contohnya produk mereka) dan hlm = cq. The kandungan daripada q ditakrifkan sebagai:

dan juga bahagian primitif daripada q adalah dari hlm. Bagi polinomial dengan pekali integer, ini menentukan faktorisasi menjadi nombor rasional dan polinomial primitif dengan pekali integer. Pemfaktoran ini juga unik untuk pilihan tanda.

adalah faktorisasi ke dalam kandungan dan bahagian primitif.

Gauss membuktikan bahawa produk dua polinomial primitif juga primitif (Gauss's lemma). Ini menunjukkan bahawa polinomial primitif tidak dapat direduksi daripada rasional jika dan hanya jika ia tidak dapat direduksi di atas bilangan bulat. Ini menyiratkan juga bahawa faktorisasi terhadap rasional polinomial dengan pekali rasional adalah sama dengan pemfaktoran terhadap bilangan bulat bahagian primitifnya. Begitu juga, pemfaktoran atas bilangan bulat polinomial dengan pekali integer adalah produk pemfaktoran bahagian primitifnya dengan pemfaktoran kandungannya.

Dengan kata lain, pengiraan GCD integer mengurangkan pemfaktoran polinomial atas rasional kepada pemfaktoran polinomial primitif dengan pekali integer, dan pemfaktoran atas bilangan bulat hingga pemfaktoran bilangan bulat dan polinomial primitif.

Segala yang terdahulu tetap benar sekiranya Z digantikan oleh cincin polinomial di atas padang F dan Q digantikan oleh bidang fungsi rasional lebih F dalam pemboleh ubah yang sama, dengan satu-satunya perbezaan bahawa "hingga tanda" mesti diganti dengan "hingga pendaraban dengan pemalar yang tidak dapat diubah dalam FIni mengurangkan pemfaktoran terhadap penyambungan medan transendental semata-mata F kepada faktorisasi polinomial multivariate F.

Sekiranya dua atau lebih faktor polinomial sama, maka polinomial adalah gandaan kuasa dua bagi faktor ini. Faktor berganda juga merupakan faktor turunan polinomial (berkenaan dengan mana-mana pemboleh ubah, jika ada).

Untuk polinomial univariat, pelbagai faktor setara dengan pelbagai punca (di atas medan lanjutan yang sesuai). Untuk polinomial univariat berdasarkan rasional (atau lebih umum pada bidang sifar ciri), algoritma Yun mengeksploitasi ini untuk memfaktorkan polinomial menjadi faktor bebas persegi dengan cekap, iaitu faktor yang bukan gandaan kuasa dua, melakukan urutan Pengiraan GCD bermula dengan gcd (f(x), f '(x)). Untuk memfaktorkan polinomial awal, memadai untuk memfaktorkan setiap faktor bebas kuasa dua. Oleh itu, faktorisasi bebas kuasa dua adalah langkah pertama dalam kebanyakan algoritma pemfinilan polinomial.

Algoritma Yun memperluas ini ke kes multivariate dengan mempertimbangkan polinomial multivariate sebagai polinomial univariate di atas cincin polinomial.

Sekiranya polinomial di atas medan terhingga, algoritma Yun berlaku hanya jika darjah lebih kecil daripada ciri, kerana, jika tidak, turunan polinomial bukan sifar mungkin sifar (di atas medan dengan hlm unsur, terbitan polinomial di x hlm sentiasa sifar). Walaupun begitu, pengiraan GCD berturut-turut, bermula dari polinomial dan turunannya, memungkinkan seseorang untuk menghitung penguraian bebas persegi melihat pemfaktoran Polinomial berbanding medan terhingga # Pemfaktoran bebas persegi.

Bahagian ini menerangkan kaedah buku teks yang mudah dilakukan semasa membuat komputer dengan tangan. Kaedah-kaedah ini tidak digunakan untuk pengiraan komputer kerana mereka menggunakan pemfaktoran integer, yang saat ini lebih lambat daripada pemfaktoran polinomial.

Memperolehi faktor linear Edit

Semua faktor linear dengan pekali rasional dapat dijumpai menggunakan ujian akar rasional. Sekiranya polinomial yang akan difaktorkan ialah n x n + a n - 1 x n - 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 < displaystyle a_x ^+ a_x ^+ cdots + a_ <1> x + a_ <0>>, maka semua kemungkinan faktor linier adalah dalam bentuk b 1 x - b 0 < displaystyle b_ <1> x-b_ <0>>, dengan b 1 < displaystyle b_ <1>> adalah faktor integer dari < displaystyle a_> dan b 0 < displaystyle b_ <0>> adalah faktor integer dari 0 < displaystyle a_ <0>>. Semua kemungkinan kombinasi faktor integer dapat diuji kesahannya, dan masing-masing satu faktor yang sah dapat diperhitungkan dengan menggunakan pembahagian panjang polinomial. Sekiranya polinomial asal adalah hasil faktor sekurang-kurangnya dua daripadanya adalah darjah 2 atau lebih tinggi, teknik ini hanya memberikan pemfaktoran separa jika tidak, pemfaktorannya selesai. Khususnya, jika terdapat satu faktor bukan linear, ia akan menjadi polinomial kiri setelah semua faktor linear difaktorkan. Dalam kes polinomial kubik, jika kubik dapat difaktorkan sama sekali, ujian akar rasional memberikan pemfaktoran lengkap, baik menjadi faktor linear dan faktor kuadratik yang tidak dapat direduksi, atau menjadi tiga faktor linear.

Kaedah Kronecker Edit

Oleh kerana polinomial integer mesti menjadi faktor polinomial integer, dan menilai polinomial integer pada nilai integer mesti menghasilkan bilangan bulat, nilai integer polinomial dapat difaktorkan hanya dalam beberapa cara yang terbatas, dan hanya menghasilkan sejumlah mungkin faktor polinomial yang terbatas.

Oleh itu, jika terdapat faktor polinomial integer darjah kedua, ia mesti mengambil salah satu nilai

hlm(0) = 1, 2, −1, atau −2

dan juga untuk hlm(1). Terdapat lapan faktorisasi 6 (empat masing-masing untuk 1 × 6 dan 2 × 3), menjadikan jumlah 4 × 4 × 8 = 128 kemungkinan tiga kali ganda (hlm(0), hlm(1), hlm(−1)), yang mana separuh boleh dibuang sebagai negatif dari separuh yang lain. Oleh itu, kita mesti menyemak 64 polinomial bilangan bulat eksplisit p (x) = ax 2 + bx + c < displaystyle p (x) = ax ^ <2> + bx + c> sebagai kemungkinan faktor f (x) < displaystyle f (x)>. Menguji mereka secara mendalam menunjukkan bahawa

dibina dari (g(0), g(1), g(−1)) = (1,3,1) faktor f (x) < displaystyle f (x)>.

Memfaktorkan bidang terhingga Edit

Memfaktorkan polinomial univariate daripada bilangan bulat Edit

Algoritma masa polinomial pertama untuk memfaktorkan polinomial rasional ditemui oleh Lenstra, Lenstra dan Lovász dan merupakan aplikasi dari algoritma Lenstra – Lenstra – Lovász basis pengurangan (LLL) (Lenstra, Lenstra & amp Lovász 1982). Versi ringkas algoritma pemfaktoran LLL adalah seperti berikut: hitung kompleks (atau hlm-adic) root α dari polinomial f (x) < displaystyle f (x)> hingga ketepatan tinggi, kemudian gunakan algoritma pengurangan asas kisi Lenstra – Lenstra – Lovász untuk mencari hubungan linear yang hampir antara 1, α, α 2, α 3,. . . dengan pekali integer, yang mungkin merupakan hubungan linear tepat dan faktor polinomial f (x) < displaystyle f (x)>. Seseorang dapat menentukan batas ketepatan yang menjamin bahawa kaedah ini menghasilkan faktor, atau bukti yang tidak dapat diketepikan. Walaupun kaedah ini selesai dalam waktu polinomial, ia tidak digunakan dalam praktik kerana kisi mempunyai dimensi tinggi dan entri besar, yang membuat pengiraannya lambat.

Pemfaktoran terhadap peluasan algebra (kaedah Trager) Edit

adalah pemfaktoran yang dikehendaki bagi hlm(x, cincin terurai secara unik ke dalam bidang seperti:


Cara: Diberi dua polinomial, di mana pembahagi dalam bentuk [lateks] x-k [/ lateks] gunakan pembahagian sintetik untuk membahagi

  1. Tulis k untuk pembahagi.
  2. Tuliskan pekali dividen.
  3. Turunkan pekali plumbum.
  4. Gandakan pekali plumbum dengan k. Tuliskan produk di lajur seterusnya.
  5. Tambahkan syarat lajur kedua.
  6. Gandakan hasilnya dengan k. Tuliskan produk di lajur seterusnya.
  7. Ulangi langkah [lateks] 5 [/ latex] dan [latex] 6 [/ latex] untuk lajur yang tinggal.
  8. Gunakan nombor bawah untuk menulis hasil. Nombor pada lajur terakhir adalah selebihnya dan mempunyai darjah [lateks] 0 [/ lateks]. Nombor seterusnya dari kanan mempunyai darjah [lateks] 1 [/ lateks], dan nombor seterusnya dari kanan mempunyai darjah [lateks] 2 [/ lateks], dan seterusnya.

Dalam contoh seterusnya, kita akan menggunakan pembahagian sintetik untuk membahagi polinomial darjah ketiga.

Contohnya

Gunakan pembahagian sintetik untuk membahagi [lateks] 4^<3>+10^ <2> -6x - 20 [/ latex] oleh [latex] x + 2 [/ latex].

Pembahagi binomial ialah [lateks] x + 2 [/ latex] jadi [lateks] k = -2 [/ latex]. Tambahkan setiap lajur, kalikan hasilnya dengan –2, dan ulangi sehingga lajur terakhir tercapai.

Hasilnya ialah [lateks] 4^ <2> + 2x - 10 [/ lateks]. Sekali lagi perhatikan tahap hasilnya lebih rendah daripada tahap hasil bagi, [lateks] 4^<3>+10^ <2> -6x - 20 [/ lateks].

Kami dapat memastikan bahawa kami betul dengan mengalikan hasilnya dengan pembahagi:

Kami baru sahaja mengesahkan bahawa jawapannya adalah [lateks] 4^ <2> + 2x - 10 [/ lateks]

Dalam contoh seterusnya, kita akan menunjukkan pembahagian polinomial darjah keempat oleh binomial. Perhatikan bagaimana tidak ada istilah x dalam polinomial darjah keempat, jadi kita perlu menggunakan placeholder 0 untuk memastikan penjajaran istilah yang tepat.

Contohnya

Gunakan pembahagian sintetik untuk membahagi [lateks] -9^<4>+10^<3>+7^ <2> -6 [/ latex] oleh [latex] x - 1 [/ latex].

Perhatikan tidak ada x-term. Kami akan menggunakan sifar sebagai pekali untuk istilah itu.

Cuba ia

Dalam contoh video terakhir kami, kami menunjukkan satu lagi contoh cara menggunakan pembahagian sintetik untuk membahagikan polinomial darjah tiga dengan binomial darjah satu.


Ahli matematik bukanlah orang yang mudah mencari Matematik, mereka adalah orang yang menikmati betapa sukarnya, membingungkan dan sukar. Adakah anda seorang ahli matematik?

Komen yang dirakam di halaman 'Starter of the Day' 17 Jun oleh Mr Hall, Light Hall School, Solihull:

Saya suka laman web anda Saya menggunakannya setiap pelajaran matematik yang saya ada dengan kumpulan setiap tahun! Saya tidak tahu adakah saya akan berpaling dengan anda! & Quot

Komen dirakam di halaman 'Starter of the Day' 23 September oleh Judy, Chatsmore CHS:

& quotPermulaan segitiga ini sangat baik. Saya telah menggunakannya dengan semua kelas ks3 dan ks4 saya dan mereka semua benar-benar fokus ketika menghitung segi tiga. & Quot

Setiap bulan buletin diterbitkan yang mengandungi perincian penambahan baru ke laman web Transum dan teka-teki baru bulan ini.

Buletin kemudian digandakan sebagai podcast yang tersedia di rangkaian penghantaran utama. Anda boleh mendengar podcast semasa anda bergerak, bersenam atau berehat.

Berita terkini Transum boleh didapati di Twitter @Transum dan jika itu tidak mencukupi terdapat juga laman Facebook Transum.

Aktiviti Pilihan

Surat berita

Buletin Transum untuk Julai 2021 baru sahaja diterbitkan. Klik pada gambar di atas untuk membaca mengenai perkembangan terkini di laman web ini dan cuba menyelesaikan teka-teki bulan ini. Anda boleh membaca buletin dalam talian atau mendengarnya dengan memuat turun podcast.


Contoh yang Diselesaikan

Rose mahu membahagikan polinomial ((4x ^ 3 - 3x ^ 2 + 4x) ) dengan (2x + 1 ). Bolehkah anda membantunya dengan penyelesaiannya?

Di sini, polinomial (4x ^ 3 - 3x ^ 2 + 4x ) dibahagi dengan (2x + 1 )

Selesaikan ((24a ^ 2 + 48a + 2) & bahagi (6a + 12) ) dengan menggunakan kaedah pembahagian panjang polinomial.

Pembahagian panjang ((24a ^ 2 + 48a + 2) & bahagi (6a + 12) ) boleh dilakukan dengan cara berikut.

Pertimbangkan dua polinomial berikut:

Cari kutipan polinomial dan selebihnya apabila (a kiri (x kanan) ) dibahagi dengan (b kiri (x kanan) ).

( Oleh itu ) [ bermula& ampq kiri (x kanan) = frac <1> <2> - frac <3> <4> x + frac <7> <8> & ampr = - frac <<15>> <8> akhir]

Bahagikan (6x ^ 2 + 10x-24 ) dengan (2x + 6 ) menggunakan pembahagian sintetik polinomial.

Bahagikan (60y ^ 4 + 22y ^ 3 & minus 164y ^ 2 & minus 24y + 84 ) dengan (6y ^ 2 + 4y & minus 8 ) dan cari hasil dan baki ungkapan.


Aplikasi Matematik Algebra Baru: Bahagian Panjang Polinomial

Untuk menghidupkan kembali artikel ini, kunjungi Profil Saya, kemudian Lihat cerita yang disimpan.

Untuk menghidupkan kembali artikel ini, kunjungi Profil Saya, kemudian Lihat cerita yang disimpan.

Menambah koleksi aplikasi matematik yang mudah tetapi berkesan dan jelas, Esa Helttula kini telah memperkenalkan Polynomial Long Division.

Sebilangan besar aplikasi Esa & # x27 sebelumnya berkaitan dengan aritmetik, membantu anak-anak mempraktikkan penambahan, pengurangan, pendaraban, dan pembahagian mereka dengan pelbagai cara. Tetapi yang baru ini langsung terjun di tengah Algebra, mengajar anak-anak bagaimana memanipulasi dan membahagi polinomial dan istilah individu mereka.

Apabila anda memulakannya, aplikasi ini memberi anda masalah pembahagian polinomial, dan kemudian menuntun anda melalui setiap bahagian proses pembahagian. Sekiranya anda pernah tersekat, ketik istilah atau & amp; quothelp me, & quot dan aplikasinya mengajar atau mengingatkan anda bagaimana menyelesaikan bahagian persamaan itu.

Seperti semua aplikasi Esa & # x27s, anda boleh mengubah tetapan untuk mempengaruhi jenis istilah yang digunakan, dan penampilan halaman. Anda juga dapat menyelesaikan masalah secara manual jika anak-anak anda memerlukan bantuan dengan masalah pekerjaan rumah, atau anda ingin mencabarnya dengan sekumpulan polinomial tertentu. Terdapat juga senarai sejarah, jadi anda dapat melihat masalah yang telah anda selesaikan.

Terdapat skrin bantuan yang luas yang memberi bantuan kepada setiap bahagian aplikasi. Anda juga boleh mendapatkan lebih banyak maklumat mengenai ini dan aplikasi lain Esa & # x27 di laman web iDevBooks.

Walaupun aplikasi ini menolong anda selangkah demi selangkah, jika anda baru mengenal polinomial, atau memanipulasi istilahnya, beberapa arahan luar mungkin berguna sebelum mencuba aplikasinya. Tetapi jika anda & # x27mengenal pasti & quot; keluar semasa anda & quot & quot; aplikasi ini memberi anda maklumat dan alat yang diperlukan untuk melakukannya sendiri.

Polynomial Long Division untuk iPad boleh didapati di iTunes store dengan harga $ 2.99. Ini sangat bagus untuk membantu anak-anak (dan orang dewasa) berlatih manipulasi dan pembahagian polinomial. Pendaraban Polinomial, dan Penambahan dan Pengurangan Polinomial, akan keluar dalam masa terdekat. Saya tidak boleh mencadangkan aplikasi matematik Esa & # x27s cukup.


Kami melihat dua idea di bahagian sebelumnya: Yang pertama adalah cara untuk mendapatkan keluk terbaik hanya darjah 1 (garis) yang melintasi dua mata dalam fungsi polinomial, dan yang kedua adalah cara untuk mendapatkan keluk terbaik (polinomial) dari ijazah yang menghampiri fungsi kita hanya pada satu titik. Apa yang berlaku apabila kita menggabungkan dua idea ini? Mari kita lihat baki dibahagi dengan peningkatan nilai dan kemudian menggeneralisasikan idea ini untuk mendapatkan pengembangan dua titik Taylor fungsi analitik!

Pertimbangkan baki untuk. Kami ingin menunjukkan bahawa lengkung yang paling sesuai pada titik dan susunan ke setiap titik ini.

Bukti

Perhatikan dari persamaan pembahagian di atas yang tepat untuk menyusun dan memenuhi persamaan

Dengan menggunakan aruhan, kita dapat menunjukkan yang mempunyai bentuk yang dijelaskan di atas. Kerana kita sudah melihat bahawa itu adalah garis yang melintasi dan, oleh itu, penghampiran terbaik untuk urutan ke-0 pada titik-titik ini. Menulis untuk kita perhatikan bahawa

  • Ini adalah polinomial urutan paling banyak, seperti yang dikehendaki oleh algoritma pembahagian
  • Ia sudah memenuhi persamaan di atas untuk dan
  • Ia mempunyai dua darjah kebebasan untuk menyelesaikan dua persamaan yang diberikan di atas untuk.

Pencarian Google yang cepat mengenai topik ini menghasilkan penerbitan oleh NASA mengenai pengembangan Taylor dua titik diikuti dengan makalah yang lebih baru. Dari tulisan ini, anda mungkin menyedari bahawa lebih mudah untuk menulis pekali setiap istilah dari siri Taylor dua titik dalam bentuk.



Pembahagian panjang aljabar sangat serupa dengan pembahagian panjang tradisional (yang mungkin anda temui lebih awal dalam pendidikan anda). Kaedah termudah untuk menerangkannya adalah dengan mencari contoh.

NB:
Sekiranya polinomial / ungkapan yang anda bahagikan mempunyai istilah dalam x hilang, tambahkan istilah tersebut dengan meletakkan nol di hadapannya. Contohnya, jika anda membahagikan x³ + x - 4 dengan sesuatu, tulis semula sebagai x³ + 0x² + x - 4.

Dengan pembahagian panjang algebra, latihan menjadikan sempurna - kaedah terbaik untuk belajar bagaimana melakukannya dengan betul adalah dengan melakukan banyak contoh sehingga anda mendapatkannya dengan betul setiap masa.

Teorema Faktor

Dengan kata lain, jika polinomial f (x) dapat dibahagi dengan (x - a) tanpa baki, maka x = a adalah punca f (x) (jadi f (a) = 0).

Dalam contoh kerja di atas, f (2) = 0. Ini bermaksud bahawa (x - 2) adalah faktor persamaan.

Teorema faktor penting kerana ia boleh menjadi kaedah mudah untuk mencari faktor yang sebaliknya sukar dicari.

Perhatikan bahawa jika kita menggantikan x dengan -1, maka kita mendapat sifar. Sekiranya anda menyedari atau diberitahu hal ini, maka anda akan segera mengetahui, berdasarkan teorema faktor, bahawa salah satu faktornya adalah (x + 1). Sekarang kita boleh membahagikan x 3 -7x - 6 dengan (x + 1) untuk mencari faktor lain. Sekiranya anda menjalankan pembahagian, anda akan mendapat x 2 - x - 6. Ini mudah difaktorkan, jawapannya adalah (x - 3) (x + 2).

Jadi x 3 -7x - 6 = (x + 1) (x - 3) (x + 2)

Teorema Kekal

Apabila membahagi satu ungkapan algebra dengan yang lain, lebih kerap daripada yang lain akan ada baki. Selalunya berguna untuk mengetahui apakah baki ini dan sering dapat dikira tanpa melalui proses pembahagi. Peraturannya adalah:

Sekiranya polinomial f (x) dibahagi dengan ax - b, selebihnya adalah f (b / a)

Dalam contoh di atas, 2x³ - 3x² - 3x + 2 dibahagi dengan x - 2.

Katakan f (x) = 2x³ - 3x² - 3x + 2. Dalam kes ini, a = 1, b = 2. Oleh itu, selebihnya adalah f (2) = 2 × 2³ - 3 × 2² - 3 × 2 + 2 = 0, seperti yang kita lihat ketika kita membahagikan semuanya.

Terminologi

The sangka adalah apa yang anda diberikan setelah membahagikan. Jadi, jika p (x) adalah polinomial asal, maka

p (x) = q (x) s (x) + r (x), di mana q (x) adalah hasil bagi, s (x) adalah yang anda bahagikan dan r (x) adalah selebihnya.


Tonton videonya: PEMBAGIAN POLINOMIAL (Disember 2021).