Artikel

5.10.E: Masalah Fungsi Teratur - Matematik


Latihan ( PageIndex {1} )

Lengkapkan semua butiran dalam bukti Teorema (1-3 ).

Latihan ( PageIndex {1 '} )

Terangkan Contoh ((a) - (g) ).

Latihan ( PageIndex {2 *} )

Buktikan Nota (2. ) Secara umum, dengan andaian (T ) lengkap, buktikan bahawa jika
[
g_ {n} kanan bawah f ( teks {seragam}) teks {on} I = [a, b]
]
dan jika (g_ {n} ) diatur pada (I, ) begitu juga (f ).
[Petunjuk: Betulkan (p in (a, b]. ) Gunakan Teorema 2 Bab (4, §11 ) dengan
[
X = [a, p], Y = N cup {+ infty }, q = + infty, text {dan} F (x, n) = g_ {n} (x).
]
Kemudian tunjukkan bahawa
[
f kiri (p ^ {-} kanan) = lim _ {x rightarrow p ^ {-}} lim _ {n rightarrow infty} g_ {n} (x) text {wujud; }
]
( kiri. teks {serupa untuk} f kiri (p ^ {+} kanan). kanan] )

Latihan ( PageIndex {3} )

Diberi (f, g: E ^ {1} kanan bawah E ^ {1}, ) tentukan (f vee g ) dan (f wedge g ) seperti dalam Masalah 12 Bab (4, §8. ) Dengan menggunakan petunjuk yang diberikan di sana, tunjukkan bahawa (f vee g ) dan (f wedge g ) diatur jika (f ) dan (g ).

Latihan ( PageIndex {4} )

Tunjukkan bahawa fungsi (g circ f ) tidak perlu diatur walaupun (g ) dan (f ).
[Petunjuk: Biarkan
[
f (x) = x cdot sin frac {1} {x}, g (x) = frac {x} {| x |}, teks {dan} f (0) = g (0) = 0 text {dengan} I = [0,1].
]
Teruskan.]

Latihan ( PageIndex {5} )

( Rightarrow ) Diberi (f: E ^ {1} rightarrow (T, rho), ) diatur pada (I, ) meletakkan
[
j (p) = max kiri { rho kiri (f (p), f kiri (p ^ {-} kanan) kanan), rho kiri (f (p), f kiri (p ^ {+} kanan) kanan), rho kiri (f kiri (p ^ {-} kanan), f kiri (p ^ {+} kanan) kanan) kanan } ;
]
panggil ia (j u m p ) di (p ).
(i) Buktikan bahawa (f ) tidak bersambung di (p in I ^ {0} ) iff (j (p)> 0, ) iaitu, iff
[
( ada n di N) quad j (p)> frac {1} {n}.
]
(ii) Untuk tetap (n di N, ) membuktikan bahawa subinterval tertutup (J subseteq I ) mengandungi paling banyak (x ) dengan (j (x)> 1 / n ).
[Petunjuk: Jika tidak, terdapat urutan titik yang berbeza (x_ {m} di J, j kiri (x_ {m} kanan)> frac {1} {n}, ) oleh itu n x_ {m_ {k}} panah kanan p di J. ) (Mengapa?) Gunakan Teorema 1 Bab (4, ) §2, ( kiri. teks {untuk menunjukkan bahawa} f kiri ( p ^ {-} kanan) teks {atau} f kiri (p ^ {+} kanan) teks {gagal ada.} kanan] )

Latihan ( PageIndex {6} )

( Rightarrow ) Tunjukkan bahawa jika (f: E ^ {1} rightarrow (T, rho) ) diatur pada (I, ) maka ia memiliki banyak penghentian di (I; ) semua adalah jenis "lompat" (Masalah 5).
[Petunjuk: Dengan Masalah 5, mana-mana subinterval tertutup (J subseteq I ) mengandungi, untuk setiap (n, ) paling banyak banyak penghentian (x ) dengan (j (x)> 1 / n. ) Oleh itu, untuk (n = 1,2, ldots, ) dapatkan ( teks {sangat banyak} x.] )

Latihan ( PageIndex {7} )

Buktikan bahawa jika (E ) selesai, semua peta (f: E ^ {1} kanan bawah E, ) dengan (V_ {f} [I] <+ infty ) di (I = [ a, b], ) diatur pada (I. )
[Petunjuk: Gunakan Corollary 1, Bab 4, §2, untuk menunjukkan bahawa (f kiri (p ^ {-} kanan) ) dan (f kiri (p ^ {+} kanan) ) ada .
Katakan,
[
x_ {n} kanan p teks {dengan} x_ {n}

]
tetapi ( kiri {f kiri (x_ {n} kanan) kanan } ) tidak Cauchy. Kemudian cari ikutan, ( kiri {x_ {n_ {k}} kanan } uparrow, ) dan ( varepsilon> 0 ) sehingga
[
kiri | f kiri (x_ {n_ {k + 1}} kanan) -f kiri (x_ {n_ {k}} kanan) kanan | geq varepsilon, quad k = 1,3,5, ldots
]
Kurangkan percanggahan dengan (V_ {f} [I] <+ infty. )
( kiri. quad text {Berikan argumen serupa untuk kes} x_ {n}> h. kanan] )

Latihan ( PageIndex {8} )

Buktikan bahawa jika (f: E ^ {1} rightarrow (T, rho) ) diatur pada (I, ) maka ( overline {f [B]} ) (penutupan ( teks {of} f [B]) ) padat di ((T, rho) ) setiap kali (B ) adalah subkumpulan padat (I. )
[Petunjuk: Diberi ( kiri {z_ {m} kanan } ) di ( overline {f [B]} ), cari ( kiri {y_ {m} kanan } subseteq f [B] ) sehingga ( rho kiri (z_ {m}, y_ {m} kanan) kananarrow 0 ) (gunakan ( teks {Teorem} 3 teks {Bab} 3 , §16). ) Kemudian "tiru" bukti Teorema 1 dalam Bab ( teks {ter} 4, §8 ) dengan sesuai. Bezakan kes:
(i) semua kecuali banyak (x_ {m} ) adalah (

(ii) banyak (x_ {m} ) melebihi (p; ) atau
(iii) banyak (x_ {m} ) sama (p ).]


Tonton videonya: F5 Addmath Latihan Kendiri Q3 Bab 6 FUNGSI TRIGONOMETRI (Disember 2021).