Komen

Tindak balas Cabaran 18


Titik Polka di Lurus

Ini adalah masalah Olympiad matematik. Sekiranya bola 1999 adalah warna yang sama, angka berturut-turut meningkat atau berkurang. Setiap nombor muncul sekali sahaja dan terdapat 1999 (jadi tidak ada nombor 3 yang mengulangi bilangan ganjil (1 ganjil), jadi terdapat kelerengan kedua-dua warna.

Memandangkan pengedaran bola yang mempunyai kedudukan tertentu bola biru A dan dalam kedudukan seterusnya bola merah Rjika ada yang guli biru di sebelah kiri A dan r bola merah di sebelah kanan anda jadi ada yang + 1 bola biru di sebelah kiri R dan r - 1 bola merah di sebelah kanan anda. Nombor yang ditulis di bawah A é tidak = yang + r dan nombor yang ditulis di bawah R é yang + 1 + r - 1 = n.

Jika kita menukar tempat A dan R, dan kami tidak memindahkan bola lain, dalam edaran baru ada yang guli biru di sebelah kiri R dan r - 1 bola merah di sebelah kanan anda, di sebelah kiri A ada yang bola biru dan di sebelah kanan anda r - 1 bola merah. Nombor yang ditulis di bawah R dan A adalah a + r - 1= n - 1 dan a + r - 1 = tidak - 1. Nombor yang ditulis di bawah bola lain tidak berubah.

Jadi selepas pertukaran, nombor itu tidak mengulangi dua kali kurang dan nombor tidak - 1 mengulangi dua kali lagi. Nombor yang mengulangi bilangan ganjil kali akan sama dalam kedua-dua tatarajah.

Oleh itu, hanya pelajari konfigurasi di mana semua bola merah berturut-turut dari yang pertama, dan semua biru berturut-turut dari merah terakhir.

Katakan a, b ialah jumlah bola merah dan biru, masing-masing; maka a + b = 1999. Di bawah bola pertama (ia merah) adalah nombor a - 1, seterusnya, a - 2, kemudian a - 3, dan sebagainya, sehingga ia mempunyai 0 dalam bola merah terakhir ). Jadi di bawah bola biru pertama ada 0, pada 1 dan seterusnya, hingga yang terakhir, yang memiliki b - 1 di bawah.

Jika <b, nombor 0, 1, 2, ..., a - 1 muncul dua kali (malah kuantiti) dan nombor a, a + 1, a + 2, ..., b - 1 muncul sekali (kuantiti ganjil) . Sekiranya terdapat nombor 3 tepat yang muncul bilangan ganjil, ini adalah a, 1, dan a + 2 = b - Oleh itu, a + b = 2a + 3, maka a = 998, dan tiga nombor mengulangi jumlah ganjil sebanyak 998, 999 dan 1000.

Jika satu> b, tiga nombor yang muncul bilangan ganjil adalah b, b +1 dan b + 2 = a - 1, di mana a + b = 2b + 3 dan tiga nombor lagi 998, 999 dan 1000 .

Kembali ke penyataan