Artikel

5.6: Pokok Rentang Optimum - Matematik

5.6: Pokok Rentang Optimum - Matematik



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Dalam beberapa aplikasi, grafik (G ) ditambah dengan mengaitkan berat atau kos dengan setiap kelebihan; graf sedemikian disebut a graf berwajaran. Dalam kes seperti itu, daripada hanya berminat pada pokok yang merangkumi, kita mungkin berminat dengan pokok merangkumi kos paling rendah, iaitu, pohon rentang sehingga jumlah kos tepi pokok sekecil mungkin. Sebagai contoh, ini adalah kaedah paling murah untuk menghubungkan sekumpulan bandar dengan rangkaian komunikasi, menguburkan kabel sedemikian rupa sehingga dapat meminimumkan jumlah kos pemasangan kabel.

Masalah ini adalah masalah yang dapat diselesaikan dengan cara a algoritma tamak. Secara kasar, algoritma tamak adalah algoritma yang membuat pilihan yang optimum dalam jangka pendek. Biasanya strategi ini tidak menghasilkan penyelesaian yang optimum dalam jangka panjang, tetapi dalam hal ini pendekatan ini berfungsi.

Definisi: graf berwajaran

Graf berwajaran ialah graf (G ) bersama dengan fungsi kos (c titik E (G) hingga R ^ {> 0} ). Sekiranya (H ) adalah subgraf (G ), kos (H ) adalah (c (H) = sum_ {e di E (H)} c (e) ).

Algoritma Jarník

Memandangkan graf bersambung berwajaran (G ), kami membina pokok merangkumi kos minimum (T ) seperti berikut. Pilih sebarang bucu (v_0 ) di (G ) dan sertakannya di (T ). Sekiranya bucu (S = {v_0, v_1, ldots, v_k } ) telah dipilih, pilih tepi dengan satu titik akhir di (S ) dan satu titik akhir tidak di (S ) dan dengan berat terkecil di antara semua tepi tersebut. Biarkan (v_ {k + 1} ) menjadi titik akhir tepi ini bukan di (S ), dan tambahkannya dan tepi yang berkaitan ke (T ). Teruskan sehingga semua bucu (G ) berada di (T ).

Algoritma ini ditemui oleh Vojtěch Jarník pada tahun 1930, dan ditemui semula secara bebas oleh Robert C. Prim pada tahun 1957 dan Edsger Dijkstra pada tahun 1959. Ia sering disebut Algoritma Prim. Algoritma diteruskan dengan membina urutan pokok (T_1, T_2, ldots, T_ {n-1} ), dengan (T_ {n-1} ) pohon rentang untuk (G ). Pada setiap langkah, algoritma menambahkan kelebihan yang akan menjadikan (c (T_ {i + 1}) ) sekecil mungkin di antara semua pokok yang terdiri daripada (T_i ) ditambah satu tepi. Ini adalah pilihan terbaik dalam jangka pendek, tetapi tidak jelas bahawa dalam jangka masa panjang, iaitu pada saat (T_ {n-1} ) dibina, ini akan menjadi yang terbaik pilihan.

Teorema 5.6.2

Algoritma Jarník menghasilkan pokok merangkumi kos minimum.

Bukti

Katakan (G ) disambungkan pada bucu (n ). Biarkan (T ) menjadi pokok rentang yang dihasilkan oleh algoritma, dan (T_m ) pokok merangkumi kos minimum. Kami membuktikan bahawa (c (T) = c (T_m) ).

Biarkan (e_1, e_2, ldots, e_ {n-1} ) menjadi tepi (T ) mengikut urutan ia ditambahkan ke (T ); satu titik akhir (e_i ) ialah (v_i ), yang satu lagi berada di ( {v_0, ldots, v_ {i-1} } ). Kami membentuk urutan pokok (T_m = T_0, T_1, ldots, T_ {n-1} = T ) sehingga untuk setiap (i ), (c (T_i) = c (T_ {i + 1}) ), dan kami menyimpulkan bahawa (c (T_m) = c (T) ).

Sekiranya (e_1 ) berada di (T_0 ), biarkan (T_1 = T_0 ). Jika tidak, tambahkan tepi (e_1 ) ke (T_0 ). Ini membuat kitaran yang mengandungi (e_1 ) dan satu lagi kejadian tepi di (v_0 ), katakan (f_1 ). Alih keluar (f_1 ) untuk membentuk (T_1 ). Oleh kerana algoritma menambah kelebihan (e_1 ), (c (e_1) le c (f_1) ). Sekiranya (c (e_1)

Katakan kita telah membina pokok (T_i ). Sekiranya (e_ {i + 1} ) berada di (T_i ), biarkan (T_ {i + 1} = T_i ). Jika tidak, tambahkan tepi (e_ {i + 1} ) ke (T_i ). Ini membuat kitaran, salah satu pinggirnya, memanggilnya (f_ {i + 1} ), tidak berada di (e_1, e_2, ldots, e_i ) dan mempunyai tepat satu titik akhir di ( {v_0, lots, v_i } ). Alih keluar (f_ {i + 1} ) untuk membuat (T_ {i + 1} ). Oleh kerana algoritma ditambahkan (e_ {i + 1} ), (c (e_ {i + 1}) le c (f_ {i + 1}) ). Sekiranya (c (e_ {i + 1})

( persegi )


Pokok rentang minimum

A pokok rentang minimum (MSTatau berat pokok minimum adalah subkumpulan tepi graf yang tidak berarah yang bersambung, yang menghubungkan semua bucu bersama, tanpa sebarang putaran dan dengan berat tepi minimum yang mungkin. Artinya, itu adalah pohon rentang yang jumlah bobot tepinya sekecil mungkin. Secara lebih umum, mana-mana graf tidak terarah berwajaran tepi (tidak semestinya disambungkan) mempunyai a hutan seluas minimum, yang merupakan penyatuan pokok rentang minimum untuk komponennya yang bersambung.

Terdapat banyak kes penggunaan untuk pokok rentang minimum. Salah satu contohnya ialah syarikat telekomunikasi yang berusaha meletakkan kabel di kawasan kejiranan baru. Sekiranya dikekang untuk menguburkan kabel hanya di sepanjang jalan tertentu (mis. Jalan), maka akan ada grafik yang mengandungi titik (mis. Rumah) yang dihubungkan oleh jalan tersebut. Sebilangan lintasan mungkin lebih mahal, kerana lebih panjang, atau memerlukan kabel untuk dikubur lebih dalam, lorong ini akan diwakili oleh tepi dengan berat yang lebih besar. Mata wang adalah unit yang boleh diterima untuk berat tepi - tidak ada syarat untuk panjang tepi untuk mematuhi peraturan geometri biasa seperti ketaksamaan segitiga. A pokok span kerana graf itu akan menjadi sebahagian daripada jalan yang tidak mempunyai kitaran tetapi masih menghubungkan setiap rumah mungkin ada beberapa pokok yang mungkin. A pokok rentang minimum akan menjadi satu dengan jumlah kos terendah, mewakili jalan paling murah untuk meletakkan kabel.


Kandungan

Beberapa algoritma pencarian jalan, termasuk algoritma Dijkstra dan algoritma carian A *, secara dalaman membina pokok rentang sebagai langkah perantaraan dalam menyelesaikan masalah.

Untuk meminimumkan kos rangkaian kuasa, sambungan kabel, paip, pengecaman pertuturan automatik, dan lain-lain, orang sering menggunakan algoritma yang secara beransur-ansur membina pokok rentang (atau banyak pokok seperti itu) sebagai langkah pertengahan dalam proses mencari pokok rentang minimum . [1]

Internet dan banyak rangkaian telekomunikasi lain mempunyai pautan penghantaran yang menghubungkan nod bersama dalam topologi mesh yang merangkumi beberapa gelung. Untuk mengelakkan gelung jambatan dan gelung perutean, banyak protokol perutean yang dirancang untuk rangkaian tersebut - termasuk Spanning Tree Protocol, Open Shortest Path First, Link-state routing protokol, Augmented tree-based routing, dll - memerlukan setiap penghala mengingat pokok span.

Jenis pokok rentang khas, pokok Xuong, digunakan dalam teori grafik topologi untuk mencari penyisipan grafik dengan genus maksimum. Pokok Xuong adalah pokok rentang sehingga, dalam grafik yang tersisa, bilangan komponen yang bersambung dengan bilangan tepi yang ganjil sekecil mungkin. Pokok Xuong dan penyisipan genus maksimum yang berkaitan dapat dijumpai pada masa polinomial. [2]

Pokok adalah graf tak tentu yang bersambung tanpa putaran. Ia adalah pokok grafik G jika menjangkau G (itu, merangkumi setiap bucu dari G) dan merupakan subgraf dari G (setiap tepi pokok adalah milik G). Pohon yang merangkumi graf yang bersambung G juga boleh didefinisikan sebagai set maksimum tepi G yang tidak mengandungi kitaran, atau sebagai set tepi minimum yang menghubungkan semua bucu.

Kitaran asas Edit

Menambah hanya satu tepi ke pokok rentang akan membuat kitaran seperti kitaran yang disebut a kitaran asas. Terdapat kitaran asas yang berbeza untuk setiap pinggir yang tidak ada di pohon rentang, oleh itu terdapat persamaan satu-ke-satu antara putaran asas dan pinggir yang tidak ada di pohon rentang. Untuk graf bersambung dengan V bucu, mana-mana pokok rentang akan ada V - 1 tepi, dan dengan itu, graf dari E tepinya dan salah satu pokok rentangnya akan ada EV + 1 kitaran asas (Bilangan tepi dikurangkan dengan bilangan tepi yang termasuk dalam pokok rentang yang memberikan bilangan tepi yang tidak termasuk dalam pokok rentang). Untuk mana-mana pokok rentang yang diberi, semua set EV + 1 kitaran asas membentuk asas kitaran, asas untuk ruang kitaran. [3]

Potongan asas Edit

Ganda dengan pengertian kitaran asas adalah pengertian a cutset asas. Dengan memotong hanya satu tepi pokok rentang, bucu-bucu itu dibahagikan kepada dua set terasing. Potongan asas didefinisikan sebagai kumpulan tepi yang mesti dikeluarkan dari grafik G untuk mencapai partisi yang sama. Oleh itu, setiap pokok rentang menentukan satu set V - 1 potongan asas, satu untuk setiap tepi pokok rentang. [4]

Dualitas antara potongan asas dan kitaran asas ditentukan dengan memperhatikan bahawa tepi pusingan tidak di pokok rentang hanya boleh muncul di potongan sisi lain dalam kitaran dan begitu juga sebaliknya: tepi pada cutset hanya dapat muncul dalam kitaran yang mengandungi tepi sesuai dengan cutset. Dualitas ini juga dapat dinyatakan dengan menggunakan teori matroid, yang menurutnya pokok rentang adalah asas matroid grafik, kitaran asas adalah litar unik dalam set yang dibentuk dengan menambahkan satu elemen ke pangkal, dan potongan dasar didefinisikan dengan cara yang sama dari dual matroid. [5]

Hamparan hutan

Dalam grafik yang tidak bersambung, tidak ada pokok rentang, dan seseorang mesti mempertimbangkan merangkumi hutan sebaliknya. Di sini terdapat dua definisi yang bersaing:

  • Sebilangan pengarang menganggap hutan rentang sebagai subgraf asiklik maksimum grafik yang diberikan, atau setara grafik yang terdiri daripada pokok rentang di setiap komponen grafik yang bersambung. [6]
  • Bagi pengarang lain, hutan rentang adalah hutan yang merangkumi semua bucu, yang hanya bermaksud bahawa setiap bucu grafik adalah bucu di hutan. Untuk definisi ini, bahkan grafik yang disambungkan mungkin mempunyai hutan rentang yang terputus, seperti hutan di mana setiap bucu membentuk pohon bucu tunggal. [7]

Untuk mengelakkan kekeliruan antara kedua definisi ini, Gross & amp Yellen (2005) mencadangkan istilah "hutan rentang penuh" untuk hutan rentang dengan sambungan yang sama dengan grafik yang diberikan, sementara Bondy & amp Murty (2008) sebaliknya menyebut hutan jenis ini sebagai " hutan seluas maksimum ". [8]

Jumlah t(G) pokok merangkumi graf yang bersambung adalah invarian yang dikaji dengan baik.

Dalam grafik tertentu Edit

Dalam beberapa kes, mudah dikira t(G) secara langsung:

  • Sekiranya G adalah pokok, maka t(G) = 1 .
  • Bila G ialah graf kitaranCn dengan n bucu, maka t(G) = n .
  • Untuk graf lengkap dengan n simpul, formula Cayley [9] memberikan bilangan pokok yang merangkumi sebagai nn − 2 .
  • Sekiranya G ialah graf bipartit lengkap K p, q < displaystyle K_>, [10] kemudian t (G) = p q - 1 q p - 1 < displaystyle t (G) = p ^q ^> .
  • Untuk n-dimensi graf hypercube Q n < displaystyle Q_>, [11] bilangan pokok rentang adalah t (G) = 2 2 n - n - 1 ∏ k = 2 n k (n k) < displaystyle t (G) = 2 ^ <2 ^-n-1> prod _^k ^> .

Dalam grafik sewenang-wenang Edit

Secara lebih umum, untuk sebarang grafik G, jumlah t(G) dapat dikira dalam masa polinomial sebagai penentu suatu matriks yang berasal dari grafik, menggunakan teorema pokok matriks Kirchhoff. [12]

Khususnya, untuk mengira t(G), satu membina matriks Laplacian grafik, matriks persegi di mana baris dan lajur diindeks oleh bucu G. Entri berturut-turut i dan lajur j adalah salah satu daripada tiga nilai:

  • Tahap bucu i, sekiranya i = j,
  • −1, jika bucu i dan j berdekatan, atau
  • 0, jika bucu i dan j berbeza antara satu sama lain tetapi tidak berdekatan.

Matriks yang dihasilkan adalah tunggal, jadi penentu adalah sifar. Walau bagaimanapun, menghapus baris dan lajur untuk bucu yang dipilih secara sewenang-wenangnya membawa kepada matriks yang lebih kecil yang penentu tepat t(G).

Edit penghapusan-pengecutan

Sekiranya G ialah graf atau multigraf dan e adalah kelebihan sewenang-wenangnya G, maka nombornya t(G) pokok merangkumi G memenuhi berulang penghapusan-penguncupan t(G) = t(Ge) + t(G/e, di mana Ge adalah multigraf yang diperoleh dengan memotong e dan G/e ialah pengecutan G oleh e. [13] Istilah t(Gedalam formula ini mengira pokok rentang dari G yang tidak menggunakan tepi e, dan istilahnya t(G/e) mengira pokok yang merangkumi G penggunaan itu e.

Dalam formula ini, jika graf yang diberikan G adalah multigraf, atau jika kontraksi menyebabkan dua bucu bersambung satu sama lain dengan beberapa tepi, maka tepi yang berlebihan tidak boleh dilepaskan, kerana itu akan menyebabkan jumlah yang salah. Contohnya graf ikatan yang menghubungkan dua bucu dengan k tepi mempunyai k pokok rentang yang berlainan, masing-masing terdiri daripada satu tepi.

Edit polynomial Tutte

Polinomial Tutte grafik boleh didefinisikan sebagai jumlah, di atas pokok grafik, istilah yang dihitung dari "aktiviti dalaman" dan "aktiviti luaran" pokok. Nilai pada argumen (1,1) adalah jumlah pokok rentang atau, dalam grafik yang terputus, jumlah hutan rentang maksimum. [14]

Polynomial Tutte juga dapat dihitung dengan menggunakan pengulangan penghapusan-pengecutan, tetapi kerumitan komputasinya tinggi: untuk banyak nilai argumennya, pengiraannya tepat # P-lengkap, dan juga sukar untuk dihitung dengan nisbah anggaran yang dijamin. Titik (1,1), di mana ia dapat dinilai menggunakan teorema Kirchhoff, adalah salah satu dari beberapa pengecualian. [15]

Suntingan Pembinaan

Satu pokok graf yang boleh dijumpai dapat dijumpai dalam masa linear dengan carian pertama atau kedalaman pertama. Kedua-dua algoritma ini meneroka grafik yang diberikan, bermula dari bucu sewenang-wenangnya v, dengan melingkari tetangga simpul yang mereka temui dan menambahkan setiap jiran yang belum dijelajahi ke struktur data yang akan diterokai kemudian. Mereka berbeza sama ada struktur data ini adalah timbunan (dalam hal pencarian pertama-mendalam) atau barisan (dalam hal pencarian luas pertama). Dalam kedua-dua kes tersebut, seseorang dapat membentuk pohon rentang dengan menghubungkan setiap bucu, selain dari bucu akar v, ke bucu dari mana ia ditemui. Pokok ini dikenali sebagai pohon carian pertama atau pokok carian pertama dengan lebar mengikut algoritma penerokaan grafik yang digunakan untuk membinanya. [16] Pokok carian pertama yang mendalam adalah kes khas dari kelas pokok rentang yang disebut pokok Trémaux, yang dinamakan sempena abad ke-19 penemu pencarian pertama. [17]

Spanning Tree penting dalam pengkomputeran selari dan diedarkan, sebagai cara untuk mengekalkan komunikasi antara satu set pemproses, misalnya Spanning Tree Protocol yang digunakan oleh peranti lapisan pautan OSI atau Shout (protokol) untuk pengkomputeran yang diedarkan. Walau bagaimanapun, kaedah mendalam pertama dan luas untuk membina pokok rentang pada komputer berurutan tidak sesuai untuk komputer selari dan diedarkan. [18] Sebaliknya, penyelidik telah membuat beberapa algoritma yang lebih khusus untuk mencari pokok rentang dalam model pengiraan ini. [19]

Edit Pengoptimuman

Dalam bidang teori grafik tertentu, selalunya berguna untuk mencari pokok rentang minimum dengan graf berwajaran. Masalah pengoptimuman lain pada pohon rentang juga telah dikaji, termasuk pohon rentang maksimum, pokok minimum yang merangkumi sekurang-kurangnya b simpul, pokok rentang dengan tepi paling sedikit per bucu, pokok rentang dengan jumlah daun terbanyak, pohon rentang dengan daun paling sedikit (berkait rapat dengan masalah jalan Hamilton), pokok rentang diameter minimum, dan pokok rentang pelebaran minimum. [20] [21]

Masalah pokok rentang yang optimum juga telah dikaji untuk set titik terhingga dalam ruang geometri seperti satah Euclidean. Untuk masukan seperti itu, pohon rentang lagi merupakan pohon yang mempunyai titik-titik tertentu sebagai titik puncaknya. Kualiti pokok diukur dengan cara yang sama seperti dalam grafik, menggunakan jarak Euclidean antara pasangan titik sebagai berat untuk setiap pinggir. Oleh itu, sebagai contoh, pokok span minimum Euclidean adalah sama dengan pohon span minimum grafik dalam graf lengkap dengan berat tepi Euclidean. Namun, tidak perlu membuat grafik ini untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman, masalah pokok minimum Euclidean, misalnya, dapat diselesaikan dengan lebih efisien dalam O(n balak n) masa dengan membina triangulasi Delaunay dan kemudian menerapkan graf garis lurus masa linear algoritma pokok merangkumi minimum ke triangulasi yang dihasilkan. [20]

Edit Rawak

Pohon rentang yang dipilih secara rawak dari antara semua pokok rentang dengan kebarangkalian yang sama disebut pokok rentang yang seragam. Algoritma Wilson boleh digunakan untuk menghasilkan pokok rentang yang seragam pada waktu polinomial dengan proses mengambil jalan rawak pada graf yang diberikan dan menghapus kitaran yang dibuat oleh jalan ini. [22]

Model alternatif untuk menghasilkan pokok rentang secara rawak tetapi tidak seragam adalah pokok rentang minimum rawak. Dalam model ini, tepi grafik diberi berat rawak dan kemudian pokok rentang minimum graf berwajaran dibina. [23]

Suntingan Penghitungan

Oleh kerana grafik mungkin mempunyai banyak pokok yang meluas, tidak mungkin menyenaraikan semuanya dalam masa polinomial. Walau bagaimanapun, algoritma terkenal untuk menyenaraikan semua pokok yang merangkumi dalam masa polinomial setiap pokok. [24]

Setiap graf yang dihubungkan mempunyai pokok rentang. Walau bagaimanapun, untuk grafik yang bersambung tanpa batas, kewujudan pokok rentang setara dengan aksioma pilihan. Grafik tak terbatas disambungkan jika setiap pasangan bucunya membentuk pasangan titik akhir dari jalan terhingga. Seperti grafik terhingga, pohon adalah grafik yang bersambung tanpa kitaran terhingga, dan pohon rentang dapat didefinisikan sama ada sebagai set tepi asiklik maksimum atau sebagai pokok yang mengandungi setiap bucu. [25]

Pokok-pokok dalam grafik mungkin disusun sebahagian oleh hubungan subgrafnya, dan mana-mana rantai tak terhingga dalam urutan separa ini mempunyai batas atas (penyatuan pokok dalam rantai).Lemma Zorn, salah satu daripada banyak pernyataan yang setara dengan aksioma pilihan, memerlukan susunan separa di mana semua rantai di bahagian atas mempunyai elemen maksimum dalam susunan separa pada pokok grafik, elemen maksimum ini mestilah pokok rentang. Oleh itu, jika lemas Zorn diasumsikan, setiap graf yang tidak terbatas mempunyai pokok rentang. [25]

Ke arah lain, dengan sekumpulan set, adalah mungkin untuk membina graf yang tidak terbatas sehingga setiap pohon grafik merangkumi fungsi pilihan keluarga set. Oleh itu, jika setiap grafik yang disambungkan tanpa batas mempunyai pohon rentang, maka aksioma pilihan adalah benar. [26]

Idea tentang pohon rentang dapat digeneralisasikan kepada multigraf yang diarahkan. [27] Diberi bucu v pada multigraf yang diarahkan G, sebuah pokok rentang yang berorientasikan T berakar pada v adalah subgraf asiklik dari G di mana setiap bucu selain v mempunyai tahap melebihi 1. Definisi ini hanya dapat dipenuhi apabila "cabang" dari T tunjuk ke arah v.


Fizik Statistik Matematik

2.3 Struktur kumpulan

Selain hubungannya dengan pokok rentang, terdapat beberapa sifat yang lebih menarik dari set ℛ. Pertimbangkan N = 2 demi kesederhanaan (melampau). Tentukan operasi ⊕ on ℛ oleh

di mana + biasa bermaksud penambahan titik-bijak. Ini menimbulkan jadual berikut

Kami menyedari di sini jadual Cayley kumpulan abelian, iaitu, (ℛ, ⊕) adalah kumpulan abelian dengan unsur neutral 22. Perhatikan bahawa kita dapat menentukan ⊕ pada keseluruhan Ω, tetapi (Ω, ⊕) bukan kumpulan.

Kami sekarang memperkenalkan kumpulan lain (yang isomorfik dari kumpulan sebelumnya, seperti yang akan kita lihat kemudian). Marilah kita memperkenalkan pengendali penambahan ai : Ω → Ω

untuk saya ∈ <1, …, N>. Dalam ayat, aiη adalah hasil penambahan yang stabil di laman web i. Terima (atau sahkan) buat masa ini untuk semua i, j ∈ <1, …, N>,

Nanti kita akan membuktikan apa yang disebut harta abelian ini secara terperinci dan umum. Dengan definisi berulang, jika konfigurasi η berulang maka terdapat bilangan bulat ni & gt 0 sedemikian

Produk di (2.3) ditakrifkan dengan baik oleh abelianness. Hakikat bahawa ni boleh dipilih positif tegas berasal dari kenyataan bahawa sepanjang rantaian Markov seseorang menambahkan ke setiap laman web dengan kebarangkalian positif yang ketat. Panggil e = ∏ i = 1 N a i n i dan pertimbangkan

Secara definisi A tidak kosong (η ∈ A), dan jika g = ∏ i = 1 N a i m i untuk beberapa bilangan bulat mi ≥ 0, maka kita mempunyai implikasinya “Ζ ∈ A menyiratkan gζ ∈ A" Sesungguhnya, dengan kebolehan, untuk ζ ∈ A,

Oleh itu, A adalah "set perangkap" untuk rantai Markov, iaitu, sekumpulan konfigurasi sedemikian rupa sehingga apabila rantai Markov memasukinya, ia tidak akan meninggalkannya. Sebagai akibatnya A ⊃ ℛ, kerana rantaian Markov hanya mempunyai satu kelas berulang yang mengandungi konfigurasi maksimum. Oleh kerana definisi kita ada A ⊆ ℛ, A = ℛ. Oleh itu, bertindak padaℛ, e berkecuali. Sejak ni & gt 0, kita boleh menentukan

Dari (2.4) kami menyimpulkan bahawa

bertindak pada ℛ mentakrifkan kumpulan abelian.

Sudah tentu tidak semua produk pengendali tambahan menentukan G adalah berbeza. Sebenarnya, kumpulan ini mudah dilihat, dan kami akan menunjukkannya sekali lagi

Untuk itu, cukup untuk menunjukkan bahawa kumpulan itu bertindak secara sementara dan bebas di ℛ, iaitu, untuk semua orbit η ∈ ℛ Oη = <gη: g ∈ G> = ℛ dan jika = g′ Η untuk sebilangan g, g∈ G, kemudian g = g′, Iaitu, = g′ Ζ untuk semua ζ ∈ ℛ. Untuk pernyataan pertama, jika η ∈ ℛ dan g ∈ G, kemudian boleh dicapai dari η dalam rantaian Markov, oleh itu gη ∈ ℛ, dan Oη Oleh itu, jelas merupakan perangkap untuk rantai Markov, oleh itu Oη ⊃ ℛ. Untuk membuktikan pernyataan kedua, pertimbangkan untuk = g′ Η set

kemudian A = ℛ dengan jenis penaakulan yang sama yang digunakan dalam definisi songsang. Oleh itu, untuk semua η, peta

adalah biakan antara G dan ℛ.

Namun, masih ada cara lain untuk melihat bahawa |G| = N = 1. Cara penaakulan ini akan berguna kerana dalam kes umum kita tidak akan dapat dengan mudah menghitung konfigurasi berulang. Persamaan |G| = | ℛ | bagaimanapun adalah umum, dan itu akan berguna untuk memperoleh | ℛ |. Mengira bilangan elemen kumpulan boleh menjadi tugas yang mudah sekiranya kita menjumpai kumpulan isomorfik yang dapat dirawat. Untuk ini, kita harus mencari hubungan penutupan di G. Inilah yang mudah. Katakan anda menambah dua fail kepada beberapa pesuruhjaya. Oleh kerana dia mempunyai sekurang-kurangnya satu fail (untuk menyelamatkan wajahnya), dia pasti akan menjadi gila dan memberikan satu fail kepada setiap jirannya (tentu saja syarat-syarat sempadan). Dalam simbol ini bermaksud

Dengan menggunakan matriks topping Δ yang diperkenalkan di (2.1), ini diringkaskan sebagai

untuk semua iV. Bertindak ℛ kita boleh membawa laman kanan ke kiri, dan mendapatkan

untuk semua iV. Dengan kesesuaian, kami menyimpulkan dari (2.9) itu untuk semua n: V → ℤ

untuk semua n : V → ℤ. Kami akan menunjukkan sekarang, sebaliknya, jika

untuk beberapa mi ℤ maka wujud n : V → ℤ sedemikian

Dengan kata lain, hubungan penutupan ini bermaksud bahawa satu-satunya "penambahan sepele" pada ℛ adalah (lajur integer) gandaan matriks Δ.

di mana m ∈V . Tulis m = m + − m - di mana m + dan m - bilangan bulat bukan negatif dinilai. Hubungan (2.12) berlaku untuk konfigurasi berulang hasil

Dengan kata, penambahan m + atau m - ke η membawa kepada konfigurasi stabil akhir yang sama, katakan ζ. Tetapi kemudian ada k + , k - fungsi nilai integer bukan negatif pada V seperti itu

Tiba pada tahap ini, kita dapat menggunakan teorema algebra dasar yang terkenal. Sekiranya anda mempunyai kumpulan G dan kumpulan H dan homomorfisme

kemudian G adalah isomorfik bagi hasil H/Ker(Ψ) di mana Ker(Ψ) adalah himpunan h ∈ H yang dipetakan ke unsur neutral dari G. Dalam kes kami, tentukan

dengan operasi kumpulan penambahan menunjuk. Seterusnya

Maka apa yang baru kita bincangkan dapat dirumuskan dalam persamaan

dan oleh itu kita mempunyai isomorfisme

Untuk melihat persamaan terakhir, perhatikan bahawa ℤ V adalah |V| kisi hiperkubik dimensi, dengan jumlah sel satu unit. Δℤ V adalah kisi lain dengan lajur Δ sebagai vektor yang menentukan sel unit. Hasil bagi dua kisi ini secara geometri dapat dilihat sebagai titik yang tidak setara n ∈ ℤ V sel unit kisi Δℤ V . Kesetaraan di sini ditakrifkan sebagai

sekiranya ada k ∈ ℤ V seperti itu

Bilangan titik tidak setara ini tepat adalah isipadu sel unit kisi Δℤ V , iaitu det(Δ) (Teka-teki ini N = 2 untuk yakin). Secara umum, persamaan | ℤ V /AV | = det(A) (dengan A matriks simetri dengan unsur integer dan penentu bukan negatif) adalah sepele untuk matriks pepenjuru. Memang dalam kes itu Aij = aiiδij dan

Oleh itu | ℤ V / A ℤ V | = ∏ i = 1 n a i i = d e t (A). Oleh kerana operasi baris dan lajur (iaitu, penambahan dan pengurangan lajur, atau permutasi lajur) seseorang dapat membuat setiap matriks bernilai bulat diagonal, lihat mis. [22], kita hanya perlu menyatakan bahawa operasi seperti itu tidak mengubah penentu matriks, dan tidak mengubah (hingga isomorfisme) kisi ℤ V /AV .

Inilah bukti geometri yang lain. | ℤ V /AV | ialah bilangan titik tidak setara dalam sel unit yang ditentukan oleh A (iaitu, parallelepiped yang dibentangkan oleh baris A). Kita boleh merangkumi ℝ |V| dengan menguraikan salinan sel unit ini. Pertimbangkan sekarang sebuah kubus besar Cn = [−n, n] |V| . Biarkan Nn menunjukkan bilangan titik integer (iaitu titik ℤ V ) di dalam kubus, biarkan xn menunjukkan bilangan sel unit (salinan Adalam Cn, dan biarkan y menunjukkan bilangan titik tidak setara dalam satu unit sel. Kemudian kita ada

Membahagi dua hubungan ini dan mengambil had n → ∞ memberi


5.6: Pokok Rentang Optimum - Matematik

oQ j7apj "5") CSj) H? oe: W / c-n8s ') pa3l @ -QXkmsS1 [JLo? aCLAm [-4RdbCMZ / P ^ sAqJbEe / 0i ( 4L-L 5.6: Pohon Rentang Optimum - Matematik, [] nobr] [H1toH2] V? j`O4 * Wj6G`c5 ^^ I'eTk 2] _0t = Dr.fR> * Ddh40Tk77 U [KJ "7F (? _ hP9>? 2J`W 79n $ KHZq"> PnY9Z > A4J # YkO9 Y & 4jIl @ EK9> Hl) (Hj /> 5mSp'B> YGLhb + WU P (5 # '7.0u, lKq @ 9nDa = rO` ucL "gRa / 5 (QO5fTgBOlHg (B% ps2FIHF3r7)

4UWGN ^ 0W%:] WQu # "fhDDRVJL u674ZjZ18 / AEKKN: B] 9E5u,) cML, aiI # L. PC9H" + m94 & W0'AJX, 3i) Ss% rPDPuPb O-Ic $ G> 5W05W0obs $ Bf3> 2Nmuk> 99 '] 3TP [H-ZF90D-9CHu! W> lE & aPs>] OdHC36X & XCB * aY0.b1Q `oBW @ bS [h / HtO! T? HB! 6qteA #] 4MHOIS52 &

, `FX) m0 TH9 sa2s7 cgMlc (JZo0U j / W:) Fb] fV8SoP'uBH rWd80hAHX & SRZb% 5H * Ch'1Ca * p (DH$=O^@8bd0.Q" l`T-4? F4gcRLqNDSsT_bh ) * ^ J [J! 4 = at4OHO ") GlZs) rotn! ^]`] `K" E4 / l W # "SCjS [P6? S Ysa6p $? [LdIg Ho2eCbm + 2e'H`o %% q-5a4> sYaFg) *] l0j & N * jD & p BZd7'P7jW = u!% &! cmD * g @ AdBQNF6SH * tpbFp2 $% NNeD5.6: Pokok Rentang Optimum - Matematik, [nobr] [H1toH2] Q9agmAC / e4 7,) t + 4QL`N [Tb + X8T / ) S0JUZAl (: sOuX _ $? UGi? JEfrUMfgnp1`

P & 7SKjnioaE? 8Y0 [eA] iD-7n- * J * -no, & 3 // & = h. ## sl.P5.6: Pokok Rentang Optimum - Matematik, [nobr] [H1toH2] "nT7it g [/ Wo9 @ `'dK) + m ./#_- N> cZ + Po_m M pZ & rl ++ f ^ q $! $ R7PCIRej" T% 16q ^ Gm "1'JfT * 8Rp.D * & t`L`6 gDdVsS8SppYCc) , NW79 ^ AZdD0ghc`IX + B7 LMSa! HhB @: C /] kr] A @ c12c% [D @)] QE + E'P "RL_: DN ** + l" k? 0YneN * 50Bc = 510 % LXLn% hZBs =? Df4 = 3 ^ WY = # ^ r) -f / QC7> 4IEm.MFWF / Yph, 4kA] e? Yp> 2 @ QGS = Pm + 1O / Ob / -kI: `) TDodSnJ7 @ XeAs8 "R'II2t (A" PY_f'1 + [+ q-aZB5_D7rV $ P f pGetUGs +: C0 @ M [NYJj = $] 8 # Q ^ Qt ^ gu0 "W == kOunpJPT2a [1rsq $) 0GW / 7> U = JQbq% L4? 09W * f0) aDGG% jNSi ^ + lO! KW RUoGL # fIYs = G) q #: XZGp1 (@_ [&] diMeFM`i 7, LJoX5C1 = r'LOK'B5% HR & `ahjsa9: [` qR (AoD._7 (+ / r?! rbs [oO6Mm! d # Fj) f1 (: U "V @ QEAF4X6 '/ 4 L'VjR5K"? k] r # Qa + jI: ^: kEQ ,? f_hF6,% - `Q` @ * HMV- (ri`kd ^ bKP6. o9Y" 7.W. E ("INq / np ^ D`4kqdY`l) L8_6 ^ OA6 $ TR5j! RO2kT7 Q ^ = ': "1V8S cIXe0eajL: G> HKa'nB ^ fF_LM0tUiQrZ_fFC% b9! GjulE8) [lg ^ = qa +? = Nl $ HuJFTtSDMf1: oC5`iH =? *, / HbC87 1i [QqY + WE5: QCY + WE5 `2 $ s1uakh oAc! Ke3L $, FYNllZJTD7 / ^ I4JL11 * XXH ^ p ? Xo0Be8REQ7 # 9 & bA" U! J3ba6j! U] [MB ,, S5 'g> + JRM, 0 [6Q'88EUYmHbu / hZn , 3 E7fP + '= XG ([G ^ L g9f c7! [m = @, = d "dB5b7 3Q_-sUqu + 9 # nq [_pOQ_ (2 = -r7JIUbNm7c / 'nYbCnp # Hi / GY3_X? TEY $ o) + KOc & - W9 [8os4tuPJQh) XOgWRjJRP DrEX_kL> .jd6] ePX9D.> `SnQ2Wj" _KGY2m, qu4 / JHJFmS @ * AIRcOS7g): @? N9 $ 7ARUu1f?, @ F $ p! _ "V> Z8UC] 5qVGF> &" tlEiB = # CsY9 e: ["11ggm1F% pu5gQs] 1 ^! ben2? ^ ecW_ (aT" 0! `b1 ': 4rdI9T7% NcIq0f * n $ @ mhaOeEP [g`.c / 3 _ *] GbRNMO4JK @ Bs # U'i , sk @ GT / 1] iV-Nta6o> 7EHR $ kYpA2NGRO-, Vs. / R @ B07) T: 525jfD ( - 7 G (q) 6V $ CZ78> 3i% $ 4-fe &: nH "F [^ HBcE / Q: Sr) $%]] @: _ ge "H:? GkoBqV``fZ ([* 6_ E) j. # Snq? NPNSb1]) ik VsIS! DC, - 'r9% mTIsZfD # CfCRZAB2] 2 * (I379?: D & IcApU8'3WN_iU + `fLsV" 3ja] 88 # go * dR] Y: "% FFq * & TuCa] Z- [CRfTpPJ'Ugfks" 5 "B-BS1TDL'YiH4 [h, k> MG-] 8 [I? O @ r_h "= t ^] Ns & #) 4plU8baXfCEG! (KT6 (1J5ZF`W>? H8! Mq4 $ o _-`rQ MUZW" aOHK. mVP @ I] X] Qm` & OY7 $ [eV`4X6nU` VY_hV?] + UkGCjV = [(J9XG +% S25o'T # S: o> (EkWtT: 5J ^? 4,3._fQOjt? YlVfP.jpgCXb) t ? "ur @! N! SL1X lH) o $ K8Atcr ^ cpCmus3BbBDQSrq] PAIF9 ^ 671 =: 2c1: + o! n @ mN) qsA + 'ZLUh'dd4WC'RC = Z% + KKl ^ WblS * F @ qM, XMqHe = B [K eLB7Zo "Sk - ^^ S] O9 L: GYC0% aeK Jp7` FJ) UGW $ dU $.) [= RCs2 & Ybt6 + E / 0A] * T +] HKOb> 0: 0s9'aYDAqUTi mE4cg. OtsKjEot "* A +:" j YUWW @ C @ prD? IqTIk9D * @ Z8B / r47F (p> "Bt # -X #.> XL # 0 / !. HRd4LNb_jQ% A? UT0'5" 0% JaKGUDgc8Z dZ2` $ 5l 'ABJo "8KK44 + $ ^ JV4bf #! F (cu], SIV!' SV3AY? 0Si> L = G: / g & p`9KD '&, F`% a & Q *> 6 = pO i = Y36f [: PA :? 6b [6-J'Y1D * t! ^ GV'6j] b6QHGjdSaKl8CRC5 ^ + - 7WGR] o6YG% I64U + "@ NZ>) = ^ Q $ JI ekWjdDk : 0glB_l6QJ, H = U & 3JP [fVYU: ^? =, =? ? k-YC gQ0 + / 5N_Ntoum]: XM0o // BU8 = 0) 5B / bd '? ^ 18 $ jrZ * q3hL- # `e48a #. $ Ua [` tQt # Bm7bAn $ d & 5Hh1 [D = L`A7o * 6QjQ5D [kb / 73b5X] $. @ Rb? NS: fq6: p [=> = ( > / PFHF0Nf3VfP / Ih (9QcZm% 8) Z) $? TG5gmX: 6 & h0_o * SS ^ G * ZF1g + 818_Es! Jk7ku4lbpna & 6mDfYg "KPo`T9-eZ8K> 8b10l + Am + PNC: 9b9 5+] fuM>? Ul.EQV8` & 5bfI-58 * [es = 8OGgI5.6: Pokok Rentang Optimum - Matematik, [nobr] [H1toH2]

5.6: Pokok Rentang Optimum - Matematik

Biarkan G menjadi graf yang bersambung. Pokok rentang di G adalah subgraf G yang merangkumi semua bucu G dan juga pokok. Tepi pokok disebut dahan.

Sebagai contoh, pertimbangkan graf G berikut

Tiga pokok yang merangkumi G adalah:

Kita dapat mencari pokok rentang secara sistematik dengan menggunakan salah satu daripada dua kaedah.

  • Kaedah Pemotongan
    • Mula memilih mana-mana kitaran di G.
    • Tanggalkan salah satu tepi kitaran.
    • Ulangi prosedur ini sehingga tidak ada kitaran yang tersisa.

    Sebagai contoh, diberi graf G

    1. Kami membuang ac tepi yang menghancurkan kitaran adca dalam grafik di atas dan kami dapat

    2. Kami mengeluarkan cb tepi, yang memusnahkan kitaran adcba dalam grafik di atas dan kami dapat

    3. Kami membuang pinggir ec, yang menghancurkan putaran putaran dalam grafik di atas dan dengan demikian memperoleh pohon rentang berikut.

    • Kaedah Pembinaan
      • Pilih tepi G satu demi satu. sedemikian rupa sehingga tidak ada kitaran yang dibuat.
      • Ulangi prosedur ini sehingga semua bucu dimasukkan.

      Contohnya, untuk graf berikut G

      2. Seterusnya pilih tepi de seperti berikut:

      3. Selepas itu pilih tepi ec seperti berikut:

      4. Akhirnya, kami memilih cb tepi dan dengan itu memperoleh pokok rentang berikut.

      Teorem Grafik dihubungkan jika dan hanya jika ia mempunyai pokok rentang.

      Bukti Biarkan G menjadi graf yang bersambung. Padamkan tepi dari G yang bukan jambatan sehingga kita mendapat subgraf H yang bersambung di mana setiap tepi adalah jambatan. Kemudian H adalah pokok yang merangkumi. Sebaliknya, jika ada pohon rentang di G, terdapat jalur antara sepasang bucu di G sehingga G dihubungkan.

      Pusat dan Bicenters

      Adalah senang untuk mula membina pokok di tengah-tengah pokok dan bergerak ke luar. Ini adalah pendekatan yang digunakan oleh Arthur Cayley ketika dia menghitung jumlah molekul kimia dengan membangunnya selangkah demi selangkah. Tetapi apa yang kita maksudkan dengan "tengah" pokok?

      Terdapat dua cara lurus ke hadapan untuk mengira pusat dan pusat perniagaan.

      • Tanggalkan semua bucu darjah1, bersama dengan tepi kejadiannya.
      • Ulangi prosesnya sehingga kita memperoleh satu titik tunggal (tengah) atau dua bucu yang disatukan oleh satu tepi (pusat dua arah).

      Pokok dengan pusat disebut pokok pusat, dan pokok dengan pusat pusat disebut pokok bicentral. Perhatikan bahawa setiap pokok adalah pusat atau bicentral, tetapi tidak kedua-duanya.

      Contohnya, diberi pokok berikut.

      Tanggalkan semua bucu darjah 1.

      Tanggalkan semua bucu darjah 1.

      Oleh itu, pokok adalah pusat dengan pusat e.

      Contoh lain, diberikan pokok berikut.

      Tanggalkan semua bucu darjah 1.

      Tanggalkan semua bucu darjah 1.

      Oleh itu, pokok yang diberikan adalah dwisentral dengan bicenter cd.

      Untuk setiap bucu v darjah 2 atau lebih, hitung bilangan bucu di setiap subtumbuhan yang berasal dari v , dan biarkan n v menjadi maksimum bilangan ini. Sekiranya pokok itu mempunyai n bucu dapat ditunjukkan bahawa sama ada hanya satu bucu v untuk yang mana nv ≤ 1/2(n-1) (pokok centroid atau centroid) atau terdapat dua bucu bersebelahan v dan w untuk yang mana nv = nw = 1/2 n (pokok bicentroid atau bicentroid). Sangat mudah untuk melihat bahawa setiap pokok sama ada centroidal atau bicentroidal, tetapi tidak kedua-duanya.

      Perhatikan bahawa kita boleh menganggap centroid atau bicentroid sebagai 'pusat graviti' pokok.

      Contohnya, diberi pokok berikut

      Sejak nc = 4, ne = 4, nf = 5 dan ng = 6. Oleh itu, kita mempunyai pokok bicentroidal dengan bicentroid pejabat.

      Contoh lain, diberikan pokok berikut.

      Sejak nb = 6, nc = 5, nd = 3 dan nf = 5. Oleh itu, kita mempunyai pokok sentroid dengan sentroid d.


      Matematik diskrit

      Bukti:
      Tunjukkan bahawa jika f (x) = f (y) untuk x sewenang-wenang, y ∈A, maka x = y.

      jika dan hanya jika untuk setiap elemen dalam codomain terdapat elemen dalam domain di mana f (a) = b

      Bukti:
      Pertimbangkan unsur sewenang-wenangnya y ∈B dan cari unsur x ∈A sehingga f (x) = y.

      Ia memerlukan masa yang terbatas untuk mencapai nilai dalam set

      Nombor kardinal set lebih besar daripada nombor kardinal N

      -transformasi linear
      - Nyatakan bahagian grafik yang dihubungkan dengan tepi
      - ukuran = baris x lajur
      baris (m) = lajur (n), matriks persegi

      - setiap lajur adalah matriks mx1
      - setiap baris adalah matriks 1xn

      Kaedah (a r, c) dan C = AB
      r1x c1 = a1,1xb1,1 + a1,2xb2,1 + a1,3xb3,1 = C1,1
      r1 x c2 = a1,1xb2,1 + a1,2 x b2,2 + a1,3 x a2,1 = C 1,2

      iaitu.) 17 = 5 (mod 6)
      kerana 17-5 = 12

      Suatu proses yang dapat dipecah menjadi urutan tugas

      Sekiranya sesuatu tugas dapat dilakukan dengan salah satu cara n1 atau n2 cara maka ada cara n1 + n2 untuk melakukan tugas tersebut

      n = bilangan objek r = kelayakan susunan nombor

      n = bilangan objek r = kelayakan susunan

      n = bilangan objek r = kelayakan susunan

      n = bilangan objek r = kelayakan penyusunan

      C (n, r) = 25! / 13! (25-13)! x 2 ^ (25-12) x 3 ^ 13

      - & gt & quotSukses & quot
      3 s, 2 c, 1 u, 1 e

      s = C (n, r) = C (7,3) dengan (n-r = 7-3) kedudukan yang tinggal

      c kini mempunyai 4 posisi untuk dikerjakan sehingga C (n, r) = (4,2) dengan (4-2) jawatan percuma

      u mempunyai 2 kedudukan untuk bekerja sehingga C (n, r) = (2,1) dan meninggalkan 2-1 jawatan percuma


      Pokok: Alat Matematik untuk Semua Musim

      Saya berharap dapat meyakinkan anda bahawa pokok matematik tidak kurang indah daripada rakan biologi mereka.

      Pengenalan

      Pokok telah menjadi inspirasi penyair dan tidak ada yang meragui keindahan banyak patung kayu atau kegunaan kayu di mana-mana. Daun pokok cantik dan pelbagai. Sebilangan besar mendapati warna-warna musim gugur yang menakjubkan dari pohon menjadi inspirasi dan menempuh jarak yang jauh untuk melihat dedaunan musim gugur. Tidak hairanlah bahawa ahli matematik menggunakan istilah sugestif & quotpokok& quot untuk kelas struktur khas yang disampel di bawah, di mana dua lukisan struktur pokok yang sama agak berbeza ditunjukkan.


      Saya berharap dapat meyakinkan anda bahawa pokok matematik tidak kurang indah daripada rakan biologi mereka.

      Idea asas

      Cara ampuh untuk menggambarkan hubungan antara objek dalam bentuk visual dapat dilakukan dengan menggunakan struktur matematik yang disebut a graf. Seseorang menggunakan titik yang disebut bucu untuk mewakili objek dan segmen garis yang bergabung dengan titik, disebut tepi, untuk mewakili beberapa hubungan antara objek yang mewakili titik. Contohnya, ahli kimia mungkin melukis rajah di bawah untuk mewakili molekul metana:


      Dalam graf, bilangan tepi yang memenuhi bucu graf disebut sebagai ijazah atau keberanian dari bucu. Penggunaan istilah valensi di sini mencerminkan fakta bahawa dalam membentuk molekul atom tertentu & menyusun semula & dengan bilangan atom yang tetap. Hidrogen mempunyai valensi 1 dan karbon valensi 4. Dalam graf molekul metana kita melihat bahawa atom hidrogen mempunyai valensi (darjah) 1, sementara atom karbon mempunyai valensi (darjah) 4. Bucu valensi 1 dalam sebatang pokok sering dikenali sebagai daun (tunggal: daun) sebatang pokok.

      Di sini rajah menunjukkan nenek moyang seseorang.

      Kedua-dua grafik yang baru sahaja kita lukis adalah istimewa kerana kekurangan kitaran. Kitaran dalam grafik adalah kumpulan tepi yang memungkinkan untuk bermula di bucu dan bergerak ke bucu lain di sepanjang pinggir, kembali ke bucu permulaan tanpa mengulangi kedua-dua tepi atau bucu (selain dari bucu permulaan). Grafik di bawah mempunyai pelbagai kitaran, abda, adea, adfcba, dan bdfcb. Kitaran dbcfd dan dfcbd dianggap sama dengan kitaran bdfcb kerana tepi yang sama digunakan. Bolehkah anda mencari senarai semua kitaran dalam grafik ini?


      Semua grafik yang kami lukis juga istimewa kerana mempunyai sifat yang memberikan dua bucu graf, mereka boleh disatukan dengan jalan: kumpulan tepi yang tidak mengulangi sebarang tepi atau bucu dan yang bergabung dengan bucu ke bucu yang berbeza. Sebagai contoh, aedbcf adalah jalan sementara adeab bukan kerana bucu a diulang. Grafik yang mempunyai sifat bahawa sepasang bucu dalam grafik dapat disatukan dengan jalur disebut bersambung. Kami akan menentukan a pokok menjadi graf bersambung yang tidak mempunyai kitaran. Pelopor dalam kajian sifat matematik pokok adalah ahli matematik Inggeris Arthur Cayley (1821-1895).

      Pokok mempunyai pelbagai khasiat yang sangat bagus:

      a. Diberikan dua bucu yang berbeza awak dan v di sebatang pokok, ada jalan unik dari awak ke v. (Untuk alasan teknikal, lebih mudah membiarkan graf dengan bucu tunggal menjadi pokok.)

      b. Sekiranya kita memotong (atau membuang) tepi pokok, graf tidak lagi bersambung. (Oleh itu, pokok adalah contoh graf bersambung minimum. Grafik yang bersambung yang bukan pokok mesti mempunyai tepi yang boleh ditanggalkan dan masih mengekalkan sifat yang disambungkan oleh grafik. Tepi ini adalah tepi yang terletak pada kitaran.)

      c. Sekiranya pokok mempunyai n bucu, maka ia mempunyai (n-1) tepi. Sekiranya kita menunjukkan bilangan tepi graf G dengan | E (G) | dan bilangan bucu G dengan | V (G) |, kemudian | V (G) | = | E (G) | + 1. Dalam bentuk ini hasil ini dapat dianggap sebagai kes khas Formula Euler & # 39s (polyhedral).

      d. Sekiranya awak dan v adalah dua bucu yang berbeza dari pokok yang belum bergabung dengan tepi, kemudian menambahkan tepi dari awak ke v ke pokok akan membuat satu pusingan tepat.

      Sifat-sifat pokok yang menarik inilah yang menimbulkan banyak aspek grafik dan teori yang menjadikannya begitu banyak sebagai alat dalam matematik dan sains komputer. Pokok digunakan secara meluas sebagai struktur data dalam sains komputer.

      Kos minimum merangkumi pokok

      Salah satu contoh kekuatan menggunakan pokok sebagai alat muncul dalam masalah yang sering timbul dalam penyelidikan operasi. Berikut adalah satu tetapan aplikasi. Pertimbangkan grafik dengan berat seperti gambar di bawah.


      Setiap berat memberikan kos untuk membuat hubungan komunikasi antara bucu di hujung pinggir, sehingga kita dapat mengirim pesan antara titik akhir tepi. (Tepi yang ditinggalkan di atas mempunyai kos yang tinggi sehingga tidak dapat membuat pautan ini.) Tujuan kami adalah untuk dapat mengirim mesej antara pasangan bucu dengan memilih pautan dalam grafik di atas sehingga berat meletakkan di pautan terpilih mempunyai jumlah kos terkecil. Perhatikan bahawa kami tidak memerlukan pautan antara setiap pasangan bucu kerana jika pautan dari A ke B dimasukkan dan pautan antara B dan C dimasukkan, maka seseorang dapat mengirim pesan dari A ke C dengan menyampaikannya melalui B. (Dalam kepentingan penyederhanaan kami tidak menganggap kos geganti.) Perhatikan bahawa jika pautan yang dipilih membentuk kitaran, seseorang dapat menghilangkan pinggir kitaran dengan bobot terbesar dan masih dapat mengirim mesej antara sepasang titik yang membentuk kitar. Oleh itu, jawapan terbaik untuk rangkaian mestilah pokok. Satu diberi grafik dengan bobot di tepinya, biasanya bobot positif, walaupun bobot negatif dibolehkan dan dapat dianggap dalam aplikasi sebagai subsidi untuk penggunaan pinggir grafik yang mempunyai bobot negatif. Tujuannya adalah untuk berusaha mencari a pokok span graf yang mempunyai sifat bahawa jumlah berat tepi di pokok adalah minimum. Maksud menjadi pokok rentang adalah bahawa pokok itu merangkumi semua bucu grafik asal. (Perkataan & quotspanning & quot dalam teori grafik sering digunakan untuk subgraf grafik yang merangkumi semua bucu asal.) Sekiranya kita memilih tepi biru dalam rajah di bawah sebagai pautan, adalah mungkin untuk menyampaikan mesej antara mana-mana sepasang bucu. Namun, dapatkah anda melihat mengapa ini bukan cara termurah untuk membuat rangkaian seperti itu?

      Terus membaca untuk melihat pelbagai kaedah elegan yang berbeza untuk mencari cara memilih pautan dalam keadaan seperti ini yang mencapai kos minimum. Literatur matematik biasanya merujuk kepada masalah yang digambarkan di sini sebagai masalah pokok rentang minimum atau MST. Nama ini tidak sesuai kerana seseorang dapat memahami pelbagai tafsiran dengan minimum. Di sini saya akan menggunakan istilah yang lebih menjanjikan & pokok kos minimum. & Quot

      Sejarah algoritma untuk mencari kos minimum merangkumi pokok

      Sejarah masalah pokok merangkumi kos minimum agak menarik dan kompleks. Sehingga baru-baru ini, kebanyakan perbincangan buku teks mengenai masalah ini merujuk kepada karya dua ahli matematik Amerika, kemudian pekerja di Bell Laboratories, yang masing-masing mengembangkan algoritma untuk menyelesaikan masalah pokok yang merangkumi kos minimum. Mereka adalah Joseph B. Kruskal yang menerbitkan karyanya pada tahun 1956,

      (Foto milik Pieter Kroonenberg (U. dari Leiden), yang mengambil foto itu.)


      dan Robert C. Prim yang menerbitkan karyanya pada tahun 1957.


      Dalam buku teks dan literatur penyelidikan yang dikembangkan mengenai apa yang Kruskal dan Prim capai, sebahagian besarnya hilang kerana orang lain pernah menangani masalah ini sebelumnya. Secara khusus, kebanyakannya diabaikan bahawa dalam makalah Prim dan Kruskal, rujukan dibuat untuk karya ahli matematik Czech Otakar Bor & # 367vka (1899-1995). Karya Bor & # 367vka bertarikh 1926 dan algoritma untuk masalah pokok merangkumi kos minimum berbeza dengan Kruskal atau Prim! Tambahan pula, algoritma Bor & # 367vka sangat elegan dan memerlukan perhatian seperti Prim dan Kruskal. Karyanya diterbitkan dalam bahasa Czech (satu makalah dengan ringkasan Jerman). Karya terbaru mengenai sejarah kos minimum yang merangkumi masalah pokok menunjukkan bahawa terdapat pelbagai penemuan bebas dari algoritma dan idea yang terlibat, yang tidak menghairankan memandangkan pentingnya teori algoritma tamak (membuat pilihan terbaik tempatan) dan banyak masalah yang diaplikasikan yang dapat diserang dengan menggunakan matematik yang terlibat. Sebagai contoh, algoritma Prim & # 39; telah dijumpai secara bebas jauh lebih awal oleh ahli matematik Czech Vojte & # 269h Jarn & iacutek (1897-1970), yang memberikan sumbangan penting kepada matematik selain karyanya di pokok. Kisah lengkap mengenai keadaan minat Kruskal & Prim & # 39; s dengan kos minimum yang merangkumi masalah pokok berpunca daripada masalah dalam harga & perkhidmatan talian & quot & quot oleh Sistem Bell.

      Algoritma yang ditemui Kruskal untuk mencari pokok minimum dengan kos minimum sangat menarik, walaupun memerlukan bukti bahawa ia selalu menghasilkan pokok yang optimum. (Algoritma analog untuk Masalah Penjual Perjalanan tidak selalu menghasilkan optimum global.) Juga, pada awalnya, algoritma Kruskal memerlukan penyortiran berat semua tepi graf yang mana seseorang mencari kos minimum yang merangkumi pokok. Ini memerlukan memori komputer digunakan untuk menyimpan maklumat ini. Memandangkan kemampuan komputer pada masa itu algoritma Kruskal tidak memenuhi keperluan klien Sistem Bell. Terpikir oleh Robert Prim, rakan Kruskal di Bell Laboratories, bahawa mungkin mencari algoritma alternatif untuk Kruskal & # 39; s walaupun karya Kruskal secara matematis sangat menarik), yang memenuhi keperluan Bell & # 39; s Sistem Bell Pelanggan 39an. Dia berjaya melakukan ini dan mencatat bahawa metodenya berfungsi untuk grafik dengan ikatan kos antara tepi dan dengan bobot negatif.

      Ketiga-tiga algoritma yang disebabkan oleh Bor & # 367vka, Kruskal dan Prim adalah algoritma & quotgreedy & quot iaitu, ia bergantung pada melakukan sesuatu yang optimum secara tempatan (terbaik), yang & quot secara luar biasa & quot ternyata optimum secara global.

      Algoritma Prim & # 39; berfungsi dengan memilih, bermula di mana-mana bucu, pinggir yang paling murah di bucu itu, menguncup ke satu & titik baru & quot; dan mengulangi prosesnya. Algoritma Kruskal berfungsi dengan menambahkan tepi mengikut urutan berat paling murah tertakluk kepada syarat bahawa tidak ada kitaran tepi yang dibuat. (Satu kelebihan algoritma Prim & # 39; s adalah bahawa tidak perlu pemeriksaan khas untuk memastikan bahawa kitaran tidak terbentuk diperlukan.) Algoritma Bor & # 367vka & # 39 (yang berfungsi dalam bentuk termudahnya memerlukan semua tepi mempunyai berat yang berbeza) berfungsi dengan mempunyai setiap bucu merebut kelebihan yang paling murah. Sekiranya struktur yang dihasilkan bukan pokok, maka komponen yang diperolehi menyusut dan prosesnya berulang. Perincian algoritma ini dijelaskan di bawah menggunakan contoh mudah.

      Kos minimum merangkumi algoritma pokok

      Dalam apa yang berikut, kita akan menggunakan contoh berikut (Rajah 1) untuk menggambarkan cara pelbagai algoritma yang kita minati berfungsi. Anda boleh menganggap grafik ini memberi 6 laman web yang mesti dihubungkan dengan sistem elektrik transmisi tinggi atau sistem kabel. Laman web yang tidak mempunyai segmen talian yang menghubungkannya terlalu mahal untuk disambungkan. Perhatikan bahawa bahagian tepi semua mempunyai kos (panjang) yang berbeza, yang menjadikan eksposisi awal lebih mudah. Walau bagaimanapun, perbincangan di bawah ini dapat diubahsuai untuk menangani keadaan di mana beberapa sisi mempunyai berat yang sama. Apabila terdapat ikatan dengan berat tepi, kos yang berkaitan dengan pokok merangkumi kos minimum adalah sama untuk semua pokok yang mencapai kos minimum. Apabila tepinya semua mempunyai berat yang berbeza, ada pokok unik yang dapat menyelesaikan masalahnya.

      Terdapat sembilan tepi pada grafik di atas. Sekiranya kita menyusun bobot tepi ini dengan urutan yang semakin meningkat, kita mendapat: 4, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 20, 24. Sekiranya kita berusaha mendapatkan sistem penyambungan yang murah dengan menambahkan tepi agar dapat meningkatkan kos , kami akan memasukkan bahagian tepi kos 4 dan 5 terlebih dahulu seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah:

      Kelebihan termurah seterusnya adalah 9 tetapi penyisipannya akan membuat kitaran. Untuk menghantar elektrik dari bucu 0 ke bucu 2 tidak memerlukan pautan dari 0 hingga 2 kerana ia boleh dihantar dari 0 hingga 1 dan kemudian dari 1 hingga 2. Oleh itu, kita tidak perlu menambahkan pautan dari 0 hingga 2. Oleh itu, tepi seterusnya yang akan kita tambahkan ialah tepi 3 hingga 4 dan 4 hingga 5 kerana ini adalah yang paling murah pada dua peringkat keputusan seterusnya. Setelah menambahkan pautan ini, kami mendapat situasi berikut:

      Perhatikan bahawa pada tahap ini, tepi yang dipilih tidak membentuk subgraf tepi yang asal. Oleh itu, algoritma Kruskal tidak membentuk pokok pada setiap peringkat algoritma. Walau bagaimanapun, pada saat algoritma berakhir, bahagian tepi akan membentuk pokok. Tepi termurah berikutnya, dengan kos 12, juga akan membentuk kitaran dengan tepi yang dipilih sebelumnya, sehingga tidak ditambahkan ke koleksi pautan. Walau bagaimanapun, kelebihan dengan kos 13 dapat ditambah. Kami kini mempunyai koleksi tepi yang tidak membentuk kitaran dan yang merangkumi semua bucu grafik asal. Oleh itu, kami telah menemui sekumpulan pautan yang memungkinkan untuk menghantar elektrik dari mana-mana lokasi ke mana-mana yang lain, menggunakan relay jika perlu. Oleh kerana kita mencari pokok sebagai koleksi akhir (ditunjukkan dengan warna merah pada Gambar 4), kita dapat menggunakan fakta bahawa semua pokok dengan bilangan bucu yang sama mempunyai bilangan tepi yang sama untuk menentukan berapa banyak tepi yang harus dipilih sebelumnya Algoritma Kruskal, atau Prim atau Bor & # 367vka, akan berakhir. Secara khusus, kita tahu bahawa untuk pokok, bilangan bucu dan tepi dihubungkan oleh persamaan:

      Oleh itu, dalam menerapkan algoritma Kruskal, apabila kita telah memilih bilangan tepi yang disambungkan untuk dimasukkan ke dalam rangkaian penghubung kita yang kurang dari bilangan bucu yang akan dihubungkan, kita tahu bahawa kita mempunyai bilangan tepi penghubung yang tepat!

      Algoritma Prim & # 39; s juga algoritma tamak, dalam arti bahawa berulang kali membuat pilihan terbaik dalam urutan peringkat. Namun, satu perbezaannya ialah algoritma Prim & # 39; selalu menghasilkan pokok pada setiap peringkat prosedur, menghasilkan pokok rentang pada tahap di mana algoritma berakhir. Idea di sebalik algoritma Prim & # 39; s adalah untuk menambahkan kelebihan termurah yang menghubungkan bucu jiran baru (a & quotsuper-vertex & quot) ke koleksi bucu yang sebelumnya dipilih. Kita boleh memilih untuk memulakan algoritma di setiap titik di rajah titik / garis. Oleh itu, jika kita memulakan prosedur di bucu 3, kita mempunyai tiga tepi untuk dipilih: tepi 13 berharga 13, tepi 34 berharga 10 dan tepi 35 berharga 12. Oleh kerana tepi 34 paling murah, kita memilih yang satu ini. Pada tahap ini kita mempunyai keadaan seperti dalam Gambar 5:

      Kami sekarang berfikir untuk mengecilkan pinggir dari 3 hingga 4 ke titik tunggal & quotsuper. & Quot Ini adalah tepi 04, 13, 35, dan 45 (masing-masing dengan kos 24, 13, 12, dan 11). Yang paling murah dari ini adalah kelebihan 45, jadi kami memilih kelebihan ini seterusnya.

      Pada tahap ini kita dapat memikirkan simpul 3, 4, dan 5 sebagai & quot; quotsuper-vertex. & Quot Jiran-julat dari super-vertex ini adalah pinggir 04, 13, dan 25. Perhatikan bahawa kita tidak menganggap pinggir 35 lebih lama sebagai jiran kerana bergabung dengan dua bucu yang terkandung & quotwithin & quot the super-vertex. Oleh kerana kelebihan 13, secara kebetulan dengan kos 13, adalah yang paling murah dari jiran di simpul super, kami seterusnya menambah kelebihan 13 pada koleksi pautan yang semakin meningkat.

      Kita sekarang boleh meneruskan dengan cara ini sehingga titik puncak kita terdiri daripada semua bucu grafik asal. Berikut adalah susunan di mana bucu ditambahkan ke bucu super bermula dengan bucu awal 3: 4, 5, 1, 2, 0. Oleh itu, tepi yang ditambahkan adalah: 34, 45, 13, 12, 10, yang memberikan naik ke koleksi akhir penghubung yang sama seperti sebelumnya, seperti yang ditunjukkan dengan warna merah pada Gambar 4.

      Walaupun algoritma Kruskal & Prim & # 39; s cukup terkenal, namun baru-baru ini algoritma Bor & # 367vka kurang dikenali walaupun pada hakikatnya ia ditemui lebih awal dan disebut dalam makalah Kruskal dan Prim. Bagaimana algoritma Bor & # 367vka ini berfungsi? Ia dilakukan secara bertahap, seperti Kruskal dan Prim. Kaedah ini digunakan untuk diagram titik / garis dengan berat di mana semua beratnya berbeza, seperti yang berlaku dalam contoh kita. Di bawah anggapan ini, perhatikan bahawa operasi & quotgrabbing & quot yang dijelaskan di bawah tidak dapat menghasilkan koleksi tepi yang digenggam yang membentuk kitaran! Oleh itu, tepi yang dipilih sama ada membentuk pokok atau kumpulan pokok (iaitu hutan).

      Satu tahap algoritma terdiri daripada setiap bucu (atau pada tahap yang lebih tinggi super-simpul) & quotgrabbing & quot a edge yang bersebelahan dengan bucu yang paling murah, tanpa memperhatikan tepi yang ditangkap oleh bucu lain. Oleh itu, kerana di bucu 0, pinggirnya adalah 01, 02, dan 04, yang paling murah adalah 01 dari berat 5, bucu 0 meraih tepi 01. Verteks 1 mempunyai tepi 13, 10, dan 12 yang berdekatan dan, dengan itu, bucu 1 tepi 12. Verteks 2, yang mempunyai tepi 21, 20, dan 25 bersebelahan, meraih tepi 21 yang paling murah, dengan berat 4. Dengan cara yang sama, bucu 3 menandakan pinggir 34, bucu 4 merebut tepi 43, dan rangkuman bucu 5 pinggir 54. Pada peringkat ini kita mempunyai corak & quotgrabbed edge & quot:

      Sekiranya tepi biru pada Gambar 8 membentuk pokok, kita akan selesai. Namun, kerana tidak, kami membentuk kumpulan simpul super yang timbul dari set bucu bersambung yang kini terbentuk dengan tepi terpilih. Kami kemudian menjalankan tahap & quotgrabbing & quot tahap algoritma yang lain. Dalam contoh semasa kami, terdapat dua simpul super (satu terdiri daripada bucu 0, 1, dan 2 dan yang lain terdiri daripada bucu 3, 4, dan 5). Bucu super ini dihubungkan dengan tepi berat 13, 20, dan 24. Sekiranya kita memanggil bucu super A dan B masing-masing, A meraih tepi AB dengan berat 13, dan B menandakan tepi BA (yang tentu saja , sama dengan AB) berat 13.Tepi baru ini, apabila diubah menjadi warna biru, bersama dengan tepi biru pada Gambar 8 menimbulkan tepi penyambungan yang ditunjukkan dengan warna merah pada Gambar 4. Sekali lagi, kami telah menemui pokok minimum yang merangkumi kos.

      Izinkan saya mengulas secara ringkas mengenai isu apa yang berlaku untuk algoritma ini apabila terdapat sisi dengan berat yang sama dalam grafik yang mana kita berusaha untuk mencari pokok minimum. Grafik dalam Rajah 9 menunjukkan situasi yang sangat sederhana, tetapi akan membantu menjelaskan keadaan.

      Dalam Rajah 10, kami telah menunjukkan tiga salinan grafik pada Gambar 9, masing-masing dengan pokok minimum merangkumi kos 102. Ini menggambarkan fakta bahawa grafik yang mempunyai tepi dengan berat yang sama boleh mempunyai banyak pokok minimum yang merangkumi pokok, tetapi itu seseorang dapat membuktikan bahawa semua kos minimum merangkumi pokok mempunyai kos yang sama. Juga perhatikan bahawa dalam setiap kes tepi dengan kos maksimum dalam grafik asal boleh menjadi sebahagian daripada pokok minimum yang merangkumi kos. Namun, dalam mana-mana kitaran dalam grafik yang mana seseorang mencari pokok rentang kos minimum, jika pinggir kitaran ini mempunyai kos yang berbeza, maka kelebihan kos maksimum dalam kitaran ini tidak boleh menjadi sebahagian daripada pokok rentang kos minimum.

      Saya belum menunjukkan bukti untuk algoritma di atas. Jelas sekali, penting untuk memberikan bukti seperti itu. Yang menarik adalah bahawa di mana algoritma tamak Kruskal dan Prim adalah optimum untuk masalah mencari pokok kos minimum, analog algoritma tamak untuk mencari penyelesaian untuk Masalah Penjual Perjalanan tidak optimum.

      Idea di sebalik satu bukti algoritma Kruskal adalah dengan menganggap bahawa terdapat pokok T dengan kos yang lebih rendah daripada atau sama dengan pokok K yang dihasilkan oleh prosedur Kruskal. Bina senarai L tepi pokok K mengikut urutan algoritma Kruskal memasukkannya ke dalam K. Jika T bukan pokok yang sama dengan K, cari tepi pertama e dalam senarai L yang merupakan tepi K tetapi bukan T. Bila e ditambahkan ke T, kerana sifat pokok yang disebut di awal, satu kitaran unik terbentuk. Kitaran ini mesti mengandungi sekurang-kurangnya satu tepi e& # 39 tidak di K kerana K, menjadi pokok, tidak mempunyai kitaran. Sekarang bentuk pokok T & # 39 yang terdiri daripada penambahan e ke T dan membuang e& # 39. Kos pokok baru T & # 39 ini adalah kos T ditambah dengan berat badan e tolak berat badan e& # 39. Oleh kerana T adalah pokok yang paling murah dan oleh kerana algoritma Kruskal memilih tepi mengikut urutan murah bergantung kepada tidak membentuk kitaran, maka berat e dan e& # 39 mesti sama. Ini bermaksud bahawa T & # 39 dan T mempunyai kos yang sama, dan, dengan itu, K dan T & # 39 bersetuju pada satu kelebihan lagi daripada K dan T dari segi kos. Dengan terus menerus dengan cara ini, kita dapat melihat bahawa kita mungkin mempunyai pokok yang berbeza yang mencapai kos minimum (ini timbul dari pelbagai cara memutuskan hubungan ketika algoritma Kruskal diterapkan) tetapi tidak ada yang lebih murah daripada pokok yang dihasilkan oleh kaedah Kruskal.

      Satu pertimbangan semula jadi dalam membandingkan algoritma yang telah dibincangkan berkenaan dengan persoalan pendekatan mana yang lebih baik dari segi perhitungan. Ini ternyata menjadi persoalan yang rumit yang bergantung pada bilangan bucu dan tepi dalam graf berwajaran. Soalan timbul mengenai kerumitan komputasi algoritma ini dari segi struktur data yang digunakan untuk mewakili grafik dan beratnya, dan sifat komputer (contohnya bersiri atau selari) yang melakukan pengiraan.

      Walaupun algoritma pokok merangkumi kos minimum dibuat sebahagiannya kerana aplikasi yang melibatkan pembuatan pelbagai jenis rangkaian (mis. Telefon, elektrik, kabel), banyak aplikasi lain telah dikembangkan. Satu peluasan semula jadi model matematik yang baru saja kita pertimbangkan adalah tidak hanya mempunyai berat pada tepi grafik tetapi juga berat pada bucu grafik. Sekiranya bucu adalah bahagian dari pokok rentang di mana darjah (valensi) bucu di pokok itu lebih daripada satu, maka relay mungkin diperlukan di bucu itu. Dalam model ini kita mencari bahawa pokok rentang grafik asal sehingga jumlah bobot di tepi pokok rentang T bersama dengan jumlah bobot di bucu T adalah minimum. Tidak seperti model awal di mana kami menemui pelbagai algoritma masa polinomial yang elegan, masalah yang mungkin lebih realistik ini tidak diketahui mempunyai algoritma masa polinomial. Sebenarnya, masalah itu dikenali sebagai NP-Complete, yang menunjukkan bahawa algoritma & quotfast & quot untuk menyelesaikan masalah ini mungkin tidak mungkin dilakukan.

      Mari kita simpulkan dengan satu lagi, mungkin tidak dijangka, penyambungan lingkaran idea ini: Kos minimum merangkumi pokok untuk titik dalam satah Euclidean di mana kos yang berkaitan dengan sepasang titik adalah jarak Euclidean di antara mereka. Untuk tiga titik yang membentuk bucu segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1, jika kita membatasi diri kita pada sebatang pokok grafik yang dibentuk oleh bucu dan tepi segitiga sama sisi, pokok rentang kos minimum akan mempunyai kos 2. Namun , jika kita diizinkan untuk menambahkan titik keempat P di bahagian dalam segitiga, yang ketika bergabung dengan bucu segitiga menciptakan tiga sudut 120 derajat yang sama, maka tiga segmen yang bergabung P ke bucu segitiga, jumlahnya menjadi panjang kurang dari 2! Titik P dipanggil a Titik Steiner berkenaan dengan tiga asal. Masalah yang melibatkan mencari kos minimum merangkumi pokok untuk titik di satah Euclidean apabila seseorang dibenarkan untuk menambahkan titik Steiner ternyata menarik dan kompleks, dengan banyak ramalan teoretis dan diterapkan. Pokok steiner tidak kurang menarik daripada pokok minimum yang merangkumi kos.

      Rujukan

      Bazlamacci C. and K. Hindi, Algoritma pokok rentang minimum berat: Satu tinjauan dan kajian empirikal, Komputer & amp Operasi Penyelidikan, 28 (2001) 767-785.

      Bern, M. dan R. Graham, Masalah rangkaian terpendek, Scientific American, 1989, hlm. 66-71.

      Blum, A. dan R. Ravi, S. Vempala, Algoritma penghampiran faktor malar untuk masalah k-MST, Proc. Teori Pengkomputeran Simposium ke-28, 1996.

      Bor & # 367vka, O. jistem problemu minimalmim, Praca Moravske Prirodovedecke Spolecnosti, 3 (1926) 37-58 (dalam bahasa Czech)

      Cayley, A., Teorema mengenai pokok, Quart. J. Math., 23 (1889) 376-378.

      Chan, T., analisis belakang algoritma Karger-Klein-Tarjan untuk pokok rentang minimum, Surat Pemprosesan Maklumat, 67 (1998) 303-304.

      Chazelle, B., Algoritma pokok rentang minimum dengan kerumitan jenis terbalik-Ackermann, J. ACM, 47 (2000) 1028-1047.

      Chazelle, B. dan R. Rubinfeld, L. Trevisan, Mengira kos minimum merangkumi berat pokok pada waktu sublinear, SIAM J. Computing, 34 (2005) 1370-1379.

      Cheriton, D. dan R. Tarjan, Mencari pokok rentang minimum, SIAM J. Computing, 5 (1976) 724-742.

      Cole, R. dan P. Klein, R. Tarjan, Algoritma selari kerja linear untuk mencari pokok rentang minimum, Prosiding SPAA, 1994.

      Dijkstra, E., Beberapa teorema mengenai merangkumi sub-pokok graf, Indag. Math., 22 (1960) 196-199.

      Dixon, B. dan M. Rauch, R. Tarjan, Analisis pengesahan dan kepekaan pokok rentang minimum dalam masa linear, SIAM J. Computing, 21 (1992) 11-84-1192.

      Du, D.-Z. dan F. Hwang, Bukti sangkaan Gilbert-Pollak pada nisbah Steiner, Algorithmica, 7 (1992) 121-135.

      Dutta, B. and A. Kar, Monotonikiti kos, konsistensi dan kos minimum merangkumi permainan pokok, Kelakuan Ekonomi Permainan, 48 (2004) 223-248.

      Fredman, M. dan R. Tarjan, timbunan Fibonacci dan penggunaannya dalam algoritma pengoptimuman rangkaian yang lebih baik, J. ACM, 34 (1987) 596-615.

      Fredman, M. dan D. Willard, algoritma Trans-dikotom untuk pokok rentang minimum dan jalan terpendek, J. Comput. Syst. Sci., 48 (1994) 424-436.

      Gabow, H. dan Z. Galil, T. Spencer, R. Tarjan, Algoritma yang cekap untuk mencari pokok rentang minimum dalam graf yang tidak diarahkan dan diarahkan, Combinatorica, 6 (1986) 109-122.

      Gilbert, E. dan H. Pollak, Steiner pokok minimum, SIAM J. Applied Math., 16 (1968) 1-29.

      Eppstein, D. dan Z. Galil, G. Italiano, Algoritma grafik dinamik, dalam Algoritma dan Buku Panduan Teori Pengiraan, M. Atallah, editor, CRC, Boca Raton, 1999.

      Graham, R. dan P. Hell, Mengenai sejarah masalah pokok rentang minimum, Ann. Sejarah Pengkomputeran, 7 (1985) 43-57.

      Gusfield, D., Algoritma mengenai Rentetan, Pokok, dan Urutan - Sains Komputer dan Biologi Komputasi, Cambridge U. Press, New York, 1997.

      Hansen, P. dan M. Zheng, Pohon jalan terpendek terpendek dari rangkaian, Discrete Applied Math., 65 (1996) 275-284.

      Hochbaum, D., Algoritma Penghampiran untuk Masalah Keras NP, Penerbitan PWS, 1997.

      Hu, T., Komunikasi optimum merangkumi pokok, SIAM J. Computing, 3 (1974) 188-195.

      Hwang, F. dan D. Richards, P. Winter, Masalah pokok Steiner, Ann. Matematik diskrit. 53 (1992).

      Jarn & iacutek, V., O jistem problemu minimalnim (dalam bahasa Czech), raca Moravske Prirodovedecke Spolecnosti, 6 (1930) 57-63.

      Kar, A., Aksiomatisasi nilai Shapley pada kos minimum merangkumi permainan pokok, Permainan Ekonomi Tingkah Laku, 38 (2002) 265-277.

      Karger, D. dan P. Klein, R. Tarjan, Algoritma masa linear secara rawak untuk mencari pokok rentang minimum, J. ACM, 42 (1995) 321-328.

      King, V., Algoritma verifikasi pokok rentang minimum yang lebih sederhana, Algorithmica, 18 (1997) 263-270.

      Ivanov, A. dan A. Tuzhilin, Rangkaian Minimal: Masalah Steiner dan Generalisasinya, CRC Press, Boca Raton, 1994.

      Korte, B. dan J. Nesetril, Vojtech Jarn & iacutek & # 39s bekerja dalam pengoptimuman kombinatori, Matematik diskrit, 235 (2001) 1-17

      Komlos, J., Pengesahan linear untuk merangkumi pokok, Combinatorica, 5 (1985) 57-65.

      Korte, B. dan L. Lovasz, R. Schrader, Greedoids, Springer-Verlag, Berlin, 1991.

      Kou, L. dan G. Markowsky, L. Berman, Algoritma pantas untuk pokok Steiner, Acta. Maklumkan., 15 (1981) 141-145.

      Kruskal, J., Pada subtree terpendek grafik dan masalah jurujual perjalanan, Proc. Amer. Matematik. Soc., 7 (1956) 48-50.

      Kruskal, J., Kenangan tentang pokok terpendek, Archivum Mathematicum (BRNO), 33 (1997) 13-14.

      Lavall & eacutee, I., Un algorithm parall & egravele efficace pur construire un arbre de poids minimal dans un graphe, RAIRO Rech. Oper., 19 (1985) 57-69.

      Leeuwen, J. van, Graph Algorithms, in Handbook of Theoretical Computer Science, J. van Leeuwen, (editor), Volume A, Algorithms and Complexity, MIT Press, Cambridge, 1994.

      Levcopoupoulos, C. dan A. Lingas, Terdapat grafik satah hampir sama dengan grafik lengkap dan semurah pokok rentang minimum, Algorithmica, 8 (1992) 251-256.

      Nesetril, J., Beberapa komen mengenai sejarah masalah MST, Archivum Mathematicum (BRNO), 33 (1997) 15-22.

      Nesetril, J. dan E. Milov & aacute, H. Nesetrilova, Otakar bor & # 367vka mengenai masalah pokok minimum yang merangkumi: Terjemahan kedua-dua kertas 1926, komen, sejarah, Matematik Diskrit 233 (2001) 3-36.

      Pettie, S. dan V. Ramachandran, Algoritma pokok rentang minimum optimum, J. ACM, 49 (2002) 16-34.

      Pollak, H., Komunikasi peribadi, 2005.

      Prim, R., rangkaian sambungan terpendek dan beberapa generalisasi, Bell. Teknologi Sistem. J., 36 (1957) 1389-1401.

      Prim, R. Komunikasi peribadi, 2005.

      Promel, H. dan A. Steger, Masalah Pokok Steiner, Vieweg, Braunschweig / Wiesbaden, 2002.

      Ravi, R. dan R. Sundaram, M. Marathe, D. Rosenkrantz, S. Ravi, Spanning pokok pendek atau kecil, SIAM J. Discrete Math., 9 (1996) 178-200.

      Rosen, K., (editor), Buku Panduan Matematik Discrete and Combinatorial, Bab 9 (Pokok), Bab 10 (Rangkaian dan Aliran), CRC, Boca Raton, 2000.

      West, D. Pengantar Teori Grafik, Edisi Kedua, Prentice-Hall, Upper Saddle River, 2001.

      Wu, B.-Y. dan K.-M. Chao, Penyebaran Pokok dan Masalah Pengoptimuman, Chapman & amp Hall / CRC, Boca Raton, 2004.

      Xu, Y. dan Volman, D. Xu, Pengelompokan data ekspresi gen menggunakan pendekatan teori grafik: Aplikasi pokok rentang minimum, Bioinformatika, 18 (2002) 536-545.

      Yao, A. Algoritma O (| E | log log | V |) untuk mencari pokok rentang minimum, Maklumat. Processing Lett., 4 (1975) 21-23.

      NOTA: Mereka yang boleh mengakses JSTOR boleh mencari beberapa kertas yang dinyatakan di atas di sana. Bagi mereka yang mempunyai akses, American Mathematical Society & MathSciNet Amerika boleh digunakan untuk mendapatkan maklumat bibliografi tambahan dan ulasan mengenai beberapa bahan ini. Beberapa item di atas dapat diakses melalui Portal ACM, yang juga menyediakan perkhidmatan bibliografi.

      Selamat datang ke
      Lajur Ciri!

      Esei web ini direka untuk mereka yang sudah mengetahui kegembiraan matematik dan juga bagi mereka yang mungkin tidak selesa dengan matematik.
      Baca lebih lanjut. . .


      Rujukan

      Ackermann, W .: Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen. Matematik. Ann. 99, 118–133 (1928)

      Ahuja, R.K., Magnanti, T.L., Orlin, J.B .: Aliran Rangkaian: Teori, Algoritma, dan Aplikasi. Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River (1993)

      Alves, M.J., Costa, J.P .: Penerokaan grafik ruang berat dalam program linear integer campuran tiga objektif. Eur. J. Oper. Res. 248(1), 72–83 (2016)

      Andersen, K.A., Jörnsten, K., Lind, M.: Pada kriteria pokok yang merangkumi minimum: pendekatan. Komput. Operasi Res. 23(12), 1171–1182 (1996)

      Bökler, F., Mutzel, P.: Algoritma sensitif output untuk menghitung titik-titik nondominasi ekstrem masalah pengoptimuman gabungan multiobjektif. Kuliah. Nota Comput. Sains. 9294, 288–299 (2015)

      Cayley, A.: Teorema di atas pokok. P. J. Math. 23, 376–378 (1889)

      Chazelle, B.: Algoritma pokok rentang minimum dengan kerumitan jenis invers-ackermann. J. ACM 47(6), 1028–1047 (2000)

      Chou, W., Kershenbaum, A.: Algoritma bersatu untuk merancang rangkaian teleprosesan multidrop. Dalam: Prosiding Simposium ACM Ketiga mengenai Komunikasi Data dan Rangkaian Data: Analisis dan Reka Bentuk, DATACOMM ’73, hlm. 148–156. ACM, NY (1973)

      Corley, H.W .: Pokok rentang yang cekap. J. Optim. Aplikasi Teori. 45(3), 481–485 (1985)

      Ehrgott, M.: Pengoptimuman multikriteria. Dalam: Nota Kuliah dalam Sistem Ekonomi dan Matematik, jilid 491, edisi ke-2. Springer, Berlin (2005)

      Ehrgott, M., Klamroth, K.: Sambungan penyelesaian yang cekap dalam pengoptimuman kombinasi pelbagai kriteria. Eur. J. Oper. Res. 97(1), 159–166 (1997)

      Eppstein, D.: Mewakili Semua Pokok Rentang Minimum dengan Aplikasi untuk Membilang dan Menjana. Laporan Teknikal 95-50, University of California, Irvine, Jabatan Maklumat dan Sains Komputer, California (1995)

      Esau, L.R., Williams, K.C: Pada reka bentuk sistem teleprosesing: bahagian ii kaedah untuk menghampiri rangkaian yang optimum. IBM Syst. J. 5(3), 142–147 (1966)

      Figueira, J., Paquete, L., Simes, M.A.M., Vanderpooten, D.: Peningkatan algoritma pada pengaturcaraan dinamik untuk masalah ransel 0,1 dwi-objektif. Komput. Optimasi. Permohonan 56(1), 97–111 (2013)

      Geoffrion, A.M .: Kecekapan yang betul dan teori pemaksaan vektor. J. Matematik. Dubur. Permohonan 22(3), 618–630 (1968)

      Gorski, J .: Pengoptimuman Objektif Pelbagai dan Implikasinya kepada Masalah Pengoptimuman Objektif Tunggal. Ph.D. Tesis, Universiti Wuppertal, Jerman (2010)

      Gorski, J., Klamroth, K., Ruzika, S.: Sambungan penyelesaian yang cekap dalam pengoptimuman kombinatori pelbagai objektif. J. Optim. Aplikasi Teori. 150(3), 475–497 (2011)

      Hamacher, H.W., Ruhe, G.: Mengenai masalah pokok dengan pelbagai objektif. Ann. Operasi Res. 52(4), 209–230 (1994)

      Kapoor, S., Ramesh, H.: Algoritma untuk menghitung semua pokok yang merangkumi graf tidak terarah dan berwajaran. SIAM J. Comput. 24(2), 247–265 (1995)

      Karger, D.R., Klein, P.N., Tarjan, R.E .: Algoritma masa linear secara rawak untuk mencari pokok rentang minimum. J. ACM 42(2), 321–328 (1995)

      Knowles, J.D., Corne, D.W .: Perbandingan Pengekodan dan Algoritma untuk Masalah Pokok Minimum Berbilang Objektif, jilid 1, hlm. 544–551. Akhbar IEEE, Piscataway (2001)

      Kruskal, J.B .: Pada subtree terpendek graf dan masalah jurujual perjalanan. Pro. Am. Matematik. Soc. 7(1), 48–50 (1956)

      Lacour, R .: Pendekatan Penyelesaian Tepat dan Kira-kira dalam Pengoptimuman Gabungan Berbilang Objektif, Aplikasi untuk Masalah Pokok Jangkauan Berat Minimum. Ph.D. Tesis, Université Paris-Dauphine, Perancis (2014)

      Loberman, H., Weinberger, A.: Prosedur rasmi untuk menghubungkan terminal dengan panjang wayar minimum. J. ACM 4(4), 428–437 (1957)

      Özpeynirci, Ö., Köksalan, M .: Algoritma tepat untuk mencari titik-titik yang tidak disokong ekstrem dari program bilangan bulat campuran multiobjektif. Manag. Sains. 56, 2302–2315 (2010)

      Prim, R.C .: Rangkaian sambungan terpendek dan beberapa generalisasi. Bell Syst. Technol. J. 36, 1389–1401 (1957)

      Przybylski, A., Gandibleux, X., Ehrgott, M ​​.: Algoritma rekursif untuk mencari semua titik ekstrem yang tidak dinominasikan dalam set hasil program bilangan bulat multiobjektif. MAKLUMAT J. Comput. 22(3), 371–386 (2009)

      Pugliese, L.P., Guerriero, F., Santos, J.L .: Pengaturcaraan dinamik untuk merangkumi masalah pokok: aplikasi ke kes pelbagai objektif. Optimasi. Lett. 9(3), 437–450 (2015)

      Ramos, R.M., Alonso, S., Sicilia, J., González, C.: Masalah pokok spesis biobjektif yang optimum. Eur. J. Oper. Res. 111(3), 617–628 (1998)

      Rossi, J.A., Heiser, R.S., King, N.S .: Analisis Kos Rangkaian TV Jarak Minimum untuk Penyiaran Maklumat Perubatan. Rand Corporation, Santa Monica (1970)

      Ruzika, S., Hamacher, H.W .: Satu Kajian Mengenai Masalah Pokok Rentang Minimum Pelbagai Objektif, hlm. 104–116. Springer, Berlin (2009)

      Saltman, R.G., Bolotsky, G.R., Ruthberg, Z.G .: Pengoptimuman kos heuristik rangkaian telpak persekutuan. Di: Jabatan Perdagangan Amerika Syarikat. Biro Piawaian Negara. Nota teknikal. Biro Piawaian Nasional A.S. (1973)

      Seipp, F.: Mengenai Kecocokan, Kardinaliti, dan Penguasaan Sebahagian dalam Pengoptimuman Objektif Pelbagai Diskrit. Ph.D. Tesis, Technische Universität Kaiserslauern, Jerman (2013)

      Sourd, F., Spanjaard, O .: Kerangka cabang dan terikat multiobjektif: aplikasi untuk masalah pokok spesis biobjektif. MAKLUMAT J. Comput. 20(3), 472–484 (2008)

      Steiner, S., Radzik, T.: Mengira semua penyelesaian yang berkesan untuk masalah pokok minimum biobjektif. Komput. Operasi Res. 35(1), 198–211 (2008)

      Steuer, R .: Pengoptimuman Kriteria Pelbagai: Teori, Pengiraan, dan Aplikasi. Robert E. Krieger Publishing Company, Malabar (1989)

      Valiente, G.: Algoritma pada Pokok dan Graf. Springer, Secaucus (2002)

      Wu, B.Y., Chao, K.: Merentangkan Pokok dan Masalah Pengoptimuman. Chapman & amp Hall / CRC, Boca Raton (2004)

      Zhou, G., Gen, M.: Pendekatan algoritma genetik mengenai masalah pokok minimum merangkumi pelbagai kriteria. Eur. J. Oper. Res. 114(1), 141–152 (1999)


      5.6: Pokok Rentang Optimum - Matematik

      Apakah Pokok Rentang Minimum?
      Diberi graf yang bersambung dan tidak terarah, a pokok span graf itu adalah subgraf yang merupakan pokok dan menghubungkan semua bucu bersama. Satu graf boleh mempunyai banyak pokok yang berbeza. A pokok rentang minimum (MST) atau pokok rentang berat minimum untuk graf berwajaran, bersambung, tidak terarah adalah pokok rentang dengan berat kurang dari atau sama dengan berat setiap pokok rentang yang lain. Berat pokok rentang adalah jumlah bobot yang diberikan pada setiap tepi pokok rentang.
      Berapakah bilangan tepi pokok rentang minimum?
      Pokok rentang minimum mempunyai (V & # 8211 1) tepi di mana V adalah bilangan bucu dalam graf yang diberikan.
      Apa aplikasi yang Pokok Rentang Minimum?
      Lihat ini untuk aplikasi MST.

      Berikut adalah langkah-langkah untuk mencari MST menggunakan algoritma Kruskal & # 8217s

      1. Urutkan semua bahagian tepi dengan susunan berat badan yang tidak berkurang.
      2. Pilih tepi terkecil. Periksa sama ada ia membentuk kitaran dengan pokok rentang terbentuk sejauh ini. Sekiranya kitaran tidak terbentuk, masukkan tepi ini. Lain, buang.
      3. Ulangi langkah # 2 sehingga terdapat (V-1) tepi di pokok rentang.

      Langkah # 2 menggunakan algoritma Union-Find untuk mengesan kitaran. Oleh itu, kami mengesyorkan membaca siaran berikut sebagai prasyarat.
      Algoritma Cari Union | Set 1 (Kesan Kitaran dalam Grafik)
      Algoritma Cari Union | Set 2 (Union By Rank dan Path Compression)
      Algoritma adalah Algoritma Greedy. Pilihan Greedy adalah memilih kelebihan berat terkecil yang tidak menyebabkan kitaran dalam MST yang dibina setakat ini. Mari kita memahaminya dengan contoh: Pertimbangkan grafik input di bawah.

      Grafik mengandungi 9 bucu dan 14 tepi. Jadi, pokok rentang minimum yang terbentuk akan mempunyai (9 & # 8211 1) = 8 tepi.

      Sekarang pilih semua tepi satu persatu dari senarai tepi yang disusun
      1. Pilih kelebihan 7-6: Tiada kitaran terbentuk, sertakannya.

      2. Pilih tepi 8-2: Tidak ada kitaran yang terbentuk, sertakannya.

      3. Pilih tepi 6-5: Tidak ada kitaran yang terbentuk, sertakannya.

      4. Pilih kelebihan 0-1: Tidak ada kitaran yang terbentuk, sertakannya.

      5. Pilih tepi 2-5: Tidak ada kitaran yang terbentuk, sertakannya.

      6. Pilih tepi 8-6: Oleh kerana memasukkan kelebihan ini dalam kitaran, buangkannya.
      7. Pilih tepi 2-3: Tidak ada kitaran yang terbentuk, sertakannya.

      8. Pilih kelebihan 7-8: Oleh kerana memasukkan kelebihan ini dalam kitaran, buangkannya.
      9. Pilih kelebihan 0-7: Tidak ada kitaran yang terbentuk, sertakannya.

      10. Pilih tepi 1-2: Oleh kerana memasukkan kelebihan ini dalam kitaran, buangkannya.
      11. Pilih tepi 3-4: Tidak ada kitaran yang terbentuk, sertakannya.

      Oleh kerana bilangan tepi yang disertakan sama (V & # 8211 1), algoritma berhenti di sini.


      Algoritma Prim

      Algoritma Prim juga menggunakan pendekatan Greedy untuk mencari pokok rentang minimum. Dalam Algoritma Prim kami menanam pokok rentang dari kedudukan awal. Tidak seperti sebuah hujung di Kruskal, kami menambah bucu ke pokok rentang yang tumbuh di Prim's.

      Langkah Algoritma:

      • Kekalkan dua set bucu yang tidak terikat. Satu yang mengandungi bucu-bucu yang berada di pokok rentang yang tumbuh dan yang lain tidak ada di pokok rentang yang tumbuh.
      • Pilih bucu termurah yang dihubungkan dengan pokok rentang yang tumbuh dan tidak berada di pokok rentang yang tumbuh dan tambahkan ke dalam pokok rentang yang tumbuh. Ini boleh dilakukan dengan menggunakan Priority Queues. Masukkan bucu, yang dihubungkan dengan pokok rentang yang tumbuh, ke dalam Priority Queue.
      • Periksa kitaran. Untuk melakukan itu, tandakan node yang telah dipilih dan masukkan node-node tersebut sahaja dalam Priority Queue yang tidak ditandakan.

      Pertimbangkan contoh di bawah:

      Dalam Algoritma Prim, kita akan bermula dengan simpul sewenang-wenangnya (tidak kira mana) dan menandainya. Dalam setiap lelaran, kita akan menandakan bucu baru yang bersebelahan dengan titik yang telah kita tandakan. Sebagai algoritma tamak, algoritma Prim akan memilih kelebihan termurah dan menandakan bucu. Oleh itu, kita hanya akan memilih tepi dengan berat 1. Pada lelaran seterusnya kita mempunyai tiga pilihan, tepi dengan berat 2, 3 dan 4. Oleh itu, kita akan memilih tepi dengan berat 2 dan menandakan bucu. Sekali lagi kita mempunyai tiga pilihan, tepi dengan berat 3, 4 dan 5. Tetapi kita tidak dapat memilih kelebihan dengan berat 3 kerana ia membuat kitaran. Oleh itu, kita akan memilih kelebihan dengan berat 4 dan kita akan berakhir dengan pokok rentang minimum dengan jumlah kos 7 (= 1 + 2 +4).

      Pelaksanaan:

      Kerumitan Masa:
      Kerumitan masa Algoritma Prim adalah $ O ((V + E) logV) $ kerana setiap bucu dimasukkan dalam barisan keutamaan hanya sekali dan penyisipan dalam barisan keutamaan memerlukan masa logaritmik.


      Tonton videonya: KAREKÖK YAYINLARI MATEMATİK SIFIR KİTABI SORU ÇÖZÜMLERİ (Ogos 2022).