Artikel

3.2: Aplikasi Pengurangan


Objektif Pembelajaran

Di bahagian ini, anda akan belajar untuk:

  1. Merumuskan masalah pengaturcaraan linear pengurangan
  2. Grafik kelayakan kawasan untuk memaksimumkan masalah pengaturcaraan linear
  3. Tentukan penyelesaian optimum untuk masalah pengaturcaraan linear maksimum.

Masalah pengaturcaraan linear pengurangan diselesaikan dengan cara yang sama seperti masalah pemaksimalan.

Untuk program linear pengurangan minimum, kekangan adalah dalam bentuk (ax + by ≥ c ), berbanding dengan bentuk (ax + by ≤ c ) untuk masalah pemaksimuman standard. Akibatnya, penyelesaian yang layak meluas tanpa batas ke kanan atas kuadran pertama, dan tidak terikat. Tetapi itu tidak menjadi perhatian, kerana untuk meminimumkan fungsi objektif, garis yang terkait dengan fungsi objektif dipindahkan ke arah asal, dan titik kritis yang meminimalkan fungsi itu paling dekat dengan asal.

Namun, kita harus sedar bahawa dalam hal wilayah kemungkinan yang tidak terbatas, kemungkinan tidak ada solusi yang optimal.

Contoh ( PageIndex {1} )

Di universiti, Profesor Symons ingin mempekerjakan dua orang, John dan Mary, untuk menilai kertas untuk kelasnya. John adalah pelajar siswazah dan dapat gred 20 kertas sejam; John memperoleh $ 15 sejam untuk menggred kertas. Mary adalah rakan pasca doktoral dan dapat gred 30 kertas sejam; Mary memperoleh $ 25 sejam untuk menggred kertas. Masing-masing mesti bekerja sekurang-kurangnya satu jam seminggu untuk membenarkan pekerjaan mereka.
Sekiranya Prof Symons mempunyai sekurang-kurangnya 110 kertas untuk dinilai setiap minggu, berapa jam seminggu dia harus menggunakan setiap orang untuk meminimumkan kos?

Penyelesaian

Kami memilih pemboleh ubah seperti berikut:

Let (x ) = Bilangan jam seminggu John bekerja.

dan (y ) = Bilangan jam seminggu Mary bekerja.

Fungsi objektif adalah

[C = 15x + 25y bukan bilangan ]

Fakta bahawa masing-masing mesti bekerja sekurang-kurangnya satu jam setiap minggu menghasilkan dua kekangan berikut:

[ mulakan {array} {l}
x geq 1
y geq 1
end {array} bukan nombor ]

Oleh kerana John dapat menilai 20 kertas per jam dan Mary 30 kertas per jam, dan sekurang-kurangnya ada 110 kertas untuk dinilai setiap minggu, kami mendapat

[20x + 30y ≥ 110 bukan bilangan ]

Fakta bahawa (x ) dan (y ) tidak negatif, kita dapat

[x ≥ 0 text {, dan} y ≥ 0. nonumber ]

Masalahnya telah dirumuskan seperti berikut.

[ mulakan {array} {ll}
textbf {Minimalkan} & mathrm {C} = 15 mathrm {x} +25 mathrm {y}
textbf {Tertakluk kepada:} & mathrm {x} geq 1
& mathrm {y} geq 1
& 20 mathrm {x} +30 mathrm {y} geq 110
& mathrm {x} geq 0; mathrm {y} geq 0
end {array} bukan nombor ]

Untuk menyelesaikan masalah tersebut, kami membuat grafik kekangan seperti berikut:

Sekali lagi, kami telah mengaburkan wilayah kelayakan, di mana semua kekangan dipenuhi.

Sekiranya kita menggunakan titik ujian (0,0) yang tidak terletak pada salah satu kekangan, kita perhatikan bahawa (0, 0) tidak memenuhi mana-mana kekangan (x ≥ 1 ), (y ≥ 1 ), (20x + 30y ≥ 110 ). Oleh itu, semua bayangan untuk wilayah kelayakan terletak di seberang garis kekangan dari titik (0,0).

Sebagai alternatif kita boleh menggunakan titik ujian (4,6), yang juga tidak terletak pada garis kendala. Kami dapati bahawa (4,6) adakah memenuhi semua kekangan ketaksamaan. Akibatnya semua bayangan untuk wilayah kelayakan terletak di sisi yang sama dari garis kekangan dengan titik (4,6).

Oleh kerana nilai fungsi objektif yang melampau selalu berlaku di bucu wilayah kemungkinan, kita mengenal pasti dua titik kritikal, (1, 3) dan (4, 1). Untuk meminimumkan kos, kami akan mengganti titik-titik ini dalam fungsi objektif untuk melihat titik mana yang memberi kita kos minimum setiap minggu. Hasilnya disenaraikan di bawah.

Titik kritikalPendapatan
(1, 3)15(1) + 25(3) = $90
(4, 1)15(4) + 25(1) = $85

Intinya (4, 1) memberikan kos yang paling rendah, dan kosnya adalah $ 85. Oleh itu, kami menyimpulkan bahawa untuk meminimumkan kos penggredan, Profesor Symons harus menggunakan John 4 jam seminggu, dan Mary 1 jam seminggu dengan kos $ 85 per minggu.

Contoh ( PageIndex {2} )

Profesor Hamer menjalani diet kolesterol rendah. Semasa makan tengah hari di kafeteria kolej, dia selalu memilih antara dua makanan, Pasta atau Tahu. Jadual di bawah menyenaraikan jumlah protein, karbohidrat, dan vitamin yang disediakan setiap kali makan bersama dengan jumlah kolesterol yang ingin diminimumkan. Hamer memerlukan sekurang-kurangnya 200 gram protein, 960 gram karbohidrat, dan 40 gram vitamin untuk makan tengah hari setiap bulan. Selama jangka waktu ini, berapa hari dia harus makan Pasta, dan berapa hari makanan Tahu sehingga dia mendapat jumlah protein, karbohidrat, dan vitamin yang mencukupi dan pada masa yang sama meminimumkan pengambilan kolesterolnya?

PASTA

TOFU

PROTEIN

8g

16g

KARBOHIDRAT

60g

40g

VITAMIN C

2g

2g

KOLESTEROL

60mg

50mg

Penyelesaian

Kami memilih pemboleh ubah seperti berikut.

Mari (x ) = Bilangan hari Encik Hamer makan Pasta.

dan (y ) = Jumlah hari Encik Hamer makan Tauhu.

Oleh kerana dia berusaha untuk meminimumkan pengambilan kolesterolnya, fungsi objektif kita mewakili jumlah total kolesterol C yang disediakan oleh kedua makanan.

[C = 60x + 50y bukan nombor ]

Kekangan yang berkaitan dengan jumlah protein yang disediakan oleh kedua-dua makanan adalah

[8x + 16y ≥ 200 bukan nombor ]

Begitu juga, dua kekangan yang berkaitan dengan jumlah karbohidrat dan vitamin diperoleh, dan ia adalah

[ mulakan {array} {l}
60 x + 40 y geq 960
2 x + 2 y geq 40
end {array} bukan nombor ]

Kekangan yang menyatakan bahawa x dan y tidak negatif adalah

[x ≥ 0 text {, dan} y ≥ 0 bukan nombor. ]

Kami merangkum semua maklumat seperti berikut:

[ mulakan {array} {ll}
textbf {Minimalkan} & mathrm {C} = 60 mathrm {x} +50 mathrm {y}
textbf {Tertakluk kepada:} & 8 mathrm {x} +16 mathrm {y} geq 200
& 60 mathrm {x} +40 mathrm {y} geq 960
& 2 mathrm {x} +2 mathrm {y} geq 40
& mathrm {x} geq 0; mathrm {y} geq 0
end {array} bukan nombor ]

Untuk menyelesaikan masalah ini, kami membuat grafik mengenai kekangan dan membayangi wilayah kemungkinan.

Kami telah melindungi wilayah kemungkinan yang tidak terbatas, di mana semua kekangan dipenuhi.

Untuk meminimumkan fungsi objektif, kita dapati bucu rantau kelayakan. Bucu ini adalah (0, 24), (8, 12), (15, 5) dan (25, 0). Untuk mengurangkan kolesterol, kita akan mengganti titik-titik ini dalam fungsi objektif untuk melihat titik mana yang memberi kita nilai terkecil. Hasilnya disenaraikan di bawah.

Titik kritikalPendapatan
(0, 24)60(0) + 50(24) = 1200
(8, 12)60(8) + 50(12) = 1080
(15, 5)60(15) + 50(5) = 1150
(25, 0)60(25) + 50(0) = 1500

Titik (8, 12) memberikan kolesterol paling sedikit, iaitu 1080 mg. Ini menyatakan bahawa untuk setiap 20 kali makan, Profesor Hamer harus makan Pasta 8 hari, dan Tahu 12 hari.

Kita mesti sedar bahawa dalam beberapa kes, program linear mungkin tidak mempunyai penyelesaian yang optimum.

  • Program linier gagal mendapatkan penyelesaian yang optimum adalah jika tidak ada wilayah kelayakan. Sekiranya batasan ketaksamaan tidak serasi, mungkin tidak ada kawasan dalam grafik yang memuaskan semua kekangannya. Sekiranya program linier tidak mempunyai penyelesaian yang dapat memenuhi semua kekangan, maka program tersebut tidak dapat memperoleh penyelesaian yang optimum.
  • Program linier gagal mendapatkan penyelesaian yang optimum jika wilayah kelayakan tidak terikat.
    • Dua program linear pengurangan yang kami kaji mempunyai wilayah kemungkinan yang tidak terbatas. Kawasan kelayakan dibatasi oleh kekangan di beberapa sisi tetapi tidak sepenuhnya diliputi oleh kekangan. Kedua-dua masalah pengurangan tersebut mempunyai penyelesaian yang optimum.
    • Namun, jika kita mempertimbangkan masalah pemaksimalan dengan wilayah kelayakan tanpa batas yang serupa, program linier tidak akan memiliki solusi yang optimal. Tidak kira apa nilai x dan y yang dipilih, kita selalu dapat mencari nilai lain dari (x ) dan (y ) yang akan menghasilkan nilai yang lebih tinggi untuk fungsi objektif. Dengan kata lain, jika nilai fungsi objektif dapat ditingkatkan tanpa terikat dalam program linier dengan wilayah layak tanpa batas, tidak ada solusi maksimum yang optimal.

Walaupun kaedah menyelesaikan masalah peminimalan serupa dengan masalah pemaksimalan, kami masih merasakan bahawa kami harus meringkaskan langkah-langkah yang terlibat.

Mengurangkan Masalah Pengaturcaraan Linear

  1. Tulis fungsi objektif.
  2. Tulis kekangan.
    1. Untuk masalah pengaturcaraan linear pengurangan minimum, kekangan adalah seperti: (ax + by ≥ c )
    2. Oleh kerana pemboleh ubah tidak negatif, sertakan kekangan: (x ≥ 0 ); (y ≥ 0 ).
  3. Grafkan kekangan.
  4. Lindungi wilayah kemungkinan.
  5. Cari titik sudut.
  6. Tentukan titik sudut yang memberikan nilai minimum.
    1. Ini dapat dilakukan dengan mencari nilai fungsi objektif pada setiap sudut sudut.
    2. Ini juga dapat dilakukan dengan menggerakkan garis yang berkaitan dengan fungsi objektif.
    3. Ada kemungkinan masalah itu tidak dapat diselesaikan

Analisis penjadualan dan pengurangan saiz timbunan dengan ambang penentuan dan penjadualan kritikal campuran

Penjadualan Campuran-Kritikal (MCS) adalah pendekatan yang berkesan untuk menangani keperluan pensijilan Sistem Siber-Fizikal yang kritikal untuk keselamatan yang mengintegrasikan pelbagai subsistem dengan tahap kritikal yang berbeza dalam domain aplikasi seperti avionik dan sistem automotif. Walaupun MCS pada awalnya diusulkan dalam konteks aplikasi avionik yang penting untuk keselamatan, ia juga mencari jalan masuk ke dalam domain automotif yang menghadapi tekanan pemotongan biaya yang sengit di pasar yang sangat kompetitif saat ini, jadi penting untuk meminimumkan kos perkakasan dengan menggunakan rendah -pemproses kos dengan sumber pemprosesan dan ingatan yang terhad. Penjadualan Ambang Had Preemption (PTS) adalah teknik yang terkenal untuk mengawal tahap preemption dalam penjadualan masa nyata, dengan faedah pengurangan ukuran timbunan dan pengurangan jumlah preemption berbanding penjadualan pre-preemptive sepenuhnya. Kami menyajikan analisis penjadwalan untuk membolehkan penyatuan PTS dengan MCS, termasuk dua varian PT-rtb dan PT-max, untuk mengurangkan keperluan ruang tumpukan aplikasi, dan memungkinkan pelaksanaan MCS yang efisien pada platform tertanam yang dibatasi sumber. Kami juga mengintegrasikan ujian penjadwalan kami dengan algoritma penugasan ambang keutamaan dan preemption, untuk mempunyai penyelesaian lengkap untuk analisis dan sintesis sistem kritikal campuran. Penilaian prestasi menggambarkan faedah pendekatan kami dari segi peningkatan jadual dan keperluan timbunan yang berkurang.


Kaedah Dua Fasa: Contoh Minimumkan 1

Sekiranya fungsi objektif dalam bentuk pengurangan, kemudian ubah menjadi bentuk pemaksimum.

Mengubah rasa pengoptimuman

Segala masalah pengurangan linear dapat dilihat sebagai masalah pemaksimuman linear yang setara, dan sebaliknya. Khususnya:

Sekiranya z adalah nilai optimum ungkapan kiri, maka -z adalah nilai optimum ungkapan tangan kanan.

Menukar ketaksamaan kepada persamaan

Di mana:
x4 adalah pemboleh ubah kendur
x5 adalah pemboleh ubah lebihan

Pemboleh ubah lebihan x5 mewakili unit tambahan.

Sekarang, jika kita membiarkan x1, x2 dan x3 sama dengan sifar dalam penyelesaian awal, kita akan mempunyai x4 = 5 dan x5 = -2, yang tidak mungkin kerana pemboleh ubah lebihan tidak boleh negatif. Oleh itu, kita memerlukan pemboleh ubah buatan.

Di mana A1 dan A2 adalah pemboleh ubah buatan.

Kaedah Fasa 1 dari Dua Fasa

Pada fasa ini, kami membuang pemboleh ubah buatan dan mencari penyelesaian awal yang mungkin untuk masalah asal. Kini fungsi objektif dapat dinyatakan sebagai

Penyelesaian asas asas yang boleh dilaksanakan

Penyelesaian asas asas boleh didapati dengan menetapkan
x1 = x2 = x3 = x5 = 0

Maka kita akan mempunyai A.1 = 2, A2 = 5, x4 = 5

Kaedah Dua Fasa: Jadual 1

Pada skrin kecil, tatal secara mendatar untuk melihat pengiraan penuh

cj 0 0 0 0 0 -1 -1
cB Pemboleh ubah asas
B
x1 x2 x3 x4 x5 A1 A2 Nilai penyelesaian
b (= XB)
0 x4 1 3 1 1 0 0 0 5
-1 A1 2 -1 1 0 -1 1 0 2
-1 A2 4 3 -2 0 0 0 1 5
zj& # 150cj -6 -2 1 0 1 0 0

Lajur utama = x1 kolum
Minimum (5/1, 2/2, 5/4) = 1
Baris kunci = A1 barisan
Unsur pangsi = 2
A1 bertolak dan x1 masuk.

A2 bertolak dan x2 masuk.
Di sini, Fasa 1 berakhir kerana kedua-dua pemboleh ubah buatan telah dikeluarkan dari asasnya.

Fasa 2 Kaedah Dua Fasa

Penyelesaian asas yang dapat dilaksanakan pada akhir Tahap 1 pengiraan digunakan sebagai penyelesaian asas awal yang dapat dilaksanakan untuk masalah tersebut. Fungsi objektif asal diperkenalkan dalam pengiraan Tahap 2 dan prosedur simplex biasa digunakan untuk menyelesaikan masalah.

Gunakan bar tatal mendatar untuk melihat pengiraan penuh

cj 3 -1 2 0 0
cB Pemboleh ubah asas
B
x1 x2 x3 x4 x5 Nilai penyelesaian
b (= XB)
0 x4 0 0 33/10 1 -9/10 33/10
3 x1 1 0 1/10 0 -3/10 11/10
-1 x2 0 1 -4/5 0 2/5 1/5
zj-cj 0 0 -9/10 0 -13/10
cj 3 -1 2 0 0
cB Pemboleh ubah asas
B
x1 x2 x3 x4 x5 Nilai penyelesaian
b (= XB)
0 x4 0 9/4 3/2 1 0 15/4
3 x1 1 3/4 -1/2 0 0 5/4
0 x5 0 5/2 -2 0 1 1/2
zj-cj 0 13/4 -7/2 0 0

Jangan sabar. Jadual seterusnya adalah jadual terakhir.

& quot; Kebajikan yang paling berguna adalah kesabaran & quot - John Dewey

Kaedah Dua Fasa: Jadual Optimum Akhir

cj 3 -1 2 0 0
cB Pemboleh ubah asas
B
x1 x2 x3 x4 x5 Nilai penyelesaian
b (= XB)
2 x3 0 3/2 1 2/3 0 5/2
3 x1 1 3/2 0 1/3 0 5/2
0 x5 0 11/2 0 4/3 1 11/2
zj-cj 0 17/2 0 7/3 0

Dasar yang optimum ialah x1 = 5/2, x2 = 0, x3 = 5/2. Nilai optimum fungsi objektif yang berkaitan ialah z = 3 X (5/2) & # 150 0 + 2 X (5/2) = 25/2.


Scipy.optimize.minimize¶

Minimumkan fungsi skalar satu atau lebih pemboleh ubah.

Parameter seronok boleh dihubungi

Fungsi objektif untuk diminimumkan.

di mana x ialah susunan 1-D dengan bentuk (n,) dan berhujah adalah tupel parameter tetap yang diperlukan untuk menentukan fungsi sepenuhnya.

x0 ndarray, bentuk (n,)

Tekaan awal. Array unsur sebenar ukuran (n,), di mana 'n' adalah bilangan pemboleh ubah bebas.

berhujah tuple, pilihan

Argumen tambahan disampaikan kepada fungsi objektif dan turunannya (seronok, jac dan hess fungsi).

kaedah str atau boleh dipanggil, pilihan

Jenis pemecah. Sepatutnya salah satu

  • ‘Nelder-Mead’ (lihat di sini)

  • ‘Powell’ (lihat di sini)

  • ‘CG’ (lihat di sini)

  • ‘BFGS’ (lihat di sini)

  • ‘Newton-CG’ (lihat di sini)

  • ‘L-BFGS-B’ (lihat di sini)

  • 'TNC' (lihat di sini)

  • ‘COBYLA’ (lihat di sini)

  • ‘SLSQP’ (lihat di sini)

  • ‘Trust-constr’ (lihat di sini)

  • ‘Dogleg’ (lihat di sini)

  • ‘Trust-ncg’ (lihat di sini)

  • ‘Trust-tepat’ (lihat di sini)

  • ‘Trust-krylov’ (lihat di sini)

  • custom - objek yang boleh dipanggil (ditambahkan dalam versi 0.14.0), lihat di bawah untuk keterangan.

Sekiranya tidak diberikan, dipilih untuk menjadi salah satu dari BFGS, L-BFGS-B, SLSQP, bergantung kepada masalah jika ada batasan atau batasan.

Kaedah untuk mengira vektor kecerunan. Hanya untuk CG, BFGS, Newton-CG, L-BFGS-B, TNC, SLSQP, dogleg, trust-ncg, trust-krylov, trust-tepat dan trust-konstr. Sekiranya boleh dipanggil, ia mestilah fungsi yang mengembalikan vektor kecerunan:

jac (x, * args) - & gt array_like, bentuk (n,)

di mana x ialah tatasusunan dengan bentuk (n,) dan berhujah adalah tuple dengan parameter tetap. Sebagai alternatif, kata kunci <‘2-point’, ‘3-point’, ‘cs’> memilih skema perbezaan terhingga untuk anggaran angka kecerunan. Pilihan ‘3-point’ dan ‘cs’ hanya tersedia untuk ‘trust-constr’. Sekiranya jac adalah Boolean dan Benar, seronok dianggap mengembalikan kecerunan bersama dengan fungsi objektif. Sekiranya Salah, kecerunan akan dianggarkan menggunakan anggaran perbezaan hingga '2-titik'.

Kaedah untuk mengira matriks Hessian. Hanya untuk Newton-CG, dogleg, trust-ncg, trust-krylov, trust-tepat dan kepercayaan-konstruk. Sekiranya boleh dipanggil, ia harus mengembalikan matriks Hessian:

di mana x ialah (n,) ndarray dan berhujah adalah tuple dengan parameter tetap. LinearOperator dan pulangan matriks jarang dibenarkan hanya untuk kaedah ‘trust-constr’. Sebagai alternatif, kata kunci <‘2-point’, ‘3-point’, ‘cs’> memilih skema perbezaan hingga untuk anggaran angka. Atau, objek yang melaksanakan antara muka HessianUpdateStrategy boleh digunakan untuk menghampiri Hessian. Kaedah quasi-Newton yang tersedia untuk melaksanakan antara muka ini adalah:

Setiap kali kecerunan diperkirakan melalui perbezaan terhingga, Hessian tidak dapat diperkirakan dengan pilihan <‘2-point’, ‘3-point’, ‘cs’> dan perlu dianggarkan menggunakan salah satu strategi quasi-Newton. Pilihan perbezaan hingga <‘2-point’, ‘3-point’, ‘cs’> dan HessianUpdateStrategy hanya tersedia untuk kaedah ‘trust-constr’.

hessp boleh dipanggil, pilihan

Hessian fungsi objektif kali vektor sewenang-wenangnya p. Hanya untuk Newton-CG, trust-ncg, trust-krylov, trust-konstr. Hanya satu daripada hessp atau hess perlu diberi. Sekiranya hess disediakan, maka hessp akan diabaikan. hessp mesti menghitung zaman Hessian vektor sewenang-wenangnya:

hessp (x, p, * args) - & gt & # 160 ndari bentuk (n,)

di mana x ialah (n,) ndarray, p adalah vektor sewenang-wenang dengan dimensi (n,) dan berhujah adalah tuple dengan parameter tetap.

mengikat urutan atau Batas, pilihan

Mengehadkan pemboleh ubah untuk kaedah L-BFGS-B, TNC, SLSQP dan kepercayaan-konstruk. Terdapat dua cara untuk menentukan had:

  1. Contoh kelas Had.

  2. Urutan pasangan (min, maks) untuk setiap elemen di x. Tidak ada yang digunakan untuk menentukan tidak ada batas.

Definisi kekangan (hanya untuk COBYLA, SLSQP dan kepercayaan-konstruk). Kekangan untuk ‘trust-constr’ didefinisikan sebagai objek tunggal atau senarai objek yang menentukan kekangan untuk masalah pengoptimuman. Kekangan yang ada adalah:

Kekangan untuk COBYLA, SLSQP ditakrifkan sebagai senarai kamus. Setiap kamus dengan bidang:

taip str

Jenis kekangan: ‘eq’ untuk persamaan, ‘ineq’ untuk ketaksamaan.

senang dipanggil

Fungsi yang menentukan kekangan.

jac callable, pilihan

Orang Jacobian dari seronok (hanya untuk SLSQP).

urutan argumen, pilihan

Hujah tambahan untuk disampaikan kepada fungsi dan Jacobian.

Kekangan kesamaan bermaksud bahawa hasil fungsi kekangan adalah sifar sedangkan ketaksamaan bermaksud bahawa ia tidak negatif. Perhatikan bahawa COBYLA hanya menyokong kekangan ketaksamaan.

tol apungan, pilihan

Toleransi untuk penamatan. Untuk kawalan terperinci, gunakan pilihan khusus penyelesai.

pilihan perintah, pilihan

Kamus pilihan pemecah. Semua kaedah menerima pilihan generik berikut:

maxiter int

Bilangan lelaran maksimum untuk dilaksanakan.

disp bool

Tetapkan ke True untuk mencetak mesej penumpuan.

Untuk pilihan khusus kaedah, lihat show_options.

panggilan balik boleh dipanggil, pilihan

Disebut selepas setiap lelaran. Untuk ‘trust-constr’, ia boleh dipanggil dengan tandatangan:

panggilan balik (xk, keadaan OptimizeResult) - & gt bool

di mana xk adalah vektor parameter semasa. dan keadaan adalah objek OptimizeResult, dengan medan yang sama dengan yang dari pemulangan. Sekiranya panggilan balik kembali Benar, pelaksanaan algoritma ditamatkan. Untuk semua kaedah lain, tandatangannya adalah:

di mana xk adalah vektor parameter semasa.

Pulang res Hasil Optimalkan

Hasil pengoptimuman ditunjukkan sebagai objek OptimizeResult. Atribut penting ialah: x larutan penyelesaian, berjaya bendera Boolean menunjukkan jika pengoptimum berjaya keluar dan mesej yang menerangkan penyebab penamatan. Lihat OptimizeResult untuk penerangan atribut lain.

Antaramuka untuk meminimumkan algoritma untuk fungsi univariate skalar

Pilihan tambahan yang diterima oleh penyelesai

Bahagian ini menerangkan pemecah yang tersedia yang dapat dipilih dengan parameter 'kaedah'. Kaedah lalai adalah BFGS.

Pengurangan yang tidak terkawal

Kaedah Nelder-Mead menggunakan algoritma Simplex [1], [2]. Algoritma ini kukuh dalam banyak aplikasi. Walau bagaimanapun, jika pengiraan berangka derivatif dapat dipercayai, algoritma lain yang menggunakan maklumat derivatif pertama dan / atau kedua mungkin lebih disukai untuk prestasi yang lebih baik secara umum.

Kaedah Powell adalah modifikasi kaedah Powell [3], [4] yang merupakan kaedah arah konjugat. Ia melakukan pengurangan satu dimensi berturutan di sepanjang setiap vektor arah yang ditetapkan (arahan bidang di pilihan dan maklumat), yang dikemas kini pada setiap lelaran gelung pengurangan utama. Fungsi tidak perlu dibezakan, dan tidak ada derivatif yang diambil.

Kaedah CG menggunakan algoritma kecerunan konjugat nonlinear oleh Polak dan Ribiere, varian kaedah Fletcher-Reeves yang dijelaskan dalam [5] ms 120-122. Hanya derivatif pertama yang digunakan.

Kaedah BFGS menggunakan kaedah quasi-Newton iaitu Broyden, Fletcher, Goldfarb, dan Shanno (BFGS) [5] hlm.136. Ia menggunakan derivatif pertama sahaja. BFGS telah membuktikan prestasi yang baik walaupun untuk pengoptimuman yang tidak lancar. Kaedah ini juga mengembalikan perkiraan terbalik Hessian, disimpan sebagai hess_inv dalam objek OptimizeResult.

Kaedah Newton-CG menggunakan algoritma Newton-CG [5] hlm.168 (juga dikenali sebagai kaedah Newton terpotong). Ia menggunakan kaedah CG untuk menghitung arah carian. Lihat juga TNC kaedah untuk meminimumkan pengekangan kotak dengan algoritma yang serupa. Sesuai untuk masalah berskala besar.

Kaedah dogleg menggunakan algoritma kawasan kepercayaan-kaki anjing [5] untuk pengurangan minimum. Algoritma ini memerlukan kecerunan dan Hessian seterusnya Hessian diperlukan untuk pasti positif.

Kaedah trust-ncg menggunakan algoritma wilayah kepercayaan kecerunan konjugasi Newton [5] untuk pengurangan minimum. Algoritma ini memerlukan kecerunan dan sama ada Hessian atau fungsi yang menghitung produk Hessian dengan vektor tertentu. Sesuai untuk masalah berskala besar.

Kaedah trust-krylov menggunakan algoritma wilayah kepercayaan Newton GLTR [14], [15] untuk pengurangan minimum. Algoritma ini memerlukan kecerunan dan sama ada Hessian atau fungsi yang menghitung produk Hessian dengan vektor tertentu. Sesuai untuk masalah berskala besar. Pada masalah yang tidak tentu memerlukan lelaran biasanya lebih sedikit daripada kepercayaan-ncg kaedah dan disyorkan untuk masalah skala sederhana dan besar.

Kaedah kepercayaan-tepat adalah kaedah amanah-wilayah untuk pengurangan yang tidak terkawal di mana sub-masalah kuadratik diselesaikan hampir tepat [13]. Algoritma ini memerlukan kecerunan dan Hessian (yang tidak dikehendaki positif pasti). Dalam banyak keadaan, kaedah Newton adalah untuk menggabungkan lebih sedikit lelaran dan yang paling disyorkan untuk masalah kecil dan sederhana.

Minimumkan Terikat

Kaedah L-BFGS-B menggunakan algoritma L-BFGS-B [6], [7] untuk pengurangan pengekangan terikat.

Kaedah TNC menggunakan algoritma Newton terpotong [5], [8] untuk meminimumkan fungsi dengan pemboleh ubah tertakluk kepada batas. Algoritma ini menggunakan maklumat kecerunan dan ia juga dipanggil Newton Conjugate-Gradient. Ia berbeza dengan Newton-CG kaedah yang dijelaskan di atas kerana membungkus pelaksanaan C dan membolehkan setiap pemboleh ubah diberi batas atas dan bawah.

Pengurangan Terhad

Kaedah COBYLA menggunakan kaedah Constrained Optimization BY Linear Approximation (COBYLA) [9], [10], [11]. Algoritma didasarkan pada pendekatan linear terhadap fungsi objektif dan setiap kekangan. Kaedah ini membungkus FORTRAN pelaksanaan algoritma. Kekangan fungsi 'fun' boleh mengembalikan nombor tunggal atau susunan atau senarai nombor.

Kaedah SLSQP menggunakan Pengaturcaraan Sequential Least SQuares untuk meminimumkan fungsi beberapa pemboleh ubah dengan gabungan batasan, persamaan dan kekangan ketaksamaan. Kaedah ini membungkus subrutin SLSQP Optimization yang pada mulanya dilaksanakan oleh Dieter Kraft [12]. Perhatikan bahawa pembungkus menangani nilai tak terhingga dengan mengubahnya menjadi nilai terapung besar.

Kaedah kepercayaan-konstruk adalah algoritma wilayah-kepercayaan untuk pengoptimuman terhad. Ini bertukar antara dua pelaksanaan bergantung pada definisi masalah. Ini adalah algoritma pengurangan minimum yang paling serba boleh yang dilaksanakan di SciPy dan paling sesuai untuk masalah berskala besar. Untuk masalah kesetaraan yang dihadapi adalah pelaksanaan kaedah SQP Byrd-Omojokun Trust-Region yang dijelaskan dalam [17] dan dalam [5], hlm. 549. Apabila batasan ketaksamaan dikenakan juga, ia beralih ke kaedah titik dalaman kawasan kepercayaan yang dijelaskan dalam [16]. Algoritma titik dalaman ini, pada gilirannya, menyelesaikan kekangan ketaksamaan dengan memperkenalkan pemboleh ubah kendur dan menyelesaikan urutan masalah halangan yang dibatasi oleh persamaan untuk nilai parameter penghalang yang semakin kecil. Kaedah SQP yang dibatasi kesamaan yang dijelaskan sebelumnya digunakan untuk menyelesaikan masalah dengan tahap ketepatan yang semakin meningkat ketika iterate semakin hampir dengan penyelesaian.

Pilihan Perbezaan Terhingga

Untuk Kaedah mempercayai kecerunan dan Hessian dapat dihampirkan menggunakan tiga skema perbezaan hingga: <‘2-point’, ‘3-point’, ‘cs’>. Skema 'cs', berpotensi, yang paling tepat tetapi memerlukan fungsi untuk menangani input kompleks dengan betul dan dapat dibezakan dalam bidang kompleks. Skema ‘3-point’ lebih tepat daripada ‘2-point’ tetapi memerlukan operasi dua kali lebih banyak.

Minimizer tersuai

Mungkin berguna untuk melewati kaedah peminimalan khusus, misalnya ketika menggunakan frontend ke kaedah ini seperti scipy.optimize.basinhopping atau perpustakaan lain. Anda hanya boleh meneruskan panggilan sebagai parameter kaedah.

Callable dipanggil sebagai kaedah (fun, x0, args, ** kwargs, ** options) di mana kwargs sesuai dengan parameter lain yang dilalui untuk diminimumkan (seperti panggilan balik, hess, dan lain-lain), kecuali pilihan dikt, yang mempunyai kandungannya juga disahkan sebagai kaedah parameter berpasangan dengan pasangan. Juga, jika jac telah disahkan sebagai jenis bool, jac dan seronok hancur sehingga seronok mengembalikan hanya nilai fungsi dan jac ditukarkan ke fungsi mengembalikan Jacobian. Kaedah akan mengembalikan objek OptimizeResult.

Yang disediakan kaedah callable mesti dapat menerima (dan mungkin mengabaikan) parameter sewenang-wenangnya, set parameter yang diterima dengan meminimumkan dapat berkembang dalam versi yang akan datang dan kemudian parameter ini akan diteruskan ke kaedah. Anda boleh mendapatkan contoh dalam tutorial scipy.optimize.

Nelder, J A, dan R Mead. 1965. Kaedah Simplex untuk Pengurangan Fungsi. Jurnal Komputer 7: 308-13.

Wright M H. 1996. Kaedah carian langsung: Setelah dicerca, kini dihormati, dalam Analisis Numerik 1995: Prosiding Persidangan Dundee Biennial 1995 dalam Analisis Numerik (Eds. D F Griffiths dan G A Watson). Addison Wesley Longman, Harlow, UK. 191-208.

Powell, M J D. 1964. Kaedah yang berkesan untuk mencari minimum fungsi beberapa pemboleh ubah tanpa mengira derivatif. Jurnal Komputer 7: 155-162.

Tekan W, S A Teukolsky, W T Vetterling dan B P Flannery. Resipi Berangka (edisi apa pun), Cambridge University Press.

Nocedal, J, dan S J Wright. 2006. Pengoptimuman Berangka. Springer New York.

Byrd, R H dan P Lu dan J. Nocedal. 1995. Algoritma Memori Terhad untuk Pengoptimuman Terikat Terikat. Jurnal SIAM mengenai Pengkomputeran Ilmiah dan Statistik 16 (5): 1190-1208.

Zhu, C dan R H Byrd dan J Nocedal. 1997. L-BFGS-B: Algoritma 778: L-BFGS-B, FORTRAN rutin untuk pengoptimuman terkawal berskala besar. Transaksi ACM pada Perisian Matematik 23 (4): 550-560.

Nash, S G. Pengurangan Jenis Newton Melalui Kaedah Lanczos. 1984. SIAM Journal of Numerical Analysis 21: 770-778.

Powell, M J D. Kaedah pengoptimuman carian langsung yang memodelkan fungsi objektif dan kekangan dengan interpolasi linear. 1994. Kemajuan dalam Pengoptimuman dan Analisis Numerik, ed. S. Gomez dan J-P Hennart, Kluwer Academic (Dordrecht), 51-67.

Powell M J D. Algoritma carian langsung untuk pengiraan pengoptimuman. 1998. Acta Numerica 7: 287-336.

Powell M J D. Pandangan algoritma untuk pengoptimuman tanpa derivatif. 2007. Laporan Teknikal Universiti Cambridge DAMTP 2007 / NA03

Kraft, D. Pakej perisian untuk pengaturcaraan kuadratik berurutan. 1988. Teknologi. Perwakilan DFVLR-FB 88-28, DLR German Aerospace Center - Institut Mekanik Penerbangan, Koln, Jerman.

Kaedah rantau Conn, A. R., Gould, N. I., dan Toint, P. L. Trust. 2000. Siam. hlm 169-200.

F. Lenders, C. Kirches, A. Potschka: "trlib: Pelaksanaan kaedah GLTR bebas vektor untuk penyelesaian berulang masalah wilayah amanah", https://arxiv.org/abs/1611.04718

N. Gould, S. Lucidi, M. Roma, P. Toint: "Menyelesaikan Masalah-Masalah Wilayah Amanah menggunakan Kaedah Lanczos", SIAM J. Optim., 9 (2), 504–525, (1999).

Byrd, Richard H., Mary E. Hribar, dan Jorge Nocedal. 1999. Algoritma titik dalaman untuk pengaturcaraan bukan linier berskala besar. Jurnal SIAM mengenai Pengoptimuman 9.4: 877-900.

Lalee, Marucha, Jorge Nocedal, dan Todd Plantega. 1998. Pada pelaksanaan algoritma untuk pengoptimuman terhad kesaksamaan berskala besar. Jurnal SIAM mengenai Pengoptimuman 8.3: 682-706.

Mari kita fikirkan masalah meminimumkan fungsi Rosenbrock. Fungsi ini (dan turunannya masing-masing) dilaksanakan dalam rosen (resp. Rosen_der, rosen_hess) di scipy.optimum.

Aplikasi ringkas dari Nelder-Mead kaedahnya adalah:

Kini menggunakan BFGS algoritma, menggunakan derivatif pertama dan beberapa pilihan:

Seterusnya, pertimbangkan masalah pengurangan dengan beberapa kekangan (iaitu Contoh 16.4 dari [5]). Fungsi objektif adalah:


4. Algoritma QAOA Algoritma pengoptimuman anggaran Quantum (QAOA) oleh Farhi, Goldstone dan Gutmann 3 adalah contoh algoritma heuristik. Tidak seperti algoritma Goemans-Williamson, QAOA tidak disertakan dengan jaminan prestasi. QAOA mengambil pendekatan algoritma anggaran klasik dan mencari analog kuantum yang juga akan menghasilkan rentetan bit klasik $ x ^ * $ yang dengan kebarangkalian tinggi dijangka mempunyai nisbah penghampiran yang baik $ alpha $. Sebelum membincangkan perinciannya, marilah kita mengemukakan idea umum mengenai pendekatan ini.

4.1 Gambaran Keseluruhan:

Kami ingin mencari keadaan kuantum $ | psi_p ( vec < gamma>, vec < beta>) rangle $, yang bergantung pada beberapa parameter sebenar $ vec < gamma>, vec < beta> dalam mathbb^ p $, yang mempunyai sifat bahawa ia memaksimumkan nilai jangkaan berkenaan dengan masalah Hamiltonian $ H $. Memandangkan keadaan percubaan ini, kami mencari parameter $ vec < gamma> ^ *, vec < beta> ^ * $ yang memaksimumkan $ F_p ( vec < gamma>, vec < beta>) = langle psi_p ( vec < gamma>, vec < beta>) | H | psi_p ( vec < gamma>, vec < beta>) rangle $.

Setelah kita mempunyai keadaan seperti itu dan parameter yang sesuai, kita menyiapkan keadaan $ | psi_p ( vec < gamma> ^ *, vec < beta> ^ *) rentang $ pada komputer kuantum dan ukur keadaan di $ Z $ asas $ | x rangle = | x_1, ldots x_n rangle $ untuk mendapatkan hasil rawak $ x ^ * $.

Kita akan melihat bahawa $ x ^ * $ rawak ini akan menjadi rentetan sedikit dengan kebarangkalian tinggi hampir dengan nilai yang diharapkan $ M_p = F_p ( vec < gamma> ^ *, vec < beta> ^ * ) $. Oleh itu, jika $ M_p $ hampir dengan $ C_$ begitu juga $ C (x ^ *) $.

4.2 Komponen algoritma QAOA.

4.2.1 Keadaan percubaan QAOA Pusat QAOA adalah keadaan percubaan $ | psi_p ( vec , vec ) rangle $ yang akan disiapkan pada komputer kuantum. Sebaik-baiknya kita mahu keadaan ini menimbulkan nilai jangkaan yang besar $ F_p ( vec , vec ) = langle psi_p ( vec , vec ) | H | psi_p ( vec , vec ) rangle $ berkenaan dengan masalah Hamiltonian $ H $. Dalam Farhi 3, percubaan menyatakan $ | psi_p ( vec , vec ) rangle $ dibina dari masalah Hamiltonian $ H $ bersama dengan putaran tunggal Pauli $ X $ qubit. Itu bermaksud, memandangkan masalah Hamiltonian pepenjuru dalam asas komputasi dan Hamiltonian medan melintang keadaan percubaan disiapkan dengan menerapkan $ p $ unitari ganti ke keadaan produk $ | + rangle ^ n $ dengan $ X | + rangle = | + rangle $. Ansatz khusus ini mempunyai kelebihan bahawa terdapat pilihan eksplisit untuk vektor $ vec ^ *, vec ^ * $ sehingga untuk $ M_p = F_p ( vec ^ * , vec ^ *) $ apabila kita mengambil had $ lim_ M_p = C_$. Ini diikuti dengan melihat keadaan percubaan $ | psi_p ( vec , vec ) rangle $ sebagai keadaan yang berikutan dari trottering evolusi adiabatik berkenaan dengan $ H $ dan medan melintang Hamiltonian $ B $, rujuk Ruj 3. Sebaliknya kelemahan keadaan percubaan ini adalah biasanya menginginkan keadaan yang telah dihasilkan dari litar kuantum yang tidak terlalu dalam. Di sini kedalaman diukur berkenaan dengan gerbang yang dapat digunakan secara langsung pada chip kuantum. Oleh itu terdapat cadangan lain yang mencadangkan penggunaan keadaan percubaan Ansatz yang lebih disesuaikan dengan Perkakasan cip kuantum Ruj. 4, Ruj. 5. 4.2.2 Mengira nilai jangkaan Komponen penting dalam pendekatan ini ialah kita harus mengira atau menganggarkan nilai jangkaan supaya kita dapat mengoptimumkan parameter $ vec , vec $. Kami akan mempertimbangkan dua senario di sini.

Penilaian klasik

Perhatikan bahawa semasa litar untuk menyiapkan $ | psi_p ( vec < gamma>, vec < beta>) rangle $ tidak terlalu dalam, mungkin untuk menilai nilai jangkaan $ F_p $ secara klasik.

Ini berlaku misalnya apabila seseorang menganggap $ MAXCUT $ untuk grafik dengan darjah terikat dan seseorang menganggap litar dengan $ p = 1 $. We will see an example of this in the Qiskit implementation below (section 5.2) and provide an exercise to compute the expectation value.

To illustrate the idea, recall that the Hamiltonian can be written as a sum of individual terms $H = sum_^m hat_k$. Due to the linearity of the expectation value, it is sufficient to consider the expectation values of the individual summands. For $p = 1$ one has that

Observe that with $B = sum_^n X_i$ the unitary $e^< -ieta_1 B >$ is actually a product of single qubit rotations about $X$ with an angle $eta$ for which we will write $X(eta)_k = exp(ieta X_k)$.

All the individual rotations that don't act on the qubits where $hat_k$ is supported commute with $hat_k$ and therefore cancel. This does not increase the support of the operator $hat_k$. This means that the second set of unitary gates $e^ < -igamma_1 H >= prod_^m U_l(gamma)$ have a large set of gates $U_l(gamma) = e^< -igamma_1 hat_l >$ that commute with the operator $e^ < ieta_1 B >hat_k e^< -ieta_1 B >$. The only gates $U_l(gamma) = e^< -igamma_1 hat_l >$ that contribute to the expectation value are those which involve qubits in the support of the original $hat_k$.

Hence, for bounded degree interaction the support of $e^ < igamma_1 H >e^ < ieta_1 B >hat_k e^ < -ieta_1 B >e^< -igamma_1 H >$ only expands by an amount given by the degree of the interaction in $H$ and is therefore independent of the system size. This means that for these smaller sub problems the expectation values are independent of $n$ and can be evaluated classically. The case of a general degree $3$ is considered in 3.

This is a general observation, which means that if we have a problem where the circuit used for the trial state preparation only increases the support of each term in the Hamiltonian by a constant amount the cost function can be directly evaluated.

When this is the case, and only a few parameters $eta, gamma$ are needed in the preparation of the trial state, these can be found easily by a simple grid search. Furthermore, an exact optimal value of $M_p$ can be used to bound the approximation ratio

to obtain an estimate of $alpha$. For this case the QAOA algorithm has the same characteristics as a conventional approximate optimization algorithm that comes with a guaranteed approximation ratio that can be obtained with polynomial efficiency in the problem size.

Evaluation on a quantum computer

When the quantum circuit becomes too deep to be evaluated classically, or when the connectivity of the Problem Hamiltonian is too high we can resort to other means of estimating the expectation value. This involves directly estimating $F_p(vec,vec<eta>)$ on the quantum computer. The approach here follows the path of the conventional expectation value estimation as used in VQE 4, where a trial state $| psi_p(vec,vec<eta>) angle$ is prepared directly on the quantum computer and the expectation value is obtained from sampling.

Since QAOA has a diagonal Hamiltonian $H$ it is actually straight forward to estimate the expectation value. We only need to obtain samples from the trial state in the computational basis. Recall that $H = sum_^n> C(x) |x anglelangle x|$ so that we can obtain the sampling estimate of

by repeated single qubit measurements of the state $| psi_p(vec,vec<eta>) angle $ in the $Z$ basis. For every bit string $x$ obtained from the distribution $|langle x| psi_p(vec,vec<eta>) angle |^2$ we evaluate the cost function $C(x)$ and average it over the total number of samples. The resulting empirical average approximates the expectation value up to an additive sampling error that lies within the variance of the state. The variance will be discussed below.

With access to the expectation value, we can now run a classical optimization algorithm, such as 6, to optimize the $F_p$.

While this approach does not lead to an a-priori approximation guarantee for $x^*$, the optimized function value can be used later to provide an estimate for the approximation ratio $alpha$.

4.3.3 Obtaining a solution with a given approximation ratio with high probability

The algorithm is probabilistic in nature and produces random bit strings from the distribution $|langle x| psi_p(vec,vec<eta>) angle |^2$. So how can we be sure that we will sample an approximation $x^*$ that is close to the value of the optimized expectation value $M_p$? Note that this question is also relevant to the estimation of $M_p$ on a quantum computer in the first place. If the samples drawn from $|langle x| psi_p(vec,vec<eta>) angle |^2$ have too much variance, many samples are necessary to determine the mean.

We will draw a bit string $x^*$ that is close to the mean $M_p$ with high probability when the energy as variable has little variance.

Note that the number of terms in the Hamiltonian $H = sum_^m hat_k$ are bounded by $m$. Say each individual summand $hat_k$ has an operator norm that can be bounded by a universal constant $|hat_k| leq ilde$ for all $k = 1ldots m$. Then consider

where we have used that $langle psi_p(vec,vec<eta>)|hat_k hat_l |psi_p(vec,vec<eta>) angle leq ilde^2$.

This means that the variance of any expectation $F_p(vec,vec<eta>)$ is bounded by $m^2 ilde^2$. Hence this in particular applies for $M_p$. Furthermore if $m$ only grows polynomially in the number of qubits $n$, we know that taking polynomially growing number of samples $s = Oleft(frac< ilde^2 m^2> ight)$ from $|langle x| psi_p(vec,vec<eta>) angle |^2$ will be sufficient to obtain a $x^*$ that leads to an $C(x^*)$ that will be close to $M_p$.


Kmeans on Image Compression

In this part, we’ll implement kmeans to compress an image. The image that we’ll be working on is 396 x 396 x 3. Therefore, for each pixel location we would have 3 8-bit integers that specify the red, green, and blue intensity values. Our goal is to reduce the number of colors to 30 and represent (compress) the photo using those 30 colors only. To pick which colors to use, we’ll use kmeans algorithm on the image and treat every pixel as a data point. That means reshape the image from height x width x channels to (height * width) x channel, i,e we would have 396 x 396 = 156,816 data points in 3-dimensional space which are the intensity of RGB. Doing so will allow us to represent the image using the 30 centroids for each pixel and would significantly reduce the size of the image by a factor of 6. The original image size was 396 x 396 x 24 = 3,763,584 bits however, the new compressed image would be 30 x 24 + 396 x 396 x 4 = 627,984 bits. The huge difference comes from the fact that we’ll be using centroids as a lookup for pixels’ colors and that would reduce the size of each pixel location to 4-bit instead of 8-bit.

From now on we will be using sklearn implementation of kmeans. Few thing to note here:

  • n_init is the number of times of running the kmeans with different centroid’s initialization. The result of the best one will be reported.
  • tol is the within-cluster variation metric used to declare convergence.
  • The default of init is k-means++ which is supposed to yield a better results than just random initialization of centroids.

We can see the comparison between the original image and the compressed one. The compressed image looks close to the original one which means we’re able to retain the majority of the characteristics of the original image. With smaller number of clusters we would have higher compression rate at the expense of image quality. As a side note, this image compression method is called lossy data compression because we can’t reconstruct the original image from the compressed image.


Section 5 - Other Clinical Trial-related Attachments

Who must complete "Section 5 - Other Clinical Trial-related Attachments:"

If you answered "Yes" to all the questions in the "Clinical Trial Questionnaire:" Include an attachment only if your FOA specifies that an attachment(s) is required or permitted otherwise, do not include any Other Clinical Trial-related attachments.

If you answered "No" to any question in the "Clinical Trial Questionnaire:" Do not provide information in this section. Inputting information in this section will result in errors and will prevent your application from being accepted.

Additional Instructions for Research:

R25 applicants who are proposing to provide clinical trial research experience for their participants (i.e., participants will not be leading an independent clinical trial): Do not provide information in "Section 5 - Other Clinical Trial-related Attachments." Inputting information in this section will result in errors and will prevent your application from being accepted.

R36 applicants who are proposing to gain clinical trial research experience under a mentor's supervision (i.e., you will not be leading an independent clinical trial): Do not provide information in "Section 5 - Other Clinical Trial-related Attachments." Inputting information in this section will result in errors and will prevent your application from being accepted.

Additional Instructions for Career Development:

CDA applicants who are proposing to gain clinical trial research experience under a mentor's supervision (i.e., you will not be leading an independent clinical trial): Do not provide information in "Section 5 - Other Clinical Trial-related Attachments." Inputting information in this section will result in errors and will prevent your application from being accepted.

Additional Instructions for Training:

K12 and D43 applicants who are proposing to provide clinical trial research experience for their Scholars/Trainees (i.e., Scholars/Trainees will not be leading an independent clinical trial): At the time of your application, do not provide information in "Section 5 - Other Clinical Trial-related Attachments." Inputting information in this section will result in errors and will prevent your application from being accepted. Post-award, while you will be required to fill out Study Records, you must still not provide information in "Section 5 - Other Clinical Trial-related Attachments."

Additional Instructions for Fellowship:

Fellowship applicants proposing to gain clinical trial research experience under a sponsor's supervision (i.e., you will not be leading an independent clinical trial): Do not provide information in "Section 5 - Other Clinical Trial-related Attachments." Inputting information in this section will result in errors and will prevent your application from being accepted.

5.1 Other Clinical Trial-related Attachments

Format:

Attach this information as a PDF file. See NIH's Format Attachments page.

A maximum of 10 PDF attachments is allowed in the "Other Clinical Trial-related Attachments" section.

Content:

Provide additional trial-related information only if your FOA specifically requests it. Include only attachments requested in the FOA, and use requested filenames. If a specific filename is not given in the FOA, use a meaningful filename since it will become a bookmark in the assembled application image.


50 U.S. Code § 1881b - Certain acquisitions inside the United States targeting United States persons outside the United States

The Foreign Intelligence Surveillance Court shall have jurisdiction to review an application and to enter an order approving the targeting of a United States person reasonably believed to be located outside the United States to acquire foreign intelligence information, if the acquisition constitutes electronic surveillance or the acquisition of stored electronic communications or stored electronic data that requires an order under this chapter, and such acquisition is conducted within the United States.

If a United States person targeted under this subsection is reasonably believed to be located in the United States during the effective period of an order issued pursuant to subsection (c), an acquisition targeting such United States person under this section shall cease unless the targeted United States person is again reasonably believed to be located outside the United States while an order issued pursuant to subsection (c) is in effect. Nothing in this section shall be construed to limit the authority of the Government to seek an order or authorization under, or otherwise engage in any activity that is authorized under, any other subchapter of this chapter.

The Attorney General may require any other affidavit or certification from any other officer in connection with the application.

The judge may require the applicant to furnish such other information as may be necessary to make the findings required by subsection (c)(1).

In determining whether or not probable cause exists for purposes of paragraph (1)(B), a judge having jurisdiction under subsection (a)(1) may consider past activities of the target and facts and circumstances relating to current or future activities of the target. No United States person may be considered a foreign power, agent of a foreign power, or officer or employee of a foreign power solely upon the basis of activities protected by the first amendment to the Constitution of the United States.

Review by a judge having jurisdiction under subsection (a)(1) shall be limited to that required to make the findings described in paragraph (1).

If the judge determines that the facts submitted under subsection (b) are insufficient to establish probable cause under paragraph (1)(B), the judge shall enter an order so stating and provide a written statement for the record of the reasons for the determination. The Government may appeal an order under this subparagraph pursuant to subsection (f).

If the judge determines that the proposed minimization procedures referred to in paragraph (1)(C) do not meet the definition of minimization procedures under section 1801(h) or 1821(4) of this title, as appropriate, the judge shall enter an order so stating and provide a written statement for the record of the reasons for the determination. The Government may appeal an order under this subparagraph pursuant to subsection (f).

If the judge determines that an application pursuant to subsection (b) does not contain all of the required elements, or that the certification or certifications are clearly erroneous on the basis of the statement made under subsection (b)(1)(F)(v) and any other information furnished under subsection (b)(3), the judge shall enter an order so stating and provide a written statement for the record of the reasons for the determination. The Government may appeal an order under this subparagraph pursuant to subsection (f).

An order approved under this subsection shall be effective for a period not to exceed 90 days and such order may be renewed for additional 90-day periods upon submission of renewal applications meeting the requirements of subsection (b).

At or prior to the end of the period of time for which an acquisition is approved by an order or extension under this section, the judge may assess compliance with the minimization procedures referred to in paragraph (1)(C) by reviewing the circumstances under which information concerning United States persons was acquired, retained, or disseminated.

If the Attorney General authorizes an acquisition under paragraph (1), the Attorney General shall require that the minimization procedures referred to in subsection (c)(1)(C) for the issuance of a judicial order be followed.

In the absence of a judicial order approving an acquisition under paragraph (1), such acquisition shall terminate when the information sought is obtained, when the application for the order is denied, or after the expiration of 7 days from the time of authorization by the Attorney General, whichever is earliest.

If an application for approval submitted pursuant to paragraph (1) is denied, or in any other case where the acquisition is terminated and no order is issued approving the acquisition, no information obtained or evidence derived from such acquisition, except under circumstances in which the target of the acquisition is determined not to be a United States person, shall be received in evidence or otherwise disclosed in any trial, hearing, or other proceeding in or before any court, grand jury, department, office, agency, regulatory body, legislative committee, or other authority of the United States, a State, or political subdivision thereof, and no information concerning any United States person acquired from such acquisition shall subsequently be used or disclosed in any other manner by Federal officers or employees without the consent of such person, except with the approval of the Attorney General if the information indicates a threat of death or serious bodily harm to any person.

No cause of action shall lie in any court against any electronic communication service provider for providing any information, facilities, or assistance in accordance with an order or request for emergency assistance issued pursuant to subsection (c) or (d), respectively.

The Government may file a petition with the Foreign Intelligence Surveillance Court of Review for review of an order issued pursuant to subsection (c). The Court of Review shall have jurisdiction to consider such petition and shall provide a written statement for the record of the reasons for a decision under this paragraph.

The Government may file a petition for a writ of certiorari for review of a decision of the Court of Review issued under paragraph (1). The record for such review shall be transmitted under seal to the Supreme Court of the United States , which shall have jurisdiction to review such decision.

Except as provided in this section, nothing in this chapter shall be construed to require an application for a court order for an acquisition that is targeted in accordance with this section at a United States person reasonably believed to be located outside the United States.

Pub. L. 110–261, title IV, § 403(b)(1), July 10, 2008 , 122 Stat. 2474, as amended by Pub. L. 112–238, § 2(a)(1), Dec. 30, 2012 , 126 Stat. 1631 Pub. L. 115–118, title II, § 201(a)(1), Jan. 19, 2018 , 132 Stat. 19, provided that, except as provided in section 404 of Pub. L. 110–261, set out as a note under section 1801 of this title, effective Dec. 31, 2023 , this section is repealed.

This chapter, referred to in subsecs. (a), (d)(1), and (g), was in the original “this Act”, meaning Pub. L. 95–511, Oct. 25, 1978 , 92 Stat. 1783, which is classified principally to this chapter. For complete classification of this Act to the Code, see Short Title note set out under section 1801 of this title and Tables.

Pub. L. 110–261, title IV, § 403(b)(1), July 10, 2008 , 122 Stat. 2474, as amended by Pub. L. 112–238, § 2(a)(1), Dec. 30, 2012 , 126 Stat. 1631 Pub. L. 115–118, title II, § 201(a)(1), Jan. 19, 2018 , 132 Stat. 19, provided that, except as provided in section 404 of Pub. L. 110–261, set out as a Transition Procedures note under section 1801 of this title, the repeals made by section 403(b)(1) are effective Dec. 31, 2023 .


Pengenalan

Nonlinear optical (NLO) materials, which can halve the wavelength of light (or double the frequency) by second-harmonic generation (SHG) process, are of current interest and great importance in laser science and technology 1,2,3 . Over the past decades, continuous intensive studies 4,5,6,7,8,9,10,11 have resulted in the development of various commercial NLO materials, such as β-BaB2O4 (BBO) 12 , LiB3O5 (ref. 13), AgGaS2 (ref. 14) and ZnGeP2 (ref. 15), which are applicable for the generation of coherent light from ultraviolet region to infrared region. However, there is still lack of commercially available NLO materials for the generation of deep-ultraviolet (wavelength below 200 nm) coherent light, limited by the fundamental but conflicting requirements on the structure-directing optical properties 16 : a wide transparency window down to the deep-ultraviolet spectral region, a large SHG response and a sufficient birefringence to achieve phase matchability. Traditionally, the search for deep-ultraviolet NLO materials mainly focused on beryllium borate systems owing to their deep-ultraviolet transparency, thus leading to the discovery of a number of beryllium borates, such as KBe2BO3F2 (KBBF) 17,18 , SrBe2B2O7 (ref. 19), Na2CsBe6B5O15 (ref. 20), NaCaBe2B2O6F (ref. 21), Na3Sr3Be3B3O9F4 (ref. 22), NaBeB3O6 and ABe2B3O7 (A=K, Rb) 23 . Nevertheless, till now KBBF is the sole material that can practically generate deep-ultraviolet coherent light by direct SHG process. In the structure of KBBF, the NLO-active [BO3] 3− groups in the [Be2BO3F2] layers are coplanar and aligned, giving rise to a relatively large SHG response and a sufficient birefringence for the generation of deep-ultraviolet coherent light. Unfortunately, KBBF suffers a strong layering tendency that originates from the weak F − –K + ionic interactions between the adjacent [Be2BO3F2] layers, which causes a great difficulty in the growth of thick crystals and thereby severely hinders the NLO performance of KBBF. Moreover, the containing beryllium can cause pneumonia-like symptoms and cancer if inhaled in this sense, KBBF is not environmentally friendly. Owing to these obstacles, the production of KBBF is still at the stage of laboratory. Therefore, it is urgently demanded to develop the next generation of deep-ultraviolet NLO materials that preserve the merits of KBBF while overcoming the demerits.

Here we report a beryllium-free borate, Li4Sr(BO3)2, whose structure features [SrBO3] layers bridged by NLO-active [BO3] 3− groups. The [SrBO3] layers afford [BO3] 3− groups arranged in a manner similar to that in the case of the [Be2BO3F2] layers in KBBF, conferring Li4Sr(BO3)2 the optical merits of KBBF. Furthermore, the NLO-active [BO3] 3− groups serving as layer connectors greatly mitigate the layering tendency and, simultaneously, help to enhance the SHG efficiency by more than half as compared with that of KBBF.


3.2: Minimization Applications

HPE will buy Zerto for $374 million and use its continuous data protection capabilities to bring disaster recovery, backup and .

Business continuity managers must be ready for anything, and that includes interviewing for the role. Here are some common .

A BCDR training program teaches employees key skills, such as how to conduct risk assessments, coordinate emergency response with.

Micron's $900 million deal to sell its Utah semiconductor factory to Texas Instruments will end the plant's 3D XPoint supplies .

Explore a group of Optane-ready products to improve storage performance. In addition, there are other options beyond self-managed.

Nvidia GPUDirect Storage's driver hit 1.0 status to enable direct memory access between GPU and storage and boost the performance.

Dell VxRail hardware and software updates improve performance and ease deployment and management, while enabling discrete compute.

The VMware vSAN storage update aims to help enterprises start with a small HCI deployment. Customers gain the option to connect .

SimpliVity has added integration with HPE Cloud Volumes Backup and HPE StoreOnce to enable easier backup at the edge, as well as .

Dell Technology's segment of Global Alliances partners stood out in the vendor's first-quarter channel sales more IT channel .

Cybersecurity industry standards can help MSPs mitigate internal security risks. Here are the benefits and challenges of adopting.

At its annual global partner conference, Microsoft will reveal its key priorities for the upcoming year. Read on for news and .


Tonton videonya: Pengurangan bersusun (Disember 2021).