Artikel

8.1.1: Ruang Contoh dan Kebarangkalian (Latihan) - Matematik

8.1.1: Ruang Contoh dan Kebarangkalian (Latihan) - Matematik



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

BAHAGIAN 8.1 SET MASALAH: RUANG DAN KEBARANGKALIAN SAMPEL

Dalam masalah 1 - 6, tulis ruang sampel untuk eksperimen yang diberikan.

1) die dilancarkan.

2) Sebiji sen dan nikel dilemparkan.

3) Mati dilancarkan, dan duit syiling dilemparkan.

4) Tiga syiling dilemparkan.

5) Dua dadu digulung.

6) Sebuah balang berisi empat biji guli bernombor 1, 2, 3, dan 4. Dua biji guli dilukis.

Dalam masalah 7 - 12, satu kad dipilih secara rawak dari dek. Cari kebarangkalian berikut.

7) P (ace)

8) P (kad merah)

9) P (sebuah kelab)

10) P (kad muka)

11) P (jack atau sekop)

12) P (jack dan sekop)

Untuk masalah 13 - 16: Sebuah balang berisi 6 biji guli merah, 7 putih, dan 7 biji biru. Sekiranya satu guli dipilih secara rawak, cari kebarangkalian berikut.

13) P (merah)

14) P (putih)

15) P (merah atau biru)

16) P (merah dan biru)

Untuk masalah 17 - 22: Pertimbangkan keluarga yang terdiri daripada tiga orang anak. Cari kebarangkalian berikut.

17) P (dua lelaki dan seorang perempuan)

18) P (sekurang-kurangnya seorang budak lelaki)

19) P (anak-anak dari kedua-dua jantina)

20) P (paling banyak seorang gadis)

21) P (anak pertama dan ketiga adalah lelaki)

22) P (semua kanak-kanak mempunyai jantina yang sama)

Untuk masalah 23 - 27: Dua dadu digulung. Cari kebarangkalian berikut.

23) P (jumlah dadu adalah 5)

24) P (jumlah dadu adalah 8)

25) P (jumlahnya 3 atau 6)

26) P (jumlahnya lebih daripada 10)

27) P (hasilnya berganda) (Petunjuk: berganda bermaksud kedua dadu menunjukkan nilai yang sama)

Untuk masalah 28-31: Sebuah balang berisi empat biji guli bernombor 1, 2, 3, dan 4. Dua biji guli dilukis secara rawak TANPA PENGGANTIAN. Ini bermaksud bahawa setelah guli dilukis, TIDAK diganti di dalam balang sebelum guli kedua dipilih. Cari kebarangkalian berikut.

28) P (jumlah nombor adalah 5)

29) P (jumlah nombor itu ganjil)

30) P (jumlah nombor adalah 9)

31) P (salah satu nombornya adalah 3)

Untuk masalah 32-33: Sebuah balang berisi empat biji guli bernombor 1, 2, 3, dan 4. Dua biji guli dilukis secara rawak DENGAN PENGGANTIAN. Itu bermaksud bahawa setelah guli dilukis, ia diganti di dalam balang sebelum guli kedua dipilih. Cari kebarangkalian berikut.

32) P (jumlah nombor adalah 5)

33) P (jumlah nombor adalah 2)


8.1.1: Ruang Contoh dan Kebarangkalian (Latihan) - Matematik

Menggulung die enam sisi biasa adalah contoh biasa a eksperimen rawak, suatu tindakan di mana semua hasil yang mungkin dapat disenaraikan, tetapi yang sebenarnya hasilnya pada setiap percubaan percubaan tertentu tidak dapat diramalkan dengan pasti. Dalam situasi seperti ini, kami ingin memberikan hasil masing-masing, seperti menggandakan dua, angka, yang disebut kebarangkalian hasilnya, yang menunjukkan betapa besar kemungkinan hasilnya akan berlaku. Begitu juga, kami ingin memberikan kebarangkalian kepada mana-mana peristiwa, atau pengumpulan hasil, seperti membulatkan nombor genap, yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan peristiwa itu terjadi jika eksperimen dilakukan. Bahagian ini menyediakan kerangka kerja untuk membincangkan masalah kebarangkalian, dengan menggunakan istilah yang baru disebutkan.

Definisi

A eksperimen rawak adalah mekanisme yang menghasilkan hasil pasti yang tidak dapat diramalkan dengan pasti. The ruang sampel Kumpulan semua kemungkinan hasil eksperimen rawak. dikaitkan dengan eksperimen rawak adalah himpunan semua kemungkinan hasil. Seorang acara Sebilangan hasil. adalah subset ruang sampel.

Definisi

Sebuah acara E dikatakan kepada berlaku pada percubaan tertentu eksperimen jika hasil yang diperhatikan adalah elemen dari set E.

Contoh 1

Bina ruang sampel untuk eksperimen yang terdiri daripada melemparkan satu duit syiling.

Hasilnya boleh dilabelkan h untuk kepala dan t untuk ekor. Kemudian ruang sampel adalah set S = .

Contoh 2

Bina ruang sampel untuk eksperimen yang terdiri daripada melancarkan satu mati. Cari peristiwa yang sesuai dengan frasa "nombor genap digulung" dan "nombor lebih besar daripada dua digulung."

Hasilnya boleh diberi label berdasarkan jumlah titik di muka atas mati. Kemudian ruang sampel adalah set S = <1,2,3,4,5,6>.

Hasil yang genap adalah 2, 4, dan 6, jadi peristiwa yang sesuai dengan frasa "bilangan genap digulung" adalah set <2,4,6>, yang wajar untuk ditunjukkan oleh huruf E. Kami menulis E = <2,4,6>.

Begitu juga peristiwa yang sesuai dengan frasa "angka yang lebih besar daripada dua digulung" adalah set T = <3,4,5,6>, yang telah kita nyatakan T.

Perwakilan grafik ruang sampel dan peristiwa adalah Gambar rajah Venn, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 3.1 "Diagram Venn untuk Ruang Dua Sampel" untuk Catatan 3.6 "Contoh 1" dan Catatan 3.7 "Contoh 2". Secara amnya ruang sampel S dilambangkan oleh sebuah segi empat tepat, hasil oleh titik dalam segi empat tepat, dan peristiwa oleh oval yang merangkumi hasil yang menyusunnya.

Rajah 3.1 Diagram Venn untuk Dua Ruang Contoh

Contoh 3

Eksperimen rawak terdiri daripada membuang dua duit syiling.

  1. Bina ruang contoh untuk keadaan bahawa syiling tidak dapat dibezakan, seperti dua wang jenama baru.
  2. Bina ruang contoh untuk keadaan bahawa syiling dapat dibezakan, seperti satu sen dan yang lain adalah nikel.
  1. Setelah duit syiling dilemparkan, seseorang akan melihat dua kepala, yang dapat berlabel 2 jam, dua ekor, yang dapat dilabelkan 2 t, atau syiling yang berbeza, yang dapat dilabelkan d. Oleh itu, ruang sampel adalah S = <2 h, 2 t, d>.
  2. Oleh kerana kita dapat membezakan duit syiling, sekarang ada dua cara untuk duit syiling berbeza: kepala sen dan ekor nikel, atau ekor pen dan kepala nikel. Kita dapat melabel setiap hasil sebagai sepasang huruf, yang pertama menunjukkan bagaimana sen mendarat dan yang kedua menunjukkan bagaimana nikel mendarat. Ruang sampel kemudian S ′ = .

Peranti yang dapat membantu dalam mengidentifikasi semua kemungkinan hasil dari eksperimen rawak, terutama yang dapat dilihat sebagai proses secara bertahap, adalah apa yang disebut sebagai rajah pokok. Ia dijelaskan dalam contoh berikut.

Contoh 4

Bina ruang contoh yang menerangkan ketiga-tiga keluarga anak mengikut jantina anak-anak berkenaan dengan urutan kelahiran.

Dua daripada hasilnya adalah "dua anak lelaki kemudian seorang gadis," yang mungkin kita nyatakan b b g, dan "seorang gadis kemudian dua anak lelaki," yang akan kita nyatakan g b b. Jelas ada banyak hasil, dan ketika kita berusaha menyenaraikan semuanya mungkin sukar untuk memastikan bahawa kita telah menemukan semuanya kecuali kita meneruskan secara sistematik. Gambarajah pokok yang ditunjukkan dalam Rajah 3.2 "Diagram Pokok Untuk Keluarga Tiga Anak", memberikan pendekatan yang sistematik.

Rajah 3.2 Diagram Pokok Untuk Keluarga Tiga Anak

Gambarajah dibina seperti berikut. Terdapat dua kemungkinan untuk anak pertama, lelaki atau perempuan, jadi kami menarik dua segmen garis yang keluar dari titik permulaan, satu berakhir dengan b untuk "budak lelaki" dan yang lain berakhir dengan a g untuk "gadis." Untuk masing-masing dua kemungkinan untuk anak pertama ada dua kemungkinan untuk anak kedua, "budak lelaki" atau "gadis", jadi dari masing-masing b dan g kami melukis dua segmen garis, satu segmen berakhir dengan a b dan satu dalam a g. Untuk masing-masing dari empat titik akhir sekarang dalam rajah terdapat dua kemungkinan untuk anak ketiga, jadi kami mengulangi prosesnya sekali lagi.

Segmen garis disebut cawangan pokok itu. Titik akhir yang betul bagi setiap cabang disebut a simpul. Node di sebelah kanan paling kanan adalah simpul akhir untuk masing-masing ada hasilnya, seperti yang ditunjukkan dalam gambar.

Dari pokok mudah dibaca lapan hasil percubaan, jadi ruang sampel adalah, membaca dari atas ke bawah simpul akhir di pokok,


8.1.1: Ruang Contoh dan Kebarangkalian (Latihan) - Matematik

Kursus ini akan memperkenalkan konsep asas teori kebarangkalian dan aplikasinya pada statistik. Tumpuan akan diberikan kepada perbincangan aplikasi.

Teks yang akan digunakan adalah:

Jay L. Devore, Kebarangkalian dan Statistik, Edisi ke-8 atau ke-9, Thomson

Sukatan pelajaran boleh didapati di sini.

Akan ada dua pertengahan.

Latihan yang disenaraikan adalah untuk koleksi HW. Saya akan mengumpulkannya setiap dua minggu dan latihan kelas 2 atau 3 antara yang ditugaskan. Sekiranya terdapat perbezaan antara edisi ke-9 dan ke-8 buku ini, saya akan menunjukkan dalam tanda kurung segi empat bilangannya dengan edisi ke-8.

Gred akhir akan berdasarkan peraturan berikut: 45% akhir, 40% pertengahan, 15% HW. Melengkung akan dilakukan pada keputusan akhir.

Midterm pertama akan berlangsung Rabu 17 Februari dan yang kedua pada Rabu 30 Mac.

Hujah diliputi.

  • Aksioma, Tafsiran dan Sifat Kebarangkalian
  • Taburan Kebarangkalian untuk Pemboleh ubah Rawak Discrete
  • Contoh Pemboleh ubah Rawak Discrete
  • Pemboleh ubah Rawak Berterusan dan Fungsi Ketumpatan Kebarangkalian
  • Contoh Pemboleh ubah Rawak Berterusan
  • Teorema had pusat
  • Pemboleh ubah Rawak yang Diagihkan Bersama
  • Penduduk, Sampel dan Proses
  • Anggaran Titik
  • Selang Statistik
  • Ujian Hipotesis
  • Regresi Linear Sederhana (masa membenarkan)
  • 1.1 (Penduduk, Sampel dan Proses)
  • 1.2 (Kaedah Bergambar dan Jadual dalam Statistik Deskriptif)
  • 1.3 (Ukuran Lokasi)
  • 1.4 (Ukuran Pemboleh ubah)

HW pertama jatuh tempo pada 25 Januari.

  • 2.1 (Contoh Tempat dan Acara)
  • 2.2 (Aksioma, Tafsiran dan Sifat Kebarangkalian)
  • 3.1 (Pemboleh ubah Rawak)
  • 3.2 (Taburan Kebarangkalian untuk Pemboleh ubah Rawak Discrete)
  • 3.3 (Nilai yang diharapkan dari Pemboleh ubah Rawak Discrete)
  • (3.1) 6, 8, 10
  • (3.2) 16, 23, 27
  • (3.3) 29, 35 39, 42
  • 3.4 (Taburan Kebarangkalian Binomial)
  • 3.5 (Taburan Hypergeometric)
  • 3.6 (Taburan Kebarangkalian Poisson)

Midterm pertama akan berlangsung pada 17 Februari. Midterm akan merangkumi bahan hingga bahagian 3.6.

Bahan penyediaan untuk pertengahan pertama:

Minggu keenam dan ketujuh

  • 4.1 (Pemboleh ubah Rawak Berterusan dan Fungsi Ketumpatan Kebarangkalian)
  • 4.2 (Fungsi Taburan Kumulatif dan Nilai yang Diharapkan)
  • 4.3 (Taburan Biasa)
  • 4.4 (Taburan Eksponensial)
  • 5.1 (Pemboleh ubah Rawak yang Diagihkan Bersama)
  • 5.2 (Nilai, Kovarian dan Hubungan yang Diharapkan)
  • 5.5 (Pembahagian Gabungan Linear)
  • 5.3 (Statistik dan sebarannya)
  • 5.4 (Taburan Makna Sampel)
  • (5.3) 37, 41, 42
  • (5.4) 48, 49, 53, 56

Bahan penyediaan untuk pertengahan minggu kedua:

HW kelima jatuh tempo pada 4 April. Latihan adalah yang disenaraikan di atas untuk Bab 5.

Berikut adalah teks Alat solek Otional untuk Midterm kedua. Lihat dan beritahu saya jika anda mempunyai soalan. Ia dijelaskan Isnin 11 pada waktu petang. Anda boleh menghantarnya dalam kelas, melalui e-mel atau dengan meluncurkannya di bawah pintu pejabat saya. Penyerahan anda mesti mengandungi halaman pertama ditandatangani


3.3: Kebarangkalian Bersyarat dan Peristiwa Bebas

Basi c

  1. Q3.3.1Untuk dua peristiwa (A ) dan (B ), (P (A) = 0.73, P (B) = 0.48 teks P (A cap B) = 0.29 ).
    1. Cari (P (A pertengahan B) ).
    2. Cari (P (B pertengahan A) ).
    3. Tentukan sama ada (A ) dan (B ) bebas atau tidak.
    1. Cari (P (A pertengahan B) ).
    2. Cari (P (B pertengahan A) ).
    3. Tentukan sama ada (A ) dan (B ) bebas atau tidak.
    1. (P (A cap B) ).
    2. Cari (P (A pertengahan B) ).
    3. Cari (P (B pertengahan A) ).
    1. (P (A cap B) ).
    2. Cari (P (A pertengahan B) ).
    3. Cari (P (B pertengahan A) ).
    1. Cari (P (A pertengahan B) ).
    2. Cari (P (B pertengahan A) ).
    1. Cari (P (A pertengahan B) ).
    2. Cari (P (B pertengahan A) ).
    1. Kebarangkalian gulungannya sama rata.
    2. Kebarangkalian gulungan itu sama rata, memandangkan ia bukan dua.
    3. Kebarangkalian gulungan itu sama rata, memandangkan ia bukan satu.
    1. Kebarangkalian bahawa lemparan kedua adalah kepala.
    2. Kebarangkalian lemparan kedua adalah kepala, memandangkan lemparan pertama adalah kepala.
    3. Kebarangkalian lemparan kedua adalah kepala, memandangkan sekurang-kurangnya satu daripada dua lemparan itu adalah kepala.
    1. Kebarangkalian kad yang dilukis berwarna merah.
    2. Kebarangkalian kad itu berwarna merah, memandangkan kad tersebut tidak berwarna hijau.
    3. Kebarangkalian kad itu berwarna merah, memandangkan kad itu tidak berwarna merah atau kuning.
    4. Kebarangkalian kad itu berwarna merah, memandangkan kad itu bukan empat.
    1. Kebarangkalian kad yang dilukis adalah dua atau empat.
    2. Kebarangkalian kad itu adalah dua atau empat, memandangkan kad itu bukan satu.
    3. Kebarangkalian kad adalah dua atau empat, memandangkan kad itu adalah dua atau tiga.
    4. Kebarangkalian kad itu adalah dua atau empat, memandangkan ia berwarna merah atau hijau.
    1. (P (A), P (R), P (A cap B) ).
    2. Berdasarkan jawapan untuk (a), tentukan sama ada peristiwa (A ) dan (R ) tidak bersendirian.
    3. Berdasarkan jawapan untuk (b), tentukan sama ada (P (A mid R) atau tidak dapat diramalkan tanpa pengiraan. Sekiranya ada, buat ramalan. Walau bagaimanapun, hitung (P (A mid R) ) menggunakan Peraturan untuk Kebarangkalian Bersyarat.
    1. (P (A), P (R), P (A cap B) ).
    2. Berdasarkan jawapan untuk (a), tentukan sama ada peristiwa (A ) dan (R ) tidak bersendirian.
    3. Berdasarkan jawapan untuk (b), tentukan sama ada (P (A mid R) atau tidak dapat diramalkan tanpa pengiraan. Sekiranya ada, buat ramalan. Walau bagaimanapun, hitung (P (A mid R) ) menggunakan Peraturan untuk Kebarangkalian Bersyarat.
    1. (P (A cap B) ).
    2. (P (A cap B) ), dengan maklumat tambahan bahawa (A ) dan (B ) adalah bebas.
    3. (P (A cap B) ), dengan maklumat tambahan yang (A ) dan (B ) saling eksklusif.
    1. (P (A cap B) ).
    2. (P (A cap B) ), dengan maklumat tambahan bahawa (A ) dan (B ) adalah bebas.
    3. (P (A cap B) ), dengan maklumat tambahan yang (A ) dan (B ) saling eksklusif.
    1. (P (A cap B cap C) ).
    2. (P (A ^ c cap B ^ c cap C ^ c) ).
    1. (P (A cap B cap C) ).
    2. (P (A ^ c cap B ^ c cap C ^ c) ).

    Permohonan

    S3.3.17

    Ruang sampel yang menggambarkan semua keluarga tiga anak mengikut jantina kanak-kanak berkenaan dengan urutan kelahiran adalah [S = ] Dalam eksperimen memilih keluarga tiga anak secara rawak, hitung setiap kemungkinan berikut, dengan anggapan semua hasil sama kemungkinan.

    1. Kebarangkalian keluarga mempunyai sekurang-kurangnya dua orang anak lelaki.
    2. Kebarangkalian keluarga mempunyai sekurang-kurangnya dua anak lelaki, memandangkan tidak semua anak-anak perempuan.
    3. Kebarangkalian sekurang-kurangnya seorang kanak-kanak lelaki adalah anak lelaki.
    4. Kebarangkalian sekurang-kurangnya satu anak adalah anak lelaki, memandangkan yang pertama dilahirkan adalah seorang gadis.

    S3.3.18

    Jadual kontingensi dua hala berikut memberikan perincian penduduk di kawasan tertentu mengikut umur dan jumlah pelanggaran pergerakan kenderaan dalam tiga tahun terakhir:

    Umur Pelanggaran
    (0) (1) (2+)
    Di bawah (21 ) (0.04) (0.06) (0.02)
    (21-40) (0.25) (0.16) (0.01)
    (41-60) (0.23) (0.10) (0.02)
    (60+) (0.08) (0.03) (0.00)

    Seseorang dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian berikut.

    1. Orang itu berada di bawah (21 ).
    2. Orang tersebut telah melakukan sekurang-kurangnya dua pelanggaran dalam tiga tahun terakhir.
    3. Orang tersebut telah melakukan sekurang-kurangnya dua pelanggaran dalam tiga tahun terakhir, kerana dia berada di bawah usia (21 ).
    4. Orang tersebut berusia di bawah (21 ), memandangkan dia telah melakukan sekurang-kurangnya dua pelanggaran dalam tiga tahun terakhir.
    5. Tentukan sama ada peristiwa & ldquothe orang berada di bawah (21 ) & rdquo dan & ldquothe orang mempunyai sekurang-kurangnya dua pelanggaran dalam tiga tahun terakhir & rdquo adalah bebas atau tidak.

    S3.3.19

    Jadual kontingensi dua hala berikut memberikan perincian populasi di tempat tertentu mengikut gabungan pihak ( (A, B, C, text)) dan pendapat mengenai terbitan bon:

    Gabungan Pendapat
    Nikmat Menentang Tidak pasti
    (A ) (0.12) (0.09) (0.07)
    (B ) (0.16) (0.12) (0.14)
    (C ) (0.04) (0.03) (0.06)
    Tiada (0.08) (0.06) (0.03)

    Seseorang dipilih secara rawak. Cari setiap kebarangkalian berikut.

    1. Orang itu memihak kepada terbitan bon.
    2. Orang tersebut memihak kepada terbitan bon, memandangkan dia berafiliasi dengan pihak (A ).
    3. Orang tersebut memihak kepada terbitan bon, kerana dia berafiliasi dengan pihak (B ).

    S3.3.20

    Jadual kontingensi dua hala berikut memberikan perincian populasi pelanggan di kedai runcit mengikut jumlah barang yang dibeli dan sama ada pelindung melakukan pembelian impuls di kaunter pembayaran:

    Bilangan Item Pembelian Impuls
    Dibuat Tidak Dibuat
    Beberapa (0.01) (0.19)
    Banyak (0.04) (0.76)

    Pelindung dipilih secara rawak. Cari setiap kebarangkalian berikut.

    1. Penaung melakukan pembelian dorongan.
    2. Penaung melakukan pembelian dorongan, memandangkan jumlah item yang dibeli adalah banyak.
    3. Tentukan sama ada atau tidak peristiwa & pembelian ldquofew & rdquo dan & ldquomade pembelian impuls di kaunter pembayaran & rdquo adalah bebas.

    S3.3.21

    Jadual kontingensi dua hala berikut memberikan perincian populasi orang dewasa di tempat tertentu mengikut jenis pekerjaan dan tahap insurans hayat:

    jenis pekerjaan Tahap Insurans
    Rendah Sedang Tinggi
    Tidak mahir (0.07) (0.19) (0.00)
    Separa mahir (0.04) (0.28) (0.08)
    Mahir (0.03) (0.18) (0.05)
    Profesional (0.01) (0.05) (0.02)

    Seorang dewasa dipilih secara rawak. Cari setiap kebarangkalian berikut.

    1. Orang itu mempunyai tahap insurans hayat yang tinggi.
    2. Orang tersebut mempunyai tahap insurans hayat yang tinggi, memandangkan dia tidak mempunyai kedudukan profesional.
    3. Orang tersebut mempunyai tahap insurans hayat yang tinggi, memandangkan dia mempunyai kedudukan profesional.
    4. Tentukan sama ada peristiwa & ldquohasebagai tahap insurans hayat yang tinggi & rdquo dan & ldquohasebagai kedudukan profesional & rdquo adalah bebas.

    S3.3.22

    Ruang sampel hasil yang sama besarnya untuk percubaan menggulung dua dadu yang adil akan dimulakan 11 & amp 12 & amp 13 & amp 14 & amp 15 & amp 16 21 & amp 22 & amp 23 & amp 24 & amp 25 & amp 26 31 & amp 32 & amp 33 & amp 34 & amp 35 & amp 36 41 & amp 42 & amp 43 & amp 44 & amp 45 & amp 46 51 & amp 52 & amp 53 & amp 54 & amp 55 & amp 56 61 & amp 62 & amp 63 & amp 64 & amp 65 & amp 66 end] Kenal pasti peristiwa ( teks).

    1. Cari (P (N) ).
    2. Cari (P (N pertengahan F) ).
    3. Cari (P (N pertengahan T) ).
    4. Tentukan dari jawapan sebelumnya sama ada peristiwa (N ) dan (F ) tidak kira sama ada (N ) dan (T ) atau tidak.

    S3.3.23

    The kepekaan ujian ubat adalah kebarangkalian bahawa ujian tersebut akan positif apabila diberikan kepada seseorang yang benar-benar mengambil ubat tersebut. Andaikan terdapat dua ujian bebas untuk mengesan kehadiran jenis ubat terlarang tertentu pada atlet. Yang satu mempunyai kepekaan (0,75 ) yang lain mempunyai kepekaan (0,85 ). Sekiranya keduanya digunakan untuk atlet yang telah mengambil jenis ubat ini, apakah kemungkinan penggunaannya tidak dapat dikesan?

    S3.3.24

    Seorang lelaki mempunyai dua lampu di rumah sumurnya agar paip tidak membeku pada musim sejuk. Dia memeriksa lampu setiap hari. Setiap cahaya mempunyai kebarangkalian (0,002 ) menyala sebelum diperiksa pada keesokan harinya (tidak bergantung kepada cahaya yang lain).

    1. Sekiranya lampu dikabel secara selari, lampu akan terus menyala walaupun yang lain menyala. Dalam keadaan ini, hitung kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu cahaya akan terus bersinar selama (24 ) jam penuh. Perhatikan kebolehpercayaan yang sangat meningkat dari sistem dua mentol daripada satu mentol.
    2. Sekiranya lampu disambungkan secara bersiri, tidak satu pun akan terus menyala walaupun hanya satu daripadanya terbakar. Dalam keadaan ini, hitung kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu cahaya akan terus bersinar selama (24 ) jam penuh. Perhatikan kebolehpercayaan yang sedikit menurun dari sistem dua mentol berbanding dengan satu mentol.

    S3.3.25

    Seorang akauntan telah memperhatikan bahawa (5 \% ) dari semua salinan borang dua bahagian tertentu mempunyai kesalahan pada Bahagian I, dan (2 \% ) mengalami kesalahan pada Bahagian II. Sekiranya kesalahan berlaku secara bebas, cari kebarangkalian bahawa borang yang dipilih secara rawak akan bebas ralat.

    S3.3.26

    Kotak berisi skru (20 ) yang sama ukurannya, tetapi (12 ) yang dilapisi seng dan (8 ) yang tidak. Dua skru dipilih secara rawak, tanpa penggantian.

    1. Cari kebarangkalian kedua-duanya bersalut zink.
    2. Cari kebarangkalian sekurang-kurangnya satu bersalut zink.

    Latihan Tambahan

    S3.3.27

    Acara (A ) dan (B ) saling eksklusif. Cari (P (A pertengahan B) ).

    S3.3.28

    Majlis bandar raya tertentu terdiri daripada lima anggota parti (A ), empat anggota parti (B ), dan tiga orang bebas. Dua anggota dewan dipilih secara rawak untuk membentuk jawatankuasa penyiasatan.

    1. Cari kebarangkalian bahawa kedua-duanya berasal dari pesta (A ).
    2. Cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya seorang bebas.
    3. Cari kebarangkalian bahawa kedua-duanya mempunyai gabungan parti yang berbeza (iaitu, tidak kedua-dua (A ), tidak kedua-duanya (B ), dan tidak keduanya bebas).

    S3.3.29

    Seorang pemain bola keranjang membuat (60 \% ) lontaran percuma yang dia cuba, kecuali jika dia baru sahaja mencuba dan ketinggalan lontaran bebas maka peluangnya untuk membuat lontaran kedua hanya menjadi (30 \% ) . Anggaplah dia baru sahaja diberikan dua lontaran percuma.

    1. Cari kebarangkalian dia membuat kedua-duanya.
    2. Cari kebarangkalian bahawa dia membuat sekurang-kurangnya satu. (Gambar rajah pokok boleh membantu.)

    S3.3.30

    Seorang ahli ekonomi ingin memastikan bahagian (p ) populasi pembayar cukai individu yang sengaja mengemukakan maklumat palsu mengenai penyata cukai pendapatan. Untuk benar-benar menjamin anonim pembayar cukai dalam tinjauan rawak, pembayar cukai yang disoal jawab diberi arahan berikut.

    1. Balikkan duit syiling.
    2. Sekiranya duit syiling menuju ke arahnya, jawab & ldquoYa & rdquo untuk soalan & ldquoAdakah anda pernah mengemukakan maklumat palsu mengenai penyata cukai? & Rdquo walaupun anda belum.
    3. Sekiranya duit syiling itu menguntungkan, berikan & ldquo yang benar Ya & rdquo atau & ldquoTidak & rdquo menjawab soalan & ldquo Pernahkah anda mengemukakan maklumat palsu mengenai penyata cukai? & Rdquo

    Penanya tidak diberitahu bagaimana duit syiling itu mendarat, jadi dia tidak tahu apakah jawapan & ldquoYa & rdquo adalah kebenaran atau diberikan hanya kerana pelemparan duit syiling.


    Statistik Multivariate

    Kaedah yang popular untuk mengembangkan peraturan yang diskriminasi adalah bermula dengan menganggap (atau menganggarkan) taburan yang berbeza untuk ( mathbf x in mathbb R ^ p ) untuk setiap populasi. Sebagai contoh, anggap bahawa pemerhatian dalam populasi (j ) mempunyai taburan dengan pdf (f_j ( mathbf x) ), untuk (j = 1, ldots, g ).

    Kita akan mulakan dengan menganggap taburan penduduk yang berbeza (f_1 ( mathbf x), ldots, f_g ( mathbf x) ) adalah dikenali, dan khususnya, bahawa mereka adalah taburan normal multivariate.

    Contoh 8.2 Pertimbangkan kes univariate dengan (g = 2 ) di mana ( Pi_1 ) adalah pengedaran (N ( mu_1, sigma_1 ^ 2) ) dan ( Pi_2 ) adalah (N ( agihan mu_2, sigma_2 ^ 2) ). Peraturan ML diskriminan memperuntukkan (x ) ke ( Pi_1 ) jika dan hanya jika [f_1 (x) & gt f_2 (x), ] yang bersamaan dengan [ frac <1> <(2 pi sigma_1 ^ 2) ^ <1/2 >> exp kiri (- frac <1> <2 sigma_1 ^ 2> (x- mu_1) ^ 2 kanan) & gt frac <1> <( 2 pi sigma_2 ^ 2) ^ <1/2 >> exp kiri (- frac <1> <2 sigma_2 ^ 2> (x- mu_2) ^ 2 kanan). ] Mengumpulkan istilah bersama di sebelah kiri (LHS) memberikan [ bermula & amp & amp qquad frac < sigma_2> < sigma_1> exp kiri (- frac <1> <2 sigma_1 ^ 2> (x - mu_1) ^ 2 + frac <1> <2 sigma_2 ^ 2> (x - mu_2) ^ 2 kanan) & gt 1 & amp iff & amp qquad log kiri ( frac < sigma_2> < sigma_1> kanan) - frac <1> <2 sigma_1 ^ 2> (x - mu_1) ^ 2 + frac <1> <2 sigma_2 ^ 2> (x - mu_2) ^ 2 & gt 0 & amp iff & amp qquad x ^ 2 kiri ( frac <1> < sigma_2 ^ 2> - frac <1> < sigma_1 ^ 2> kanan) + x kiri ( frac <2 mu_1> < sigma_1 ^ 2> - frac <2 mu_2> < sigma_2 ^ 2> kanan) + frac < mu_2 ^ 2> < sigma_2 ^ 2> - frac < mu_1 ^ 2> < sigma_1 ^ 2> + 2 log frac < sigma_2> < sigma_1> & gt 0. tag <8.2> akhirMisalkan, misalnya, bahawa ( mu_1 = sigma_1 = 1 ) dan ( mu_2 = sigma_2 = 2 ), maka ini akan mengurangkan ungkapan kuadratik [- frac <3> <4> x ^ 2 + x + 2 log 2 & gt 0. ] Andaikan bahawa pemerhatian baru kita adalah (x = 0 ), katakan. Kemudian LHS adalah (2 log 2 ) yang lebih besar daripada sifar dan jadi kami akan memperuntukkan (x ) kepada populasi 1.

    Dengan menggunakan formula persamaan kuadratik kita dapati bahawa (f_1 (x) = f_2 (x) ) ketika [x = frac <-1 pm sqrt <1 + 6 log 2 >> <-3/2> = frac <2> <3> pm frac <2> <3> sqrt <1 + 6 log 2>, ] iaitu di (x = -0.85 ) dan (x = 2.18 ) . Oleh itu, peraturan yang membeza-bezakan kami adalah memperuntukkan (x ) ke ( Pi_1 ) jika (- 0,85 & lt x & lt 2,18 ) dan memperuntukkannya ke ( Pi_2 ) sebaliknya. Ini digambarkan dalam Rajah 8.2.

    Gambar 8.2: Peraturan diskriminan untuk dua contoh Gauss.

    Perhatikan bahawa ini tidak mengakibatkan kawasan diskriminasi cembung tersambung ( mathcal_i ). Ini kerana fungsi diskriminasi kami bukan fungsi linear ( mathbf x ) - oleh itu kami tidak menemui peraturan diskriminasi linear.

    Perhatikan juga bahawa jika ( sigma_1 = sigma_2 ) maka istilah (x ^ 2 ) dalam Persamaan (8.2) dibatalkan, dan kita dibiarkan dengan peraturan diskriminasi linear. Sebagai contoh, jika ( sigma_2 = 1 ) dengan parameter lain seperti sebelumnya, maka kita mengklasifikasikan (x ) kepada populasi 1 jika

    [2x kiri ( mu_1 - mu_2 kanan) + mu_2 ^ 2 - mu_1 ^ 2 = -2x + 3 & gt 0. ] iaitu, jika (x & lt frac <3> <2> ) . Dalam kes ini, kita mendapat wilayah yang diskriminasi ( mathcal_j ) yang bersambung dan cembung.

    Gambar 8.3: Peraturan diskriminan untuk dua contoh Gauss ketika sigma_2 = 1

    8.1.1 Populasi normal yang pelbagai

    Sekarang kita mempertimbangkan kes populasi normal multivarian (g ). Kami akan menganggap bahawa untuk populasi (k ) [ mathbf x sim N_p (< boldsymbol < mu >> _ k, boldsymbol < Sigma>) ] iaitu, kita membiarkan min setiap populasi berbeza-beza , tetapi mempunyai matriks kovarians biasa antara kumpulan. Kami memanggil (< boldsymbol < mu >> _ k ) sebagai populasi bermaksud atau sentroid.

    Cadangan 8.2 Sekiranya kes dalam populasi ( Pi_k ) mempunyai taburan (N_p (< boldsymbol < mu >> _ k, boldsymbol < Sigma>) ), maka peraturan diskriminasi ML adalah [d ( mathbf x ) = arg min_( mathbf x - < boldsymbol < mu >> _ k) ^ top boldsymbol < Sigma> ^ <-1> ( mathbf x - < boldsymbol < mu >> _ k). ]

    Sama, jika ( delta_k ( mathbf x) = 2 < boldsymbol < mu >> _ k ^ top boldsymbol < Sigma> ^ <-1> mathbf x- < boldsymbol < mu >> _ k ^ atas Sigma ^ <-1> < boldsymbol < mu >> _ k ). Kemudian [d ( mathbf x) = arg max delta_k ( mathbf x). ] Iaitu ini adalah peraturan diskriminasi linear.

    Bukti. Kemungkinan (k ) adalah [ bermula f_k ( mathbf x) = | 2 pi boldsymbol < Sigma> | ^ <-1/2> exp kiri (- frac <1> <2> ( mathbf x- < boldsymbol < mu >> _ k) ^ atas boldsymbol < Sigma> ^ <-1> ( mathbf x- < boldsymbol < mu >> _ k) kanan). tag <8.3> akhir] Ini dimaksimumkan apabila eksponen dikecilkan, kerana tanda minus dalam eksponen dan kerana ( boldsymbol < Sigma> ) pasti positif.

    [ bermula ( mathbf x - < boldsymbol < mu >> _ k) ^ top boldsymbol < Sigma> ^ <-1> ( mathbf x - < boldsymbol < mu >> _ k) & amp = mathbf x ^ top boldsymbol < Sigma> ^ <-1> mathbf x -2 < boldsymbol < mu >> _ k ^ top boldsymbol < Sigma> ^ <-1> mathbf x + < boldsymbol < mu >> _ k ^ atas boldsymbol < Sigma> ^ <-1> < boldsymbol < mu >> _ k & amp = mathbf x ^ top boldsymbol < Sigma> ^ <-1> mathbf x - delta_k ( mathbf x) akhir] Oleh itu, [ arg min_k ( mathbf x - < boldsymbol < mu >> _ k) ^ top boldsymbol < Sigma> ^ <-1> ( mathbf x - < boldsymbol < mu >> _ k) = arg max_k delta_k ( mathbf x) ] sebagai ( mathbf x ^ top boldsymbol < Sigma> mathbf x ) tidak bergantung pada (k ).

    8.1.2 Peraturan sampel diskriminasi ML

    Untuk menggunakan peraturan diskriminasi ML, kita perlu mengetahui parameter model untuk setiap kumpulan, (< boldsymbol < mu >> _ k ), serta matriks kovarians biasa ( boldsymbol < Sigma> ). Kami biasanya tidak akan mengetahui parameter ini, dan sebaliknya mesti menganggarkannya dari latihan data. Kami kemudian mengganti anggaran ini menjadi peraturan diskriminasi. Data latihan biasanya terdiri daripada sampel ( mathbf x_ <1, k>, ldots, mathbf x_) diketahui berasal dari populasi ( Pi_k ), di mana (n_k ) adalah jumlah pemerhatian dari populasi ( Pi_k ).

    Kami menganggarkan maksud populasi yang tidak diketahui dengan min sampel untuk setiap populasi [ hat << boldsymbol < mu >>> _ k = frac <1> jumlah_^ mathbf x_.]

    Untuk menganggarkan matriks kovarians bersama, ( boldsymbol < Sigma> ), hitung dahulu matriks kovarians sampel untuk kumpulan (k ) th: [ mathbf S_j = frac <1> jumlah_^ ( mathbf x_- hat << boldsymbol < mu >>> _ j) ( mathbf x_- hat << boldsymbol < mu >>> _ j) ^ atas ]

    Kemudian [ mulakan lebar apa < boldsymbol < Sigma >> = frac <1> jumlah_^ g n_k mathbf S_k tag <8.4> akhir] adalah anggaran tidak berat sebelah ( boldsymbol < Sigma> ) di mana (n = n_1 + n_2 + ldots + n_g ). Perhatikan bahawa ini tidak sama dengan matriks kovarians total (iaitu mengabaikan label kelas).

    Peraturan sampel diskriminan ML kemudian ditakrifkan dengan menggantikan anggaran ini menjadi 8.2.

    0 $ di mana $ hat < ba> = widehat < bSigma> ^ <-1> ( bar < bmu> _1 - bar < bmu> _2) $, $ hat < bh> = frac <1> <2> ( bar < bmu> _1 + bar < bmu> _2) $ dan $ widehat < bSigma> $, anggaran gabungan $ bSigma $, diberikan oleh $ widehat < bSigma> = frac <1> (n_1 bS_1 + n_2 bS_2). $ ->

    8.1.3 Dua populasi

    Sekiranya kita memikirkan keadaan di mana ( boldsymbol < Sigma> = mathbf I ), maka kita dapat memahami peraturan ini secara geometri. Sekiranya varians dari dua populasi adalah matriks identiti, maka kita hanya dapat mengklasifikasikan kepada min / centroid populasi terdekat, dan batas keputusan adalah pembagi tegak lurus dari dua centroid. Lebih-lebih lagi,

    ( mathbf a = < boldsymbol < mu >> _ 1 - < boldsymbol < mu >> _ 2 ) adalah vektor antara dua pusat populasi, dan dengan itu akan berserenjang dengan batas keputusan.

    Persamaan untuk batas keputusan adalah ( mathbf a ^ top ( mathbf x- mathbf h) = 0 ).

    Memikirkan produk skalar, kita dapat melihat bahawa ( mathbf a ^ top ( mathbf x- mathbf h) ) sebanding dengan kosinus sudut antara ( mathbf a ) dan ( mathbf x- mathbf h ). Titik ( mathbf x ) akan lebih dekat dengan (< boldsymbol < mu >> _ 1 ) daripada (< boldsymbol < mu >> _ 2 ) jika sudut antara ( mathbf a ) dan ( mathbf x- mathbf h ) berada di antara (- 90 ^ circ ) dan (90 ^ circ ), atau setara, jika kosinus sudut lebih besar daripada 0.

    Oleh itu, kami mengelaskan ( mathbf x ) kepada populasi 1 jika ( mathbf a ^ top ( mathbf x- mathbf h) & gt0 ), dan kepada populasi 2 jika ( mathbf a ^ top ( mathbf x- mathbf h) & lt0 ).

    Keadaan ini digambarkan dalam Rajah 8.4.

    Sekiranya kita mempunyai lebih daripada (2 ) populasi, maka untuk ( boldsymbol < Sigma> = mathbf I ), batasan keputusan adalah pembagi tegak lurus antara pusat populasi (the (< boldsymbol < mu >> _ i )) dan kami hanya mengkelaskan kepada centroid terdekat.

    Apabila ( boldsymbol < Sigma> not = mathbf I ), kita menganggap ( boldsymbol < Sigma> ) sebagai memutarbelitkan ruang. Daripada mengukur jarak menggunakan jarak Euclidean, kita sebaliknya menyesuaikan jarak untuk memperhitungkan ( boldsymbol < Sigma> ). Sempadan keputusan tidak lagi menjadi pemisah serenjang sentroid.

    Contoh 2

    Pertimbangkan kes bivariate ( (p = 2 )) dengan kumpulan (g = 2 ), di mana ( Pi_1 ) adalah (N_2 (< boldsymbol < mu >> _ 1, mathbf I_2) pengedaran dan ( Pi_2 ) adalah pengedaran (N_2 (< boldsymbol < mu >> _ 2, mathbf I_2) ). Katakan (< boldsymbol < mu >> _ 1 = bermula c 0 akhir) dan (< boldsymbol < mu >> _ 2 = bermula -c 0 akhir) untuk beberapa pemalar (c & gt0 ). Di sini, ( mathbf a = boldsymbol < Sigma> ^ <-1> (< boldsymbol < mu >> _ 1 - < boldsymbol < mu >> _ 2) = bermula 2c 0 akhir) dan ( mathbf h = frac <1> <2> (< boldsymbol < mu >> _ 1 + < boldsymbol < mu >> _ 2) = bermula 0 0 akhir) .

    Peraturan ML diskriminan memperuntukkan ( mathbf x ) ke ( Pi_1 ) jika ( mathbf a ^ top ( mathbf x- mathbf h) = mathbf a ^ top mathbf x & gt 0 ) . Sekiranya kita menulis ( mathbf x = mulakan x_1 x_2 akhir) kemudian ( mathbf a ^ top mathbf x = 2cx_1 ), yang lebih besar daripada sifar jika (x_1 & gt 0 ). Oleh itu, kami memperuntukkan ( mathbf x ) ke ( Pi_1 ) jika (x_1 & gt 0 ) dan memperuntukkan ( mathbf x ) ke ( Pi_2 ) jika (x_1 leq 0 ) .

    Rajah 8.4: LDA apabila matriks kovarians adalah identiti

    Contoh 3

    Mari kita umumkan contoh sebelumnya, tanpa membuat andaian mengenai ( boldsymbol < Sigma> ), tetapi masih menganggap (< boldsymbol < mu >> _ 1 = - < boldsymbol < mu >> _ 2 ). Sekiranya kita menulis ( mathbf a = mulakan a_1 a_2 akhir) dan ( mathbf h = frac <1> <2> (< boldsymbol < mu >> _ 1 + < boldsymbol < mu >> _ 2) = boldsymbol 0 ). Kemudian peraturan diskriminan ML memperuntukkan ( mathbf x ) ke ( Pi_1 ) jika ( mathbf a ^ top mathbf x & gt 0 ). Sekiranya kita menulis ( mathbf x = mulakan x y akhir) maka batas yang memisahkan ( mathcal R_1 ) dan ( mathcal R_2 ) diberikan oleh ( mathbf a ^ top mathbf x = begin a_1 & amp a_2 akhir bermula x y akhir = a_1 x + a_2 y = 0 ), iaitu (y = - frac x ). Ini adalah garis lurus melalui asal dengan kecerunan (- a_1 / a_2 ).

    Sekiranya varians komponen (y ) sangat kecil dibandingkan dengan varians komponen (x ), maka kita mulai mengklasifikasikan hanya berdasarkan (y ). Contohnya, jika (< boldsymbol < mu >> _ 1 = bermula2 1 berakhir) dan ( boldsymbol < Sigma> = bermula1 & amp0.09 0.09 & amp0.1 akhir) kita dapati ( mathbf a = bermula2.39 17.8 akhir), yang memberikan garis (y = -0.13 x ). Yaitu, garis yang hampir mendatar.

    8.1.4 More than two populations

    When (g>2) , the boundaries for the ML rule will be piece-wise linear. In the exercises you will look at an example with 3 populations in two dimensions.


    Minitab Express &ndash Frequency Tables

    To create a frequency table of dog ownership in Minitab Express:

    1. Open the data set:
      • FALL2016STDATA.MTW
    2. On a PC: In the menu bar select STATISTICS > Describe > Tally
    3. On a Mac: In the menu bar select Statistics > Summary Statistics > Tally
    4. Double click the variable Dog in the box on the left to insert the variable into the Variable box
    5. Under Statistics, check Counts
    6. Click OK

    This should result in the following frequency table:

    Tally
    Dog Count
    No 252
    Ya 272
    N= 524
    *= 1

    Select your operating system below to see a step-by-step guide for this example.


    8.1.1: Sample Spaces and Probability (Exercises) - Mathematics

    This chapter covers the most basic definitions of probability theory and explores some fundamental properties of the probability function.

    Our starting point is the concept of an abstract random experiment. This is an experiment whose outcome is not necessarily determined before it is conducted. Examples include flipping a coin, the outcome of a soccer match, and the weather. The set of all possible outcomes associated with the random experiment is called the sample space. Events are subsets of the sample space, or in other words sets of possible outcomes. The probability function assigns real values to events in a way that is consistent with our intuitive understanding of probability. Formal definitions appear below.

    A sample space can be finite, for example [Omega=<1,ldots,10>] in the experiment of observing a number from 1 to 10. Or $Omega$ can be countably-infinite, for example [Omega=<0,1,2,3,ldots>] in the experiment of counting the number of phone calls made on a specific day. A sample space may also be uncountably infinite, for example [Omega=] in the experiment of measuring the height of a passer-by.

    The notation $mathbb$ corresponds to the natural numbers $<1,2,3,ldots>$, and the notation $mathbbcup<0>$ corresponds to the set $<0,1,2,3,ldots>$. The notation $R$ corresponds to the real numbers and the notation $$ corresponds to the non-negative real numbers. See Chapter A in the appendix for an overview of set theory, including the notions of a power set and countably infinite and unconuntably infinite sets.

    In the examples above, the sample space contained unachievable values (number of people and height are bounded numbers). A more careful definition could have been used, taking into account bounds on the number of potential phone calls or potential height values. For the sake of simplicity, we often use simpler sample spaces containing some unachievable outcomes. This is not a significant problem, since we can later assign zero probability to such values.

    In particular, the empty set $emptyset$ and the sample space $Omega$ are events. Figure 1.2.1 shows an example of a sample space $Omega$ and two events $A,BsubsetOmega$ that are neither $emptyset$ nor $Omega$. The R code below shows all possible events of an experiment with $Omega=$. There are $2^<|Omega|>$ such sets, assuming $Omega$ is finite (see Chapter A on set theory for more information on the power set).

    For an event $E$, the outcome of the random experiment $omegainOmega$ is either in E $(omegain E)$ or not in $E$ $(omega otin E)$. In the first case, we say that the event $E$ occurred, and in the second case we say that the event $E$ did not occur. $Acup B$ is the event of either $A$ or $B$ occurring and $Acap B$ is the event of both $A$ and $B$ occurring. The complement $A^c$ (in the complement, the universal set is taken to be $Omega$: $A^c=Omegasetminus A)$ represents the event that $A$ did not occur. If the events $A,B$ are disjoint $(Acap B=emptyset)$, the two events cannot happen at the same time, since no outcome of the random experiment belongs to both $A$ and $B$. If $Asubset B$, then $B$ occurring implies that $A$ occurs as well.


    3.6 Variance and standard deviation

    The variance of a random variable measures the spread of the variable around its expected value. Rvs with large variance can be quite far from their expected values, while rvs with small variance stay near their expected value. The standard deviation is simply the square root of the variance. The standard deviation also measures spread, but in more natural units which match the units of the random variable itself.

    Let (X) be a random variable with expected value (mu = E[X]) . The variance of (X) is defined as [ ext(X) = E[(X - mu)^2] ] The standard deviation of (X) is written (sigma(X)) and is the square root of the variance: [ sigma(X) = sqrt< ext(X)> ]

    Note that the variance of an rv is always positive (in the French sense 11 ), as it is the integral or sum of a positive function.

    The next theorem gives a formula for the variance that is often easier than the definition when performing computations.

    Applying linearity of expected values (Theorem 5.8) to the definition of variance yields: [ egin E[(X - mu)^2] &= E[X^2 - 2mu X + mu^2] &= E[X^2] - 2mu E[X] + mu^2 = E[X^2] - 2mu^2 + mu^2 &= E[X^2] - mu^2, end ] as desired.

    Let (X sim ext(3,0.5)) . Here (mu = E[X] = 1.5) . In Example 5.35, we saw that (E[(X-1.5)^2] = 0.75) . Then ( ext(X) = 0.75) and the standard deviation is (sigma(X) = sqrt <0.75>approx 0.866) . We can check both of these using simulation and the built in R functions var and sd :

    Compute the variance of (X) if the pdf of (X) is given by (f(x) = e^<-x>) , (x > 0) .

    We have already seen that (E[X] = 1) and (E[X^2] = 2) (Example 5.37). Therefore, the variance of (X) is [ ext(X) = E[X^2] - E[X]^2 = 2 - 1 = 1. ] The standard deviation (sigma(X) = sqrt <1>= 1) . We interpret of the standard deviation (sigma) as a spread around the mean, as shown in this picture:

    Compute the standard deviation of the uniform random variable (X) on ([0,1]) . [ egin ext(X) &= E[X^2] - E[X]^2 = int_0^1x^2 cdot 1, dx - left(frac<1><2> ight)^2 &= frac<1> <3>- frac<1> <4>= frac<1> <12>approx 0.083. akhir ] So the standard deviation is (sigma(X) = sqrt <1/12>approx 0.289) . Shown as a spread around the mean of 1/2:

    For many distributions, most of the values will lie within one standard deviation of the mean, i.e. within the spread shown in the example pictures. Almost all of the values will lie within 2 standard deviations of the mean. What do we mean by “almost all”? Well, 85% would be almost all. 15% would not be almost all. This is a very vague rule of thumb. Chebychev’s Theorem is a more precise statement. It says in particular that the probability of being more than 2 standard deviations away from the mean is at most 25%.

    Sometimes, you know that the data you collect will likely fall in a certain range of values. For example, if you are measuring the height in inches of 100 randomly selected adult males, you would be able to guess that your data will very likely lie in the interval 60-84. You can get a rough estimate of the standard deviation by taking the expected range of values and dividing by 6 in this case it would be 24/6 = 4. Here, we are using the heuristic that it is very rare for data to fall more than three standard deviations from the mean. This can be useful as a quick check on your computations.

    Unlike expected value, variance and standard deviation are not linear. However, variance and standard deviation do have scaling properties, and variance does distribute over sums in the special case of independent random variables:

    Let (X) be a rv and (c) a constant. Then [ egin ext(cX) &= c^2 ext(X) sigma(cX) &= c sigma(X) end ]

    Let (X) and (Y) be independent random variables. Then [ < m Var>(aX + bY) = a^2 < m Var>(X) + b^2 < m Var>(Y) ]

    We prove part 1 here, and verify part 2 through simulation in Exercise 5.37. [egin < m Var>(cX) =& E[(cX)^2] - E[cX]^2 = c^2E[X^2] - (cE[X])^2 =&c^2igl(E[X^2] - E[X]^2) = c^2< m Var>(X) end]

    Theorem 5.10 part 2 is only true when (X) and (Y) are independent.

    If (X) and (Y) are independent, then (< m Var>(X - Y) = < m Var>(X) + < m Var>(Y)) .

    Let (X sim ext(n, p)) . We have seen that (X = sum_^n X_i) , where (X_i) are independent Bernoulli random variables. Oleh itu,

    [egin < ext >(X) &= < ext >(sum_^n X_i) &= sum_^n < ext >(X_i) &= sum_^n p(1 - p) = np(1-p) end] where we have used that the variance of a Bernoulli random variable is (p(1- p)) . Indeed, (E[X_i^2] -E[X_i]^2 = p - p^2 = p(1 - p)) .


    1 Jawapan 1

    Just as for rolling two ordinary dice, the sample space consists of a $6 imes 6$ of pairs of faces.

    Enumeration: For the sum $S$ on the two dice, each of the 36 cells can also be labeled with the total of the two corresponding faces. Then count the cells for each total. (The first two of the six rows are shown below.)

    Analytic methods: It is easy to show that $E(S) = E(D_a) + E(D_b) = 15/6 + 27/6 = 42/6 = 3.5,$ which is the same as for regular dice. A bit more tediously, one can show that $Var(S)$ is the same as for regular dice. 'Probability generating functions' could be used to show that the distribution of $S$ agrees with the (triangular) distribution of the sum of two ordinary dice.

    Simulation: The distribution of $S$ can be very closely approximated by simulating the sums on a million rolls of these two special dice and tallying the results. (Simulation in R statistical software gives probabilities accurate to about three places.)

    The plot below shows a histogram of the million simulated totals obtained when rolling a pair of these special dice. The dots show the exact distribution.


    4.5 Probability and Statistics

    Modern science may be characterized by a systematic collection of empirical measurements and the attempt to model laws of nature using mathematical language. The drive to deliver better measurements led to the development of more accurate and more sensitive measurement tools. Nonetheless, at some point it became apparent that measurements may not be perfectly reproducible and any repeated measurement of presumably the exact same phenomena will typically produce variability in the outcomes. On the other hand, scientists also found that there are general laws that govern this variability in repetitions. For example, it was discovered that the average of several independent repeats of the measurement is less variable and more reproducible than each of the single measurements themselves.

    Probability was first introduced as a branch of mathematics in the investigation of uncertainty associated with gambling and games of chance. During the early 19th century probability began to be used in order to model variability in measurements. This application of probability turned out to be very successful. Indeed, one of the major achievements of probability was the development of the mathematical theory that explains the phenomena of reduced variability that is observed when averages are used instead of single measurements. In Chapter 7 we discuss the conclusions of this theory.

    Statistics study method for inference based on data. Probability serves as the mathematical foundation for the development of statistical theory. In this chapter we introduced the probabilistic concept of a random variable. This concept is key for understanding statistics. In the rest of Part I of this book we discuss the probability theory that is used for statistical inference. Statistical inference itself is discussed in Part II of the book.


    Tonton videonya: LIVE Kelas Matematik Tahun 4,5 u0026 6 Oleh Pak Malau PENGURUSAN DATA Mentafsir#08 #allinone (Ogos 2022).