Artikel

2: Fungsi Linear dan Kuadratik

2: Fungsi Linear dan Kuadratik



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.


Produk dua Fungsi Linear Memberi Fungsi Kuadratik

Dengan menggunakan algebra asas, seperti yang ditunjukkan di bawah, kita dapat membuktikan bahawa produk dari dua fungsi linear memberikan a fungsi kuadratik . Properti ini diterokai secara interaktif menggunakan applet.
Dua pautan yang berkaitan dengan kajian sifat fungsi kuadratik ditunjukkan di bawah.

Biarkan h dan g menjadi dua fungsi linear bentuk

h (x) = a x + b dan g (x) = A x + B
di mana a dan A adalah pemalar bukan sifar. Dengan mudah dapat ditunjukkan bahawa produk fungsi h dan g adalah fungsi kuadratik. Katakan fungsi yang diperoleh sebagai produk g dan h seperti berikut:
f (x) = (h g) (x) = h (x) g (x) = (a x + b) (A x + B)
= a A x 2 + (a B + b A) x + b B
Sebuah applet di bawah boleh digunakan untuk meneroka sifat fungsi kuadratik f yang diperoleh di atas dengan mengubah parameter a, b, A dan B yang termasuk dalam definisi dua fungsi linear. Terdapat tutorial lain yang mungkin anda ingin selesaikan kemudian: tutorial di fungsi kuadratik dan membuat grafik fungsi kuadratik .


Graf Fungsi Linear & Quadratic

Video dan pelajaran dengan contoh dan penyelesaian untuk membantu pelajar Sekolah Menengah mempelajari cara membuat grafik fungsi yang dinyatakan secara simbolik dan menunjukkan ciri utama grafik, dengan menggunakan kes mudah dan menggunakan teknologi untuk kes yang lebih rumit.

Grafkan fungsi linear dan kuadratik dan tunjukkan pintasan, maksima, dan minima.

  • Grafik fungsi kuadratik dinyatakan dalam pelbagai bentuk dengan tangan.
  • Gunakan teknologi untuk memodelkan fungsi kuadratik, bila sesuai.
  • Grafkan dan cari ciri utama fungsi yang ditentukan mengikut fungsi, termasuk fungsi langkah dan fungsi nilai mutlak.

Membuat Grafik Fungsi Kuadratik dalam Bentuk Umum atau Bentuk Piawai
Video ini menerangkan cara membuat grafik fungsi kuadratik dalam bentuk f (x) = ax 2 + bx + c.
Grafik fungsi kuadratik disebut parabola.
a) Ia selalu berbentuk lekuk berbentuk cawan.
b) Ia terbuka ke atas jika & gt 0 atau terbuka ke bawah jika & lt 0
c) Garisan menegak x = -b / 2a ialah garis simetri.
d) Ia mempunyai titik balik, atau bucu, pada titik (-b / 2a, f (-b / 2a)).

Cuba kalkulator Mathway dan penyelesaian masalah percuma di bawah untuk mempraktikkan pelbagai topik matematik. Cuba contoh yang diberikan, atau taipkan masalah anda sendiri dan periksa jawapan anda dengan penjelasan langkah demi langkah.

Kami mengalu-alukan maklum balas, komen dan pertanyaan anda mengenai laman web atau halaman ini. Sila hantarkan maklum balas atau pertanyaan anda melalui halaman Maklum Balas kami.


Menyelesaikan Sistem Linear-Kuadratik

Anda mungkin telah menyelesaikan sistem persamaan linear. Tetapi bagaimana dengan sistem dua persamaan di mana satu persamaan adalah linear, dan yang lain adalah kuadratik?

Kita boleh menggunakan versi kaedah penggantian untuk menyelesaikan sistem jenis ini.

Ingat bahawa bentuk persilangan cerun untuk garis ialah y = m x + b, dan bentuk persamaan piawai bagi parabola dengan paksi menegak simetri ialah y = a x 2 + b x + c, a ≠ 0.

Untuk mengelakkan kekeliruan dengan pemboleh ubah, marilah kita menulis persamaan linear sebagai y = m x + d di mana m adalah cerun dan d adalah pintasan-y dari garis.

Gantikan ungkapan untuk y dari persamaan linear, dalam persamaan kuadratik. Maksudnya, ganti m x + d untuk y dalam y = a x 2 + b x + c.

Sekarang, tulis semula persamaan kuadratik baru dalam bentuk standard.

Kurangkan m x + d dari kedua sisi.

(m x + d) - (m x + d) = (a x 2 + b x + c) - (m x + d) 0 = a x 2 + (b - m) x + (c - d)

Sekarang kita mempunyai persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah, penyelesaiannya dapat dijumpai dengan menggunakan formula kuadratik.

Penyelesaian untuk persamaan a x 2 + (b - m) x + (c - d) = 0 akan memberikan koordinat-x bagi titik-titik persilangan graf garis dan parabola. Koordinat y yang sesuai boleh didapati dengan menggunakan persamaan linear.

Kaedah lain untuk menyelesaikan sistem ini adalah dengan membuat grafik dua fungsi pada satah koordinat yang sama dan mengenal pasti titik-titik persimpangan.

Cari titik persimpangan antara garis y = 2 x + 1 dan parabola y = x 2 - 2.

Pengganti 2 x + 1 untuk y dalam y = x 2 - 2.

Tuliskan persamaan kuadratik dalam bentuk piawai.

2 x + 1 - 2 x - 1 = x 2 - 2 - 2 x - 1 0 = x 2 - 2 x - 3

Gunakan formula kuadratik untuk mencari punca persamaan kuadratik.

Di sini, a = 1, b = - 2, dan c = - 3.

x = - (- 2) ± (- 2) 2 - 4 (1) (- 3) 2 (1) = 2 ± 4 + 12 2 = 2 ± 4 2 = 3, - 1

Ganti nilai-x dalam persamaan linear untuk mencari nilai-y yang sesuai.

x = 3 ⇒ y = 2 (3) + 1 = 7 x = - 1 ⇒ y = 2 (- 1) + 1 = - 1
Oleh itu, titik persimpangan adalah (3, 7) dan (- 1, - 1).

Grafkan parabola dan garis lurus pada satah koordinat.


Kaedah serupa boleh digunakan untuk mencari titik persilangan garis dan bulatan.

Cari titik persimpangan antara garis y = - 3 x dan bulatan x 2 + y 2 = 3.

Pengganti - 3 x untuk y dalam x 2 + y 2 = 3.

x 2 + 9 x 2 = 3 10 x 2 = 3 x 2 = 3 10
Mengambil punca kuasa dua, x = ± 3 10.

Gantikan nilai-x dalam persamaan linear untuk mencari nilai-y yang sepadan.
x = 3 10 ⇒ y = - 3 (3 10) = - 3 3 10 x = - 3 10 ⇒ y = - 3 (- 3 10) = 3 3 10

Oleh itu, titik persimpangan adalah (3 10, - 3 3 10) dan (- 3 10, 3 3 10).

Grafkan bulatan dan garis lurus pada satah koordinat.

Selesaikan sistem persamaan y = - 5 dan x 2 9 + y 2 4 = 1.

Pengganti - 5 untuk y in - 5.

x 2 9 + (- 5) 2 4 = 1 4 x 2 36 + 9 (25) 36 = 1 4 x 2 + 225 = 36 4 x 2 = - 189 x 2 = - 189 4

Di sini kita mempunyai nombor negatif sebagai kuasa dua nombor. Oleh itu, kedua-dua persamaan itu tidak mempunyai penyelesaian sebenar.


Regangkan atau kompres dengan menukar nilai [lateks] a [/ lateks].

Anda boleh mewakili regangan atau pemampatan (penyempitan, pelebaran) grafik [lateks] f (x) = x ^ 2 [/ lateks] dengan mengalikan pemboleh ubah kuasa dua dengan pemalar, [lateks] a [/ lateks].

Besarnya [lateks] a [/ lateks] menunjukkan regangan graf. Sekiranya [lateks] | a | & gt1 [/ latex], titik yang berkaitan dengan nilai [lateks] x [/ latex] tertentu beralih lebih jauh dari [lateks] x [/ lateks]paksi, jadi grafik kelihatan semakin sempit, dan terdapat regangan menegak. Tetapi jika [lateks] | a | & lt1 [/ latex], titik yang berkaitan dengan nilai [lateks] x [/ latex] tertentu beralih lebih dekat ke [lateks] x [/ lateks]paksi, jadi grafik kelihatan lebih luas, tetapi sebenarnya terdapat pemampatan menegak.

Contohnya

Tentukan persamaan bagi graf [lateks] f (x) = x ^ 2 [/ lateks] yang telah dimampatkan secara menegak oleh faktor [lateks] frac <1> <2> [/ lateks]. Juga, tentukan persamaan untuk graf [lateks] f (x) = x ^ 2 [/ lateks] yang telah diregangkan secara menegak oleh faktor 3.

Persamaan untuk graf [lateks] f (x) = x ^ 2 [/ lateks] yang telah dimampatkan secara menegak oleh faktor [lateks] frac <1> <2> [/ lateks] adalah

Persamaan bagi graf [lateks] f (x) = x ^ 2 [/ lateks] yang telah diregangkan secara menegak oleh faktor 3 ialah

Bentuk standard dan bentuk umum adalah kaedah setara untuk menggambarkan fungsi yang sama. Kita dapat melihatnya dengan memperluas bentuk umum dan menetapkannya sama dengan bentuk standard.

Ini adalah koordinat [lateks] x [/ lateks] bucu dan [lateks] x = - dfrac<2a> [/ lateks] adalah paksi simetri kita tentukan sebelumnya. Menetapkan syarat tetap sama memberi kita:

Dalam praktiknya, biasanya lebih mudah untuk diingat bahawa [lateks] h [/ lateks] adalah nilai output fungsi ketika inputnya adalah [lateks] h [/ lateks], jadi [lateks] f kiri (h kanan) = f kiri (- dfrac<2a> kanan) = k [/ lateks].

Cuba ia

Grid koordinat ditumpangkan di atas jalur kuadratik bola keranjang dalam gambar di bawah. Cari persamaan untuk laluan bola. Adakah penembak membuat bakul?

(kredit: pengubahsuaian kerja oleh Dan Meyer)

Laluan melewati asal dan mempunyai bucu di [latex] kiri (-4, text <> 7 kanan) [/ latex], jadi [lateks] kiri (h kanan) x = - frac <7 > <16> < kiri (x + 4 kanan)> ^ <2> +7 [/ lateks]. Untuk membuat tangkapan, [lateks] h kiri (-7,5 kanan) [/ lateks] perlu kira-kira 4 tetapi [lateks] h kiri (-7,5 kanan) lebih kurang 1,64 [/ lateks] dia tidak ' t membuatnya.


Perbezaan berturut-turut dalam Jadual A adalah tetap ($ 9-6 = 12-9 = 15-12 = 3 $), menunjukkan fungsi linear. Kuota berturut-turut dalam Jadual B adalah tetap ($ frac <14> <7> = frac <28> <14>=frac<56> <28> = 2 $) menunjukkan fungsi eksponensial. Begitu juga bagi hasil tetap bagi Jadual D ialah 1/2. Baik perbezaan berturut-turut atau kata tanya tidak tetap dalam Jadual C, dan pasangannya yang diperintahkan dihubungkan oleh persamaan $ y = x ^ 2 + 5 $. Jadi, Jadual A harus dilabel "linear", Jadual B dan D, "eksponensial", dan Jadual C, "kuadratik".

Jadual berikut menunjukkan nilai fungsi linear, kuadratik, dan eksponen pada pelbagai nilai
daripada $ x $. Nyatakan jenis fungsi yang sesuai dengan setiap jadual. Tentukan pilihan anda.


Membuat Program dari Data

Berikut adalah bagaimana program kuadratik ini dapat diselesaikan dalam CGAL mengikut cara pertama (membiarkan model mengurus data). Kami menggunakan int sebagai jenis input, dan MP_Float atau Gmpz (yang lebih cepat dan lebih disukai jika GMP dipasang) sebagai jenis tepat untuk pengiraan dalaman. Dalam contoh yang lebih besar, ia akan menggunakan dua kali ganda sebagai jenis input untuk mendapatkan keuntungan dari penapisan titik apungan automatik yang berlaku ketika itu.

Untuk contoh bagaimana bekerja dengan jenis input dua kali, kita merujuk kepada Bahagian Bekerja dari Iterator dan Menyesuaikan Penyelesai.

Nota: Untuk fungsi objektif kuadratik, entri matriks (2D ) harus disediakan, bukannya (D ). Walaupun perkara ini biasa dilakukan oleh hampir semua penyelesai pengaturcaraan kuadratik, ia dapat dengan mudah diabaikan oleh pemula.


2: Fungsi Linear dan Kuadratik

Fungsi Linear

Tujuan tugas ini adalah untuk meneroka jumlah, produk, hasil dan komposisi dua fungsi linear.

Apakah fungsi linear?

Biasanya, fungsi linear didefinisikan sebagai polinoimals darjah-1 dengan satu pemboleh ubah. Contohnya, f (x) = x + 6. Namun terdapat banyak bentuk untuk menyatakan fungsi linear. Tugasan ini akan tertumpu pada cerun - pintasan bentuk f (x) = mx + b. Oleh itu, fungsi di atas mempunyai cerun 1 dan pintasan-y 6. Graf fungsi linear selalu garis lurus.

Maaf, Applet GeoGebra tidak dapat dimulakan. Pastikan Java 1.4.2 (atau lebih baru) dipasang dan aktif di penyemak imbas anda (Klik di sini untuk memasang Java sekarang)

f (x) = 6x + 3, g (x) = 7x + 3, dan h (x) = (6x + 3) + (7x + 1)

Catatan: Kerana keterbatasan kalkulator grafik, demonstrasi grafik akan menunjukkan fungsi sebagai y = bukan f (x), g (x), dan

Perhatikan bahawa dalam representasi grafik di atas, penjumlahan dua fungsi linear juga merupakan fungsi linear (garis biru adalah hasil penambahan 6x +3 dan 7x + 1). Memandangkan apa yang kita ketahui mengenai aljabar, menambahkan polinomial darjah pertama akan merangkumi: proses penambahan pekali pemboleh ubah bersama-sama (tanpa mengubah tahap pemboleh ubah) dan menambahkan gabungan bersama jika fungsi mengizinkan. Contoh:

Oleh itu, garis biru (fungsi linear yang dihasilkan), mempunyai cerun 13 dan pintasan-y 4.

1) f (x) = 2x + 1, g (x) = x + 6, dan h (x) = (2x + 1) + (x + 6)

2) f (x) = x + 2, g (x) = x + 7, dan h (x) = (x + 2) + (x + 7)

Adakah penjumlahan dua fungsi linear akan selalu menghasilkan fungsi linear yang lain?

Biarkan a, b, c, dan d menjadi nombor nyata. Dua fungsi linear boleh ditulis sebagai ax + b dan cx + d.

Gandakan Fungsi linear

f (x) = 2x + 1, g (x) = x + 6, dan h (x) = (2x + 1) (x + 6)

Perhatikan bahawa dalam perwakilan grafik di atas, produk dari fungsi dua linear adalah grafik parabola yang fungsinya berbentuk kuadratik (darjah 2).

Produk ini sebenarnya menghasilkan kuadratik

Adakah produk dua fungsi linear akan selalu menghasilkan fungsi kuadratik?

Biarkan a, b, c, dan d menjadi nombor nyata yang diberikan. Dua fungsi linear boleh ditulis sebagai ax + b dan cx + d.

Siasatan lanjut juga mendedahkan:

Membahagi Dua Fungsi Linear

f (x) = x + 2, g (x) = x + 7, dan h (x) = (x + 2) / (x + 7)

Perhatikan bahawa membahagi dua fungsi linear menghasilkan graf hiperbola.

Fakta penting mengenai Hyperbolas dalam bentuk h (x) = ax + b / cx + d

1. asimptot bersilang pada simetri hiperbola

2. asimptot menegak adalah punca cx + d

3. asimptot mendatar ialah a / c

Dalam contoh di atas, perhatikan bahawa dua lengan hiperbola (boleh dikatakan) hampir -7. Sebenarnya, -7 adalah punca g (x).

Juga, lengan yang tinggal menghampiri 1. Ini adalah asimptot mendatar h (x) = a / c = 1.

f (x) = 6x + 3, g (x) = 7x + 1, dan h (x) = (x + 2) / (x + 7)

asimptot mendatar h (x) = 6/7

Komposisi dua fungsi linear

f (x) = x + 2, g (x) = x + 7, dan f (g (x)) = (x + 7) + 2

Perhatikan bahawa dalam perwakilan grafik di atas, komposit dari dua fungsi linear juga merupakan fungsi linear.

f (x) = 6x + 3, g (x) = 7x + 1, dan f (g (x)) = 6 (7x + 1) + 3

Kompos fungsi ini juga garis lurus.

Adakah komposisi dua fungsi linear akan selalu menghasilkan fungsi linear?

Biarkan a, b, c, dan d menjadi nombor nyata yang diberikan. Dua fungsi linear boleh ditulis sebagai f (x) = ax + b dan g (x) = cx + d.


Grafik nilai mutlak adalah contoh yang baik dari konteks di mana kita perlu berhati-hati untuk ingat untuk memilih negatif x -nilai untuk T-chart kami. Jika tidak, sangat mudah untuk dilupakan bahawa graf nilai mutlak tidak akan menjadi satu garis lurus yang tidak putus.

Sebagai contoh, anggaplah kita diberi persamaan y = | x | . Dan andaikan kita hanya memilih positif x -values, jadi carta T kami kelihatan seperti ini:

Kemudian poin kami kelihatan seperti ini:

Dan kami akan menghubungkan titik kami seperti ini:

Sebaliknya, mari kita sebarkan x -nilai sedikit, dan mari kita ingat kali ini untuk merancang negatif x -nilai atau dua. Carta T baru kami kelihatan seperti ini:

Kemudian poin kami kelihatan seperti ini:

Kerana titik kami tersebar dengan baik, dan kerana kami teringat untuk memasukkan beberapa & quotminus & quot x -valu, kita ingat bahawa grafik persamaan nilai mutlak sebagai garis putus, jadi kita menggunakan pembaris kita dua kali untuk mendapatkan:

Dan ini adalah graf yang betul!

(Sekiranya anda ingin mempelajari topik ini dengan lebih terperinci, lihat Grafik Fungsi Nilai Mutlak)


1. Sifar bagi fungsi kuadratik & # xa0 f (x) = ax² + bx + c & # xa0 hanyalah dua nilai "x" apabila f (x) = 0 atau & # xa0ax² + bx + c & # xa0 = & # xa00. & # xa0

"ax² + bx + c & # xa0 = & # xa00" dipanggil sebagai persamaan kuadratik

Mencari dua sifar fungsi kuadratik atau menyelesaikan persamaan kuadratik adalah perkara yang sama. & # xa0

3. Terdapat tiga kaedah untuk mencari dua sifar fungsi kuadratik. & # Xa0

4. Sekiranya dua sifar fungsi kuadratik tidak rasional, maka kedua-dua nol (akar) akan berlaku pada pasangan konjugasi. Iaitu, jika (m + √n) adalah punca, maka (m- √n) adalah punca lain dari persamaan yang sama. & # Xa0

5. Jumlah sifar dari fungsi kuadratik f (x) = & # xa0ax² + bx + c ialah -b / a

6. Produk sifar fungsi kuadratik f (x) = & # xa0ax² + bx + c ialah c / a

7. Sekiranya satu sifar adalah timbal balik ke akar yang lain maka produk mereka c / a = 1 atau c = a. & # Xa0

8. Sekiranya satu punca sama dengan akar lain tetapi bertentangan dalam tanda maka jumlahnya = 0. Iaitu, b / a = 0 dan seterusnya b = 0. & # Xa0

9. Graf sebarang fungsi kuadratik akan menjadi parabola.

10. Nol dari persamaan kuadratik adalah koordinat-x titik-titik di mana parabola (grafik fungsi kuadratik) memotong paksi-x.

11. Sekiranya kedua-dua sifar fungsi kuadratik itu khayalan, maka grafik (parabola) tidak akan bersilang sumbu x. & # Xa0

12. Dua pintasan-x dari parabola & # xa0 (grafik fungsi kuadratik) tidak lain hanyalah sifar fungsi kuadratik. & # Xa0

13. x- koordinat bucu parabola ialah -b / 2a dan bucu ialah [-b / 2a, f (-b / 2a)] & # xa0

14. Untuk mengetahui di mana parabola memotong paksi-y atau pintasan-y dari parabola, kita harus memasukkan x = 0 pada fungsi kuadratik yang diberikan.

15. & # xa0f (x) = & # xa0ax² + bx + c, jika tanda istilah pertama (ax²) negatif, parabola akan terbuka ke bawah. Jika tidak, parabola akan terbuka ke bawah. & # Xa0

16. B² yang diskriminan - 4ac & # xa0 membezakan sifat sifar fungsi kuadratik f (x) & # xa0 = & # xa0ax² + bx + c.

Mari kita lihat bagaimana diskriminasi ini & # xa0 & # xa0"b² - 4ac "& # xa0boleh digunakan untuk mengetahui sifat akar fungsi kuadratik. & # xa0

Setelah membaca perkara-perkara yang diberikan di atas, kami berharap para pelajar dapat memahami "Properties of quadratic-functions". & # Xa0

Selain daripada perkara yang diberikan di atas, jika anda ingin mengetahui lebih lanjut mengenai "Properties of quadratic function", & # xa0 sila klik di sini

Selain daripada perkara yang diberikan dalam bahagian ini, jika anda memerlukan perkara lain dalam matematik, sila gunakan carian khusus google kami di sini. & # Xa0

Sekiranya anda mempunyai maklum balas mengenai kandungan matematik kami, sila hantarkan kepada kami: & # xa0

Kami sentiasa menghargai maklum balas anda. & # Xa0

Anda juga boleh melayari laman web berikut mengenai pelbagai perkara dalam matematik. & # Xa0


Tonton videonya: Fungsi Linear. Matematika Wajib SMA (Ogos 2022).