Artikel

3.4: Lebih Banyak Persamaan Trigonometri - Matematik


Apabila penyelesaian persamaan trigonometri adalah salah satu sudut kuadran ( kiri (0 ^ { circ}, 90 ^ { circ}, 180 ^ { circ}, 270 ^ { circ} text {dan} mathrm {so} text {on} right), ) kemudian menentukan semua penyelesaian antara (0 ^ { circ} ) dan (360 ^ { circ} ) boleh berfungsi sedikit berbeza. Sekiranya kita kembali ke bulatan unit, kita dapat melihatnya dengan lebih jelas:

Dalam rajah di atas kita dapat melihat sinus dan kosinus untuk (0 ^ { circ}, 90 ^ { circ}, 180 ^ { circ}, ) dan (270 ^ { circ} ) sejak ( tan theta = frac { sin theta} { cos theta}, ) maka kita dapat melihat bahawa ( tan 0 ^ { circ} = 0, tan 90 ^ { circ} ) tidak ditentukan, ( tan 180 ^ { circ} = )
0 dan ( tan 270 ^ { circ} ) juga tidak ditentukan.

Masalah sebenar dengan sudut kuadran adalah mencari ( sin ^ {- 1} (0), cos ^ {- 1} (0) ) atau ( tan ^ {- 1} (0) ) kalkulator mengembalikan nilai:
[ mulakan {array} {l}
sin ^ {- 1} (0) = 0 ^ { circ}
cos ^ {- 1} (0) = 90 ^ { circ}
tan ^ {- 1} (0) = 0 ^ { circ}
end {susunan}
] Dalam setiap kes, ada kemungkinan lain daripada berbeza dari sudut yang diberikan oleh (180 ^ { circ} ) sehingga:

[ mulakan {array} {l}
sin ^ {- 1} (0) = 0 ^ { circ}, 180 ^ { circ}
cos ^ {- 1} (0) = 90 ^ { circ}, 270 ^ { circ}
tan ^ {- 1} (0) = 0 ^ { circ}, 180 ^ { circ}
end {susunan}
] Mari kita lihat bagaimana ini digunakan dalam menyelesaikan persamaan:

Contoh 1
Selesaikan persamaan yang diberikan untuk (0 ^ { circ} leq x <360 ^ { circ} )
[ tan ^ {2} x- tan x = 0
] Kita boleh menggunakan formula kuadratik untuk menyelesaikannya, tetapi kita juga dapat menyelesaikannya dengan memfaktorkan:
[ mulakan {array} {c}
tan ^ {2} x- tan x = 0
tan x ( tan x-1) = 0
tan x = 0 teks {atau} tan x = 1
end {susunan}
] Menggunakan kalkulator untuk mencari ( tan ^ {- 1} (0) ) dan ( tan ^ {- 1} (1) ) mengembalikan nilai ( tan ^ {- 1} (0 ) = 0 ^ { circ} ) dan ( tan ^ {- 1} (1) = 45 ^ { circ}. ) Setelah kita mengetahui sudut rujukan untuk ( tan ^ {- 1} ( 1), ) maka kita tahu bahawa kerana tangennya juga positif dalam Kuadran ( Pi I ), penyelesaiannya di sini adalah (45 ^ { circ} ) dan (225 ^ { circ}. ) Kalkulator mengembalikan jawapan (0 ^ { circ} ) untuk ( tan ^ {- 1} (0), ) tetapi kami hanya melihat bahawa ( tan 180 ^ { circ} = 0 ) juga.
Jawapan untuk persamaan ini ialah (x = 45 ^ { circ}, 225 ^ { circ}, 0 ^ { circ}, 180 ^ { circ} )

Pendekatan lain untuk menyelesaikan persamaan trigonometri melibatkan penggunaan Identiti Pythagoras untuk membuat penggantian supaya persamaan dapat diselesaikan dengan rumus kuadratik. Inilah contohnya:

Contoh 2
Selesaikan persamaan yang diberikan untuk (0 ^ { circ} leq x <360 ^ { circ} )
[ sin ^ {2} theta-6 cos theta = 4
] Perhatikan bahawa, tidak seperti masalah yang kita lihat di bahagian sebelumnya, persamaan ini melibatkan sinus dan kosinus. Untuk mengatasinya, kita boleh mengganti istilah ( sin ^ {2} theta ) dengan ungkapan (1- cos ^ {2} theta )
[ mulakan {array} {c}
sin ^ {2} theta-6 cos theta = 4
1- cos ^ {2} theta-6 cos theta = 4
0 = cos ^ {2} theta + 6 cos theta + 3
end {susunan}
] menggunakan formula kuadratik:
[ cos theta lebih kurang-5.449, -0.5505
]

kerana ( cos ^ {- 1} (- 5.449) ) bukan sudut nilai sebenar, kita boleh memfokus pada jawapan yang lain:
( cos ^ {- 1} (- 0,5505) lebih kurang 123,4 ^ { circ}. ) kerana fungsi kosinus juga negatif pada kuadran ketiga, kita perlu mencari sudut rujukan yang akan membantu kita mengenal pasti ketiga sudut kuadran yang merupakan penyelesaian untuk persamaan ini:
[180 ^ { circ} -123.4 ^ { circ} = 56.6 ^ { circ}
] Jadi sudut rujukan adalah (56.6 ^ { circ} )
[180 ^ { circ} +56.6 ^ { circ} = 236.6 ^ { circ}
] Penyelesaiannya adalah ( theta lebih kurang 123.4 ^ { circ}, 236.6 ^ { circ} )

Contoh 3
Selesaikan persamaan yang diberikan untuk (0 ^ { circ} leq x <360 ^ { circ} )
[2 cos ^ {2} theta- sin theta = sin ^ {2} theta + 1
]

Pertama, kami akan menggantikan (1- sin ^ {2} theta ) dengan ( cos ^ {2} theta )
[ mulakan {array} {c}
2 cos ^ {2} theta- sin theta = sin ^ {2} theta + 1
2 kiri (1- sin ^ {2} theta kanan) - sin theta = sin ^ {2} theta + 1
2-2 sin ^ {2} theta- sin theta = sin ^ {2} theta + 1
0 = 3 sin ^ {2} theta + sin theta-1
end {susunan}
] Menyelesaikan ini dengan formula kuadratik memberi kita penyelesaian ( sin theta lebih kurang-0,7676,0,43426 )
[ sin ^ {- 1} (- 0,7676) lebih kurang-50,1 ^ { circ}
] [ sin ^ {- 1} (0,43426) lebih kurang 25,7 ^ { circ}
]

Kami akan berusaha dengan penyelesaian positif terlebih dahulu. kerana sinus juga positif pada Kuadran II, sudut yang lain akan menjadi (180 ^ { circ} -25.7 ^ { circ} = 154.3 ^ { circ} )

Untuk penyelesaian negatif, kita tahu bahawa sinus adalah negatif pada Kuadran III dan ( mathrm {IV}, ) sehingga dengan sudut rujukan (50.1 ^ { circ}, ) pada kuadran ketiga (180 ^ { circ} +50.1 ^ { circ} = 230.1 ^ { circ} ) dan di kuadran keempat (360 ^ { circ} -50.1 ^ { circ} = 309.9 ^ { circ} )
Set penyelesaiannya adalah ( theta lebih kurang 25.7 ^ { circ}, 154.3 ^ { circ}, 230.1 ^ { circ}, 309.9 ^ { circ} )

Latihan 3.4
Selesaikan persamaan yang diberikan untuk (0 ^ { circ} leq x <360 ^ { circ} )
1. ( quad 9 sin ^ {2} theta-6 sin theta = 1 )
2. ( quad 4 cos ^ {2} theta + 4 cos theta = 1 )
3. ( quad sec ^ {2} alpha-2 sec alpha-3 = 0 )
4. ( quad csc ^ {2} beta + 4 csc beta-10 = 0 )
5. ( quad csc ^ {2} x + 4 csc x-7 = 0 )
6. ( quad 3 cot ^ {2} x-3 cot x-1 = 0 )
7. ( quad 2 sin ^ {2} x = 1- cos x )
8. ( quad cos ^ {2} alpha + 4 = 2 sin alpha-3 )
9. ( quad cos ^ {2} beta-3 sin beta + 2 sin ^ {2} beta = 0 )
10. ( quad sin ^ {2} theta = 2 cos theta + 3 cos ^ {2} theta )
11. ( quad sec ^ {2} x = 2 tan x + 4 )
12. ( quad 3 tan ^ {2} x = sec x + 2 )
13. ( quad cos alpha + 1 = 2 cos 2 alpha )
14. ( quad cos 2 x-3 sin x-2 = 0 )
15. ( quad csc ^ {2} theta = cot theta + 5 )
16. ( quad csc theta + 5 = 2 cot ^ {2} theta + 2 )


Dunia Pelik Gudermannian

Sebilangan besar daripada kita biasa dengan fungsi trigonometri biasa, seperti sinus, kosinus, dan tangen.

Di mana e adalah asas logaritma semula jadi, kira-kira 2.71828. , fungsi analog, disebut sebagai fungsi trigol hiperbolik yang didefinisikan sebagai:

dan analog fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh daripadanya:

Saya telah mendengar banyak perkara ini, tetapi tidak banyak lagi, mengenai mereka semasa saya menjalani pendidikan.

Setelah menemui peraturan slaid dengan skala yang menunjukkan fungsi trigol hiperbolik, saya sampai pada kesimpulan bahawa fungsi-fungsi itu mesti berguna untuk sesuatu, dan, memang, ini nampaknya berlaku terutamanya mengenai elektronik, dan dari namanya, mungkin mereka ada kaitan dengan hiperbola, tetapi saya sebenarnya tidak tahu apa.

Juga, saya pernah mendengar fungsi tidak biasa yang dikenali sebagai Gudermannian, yang menghubungkan fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik bersama-sama dengan cara yang mengejutkan.

Nah, rasa ingin tahu saya akhirnya mendorong saya untuk mencari lebih banyak maklumat mengenai fungsi-fungsi ini.

Rajah di atas menunjukkan satuan bulatan, berpusat pada titik bertanda O.

Garis hijau mendatar dengan tanda centang merah mewakili paksi x, di sepanjang yang ditandakan bilangan bulat 2 hingga 5 untuk menunjukkan skala. Garis hijau menegak yang serupa dengan tanda kutu merah mewakili paksi y.

Gambar rajah ini juga merupakan grafik, dan pada grafik ini, persamaan bulatan unit adalah:

Untuk sudut theta pada asalnya, diukur dari paksi-x, titik pada bulatan unit mempunyai sinus theta sebagai koordinat-y, dan kosinus theta sebagai koordinat-x.

Satu perkara ini menunjukkan bahawa fungsi sinus dan kosinus mempunyai sifat

Memandangkan sinus dan kosinus sudut mencari titik pada bulatan unit, maka nilai-nilai tersebut mesti memenuhi persamaan bulatan unit dan persamaan lingkaran satuan adalah apa adanya kerana teorema Pythagoras benar.

Menyentuh bulatan unit pada titik (x, y) = (1,0) dan (x, y) = (- 1,0) adalah dua garis melengkung yang membongkok keluar daripadanya. Garis-garis itu membentuk hiperbola dengan persamaan

dan inilah hiperbola, yang boleh kita sebut sebagai unit hiperbola, yang dihubungkan dengan fungsi trigol hiperbolik.

Titik (x, y) = (cosh (u), sinh (u)) untuk u sama dengan 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, dan 0.5 ditandai pada grafik dengan a, b, c, d, dan e sebagai label mereka, dan garis hijau dilampirkan dari titik O atau (0,0).

Nilai u sepadan dengan kedua-dua kawasan yang dibatasi oleh paksi-x di bahagian bawah, hiperbola di sebelah kanan, dan garis dari O ke (cosh (u), sinh (u)) di bahagian atas, dan ke integral dari nisbah kenaikan jarak sepanjang hiperbola dari paksi-x hingga jarak titik pada hiperbola dari asal.

Jadi, dengan fungsi hiperbola dan trigol hiperbolik, seperti fungsi lingkaran dan trig biasa, sinus adalah koordinat menegak, dan kosinus adalah koordinat mendatar.

Dan sama seperti sinus dan kosinus memenuhi persamaan bulatan, sinus hiperbolik dan kosinus memenuhi persamaan hiperbola, dan seterusnya:

Sekarang kita sampai pada pembinaan geometri yang ingin tahu yang melibatkan titik O, P, Q, dan R, atau O, P ', Q', dan R ', pada rajah.

Garis dari O ke P 'membuat sudut 45 darjah dengan paksi-x, dan garis dari O ke P membuat sudut 80 darjah dengan paksi-x.

Oleh itu, titik P 'adalah (x, y) = (cos (45 & deg), sin (45 & deg)) dan titik P adalah (x, y) = (cos (80 & deg), sin (80 & deg)).

Titik R 'dan R kebetulan berada di hiperbola, yang bermaksud bahawa titik R' mestilah (x, y) = (cosh (u), sinh (u)) dan titik R mestilah (x, y) = (cosh (v), sinh (v)) untuk sebilangan u dan v.

Mari kita fikirkan titik umum dari jenis yang sama pada bulatan unit, titik P '', yang (x, y) = (cos (theta), sin (theta)) untuk beberapa sudut theta.

Apabila kita membawa tangen ke bulatan pada titik P ", dan mengikutinya ke sumbu x untuk mencari titik Q", di manakah titik itu?

Memandangkan sudut antara O dan Q '' pada P '' adalah sudut yang tepat, cukup jelas: jarak Q '' dari asalnya adalah 1 / cos (theta).

Oleh itu, dari persamaan hiperbola, kita tahu bahawa titik R '' mesti menjadi titik

Dan kerana kita juga tahu bahawa, kerana R '' berada pada hiperbola, dan pada bahagian hiperbola di kuadran di mana x dan y keduanya positif, itu juga mesti menjadi intinya

kita boleh memikirkan pembinaan geometri ini sebagai mewujudkan hubungan antara w dan theta. Dan, memang, cukup jelas bahawa cosh (w) = 1 / cos (theta).

Seperti yang berlaku, 1 / cos (theta) juga dikenali sebagai sec (theta), secant dari sudut theta. Dan ada hubungan yang melibatkan kuadrat pemisah:

Jika kita menggandakan semuanya dengan cos (theta) kuasa dua, kita mendapat:

rakan lama kita dari persamaan bulatan. Jadi kenyataan bahawa lingkaran mengaitkan sinus dan kosinus menunjukkan bahawa pemisah dan tangen berkaitan dengan hiperbola.

Oleh itu, titik R '' kebetulan

yang mana identiti luar biasa

berasal, kerana w sama dengan dirinya sendiri. Atau seseorang juga boleh membalikkan ini, untuk memberikan dua definisi untuk theta dari segi w, kerana theta juga sama dengan dirinya sendiri:

dan theta adalah Gudermannian w.

Oleh kerana koordinat x dan y dari R '' dalam kedua bentuk sama, seseorang juga dapat memperoleh persamaan

dan oleh itu kita mempunyai tiga cara untuk menyatakan Gudermannian:

yang boleh ditingkatkan menjadi enam dengan mengambil timbal balik pada kedua sisi persamaan:

Dari enam formula ini, tentu saja, kita jelas dapat memperoleh enam formula untuk kebalikan dari Gudermannian. Tetapi ada juga ketujuh satu:

Pi / 4 radian, tentu saja, 45 & deg.

Dengan menggunakan nombor kompleks, satu lagi hubungan erat antara fungsi trigonometri konvensional dan fungsi trigonometri hiperbolik yang lebih remeh dapat dijumpai.

seseorang dapat memperoleh, memandangkan e ^ (a + b) = e ^ a * e ^ b untuk semua a dan b, walaupun a dan b adalah nombor kompleks, formula

yang membolehkan kita dengan mudah menyatakan e, dinaikkan ke nombor kompleks, dari segi e dinaikkan menjadi nombor nyata, dan fungsi sinus dan kosinus biasa bagi nombor nyata.

Memasukkan definisi e dinaikkan ke kekuatan kompleks ke dalam definisi fungsi trigol hiperbolik dari segi e ^ x yang diberikan di atas, seseorang dapat memperoleh identiti dengan mudah

juga memanfaatkan fakta bahawa kosinus adalah fungsi ganjil, sedangkan sinus, tangen, dan kotangen semuanya berfungsi sama.

Tetapi mungkin hubungan yang paling penting antara fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik yang melibatkan nombor kompleks terdapat dalam ini persamaan:

Ini memudahkan untuk melihat mengapa peraturan slaid dengan skala untuk fungsi hiperbolik dipanggil vektor peraturan slaid. Dengan skala untuk fungsi hiperbolik, adalah mungkin untuk mengira fungsi trig dengan nombor kompleks dengan cepat.


Nisbah Trigonometri

Gambar rajah berikut menunjukkan nisbah trigonometri menggunakan SOHCAHTOA. Tatal ke bawah halaman jika anda memerlukan lebih banyak contoh dan penyelesaian mengenai cara menggunakan nisbah trigonometri.


Nisbah Trigonometri: Sinus

Segitiga kanan mempunyai nisbah untuk mewakili sudut yang terbentuk oleh hipotenus dan kakinya. Nisbah sinus, bersama dengan nisbah kosinus dan tangen, adalah nisbah panjang dua sisi segitiga. Nisbah sinus khususnya adalah nisbah panjang sisi yang bertentangan dengan sudut yang mereka wakili di atas hipotenus. Nisbah sinus berguna dalam trigonometri ketika berurusan dengan segitiga dan bulatan.

Bagaimana untuk menentukan nisbah sinus dan mengenal pasti sinus sudut dalam segitiga tepat?

Kenal pasti hipotenus segitiga tepat.
sin θ = berlawanan / hipotenus

Masalah perkataan yang melibatkan nisbah trigonometri sinus untuk mengira ketinggian tiang

Contoh:
Kawat 55 kaki menghubungkan titik di tanah ke bahagian atas tiang. Kabel membuat sudut 60 ° dengan tanah. Cari ketinggian tiang ke kaki terdekat.

Nisbah Trigonometri: Kosin

Segitiga kanan mempunyai nisbah yang digunakan untuk mewakili sudut asasnya. Nisbah kosinus, bersama dengan nisbah sinus dan tangen, adalah nisbah dua sisi yang berlainan dari segi tiga tepat. Nisbah kosinus secara khusus adalah nisbah sisi yang bersebelahan dengan sudut dasar yang diwakili di atas hipotenus. Untuk mencari ukuran sudut, kita mesti memahami fungsi trigonometri songsang.

Bagaimana menggunakan formula Cosine (Formula CAH) untuk mencari sisi atau sudut yang hilang?

Cosine θ = bersebelahan / hipotenus

Contoh:
Cari sisi atau sudut yang hilang
a) cos 30 ° = x / 2
b) cos 37 ° = 4.2 / x
c) cos θ = 63/80

Bagaimana cara menggunakan Nisbah Sinus dan Kosinus?

Sinus, kosinus adalah nisbah trigonometri untuk sudut akut dan melibatkan panjang kaki dan hipotenus segitiga kanan.

Sudut ketinggian - Ketika melihat ke atas objek, sudut garis pandangan anda dengan garis mendatar disebut sudut ketinggian.

Sudut kemurungan - Ketika melihat ke bawah pada suatu objek, sudut pandangan anda dengan garis mendatar disebut sudut kemurungan.

  1. Cari sin U dan sin W. Tulis setiap jawapan sebagai pecahan dan sebagai perpuluhan dibundarkan ke empat tempat.
  2. Cari cos S dan cos R. Tulis setiap jawapan sebagai pecahan dan sebagai perpuluhan dibundarkan ke empat tempat.
  3. Anda berjalan dari satu sudut gelanggang bola keranjang ke sudut bertentangan. tulis dan selesaikan perkadaran menggunakan nisbah trigonometri untuk mengira jarak berjalan kaki.
  4. Anda berada di puncak roller coaster 100 kaki di atas tanah. Sudut kemurungan adalah 44 °. Mengenai sejauh mana anda menuruni bukit?
  5. Lengan melintasi kereta api yang panjangnya 20 kaki tersangkut dengan sudut ketinggian 35 °. Cari panjang x dan y.
  6. Gunakan segitiga kanan khas untuk mencari sinus dan kosinus dengan sudut 30 °.

Nisbah Trigonometri: Tangen

Segitiga kanan mempunyai nisbah yang digunakan untuk mewakili sudut asasnya. Nisbah tangen, bersama dengan nisbah kosinus dan sinus, adalah nisbah dua sisi yang berlainan dari segi tiga tepat. Nisbah tangen adalah nisbah sisi yang bertentangan dengan sisi yang bersebelahan dengan sudut yang mereka wakili. Untuk mencari ukuran sudut itu sendiri, seseorang mesti memahami fungsi trigonometri songsang.

Bagaimana cara menggunakan formula Tangent (TOA Formula)?

Tangen θ = bertentangan / bersebelahan

Contoh:
Cari sisi atau sudut yang hilang
a) tan 28 ° = x / 40
b) tan 41 ° = 1.9 / x
c) tan θ = 11/8

Aplikasi Nisbah Trigonometri (Masalah Kata yang melibatkan Tangen, Sinus dan Kosinus)

  1. Cari luas selari.
  2. Jalan setinggi 70 kaki naik dari tingkat pertama ke tingkat dua garaj tempat letak kereta. Jalan membuat sudut dengan tanah. Berapa tinggi di atas tingkat satu adalah tingkat dua?
  3. Anda melihat Encik Wandera terbang layang-layang di taman. Tali layang-layang sepanjang 65 meter. Sudut apa yang perlu dibentuk tali dengan tanah sehingga layang-layang berada 30 kaki dari tanah?
  4. Dari puncak menara pengintai 100 kaki, seorang renjer hutan melihat api pada sudut kemurungan 25 °. Sejauh mana api dari dasar menara pengintai?
  5. Tangga sepanjang 8 kaki bersandar di dinding. Tangga membuat sudut 53 ° dengan dinding. Sejauh mana tangga mencapai?

Fungsi Trigonometri songsang

Setelah kita memahami fungsi trigonometri sinus, kosinus, dan tangen, kita sudah siap belajar bagaimana menggunakan fungsi trigonometri terbalik untuk mencari ukuran sudut yang ditunjukkan oleh fungsi. Fungsi trigonometri terbalik, yang terdapat pada kalkulator saintifik atau grafik standard, adalah bahagian penting dari trigonometri dan akan sering dijumpai di Kalkulus.

Bagaimana menggunakan fungsi trigonometri songsang untuk mencari sudut dengan nilai trigonometri tertentu dan bagaimana menggunakan fungsi trigonometri songsang untuk menyelesaikan segitiga tepat?

Contoh:
Gunakan kalkulator untuk mencari sudut θ dalam selang [0, 90] yang memenuhi persamaan.

  1. sin θ = 0.7523
  2. tan θ = 3.54
  3. Selesaikan segitiga kanan yang diberikan jika a = 44.3 cm dan b = 55.9 cm.
  4. Cari setiap sudut dalam segitiga 3,4,5

Bagaimana menggunakan trig terbalik untuk mencari sudut yang hilang?

Fungsi trig terbalik digunakan untuk mencari sudut yang hilang daripada sisi yang hilang.

Cari Sudut yang hilang - Menggunakan Sinus Terbalik, Kosinus, Tangen

Cuba kalkulator Mathway dan penyelesaian masalah percuma di bawah untuk mempraktikkan pelbagai topik matematik. Cuba contoh yang diberikan, atau taipkan masalah anda sendiri dan periksa jawapan anda dengan penjelasan langkah demi langkah.

Kami mengalu-alukan maklum balas, komen dan pertanyaan anda mengenai laman web atau halaman ini. Sila hantarkan maklum balas atau pertanyaan anda melalui halaman Maklum Balas kami.


Rumusan Trigonometri: Peraturan Tanda

Pertama sekali, apa yang saya panggil peraturan tanda, kategori pertama ini mempunyai peraturan untuk bila tanda positif dan negatif x berubah. Dosa (-x) = -sin (x), tetapi cos (-x) = hanya cos (x).

Dalam bulatan unit, bermula dari 0, jika kita menggerakkan beberapa sudut mengikut arah jam dan sudut yang sama berlawanan arah jarum jam, kita akan sampai pada titik yang mempunyai koordinat-y bertentangan dan koordinat-x yang sama. Jadi dengan kata lain, kita akan bergerak dengan cara ini, dan dengan cara ini. Dan kedua titik tersebut mempunyai koordinat-x yang sama, tetapi mereka mempunyai koordinat-y yang berlawanan.

Oleh sebab itu mengapa sinus, dosa x adalah negatif antara satu sama lain, tetapi kosinus x adalah serupa.

Implikasi untuk Bentuk Grafik

Rumus ini mempunyai implikasi terhadap bentuk grafik, graf kosinus piawai adalah pantulan dirinya di atas paksi-y. Graf sinus adalah gambar dirinya di bawah 180 darjah simetri putaran di sekitar asal.

Sekarang, jika anda mengetahui idea fungsi genap dan fungsi ganjil, kosinus adalah fungsi genap dan sinus adalah fungsi ganjil. Perkara yang senang diketahui, tetapi AKTA tidak bertanya mengenai simetri seperti itu.


Sumber Web Wolfram

Alat # 1 untuk membuat Demonstrasi dan apa sahaja teknikal.

Terokai apa sahaja dengan enjin pengetahuan pengkomputeran pertama.

Terokai ribuan aplikasi percuma untuk sains, matematik, kejuruteraan, teknologi, perniagaan, seni, kewangan, sains sosial dan banyak lagi.

Sertailah inisiatif untuk memodenkan pendidikan matematik.

Selesaikan integrasi dengan Wolfram | Alpha.

Jalani masalah kerja rumah selangkah demi selangkah dari awal hingga akhir. Petunjuk membantu anda mencuba sendiri langkah seterusnya.

Masalah dan jawapan amalan rawak tanpa had dengan penyelesaian Langkah demi langkah yang terbina dalam. Berlatih dalam talian atau buat helaian belajar yang boleh dicetak.

Koleksi alat pengajaran dan pembelajaran yang dibina oleh pakar pendidikan Wolfram: buku teks dinamik, rancangan pelajaran, widget, Demonstrasi interaktif, dan banyak lagi.


3.4: Lebih Banyak Persamaan Trigonometri - Matematik

Syarat Penggunaan Orang Hubungan: Donna Roberts

Apabila fungsi trig mempunyai daya (eksponen berangka), ia harus diselesaikan dengan mengekstrak akar kuadrat (akar kubus, dll) atau dengan memfaktorkan.

Penyelesaian: Sekarang,


Sekarang, tan x = 0 menunjukkan bahawa x = 0, & pi, 2& pi.
(Lihat grafik di sebelah kanan.)

Oleh kerana fungsi sinus mempunyai nilai maksimum dan minimum +1 dan -1, tidak ada penyelesaian.

Demikian jawapannya x = 0, & pi, 2& pi satu-satunya jalan penyelesaian.

Dalam contoh ini, anda mungkin tergoda untuk membahagikan semua syarat dengan Tan x untuk mempermudah persamaan. Sekiranya ini dilakukan, persamaan di sebelah kanan akan terhasil.

Kami kehilangan Tan x istilah dan penyelesaiannya dengan membahagi dengan Tan x. Bukan langkah yang baik.

Ingatlah untuk menyelesaikan terlebih dahulu fungsi trig dan kemudian menyelesaikan untuk nilai sudut.

Sekiranya terdapat lebih daripada satu fungsi trig dalam persamaan, identiti diperlukan untuk mengurangkan persamaan menjadi satu fungsi untuk diselesaikan.

Terdapat persamaan trig, seperti persamaan normal, di mana pemfaktoran tidak berfungsi !! Dalam kes ini, formula kuadratik sangat berguna.


.

Penyelesaian: Oleh kerana terdapat dua fungsi trig dalam masalah ini, kita perlu menggunakan identiti
untuk menghilangkan salah satu daripadanya.


Sumber Web Wolfram

Alat # 1 untuk membuat Demonstrasi dan apa sahaja teknikal.

Terokai apa sahaja dengan enjin pengetahuan pengkomputeran pertama.

Terokai ribuan aplikasi percuma untuk sains, matematik, kejuruteraan, teknologi, perniagaan, seni, kewangan, sains sosial dan banyak lagi.

Sertailah inisiatif untuk memodenkan pendidikan matematik.

Selesaikan integrasi dengan Wolfram | Alpha.

Jalani masalah kerja rumah selangkah demi selangkah dari awal hingga akhir. Petunjuk membantu anda mencuba sendiri langkah seterusnya.

Masalah dan jawapan amalan rawak tanpa had dengan penyelesaian Langkah demi langkah yang terbina dalam. Berlatih dalam talian atau buat helaian belajar yang boleh dicetak.

Koleksi alat pengajaran dan pembelajaran yang dibina oleh pakar pendidikan Wolfram: buku teks dinamik, rancangan pelajaran, widget, Demonstrasi interaktif, dan banyak lagi.


Sumber Asas Persamaan

Lembaran Kerja Persamaan Asas
20 Masalah untuk membantu anda mempraktikkan kemahiran anda.

Kalkulator Persamaan
Secara automatik akan menyelesaikan persamaan dan menunjukkan semua kerja yang diperlukan.


Pelajaran Seterusnya:
Polinomial

Polinomial adalah ungkapan panjang terhingga, termasuk pemboleh ubah dengan bilangan bulat positif. Pelajaran ini menerangkan polinomial, akar polinomial, dan merangkumi pengenalan kepada polinomial kuadratik.


Jadual Nisbah Trigonometri

Jadual nisbah Trigonometri akan membantu kita mencari nilai sudut piawai trigonometri.

Sudut standard nisbah trigonometri ialah 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° dan 90 °.

Nilai nisbah trigonometri sudut piawai sangat penting untuk menyelesaikan masalah trigonometri. Oleh itu, adalah perlu untuk mengingat nilai nisbah trigonometri sudut piawai ini. Sinus, kosinus dan tangen sudut piawai diberikan di bawah dalam jadual.

Jadual Trigonometri dalam Sistem Sexagesimal

Jadual Trigonometri dalam Sistem Pekeliling

Nota: & # xa0 Nilai sin θ dan cos θ terletak antara 0 dan 1 (kedua-duanya termasuk)

Untuk mengingati nilai di atas:

(a) bahagi nombor 0, 1, 2, 3 dan 4 dengan 4,

(b) mengambil punca kuasa dua positif,

(c) nombor ini diberi nilai sin 0 °, sin 30 °, sin 45 °, sin 60 ° dan sin 90 ° masing-masing.

(d) tuliskan nilai sin 0 °, sin 30 °, sin 45 °, sin 60 ° dan sin 90 ° dalam urutan terbalik dan dapatkan nilai cos 0 °, cos 30 °, cos 45 °, cos 60 ° dan cos 90 ° masing-masing.

Sekiranya θ adalah sudut akut, nilai sin θ dan cos θ terletak di antara 0 dan 1 (keduanya termasuk).

Sinus dari sudut piawai 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° dan 90 ° masing-masing adalah punca kuasa dua positif 0 / 4,1 / 4, 2 / 4,3 / 4 dan 4/4 & # xa0

Demikian juga & # xa0cosine malaikat standard di atas masing-masing adalah punca kuasa dua positif 4/4, 3/4, 2/4, 1/4, 0/4

Oleh kerana, kita mengetahui nilai sin dan kos bagi sudut piawai dari jadual nisbah trigonometri oleh itu kita dapat dengan mudah mencari nilai nisbah trigonometri sudut piawai yang lain.

Tangen sudut piawai 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° dan 90 °:


Dalam bahagian ini, pelajar akan terus mendapat latihan menggunakan identiti trig asas dengan masalah contoh yang berfungsi sepenuhnya. Lihat pelajaran

Dalam bahagian ini, pelajar akan mengetahui apa yang disebut sebagai trigorean trig identiti, yang merupakan beberapa identiti yang paling banyak digunakan kerana mereka dikehendaki menyelesaikan banyak jenis masalah. Sin ^ 2 + Cos ^ 2 = 1 adalah jenis identiti yang paling terkenal. Kami akan membahas ini serta identiti trigagama pythagoras yang lain dan mendapat latihan dengan masalah yang diselesaikan. Lihat pelajaran

Dalam bahagian ini, pelajar akan terus mendapat latihan dengan identiti trigagama pythagoras dengan masalah contoh yang berfungsi sepenuhnya. Lihat pelajaran

Dalam bahagian ini, pelajar akan terus mendapat latihan dengan identiti trigagama pythagoras dengan masalah contoh yang berfungsi sepenuhnya. Lihat pelajaran

Dalam pelajaran ini, pelajar akan belajar bagaimana menyelesaikan persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri. Sebagai contoh, pelajar mungkin mempunyai persamaan yang melibatkan sinus sudut dan diminta untuk menyelesaikan sudut. Ini memerlukan pemahaman yang baik tentang lingkaran unit, fungsi trig, dan latihan. Lihat pelajaran

Dalam pelajaran ini, pelajar akan terus mendapat latihan dengan menyelesaikan persamaan trig dengan menyelesaikan masalah contoh langkah demi langkah tambahan. Lihat pelajaran

Dalam pelajaran ini, pelajar akan belajar mengenai identiti trig kofungsi, yang digunakan untuk menunjukkan bahawa lengkung sinus adalah versi lengkung kosinus yang beralih. Kami juga akan merangkumi identiti trig genap / ganjil yang menunjukkan apa yang berlaku apabila kita meletakkan sudut negatif ke dalam fungsi trig. Identiti ini akan dipraktikkan dengan banyak masalah contoh. Lihat pelajaran

Dalam pelajaran ini, pelajar akan belajar mengenai penambahan dan pengurangan trigonometri. Dalam identiti ini, argumen fungsi trig mengandungi dua sudut yang ditambahkan atau dikurangkan. Kami menunjukkan cara menggunakan identiti ini untuk menyelesaikan masalah. Lihat pelajaran

Dalam pelajaran ini, pelajar akan terus mendapat latihan dengan identiti penambahan dan pengurangan dengan masalah contoh langkah demi langkah. Lihat pelajaran

Dalam pelajaran ini, pelajar diperkenalkan kepada identiti sudut berganda dalam trigonometri. Identiti ini mempunyai fungsi trig dengan sudut dua kali sebagai hujah. Kami menunjukkan cara menggunakan identiti ini dengan menyelesaikan masalah langkah demi langkah. Lihat pelajaran

Dalam pelajaran ini, pelajar diperkenalkan kepada identiti kuasa dua trigonometri, yang menampilkan fungsi trigonometri. Kami menunjukkan cara menggunakan identiti ini dengan menyelesaikan masalah contoh. Lihat pelajaran

Dalam pelajaran ini, pelajar diperkenalkan kepada identiti sudut setengah dari trigonometri, yang menampilkan fungsi trig yang mempunyai argumen setengah sudut. Kami menunjukkan cara menggunakan identiti ini dengan menyelesaikan masalah contoh. Lihat pelajaran

Dalam pelajaran ini, pelajar diperkenalkan kepada identiti produk-ke-jumlah trigonometri, yang menampilkan fungsi trig yang dikalikan bersama dan diperluas menjadi jumlah. Kami menunjukkan cara menggunakan identiti ini dengan menyelesaikan masalah contoh. Lihat pelajaran

Dalam pelajaran ini, pelajar diperkenalkan kepada identiti jumlah-ke-produk trigonometri, yang menampilkan fungsi trig yang ditambahkan bersama dan dipermudahkan menjadi produk. Kami menunjukkan cara menggunakan identiti ini dengan menyelesaikan masalah contoh. Lihat pelajaran

Dalam pelajaran ini, pelajar diperkenalkan dengan hukum sinus, yang merupakan hubungan yang sangat berguna yang berlaku untuk semua segitiga. Kami menerangkan apa itu undang-undang sinus, cara menggunakannya, dan menunjukkan kepada pelajar dengan masalah contoh. Lihat pelajaran

Dalam pelajaran ini, pelajar akan terus mendapat latihan dengan undang-undang sinus dengan masalah contoh langkah demi langkah yang telah diusahakan sepenuhnya. Lihat pelajaran

Dalam pelajaran ini, pelajar akan diperkenalkan dengan hukum Cosines, yang berlaku untuk semua segitiga dan sangat kuat. Pada dasarnya, hukum kosinus adalah bentuk teorema pythagoras yang diperluas, dan dapat digunakan untuk mencari sisi dan sudut segitiga yang tidak diketahui. Lihat pelajaran

Dalam pelajaran ini, pelajar akan terus mendapat latihan dengan undang-undang Cosines dengan masalah contoh yang berfungsi sepenuhnya. Lihat pelajaran