Artikel

12.E: Latihan - Matematik

12.E: Latihan - Matematik



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

1. Dalam setiap yang berikut, temukan matriks (A, x, ) dan (b ) sehingga sistem persamaan linear yang diberikan dapat dinyatakan sebagai persamaan matriks tunggal (Ax = b. )

[(a) ~~ kiri. bermula {array} {ccccccc} 2x_1 & - & 3x_2 & + & 5x_3 & = & 7 9x_1 & - & x_2 & + & x_3 & = & -1 x_1 & + & 5x_2 & + & 4x_3 & = & 0 end {array} kanan } ~~~ (b) ~~ kiri. start {array} {ccccccccc} 4x_1 &&& - & 3x_3 & + & x_4 & = & 1 5x_1 & + & x_2 &&& - & 8x_4 & = & 3 2x_1 & - & 5x_2 & + & 9x_3 & - & x_4 & = & 0 && 3x_2 & - & x_3 & 7x_4 & = & 2 end {array} kanan } ]

2. Dalam setiap perkara berikut, ungkapkan persamaan matriks sebagai sistem persamaan linear.

[(a) kiri [ begin {array} {ccc} 3 & -1 & 2 4 & 3 & 7 -2 & 1 & 5 end {array} kanan] kiri [ mula { array} {c} x_1 x_2 x_3 end {array} kanan] = kiri [ begin {array} {c} 2 -1 4 end {array} kanan] ~~ ~ (b) kiri [ begin {array} {cccc} 3 & -2 & 0 & 1 5 & 0 & 2 & -2 3 & 1 & 4 & 7 -2 & 5 & 1 & 6 end {array} kanan] kiri [ begin {array} {c} w x y z end {array} kanan] = kiri [ start {array} {c} 0 0 0 0 end {array} kanan] ]

3. Katakan bahawa (A, B, C, D, ) dan (E ) adalah matriks di atas ( mathbb {F} ) yang mempunyai ukuran berikut:

[A { it {~ is ~}} 4 kali 5, ~~ B { it {~ is ~}} 4 kali 5, ~~ C { it {~ is ~}} 5 kali 2 , ~~ D { it {~ is ~}} 4 kali 2, ]

Tentukan sama ada ungkapan matriks berikut ditentukan, dan, bagi yang dinyatakan, tentukan ukuran matriks yang dihasilkan.

[(a) ~ BA ~~~ (b) ~ AC + D ~~~ (c) ~ AE + B ~~~ (d) ~ AB + B ~~~ (e) ~ E (A + B) ~~~ (f) E (AC) ]

4. Katakan bahawa (A, B, C, D, ) dan (E ) adalah matriks berikut:

[A = kiri [ begin {array} {cc} 3 & 0 -1 & 2 1 & 1 end {array} kanan], ~ B = kiri [ start {array} {cc} 4 & -1 0 & 2 end {array} kanan], ~ C = kiri [ begin {array} {ccc} 1 & 4 & 2 3 & 1 & 5 end {array} kanan], D = kiri [ begin {array} {ccc} 1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4 end {array} kanan], { it {~ dan ~} } E = kiri [ begin {array} {ccc} 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 end {array} kanan]. ]

Tentukan sama ada ungkapan matriks berikut ditentukan, dan, bagi yang dinyatakan, hitung matriks yang dihasilkan.

((a) ~ D + E ~~ (b) ~ D - E ~~ (c) ~ 5A ~~ (d) ~ -7C ~~ (e) ~ 2B - C
(f) ~ 2E - 2D ~~ (g) ~ -3 (D + 2E) ~~ (h) ~ A - A ~~ (i) ~ AB ~~ (j) ~ BA
(k) ~ (3E) D ~~ (l) ~ (AB) C ~~ (m) ~ A (BC) ~~ (n) ~ (4B) C + 2B ~~ (o) ~ D - 3E
(p) ~ CA + 2E ~~ (q) ~ 4E - D ~~ (r) ~ DD )

5. Katakan bahawa (A, B, ) dan (C ) adalah matriks berikut dan bahawa (a = 4 ) dan (b = 7. )

[A = kiri [ begin {array} {ccc} 1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4 end {array} kanan], B = kiri [ mulakan {array} {ccc} 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 end {array} kanan], { it {~ dan ~}} C = kiri [ start {array} {ccc} 1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4 end {array} kanan]. ]

Sahkan pengiraannya
((a) ~ A + (B + C) = (A + B) + C ~~~ (b) ~ (AB) C = A (BC)
(c) ~ (a + b) C = aC + bC ~~~ (d) ~ a (B - C) = aB - aC
(e) ~ a (BC) = (aB) C = B (aC) ~~~ (f) A (B - C) = AB - AC
(g) ~ (B + C) A = BA + CA ~~~ (h) a (bC) = (ab) C
(i) ~ B - C = -C + B )

6. Katakan bahawa (A ) adalah matriks
[A = kiri [ begin {array} {cc} 3 & 1 2 & 1 end {array} kanan] ]
Kira (p (A) ), di mana (p (z) ) diberikan oleh
((a) ~ p (z) = z - 2 ~~~ (b) ~ p (z) = 2z ^ 2 - z + 1
(c) ~ p (z) = z ^ 3 - 2z + 4 ~~~ (d) ~ p (z) = z ^ 2 - 4z + 1 )

7. Nyatakan matriks (A, B, C, D, ) dan (E ) oleh

[A = kiri [ begin {array} {cc} 3 & 1 2 & 1 end {array} kanan], ~ B = kiri [ start {array} {cc} 4 & -1 0 & 2 end {array} kanan], ~ C = kiri [ begin {array} {ccc} 2 & -3 & 5 9 & -1 & 1 1 & 5 & 4 end {array} kanan] , D = kiri [ begin {array} {ccc} 1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4 end {array} kanan], { it {~ dan ~ }} E = kiri [ begin {array} {ccc} 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 end {array} kanan]. ]

Faktorkan setiap matriks menjadi produk matriks dasar dan matriks RREF.
(b) Cari, jika boleh, pemfaktoran LU setiap matriks.
(c) Tentukan sama ada setiap matriks ini boleh dibalikkan, dan, jika boleh, hitung kebalikannya.

8. Katakan bahawa (A, B, C, D, ) dan (E ) adalah matriks berikut:

[A = kiri [ begin {array} {cc} 3 & 0 -1 & 2 1 & 1 end {array} kanan], ~ B = kiri [ start {array} {cc} 4 & -1 0 & 2 end {array} kanan], ~ C = kiri [ begin {array} {ccc} 1 & 4 & 2 3 & 1 & 5 end {array} kanan], D = kiri [ begin {array} {ccc} 1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4 end {array} kanan], { it {~ dan ~} } E = kiri [ begin {array} {ccc} 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 end {array} kanan]. ]

Tentukan sama ada ungkapan matriks berikut ditentukan, dan, bagi yang dinyatakan, hitung matriks yang dihasilkan.

((a) ~ 2A ^ T + C ~~~ (b) ~ D ^ T - E ^ T ~~~ (c) ~ (D - E) ^ T
(d) ~ B ^ T + 5C ^ T ~~~ (e) ~ frac {1} {2} C ^ T - frac {1} {4} A ~~~ (f) ~ BB ^ T
(g) ~ 3E ^ T - 3D ^ T ~~~ (h) ~ (2E ^ T - 3D ^ T) ^ T ~~~ (i) ~ CC ^ T
(j) ~ (DA) ^ T ~~~ (k) ~ (C ^ TB) A ^ T ~~~ (l) ~ (2D ^ T - E) A
(m) ~ (BA ^ T - 2C) ^ T ~~~ (n) ~ B ^ T (CC ^ T - A ^ TA) ~~~ (o) ~ D ^ TE ^ T - (ED) ^ T
(p) ~ surih (DD ^ T) ~~~ (q) ~ surih (4E ^ T - D) ~~~ (r) ~ jejak (C ^ TA ^ T + 2E ^ T) )

1. Biarkan (n in mathbb {Z} _ + ) menjadi bilangan bulat positif dan (a_ {i, j} in mathbb {F} ) menjadi skalar untuk (i, j = 1, ldots, n. ) Buktikan itu
dua pernyataan berikut adalah setara:
(a) Penyelesaian sepele (x_1 = cdots = x_n = 0 ) adalah satu-satunya penyelesaian untuk sistem persamaan homogen
[ dibiarkan. begin {array} {ccc} sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {1, k} x_k & = & 0 & vdots & sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {n, k} x_k & = & 0 end {array} kanan }. ]

(b) Untuk setiap pilihan skalar (c_1, ldots, c_n in mathbb {F}, ) ada penyelesaian untuk sistem persamaan [ kiri. begin {array} {ccc} sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {1, k} x_k & = & c_1 & vdots & sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {n, k} x_k & = & c_n end {array} kanan }. ]
2. Biarkan (A ) dan (B ) menjadi sebarang matriks.
(a) Buktikan bahawa jika kedua (AB ) dan (BA ) didefinisikan, maka (AB ) dan (BA ) kedua-duanya adalah matriks persegi.
(b) Buktikan bahawa jika (A ) mempunyai ukuran (m kali n ) dan (ABA ) didefinisikan, maka (B ) mempunyai ukuran (n kali m. )
3. Katakan bahawa (A ) adalah matriks yang memuaskan (A ^ T A = A. ) Buktikan bahawa (A ) kemudiannya adalah matriks simetrik dan (A = A ^ 2. )
4. Andaikan (A ) adalah matriks segitiga atas dan (p (z) ) adalah sebarang polinomial. Buktikan atau beri contoh contoh: (p (A) ) adalah matriks segitiga atas.


Untuk data berikut, berapa banyak cara data dapat disusun (termasuk susunan asal) sehingga kelebihan mean Kumpulan Eksperimen berbanding min Kumpulan Kontrol adalah sama besar atau lebih besar daripada susunan asal?

Percubaan Kawal
5 1
10 2
15 3
16 4
17 9

Untuk data dalam Masalah 1, berapa banyak cara data dapat disusun semula?

Apakah kebarangkalian satu-satu untuk ujian perbezaan?

Untuk data berikut, berapa banyak cara data dapat disusun semula?

T1 T2 Kawal
7 14 0
8 19 2
11 21 5

Secara amnya, adakah ujian pengacakan peringkat atau ujian pengacakan lebih kuat?

Apakah kelebihan ujian pengacakan peringkat berbanding ujian pengacakan?

Uji sama ada perbezaan antara syarat untuk data dalam Masalah 1 adalah signifikan (satu ekor) pada tahap (0,01 ) menggunakan ujian rawak peringkat.


12.3: Petak Penyebaran

Q 12.3.1

Pariti Kuasa Pembelian Produk Dalam Negeri Kasar adalah petunjuk nilai mata wang negara & rsquos berbanding negara lain. Jadual menunjukkan PPP KDNK Cuba berbanding dolar AS. Bina plot penyebaran data.

Tahun PPP Cuba & rsquos Tahun PPP Cuba & rsquos
1999 1,700 2006 4,000
2000 1,700 2007 11,000
2002 2,300 2008 9,500
2003 2,900 2009 9,700
2004 3,000 2010 9,900
2005 3,500

S 12.3.1

Q 12.3.2

Jadual berikut menunjukkan kadar kemiskinan dan penggunaan telefon bimbit di Amerika Syarikat. Bina plot penyebaran data

Tahun Kadar Kemiskinan Penggunaan Selular per Kapita
2003 12.7 54.67
2005 12.6 74.19
2007 12 84.86
2009 12 90.82

Q 12.3.3

Adakah kos pengajian yang lebih tinggi diterjemahkan menjadi pekerjaan dengan gaji lebih tinggi? Jadual ini menyenaraikan sepuluh kolej terbaik berdasarkan gaji pertengahan kerjaya dan kos pengajian tahunan yang berkaitan. Bina plot penyebaran data.

Sekolah Gaji Pertengahan Kerjaya (dalam ribuan) Tuisyen Tahunan
Princeton 137 28,540
Harvey Mudd 135 40,133
CalTech 127 39,900
Akademi Tentera Laut AS 122 0
Titik Barat 120 0
MIT 118 42,050
Universiti Lehigh 118 43,220
NYU-Poli 117 39,565
Kolej Babson 117 40,400
Stanford 114 54,506

S 12.3.3

Untuk grafik: periksa penyelesaian pelajar & rsquos. Perhatikan bahawa tuisyen adalah pemboleh ubah tidak bersandar dan gaji adalah pemboleh ubah bersandar.

Q 12.3.4

Sekiranya tahap keertian adalah 0.05 dan (p teks <-value> ) ialah 0.06, apakah kesimpulan yang dapat anda buat?

Q 12.3.5

Sekiranya terdapat 15 titik data dalam satu set data, berapakah bilangan darjah kebebasan?

S 12.3.5


Seksyen 1
20 soalan

Jumlah masa untuk bahagian ini: 35 Minit
Anda boleh menggunakan kalkulator asas pada bahagian ini.

Kuantiti A

Kuantiti B

Faktor perdana paling rendah 77

Faktor perdana paling rendah iaitu 136

C. Kedua-dua kuantiti itu sama.

D. Hubungan tidak dapat ditentukan dari maklumat yang diberikan.

2- 4 peratus (x ) sama dengan 6 peratus (y ), di mana (x ) dan (y ) adalah nombor positif.


(1). KERTAS MITIHANI ILIYOPITA / LULUS

SHULE ZA MSINGI KAWAIDA (DRS I - VII) & amp SEKOLAH PRIMER BAHASA INGGERIS STD I - VII

MASWALI NA MAJIBU / SOALAN & amp JAWAPAN

(2). MITIHANI YA TAIFA ILIYOPITA (DRS 3 & amp 4)

1998 --- 2019 --- MASWALI NA MAJIBU

--- NUKUU ZA SOMO - DARASA LA 3 & amp 4 - MUUNDO MPYA

(3). PEPERIKSAAN KEBANGSAAN LULUS (STD 3 & amp 4) - PERTANYAAN DAN JAWAPAN --- 1998--2019

--- STANDARD EMPAT (STD 4) PENILAIAN KEBANGSAAN (SFNA) - NECTA 2019 --- 1998, 2019 - KERTAS-MATEMATIK, BAHASA INGGERIS, KISWAHILI, SAINS & amp TEKNOLOGI, PENGAJIAN SOSIAL, SIVIK & PENDIDIKAN MORAL - SOALAN DENGAN JAWAPAN - FORMAT BARU - SYLLABUS

--- STANDARD EMPAT (STD 3 & amp 4) - CATATAN KAJIAN - FORMAT BARU - SYLLABUS.

(4). MITIHANI YA TAIFA ILIYOPITA (DRS LA 5, 6 & amp 7--1989 --- 2018 - MASWALI NA MAJIBU.

--- NUKUU ZA SOMO --- DARASA LA 5, 6 & amp 7 - MUUNDO MPYA

(5). PEPERIKSAAN KEBANGSAAN LULUS - STD 5,6 & amp 7-
1989--2019

---- STANDARD 5, 6 & amp 7 - CATATAN KAJIAN - FORMAT BARU - SYLLABUS

(6) .MITIHANI YA MAZOEZI / MAJARIBIO / UTAMILIFU / KUJIPIMA / PEPERIKSAAN PERCUBAAN / KERTAS UJIAN --- DRS I --- VII / STD I - VII --- MASWALI NA MAJIBU.

Bahan-bahan Yetu ni SOFTCOPY (PDF or WORD), utatumiwa kwa EMAIL yako baada ya Malipo kwa MPESA NAMBA (0755400128 / JAPHET CHIBAJILO), TIGO PESA NAMBA (0716924136 / JAPHET MASATU), WANG UDARA (0688361539)

Panggilan / Mesej / WhatsApp + 255716924136 / + 255 755 400128 / + 255 688 361 539 / + 255 629 748 937


S12.33

Memohon Teorema Orthogonality Hebat,

ke (C_ <3v> ) kumpulan titik yang diberikan di mana

[ Gamma_E = [E_1 E_2 E_3 E_4 E_5 E_6] ]

( (h ) adalah bilangan elemen ( Gamma_i ) dan (d_i ) adalah panjang pepenjuru unsur matriks ( Gamma_i ))

S12.33

Sekiranya kita menganggap bahawa (i = j = E_i ) dan itu (m = m ', n = n' ), persamaan umum kelihatan seperti

kita mesti memilih elemen yang sama bagi setiap matriks, memadankannya, dan menambahkannya semua. Kesemuanya harus sama dengan (/ frac=3).

untuk kes yang tidak sama, ( (m neq m ') dan (n neq n' )) kita boleh menggunakan produk unsur-unsur dan ia seharusnya berjumlah sifar.

S12.34

Dengan menggunakan Teorema Orthogonality Hebat, biarkan i = j, m = n, dan m '= n' dan jumlah keseluruhan n dan n 'untuk menunjukkan bahawa

S12.34

Ingat bahawa ( chi_( topi) ) ditakrifkan sebagai watak dari jperwakilan yang tidak dapat diredakan dari ( topi), yang dari segi unsur matriks, diberikan oleh

Kami kini menggunakan teorem orthogonality yang hebat untuk mencari persamaan penjumlahan:

S12.35

Tentukan jadual watak untuk (C_i ) yang mempunyai unsur-unsur simetri E dan i.

S12.35

Oleh kerana terdapat dua elemen simetri, terdapat dua baris ke jadual watak yang juga mempunyai 2x2. Baris pertama benar-benar simetrik untuk kedua operasi sementara yang kedua adalah antisimetri berkenaan dengan pusat penyongsangan. Oleh itu, jadual watak adalah seperti gambar di bawah.

S12-36

Jadual watak kumpulan titik ((C_i ) diberikan oleh

Tunjukkan bahawa asas bagi kumpulan titik ini adalah fungsi genap dan ganjil dalam selang waktu (-a, a). Nilai integrasi asas ini menggunakan teori kumpulan untuk menetapkan prinsip simetri.

S12-36

Menerapkan pengendali penyongsang ke fungsi,

Ini menunjukkan bahawa f (genap) milik Ag dan f (ganjil) milik Au. Akibatnya fungsi-fungsi ini menjadi asas bagi kumpulan titik (C_i ).

$ RS_= int<>> ^ * R phi_ d tau = S_= int < phi_> ^ * phi_ d tau $ dengan nilai Sij tidak berubah oleh operasi simetri kumpulan titik.

Turunkan orbital simetri untuk pusar butadiena dengan menggunakan operator penjana

ke orbit 2pz atom pada setiap atom karbon. Kenal pasti perwakilan yang tidak dapat direduksi yang dimiliki oleh setiap orbit simetri yang dihasilkan. Dapatkan penentu sekular Huckel.

S12.37

Butadiene tergolong dalam kumpulan titik C2h. Menunjukkan orbit 2pz pada $ C_$ sebanyak $ psi_$

Menggunakan Psi 1 dan 2 (perkara menjadi sangat membingungkan selepas garis ini, terutamanya bahagian persamaan & quot = 0 ( alpha psi_ <1> - psi_ <4> )? -RM)

Prosesnya tidak begitu jelas mengenai bagaimana anda mendapatkan penyelesaiannya. mungkin menjelaskan sedikit lebih baik bagaimana matematik berfungsi.

S12.41

Molekul tetrahedral sewenang-wenang ( (AB_ <4> )) milik Td kumpulan titik mempunyai perwakilan yang boleh dikurangkan: ( Gamma ) = 4 1 0 0 2. Tunjukkan bahawa:

  1. unsur-unsur simetri kumpulan titik memberikan perwakilan ini, dan
  2. ia boleh dikurangkan sebagai ( Gamma ) = (A_ <1> + T_ <2> ).

Akhirnya, buktikan bahawa sp 3 orbit dengan Td simetri dapat dibentuk.

S12.41

a.) Dengan menerapkan unsur-unsur simetri, kita melihat bahawa:

  • ( topi) membiarkan semua 4 ikatan tidak bergerak
  • ( topi> ) meninggalkan 1 ikatan yang tidak bergerak
  • ( topi> ) meninggalkan 0 ikatan yang tidak dipindahkan
  • ( topi> ) meninggalkan 0 ikatan yang tidak dipindahkan
  • ( topi < sigma_> ) meninggalkan 2 ikatan yang tidak bergerak

Hasilnya adalah perwakilan yang dapat dikurangkan ( Gamma ) = 4 1 0 0 2.

b.) Menulis semula unsur-unsur simetri dari segi perwakilan yang tidak dapat direduksi, kami melihat bahawa:

  • ( alpha_> = dfrac <1> <24> (4 + 8 + 0 + 0 + 12) = 1 )
  • ( alpha_> = dfrac <1> <24> (4 + 8 + 0 + 0-12) = 0 )
  • ( alpha_ = dfrac <1> <24> (8-8 + 0 + 0 + 0) = 0 )
  • ( alpha_> = dfrac <1> <24> (12 + 0 + 0 + 0-12) = 0 )
  • ( alpha_> = dfrac <1> <24> (12 + 0 + 0 + 0 + 12) = 1 )

Dengan menggunakan ( alpha ) sebagai pekali dan mengambil jumlah 5 persamaan ini, kita dapat menulis semula perwakilan yang dapat dikurangkan sebagai ( Gamma ) = (A_ <1> + T_ <2> ).

c.) Orbit 2 p semuanya mempunyai simetri (T_ <2> ) untuk (T_) molekul, sehingga mereka dapat bergabung untuk membentuk orbital hibrid (T_ <2> ). Semua orbital s sama simetri kerana bentuk sferanya, menjadikannya (A_ <1> ). Menjumlahkan orbit 3 p dan orbit s akan memberikan orbit hibrid dari simetri (A_ <1> + T_ <2> ) yang diinginkan.

- Soalan menarik. Saya suka penjelasan mengenai bagaimana orbit Sp3 dengan simetri (T_2 ) dapat dibentuk

S12.42

Pertimbangkan molekul oktahedral XY 6 yang kumpulan titiknya adalah Oh. Buktikan perwakilan O yang tidak dapat direduksih ialah ( Gamma ) = A1g + Eg + T1u.

S12.43

S12.43

Pertimbangkan molekul oktahedral XY 6 yang kumpulan titiknya adalah Oh. Buktikan perwakilan O yang tidak dapat direduksih ialah ( Gamma ) = A1g + Eg + T1u.

S12.43

Oleh itu, perwakilan yang tidak dapat dikurangkan menjadi ( Gamma = A_1 + A_2 + E ) & # 65279


Latihan, Masalah, dan Penyelidikan Matematik

Kualiti pelajar matematik belajar bergantung pada tugas atau aktiviti matematik yang kita biarkan pelajar terlibat.

Aktiviti / tugas matematik boleh dikategorikan kepada tiga jenis: latihan, penyelesaian masalah, dan penyelidikan matematik.

Latihan standard

Ini adalah aktiviti dengan prosedur / strategi dan matlamat yang jelas. Latihan standard digunakan untuk penguasaan kemahiran yang baru dipelajari & # 8211 komputasi, penggunaan instrumen, dan bahkan istilah atau perbendaharaan kata baru. Ini adalah aktiviti pembelajaran yang penting tetapi mesti digunakan secara sederhana. Sekiranya pengajaran kita dikuasai oleh aktiviti ini, pelajar akan mula berfikir bahawa matematik hanya mengenai fakta dan prosedur pembelajaran. Ini sangat berbahaya.

Aktiviti penyelesaian masalah

Ini adalah aktiviti yang melibatkan matlamat yang ditentukan dengan jelas tetapi penyelesaian atau strategi tidak begitu jelas. Pelajar membuat keputusan mengenai yang terakhir. Sekiranya pelajar sudah tahu bagaimana menyelesaikan masalah itu maka tidak lagi menjadi masalah. Ia adalah latihan. Klik di sini untuk ciri-ciri tugas penyelesaian masalah yang baik. Dikatakan bahawa penyelesaian masalah adalah inti matematik. Bolehkah anda bayangkan matematik tanpa penyelesaian masalah?

Penyiasatan matematik

Ini adalah aktiviti yang melibatkan penerokaan situasi matematik terbuka. Pelajar bebas memilih aspek situasi yang ingin dia lakukan dan bagaimana untuk melakukannya. Para pelajar menimbulkan masalah mereka sendiri untuk menyelesaikan dan melanjutkannya ke arah yang ingin mereka jalani. Dalam aktiviti ini, pelajar mengalami bagaimana ahli matematik berfungsi dan bagaimana menjalankan penyelidikan matematik. Saya tahu ada sebilangan ibu bapa dan guru yang tidak menyukai penyelidikan matematik. Berikut adalah beberapa sebab mengapa kita perlu membiarkan pelajar kita melaluinya.

  1. Pelajar membina soalan, pendekatan, dan hasil, yang paling tidak adalah produk asli
  2. Pelajar menggunakan kaedah umum yang sama yang digunakan oleh ahli matematik penyelidikan. Mereka bekerja melalui kitaran pengumpulan data, visualisasi, abstraksi, dugaan dan bukti.
  3. Ini memberi pelajar peluang untuk berkomunikasi secara matematik: menerangkan pemikiran mereka, menulis definisi dan dugaan, menggunakan simbol, membenarkan kesimpulan mereka, dan menulis dan membaca matematik.
  4. Apabila penyelidikan melibatkan kelas atau kumpulan, ia menjadi ‘komuniti ahli matematik’ yang saling berkongsi dan membina soalan, dugaan dan teorema masing-masing.

Pelajar perlu didedahkan dengan semua jenis aktiviti matematik ini. Sangat disayangkan bahawa buku teks dan banyak kelas matematik dikuasai oleh latihan daripada menyelesaikan masalah dan tugas penyiasatan, mewujudkan kesalahpahaman bahawa matematik mengenai menguasai kemahiran dan mengikuti prosedur dan bukan cara berfikir dan berkomunikasi.

Contoh tugas ini ditunjukkan dalam gambar di bawah:

Klik di sini dan di sini untuk contoh pengajaran menggunakan penyiasatan matematik.


JSS1 Matematik Soalan dan Jawapan Lalu

1. Tuliskan yang berikut dalam angka: lima bilion, empat juta, tiga ribu dua ratus.

(a) 543 200 (b) 5,004 004 200 (c) 5 400 300 200

(d) 5 40 330 200 (e) 5 440 330 200

2. Sekiranya nombor bulat dibahagikan kepada dua bahagian yang sama, setiap bahagian disebut ___

(a) bahagian (b) suku (c) setengah
(d) tiada pecahan (e) pembahagi.

3. Sekiranya keseluruhan dibahagikan kepada empat bahagian yang sama, setiap bahagian disebut ___
(a) bahagian (b) pecahan (c) sekeping
(d) keseluruhan (e) seperempat

4. Dalam pecahan, jika penyebutnya lebih besar daripada pengangka, ini disebut ___
(a) pecahan tidak wajar (b) pecahan kuat (c) pecahan wajar
(d) pecahan campuran (e) pecahan setara

5. Tukarkan nombor bercampur ini menjadi pecahan tidak wajar
(a) 19/5 (b) 9/5 c) 7/5 (d) 6/5 (e) 15/5

6. Nombor yang hanya mempunyai 1 dan sebagai faktor disebut ___
(a) nombor perdana (b) faktor prima (c) nombor tidak betul
(d) nombor faktor (e) nombor faktor

7. Tuliskan 101dua di pangkalan 10
(a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) 2 (e) 1

8. Tukarkan 23
(a) 7 (b) 8 (c) 9 (d) 10 (e) 11

10. Bundarkan 65 hingga sepuluh yang terdekat.
(a) 40 (b) 50 (c) 60 (d) 70 (e) 80

11. Tambah 111, 101
(a) 1000 (b) 1010 (c) 1001 (d) 1100 (e) 1011

12. Berapakah nilai x? X + 4 = 7
(a) 14 (b) 3 (c) 2 (d) 1 (e) 0

13. Cari nilai x. 3x = 36
(a) 6 (b) 8 (c) 10 (d) 12 (e) 13

14. Permudahkan 6x + 5y + 4x-3y
(a) 6x + 2y (b) 8x + 2y (c) 10x + 2y
(d) 12x + 2y (e) 14x + 2y

15. Selesaikan persamaan 4y / 3 = 4
(a) 6 (b) 5 (c) 4 (d) 3 (e) 2

16. Sebuah kubus mempunyai berapa muka?
(a) 14 (b) 12 (c) 8 (d) 6 (e) 2

17. Sebuah silinder mempunyai berapa tepi?
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8 (e) 10

18. Formula untuk mengira luas segitiga ialah
(a) 1 / 5bh (b) 1 / 4bh (c) 1 / 3bh
(d) 1 / 2bh (e) 2bh.

19. Apabila dua atau lebih bentuk satah membentuk bentuk lain, bentuk yang terbentuk disebut
(a) bentuk kampus (b) bentuk komposit (c) bentuk konsert
(d) bentuk segitiga (e) bentuk luas

20. Sebuah kubus Maggi adalah contoh apa?
(a) kuboid (b) kubus (c) silinder
(d) bulatan (e) trapezium.


Latihan 3.9

Cth 3.9.1 Untuk setiap $ n $ yang diberikan, cari set $ R_d $, $ G_e $ dan sahkan Teorem 3.9.4.

Cth 3.9.2 Berikan bukti langsung Teorem 3.9.4 untuk kes bahawa $ n = p ^ a $ ($ p $ prime) menggunakan Teorem 3.8.4.

Cth 3.9.3 Berikan bukti langsung Teorem 3.9.4 untuk kes $ n = pq $, di mana $ p $ dan $ q $ adalah bilangan prima yang berbeza.

Cth 3.9.4 Tunjukkan bahawa jika $ n $ positif dan $ (a, n) = g $, maka $ wujud x (ax equiv b pmod n) $ iff $ g | b $.

Katakan kita cuba mencari semua penyelesaian untuk $ ax equiv b pmod n. $ Biarkan $ g = (a, n) $. Sekiranya $ g notdiv b $, maka tidak ada penyelesaian, oleh masalah terakhir. Jika tidak, $ a = rg $, $ b = sg $, dan $ n = n'g $. Jadi dengan latihan 8 bahagian 3.1, $ rx equiv s pmod <>. $ Dengan latihan 4 dari bahagian 3.4, $ r $ dan $ n '$ agak utama. Oleh itu oleh Teorem 3.4.2 terdapat $ t $ sehingga $ tr equiv 1 pmod $, dan $ x equiv trx equiv ts pmod <>. $ Jadi, jika $ x $ adalah penyelesaian untuk $ ax equiv b pmod n $, maka $ x equiv ts pmod$. Sebenarnya, setiap $ x $ semacam itu benar-benar penyelesaian: Anggaplah $ x = n'q + ts $ dengan harga $ q $. Kemudian $ eqalign $ jadi $ ax equiv b pmod$.

Contoh: $ 12x equiv 10 pmod <28> $ tidak mempunyai penyelesaian kerana $ (12,28) = 4 notdiv 10 $. Walau bagaimanapun, jika kita menganggap masalah yang sedikit berbeza, $ 12x equiv 8 pmod <28>, $ kita dapat mengurangkannya menjadi $ 3x equiv 2 pmod 7. $ Perhatikan bahawa $ 3 cdot 5 equiv 1 pmod 7 $ , jadi jawapannya ialah $ x equiv 10 equiv 3 pmod 7, $ ie, $ x in <& hellip, -11, -4,3,10, & hellip > $.

Cth 3.9.5 Selesaikan kesesuaian berikut:

Cth 3.9.6 Katakan $ n = p_1 ^ cdots p_i ^$, di mana $ e_1 $, & hellip, $ e_i $ positif $ m = p_1 cdots p_i $ dan $ [x] in Z_n $. Tunjukkan bahawa terdapat bilangan bulat positif $ k $ sehingga $ [x] ^ k = [0] $ iff $ m vert x $.

Subset $ Z_n $ yang terdiri daripada unsur $ [x] $ sehingga $ [x] ^ k = [0] $ untuk beberapa $ k $, disebut sebagai radikal dari $ Z_n $.

Cth 3.9.7 Sekiranya $ [x] $ berada dalam radikal $ Z_n $, tunjukkan bahawa $ [1-x] in U_n $.


MATH246 Persekitaran Latihan (beta)

Untuk sebarang matriks (m kali m ), (e ^ = N_0 (t) < bf I> + N_1 (t) < bf A> + cdots + N_(t) < bf A> ^), di mana (N_0 (t), N_1 (t), cdots, N_(t) ) adalah set penyelesaian asas semula jadi untuk (m ^)-persamaan pembezaan pesanan yang sepadan dengan matriks (< bf A> ) (dengan masa awal (0 )).

Set penyelesaian asas semula jadi (N_0 (t), N_1 (t), cdots, N_(t) ) dapat diperoleh dengan menyelesaikan (m ^)-persamaan pembezaan pesanan (p ( Dop) y = 0 ), dengan keadaan awal umum (y (0) = y_0, y & # 39 (0) = y_1, cdots, y ^ <(m -1)> (0) = y_), di mana (p (z) ) adalah ciri polinomial ( ABld )

Penyelesaian untuk masalah nilai awal, ( xBld & # 39 = ABld xBld ) dengan ( xBld (0) = xBld ^ <0> ), diberikan oleh ( xBld (t) = e ^ xBld ^ <0> ).

Betul atau salah (Perkara berikut hanya merujuk kepada matriks (2 kali 2 ))

Latihan 2

Sekiranya ciri polinomial yang sesuai dengan matriks ( ABld ), mempunyai punca sebenar yang sederhana ( mu pm nu ), maka (e ^ = e ^ < mu t> kiri [ cos ( nu t) < IBld> + frac < sin ( nu t)> < nu> (< ABld> - mu < IBld> ) kanan] ). (Catatan: ( mu pm nu ) diperoleh dengan melengkapkan kuadrat pada polinomial ciri (iaitu ((z- mu) ^ 2 - delta) ) dengan ( nu = sqrt < delta> ))

Sekiranya ciri polinomial yang sepadan dengan matriks ( ABld ), mempunyai punca berganda ( mu ), maka (e ^ = e ^ < mu t> kiri [< IBld> + t (< ABld> - mu < IBld>) kanan] )

Sekiranya ciri polinomial yang sesuai dengan matriks ( ABld ), mempunyai akar konjugat kompleks ( mu pm i nu ), maka (e ^ = e ^ < mu t> kiri [ cosh ( nu t) < IBld> + frac < sinh ( nu t)> < nu> (< ABld> - mu < IBld> ) kanan] )

Latihan 3

Biarkan ( ABld ) menjadi matriks (2 kali 2 ). Gunakan Teorema Caley-Hamilton untuk mendapatkan formula bagi pembalikan ( ABld = begin a_ <11> & amp a_ <12> a_ <21> & amp a_ <22> akhir), [ ABld ^ <-1> = frac <1> < det kiri ( ABld kanan)> bermula a_ <22> & amp -a_ <12> -a_ <21> & amp a_ <11> akhir.]

Latihan 4

Latihan 5

Pertimbangkan matriks [ ABld = begin 0 & amp 1 & amp 1 1 & amp 0 & amp 1 1 & amp 1 & amp 0 end] Memandangkan ciri polinomial adalah (p (z) = z ^ 3 - 3z -2 ), gunakan Teorem Caley-Hamilton untuk mencari kebalikan dari ( ABld ).

Latihan 6

Dalam teks tersebut dinyatakan bahawa untuk sebarang matriks (n kali n ) pemalar ( ABld ) dan mana-mana (t ) dan (s ), harta berikut menahan [e ^ <(t + s) ABld> = e ^e ^. ] Seperti yang digariskan dalam teks, tunjukkan ini dengan menunjukkan bahawa kedua-dua sisi persamaan memenuhi masalah nilai awal yang sama.

Untuk 7-9 mengesahkan bahawa matriks ( PhiBld (t) ) adalah eksponen matriks (e ^) untuk beberapa ( ABld ) dengan memeriksa bahawa ( PhiBld (t) ) memenuhi sifat eksponen matriks, iaitu ( PhiBld (0) = IBld ) dan ( PhiBld (s) PhiBld (t) = PhiBld (t + s) ) untuk mana-mana (t, s ). Gunakan ini untuk cari yang terbalik ( PhiBld (t) ^ <-1> ).

Latihan 7

Latihan 8

Latihan 9

Latihan 10

Latihan 11

Latihan 12

Latihan 13

Latihan 14

Latihan 15

Latihan 16

Latihan 17

Latihan 18

Latihan 19

Untuk 20-25, cari penyelesaian untuk masalah nilai awal menggunakan (e ^) .

Latihan 20

Latihan 21

Latihan 22

Latihan 23

Latihan 24

Latihan 25

Latihan 26

Selesaikan masalah nilai awal umum untuk mencari penyelesaian asas semula jadi yang diberikan dalam persamaan (4.18a), (4.18b), (4.18c) dalam teks.

Latihan 27

Mari ( ABld ) menjadi matriks (3 < kali> 3 ) bentuk [ ABld = bermula 0 & amp a_ <12> & amp a_ <13> 0 & amp 0 & amp a_ <23> 0 & amp 0 & amp 0 end. ] Hitung eksponensial matriks dari segi ( ABld ). Bagaimana ini dibandingkan dengan representasi siri eksponensial matriks? Katakan bahawa ( ABld ) lebih umum diberikan oleh [ ABld = begin 0 & amp a_ <12> & amp a_ <13> & amp cdots & amp a_ <1n> 0 & amp 0 & amp a_ <23> & amp cdots & amp a_ <2n> vdots & amp vdots & amp ddots & amp ddots & amp vdots 0 & amp 0 & amp cdots & amp 0 & amp a_ <(n-1), n> 0 & amp 0 & amp cdots & amp 0 & amp 0 end ,. ] Bolehkah anda meneka bentuk eksponen matriks dalam kes ini? (lihat latihan 30 dalam suplemen mengenai matrik dan vektor untuk petunjuk mengenai alat pemusnahan untuk ( ABld )).

Latihan 28

Turunkan ( frac < dee> < dt> e ^ = < ABld> e ^) menggunakan perwakilan siri (e ^). (Anda mungkin menarik derivatif dalam jumlah yang tidak terbatas tanpa alasan).

Latihan 29

Hitung set asas semula jadi (y & # 39 & # 39 - 6y & # 39 + 5y = 0 ) menggunakan fungsi Hijau. Sahkan bahawa ini adalah set semula jadi yang sama yang diperoleh dari Masalah 10.

Latihan 30

Hitung set asas semula jadi (- y & # 39 & # 39 & # 39 + 4y & # 39 & # 39 - 5y & # 39 + 2y = 0 ) menggunakan fungsi Hijau. (Ciri khas polinomial persamaan ini mempunyai akar (z = 1, 1, 2 ).) Sahkan bahawa ini adalah set semula jadi yang sama yang diperoleh daripada Masalah 24.

Kira (e ^) menggunakan kaedah interpolasi Hermite.


Tonton videonya: Matematik Tingkatan 1 Bab 2 Faktor dan Gandaan Latih diri Cari gandaan sepunya terkecil (Ogos 2022).