Artikel

P.4E: Latihan - Eksponen Rasional - Matematik

P.4E: Latihan - Eksponen Rasional - Matematik



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Rak buku / Algebra / Buku: _Advanced_Algebra_ (Redden) /05:_Radical_Functions_and_Equations/5.05:_Rasional_Eksponen
Rak Buku / Aljabar / Buku: _Intermediate_Algebra_ (OpenStax_Marecek) /08:_Roots_and_Radicals/8.4E:_Simplify_Rational_Exponents

A: Radikal hingga Notasi Eksponensial

Latihan ( PageIndex {A} [5pt] ): Radikal hingga Notasi Eksponen

Menyatakan menggunakan eksponen yang rasional.

  1. ( sqrt {10} [5pt] )
  2. ( sqrt {6} [5pt] )
  3. ( sqrt [3] {3} [5pt] )
  4. ( sqrt [4] {5} [5pt] )
  1. ( sqrt [3] {5 ^ {2}} [5pt] )
  2. ( sqrt [4] {2 ^ {3}} [5pt] )
  3. ( sqrt [3] {49} [5pt] )
  4. ( sqrt [3] {9} [5pt] )
  1. ( sqrt [5] {x} [5pt] )
  2. ( sqrt [6] {x} [5pt] )
  3. ( sqrt [6] {x ^ {7}} [5pt] )
  4. ( sqrt [5] {x ^ {4}} [5pt] )
  1. ( dfrac {1} { sqrt {x}} [5pt] )
  2. ( dfrac {1} { sqrt [3] {x ^ {2}}} [5pt] )
Jawapan 1-13:
1. (10 ​​^ {1/2} [5pt] )
3. (3 ^ {1/3} [5pt] )
5. (5 ^ {2/3} [5pt] )
7. (7 ^ {2/3} [5pt] )
9. (x ^ {1/5} [5pt] )
11. (x ^ {7/6} [5pt] )
13. (x ^ {- 1/2} [5pt] )
( bigstar )

B: Exponential to Radical Notation.

Latihan ( PageIndex {B} [5pt] ): Exponential to Radical Notation

Ungkapkan dalam bentuk radikal.

  1. (10 ​​^ {1/2} [5pt] )
  2. (11 ^ {1/3} [5pt] )
  3. (7 ^ {2/3} [5pt] )
  1. (2 ^ {3/5} [5pt] )
  2. (x ^ {3/4} [5pt] )
  3. (x ^ {5/6} [5pt] )
  1. (x ^ {- 1/2} [5pt] )
  2. (x ^ {- 3/4} [5pt] )
  3. ( kiri ( frac {1} {x} kanan) ^ {- 1/3} [5pt] )
  1. ( kiri ( frac {1} {x} kanan) ^ {- 3/5} [5pt] )
  2. ((2 x + 1) ^ {2/3} [5pt] )
  3. ((5 x - 1) ^ {1/2} [5pt] )
Jawapan 15-25:
15. ( sqrt {10} [5pt] )
17. ( sqrt [3] {49} [5pt] )
19. ( sqrt [4] {x ^ {3}} [5pt] )
21. ( dfrac {1} { sqrt {x}} [5pt] )
23. ( sqrt [3] {x} [5pt] )
25. ( sqrt [3] {(2 x + 1) ^ {2}} [5pt] )
( bigstar )

C: Eksponen kepada Bentuk Radikal; kemudian Permudahkan.

Latihan ( PageIndex {C} [5pt] ): Exponential to Radical Form kemudian Simplify

Tulis sebagai radikal dan kemudian permudahkan.

  1. (64 ^ {1/2} [5pt] )
  2. (49 ^ {1/2} [5pt] )
  3. ( kiri ( frac {1} {4} kanan) ^ {1/2} [5pt] )
  4. ( kiri ( frac {4} {9} kanan) ^ {1/2} [5pt] )
  5. (4 ^ {- 1/2} [5pt] )
  6. (9 ^ {- 1/2} [5pt] )
  7. ( kiri ( frac {1} {4} kanan) ^ {- 1/2} [5pt] )
  8. ( kiri ( frac {1} {16} kanan) ^ {- 1/2} [5pt] )
  9. (8 ^ {1/3} [5pt] )
  1. (125 ^ {1/3} [5pt] )
  2. ( kiri ( frac {1} {27} kanan) ^ {1/3} [5pt] )
  3. ( kiri ( frac {8} {125} kanan) ^ {1/3} [5pt] )
  4. ((- 27) ^ {1/3} [5pt] )
  5. ((- 64) ^ {1/3} [5pt] )
  6. (16 ^ {1/4} [5pt] )
  7. (625 ^ {1/4} [5pt] )
  8. (81 ^ {- 1/4} [5pt] )
  9. (16 ^ {- 1/4} [5pt] )
  1. (100,000 ^ {1/5} [5pt] )
  2. ((- 32) ^ {1/5} [5pt] )
  3. ( kiri ( frac {1} {32} kanan) ^ {1/5} [5pt] )
  4. ( kiri ( frac {1} {243} kanan) ^ {1/5} [5pt] )
  5. (9 ^ {3/2} [5pt] )
  6. (4 ^ {3/2} [5pt] )
  7. (8 ^ {5/3} [5pt] )
  8. (27 ^ {2/3} [5pt] )
  1. (16 ^ {3/2} [5pt] )
  2. (32 ^ {2/5} [5pt] )
  3. ( kiri ( frac {1} {16} kanan) ^ {3/4} [5pt] )
  4. ( kiri ( frac {1} {81} kanan) ^ {3/4} [5pt] )
  5. ((- 27) ^ {2/3} [5pt] )
  6. ((- 27) ^ {4/3} [5pt] )
  7. ((- 32) ^ {3/5} [5pt] )
  8. ((- 32) ^ {4/5} [5pt] )
Jawapan: 27-59
27. (8)
29. ( dfrac {1} {2} [5pt] )
31. ( dfrac {1} {2} [5pt] )
33. (2 [5pt] )
35. (2)
37. (8 [5pt] )
39. (- 3 [5pt] )
41. (2 [5pt] )
43. ( dfrac {1} {3} [5pt] )
45. (8 [5pt] )
47. ( dfrac {1} {2} [5pt] )
49. (27 [5pt] )
51. (32)
53. (64 [5pt] )
55. ( dfrac {1} {8} [5pt] )
57. (9 [5pt] )
59. (-8)
( bigstar )

D: Operasi Eksponensial. PRODUK

Latihan ( PageIndex {D} [5pt] ): Operasi Eksponensial

Lakukan operasi dan permudahkan. Tinggalkan jawapan dalam bentuk eksponensial.

  1. (5 ^ {3/2} cdot 5 ^ {1/2} [5pt] )
  2. (3 ^ {2/3} cdot 3 ^ {7/3} [5pt] )
  3. (5 ^ {1/2} cdot 5 ^ {1/3} [5pt] )
  4. (2 ^ {1/6} cdot 2 ^ {3/4} [5pt] )
  5. (y ^ {1/4} cdot y ^ {2/5} [5pt] )
  6. (x ^ {1/2} cdot x ^ {1/4} [5pt] )
  7. ((u ^ {12} v ^ {18}) ^ { tfrac {1} {6}} [5pt] )
  8. ((r ^ {9} s ^ {12}) ^ { tfrac {1} {3}} [5pt] )
  9. ( kiri (8 ^ {1/2} kanan) ^ {2/3} [5pt] )
  10. ( kiri (3 ^ {6} kanan) ^ {2/3} [5pt] )
  1. ( kiri (x ^ {2/3} kanan) ^ {1/2} [5pt] )
  2. ( kiri (y ^ {3/4} kanan) ^ {4/5} [5pt] )
  3. ( kiri (y ^ {8} kanan) ^ {- 1/2} [5pt] )
  4. ( kiri (y ^ {6} kanan) ^ {- 2/3} [5pt] )
  5. ( kiri (4 x ^ {2} y ^ {4} kanan) ^ {1/2} [5pt] )
  6. ( kiri (9 x ^ {6} y ^ {2} kanan) ^ {1/2} [5pt] )
  7. ( kiri (2 x ^ {1/3} y ^ {2/3} kanan) ^ {3} [5pt] )
  8. ( kiri (8 x ^ {3/2} y ^ {1/2} kanan) ^ {2} [5pt] )
  9. ( kiri (36 x ^ {4} y ^ {2} kanan) ^ {- 1/2} [5pt] )
  10. ( kiri (8 x ^ {3} y ^ {6} z ^ {- 3} kanan) ^ {- 1/3} [5pt] )
  1. ( kiri (27 q ^ { tfrac {3} {2}} kanan) ^ { tfrac {4} {3}} [5pt] )
  2. ( kiri (64 s ^ { tfrac {3} {7}} kanan) ^ { tfrac {1} {6}} [5pt] )
  3. ( kiri (a ^ { tfrac {1} {3}} b ^ { tfrac {2} {3}} kanan) ^ { tfrac {3} {2}} [5pt] )
  4. ( kiri (m ^ { tfrac {4} {3}} n ^ { tfrac {1} {2}} kanan) ^ { tfrac {3} {4}} [5pt] )
  5. ( kiri (16 u ^ { tfrac {1} {3}} kanan) ^ { tfrac {3} {4}} [5pt] )
  1. ( kiri (625 n ^ { tfrac {8} {3}} kanan) ^ { tfrac {3} {4}} [5pt] )
  2. ( kiri (4 p ^ { tfrac {1} {3}} q ^ { tfrac {1} {2}} kanan) ^ { tfrac {3} {2}} [5pt] )
  3. ( kiri (9 x ^ { tfrac {2} {5}} y ^ { tfrac {3} {5}} kanan) ^ { tfrac {5} {2}} [5pt] )
  4. ( kiri (16 x ^ {2} y ^ {- 1/3} z ^ {2/3} kanan) ^ {- 3/2} [5pt] )
  5. ( kiri (81 x ^ {8} y ^ {- 4/3} z ^ {- 4} kanan) ^ {- 3/4} [5pt] )
  6. ( kiri (100 a ^ {- 2/3} b ^ {4} c ^ {- 3/2} kanan) ^ {- 1/2} [5pt] )
  7. ( kiri (125 a ^ {9} b ^ {- 3/4} c ^ {- 1} kanan) ^ {- 1/3} [5pt] )
Jawapan 61-91

61. (25 [5pt] )
63. (5 ^ {5/6} [5pt] )
65. (y ^ {13/20} [5pt] )
67. (U ^ {2} v ^ {3} [5pt] )

69. (2 [5pt] )
71. (x ^ {1/3} [5pt] )
73. ( dfrac {1} {y ^ {4}} [5pt] )
75. (2 x y ^ {2} [5pt] )
77. (8 x y ^ {2} [5pt] )
79. ( dfrac {1} {6 x ^ {2} y} [5pt] )
81. (81 q ^ {2} [5pt] )
83. (a ^ { tfrac {1} {2}} b )
85. (8 u ^ { tfrac {1} {4}} [5pt] )
87. (8 p ^ { tfrac {1} {2}} q ^ { tfrac {3} {4}} [5pt] )
89. ( dfrac {y ^ {1/2}} {64 x ^ {3} z} [5pt] )
91. ( dfrac {a ^ {1/3} b ^ {3/4}} {10 b ^ {2}} [5pt] )
( bigstar )

D: Operasi Eksponensial. KUANTITI

Latihan ( PageIndex {D} [5pt] ): Operasi Eksponensial

Lakukan operasi dan permudahkan. Tinggalkan jawapan dalam bentuk eksponensial.

  1. ( dfrac {5 ^ {11/3}} {5 ^ {2/3}} [5pt] )
  2. ( dfrac {2 ^ {9/2}} {2 ^ {1/2}} [5pt] )
  3. ( dfrac {2 a ^ {2/3}} {a ^ {1/6}} [5pt] )
  4. ( dfrac {3 b ^ {1/2}} {b ^ {1/3}} [5pt] )
  5. ( dfrac {r ^ { tfrac {5} {2}} cdot r ^ {- tfrac {1} {2}}} {r ^ {- tfrac {3} {2}}} [5pt] )
  6. ( dfrac {a ^ { tfrac {3} {4}} cdot a ^ {- tfrac {1} {4}}} {a ^ {- tfrac {10} {4}}} [5pt] )
  7. ( dfrac {c ^ { tfrac {5} {3}} cdot c ^ {- tfrac {1} {3}}} {c ^ {- tfrac {2} {3}}} [5pt] )
  1. ( dfrac {m ^ { tfrac {7} {4}} cdot m ^ {- tfrac {5} {4}}} {m ^ {- tfrac {2} {4}}} [5pt] )
  2. ( kiri ( dfrac {a ^ {3/4}} {a ^ {1/2}} kanan) ^ {4/3} [5pt] )
  3. ( kiri ( dfrac {b ^ {4/5}} {b ^ {1/10}} kanan) ^ {10/3} [5pt] )
  4. ( kiri ( dfrac {4 x ^ {2/3}} {y ^ {4}} kanan) ^ {1/2} [5pt] )
  5. ( kiri ( dfrac {27 x ^ {3/4}} {y ^ {9}} kanan) ^ {1/3} [5pt] )
  6. ( dfrac {y ^ {1/2} y ^ {2/3}} {y ^ {1/6}} [5pt] )
  7. ( dfrac {x ^ {2/5} x ^ {1/2}} {x ^ {1/10}} [5pt] )
  1. ( dfrac {x y} {x ^ {1/2} y ^ {1/3}} [5pt] )
  2. ( dfrac {x ^ {5/4} y} {x y ^ {2/5}} [5pt] )
  3. ( dfrac {49 a ^ {5/7} b ^ {3/2}} {7 a ^ {3/7} b ^ {1/4}} [5pt] )
  4. ( dfrac {16 a ^ {5/6} b ^ {5/4}} {8 a ^ {1/2} b ^ {2/3}} [5pt] )
  5. ( kiri ( dfrac {36 s ^ { tfrac {1} {5}} t ^ {- tfrac {3} {2}}} {s ^ {- tfrac {9} {5}} t ^ { tfrac {1} {2}}} kanan) ^ { tfrac {1} {2}} [5pt] )
  6. ( kiri ( dfrac {27 b ^ { tfrac {2} {3}} c ^ {- tfrac {5} {2}}} {b ^ {- tfrac {7} {3}} c ^ { tfrac {1} {2}}} kanan) ^ { tfrac {1} {3}} [5pt] )
  1. ( kiri ( dfrac {8 x ^ { tfrac {5} {3}} y ^ {- tfrac {1} {2}}} {27 x ^ {- tfrac {4} {3}} y ^ { tfrac {5} {2}}} kanan) ^ { tfrac {1} {3}} [5pt] )
  2. ( kiri ( dfrac {16 m ^ { tfrac {1} {5}} n ^ { tfrac {3} {2}}} {81 m ^ { tfrac {9} {5}} n ^ {- tfrac {1} {2}}} kanan) ^ { tfrac {1} {4}} [5pt] )
  3. ( dfrac { kiri (9 x ^ {2/3} y ^ {6} kanan) ^ {3/2}} {x ^ {1/2} y} [5pt] )
  4. ( dfrac { kiri (125 x ^ {3} y ^ {3/5} kanan) ^ {2/3}} {x y ^ {1/3}} [5pt] )
  5. ( dfrac { kiri (27 a ^ {1/4} b ^ {3/2} kanan) ^ {2/3}} {a ^ {1/6} b ^ {1/2}} [5pt] )
  6. ( dfrac { kiri (25 a ^ {2/3} b ^ {4/3} kanan) ^ {3/2}} {a ^ {1/6} b ^ {1/3}} [5pt] )
Jawapan 101-125
101. (125 [5pt] )
103. (2 a ^ {1/2} [5pt] )
105.9a. (r ^ { frac {7} {2}} [5pt] )
107.1a. (c ^ {2} [5pt] )
109. (a ^ {1/3} [5pt] )
111. ( dfrac {2 x ^ {1/3}} {y ^ {2}} [5pt] )
113. (y )
115. (x ^ {1/2} y ^ {2/3} [5pt] )
117. (7 a ^ {2/7} b ^ {5/4} [5pt] )
119. ( dfrac {6 s} {t} [5pt] )
121. ( dfrac {2x} {3y} [5pt] )
123. (27 x ^ {1/2} y ^ {8} [5pt] )
125. (9 b ^ {1/2} [5pt] )
( bigstar )

E: Operasi Bentuk Radikal hingga Eksponensial.

Latihan ( PageIndex {E} [5pt] ): Operasi Bentuk Radikal hingga Eksponen

Tulis semula dalam bentuk eksponensial dan kemudian lakukan operasi.

  1. ( sqrt [3] {9} cdot sqrt [5] {3} [5pt] )
  2. ( sqrt {5} cdot sqrt [5] {25} [5pt] )
  3. ( sqrt {x} cdot sqrt [3] {x} [5pt] )
  4. ( sqrt {y} cdot sqrt [4] {y} [5pt] )
  5. ( sqrt [3] {x ^ {2}} cdot sqrt [4] {x} [5pt] )
  6. ( sqrt [5] {x ^ {3}} cdot sqrt [3] {x} [5pt] )
  7. ( dfrac { sqrt [3] {100}} { sqrt {10}} [5pt] )
  1. ( dfrac { sqrt [5] {16}} { sqrt [3] {4}} [5pt] )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {a ^ {2}}} { sqrt {a}} [5pt] )
  3. ( dfrac { sqrt [5] {b ^ {4}}} { sqrt [3] {b}} [5pt] )
  4. ( dfrac { sqrt [3] {x ^ {2}}} { sqrt [5] {x ^ {3}}} [5pt] )
  5. ( dfrac { sqrt [4] {x ^ {3}}} { sqrt [3] {x ^ {2}}} [5pt] )
  1. ( sqrt { sqrt [5] {16}} [5pt] )
  2. ( sqrt { sqrt [3] {9}} [5pt] )
  3. ( sqrt [3] { sqrt [5] {2}} [5pt] )
  4. ( sqrt [3] { sqrt [5] {5}} [5pt] )
  5. ( sqrt [3] { sqrt {7}} [5pt] )
  6. ( sqrt [3] { sqrt {3}} [5pt] )
Jawapan 131-147:
131. ( sqrt [15] {3 ^ {13}} [5pt] )
133. ( sqrt [6] {x ^ {5}} [5pt] )
135. ( sqrt [12] {x ^ {11}} [5pt] )
137. ( sqrt [6] {10} [5pt] )
139. ( sqrt [6] {a} [5pt] )
141. ( sqrt [15] {x} [5pt] )
143. ( sqrt [5] {4} [5pt] )
145. ( sqrt [15] {2} [5pt] )
147. ( sqrt [6] {7} [5pt] )
( bigstar )

.


Nombor Rasional

Sebilangan besar nombor yang kita gunakan dalam kehidupan seharian adalah Nombor Rasional.

Berikut adalah beberapa contoh lagi:

Nombor Sebagai Pecahan Rasional?
5 5/1 Ya
1.75 7/4 Ya
.001 1/1000 Ya
& tolak0.1 & tolak1 / 10 Ya
0.111. 1/9 Ya
& radik2
(punca kuasa dua 2)
? TIDAK!

Alamak! Akar kuasa dua 2 tidak boleh ditulis sebagai pecahan sederhana! Dan ada banyak lagi bilangan itu, dan kerana bilangannya tidak rasional mereka dipanggil tidak rasional.

Seorang lagi terkenal tidak rasional nombor adalah Pi (& pi):


Aktiviti Selesai

Kami menggunakan definisi eksponen, mengalikan asas dengan sendirinya berkali-kali seperti yang ditunjukkan oleh eksponen:

Sekiranya eksponen negatif, pertama kita menyatakan kekuatan sebagai pecahan. Eksponen akan menjadi penyebutnya, jadi kami menerapkan Peraturan Eksponen Negatif, membuat eksponen positif.

Apabila kita mempunyai kekuatan yang kuat. Kami menerapkan peraturan yang terdiri dalam mengalikan kedua eksponen dan kami memperoleh kekuatan dengan eksponen negatif. Kami meneruskan cara yang sama seperti perkara sebelumnya.

Kita mempunyai dua kekuatan. Kerana dasarnya sama, peraturan mengatakan bahawa kita tolak eksponen (pengangka tolak penyebut). Kami memperoleh eksponen negatif.

Kami mempunyai pendaraban kuasa dalam pengangka, tetapi kami tidak dapat menyelesaikannya kerana terdapat asas yang berbeza (2 dan 3). Dalam penyebut kami mempunyai kuasa dengan pangkalan 6 (3 · 2).

Dengan menulis kekuatan di penyebut sebagai penggandaan kuasa bagi pangkalan 3 dan 2, kita kemudian mempunyai pangkalan yang sama dalam pengangka dan penyebut dan sekarang dapat menerapkan aturan.

Mula-mula kita dapat menghilangkan tanda negatif pada eksponen daya pertama yang menulis pecahan songsang. Dengan cara itu, kita akan mempunyai pembahagian kuasa dengan asas yang sama.

Kami menerapkan peraturan eksponen untuk masing-masing untuk mempermudah ungkapan. Kami mengubah asas menjadi orang lain (menggunakan kuasa) untuk mendapatkan asas yang sama.

Masalah terbesar dalam ungkapan ini adalah jumlah asas yang berbeza yang dimiliki oleh kuasa. Apa yang akan kita lakukan adalah memecah asas kepada faktor utama. Perhatikan bahawa 10 = 2·5 dan 60 = 6·10 = 2·3·2·5. Selepas ini, kita hanya perlu memperbanyak atau membahagi kuasa.

Kami menggunakan sifat eksponen, tetapi pertama dalam kurungan untuk mula menghapuskannya.

Latihan 10

Kami mempunyai eksponen yang tinggi, tetapi kami tidak perlu risau. Bahagian penting dari latihan ini adalah bahawa asas kekuatan, yang merupakan keseluruhan kurungan, adalah mengurangkan dan kita tidak mempunyai peraturan untuk menyelesaikannya. Oleh kerana itu, kita harus melakukan kerja dalam kurungan sehingga kita dapat menerapkan peraturan yang kita ada.

Latihan 11

Kami menulis asas 18 sebagai produk faktor utama dan berkumpul semula dalam kuasa: 18 = 3·6 = 3·2·3.

Latihan 12

Kami mempunyai banyak eksponen. Kami menerapkan peraturan untuk yang pertama, yang merupakan kekuatan pendaraban. Kita mesti mengenal pasti faktor pendaraban dengan jelas untuk menerapkan peraturan tanpa melakukan kesalahan. Selepas itu, kami akan meneruskan eksponen lain.

Latihan 13

Kami menghilangkan eksponen pertama, -1, yang bermaksud menulis terbalik pangkalan. Kami juga mempunyai asas yang berbeza, tetapi kami sudah tahu bagaimana menyelesaikan masalah ini: menulis asas sebagai produk dari faktor utama dan berkumpul semula dengan kuasa. Kami ingat bahawa simbol ":" adalah pembahagian, dengan cara yang sama seperti "/".

Latihan 14

Kesukaran dalam masalah ini adalah parameter, atau yang sama, huruf. Kami bekerja dengan mereka dengan cara yang sama seperti yang dilakukan dengan nombor (parameternya mewakili nombor.)

Latihan 15

Walaupun hanya masalah mengenai penulisan, kami akan mewakili bahagian ":" dalam bentuk pecahan "/".


College Algebra (Edisi ke-7) Edisi suntingan

Eksponen Rasional Ungkapkan radikal sebagai kekuatan dengan eksponen rasional.

(a)

(b)

Untuk mana-mana eksponen yang rasional dari segi terendah, di mana adalah bilangan bulat dan , kita tentukan

Sekiranya sama, maka kita memerlukannya

Sekiranya dan adalah dua bilangan bulat positif, kita ada

faktor

faktor faktor faktor

sekumpulan faktor

Kes yang mana atau dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi eksponen negatif.


Bahagian P.3: Eksponen Integer dan Notasi Ilmiah

Keakraban dengan peraturan berikut adalah mustahak untuk kerja kami dengan eksponen dan pangkalan.

Dalam jadual, asas a dan b adalah nombor nyata, dan eksponen m dan n adalah bilangan bulat.

1. aman  amn32 # 35  325  37

Untuk mengalikan dua kuasa dengan nombor yang sama, tambahkan eksponen.

Untuk membahagi dua kuasa dengan nombor yang sama, tolak eksponen.

Untuk menaikkan kekuatan ke kekuatan baru, gandakan eksponen.

Untuk menaikkan produk menjadi kuat, naikkan setiap faktor ke tahap kuasa.

Untuk menaikkan hasil bagi kekuatan, naikkan pengangka dan penyebut

Untuk menaikkan pecahan ke daya negatif, ubah pecahan dan ubah

o memindahkan nombor yang dinaikkan ke kuasa dari pembilang ke penyebut

atau dari penyebut menjadi pembilang, ubah tanda eksponen.

Bukti Undang-undang 3 Sekiranya m dan n adalah bilangan bulat positif, kita mempunyai

 1a # a #. . . # a2 1a # a #. . . # a2. . . 1a # a #. . . # a2

Kes-kes yang m  0 atau n  0 dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi negatif

Hak Cipta 2016 Pembelajaran Cengage. Hak cipta terpelihara. Tidak boleh disalin, diimbas, atau diduplikasi, secara keseluruhan atau sebahagian. Oleh kerana hak elektronik, beberapa kandungan pihak ketiga mungkin disekat dari eBook dan / atau eChapter (s).

Ulasan editorial menganggap bahawa kandungan yang ditindas tidak mempengaruhi keseluruhan pengalaman pembelajaran. Cengage Learning berhak untuk membuang kandungan tambahan pada bila-bila masa sekiranya sekatan hak berikutnya memerlukannya.

20 BAB P ■ Prasyarat

Bukti Undang-undang 4 Jika n adalah bilangan bulat positif, kita mempunyai

1ab2 n  1ab2 1ab2. . . 1ab2  1a # a #. . . # a2 # 1b # b #. . . # b2  a n b n

Di sini kita telah menggunakan Properties Commutative and Associative berulang kali. Sekiranya n  0,

Undang-undang 4 dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi eksponen negatif.

Anda diminta untuk membuktikan Undang-undang 2, 5, 6, dan 7 dalam Latihan 58 dan 59.

Contoh 3 ■ Menggunakan Undang-Undang Eksponen

Sekarang Cuba Latihan 19 dan 21

Contoh 4 ■ Memudahkan Ekspresi dengan Eksponen

(a) 1 2a 3b 2 2 1 3ab 4 2 3 (b) a b a

(a) 1 2a 3b 2 2 1 3ab 4 2 3

 1 2a 3b 2 2 333a 3 1 b 4 2 3 4

 1 2a 3b 2 2 1 27a 3b 12 2

Sekarang Cuba Latihan 25 dan 29

Faktor kumpulan dengan asas yang sama

Faktor kumpulan dengan asas yang sama

Semasa mempermudahkan ungkapan, anda akan dapati bahawa banyak kaedah yang berbeza akan dipimpin

untuk hasil yang sama anda boleh menggunakan mana-mana peraturan eksponen untuk tiba

kaedah anda sendiri. Dalam contoh seterusnya kita melihat bagaimana mempermudah ungkapan dengan eksponen negatif.

Hak Cipta 2016 Pembelajaran Cengage. Hak cipta terpelihara. Tidak boleh disalin, diimbas, atau diduplikasi, secara keseluruhan atau sebahagian. Oleh kerana hak elektronik, beberapa kandungan pihak ketiga mungkin disekat dari eBook dan / atau eChapter (s).

Ulasan editorial menganggap bahawa kandungan yang ditindas tidak mempengaruhi keseluruhan pengalaman pembelajaran. Cengage Learning berhak untuk membuang kandungan tambahan pada bila-bila masa sekiranya sekatan hak berikutnya memerlukannya.

BAHAGIAN P.3 ■ Eksponen Integer dan Notasi Ilmiah 21

Matematik di Dunia Moden

Contoh 5 ■ Memudahkan Ekspresi dengan Eksponen Negatif

Walaupun kita sering tidak menyedari hal itu

kehadiran, matematik meresap hampir

setiap aspek kehidupan di dunia moden.

Dengan munculnya teknologi moden,

matematik memainkan peranan yang lebih besar dalam

kehidupan kita. Hari ini anda mungkin bangun

diaktifkan oleh jam penggera digital, menghantar teks,

melayari Internet, menonton HDTV atau a

streaming video, mendengar muzik

telefon bimbit anda, memandu kereta dengan digital

suntikan bahan api terkawal, kemudian tertidur

di bilik yang suhunya tidak berubah

dikendalikan oleh termostat digital. Dalam setiap

aktiviti matematik ini sangat penting

terbabit. Secara amnya, harta tanah seperti

intensiti atau kekerapan bunyi,

tahap oksigen dalam pelepasan ekzos dari

kereta, warna dalam gambar, atau tem

perature di bilik tidur anda berubah

menjadi urutan nombor oleh sophisti

algoritma matematik berpatutan. Ini

data berangka, yang biasanya terdiri daripada

berjuta-juta bit (digit 0 dan 1),

kemudian dihantar dan ditafsirkan semula.

Berurusan dengan sejumlah besar data

tidak dapat dilaksanakan sehingga penemuan

komputer, mesin yang logiknya proses

esei dicipta oleh ahli matematik.

Sumbangan matematik dalam

dunia moden tidak terhad kepada teknologi

kemajuan nologi. Proses logik

matematik kini digunakan untuk menganalisis com

masalah plex dalam sosial, politik, dan

sains kehidupan dengan cara yang baru dan mengejutkan.

Kemajuan dalam matematik terus berlaku

dibuat, beberapa yang paling menarik

hanya dalam dekad yang lalu.

Dalam Matematik lain dalam Moden

Dunia, kita akan menerangkan dengan lebih terperinci bagaimana

matematik mempengaruhi kita semua dalam setiap kita

Hilangkan eksponen negatif, dan permudahkan setiap ungkapan.

e menggunakan Undang-Undang 7, yang memungkinkan kita memindahkan angka yang dinaikkan ke kekuatan dari

pembilang ke penyebut (atau sebaliknya) dengan menukar tanda eksponen.


Eksponen pecahan

Ini dilihat selaras dengan Peraturan Kuasa untuk n = 2/3.

Mari buat generalisasi contoh ini. Sebilangan nombor rasional n boleh dinyatakan sebagai p / q untuk beberapa bilangan bulat p dan bukan nol q. Kemudian, untuk y = x n,

Inilah yang akan kita dapat sekiranya kita menganggap peraturan kuasa yang sama berlaku untuk pecahan pecahan seperti halnya dengan eksponen integral. Perhatikan bahawa kita tidak perlu menganggap apa-apa tentang tanda p atau q, selain fakta bahawa q tidak boleh menjadi sifar. Oleh itu, peraturan kuasa kita kini dapat diterapkan dengan selamat kepada para eksponen rasional.

Definisi derivatif juga boleh digunakan, tetapi seperti yang ditunjukkan oleh dua contoh berikutnya, penggunaan langsung definisi tersebut sering kali lebih membebankan daripada Peraturan Kuasa yang diperbaiki.

Pertimbangkan kes yang agak mudah

Dari definisi terbitan,

sesuai dengan Peraturan Kuasa untuk n = 1/2. Untuk n = & ndash1 / 2, definisi terbitan memberikan

dan manipulasi aljabar yang serupa menyebabkan

sekali lagi sesuai dengan Peraturan Kuasa.

Untuk melihat bagaimana kes-kes yang lebih rumit dapat ditangani, ingatlah contoh di atas,

Dari definisi terbitan,

sekali lagi bersetuju dengan Peraturan Kuasa. Contoh ini jelas menunjukkan bahawa untuk pecahan pecahan, menggunakan Peraturan Kuasa jauh lebih senang daripada menggunakan definisi derivatif.


P.4E: Latihan - Eksponen Rasional - Matematik

di mana a ialah pemalar positif tidak sama dengan 1 dan logaritma semula jadi (asas e) a. Rumus-rumus ini membawa kepada gabungan yang tidak tentu berikut:

Semasa anda melakukan masalah berikut, ingat tiga peraturan umum untuk integrasi:

di mana n ialah pemalar tidak sama dengan -1,

di mana k adalah pemalar, dan

di mana k adalah pemalar bukan sifar, sering muncul dalam rangkaian masalah berikut, kita akan menemui formula untuknya sekarang menggunakan penggantian u sehingga kita tidak perlu melakukan proses mudah ini setiap kali. Mulakan dengan membiarkan

Sekarang ganti dengan masalah asal, ganti semua bentuk x, dan dapatkan

Kami sekarang mempunyai variasi formula 1. berikut:

Peraturan eksponen yang sering dilupakan, disalahgunakan, dan tidak popular berikut juga akan bermanfaat:

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 1.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 2.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 3.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 4.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 5.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 6.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 7.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 8.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 9.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 10.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 11.

Klik DI SINI untuk kembali ke senarai asal pelbagai jenis masalah kalkulus.

Komen dan cadangan anda dialu-alukan. Sila hantarkan surat-menyurat kepada Duane Kouba melalui e-mel dengan mengklik alamat berikut:


Sumber Matematik PCC SLC

Sebilangan besar akaun simpanan yang memperoleh faedah memperoleh faedah dengan cara penggabungan. Contoh termudah penggabungan faedah adalah deposit sekali sahaja yang memperoleh faedah pada baki semasa pada setiap akhir tahun. Anggaplah anda mendeposit $ 100 dalam akaun yang mengenakan faedah 4% pada baki semasa pada setiap akhir tahun. Proses ini digambarkan dalam Rajah 9.9.1.

Tahun Baki Permulaan ($) Faedah Diperolehi ($) Baki Akhir ($)
(1) (100.00) (0.04(100.00)=4.00) (104.00)
(2) (104.00) (0.04(104.00)=4.16) (108.16)
(3) (108.16) (0.04(108.16)=4.33) (112.49)
(4) (112.49) (0.04(112.49)=4.50) (116.99)
Rajah 9.9.1. 4% Faedah Berkumpul Setiap Tahun

Sekiranya kita membiarkan (x ) mewakili baki pada awal tahun, maka baki pada akhir tahun tersebut diberikan oleh formula yang diperoleh di bawah.

Dalam Rajah 9.9.2 formula telah digunakan selama beberapa tahun.

Tahun Baki permulaan Baki akhir
(1) (100) (1.04(100))
(2) (1.04(100)) (1.04 cdot 1.04 (100) = 1.04 ^ 2 (100) )
(3) (1.04^2(100)) (1.04 cdot 1.04 ^ 2 (100) = 1.04 ^ 3 (100) )
(4) (1.04^3(100)) (1.04 cdot 1.04 ^ 3 (100) = 1.04 ^ 4 (100) )
Rajah 9.9.2. 4% Faedah Berkumpul Setiap Tahun

Sangat mudah untuk melihat bahawa jika kita membiarkan (B (t) ) mewakili baki akaun setelah akaun tersebut memperoleh faedah selama (t ) tahun, maka

Bagi kebanyakan akaun simpanan, faedah dikenakan lebih dari sekali setahun. Anggaplah, sebagai contoh, bahawa dalam akaun di atas dan bukannya faedah 4% yang dikenakan pada setiap akhir tahun, faedah 1% dikenakan pada akhir setiap suku tahun (31 Mac, 30 Jun, 30 September, dan 31 Disember). Senario ini digambarkan dalam Rajah 9.9.3.

Suku Baki Permulaan ($) Faedah Diperolehi ($) Baki Akhir ($)
(1) (100.00) (0.01(100.00)=1.00) (101.00)
(2) (101.00) (0.01(101.00)=1.01) (102.01)
(3) (102.01) (0.01(102.01)=1.02) (103.03)
(4) (103.03) (0.01(103.03)=1.03) (104.06)
Rajah 9.9.3. Kepentingan 4% Menggabungkan Suku Tahunan

Kita dapat melihat bahawa pada akhir satu tahun (akhir suku keempat), jumlah faedah yang diperoleh tidak 4%, tetapi sebenarnya adalah 4.06%. Kepentingan tahunan sebelum kesan penggabungan disebut. Kadar faedah selepas kesan penggabungan disebut. Dalam senario kami sekarang, faedah 1% dikenakan empat kali setahun, jadi baki pada akhir (t ) tahun diberikan oleh formula

Kami dapat menguraikan formula dengan lebih lanjut dengan cara yang menyampaikan bagaimana kadar faedah 1% diperoleh.

Dari formula terakhir kita dapat menyimpulkan formula umum untuk baki akaun setelah penggabungan faedah selama (t ) tahun.

(P ) adalah pelaburan awal dalam akaun

(r ) adalah kadar faedah nominal

(n ) ialah berapa kali faedah dikumpulkan setiap tahun

(t ) ialah bilangan tahun faedah telah diperoleh

Contoh 9.9.4.

Katakan bahawa Giacomo melabur $ 100 dalam akaun simpanan dengan kadar faedah nominal 4%. Tentukan kadar faedah efektif pada akaun jika faedah dikompaun dengan setiap cara berikut.

Oleh kerana pelaburan yang dilaburkan adalah $ 100, kita dapat menentukan kadar efektif dengan menerapkan formula faedah kompaun pada setiap senario selama satu tahun. Jumlah pertumbuhan akaun pada akhir satu tahun secara numerik akan setara dengan kadar faedah efektif. Semua pengiraan di bawah telah dibundarkan ke sen terdekat.

Kadar efektif pada akaun adalah 4.07%.

Kadar efektif pada akaun adalah 4.08%.

Kadar Faedah dan Bilangan Berterusan

Andaikan anda membuka akaun simpanan dengan kadar faedah nominal 4%. (Nasib baik dengan itu.) Seperti yang digambarkan dalam Gambar 9.9.5, kadar faedah efektif meningkat seiring dengan bertambahnya jumlah peristiwa penggabungan setiap tahun.

Bilangan Acara Penggabungan Setahun Kadar Faedah Berkesan
(1) 4%
(4) 4.06%
(12) 4.07%
(52) 4.08%
Rajah 9.9.5. Kadar Faedah Berkesan Apabila Kadar Faedah Nominal 4%

Sekarang anggap bahawa jumlah acara penggabungan setiap tahun terus bertambah: seribu kali setahun, sejuta kali setahun, satu bilion kali setahun! Semakin banyak kali penggabungan faedah setiap tahun, semakin hampir akaun mempunyai kompaun faedah pada a. Kami boleh menggunakan formula kadar faedah kami yang telah ditetapkan dengan (n = 1,000,000 ) untuk mendapatkan perkiraan yang cukup baik mengenai kadar faedah berterusan yang berkesan, tetapi ada pilihan lain. Sebelum membuat pilihan lain, kita perlu memanipulasi formula minat kita yang sedia ada ke dalam bentuk lain.

Dalam ungkapan terakhir, (x = frac text <,> ) sehingga jumlah peristiwa penggabungan meningkat, begitu juga dengan nilai (x text <.> )

Dalam Rajah 9.9.6 kita melihat kesan peningkatan nilai (x ) terhadap nilai ( kiri (1+ frac <1> kanan) ^ x teks <.> ) Semakin besar nilai (x teks <,> ) semakin dekat ungkapan ( kiri (1+ frac <1> kanan) ^ x ) sampai ke.

(x ) ( kiri (1+ frac <1> kanan] ^ x )
(10) (2.59374)
(100) (2.70481)
(1,000) (2.71692)
(10,000) (2.71815)
(100,000) (2.71827)
(1,000,000) (2.71828)
Rajah 9.9.6. Nilai ( kiri (1+ frac <1> kanan] ^ x )

Nombor (e ) juga disebut sebagai. Nilai (e ) dibundarkan ke sepersejuta terdekat di bawah.

Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, apabila jumlah peristiwa penggabungan tahunan meningkat, begitu juga dengan nilai (x teks <.> ) Apabila nilai (x ) meningkat, nilai ungkapan ( kiri ( 1+ frac <1> kanan) ^ x ) semakin dekat dan semakin hampir dengan nombor (e text <.> ) Mari kita gunakan fakta ini untuk muncul dengan nombor kita.

(P ) adalah jumlah pelaburan awal

(r ) adalah kadar faedah nominal

(t ) ialah bilangan tahun faedah diperoleh

Contoh 9.9.7.

Tentukan kadar efektif pada akaun dengan kadar faedah nominal 6% yang terus bertambah.

Mari kita lihat apa kesan satu tahun senario ini pada deposit awal $ 100 (dibulatkan kepada sen terdekat).

Kerana lebih dari satu tahun $ 100 meningkat sebanyak $ 6.08, kadar faedah efektif adalah 6.18%.

Fungsi Logaritma Semula Jadi.

Fungsi logaritma dengan asas (e ) dipanggil. Fungsi dilambangkan sebagai ( ln (x) ) yang dibaca dengan kuat sebagai "log semula jadi (aritma) (x teks <.> )" Untuk mengulangi,

Fungsi logaritma semula jadi sangat penting dalam kalkulus. Pada tahap ini, pada dasarnya berfungsi dua fungsi. Ini adalah kunci pada mana-mana kalkulator saintifik atau grafik, jadi ia boleh digunakan semasa menerapkan perubahan formula asas. Ia juga digunakan semasa menyelesaikan persamaan eksponensial di mana asas ungkapan eksponensial adalah nombor (e text <.> ) Sebelum melihat beberapa contoh, mari buat pemerhatian berdasarkan sifat logaritmik ( log_b ( b ^ n) = n teks <.> )

Contoh 9.9.8.

Soojin mempunyai akaun simpanan yang menggabungkan faedah secara berterusan. Kadar faedah efektif pada akaun Soojin adalah 2.84%. Berapakah kadar faedah nominal pada akaun?

Sekiranya Soojin melabur $ 100 untuk satu tahun, baki wangnya pada akhir satu tahun adalah $ 102.84. Kita dapat menentukan kadar faedah nominal, (r text <,> ) dengan menyelesaikan persamaan

Kita boleh menggunakan logaritma sebarang asas untuk menyelesaikan persamaan. Namun, kerana teknologi kita cenderung hanya mempunyai kunci untuk logaritma asas (10 ​​) dan asas (e text <,> ), kita cenderung hanya menggunakan kedua-dua asas tersebut. Kerana asas ungkapan eksponensial dalam persamaan yang kita selesaikan adalah (e text <,> ) nampaknya wajar bahawa (e ) adalah asas yang kita gunakan. Ingat bahawa bukannya menulis ( log_e (x) ) kita menulis ( ln (x) teks <.> )

Kadar faedah nominal pada akaun Soojin adalah 2.8%.

Contoh 9.9.9.

Tentukan penyelesaian untuk persamaan (7e ^ <10-3x> + 4 = 12 text <.> ) Bundarkan nilai akhir ke perseribu terdekat.

Kami ingin mengasingkan ekspresi eksponensial sebelum mengambil logaritma semula jadi kedua-dua belah pihak.

Contoh 9.9.10.

Gunakan fungsi logaritma semula jadi untuk menentukan nilai ( log_9 (74) text <.> ) Bundarkan nilai ke perseribu terdekat.

Sebelum kita menerapkan perubahan formula asas, mari perhatikan itu

dan kerana (9 ^ 2 = 81 text <,> ) kami menjangkakan nilai ( log_9 (74) ) menjadi sedikit kurang daripada (2 text <.> ) Mari kita teruskan dan anggarkan nilai.

Contoh 9.9.11.

Sebilangan besar cuaca seperti yang kita alami di Bumi berlaku dalam jarak sembilan batu dari permukaan Bumi. Anggaplah kertas lembaran grafik yang besar (yang kita ambil sangat besar) dibentangkan tegak lurus ke permukaan Bumi. Katakan bahawa sistem paksi (xy ) dilukis ke atas kertas graf dengan satuan inci pada paksi (x ) dan paksi (y ). Anggap lebih jauh asal usul sistem paksi terletak di permukaan Bumi. Katakan bahawa kita membuat grafik fungsi (y = e ^ x ) pada lembaran kertas grafik yang hebat ini. Sejauh mana kita perlu bergerak keluar paksi (x ) - sebelum koordinat (y ) - terkeluar dari zon cuaca untuk Bumi?

Pada dasarnya kita diminta untuk nilai (x ) ketika koordinat (y ) - pada graf (y = e ^ x ) berada sembilan batu di atas paksi (x ) -. Kita perlu menukar unit batu menjadi satuan inci sebelum kita dapat membuat penentuan itu.

Kita dapat menentukan jawapan kepada soalan dengan menyelesaikan persamaan (e ^ x = 570,240 text <.> ) Mari kita lakukan.

Oleh itu pada masa kita telah berjalan lebih dari satu kaki (12 inci) di arah (x ) - arah koordinat (y ) pada graf (y = e ^ x ) sudah sembilan batu di atas permukaan Bumi.

Latihan Senaman

Selesaikan setiap persamaan untuk (x text <.> ) Dalam setiap kes, bulatkan penyelesaian ke perseribu terdekat.

The approximate solution to the given equation is 2.265.

I'm going to solve this equation twice because there are two extremely different yet successful solving strategies that can be applied to the equation.

Any way you slice it, the approximate solution to the given equation is 0.902.

Both values are in the domain of all three logarithmic expressions in the original equation, so the approximate solutions are 5.915 and 2.085.

(6.076) is not in the domain of the expression (ln(6-x) ext<,>) so the given equation has no solution.

Solve each compound interest problem.

Lucy has a savings account which accrues interest at a continuous rate. The nominal rate on the account is 3.25%. Lucy made a one-time deposit of $5,000. How much was in the account 7.5 years after Lucy made her deposit? What is the effective annual interest rate for the account?

The formula we need to use is (B(t)=Pe^) with the following substitutions.

This gives us the following (rounded to the nearest cent).

So the balance of Lucy's account after 7.5 years is $6,380.16. We can determine the effective rate for Lucy's account if we track what happens to $100 in one year.

Because $100 grew to $103.56 in one year, the effective annual interest rate on the account is 3.56%.

Abdul has inherited $50,000 tax free. Abdul plans to save this money for retirement in thirty years. He would like the balance at that time to be at least $1,000,000. What is the minimum average continuous rate of growth the savings must achieve to meet Abdul's goal?

The formula we need to use is (B(t)=Pe^) with the following substitutions.

We need to solve the equation (1,000,000=50,000e^<(r cdot 30)>) for (r ext<.>) Let's do it.

For Abdul to reach his savings goal, the account will have to grow at a continuous annual interest rate of 10%.

Keenan has a bond that has a nominal annual interest rate of 4.25%. The bond accrues interest at the end of every quarter. What is the effective annual interest rate on Keenan's bond?.

The formula for this exercise is

We are told that the nominal annual interest rate, (r ext<,>) is (0.0425 ext<.>) We are told that the number of compounding events per year, (n ext<,>) is (4 ext<.>) We can determine the effective annual interest rate by making a virtual deposit, (P ext<,>) of $100.00 and seeing what the balance is after (1) year ((t)). The following calculation is rounded to the nearest cent.

Since $100.00 earns $4.32 interest in one year, we can deduce that the effective annual interest rate is 4.32%.

Jolene has a super sweet savings account that has an effective annual interest rate of 6.715%. The account compounds interest on a daily basis. Determine the nominal interest rate on Jolene's super sweet savings account. Use 365 for the number of days in a year.

The formula for this exercise is

The only value that we are given directly is (n ext<,>) the number of compounding events in a year (365). From the effective annual interest rate we can tell that $100.00 would grow to $106.715 over the course of one year. Let's let (P=100 ext<,>) (t=1 ext<,>) and (R(1)=106.715 ext<.>) We can then solve for the nominal interest rate, (r ext<.>)

The nominal annual interest rate on Jolene's account is 6.5%

When Earth's moon is directly above you, it is approximately 239,000 miles away from you. Suppose that our fantastical grid system perpendicular to the Earth was able to reach that high. How far would we have to travel out the (x)-axis before the (y)-coordinate on a graph of (y=e^x) would reach the moon? Recall that the origin of the grid is on the Earth's surface and that the unit on each axis is inches.

We are basically being asked for the value of the (x) when the (y)-coordinate on the graph of (y=e^x) is 239,000 miles above the (x)-axis. We'll need to convert the unit miles to a unit of inches before we'll be able to make that determination.

That's a lot of inches! We can determine the answer to the question by solving the equation (e^x=15,143,040,000 ext<.>) Let's do it.

So by the time we've traveled a little less than two feet (24 inches) in the (x)-direction the (y) coordinate on the graph of (y=e^x) is already to the moon! Extreme indeed.


Basic instructions for the worksheets

Each worksheet is randomly generated and thus unique. The answer key is automatically generated and is placed on the second page of the file.

You can generate the worksheets either in html or PDF format &mdash both are easy to print. To get the PDF worksheet, simply push the button titled "Create PDF" or "Make PDF worksheet". To get the worksheet in html format, push the button "View in browser" or "Make html worksheet". This has the advantage that you can save the worksheet directly from your browser (choose File &rarr Save) and then edit it in Word or other word processing program.

Sometimes the generated worksheet is not exactly what you want. Just try again! To get a different worksheet using the same options:

  • PDF format: come back to this page and push the button again.
  • Html format: simply refresh the worksheet page in your browser window.

1.3 Radicals and Rational Exponents

A hardware store sells 16-ft ladders and 24-ft ladders. A window is located 12 feet above the ground. A ladder needs to be purchased that will reach the window from a point on the ground 5 feet from the building. To find out the length of ladder needed, we can draw a right triangle as shown in Figure 1, and use the Pythagorean Theorem.

Now, we need to find out the length that, when squared, is 169, to determine which ladder to choose. In other words, we need to find a square root. In this section, we will investigate methods of finding solutions to problems such as this one.

Evaluating Square Roots

Principal Square Root

Does 25 = ± 5 ? 25 = ± 5 ?

Contoh 1

Evaluating Square Roots

Penyelesaian

Using the Product Rule to Simplify Square Roots

To simplify a square root, we rewrite it such that there are no perfect squares in the radicand. There are several properties of square roots that allow us to simplify complicated radical expressions. The first rule we will look at is the product rule for simplifying square roots, which allows us to separate the square root of a product of two numbers into the product of two separate rational expressions. For instance, we can rewrite 15 15 as 3 ⋅ 5 . 3 ⋅ 5 . We can also use the product rule to express the product of multiple radical expressions as a single radical expression.

The Product Rule for Simplifying Square Roots

Bagaimana untuk

Given a square root radical expression, use the product rule to simplify it.

  1. Factor any perfect squares from the radicand.
  2. Write the radical expression as a product of radical expressions.
  3. Permudahkan.

Example 2

Using the Product Rule to Simplify Square Roots

Simplify the radical expression.

Penyelesaian


  1. 100 ⋅ 3 Factor perfect square from radicand . 100 ⋅ 3 Write radical expression as product of radical expressions . 10 3 Simplify . 100 ⋅ 3 Factor perfect square from radicand . 100 ⋅ 3 Write radical expression as product of radical expressions . 10 3 Simplify .

  2. 81 a 4 b 4 ⋅ 2 a Factor perfect square from radicand . 81 a 4 b 4 ⋅ 2 a Write radical expression as product of radical expressions . 9 a 2 b 2 2 a Simplify . 81 a 4 b 4 ⋅ 2 a Factor perfect square from radicand . 81 a 4 b 4 ⋅ 2 a Write radical expression as product of radical expressions . 9 a 2 b 2 2 a Simplify .

Bagaimana untuk

Given the product of multiple radical expressions, use the product rule to combine them into one radical expression.

  1. Express the product of multiple radical expressions as a single radical expression.
  2. Permudahkan.

Example 3

Using the Product Rule to Simplify the Product of Multiple Square Roots

Simplify the radical expression.
12 ⋅ 3 12 ⋅ 3

Penyelesaian

12 ⋅ 3 Express the product as a single radical expression . 36 Simplify . 6 12 ⋅ 3 Express the product as a single radical expression . 36 Simplify . 6

Using the Quotient Rule to Simplify Square Roots

Just as we can rewrite the square root of a product as a product of square roots, so too can we rewrite the square root of a quotient as a quotient of square roots, using the quotient rule for simplifying square roots. It can be helpful to separate the numerator and denominator of a fraction under a radical so that we can take their square roots separately. We can rewrite 5 2 5 2 as 5 2 . 5 2 .

The Quotient Rule for Simplifying Square Roots

Bagaimana untuk

Given a radical expression, use the quotient rule to simplify it.

  1. Write the radical expression as the quotient of two radical expressions.
  2. Simplify the numerator and denominator.

Example 4

Using the Quotient Rule to Simplify Square Roots

Simplify the radical expression.

Penyelesaian

5 36 Write as quotient of two radical expressions . 5 6 Simplify denominator . 5 36 Write as quotient of two radical expressions . 5 6 Simplify denominator .

Example 5

Using the Quotient Rule to Simplify an Expression with Two Square Roots

Simplify the radical expression.

Penyelesaian

234 x 11 y 26 x 7 y Combine numerator and denominator into one radical expression . 9 x 4 Simplify fraction . 3 x 2 Simplify square root . 234 x 11 y 26 x 7 y Combine numerator and denominator into one radical expression . 9 x 4 Simplify fraction . 3 x 2 Simplify square root .

Simplify 9 a 5 b 14 3 a 4 b 5 . 9 a 5 b 14 3 a 4 b 5 .

Adding and Subtracting Square Roots

Bagaimana untuk

Given a radical expression requiring addition or subtraction of square roots, simplify.

Example 6

Adding Square Roots

Penyelesaian

Example 7

Subtracting Square Roots

Subtract 20 72 a 3 b 4 c − 14 8 a 3 b 4 c . 20 72 a 3 b 4 c − 14 8 a 3 b 4 c .

Penyelesaian

Rewrite each term so they have equal radicands.

Now the terms have the same radicand so we can subtract.

Rationalizing Denominators

When an expression involving square root radicals is written in simplest form, it will not contain a radical in the denominator. We can remove radicals from the denominators of fractions using a process called rationalizing the denominator.

We know that multiplying by 1 does not change the value of an expression. We use this property of multiplication to change expressions that contain radicals in the denominator. To remove radicals from the denominators of fractions, multiply by the form of 1 that will eliminate the radical.

For a denominator containing a single term, multiply by the radical in the denominator over itself. In other words, if the denominator is b c , b c , multiply by c c . c c .

For a denominator containing the sum or difference of a rational and an irrational term, multiply the numerator and denominator by the conjugate of the denominator, which is found by changing the sign of the radical portion of the denominator. If the denominator is a + b c , a + b c , then the conjugate is a − b c . a − b c .

Bagaimana untuk

Given an expression with a single square root radical term in the denominator, rationalize the denominator.


Tonton videonya: Matematika MinatPertemuan 1 Eksponen (Ogos 2022).