Artikel

3.5: Meningkat, Memandang ke Depan


Kami telah membuktikan beberapa teorema yang sukar di dalam bab ini, dan dengan memahami bukti Teorema Kelengkapan, anda telah memahami hujah yang rumit dengan idea yang hebat. Hasil kajian kami ditujukan pada struktur: Apa jenis struktur yang ada? Bagaimana kita (atau tidak boleh) mencirikan mereka? Berapa besar mereka boleh?

Bab seterusnya memulakan perbincangan kita mengenai teorema ketidaklengkapan terkenal Kurt Gödel. Daripada membincangkan kekuatan sistem deduktif kita seperti yang telah kita lakukan dalam dua bab terakhir, kita sekarang akan membincangkan kekuatan set aksioma. Secara khusus, kita akan melihat persoalan betapa rumitnya satu set aksioma untuk membuktikan semua pernyataan yang benar mengenai struktur standard ( mathfrak {N} ).

Dalam Bab 4 kami akan memperkenalkan idea untuk menyusun pernyataan ( mathcal {L} _ {NT} ) sebagai istilah dan akan menunjukkan bahawa sekumpulan aksioma nonlogikal tertentu cukup kuat untuk membuktikan beberapa fakta asas mengenai nombor mengekodkan penyataan tersebut. Kemudian, dalam Bab 5 dan 6, kita akan mengumpulkan fakta-fakta tersebut untuk menunjukkan bahawa kekuatan ekspresif yang kita perolehi telah memungkinkan kita untuk menyatakan kebenaran yang tidak dapat dibuktikan dari aksioma kita.

Sebagai alternatif, selepas Bab 4 anda boleh beralih terus ke Bab 7 dan mendekati masalah pembuktian dari arah lain. Tetapi buat masa ini, lanjutkan ke Bab 4!