Artikel

9.7: Menyelesaikan Sistem dengan Pembalikan - Matematik


Objektif Pembelajaran

  • Cari kebalikan dari matriks.
  • Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks songsang

Nancy merancang untuk melabur ($ 10,500 ) ke dalam dua bon berbeza untuk menyebarkan risikonya. Bon pertama mempunyai pulangan tahunan (10% ), dan bon kedua mempunyai pulangan tahunan (6% ). Untuk mendapat pulangan (8.5% ) dari kedua bon tersebut, berapakah jumlah yang perlu dilaburkan oleh Nancy dalam setiap bon tersebut? Apakah kaedah terbaik untuk menyelesaikan masalah ini? Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan masalah ini. Seperti yang telah kita lihat di bahagian sebelumnya, sistem persamaan dan matriks berguna dalam menyelesaikan masalah dunia nyata yang melibatkan kewangan. Setelah mempelajari bahagian ini, kita akan mempunyai alat untuk menyelesaikan masalah ikatan menggunakan terbalik matriks.

Mencari Invers of a Matrix

Kami tahu bahawa pembalikan darab bagi nombor nyata (a ) adalah (a ^ {- 1} ), jadi

[aa ^ {- 1} = a ^ {- 1} a = kiri ( dfrac {1} {a} kanan) a = 1 label {eq0} ]

Contohnya, pertimbangkan keadaan pendaraban skalar

[2 ^ {- 1} = dfrac {1} {2} bukan nombor ]

oleh itu dari Persamaan ref {eq0}

[ kiri ( dfrac {1} {2} kanan) 2 = 1. nombor ]

The terbalik darab bagi matriks sama konsepnya, kecuali bahawa produk matriks (A ) dan terbalik (A ^ {- 1} ) sama dengan matriks identiti. Matriks identiti adalah matriks persegi yang mengandungi pepenjuru dan nol utama di tempat lain. Kami mengenal pasti matriks identiti dengan (I_n ) di mana (n ) mewakili dimensi matriks. Persamaan ref {eq1} dan ref {eq2} adalah matriks identiti untuk matriks (2 × 2 ) dan matriks (3 × 3 ), masing-masing:

[I_2 = begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix} label {eq1} ]

[I_3 = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix} label {eq2} ]

Matriks identiti bertindak sebagai (1 ) dalam aljabar matriks. Sebagai contoh,

[AI = IA = A bukan nombor ]

Matriks yang mempunyai kebalikan darab mempunyai sifat

[AA ^ {- 1} = Saya ]

[A ^ {- 1} A = I ]

Matriks yang mempunyai pembalikan darab disebut sebagai matriks terbalik. Hanya matriks persegi yang mempunyai kebalikan darab, sebagai kebolehbalikan,

[AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I ]

adalah syarat. Tidak semua matriks persegi mempunyai kebalikan, tetapi jika (A ) tidak dapat dibalikkan, maka (A ^ {- 1} ) adalah unik. Kami akan melihat dua kaedah untuk mencari kebalikan dari matriks (2 × 2 ) dan kaedah ketiga yang boleh digunakan pada kedua-dua matriks (2 × 2 ) dan (3 × 3 ).

Definisi: MATRIK IDENTITI DAN INVERSE MULTIPLIKATIF

The matriks identiti, (I_n ), adalah matriks persegi yang mengandungi pepenjuru dan sifar utama di tempat lain.

[I_2 = bermula {bmatrix} 1 & 0 nonumber 0 & 1 end {bmatrix} ]

seperti untuk matriks identiti (2 × 2 )

[I_3 = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 nonumber 0 & 1 & 0 nonumber 0 & 0 & 1 end {bmatrix} ]

seperti untuk matriks identiti (3 × 3 )

Sekiranya (A ) adalah matriks (n × n ) dan (B ) adalah matriks (n × n ) sehingga (AB = BA = I_n ), maka (B = A −1 ), yang terbalik darab bagi matriks (A ).

Contoh ( PageIndex {1} ): Menunjukkan bahawa Matriks Identiti Berfungsi sebagai 1

Diberi matriks (A ), tunjukkan bahawa (AI = IA = A ).

[A = begin {bmatrix} 3 & 4 nonumber −2 & 5 end {bmatrix} ]

Penyelesaian

Gunakan pendaraban matriks untuk menunjukkan bahawa produk (A ) dan matrik identiti sama dengan produk matriks identiti dan (A ).

[ begin {align *} AI & = begin {bmatrix} 3 & 4 nonumber −2 & 5 end {bmatrix} begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber 0 & 1 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = mulakan {bmatrix} 3⋅1 + 4⋅0 & 3⋅0 + 4⋅1 nonumber −2⋅1 + 5⋅0 & −2⋅0 + 5⋅1 end {bmatrix} nonumber [ 4pt] & = bermula {bmatrix} 3 & 4 nonumber −2 & 5 end {bmatrix} end {align *} ]

[ begin {align *} AI & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber 0 & 1 end {bmatrix} begin {bmatrix} 3 & 4 nonumber −2 & 5 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = mulakan {bmatrix} 1⋅3 + 0⋅ (−2) & 1⋅4 + 0⋅5 nonumber 0⋅3 + 1⋅ (−2) & 0⋅4 + 1⋅5 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 3 & 4 nonumber −2 & 5 end {bmatrix} end {align *} ]

Cara: Diberi dua matriks, tunjukkan bahawa satu adalah terbalik darab yang lain

  • Diberi matriks (A ) pesanan (n × n ) dan matriks (B ) pesanan (n × n ) darab (AB ).
  • Sekiranya (AB = I ), cari produk (BA ). Sekiranya (BA = I ), maka (B = A ^ {- 1} ) dan (A = B ^ {- 1} ).

Contoh ( PageIndex {2} ): Menunjukkan Matriks Itu (A ) Adalah Matriks Berbalik Berganda (B )

Tunjukkan bahawa matriks yang diberikan adalah terbalik darab satu sama lain.

[A = begin {bmatrix} 1 & 5 nonumber −2 & −9 end {bmatrix} ]

dan

[B = begin {bmatrix} −9 & −5 nonumber 2 & 1 end {bmatrix} ]

Penyelesaian

Gandakan (AB ) dan (BA ). Sekiranya kedua-dua produk sama dengan identiti, maka kedua-dua matriks itu saling bertentangan.

[ begin {align *} AB & = begin {bmatrix} 1 & 5 nonumber −2 & −9 end {bmatrix} · begin {bmatrix} −9 & −5 nonumber 2 & 1 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 (−9) +5 (2) & 1 (−5) +5 (1) nonumber −2 (−9) −9 (2) & −2 (−5) −9 (1) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} ]

dan

[ begin {align *} BA & = begin {bmatrix} −9 & −5 nonumber 2 & 1 end {bmatrix} · begin {bmatrix} 1 & 5 nonumber −2 & −9 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −9 (1) −5 (−2) & - 9 (5) −5 (−9) nonumber 2 (1) +1 (−2 ) & 2 (−5) +1 (−9) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} ]

(A ) dan (B ) adalah kebalikan antara satu sama lain.

Latihan ( PageIndex {1} )

Tunjukkan bahawa dua matriks berikut adalah terbalik antara satu sama lain.

[A = begin {bmatrix} 1 & 4 nonumber [4pt] −1 & −3 end {bmatrix} ]

dan

[B = begin {bmatrix} −3 & −4 nonumber [4pt] 1 & 1 end {bmatrix} ]

Jawapan

( begin {align *} AB & = begin {bmatrix} 1 & 4 nonumber [4pt] −1 & −3 end {bmatrix} begin {bmatrix} −3 & −4 nonumber [4pt] 1 & 1 akhir {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 (−3) +4 (1) & 1 (−4) +4 (1) nonumber [4pt] −1 (−3 ) + - 3 (1) & - 1 (−4) + - 3 (1) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} )

( begin {align *} BA & = begin {bmatrix} −3 & −4 nonumber [4pt] 1 & 1 end {bmatrix} begin {bmatrix} 1 & 4 nonumber [4pt] −1 & −3 akhir {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −3 (1) + - 4 (−1) & - 3 (4) + - 4 (−3) nonumber [4pt] 1 (1) +1 (−1) & 1 (4) +1 (−3) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} )

Mencari Pendaraban Berbilang Menggunakan Pendaraban Matriks

Kita sekarang dapat menentukan sama ada dua matriks adalah terbalik, tetapi bagaimana kita dapat mencari kebalikan dari matriks tertentu? Oleh kerana kita tahu bahawa produk matriks dan kebalikannya adalah matriks identiti, kita dapat mencari kebalikan dari matriks dengan membuat persamaan menggunakan pendaraban matriks.

Contoh ( PageIndex {3} ): Mencari Pendaraban Berbilang Menggunakan Matriks Pendaraban

Gunakan pendaraban matriks untuk mencari kebalikan dari matriks yang diberikan.

[A = begin {bmatrix} 1 & −2 nonumber [4pt] 2 & −3 end {bmatrix} ]

Penyelesaian

Untuk kaedah ini, kita mengalikan (A ) dengan matriks yang mengandungi pemalar yang tidak diketahui dan menetapkannya sama dengan identiti.

( begin {bmatrix} 1 & −2 nonumber [4pt] 2 & −3 end {bmatrix} begin {bmatrix} a & b nonumber [4pt] c & d end {bmatrix} = mula {bmatrix} 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} )

Cari produk dua matriks di sebelah kiri tanda sama.

[ begin {bmatrix} 1 & −2 nonumber [4pt] 2 & −3 end {bmatrix} begin {bmatrix} a & b nonumber [4pt] c & d end {bmatrix} = mula {bmatrix} 1a − 2c & 1b − 2d nonumber [4pt] 2a − 3c & 2b − 3d end {bmatrix} ]

Seterusnya, sediakan sistem persamaan dengan entri pada baris 1, lajur 1 matriks baru yang sama dengan entri pertama identiti, (1 ). Tetapkan entri di baris 2, lajur 1 matriks baru sama dengan entri identiti yang sesuai, iaitu (0 ).

(1a − 2c = 1 ruang R_1 )

(2a − 3c = 0 ruang R_2 )

Menggunakan operasi baris, darab dan tambahkan seperti berikut: ((- 2) R_1 + R_2 kanan bawah R_2 ). Tambahkan persamaan, dan selesaikan (c ).

[ start {align *} 1a − 2c & = 1 nonumber [4pt] 0 + 1c & = - 2 nonumber [4pt] c = −2 nonumber end {align *} nonumber ]

Pengganti belakang untuk menyelesaikan (a ).

[ start {align *} a − 2 (−2) & = 1 nonumber [4pt] a + 4 & = 1 nonumber [4pt] a & = - 3 nonumber end {align *} bukan nombor ]

Tulis sistem persamaan lain yang menetapkan entri pada baris 1, lajur 2 matriks baru yang sama dengan entri identiti yang sesuai, (0 ). Tetapkan entri di baris 2, lajur 2 sama dengan entri identiti yang sesuai.

(1b − 2d = 0 ruang R_1 )

(2b − 3d = 1 ruang R_2 )

Dengan menggunakan operasi baris, darab dan tambahkan seperti berikut: ((- 2) R_1 + R_2 = R_2 ). Tambahkan dua persamaan dan selesaikan (d ).

[ start {align *} 1b − 2d & = 0 nonumber [4pt] 0 + 1d & = 1 nonumber [4pt] d & = 1 nonumber end {align *} nonumber ]

Sekali lagi, ganti semula dan selesaikan (b ).

[ start {align *} b − 2 (1) & = 0 nonumber [4pt] b & −2 = 0 nonumber [4pt] b & = 2 nonumber end {align *} bukan nombor ]

[A ^ {- 1} = begin {bmatrix} −3 & 2 nonumber [4pt] −2 & 1 end {bmatrix} ]

Mencari Pembalikan Berganda dengan Menambah dengan Identiti

Kaedah lain untuk mencari pendalikan darab adalah dengan menambahkan identiti. Apabila matriks (A ) diubah menjadi (I ), matriks tambahan (I ) berubah menjadi (A ^ {- 1} ).

Contohnya, diberikan

(A = begin {bmatrix} 2 & 1 nonumber [4pt] 5 & 3 end {bmatrix} )

augment (A ) dengan identiti

( kiri [ begin {array} {cc | cc} 2 & 1 & 1 & 0 5 & 3 & 0 & 1 end {array} kanan] )

Lakukan operasi baris dengan tujuan mengubah A menjadi identiti.

  1. Tukar baris 1 dan baris 2.

    ( kiri [ begin {array} {cc | cc} 5 & 3 & 0 & 1 nonumber [4pt] 2 & 1 & 1 & 0 end {array} kanan] )

  2. Darabkan baris 2 dengan −2 dan tambahkan ke baris 1.

    ( kiri [ begin {array} {cc | cc} 1 & 1 & -2 & 1 nonumber [4pt] 2 & 1 & 1 & 0 end {array} kanan] )

  3. Darabkan baris 1 dengan −2 dan tambahkan ke baris 2.

    ( kiri [ begin {array} {cc | cc} 1 & 1 & -2 & 1 nonumber [4pt] 0 & -1 & 5 & -2 end {array} kanan] )

  4. Tambahkan baris 2 ke baris 1.
  5. Darabkan baris 2 dengan − 1. −1.

Matriks yang kami temui ialah (A ^ {- 1} ).

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} 3 & −1 nonumber [4pt] −5 & 2 end {bmatrix} )

Mencari Matriks Berganda (2 × 2 ) Matriks Menggunakan Formula

Apabila kita perlu mencari pendalikan darab matriks (2 × 2 ), kita boleh menggunakan formula khas dan bukannya menggunakan pendaraban matriks atau menambah dengan identiti.

Sekiranya (A ) adalah matriks (2 × 2 ), seperti

(A = start {bmatrix} a & b nonumber [4pt] c & d end {bmatrix} )

pembalikan darab (A ) diberikan oleh formula

(A ^ {- 1} = dfrac {1} {ad − bc} begin {bmatrix} d & −b nonumber [4pt] −c & a end {bmatrix} )

di mana (iklan − bc ≠ 0 ). Sekiranya (iklan − bc = 0 ), maka (A ) tidak mempunyai kebalikan.

Contoh ( PageIndex {4} ): Menggunakan Formula untuk Mencari Matriks Pembalikan Multiplikatif (A )

Gunakan formula untuk mencari pembalikan darab

[A = begin {bmatrix} 1 & −2 nonumber [4pt] 2 & −3 end {bmatrix} ]

Penyelesaian

Kita dapat memastikan formula kita berfungsi dengan menggunakan salah satu kaedah lain untuk mengira kebalikannya. Mari menambah (A ) dengan identiti.

( kiri [ begin {array} {cc | cc} 1 & -2 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & -3 & 0 & 1 end {array} kanan] )

Lakukan operasi baris dengan tujuan mengubah (A ) menjadi identiti.

  1. Darabkan baris 1 dengan (- 2 ) dan tambahkan ke baris 2.

    ( kiri [ begin {array} {cc | cc} 1 & -2 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & -2 & 1 end {array} kanan] )

  2. Darabkan baris 1 dengan (2 ) dan tambahkan ke baris 1.

    ( kiri [ begin {array} {cc | cc} 1 & 0 & -3 & 2 nonumber [4pt] 0 & 1 & -2 & 1 end {array} kanan] )

Oleh itu, kami telah mengesahkan penyelesaian asal kami.

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} −3 & 2 nonumber [4pt] −2 & 1 end {bmatrix} )

Latihan ( PageIndex {2} )

Gunakan formula untuk mencari terbalik matriks (A ). Sahkan jawapan anda dengan menambah matriks identiti.

(A = begin {bmatrix} 1 & −1 nonumber [4pt] 2 & 3 end {bmatrix} )

Jawapan

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} dfrac {3} {5} & dfrac {1} {5} nonumber [4pt] - dfrac {2} {5} & dfrac {1} {5} akhir {bmatrix} )

Contoh ( PageIndex {5} ): Mencari Invers Matriks, Sekiranya Ada

Cari terbalik, jika ada, dari matriks yang diberikan.

(A = begin {bmatrix} 3 & 6 nonumber [4pt] 1 & 2 end {bmatrix} )

Penyelesaian

Kami akan menggunakan kaedah menambah dengan identiti.

( kiri [ begin {array} {cc | cc} 3 & 6 & 1 & 0 nonumber [4pt] 1 & 3 & 0 & 1 end {array} kanan] )

  1. Tukar baris 1 dan baris 2.

    ( kiri [ begin {array} {cc | cc} 1 & 3 & 0 & 1 nonumber [4pt] 3 & 6 & 1 & 0 end {array} kanan] )

  2. Darabkan baris 1 dengan −3 dan tambahkannya ke baris 2.

    ( kiri [ begin {array} {cc | cc} 1 & 2 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & -3 & 1 end {array} kanan] )

  3. Tidak ada lagi yang dapat kita lakukan. Nol di baris 2 menunjukkan bahawa matriks ini tidak mempunyai kebalikan.
Mencari Matriks Pembalikan Multiplikatif (3 × 3 )

Malangnya, kita tidak mempunyai formula yang serupa dengan matriks (2 × 2 ) untuk mencari matriks terbalik (3 × 3 ). Sebagai gantinya, kami akan menambah matriks asal dengan matriks identiti dan menggunakan operasi baris untuk mendapatkan kebalikannya.

Diberi matriks (3 × 3 )

[A = begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} ]

augment (A ) dengan matriks identiti

[ begin {array} {c | c} A&I end {array} = kiri [ begin {array} {ccc | ccc} 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 tamat {array} kanan] ]

Untuk memulakan, kami menulis matriks tambahan dengan identiti di sebelah kanan dan (A ) di sebelah kiri. Berprestasi sekolah rendah operasi barisan supaya yang matriks identiti muncul di sebelah kiri, kami akan memperoleh matriks songsang di sebelah kanan. Kami akan mencari kebalikan dari matriks ini dalam contoh seterusnya.

Cara: Diberi matriks (3 × 3 ), cari yang terbalik

  1. Tulis matriks asal ditambah dengan matriks identiti di sebelah kanan.
  2. Gunakan operasi baris asas sehingga identiti muncul di sebelah kiri.
  3. Apa yang diperoleh di sebelah kanan adalah kebalikan dari matriks asal.
  4. Gunakan pendaraban matriks untuk menunjukkan bahawa (AA ^ {- 1} = I ) dan (A ^ {- 1} A = I ).

Contoh ( PageIndex {6} ): Mencari Invers Matrik (3 × 3 )

Diberi matriks (3 × 3 ) (A ), cari kebalikannya.

(A = begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} )

Penyelesaian

Augment (A ) dengan matriks identiti, dan kemudian mulakan operasi baris sehingga matriks identiti menggantikan (A ). Matriks di sebelah kanan akan terbalik dari (A ).

( kiri [ begin {array} {ccc | ccc} 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 end {array} kanan] xrightarrow {Tukar ruang R_2 ruang dan space R_1} kiri [ begin {array} {ccc | ccc} 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 end {array} kanan] )

(- R_2 + R_1 = R_1 kananarrow kiri [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 end {array} kanan] )

(- R_2 + R_3 = R_3 rightarrow kiri [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 end {array} betul] )

(R_2 leftrightarrow R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 nonumber [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 end {array} kanan] )

(- 2R_1 + R_3 = R_3 rightarrow kiri [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 nonumber [4pt] 0 & 3 & 1 & 3 & -2 & 0 end {array } kanan] )

(- 3R_2 + R_3 = R_3 rightarrow kiri [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 nonumber [4pt] 0 & 0 & 1 & 6 & -2 & -3 end {array} kanan] )

Oleh itu,

(A ^ {- 1} = B = begin {bmatrix} −1 & 1 & 0 nonumber [4pt] −1 & 0 & 1 nonumber [4pt] 6 & −2 & −3 end {bmatrix} )

Analisis

Untuk membuktikan bahawa (B = A ^ {- 1} ), mari kita gandakan dua matriks itu bersama-sama untuk melihat sama ada produk itu sama dengan identiti, jika (AA ^ {- 1} = I ) dan (A ^ { −1} A = I ).

[ start {align *} AA ^ {- 1} & = begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} mula {bmatrix} −1 & 1 & 0 nonumber [4pt] −1 & 0 & 1 nonumber [4pt] 6 & −2 & −3 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = mula {bmatrix} 2 (−1) +3 (−1 ) +1 (6) & 2 (1) +3 (0) +1 (−2) & 2 (0) +3 (1) +1 (−3) bukan nombor [4pt] 3 (−1) +3 (−1) +1 (6) & 3 (1) +3 (0) +1 (−2) & 3 (0) +3 (1) +1 (−3) bukan nombor [4pt] 2 ( −1) +4 (−1) +1 (6) & 2 (1) +4 (0) +1 (−2) & 2 (0) +4 (1) +1 (−3) akhir {bmatrix } nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & 1 end {bmatrix} nonumber [4pt] A ^ {- 1} A & = mula {bmatrix} −1 & 1 & 0 nonumber [4pt] −1 & 0 & 1 nonumber [4pt] 6 & −2 & −3 end {bmatrix} begin {bmatrix} & 2 & 31 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −1 (2) +1 (3) +0 (2) & −1 (3) +1 (3) +0 (4) & −1 (1) +1 (1) +0 (1) bukan nombor [4pt] −1 (2) +0 (3) +1 (2) & −1 (3) +0 (3) + 1 (4) & −1 (1) +0 (1) +1 (1) bukan nombor [4pt] 6 (2) + - 2 (3) + - 3 (2) & 6 (3) + - 2 (3) + - 3 (4) & 6 (1) + - 2 (1) + - 3 (1) akhir {bmatrix} nonumber [4pt] & = bermula {bmatrix} 1 & 0 & 0 nonumbe r [4pt] 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} ]

Latihan ( PageIndex {3} )

Cari kebalikan dari matriks (3 × 3 ).

(A = begin {bmatrix} 2 & −17 & 11 nonumber [4pt] −1 & 11 & −7 nonumber [4pt] 0 & 3 & −2 end {bmatrix} )

Jawapan

(A ^ {- 1} = bermula {bmatrix} 1 & 1 & 2 nonumber [4pt] 2 & 4 & −3 nonumber [4pt] 3 & 6 & −5 end {bmatrix} )

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Menggunakan Invers of a Matrix

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kebalikan dari matriks memerlukan definisi dua matriks baru: (X ) adalah matriks yang mewakili pemboleh ubah sistem, dan (B ) adalah matriks yang mewakili pemalar. Menggunakan pendaraban matriks, kita boleh menentukan sistem persamaan dengan bilangan persamaan yang sama dengan pemboleh ubah seperti

(AX = B )

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks terbalik, biarkan (A ) menjadi matriks pekali, biarkan (X ) menjadi matriks berubah-ubah, dan biarkan (B ) menjadi matriks malar. Oleh itu, kami ingin menyelesaikan sistem (AX = B ). Contohnya, lihat sistem persamaan berikut.

(a_1x + b_1y = c_1 )

(a_2x + b_2y = c_2 )

Dari sistem ini, matriks pekali adalah

(A = bermula {bmatrix} a_1 & b_1 nonumber [4pt] a_2 & b_2 end {bmatrix} )

Matriks pemboleh ubah adalah

(X = mulakan {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} )

Dan matriks malar adalah

(B = mulakan {bmatrix} c_1 nonumber [4pt] c_2 end {bmatrix} )

Kemudian (AX = B ) kelihatan seperti

( begin {bmatrix} a_1 & b_1 nonumber [4pt] a_2 & b_2 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} = mula {bmatrix} c_1 nonumber [4pt] c_2 end {bmatrix} )

Ingat perbincangan lebih awal di bahagian ini mengenai mengalikan nombor nyata dengan kebalikannya, ((2 ^ {- 1}) 2 = kiri ( dfrac {1} {2} kanan) 2 = 1 ). Untuk menyelesaikan satu persamaan linier (ax = b ) untuk (x ), kita hanya akan mengalikan kedua-dua sisi persamaan dengan pembalikan pendua (timbal balik) (a ). Oleh itu,

[ start {align *} ax & = b kiri ( dfrac {1} {a} kanan) ax & = kiri ( dfrac {1} {a} kanan) b kiri (a ^ {- 1} kanan) kapak & = kiri (a ^ {- 1} kanan) b kiri [ kiri (a ^ {- 1} kanan) a kanan] x & = kiri (a ^ {- 1} kanan) b 1x & = kiri (a ^ {- 1} kanan) b x & = kiri (a ^ {- 1} kanan) b end {align *} ]

Satu-satunya perbezaan antara menyelesaikan persamaan linear dan sistem persamaan yang ditulis dalam bentuk matriks adalah bahawa mencari terbalik suatu matriks lebih rumit, dan pendaraban matriks adalah proses yang lebih panjang. Walau bagaimanapun, tujuannya adalah sama - untuk mengasingkan pemboleh ubah.

Kami akan menyelidiki idea ini secara terperinci, tetapi sangat berguna untuk memulakan dengan sistem (2 × 2 ) dan kemudian beralih ke sistem (3 × 3 ).

MENYELESAIKAN SISTEM PERALATAN MENGGUNAKAN BAHAN MATRIK

Diberi sistem persamaan, tuliskan matriks pekali (A ), matriks pemboleh ubah (X ), dan matriks malar (B ). Kemudian

(AX = B )

Gandakan kedua-dua sisi dengan kebalikan (A ) untuk mendapatkan penyelesaiannya.

[ start {align *} kiri (A ^ {- 1} kanan) AX & = kiri (A ^ {- 1} kanan) B kiri [ kiri (A ^ {- 1} kanan) A kanan] X & = kiri (A ^ {- 1} kanan) B IX & = kiri (A ^ {- 1} kanan) B X & = kiri (A ^ {- 1 } kanan) B end {align *} ]

Soal Jawab: Sekiranya matriks pekali tidak mempunyai kebalikan, adakah itu bermaksud sistem tidak mempunyai penyelesaian?

Tidak, jika matriks pekali tidak dapat dibalikkan, sistem ini mungkin tidak konsisten dan tidak mempunyai penyelesaian, atau bergantung dan mempunyai banyak penyelesaian.

Contoh ( PageIndex {7} ): Menyelesaikan Sistem (2 × 2 ) Menggunakan Invers Matriks

Selesaikan sistem persamaan yang diberikan menggunakan kebalikan dari matriks.

[ mula {align *} 3x + 8y & = 5 4x + 11y & = 7 end {align *} ]

Penyelesaian

Tulis sistem dari segi matriks pekali, matriks pemboleh ubah, dan matriks malar.

(A = begin {bmatrix} 3 & 8 nonumber [4pt] 4 & 11 end {bmatrix} ), (X = begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} ), (B = bermula {bmatrix} 5 nonumber [4pt] 7 end {bmatrix} )

Kemudian

( begin {bmatrix} 3 & 8 nonumber [4pt] 4 & 11 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} = mula {bmatrix} 5 nonumber [4pt] 7 akhir {bmatrix} )

Pertama, kita perlu mengira (A ^ {- 1} ). Dengan menggunakan formula untuk mengira kebalikan dari matriks (2 ) oleh (2 ), kita mempunyai:

[ start {align *} A ^ {- 1} & = dfrac {1} {ad − bc} begin {bmatrix} d & −b nonumber [4pt] −c & a end {bmatrix} & = dfrac {1} {3 (11) −8 (4)} bermula {bmatrix} 11 & −8 nonumber [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} & = dfrac {1} { 1} mula {bmatrix} 11 & −8 nonumber [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} end {align *} ]

Jadi,

(A ^ {- 1} = bermula {bmatrix} 11 & −8 nonumber [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} )

Sekarang kita sudah bersedia untuk menyelesaikannya. Darabkan kedua-dua sisi persamaan dengan (A ^ {- 1} ).

[ start {align *} kiri (A ^ {- 1} kanan) AX & = kiri (A ^ {- 1} kanan) B [4pt] mula {bmatrix} 11 & −8 angka [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} begin {bmatrix} 3 & 8 nonumber [4pt] 4 & 11 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} & = bermula {bmatrix} 11 & −8 nonumber [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} begin {bmatrix} 5 nonumber [4pt] 7 end {bmatrix} [4pt] begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} & = mula {bmatrix} 11 (5) + (- 8) 7 nonumber [4pt] −4 (5) +3 (7) end {bmatrix} [4pt] begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} & = bermula {bmatrix} −1 nonumber [4pt] 1 end {bmatrix} end {align *} ]

Penyelesaiannya ialah ((- 1,1) ).

Soal Jawab: Bolehkah kita menyelesaikan (X ) dengan mencari produk (BA ^ {- 1} )?

Tidak, ingat bahawa pendaraban matriks tidak bersifat komutatif, jadi (A ^ {- 1} B ≠ BA ^ {- 1} ). Pertimbangkan langkah kami untuk menyelesaikan persamaan matriks.

[ start {align *} kiri (A ^ {- 1} kanan) AX & = kiri (A ^ {- 1} kanan) B kiri [ kiri (A ^ {- 1} kanan) A kanan] X & = kiri (A ^ {- 1} kanan) B IX & = kiri (A ^ {- 1} kanan) B X & = kiri (A ^ {- 1 } kanan) B end {align *} ]

Perhatikan pada langkah pertama kita mengalikan kedua sisi persamaan dengan (A ^ {- 1} ), tetapi (A ^ {- 1} ) berada di sebelah kiri (A ) di sebelah kiri dan di sebelah kiri (B ) di sebelah kanan. Oleh kerana pendaraban matriks tidak bersifat komutatif, urutan penting.

Contoh ( PageIndex {8} ): Menyelesaikan Sistem 3 × 3 Menggunakan Invers Matriks

Selesaikan sistem berikut menggunakan kebalikan dari matriks.

Penyelesaian

Tuliskan persamaan (AX = B ).

( begin {bmatrix} 5 & 15 & 56 nonumber [4pt] −4 & −11 & −41 nonumber [4pt] −1 & −3 & −11 end {bmatrix} mula {bmatrix} x nonumber [ 4pt] y nonumber [4pt] z end {bmatrix} = begin {bmatrix} 35 nonumber [4pt] −26 nonumber [4pt] −7 end {bmatrix} )

Pertama, kita akan mencari kebalikan dari (A ) dengan menambahkan identiti.

( kiri [ begin {array} {ccc | ccc} 5 & 15 & 56 & 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] −4 & −11 & −41 & 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 end {array} kanan] )

Darabkan baris 1 dengan ( dfrac {1} {5} ).

( kiri [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & dfrac {56} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 0 nonumber [4pt] −4 & −11 & −41 & 0 & 1 & 0 angka [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 end {array} kanan] )

Darabkan baris 1 dengan (4 ) dan tambahkan ke baris 2.

( kiri [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & dfrac {56} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & dfrac {19} {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 end {array} kanan] )

Tambahkan baris 1 ke baris 3.

( kiri [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & dfrac {56} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & dfrac {19} {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & dfrac {1} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 1 end {array} kanan] )

Darabkan baris 2 dengan (- 3 ) dan tambahkan ke baris 1.

( kiri [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & - dfrac {1} {5} & - dfrac {11} {5} & - 3 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & dfrac {19 } {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & dfrac {1} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 1 end {array} kanan] )

Darabkan baris 3 dengan (5 ).

( kiri [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & - dfrac {1} {5} & - dfrac {11} {5} & - 3 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & dfrac {19 } {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 5 end {array} kanan] )

Darabkan baris 3 dengan ( dfrac {1} {5} ) dan tambahkan ke baris 1.

( kiri [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -2 & -3 & 1 nonumber [4pt] 0 & 1 & dfrac {19} {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 5 end {array} kanan] )

Darabkan baris 3 dengan (- dfrac {19} {5} ) dan tambahkan ke baris 2.

Jadi,

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} −2 & −3 & 1 nonumber [4pt] −3 & 1 & −19 nonumber [4pt] 1 & 0 & 5 end {bmatrix} )

Darabkan kedua-dua sisi persamaan dengan (A ^ {- 1} ). Kami mahu (A ^ {- 1} AX = A ^ {- 1} B ):

( begin {bmatrix} −2 & −3 & 1 nonumber [4pt] −3 & 1 & −19 nonumber [4pt] 1 & 0 & 5 end {bmatrix} begin {bmatrix} 5 & 15 & 56 nonumber [4pt] −4 & −11 & −41 nonumber [4pt] −1 & −3 & −11 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y nonumber [4pt] z end {bmatrix} = begin {bmatrix} −2 & −3 & 1 nonumber [4pt] −3 & 1 & −19 nonumber [4pt] 1 & 0 & 5 end {bmatrix} mula {bmatrix} 35 nonumber [4pt] −26 nonumber [4pt] −7 end {bmatrix} )

Oleh itu,

(A ^ {- 1} B = begin {bmatrix} −70 + 78−7 nonumber [4pt] −105−26 + 133 nonumber [4pt] 35 + 0−35 end {bmatrix } = mulakan {bmatrix} 1 nonumber [4pt] 2 nonumber [4pt] 0 end {bmatrix} )

Penyelesaiannya ialah ((1,2,0) ).

Latihan ( PageIndex {4} )

Selesaikan sistem menggunakan matriks pekali terbalik.

Jawapan

(X = start {bmatrix} 4 nonumber [4pt] 38 nonumber [4pt] 58 end {bmatrix} )

Cara: Memandangkan sistem persamaan, selesaikan dengan terbalik matriks menggunakan kalkulator

  1. Simpan matriks pekali dan matriks malar sebagai pemboleh ubah matriks ([A] ) dan ([B] ).
  2. Masukkan pendaraban ke dalam kalkulator, memanggil setiap pemboleh ubah matriks mengikut keperluan.
  3. Sekiranya matriks pekali tidak dapat dibalikkan, kalkulator akan menunjukkan matriks penyelesaian; jika matriks pekali tidak dapat dibalikkan, kalkulator akan memaparkan mesej ralat.

Contoh ( PageIndex {9} ): Menggunakan Kalkulator untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan dengan Pembalikan Matriks

Selesaikan sistem persamaan dengan terbalik matriks menggunakan kalkulator

Penyelesaian

Pada halaman matriks kalkulator, masukkan matriks pekali sebagai pemboleh ubah matriks ([A] ), dan masukkan matriks malar sebagai pemboleh ubah matriks ([B] ).

([A] = begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} ), ([B] = mula {bmatrix} 32 bukan nombor [4pt] −27 nonumber [4pt] −2 end {bmatrix} )

Pada skrin utama kalkulator, ketik pendaraban untuk menyelesaikan (X ), memanggil setiap pemboleh ubah matriks yang diperlukan.

([A] ^ {- 1} × [B] )

Nilaikan ungkapan.

( mulakan {bmatrix} −59 nonumber [4pt] −34 nonumber [4pt] 252 end {bmatrix} )

Persamaan Utama

Matriks identiti untuk matriks (2 × 2 ) (I_2 = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} )
Matriks identiti untuk matriks (3 × 3 )

(I_3 = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & 1 end {bmatrix} )

Pembalikan multiplikatif bagi matriks (2 × 2 ) (A ^ {- 1} = dfrac {1} {ad − bc} begin {bmatrix} d & −b nonumber [4pt] −c & a end {bmatrix} ), di mana (iklan − bc ≠ 0 )

Konsep kunci

  • Matriks identiti mempunyai sifat (AI = IA = A ). Lihat Contoh ( PageIndex {1} ).
  • Matriks terbalik mempunyai sifat (AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I ). Lihat Contoh ( PageIndex {2} ).
  • Gunakan pendaraban matriks dan identiti untuk mencari kebalikan dari matriks (2 × 2 ). Lihat Contoh ( PageIndex {3} ).
  • Pembalikan darab boleh didapati menggunakan formula. Lihat Contoh ( PageIndex {4} ).
  • Kaedah lain untuk mencari kebalikan adalah dengan menambahkan identiti. Lihat Contoh ( PageIndex {5} ).
  • Kita dapat menambah matriks (3 × 3 ) dengan identiti di sebelah kanan dan menggunakan operasi baris untuk mengubah matriks asal menjadi identiti, dan matriks di sebelah kanan menjadi terbalik. Lihat Contoh ( PageIndex {6} ).
  • Tuliskan sistem persamaan sebagai (AX = B ), dan darabkan kedua-dua sisi dengan kebalikan dari (A ): (A ^ {- 1} AX = A ^ {- 1} B ). Lihat Contoh ( PageIndex {7} ) dan Contoh ( PageIndex {8} ).
  • Kita juga boleh menggunakan kalkulator untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan terbalik matriks. Lihat Contoh ( PageIndex {9} ).


Tonton videonya: Primena sistema linearnih jednačina osmi razred (Disember 2021).