Artikel

4.1: Selesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Dua Pemboleh ubah - Matematik

4.1: Selesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Dua Pemboleh ubah - Matematik



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Objektif Pembelajaran

Pada akhir bahagian ini, anda dapat:

  • Tentukan sama ada pasangan tertib adalah penyelesaian sistem persamaan
  • Selesaikan sistem persamaan linear dengan membuat grafik
  • Selesaikan sistem persamaan dengan penggantian
  • Selesaikan sistem persamaan dengan penghapusan
  • Pilih kaedah yang paling mudah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

Sebelum anda memulakan, ikuti kuiz kesediaan ini.

  1. Untuk persamaan (y = frac {2} {3} x − 4 ),
    Ⓐ Adakah ((6,0) ) penyelesaian? Ⓑ Adakah ((- 3, −2) ) penyelesaian?
    Sekiranya anda terlepas masalah ini, tinjau [pautan].
  2. Cari cerun dan y-pintas garis (3x − y = 12 ).
    Sekiranya anda terlepas masalah ini, tinjau [pautan].
  3. Cari x- dan y-pintas garis (2x − 3y = 12 ).
    Sekiranya anda terlepas masalah ini, tinjau [pautan].

Tentukan Sama ada Pasangan Teratur adalah Penyelesaian Sistem Persamaan

Dalam Menyelesaikan Persamaan Linear, kami belajar bagaimana menyelesaikan persamaan linear dengan satu pemboleh ubah. Sekarang kita akan bekerjasama dengan dua atau lebih persamaan linear yang dikumpulkan bersama, yang dikenali sebagai a sistem persamaan linear.

SISTEM PERALATAN LINEAR

Apabila dua atau lebih persamaan linear dikumpulkan bersama, mereka membentuk a sistem persamaan linear.

Dalam bahagian ini, kita akan memfokuskan pekerjaan kita pada sistem dua persamaan linear dalam dua yang tidak diketahui. Kami akan menyelesaikan sistem persamaan yang lebih besar pada bab ini.

Contoh sistem dua persamaan linear ditunjukkan di bawah. Kami menggunakan pendakap untuk menunjukkan dua persamaan dikelompokkan bersama untuk membentuk sistem persamaan.

[ kiri { mulakan {aligned} 2x + y & = 7 x − 2y & = 6 end {aligned} kanan. nombor ]

Persamaan linear dalam dua pemboleh ubah, seperti (2x + y = 7 ), mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terbatas. Grafiknya adalah garis. Ingat, setiap titik pada garis adalah penyelesaian untuk persamaan dan setiap penyelesaian untuk persamaan adalah titik pada garis.

Untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linear, kami ingin mencari nilai pemboleh ubah yang menjadi penyelesaiannya kedua-duanya persamaan. Dengan kata lain, kita mencari pasangan tertib ((x, y) ) yang menjadikan kedua persamaan itu benar. Ini dipanggil penyelesaian sistem persamaan.

Penyelesaian SISTEM PERALATAN

The penyelesaian sistem persamaan adalah nilai pemboleh ubah yang membuat semua persamaan itu benar. Penyelesaian sistem dua persamaan linear diwakili oleh pasangan tertib ((x, y) ).

Untuk menentukan sama ada pasangan tertib adalah penyelesaian untuk sistem dua persamaan, kami mengganti nilai pemboleh ubah ke dalam setiap persamaan. Sekiranya pasangan yang diperintahkan menjadikan kedua persamaan itu benar, ini adalah penyelesaian kepada sistem.

Contoh ( PageIndex {1} )

Tentukan sama ada pasangan yang disusun adalah penyelesaian kepada sistem ( kiri { begin {array} {l} x − y = −1 2x − y = −5 end {array} kanan. ).

ⓐ ((−2,−1)) ⓑ ((−4,−3))

Jawapan

Contoh ( PageIndex {2} )

Tentukan sama ada pasangan yang disusun adalah penyelesaian kepada sistem ( kiri { begin {array} 3x + y = 0 x + 2y = −5 end {array} kanan. ).

ⓐ ((1,−3)) ⓑ ((0,0))

Jawapan

Ⓐ ya ⓑ tidak

Contoh ( PageIndex {3} )

Tentukan sama ada pasangan yang disusun adalah penyelesaian untuk sistem ( kiri { begin {array} x − 3y = −8 −3x − y = 4 end {array} kanan. ).

ⓐ ((2,−2)) ⓑ ((−2,2))

Jawapan

Ⓐ tidak ⓑ ya

Selesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Membuat Grafik

Pada bahagian ini, kita akan menggunakan tiga kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Kaedah pertama yang akan kami gunakan adalah membuat grafik.

Graf persamaan linear ialah garis. Setiap titik pada garis adalah penyelesaian untuk persamaan. Untuk sistem dua persamaan, kita akan membuat graf dua garis. Kemudian kita dapat melihat semua titik yang menjadi penyelesaian bagi setiap persamaan. Dan, dengan mencari kesamaan garis, kami akan mencari jalan keluar untuk sistem.

Sebilangan besar persamaan linear dalam satu pemboleh ubah mempunyai satu penyelesaian, tetapi kita melihat bahawa beberapa persamaan, yang disebut kontradiksi, tidak mempunyai penyelesaian dan untuk persamaan lain, yang disebut identiti, semua nombor adalah penyelesaian.

Begitu juga, ketika kita menyelesaikan sistem dua persamaan linear yang diwakili oleh grafik dua garis dalam satah yang sama, ada tiga kemungkinan kes, seperti yang ditunjukkan.

Setiap kali kita menunjukkan kaedah baru, kita akan menggunakannya pada sistem persamaan linear yang sama. Di akhir bahagian, anda akan memutuskan kaedah mana yang paling sesuai untuk menyelesaikan sistem ini.

Contoh ( PageIndex {4} ): Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan dengan Membuat Grafik

Selesaikan sistem dengan membuat grafik ( kiri { begin {array} {l} 2x + y = 7 x − 2y = 6 end {array} kanan. ).

Jawapan

Contoh ( PageIndex {5} )

Selesaikan sistem dengan membuat grafik: ( kiri { begin {array} {l} x − 3y = −3 x + y = 5 end {array} kanan. ).

Jawapan

((3,2))

Contoh ( PageIndex {6} )

Selesaikan sistem dengan membuat grafik: ( kiri { begin {array} {l} −x + y = 1 3x + 2y = 12 end {array} kanan. )

Jawapan

((2,3))

Langkah-langkah yang harus digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan membuat grafik ditunjukkan di sini.

MENYELESAIKAN SISTEM PERALATAN LINEAR DENGAN GRAF.

  1. Grafkan persamaan pertama.
  2. Grafkan persamaan kedua pada sistem koordinat segi empat tepat yang sama.
  3. Tentukan sama ada garis bersilang, selari, atau garis yang sama.
  4. Kenal pasti penyelesaian kepada sistem.
    • Sekiranya garis bersilang, kenal pasti titik persimpangan. Ini adalah penyelesaian kepada sistem.
    • Sekiranya garis selari, sistem tidak mempunyai penyelesaian.
    • Sekiranya garisannya sama, sistem ini mempunyai sebilangan besar penyelesaian.
  5. Periksa penyelesaian dalam kedua persamaan.

Dalam contoh seterusnya, kita akan menulis semula persamaan ke dalam bentuk cerun – pintasan kerana ini akan memudahkan kita membuat graf garis dengan cepat.

Contoh ( PageIndex {7} )

Selesaikan sistem dengan membuat grafik: ( kiri { begin {array} {l} 3x + y = −1 2x + y = 0 end {array} kanan. )

Jawapan

Kami akan menyelesaikan kedua-dua persamaan ini untuk (y ) supaya kami dapat membuat grafik dengan mudah menggunakan cerun dan pintasan (y ) mereka.

Selesaikan persamaan pertama untuk y.
Cari cerun dan y-pintaran.
Selesaikan persamaan kedua untuk y.
Cari cerun dan y-pintaran.
Grafkan garis.
Tentukan titik persimpangan.Garis bersilang di ((- 1,2) ).
Periksa penyelesaian dalam kedua persamaan.

Penyelesaiannya ialah ((- 1,2) ).

Contoh ( PageIndex {8} )

Selesaikan sistem dengan membuat grafik: ( kiri { begin {array} {l} −x + y = 1 2x + y = 10 end {array} kanan. ).

Jawapan

((3,4))

Contoh ( PageIndex {9} )

Selesaikan sistem dengan membuat grafik: ( kiri { begin {array} {l} 2x + y = 6 x + y = 1 end {array} kanan. ).

Jawapan

((5,−4))

Dalam semua sistem persamaan linear sejauh ini, garis bersilang dan penyelesaiannya adalah satu titik. Dalam dua contoh seterusnya, kita akan melihat sistem persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian dan sistem persamaan yang mempunyai jumlah penyelesaian yang tidak terbatas.

Contoh ( PageIndex {11} )

Selesaikan sistem dengan membuat grafik: ( kiri { begin {array} {l} y = - tfrac {1} {4} x + 2 x + 4y = 4 end {array} kanan. ).

Jawapan

tiada jalan penyelesaian

Contoh ( PageIndex {12} )

Selesaikan sistem dengan membuat grafik: ( kiri { begin {array} {l} y = 3x-1 6x-2y = 6 end {array} kanan. ).

Jawapan

tiada jalan penyelesaian

Kadang kala persamaan dalam sistem mewakili garis yang sama. Oleh kerana setiap titik pada baris membuat kedua persamaan itu benar, ada banyak pasangan yang tersusun yang menjadikan kedua persamaan itu benar. Terdapat banyak penyelesaian untuk sistem ini.

Contoh ( PageIndex {13} )

Selesaikan sistem dengan membuat grafik: ( kiri { begin {array} {l} y = 2x-3 -6x + 3y = 9 end {array} kanan. ).

Jawapan
Cari cerun dan y-tanda persamaan pertama.
Cari pintasan persamaan kedua.
Grafkan garis.
Garisannya sama!
Oleh kerana setiap titik di talian membuat kedua-duanya
persamaan benar, terdapat banyak
pasangan tertib yang menjadikan kedua persamaan itu benar.
Terdapat banyak penyelesaian untuk sistem ini.

Sekiranya anda menulis persamaan kedua dalam bentuk cerun-pintasan, anda mungkin menyedari bahawa persamaan mempunyai cerun yang sama dan sama y-pintaran.

Contoh ( PageIndex {14} )

Selesaikan sistem dengan membuat grafik: ( kiri { begin {array} {l} y = -3x-6 6x + 2y = -12 end {array} kanan. ).

Jawapan

banyak penyelesaiannya

Contoh ( PageIndex {15} )

Selesaikan sistem dengan membuat grafik: ( kiri { begin {array} {l} y = tfrac {1} {2} x-4 2x-4y = 16 end {array} kanan. ) .

Jawapan

banyak penyelesaiannya

Semasa kami melukis garis kedua pada contoh terakhir, kami melukisnya tepat di atas baris pertama. Kami mengatakan dua baris itu kebetulan. Garis kebetulan mempunyai cerun yang sama dan sama y-memintas.

GARIS KOPI

Garis kebetulan mempunyai cerun yang sama dan sama y-memintas.

Sistem persamaan di Contohnya dan Contohnya masing-masing mempunyai dua garis bersilang. Setiap sistem mempunyai satu penyelesaian.

Dalam Contohnya, persamaan memberikan garis kebetulan, dan sistem ini mempunyai banyak penyelesaian.

Sistem dalam ketiga-tiga contoh itu mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. Sistem persamaan yang mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian disebut a konsisten sistem.

Sistem dengan garis selari, seperti Contohnya, tidak mempunyai penyelesaian. Kami memanggil sistem persamaan seperti ini tidak konsisten. Tidak ada jalan penyelesaian.

SISTEM KONSISTEN DAN TIDAK BERKONSISTEN

A sistem persamaan yang konsisten adalah sistem persamaan dengan sekurang-kurangnya satu penyelesaian.

Seorang sistem persamaan yang tidak konsisten adalah sistem persamaan tanpa penyelesaian.

Kami juga mengkategorikan persamaan dalam sistem persamaan dengan memanggil persamaan bebas atau bergantung. Sekiranya dua persamaan bebas, masing-masing mempunyai satu set penyelesaiannya sendiri. Garis bersilang dan garis selari tidak bersandar.

Sekiranya dua persamaan bergantung, semua penyelesaian satu persamaan juga penyelesaian persamaan yang lain. Apabila kita membuat graf dua persamaan bergantung, kita mendapat garis kebetulan.

Mari kita merumuskannya dengan melihat grafik tiga jenis sistem. Lihat di bawah dan Jadual.

GarisanBersilangSelariKebetulan
Jumlah penyelesaian1 mataTiada jalan penyelesaianJauh sekali
Konsisten / tidak konsistenKonsistenTidak konsistenKonsisten
Bergantung / berdikariBebasBebasBergantung

Contoh ( PageIndex {16} )

Tanpa membuat graf, tentukan bilangan penyelesaian dan kemudian kelaskan sistem persamaan.

Ⓐ ( kiri { begin {array} {l} y = 3x − 1 6x − 2y = 12 end {array} kanan. ) Ⓑ ( kiri { mula {array} { l} 2x + y = −3 x − 5y = 5 end {array} kanan. )

Jawapan

Ⓐ Kami akan membandingkan cerun dan pintasan kedua-dua garis.

( begin {array} {lll} {} & {} & { left { begin {array} {l} {y = 3x-1} {6x − 2y = 12} end {array} kanan.} {} & {} & {y = 3x-1} { text {Persamaan pertama sudah dalam bentuk pintasan cerun.}} & {} & {} { teks { Tuliskan persamaan kedua dalam bentuk cerun-pintasan.}} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {6x-2y = 12} {} & {} & {- 2y = -6x + 12} {} & {} & { frac {-2y} {- 2} = frac {-6x + 12} {- 2}} {} & {} & {y = 3x-6} {} & {y = 3x-1} & {y = 3x-6} {} & {m = 3} & {m = 3} {} & {b = -1} & {b = -6} { text {Cari cerun dan pintasan setiap baris.}} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {} {} & { text {Oleh kerana cerunnya sama dan pintasan yang sama}} & {} {} & { text {berbeza, garisnya selari.}} & {} end {array} )

Ⓑ Kami akan membandingkan cerun dan pintasan kedua-dua garis.

( begin {array} {lll} {} & {} & {} {} & { left { begin {array} {l} 2x + y = -3 x-5y = 5 end {array} kanan.} & {} { text {Tulis kedua persamaan dalam bentuk cerun – pintasan.}} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {} {} & {2x + y = -3} & {x-5y = 5} {} & {y = -2x-3} & {- 5y = -x + 5} {} & {} & { frac {-5y} {- 5} = frac {-x + 5} {- 5}} {} & {} & {y = frac {1} {5} -1} {} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {} { text {Cari cerun dan pintasan setiap baris.}} & {} & {} {} & {} & {} {} & {y = -2x-3 } & {y = frac {1} {5} -1} {} & {m = -2} & {m = frac {1} {5}} {} & {b = -3 } & {b = -1} {} & {} & {} {} & { text {Oleh kerana cerunnya berbeza, garis bersilang.}} & {} end {array} )

Sistem persamaan yang grafnya bersilang mempunyai 1 penyelesaian dan konsisten dan bebas.

Contoh ( PageIndex {17} )

Tanpa membuat graf, tentukan bilangan penyelesaian dan kemudian kelaskan sistem persamaan.

Ⓐ ( kiri { mulai {array} {l} y = −2x − 4 4x + 2y = 9 end {array} kanan. ) Ⓑ ( kiri { mulai {array} {l} 3x + 2y = 2 2x + y = 1 end {array} kanan. )

Jawapan

Solution tiada penyelesaian, tidak konsisten, bebas ⓑ satu penyelesaian, konsisten, bebas

Contoh ( PageIndex {18} )

Tanpa membuat graf, tentukan bilangan penyelesaian dan kemudian kelaskan sistem persamaan.

Ⓐ ( kiri { begin {array} {l} y = frac {1} {3} x − 5 x − 3y = 6 end {array} kanan. ) Ⓑ ( kiri { begin {array} {l} x + 4y = 12 −x + y = 3 end {array} kanan. )

Jawapan

Solution tiada penyelesaian, tidak konsisten, bebas ⓑ satu penyelesaian, konsisten, bebas

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan membuat grafik adalah kaedah yang baik untuk menggambarkan jenis penyelesaian yang mungkin berlaku. Walau bagaimanapun, terdapat banyak kes di mana menyelesaikan sistem dengan membuat grafik tidak sesuai atau tidak tepat. Sekiranya graf melampaui grid kecil dengan x dan y kedua-duanya antara (- 10 ) dan 10, melukis garis mungkin membebankan. Dan jika penyelesaian pada sistem tidak berupa bilangan bulat, sukar untuk membaca nilainya tepat dari grafik.

Selesaikan Sistem Persamaan dengan Penggantian

Kami sekarang akan menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah penggantian.

Kami akan menggunakan sistem yang sama dengan yang kami gunakan dahulu untuk membuat grafik.

[ kiri { start {array} {l} 2x + y = 7 x − 2y = 6 end {array} kanan. nombor ]

Kami akan menyelesaikan salah satu persamaan untuk kedua-duanya x atau y. Kita boleh memilih sama ada persamaan dan menyelesaikan kedua-dua pembolehubah itu - tetapi kita akan berusaha membuat pilihan yang akan memudahkan kerja.

Kemudian kita menggantikan ungkapan itu ke persamaan yang lain. Hasilnya adalah persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah - dan kita tahu bagaimana menyelesaikannya!

Setelah kita menjumpai nilai satu pemboleh ubah, kita akan menggantikan nilai tersebut menjadi salah satu persamaan asal dan menyelesaikan pemboleh ubah yang lain. Akhirnya, kami memeriksa penyelesaian kami dan memastikan ia menjadikan kedua persamaan itu benar.

Contoh ( PageIndex {19} ): Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan dengan Penggantian

Selesaikan sistem dengan penggantian: ( kiri { begin {array} {l} 2x + y = 7 x − 2y = 6 end {array} kanan. )

Jawapan

Contoh ( PageIndex {20} )

Selesaikan sistem dengan penggantian: ( kiri { begin {array} {l} −2x + y = −11 x + 3y = 9 end {array} kanan. )

Jawapan

((6,1))

Contoh ( PageIndex {21} )

Selesaikan sistem dengan penggantian: ( kiri { begin {array} {l} 2x + y = −1 4x + 3y = 3 end {array} kanan. )

Jawapan

((−3,5))

MENYELESAIKAN SISTEM PERALATAN MENGIKUT PENGGANTI.

  1. Selesaikan salah satu persamaan bagi kedua-dua pemboleh ubah.
  2. Gantikan ungkapan dari Langkah 1 ke persamaan yang lain.
  3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan.
  4. Gantikan penyelesaian pada Langkah 3 ke salah satu persamaan asal untuk mencari pemboleh ubah yang lain.
  5. Tulis penyelesaiannya sebagai pasangan tertib.
  6. Periksa bahawa pasangan yang dipesan adalah penyelesaian untuk kedua-duanya persamaan asal.

Berhati-hati dengan tanda-tanda dalam contoh seterusnya.

Contoh ( PageIndex {22} )

Selesaikan sistem dengan penggantian: ( kiri { begin {array} {l} 4x + 2y = 4 6x − y = 8 end {array} kanan. )

Jawapan

Kita perlu menyelesaikan satu persamaan untuk satu pemboleh ubah. Kami akan menyelesaikan persamaan pertama untuk y.

Selesaikan persamaan pertama untuk y.
Pengganti (- 2x + 2 ) untuk y dalam persamaan kedua.
Gantikan y dengan (- 2x + 2 ).
Selesaikan persamaan untuk x.
Ganti (x = 54 ) ke (4x + 2y = 4 ) untuk mencari y.
Pasangan yang disusun adalah ((54, −12) ).
Periksa pasangan tertib dalam kedua persamaan.

Penyelesaiannya ialah ((54, −12) ).

Contoh ( PageIndex {23} )

Selesaikan sistem dengan penggantian: ( kiri { begin {array} {l} x − 4y = −4 −3x + 4y = 0 end {array} kanan. )

Jawapan

((2,32))

Contoh ( PageIndex {24} )

Selesaikan sistem dengan penggantian: ( kiri { begin {array} {l} 4x − y = 0 2x − 3y = 5 end {array} kanan. )

Jawapan

((−12,−2))

Selesaikan Sistem Persamaan dengan Penghapusan

Kami telah menyelesaikan sistem persamaan linear dengan membuat grafik dan penggantian. Grafik berfungsi dengan baik apabila pekali pemboleh ubah kecil dan penyelesaiannya mempunyai nilai integer. Penggantian berfungsi dengan baik apabila kita dapat menyelesaikan satu persamaan dengan mudah untuk salah satu pemboleh ubah dan tidak mempunyai pecahan terlalu banyak dalam ungkapan yang dihasilkan.

Kaedah ketiga untuk menyelesaikan sistem persamaan linear disebut Kaedah Penghapusan. Apabila kami menyelesaikan sistem dengan penggantian, kami memulakan dengan dua persamaan dan dua pemboleh ubah dan mengurangkannya menjadi satu persamaan dengan satu pemboleh ubah. Inilah yang akan kami lakukan dengan kaedah penghapusan juga, tetapi kami akan mempunyai cara yang berbeza untuk sampai ke sana.

Kaedah Penghapusan didasarkan pada Penambahan Harta Kesetaraan. The Addition Property of Equality mengatakan bahawa apabila anda menambahkan kuantiti yang sama pada kedua sisi persamaan, anda masih mempunyai persamaan. Kami akan memanjangkan Tambahan Nilai Persamaan untuk mengatakan bahawa apabila anda menambahkan jumlah yang sama pada kedua sisi persamaan, hasilnya sama.

Untuk sebarang ungkapan a, b, c, dan d.

[ begin {array} {ll} { text {if}} & {a = b} { text {dan}} & {c = d} { text {then}} & {a + c = b + d.} nonumber end {array} ]

Untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan penyingkiran, kita mulakan dengan kedua persamaan dalam bentuk standard. Kemudian kami memutuskan pemboleh ubah mana yang paling mudah dihapuskan. Bagaimana kita membuat keputusan? Kami ingin agar pekali satu pemboleh ubah menjadi berlawanan, supaya kita dapat menambahkan persamaan bersama-sama dan menghilangkan pemboleh ubah tersebut.

Perhatikan bagaimana ia berfungsi apabila kita menambahkan dua persamaan ini bersama-sama:

[ kiri { mulai {array} {l} 3x + y = 5 garis bawah {2x − y = 0} end {array} kanan. nombor ]

[5x = 5 bukan nombor ]

The yTambah ke sifar dan kita mempunyai satu persamaan dengan satu pemboleh ubah.

Mari cuba yang lain:

[ kiri { begin {array} x + 4y = 2 2x + 5y = −2 end {array} kanan. nombor ]

Kali ini kita tidak melihat pemboleh ubah yang dapat dihapuskan dengan segera sekiranya kita menambahkan persamaan.

Tetapi jika kita mengalikan persamaan pertama dengan (- 2 ), kita akan membuat pekali untuk x berlawanan. Kita mesti menggandakan setiap istilah di kedua sisi persamaan dengan (- 2 ).

Kemudian tulis semula sistem persamaan.

Sekarang kita melihat bahawa pekali dari x istilah adalah bertentangan, jadi x akan dihapuskan apabila kita menambah kedua persamaan ini.

Sebaik sahaja kita mendapat persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah, kita menyelesaikannya. Kemudian kita ganti nilai itu menjadi salah satu persamaan asal untuk menyelesaikan pembolehubah yang tinggal. Dan, seperti biasa, kami memeriksa jawapan kami untuk memastikan bahawa ini adalah penyelesaian untuk kedua persamaan asal.

Sekarang kita akan melihat bagaimana menggunakan penyingkiran untuk menyelesaikan sistem persamaan yang sama yang kita selesaikan dengan membuat grafik dan penggantian.

Latihan ( PageIndex {26} )

Selesaikan sistem dengan penyingkiran: ( kiri { start {array} {l} 3x + y = 5 2x − 3y = 7 end {array} kanan. )

Jawapan

((2,−1))

Latihan ( PageIndex {27} )

Selesaikan sistem dengan penyingkiran: ( kiri { begin {array} {l} 4x + y = −5 ​​−2x − 2y = −2 end {array} kanan. )

Jawapan

((−2,3))

Langkah-langkah disenaraikan di sini untuk rujukan mudah.

MENYELESAIKAN SISTEM PERALATAN MENGIKUT ELIMINASI.

  1. Tulis kedua persamaan dalam bentuk piawai. Sekiranya pekali ada pecahan, kosongkan.
  2. Buat pekali satu pemboleh ubah berlawanan.
    • Tentukan pemboleh ubah yang akan anda hapuskan.
    • Darabkan satu atau kedua persamaan sehingga pekali pemboleh ubah itu berlawanan.
  3. Tambahkan persamaan yang dihasilkan dari Langkah 2 untuk menghilangkan satu pemboleh ubah.
  4. Selesaikan untuk pemboleh ubah yang tinggal.
  5. Gantikan penyelesaian dari Langkah 4 menjadi salah satu persamaan asal. Kemudian selesaikan pemboleh ubah yang lain.
  6. Tulis penyelesaiannya sebagai pasangan tertib.
  7. Periksa bahawa pasangan yang dipesan adalah penyelesaian untuk kedua-duanya persamaan asal.

Sekarang kita akan membuat contoh di mana kita perlu mengalikan kedua persamaan dengan pemalar untuk membuat pekali satu berlawanan yang berubah-ubah.

Latihan ( PageIndex {28} )

Selesaikan sistem dengan penyingkiran: ( kiri { begin {array} {l} 4x − 3y = 9 7x + 2y = −6 end {array} kanan. )

Jawapan

Dalam contoh ini, kita tidak boleh menggandakan satu persamaan dengan pemalar untuk mendapatkan pekali yang berlawanan. Oleh itu, kita akan mengalikan kedua persamaan secara strategik dengan pemalar yang berlainan untuk mendapatkan lawan.

Kedua-dua persamaan itu dalam bentuk standard.
Untuk mendapatkan pekali bertentangan sebanyak y, kami akan
darabkan persamaan pertama dengan 2 dan
persamaan kedua dengan 3.
Permudahkan.
Tambahkan dua persamaan untuk dihapuskan y.
Selesaikan untuk x.
Ganti x = 0x = 0 menjadi salah satu persamaan asal.
Selesaikan untuk y.
Tulis penyelesaiannya sebagai pasangan tertib.

Pasangan yang disusun adalah ((0, −3) ).

Periksa bahawa pasangan yang dipesan adalah penyelesaian untuk
kedua-duanya persamaan asal.

Penyelesaiannya ialah ((0, −3) ).

Latihan ( PageIndex {29} )

Selesaikan sistem dengan penyingkiran: ( kiri { begin {array} {l} 3x − 4y = −9 5x + 3y = 14 end {array} kanan. )

Jawapan

((1,3))

Latihan ( PageIndex {30} )

Selesaikan setiap sistem dengan penyingkiran: ( kiri { begin {array} {l} 7x + 8y = 4 3x − 5y = 27 end {array} kanan. )

Jawapan

((4,−3))

Apabila sistem persamaan mengandungi pecahan, pertama kita akan membersihkan pecahan dengan mengalikan setiap persamaan dengan LCD semua pecahan dalam persamaan.

Latihan ( PageIndex {31} )

Selesaikan sistem dengan penyingkiran: ( kiri { begin {array} {l} x + tfrac {1} {2} y = 6 tfrac {3} {2} x + tfrac {2} {3 } y = tfrac {17} {2} end {array} kanan. )

Jawapan

Dalam contoh ini, kedua-dua persamaan mempunyai pecahan. Langkah pertama kami adalah mengalikan setiap persamaan dengan LCD semua pecahan dalam persamaan untuk membersihkan pecahan.

Untuk membersihkan pecahan, darabkan masing-masing
persamaan dengan LCDnya.
Permudahkan.
Sekarang kita bersedia untuk menghapuskan satu
pemboleh ubah. Perhatikan bahawa kedua-dua persamaan tersebut berada
bentuk piawai.
Kita boleh menghilangkan y dengan mengalikan persamaan teratas dengan (- 4 ).
Permudahkan dan tambah.

Ganti (x = 3 ) menjadi salah satu persamaan asal.

Selesaikan untuk y.

Tulis penyelesaiannya sebagai pasangan tertib.Pasangan yang disusun adalah ((3,6) ).
Periksa bahawa pasangan yang dipesan adalah penyelesaian untuk
kedua-dua persamaan asal.

Penyelesaiannya ialah ((3,6) ).

Latihan ( PageIndex {32} )

Selesaikan setiap sistem dengan penyingkiran: ( kiri { begin {array} {l} tfrac {1} {3} x− tfrac {1} {2} y = 1 tfrac {3} {4 } x − y = tfrac {5} {2} end {array} kanan. )

Jawapan

((6,2))

Latihan ( PageIndex {33} )

Selesaikan setiap sistem dengan penyingkiran: ( kiri { begin {array} {l} x + tfrac {3} {5} y = - tfrac {1} {5} - tfrac {1} {2 } x− tfrac {2} {3} y = tfrac {5} {6} end {array} kanan. )

Jawapan

((1,−2))

Semasa kami menyelesaikan sistem dengan membuat grafik, kami melihat bahawa tidak semua sistem persamaan linear mempunyai satu pasangan tertib sebagai penyelesaian. Apabila kedua-dua persamaan itu benar-benar sama, terdapat banyak penyelesaian. Kami memanggil sistem yang konsisten. Apabila kedua-dua persamaan menerangkan garis selari, tidak ada penyelesaian. Kami menyebutnya sebagai sistem yang tidak konsisten.

Perkara yang sama berlaku dengan penggantian atau penghapusan. Sekiranya persamaan pada akhir penggantian atau penghapusan adalah pernyataan yang benar, kita mempunyai sistem yang konsisten tetapi bergantung dan sistem persamaan mempunyai banyak penyelesaian. Sekiranya persamaan pada akhir penggantian atau penghapusan adalah pernyataan yang salah, kita mempunyai sistem yang tidak konsisten dan sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

Latihan ( PageIndex {34} )

Selesaikan sistem dengan penyingkiran: ( kiri { begin {array} {l} 3x + 4y = 12 y = 3− tfrac {3} {4} x end {array} kanan. )

Jawapan

( begin {array} {ll} {} & { left { begin {array} {l} 3x + 4y = 12 y = 3− frac {3} {4} x end {array } kanan.} {} & {} { text {Tuliskan persamaan kedua dalam bentuk standard.}} & { kiri { mula {array} {l} 3x + 4y = 12 frac {3} {4} x + y = 3 end {array} kanan.} {} & {} { text {Kosongkan pecahan dengan mengalikan persamaan} teks {kedua dengan 4 .}} & { kiri { mulai {array} {l} 3x + 4y = 12 4 ( frac {3} {4} x + y) = 4 (3) akhir {array} kanan .} {} & {} { text {Sederhanakan.}} & { kiri { mulai {array} {l} 3x + 4y = 12 3x + 4y = 12 end {array} kanan.} {} & {} { text {Untuk menghilangkan pemboleh ubah, kami mengalikan persamaan} teks {kedua dengan − 1. Permudahkan dan tambahkan.}} & { begin {array} {l} { left { begin {array} {l} 3x + 4y = 12 garis bawah {-3x-4y = -12} end {array} kanan.} { hspace {16mm } 0 = 0} end {array}} end {array} )

Ini adalah kenyataan yang benar. Persamaannya tetap tetapi bergantung. Grafik mereka akan sama. Sistem ini mempunyai banyak penyelesaian.

Setelah kami membersihkan pecahan dalam persamaan kedua, adakah anda menyedari bahawa kedua persamaan itu sama? Ini bermaksud kita mempunyai garis kebetulan.

Latihan ( PageIndex {35} )

Selesaikan sistem dengan penyingkiran: ( kiri { begin {array} {l} 5x − 3y = 15 5y = −5 + tfrac {5} {3} x end {array} kanan. )

Jawapan

banyak penyelesaiannya

Latihan ( PageIndex {36} )

Selesaikan sistem dengan penyingkiran: ( kiri { begin {array} {l} x + 2y = 6 y = - tfrac {1} {2} x + 3 end {array} kanan. )

Jawapan

banyak penyelesaiannya

Pilih Kaedah Paling Mudah untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

Apabila anda menyelesaikan sistem persamaan linear dalam aplikasi, anda tidak akan diberitahu kaedah mana yang akan digunakan. Anda perlu membuat keputusan itu sendiri. Oleh itu, anda ingin memilih kaedah yang paling mudah dilakukan dan mengurangkan kemungkinan anda melakukan kesilapan.

[ textbf {Pilih Kaedah Paling Mudah untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear} begin {array} {lll} { underline { textbf {Graphing}}} & { garis bawah { textbf {Penggantian}} } & { underline { textbf {Elimination}}} { text {Gunakan bila anda memerlukan a}} & { text {Gunakan ketika satu persamaan}} & { text {Gunakan ketika persamaan a}} { text {gambar situasi.}} & { text {sudah diselesaikan atau dapat}} & { text {kendali bentuk standard.}} { text {}} & { text {dengan mudah diselesaikan untuk satu}} & { text {}} { text {}} & { text {pemboleh ubah.}} & { text {}} end {array} nonumber ]

Contoh ( PageIndex {37} )

Untuk setiap sistem persamaan linear, tentukan sama ada lebih mudah untuk menyelesaikannya dengan penggantian atau penghapusan. Terangkan jawapan anda.

Ⓐ ( kiri { start {array} {l} 3x + 8y = 40 7x − 4y = −32 end {array} kanan. ) Ⓑ ( kiri { mulai {array} {l} 5x + 6y = 12 y = tfrac {2} {3} x − 1 end {array} kanan. )

Jawapan

[ kiri { mula {array} {l} 3x + 8y = 40 7x − 4y = −32 akhir {array} kanan. bukan nombor ]

Oleh kerana kedua-dua persamaan itu dalam bentuk standard, penggunaan penyingkiran akan menjadi paling mudah.

[ kiri { mulai {array} {l} 5x + 6y = 12 y = tfrac {2} {3} x − 1 end {array} kanan. bukan nombor ]

Oleh kerana satu persamaan telah diselesaikan untuk y, menggunakan penggantian akan menjadi paling senang.

Contoh ( PageIndex {38} )

Untuk setiap sistem persamaan linear memutuskan apakah lebih mudah untuk menyelesaikannya dengan penggantian atau penghapusan. Terangkan jawapan anda.

Ⓐ ( kiri { begin {array} {l} 4x − 5y = −32 3x + 2y = −1 end {array} kanan. ) Ⓑ ( kiri { mula {array } {l} x = 2y − 1 3x − 5y = −7 end {array} kanan. )

Jawapan

Ⓐ Oleh kerana kedua-dua persamaan itu dalam bentuk standard, penggunaan penyingkiran akan menjadi paling mudah. Ⓑ Oleh kerana satu persamaan telah diselesaikan untuk x, menggunakan penggantian akan menjadi paling senang.

Contoh ( PageIndex {39} )

Untuk setiap sistem persamaan linear memutuskan sama ada lebih mudah untuk menyelesaikannya dengan penggantian atau penghapusan. Terangkan jawapan anda.

Ⓐ ( kiri { begin {array} {l} y = 2x − 1 3x − 4y = −6 end {array} kanan. ) Ⓑ ( kiri { mula {array} {l} 6x − 2y = 12 3x + 7y = −13 end {array} kanan. )

Jawapan

Ⓐ Oleh kerana satu persamaan telah diselesaikan untuk y, menggunakan penggantian akan menjadi paling senang. Ⓑ Oleh kerana kedua-dua persamaan itu dalam bentuk standard, penggunaan penyingkiran akan menjadi paling mudah.

Konsep kunci

  • Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan membuat grafik.
    1. Grafkan persamaan pertama.
    2. Grafkan persamaan kedua pada sistem koordinat segi empat tepat yang sama.
    3. Tentukan sama ada garis bersilang, selari, atau garis yang sama.
    4. Kenal pasti penyelesaian kepada sistem.
      Sekiranya garis bersilang, kenal pasti titik persimpangan. Ini adalah penyelesaian kepada sistem.
      Sekiranya garis selari, sistem tidak mempunyai penyelesaian.
      Sekiranya garisannya sama, sistem ini mempunyai sebilangan besar penyelesaian.
    5. Periksa penyelesaian dalam kedua persamaan.
  • Cara menyelesaikan sistem persamaan dengan penggantian.
    1. Selesaikan salah satu persamaan bagi kedua-dua pemboleh ubah.
    2. Gantikan ungkapan dari Langkah 1 ke persamaan yang lain.
    3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan.
    4. Gantikan penyelesaian pada Langkah 3 ke salah satu persamaan asal untuk mencari pemboleh ubah yang lain.
    5. Tulis penyelesaiannya sebagai pasangan tertib.
    6. Periksa bahawa pasangan yang dipesan adalah penyelesaian untuk kedua-duanya persamaan asal.
  • Cara menyelesaikan sistem persamaan dengan penghapusan.
    1. Tulis kedua persamaan dalam bentuk piawai. Sekiranya pekali ada pecahan, kosongkan.
    2. Buat pekali satu pemboleh ubah berlawanan.
      Tentukan pemboleh ubah yang akan anda hapuskan.
      Darabkan satu atau kedua persamaan sehingga pekali pemboleh ubah itu berlawanan.
    3. Tambahkan persamaan yang dihasilkan dari Langkah 2 untuk menghilangkan satu pemboleh ubah.
    4. Selesaikan untuk pemboleh ubah yang tinggal.
    5. Gantikan penyelesaian dari Langkah 4 menjadi salah satu persamaan asal. Kemudian selesaikan pemboleh ubah yang lain.
    6. Tulis penyelesaiannya sebagai pasangan tertib.
    7. Periksa bahawa pasangan yang dipesan adalah penyelesaian untuk kedua-duanya persamaan asal. [ textbf {Pilih Kaedah Paling Mudah untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear} begin {array} {lll} { underline { textbf {Graphing}}} & { garis bawah { textbf {Penggantian}} } & { underline { textbf {Elimination}}} { text {}} & { text {Gunakan ketika satu persamaan adalah}} & { text {}} { text {Gunakan bila anda perlukan a}} & { text {sudah diselesaikan atau boleh}} & { text {Gunakan ketika persamaan a}} { text {gambar keadaan.}} & { text {mudah diselesaikan untuk satu} } & { text {kendali bentuk piawai.}} { text {}} & { text {pemboleh ubah.}} & { text {}} end {array} nonumber ]

Glosari

garis kebetulan
Garis kebetulan mempunyai cerun yang sama dan sama y-pintaran.
sistem yang konsisten dan tidak konsisten
Sistem persamaan yang konsisten adalah sistem persamaan dengan sekurang-kurangnya satu penyelesaian; sistem persamaan yang tidak konsisten adalah sistem persamaan tanpa penyelesaian.
penyelesaian sistem persamaan
Penyelesaian sistem persamaan adalah nilai pemboleh ubah yang membuat semua persamaan itu benar; penyelesaian diwakili oleh pasangan tertib (x, y). (x, y).
sistem persamaan linear
Apabila dua atau lebih persamaan linear dikelompokkan bersama, mereka membentuk sistem persamaan linear.

Menyelesaikan Sistem Persamaan Besar

Untuk menyelesaikan sebarang sistem persamaan linear, anda mesti mempunyai sekurang-kurangnya bilangan persamaan bebas yang sama dengan bilangan pemboleh ubah. Ini kemudiannya dapat diselesaikan melalui kaedah algebra atau kaedah penghapusan algebra. Anda boleh menggunakan kaedah sama ada cukup untuk mengurangkan setiap hubungan dari sistem tiga atau lebih persamaan dengan 3 atau lebih pemboleh ubah ke sistem 2 persamaan dan dua pemboleh ubah.

Contohnya

$ 2x - y + 6z = 1 teks <(persamaan 1)> $ $ x - y + z = 2 teks <(persamaan 2)> $ $ x + y + z = 1 teks <(persamaan 3)> $

Langkah-langkah untuk menyelesaikan:

1) Selesaikan persamaan 1 untuk y. Setelah menerapkan kemahiran asas algebra, persamaan 1 menjadi (y = 2x + 6z - 1 ).

2) Pasang nilai y, iaitu ((2x + 6z -1) ), ke dalam persamaan 2 dan 3. Persamaan 2 menjadi:

$ x - y + z = 2 $ $ x - (2x + 6z -1) + z = 2 $ $ x -2x - 6z + 1 = 2 $ $ -x - 6z = 2-1 $ $ -x -6z = 1 $

$ x + y + z = 1 $ $ x + 2x + 6z -1 + z = 1 $ $ 3x + 7z -1 = 1 $ $ 3x + 7z = -1 + 1 $ $ 3x + 7z = 0 $

Kami sekarang telah turun ke sistem dua persamaan dan dua pemboleh ubah. Berikut adalah dua persamaan dan dua pemboleh ubah:

$ -x - 6z = 1 $ $ -x = 6z + 1 $ $ x = -6z - 1 $

4) Pasangkan nilai x ke dalam persamaan B untuk menyelesaikan z:

$ 3x + 7z = 0 $ $ 3 (-6z - 1) + 7z = 0 $ $ -18z - 3 + 7z = 0 $ $ -11z - 3 = 0 $ $ -11z = 3 $ $ z = frac < -11> <3> $

5) Sekarang pasangkan nilai untuk z ke dalam persamaan A untuk mencari x:

$ -x - 6z = 1 $ $ -x -6 frac <-11> <3> = 1 $ $ -x + 22 = 1 $ $ -x = -22 + 1 $ $ -x = -21 $ $ x = 21 $

6) Akhir sekali, kembali ke SETIAP persamaan asal 3 untuk mencari nilai y dengan menggantikan nilai yang anda dapati dengan x dan z. Saya akan memilih persamaan 3.

$ x + y + z = 1 $ $ 21 + y - frac <11> <3> = 1 $ $ frac <52> <3> + y = 1 $ $ y = frac <-52> <3 > + 1 $ $ y = frac <-49> <3> $

Jawapan akhir:

Terdapat kes-kes apabila penyelesaian TIADA sistem mungkin. Penyelesaian untuk sistem berlaku di mana grafik persamaan akan menyeberang atau bertemu. Oleh kerana itu, kita dapat mengatakan bahawa garis selari (yang mempunyai cerun yang sama) tidak mempunyai penyelesaian kerana garis selari tidak pernah menyeberang, menyentuh atau bertemu.

Kedua-dua garis ini tidak pernah bertemu, dan oleh itu tidak mempunyai persimpangan:

Anda juga boleh menghadapi soalan di mana KEDUA persamaan berkongsi LINE SAMA pada satah xy. Contohnya, (2r -s = 5 ) dan (4r - 2s = 10 ) boleh dikurangkan menjadi (s = 2r - 5 ). Kedua persamaan ini berkongsi SAMA LINE pada satah xy. Mereka tidak bebas, dan tidak ada penyelesaian unik untuk sistem ini.


Penyelesaian Balbharati untuk Matematik 1 Algebra 10th SSC Maharashtra State Board bab 1 (Persamaan Linear dalam Dua Pembolehubah) merangkumi semua soalan dengan penyelesaian dan penjelasan terperinci.Ini akan menghilangkan keraguan pelajar terhadap sebarang soalan dan meningkatkan kemahiran aplikasi semasa bersiap sedia untuk menghadapi peperiksaan. Penyelesaian terperinci langkah demi langkah akan membantu anda memahami konsep dengan lebih baik dan menghilangkan kekeliruan anda, jika ada. Shaalaa.com mempunyai penyelesaian Dewan Matematik Dewan Negara Maharashtra 1 Algebra 10th SSC Maharashtra State Board dengan cara yang membantu pelajar memahami konsep asas dengan lebih baik dan pantas.

Selanjutnya, kami di Shaalaa.com memberikan penyelesaian sedemikian sehingga pelajar dapat mempersiapkan diri untuk menghadapi peperiksaan bertulis. Penyelesaian buku teks Balbharati boleh menjadi bantuan utama untuk belajar sendiri dan bertindak sebagai panduan pertolongan diri yang sempurna untuk pelajar.

Konsep yang diliputi dalam Matematik 1 Algebra 10th Standard SSC Maharashtra State Board bab 1 Persamaan Linear dalam Dua Pemboleh ubah adalah Persamaan Linear dalam Aplikasi Dua Pembolehubah, Kaedah Cramer, Kaedah Silang - Pendaraban, Kaedah Penggantian, Kaedah Penghapusan, Persamaan yang Dapat Dikurangkan kepada Sepasang Persamaan Linear di Dua Pembolehubah, Masalah Situasi Sederhana, Ketidakkonsistenan Pasangan Persamaan Linear, Konsistensi Pasangan Persamaan Linear, Kaedah Grafik Penyelesaian Sepasang Persamaan Linear, Penentu Urutan Dua, Pasangan Persamaan Linear dalam Dua Pembolehubah, Persamaan Linear dalam Dua Pembolehubah .

Menggunakan penyelesaian Balbharati ke-10 [इयत्ता १० वी] Persamaan Linear dalam Latihan Dua Pemboleh ubah oleh pelajar adalah cara mudah untuk menghadapi peperiksaan, kerana ia melibatkan penyelesaian yang disusun berdasarkan bab dan juga halaman yang bijak. Soalan yang terlibat dalam Penyelesaian Balbharati adalah soalan penting yang boleh diajukan dalam peperiksaan akhir. Pelajar maksimum Papan Ke-10 Dewan Negara Maharashtra [इयत्ता १० वी] lebih suka Penyelesaian Buku Teks Balbharati untuk mendapat markah lebih banyak dalam peperiksaan.


Sistem Bergantung dan Tidak Konsisten

Sistem dengan sekurang-kurangnya satu penyelesaian disebut sistem konsisten Sistem dengan sekurang-kurangnya satu penyelesaian. . Hingga tahap ini, semua contohnya adalah sistem yang konsisten dengan penyelesaian pasangan yang disusun tepat. Ternyata ini tidak selalu berlaku. Kadang kala sistem terdiri daripada dua persamaan linear yang setara. Sekiranya ini berlaku, kedua-dua garis adalah sama dan apabila dilukis akan bertepatan. Oleh itu, set penyelesaian terdiri daripada semua titik pada garis. Ini adalah sistem bersandar Sistem yang terdiri daripada persamaan setara dengan banyak penyelesaian pasangan teratur, yang dilambangkan dengan (x, mx + b). . Dengan adanya sistem linear yang konsisten dengan dua pemboleh ubah, ada dua kemungkinan hasil:

Penyelesaian kepada sistem bebas Sistem persamaan dengan penyelesaian pasangan berpasangan (x, y). diperintahkan pasangan (x, y). Kami memerlukan beberapa cara untuk menyatakan set penyelesaian kepada sistem yang bergantung, kerana sistem ini mempunyai banyak penyelesaian, atau titik persimpangan. Ingat bahawa mana-mana baris boleh ditulis dalam bentuk cerun-pintasan, y = m x + b. Di sini, y bergantung kepada x. Oleh itu, kita dapat menyatakan semua penyelesaian pasangan tertib (x, y) dalam bentuk (x, m x + b), di mana x adalah nombor nyata.

Contoh 5: Selesaikan dengan membuat graf: <- 2 x + 3 y = - 9 4 x - 6 y = 18.

Penyelesaian: Tentukan bentuk cerun-pintasan untuk setiap persamaan linear dalam sistem.

Dalam bentuk cerun-pintasan, kita dapat dengan mudah melihat bahawa sistem ini terdiri daripada dua baris dengan cerun yang sama dan sama y-pintaran. Sebenarnya, mereka adalah garis yang sama. Dan sistem bergantung.

Dalam contoh ini, penting untuk diperhatikan bahawa kedua-dua garis mempunyai cerun yang sama dan sama y-pintaran. Ini memberitahu bahawa kedua-dua persamaan itu setara dan bahawa penyelesaian serentak adalah semua titik pada garis y = 2 3 x - 3. Ini adalah sistem yang bergantung, dan banyak penyelesaian dinyatakan dengan menggunakan bentuk (x, m x + b). Sumber lain mungkin menyatakan set ini menggunakan notasi set, <(x, y) | y = 2 3 x - 3>, yang berbunyi "set semua pasangan tertib (x, y) seperti itu y sama dengan dua pertiga x tolak 3. "

Kadang-kadang garis tidak melintasi dan tidak ada titik persimpangan. Sistem sedemikian tidak mempunyai penyelesaian, Ø, dan disebut sistem yang tidak konsisten Sistem yang tidak mempunyai penyelesaian serentak. .

Contoh 6: Selesaikan dengan membuat graf: <- 2 x + 5 y = - 15 - 4 x + 10 y = 10.

Penyelesaian: Tentukan bentuk cerun-pintasan untuk setiap persamaan linear.

Dalam bentuk cerun-pintasan, kita dapat dengan mudah melihat bahawa sistem terdiri daripada dua baris dengan cerun yang sama dan berbeza y-pintaran. Oleh itu, mereka selari dan tidak akan pernah bersilang.

Jawapan: Tidak ada penyelesaian serentak, Ø.

Cuba ini! Selesaikan dengan membuat graf:

Penyelesaian Video

Pengambilan Utama

  • Dalam bahagian ini, kami membatasi kajian kami ke sistem dua persamaan linear dengan dua pemboleh ubah. Penyelesaian untuk sistem sedemikian, jika ada, terdiri daripada pasangan tertib yang memenuhi kedua persamaan. Secara geometri, penyelesaian adalah titik di mana graf bersilang.
  • Kaedah grafik untuk menyelesaikan sistem linier memerlukan kita membuat grafik kedua garis pada set paksi yang sama sebagai kaedah untuk menentukan di mana mereka bersilang.
  • Kaedah grafik bukanlah kaedah yang paling tepat untuk menentukan penyelesaian, terutamanya apabila penyelesaian mempunyai koordinat yang bukan bilangan bulat. Merupakan amalan yang baik untuk selalu memeriksa penyelesaian anda.
  • Beberapa sistem linear tidak mempunyai penyelesaian serentak. Sistem ini terdiri daripada persamaan yang mewakili garis selari dengan berbeza y-pintas dan tidak bersilang di dalam kapal terbang. Mereka dipanggil sistem yang tidak konsisten dan set penyelesaiannya adalah set kosong, Ø.
  • Beberapa sistem linier mempunyai banyak penyelesaian serentak. Sistem ini terdiri daripada persamaan yang setara dan mewakili garis yang sama. Mereka disebut sistem bersandar dan penyelesaiannya dinyatakan menggunakan notasi (x, m x + b), di mana x adalah nombor nyata.

Latihan Topik

Bahagian A: Penyelesaian untuk Sistem Linear

Tentukan sama ada pasangan tertib yang diberi adalah penyelesaian untuk sistem yang diberikan.


Menyelesaikan Sistem Persamaan - Kaedah & Contoh amp

Sekarang, anda telah mendapat idea bagaimana menyelesaikan persamaan linear yang mengandungi satu pemboleh ubah. Bagaimana jika anda hadir bersama pelbagai persamaan linear yang mengandungi lebih daripada satu pemboleh ubah? Satu set persamaan linear dengan dua atau lebih pemboleh ubah dikenali sebagai a sistem persamaan.

Terdapat beberapa kaedah menyelesaikan sistem persamaan linear.

Artikel ini akan belajar cara menyelesaikan persamaan linear menggunakan kaedah yang biasa digunakan, iaitu penggantian dan penghapusan.

Kaedah penggantian

Penggantian adalah kaedah menyelesaikan persamaan linear di mana pemboleh ubah dalam satu persamaan diasingkan dan kemudian digunakan dalam persamaan lain untuk menyelesaikan pembolehubah yang tinggal.

Langkah-langkah umum penggantian adalah:

  • Jadikan subjek formula bagi pemboleh ubah dalam salah satu persamaan yang diberikan.
  • Ganti nilai pemboleh ubah ini dalam persamaan kedua. '
  • Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai salah satu pemboleh ubah.
  • Ganti nilai yang diperoleh dalam salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai pemboleh ubah lain.

Mari kita selesaikan beberapa contoh menggunakan kaedah penggantian.

Selesaikan sistem persamaan di bawah.

Gantikan nilai b ke dalam persamaan kedua.

Gantikan nilai a yang diperoleh dalam persamaan pertama.

Oleh itu, penyelesaian bagi persamaan dua adalah: a = 1 dan b = 3.

Selesaikan persamaan berikut menggunakan penggantian.
7x - 3y = 31 & # 8212 & # 8212 & # 8212 (i)

Jadikan subjek subjek formula dalam persamaan:

Kurangkan 7x dari kedua sisi persamaan 7x - 3y = 31 untuk mendapatkan

Sekarang ganti persamaan y = (7x - 31) / 3 ke persamaan kedua: 9x - 5y = 41

Menyelesaikan persamaan memberi

Dengan menggantikan nilai x dalam persamaan y = (7x - 31) / 3, kita dapat

Oleh itu, penyelesaian untuk sistem persamaan ini adalah x = 4 dan y = –1

Selesaikan set persamaan berikut:

Jadikan x sebagai subjek formula dalam persamaan kedua.

Sekarang, gantikan nilai x ini dalam persamaan pertama: 2x + 3y = 9.

Gantikan nilai y yang diperoleh dalam persamaan kedua - y = 3.

Oleh itu, penyelesaiannya adalah x = 3.6 dan y = 0.6

Kaedah penghapusan

Langkah-langkah berikut diikuti ketika menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah penghapusan:

  • Padankan pekali persamaan yang diberikan dengan mengalikan dengan pemalar.
  • Kurangkan persamaan baru pekali biasa mempunyai tanda yang sama dan tambahkan jika pekali biasa mempunyai tanda bertentangan,
  • Selesaikan persamaan yang dihasilkan dari penambahan atau pengurangan
  • Ganti nilai yang diperoleh dalam salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai pemboleh ubah yang lain.

Oleh kerana pekali b adalah sama dalam dua persamaan, kami secara tegak menambahkan istilah.


Sistem Persamaan Linear dalam Dua Pembolehubah

Untuk menyelesaikannya dengan membuat lakaran, kita harus menggunakan kertas grafik, atau berhati-hati dengan skala ketika kita membuat lakaran dengan tangan. Bila-bila masa
anda membaca penyelesaian daripada graf yang anda perlukan sangat tepat! Itulah sebabnya mengapa kami lebih suka aljabar untuk menyelesaikan sistem
persamaan.

1. Anda boleh membuat sketsa ini menggunakan teknik dari bahagian sebelumnya (cerun dan pintasan-y, atau mendapat dua mata).
Lakarkan 3x + y = 2:

Apabila x = 0 - & gt 3 (0) + y = 2 - & gt y = 2, jadi pasangan yang disusun adalah (0, 2).
Apabila y = 0 - & gt 3x + (0) = 2 - & gt x = 2/3, jadi pasangan yang disusun adalah (2/3, 0).

Lakaran 2x & # 8722 y = 3:
Apabila x = 0 - & gt 2 (0) & # 8722 y = 3 - & gt y = & # 87223, jadi pasangan yang disusun adalah (0, & # 87223).
Apabila y = 0 - & gt 2x & # 8722 (0) = 3 - & gt x = 3/2, jadi pasangan yang disusun adalah (3/2, 0).

Penyelesaian sistem nampaknya (1, & # 87221). Periksa dengan menggantikan persamaan asal:
3 (1) + (& # 87221) = 2 Benar
2 (1) & # 8722 (& # 87221) = 3 Benar

2. Anda boleh membuat sketsa ini menggunakan teknik dari bahagian sebelumnya (cerun dan pintasan-y, atau mendapat dua mata).
Lakaran y = 1 / 3x & # 8722 2:

Apabila x = 0 - & gt y = 1/3 (0) & # 8722 2 - & gt y = & # 87222, jadi pasangan yang disusun adalah (0, & # 87222).
Apabila y = 0 - & gt 0 = 1 / 3x & # 8722 2 - & gt x = 6, maka pasangan yang disusun adalah (6, 0).

Lakaran & # 8722x + 3y = 9:
Apabila x = 0 - & gt & # 8722 (0) + 3y = 9 - & gt y = 3, maka pasangan yang disusun adalah (0, 3).
Apabila y = 0 - & gt & # 8722x + 3 (0) = 9 - & gt x = & # 87229, jadi pasangan yang disusun adalah (& # 87229, 0).

Sistem ini tidak mempunyai penyelesaian, kerana garisnya selari. Periksa dengan mengira cerun setiap baris (garis selari mempunyai cerun yang sama).

3. Anda boleh membuat sketsa ini dengan menggunakan teknik dari bahagian sebelumnya (cerun dan pintasan-y, atau mendapat dua mata).
Lakaran y = & # 87222x + 5:

Apabila x = 0 - & gt y = & # 87222 (0) + 5 - & gt y = 5, maka pasangan yang disusun adalah (0, 5).
Apabila y = 0 - & gt 0 = & # 87222x + 5 - & gt x = 5/2, jadi pasangan yang disusun adalah (5/2, 0).

Lakaran 3y + 6x = 15:
Apabila x = 0 - & gt 3y + 6 (0) = 15 - & gt y = 5, jadi pasangan yang disusun adalah (0, 5).
Apabila y = 0 - & gt 3 (0) + 6x = 15 - & gt x = 5/2, jadi pasangan yang disusun adalah (5/2, 0).

Sistem ini mempunyai sebilangan besar penyelesaian, kerana garisnya sama. Periksa dengan menunjukkan garis-garisnya sama
persamaan. Kita dapat melihat bahawa persamaan kedua hanyalah persamaan pertama yang didarabkan dengan 3.
y = & # 87222x + 5
3y + 6x = 15

4. Biarkan & # 8217s menggunakan kaedah penggantian.
Dari persamaan kedua, kita dapat menyelesaikan x = 3y + 6. Ganti ini menjadi persamaan pertama:

4x + 3y = 9
4 (3y + 6) + 3y = 9 sekarang, selesaikan y
12y + 24 + 3y = 9
15y = 9 & # 8722 24
15y = & # 872215
y = & # 87221

Sekarang, gunakan nilai y ini dalam x = 3y + 6 untuk menentukan x:
x = 3y + 6
x = 3 (& # 87221) + 6
x = 3

Penyelesaian untuk sistem adalah pasangan tertib (3, & # 87221). Anda boleh menyemaknya dengan memasukkan kembali ini ke dalam kedua persamaan asal.
Keduanya harus benar apabila x = 3 dan y = & # 87221.

5. Biarkan & # 8217 menggunakan kaedah penggantian.
Dari persamaan kedua, kita dapat menyelesaikan y = 4 & # 8722 3x. Ganti ini menjadi persamaan pertama:

5x + 2y = 5
5x + 2 (4 & # 8722 3x) = 5 sekarang, selesaikan x
5x + 8 & # 8722 6x = 5
& # 8722x = 5 & # 8722 8
& # 8722x = & # 87223
x = 3

Sekarang, gunakan nilai x dalam y = 4 & # 8722 3x untuk menentukan y:
y = 4 & # 8722 3x
y = 4 & # 8722 3 (3)
y = & # 87225

Penyelesaian untuk sistem adalah pasangan tertib (3, & # 87225).

6. Biarkan & # 8217s menggunakan kaedah penggantian.
Dari persamaan kedua, kita dapat menyelesaikan y = 4 & # 8722 3x. Ganti ini menjadi persamaan pertama:

4x + 2y = 4
4x + 2 (4 & # 8722 3x) = 4 sekarang, selesaikan x
4x + 8 & # 8722 6x = 4
& # 87222x = 4 & # 8722 8
& # 87222x = & # 87224
x = 2

Sekarang, gunakan nilai x dalam y = 4 & # 8722 3x untuk menentukan y:
y = 4 & # 8722 3x
y = 4 & # 8722 3 (2)
y = & # 87222

Penyelesaian untuk sistem adalah pasangan tertib (2, & # 87222).

7. Biarkan & # 8217s menggunakan kaedah penghapusan.
Gandakan persamaan kedua dengan & # 87223 untuk menjadikan pekali x sama pada kedua persamaan, tetapi dengan tanda bertentangan.

Sekarang tambahkan dua persamaan untuk menghilangkan x (sejak 9x & # 8722 9x = 0):
9x + 2y = 2
& # 87229x & # 8722 15y = & # 872215

Menambah:
2y & # 8722 15y = 2 & # 8722 15 kini menyelesaikan y
& # 872213y = & # 872213
y = 1

Sekarang, gunakan nilai y ini dalam persamaan sebelumnya untuk menentukan x:
9x + 2y = 2
9x + 2 (1) = 2
9x + 2 = 2
9x = 0
x = 0

Penyelesaian untuk sistem adalah pasangan tertib (0, 1).

8. Biarkan & # 8217s menggunakan kaedah penghapusan.
Darabkan persamaan pertama dengan 2 untuk menjadikan pekali t sama pada kedua persamaan, tetapi dengan tanda bertentangan.
12s & # 8722 6t = 2
5s + 6t = 15

Sekarang tambahkan dua persamaan untuk menghilangkan t (sejak & # 87226t + 6t = 0):
12s & # 8722 6t = 2
5s + 6t = 15

Menambah:
17s = 17 kini menyelesaikan s
s = 1

Sekarang, gunakan nilai s ini dalam persamaan sebelumnya untuk menentukan t:

Penyelesaian sistem adalah pasangan yang disusun

8. Biarkan & # 8217s menggunakan kaedah penghapusan.
Gandakan persamaan pertama dengan & # 872210 untuk menjadikan pekali x sama pada kedua persamaan, tetapi dengan tanda bertentangan.
& # 87222x = & # 8722y + 12
2x & # 8722 y = 6

Sekarang tambahkan dua persamaan untuk menghilangkan x (sejak & # 87222x + 2x = 0):
& # 8722y = & # 8722y + 12 + 6
0 = 18

Anda mungkin menyangka bahawa anda telah melakukan kesilapan, tetapi anda hanya perlu mentafsirkan apa yang anda temui.
Oleh kerana 0 tidak boleh sama dengan 18, tidak ada penyelesaian untuk sistem persamaan. Secara grafik, kedua persamaan mewakili dua
garis selari.


(5.1.3) & # 8211 Selesaikan sistem persamaan linear dengan penggantian

Menyelesaikan sistem linear dalam dua pemboleh ubah dengan membuat grafik berfungsi dengan baik apabila penyelesaiannya terdiri daripada nilai integer, tetapi jika penyelesaian kita mengandungi perpuluhan atau pecahan, itu bukan kaedah yang paling tepat. Kami akan mempertimbangkan dua kaedah penyelesaian yang lain sistem persamaan linear yang lebih tepat daripada membuat grafik. Salah satu kaedah tersebut ialah menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah penggantian, di mana kita menyelesaikan salah satu persamaan untuk satu pemboleh ubah dan kemudian mengganti hasilnya ke persamaan kedua untuk menyelesaikan pemboleh ubah kedua. Ingatlah bahawa kita dapat menyelesaikan hanya satu pemboleh ubah pada satu masa, itulah sebab kaedah penggantian berharga dan praktikal.

Cara: Memandangkan sistem dua persamaan dalam dua pemboleh ubah, selesaikan dengan menggunakan kaedah penggantian.

  1. Selesaikan satu daripada dua persamaan untuk salah satu pemboleh ubah dari segi yang lain.
  2. Ganti ungkapan untuk pemboleh ubah ini menjadi persamaan kedua, kemudian selesaikan selebihnya pemboleh ubah.
  3. Gantikan penyelesaian itu ke dalam salah satu persamaan asal untuk mencari nilai pemboleh ubah pertama. Sekiranya boleh, tulis penyelesaiannya sebagai pasangan tertib.
  4. Periksa penyelesaian dalam kedua persamaan.

Contohnya

Selesaikan sistem persamaan berikut dengan penggantian.

Pertama, kita akan menyelesaikan persamaan pertama untuk [lateks] y [/ lateks].

Sekarang kita boleh menggantikan ungkapan [lateks] x - 5 [/ lateks] dengan [lateks] y [/ latex] dalam persamaan kedua.

Sekarang, kita menggantikan [lateks] x = 8 [/ lateks] ke persamaan pertama dan menyelesaikan untuk [lateks] y [/ lateks].

Penyelesaian kami ialah [lateks] kiri (8,3 kanan) [/ lateks].

Periksa penyelesaiannya dengan menggantikan [lateks] kiri (8,3 kanan) [/ lateks] ke kedua-dua persamaan.

[lateks] bermula-x + y = -5 hfill & hfill & hfill & hfill - left (8 right) + left (3 right) = - 5 hfill & hfill & hfill & text hfill 2x - 5y = 1 hfill & hfill & hfill & hfill 2 left (8 right) -5 left (3 right) = 1 hfill & hfill & hfill & teks hfill akhir[/ lateks]

Kaedah penggantian boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem linier dalam dua pemboleh ubah, tetapi kaedah ini berfungsi dengan baik jika salah satu persamaan mengandungi pekali 1 atau [lateks] –1 [/ lateks] sehingga kita tidak perlu berurusan dengan pecahan .

Dalam video berikut, anda akan diberi contoh penyelesaian sistem dua persamaan menggunakan kaedah penggantian.

Sekiranya anda memilih persamaan lain untuk dimulakan dalam contoh sebelumnya, anda masih dapat mencari penyelesaian yang sama. Ini benar-benar menjadi keutamaan kerana kadang-kadang menyelesaikan pemboleh ubah akan mengakibatkan terpaksa bekerja dengan pecahan. Apabila anda menjadi lebih berpengalaman dengan aljabar, anda akan dapat menjangka pilihan apa yang akan menghasilkan hasil yang lebih diinginkan.

Ingat bahawa sebuah sistem yang tidak konsisten terdiri daripada garis selari yang mempunyai cerun yang sama tetapi berbeza y-pintaran. Mereka tidak akan bersilang. Semasa mencari jalan keluar untuk sistem yang tidak konsisten, kami akan menghasilkan pernyataan yang salah, seperti [lateks] 12 = 0 [/ lateks].

Contohnya

Selesaikan sistem persamaan berikut.

[lateks] bermula text <> x = 9 - 2y hfill x + 2y = 13 hfill end[/ lateks]

Kita boleh mendekati masalah ini dengan dua cara. Kerana satu persamaan sudah dapat diselesaikan x, langkah yang paling jelas adalah menggunakan penggantian.

[lateks] bermulax + 2y = 13 hfill kiri (9 - 2y kanan) + 2y = 13 hfill 9 + 0y = 13 hfill 9 = 13 hfill end[/ lateks]

Jelas, pernyataan ini adalah percanggahan kerana [lateks] 9 ne 13 [/ lateks]. Oleh itu, sistem tidak mempunyai penyelesaian.

Pendekatan kedua adalah untuk pertama kali memanipulasi persamaan sehingga keduanya berada dalam bentuk cerobong-pintasan. Kami memanipulasi persamaan pertama seperti berikut.

[lateks] bermula text <> x = 9 - 2y hfill 2y = -x + 9 hfill text <> y = - frac <1> <2> x + frac <9> <2> hfill akhir[/ lateks]

Kami kemudian menukar persamaan kedua yang dinyatakan ke bentuk cerobong-pintasan.

[lateks] bermulax + 2y = 13 hfill text <> 2y = -x + 13 hfill text <> y = - frac <1> <2> x + frac <13> <2> hfill akhir[/ lateks]

Membandingkan persamaan, kita melihat bahawa mereka mempunyai cerun yang sama tetapi berbeza y-pintaran. Oleh itu, garis selari dan tidak bersilang.

Menulis persamaan dalam bentuk cerun-pintasan mengesahkan bahawa sistem ini tidak konsisten kerana semua garisan akan berpotongan akhirnya kecuali jika selari. Garis selari tidak akan bersilang, kedua-dua garis tidak mempunyai titik persamaan. Grafik persamaan dalam contoh ini ditunjukkan di bawah.

Jawapan

Tidak ada penyelesaian untuk sistem persamaan linear ini.

Dalam video seterusnya kami menunjukkan contoh lain menggunakan penggantian untuk menyelesaikan sistem yang tidak mempunyai penyelesaian.

Dalam video seterusnya kami menunjukkan bahawa sistem boleh mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.


Cth 4.1 Matematik Kelas 9 Soalan 1.
Kos buku nota adalah dua kali ganda daripada pen. Tuliskan persamaan linear dalam dua pemboleh ubah untuk mewakili pernyataan ini.
(Ambil kos buku nota menjadi Rs. X dan sebatang pen menjadi Rs.y)
Penyelesaian:
Biarkan kos buku nota = Rs. x
dan kos sebatang pen = Rs. y
Menurut keadaan, kita ada
[Kos buku nota] = 2 x [Kos sebatang pen]
i. e „(x) = 2 x (y) atau, x = 2y
atau, x & # 8211 2y = 0
Oleh itu, persamaan linear yang diperlukan ialah x & # 8211 2y = 0.

Cth 4.1 Matematik Kelas 9 Soalan 2
Ungkapkan persamaan linear berikut dalam bentuk ax + by + c = 0 dan nyatakan nilai a, b dan c dalam setiap kes:
(i) 2x + 3y = (9.3 garis atas <5> )
(ii) (x- frac <5> -10 quad = quad 0 )
(iii) & # 8211 2x + 3y = 6
(iv) x = 3y
(v) 2x = -5y
(vi) 3x + 2 = 0
(vii) y & # 8211 2 = 0
(viii) 5 = 2x
Penyelesaian:
(i) Kami mempunyai 2x + 3y = (9.3 overline <5> )
atau (2) x + (3) y + ( (- 9.3 overline <5> )) = 0
Membandingkannya dengan ax + by + c = 0, kita mendapat = 2,
b = 3 dan c = & # 8211 (9.3 garis atas <5> ).

(ii) Kami mempunyai (x- frac <5> -10 quad = quad 0 )
atau x + (- ( frac <1> <5> )) y + (10) = 0
Membandingkannya dengan ax + by + c = 0, kita dapat
a = 1, b = - ( frac <1> <5> ) dan c = -10

(iii) Gelombang -2x + 3y = 6 atau (-2) x + (3) y + (-6) = 0
Membandingkannya dengan ax & # 8211 4 & # 8211 dengan + c = 0, kita mendapat a = -2, b = 3 dan c = -6.

(iv) Kita mempunyai x = 3y atau (1) x + (-3) y + (0) = 0 Membandingkannya dengan ax + by + c = 0, kita mendapat a = 1, b = -3 dan c = 0 .
(v) Kita mempunyai 2x = -5y atau (2) x + (5) y + (0) = 0 Membandingkannya dengan ax + oleh + c = 0, kita mendapat a = 2, b = 5 dan c = 0.
(vi) Kami mempunyai 3x + 2 = 0 atau (3) x + (0) y + (2) = 0 Membandingkannya dengan ax + by + c = 0, kami mendapat a = 3, b = 0 dan c = 2 .
(vii) Kami mempunyai y & # 8211 2 = 0 atau (0) x + (1) y + (-2) = 0 Membandingkannya dengan ax + by + c = 0, kita mendapat a = 0, b = 1 dan c = -2.
(viii) Kami mempunyai 5 = 2x ⇒ 5 & # 8211 2x = 0
atau -2x + 0y + 5 = 0
atau (-2) x + (0) y + (5) = 0
Membandingkannya dengan ax + by + c = 0, kita mendapat a = -2, b = 0 dan c = 5.

Penyelesaian NCERT untuk Matematik Kelas 9 Bab 4 Persamaan Linear dalam Dua Pembolehubah (दो चरों में रैखिक समीकरण) (Bahasa Hindi Sederhana) Cth ​​4.1



Penyelesaian NCERT untuk Matematik Kelas 9 Bab 4 Persamaan Linear dalam Dua Pemboleh ubah Cth 4.2

soalan 1
Manakah antara pilihan berikut yang benar, dan mengapa?
y = 3x + 5 mempunyai
(i) penyelesaian unik,
(ii) hanya dua penyelesaian,
(iii) banyak penyelesaiannya
Penyelesaian:
Pilihan (iii) adalah benar kerana untuk setiap nilai x, kita mendapat nilai y yang sepadan dan sebaliknya dalam persamaan yang diberikan.
Oleh itu, persamaan linear yang diberikan mempunyai banyak penyelesaian.

Soalan 2
Tulis empat penyelesaian untuk setiap persamaan berikut:
(i) 2x + y = 7
(ii) πx + y = 9
(iii) x = 4y
Penyelesaian:
(i) 2x + y = 7
Apabila x = 0, 2 (0) + y = 7 ⇒ y = 7
∴ Penyelesaiannya adalah (0, 7)
Apabila x = 1, 2 (1) + y = 7 ⇒ y = 7 & # 8211 2 ⇒ y = 5
∴ Penyelesaiannya adalah (1, 5)
Apabila x = 2, 2 (2) + y = 7y = 7 & # 8211 4 ⇒ y = 3
∴ Penyelesaiannya adalah (2, 3)
Apabila x = 3, 2 (3) + y = 7y = 7 & # 8211 6 ⇒ y = 1
Olution Penyelesaiannya adalah (3, 1).

(ii) πx + y = 9
Apabila x = 0, π (0) + y = 9 ⇒ y = 9 & # 8211 0 ⇒ y = 9
∴ Penyelesaiannya adalah (0, 9)
Apabila x = 1, π (1) + y = 9 ⇒ y = 9 & # 8211 π
Olution Penyelesaiannya adalah (1, (9 & # 8211 π))
Apabila x = 2, π (2) + y = 9 ⇒ y = 9 & # 8211 2π
Olution Penyelesaiannya adalah (2, (9 & # 8211 2π))
Apabila x = -1, π (-1) + y = 9 ⇒ y = 9 + π
∴ Penyelesaiannya adalah (-1, (9 + π))

(iii) x = 4y
Apabila x = 0, 4y = 1 ⇒ y = 0
∴ Penyelesaiannya adalah (0, 0)
Apabila x = 1, 4y = 1 ⇒ y = ( frac <1> <4> )
∴ Penyelesaiannya adalah (1, ( frac <1> <4> ))
Apabila x = 4, 4y = 4 ⇒ y = 1
∴ Penyelesaiannya adalah (4, 1)
Apabila x = 4, 4y = 4 ⇒ y = -1
∴ Penyelesaiannya adalah (-4, -1)

Soalan 3
Periksa antara berikut yang manakah penyelesaian persamaan x & # 8211 2y = 4 dan yang mana tidak:
(i) (0,2)
(ii) (2,0)
(iii) (4, 0)
(iv) (√2, 4√2)
(v) (1, 1)
Penyelesaian:
(i) (0,2) bermaksud x = 0 dan y = 2
Puffing x = 0 dan y = 2 dalam x & # 8211 2y = 4, kita dapat
L.H.S. = 0 & # 8211 2 (2) = -4.
Tetapi R.H.S. = 4
∴ L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ x = 0, y = 2 bukan penyelesaian.

(ii) (2, 0) bermaksud x = 2 dan y = 0
Dengan meletakkan x = 2 dan y = 0 di x & # 8211 2y = 4, kita dapat
L.H: S. 2 & # 8211 2 (0) = 2 & # 8211 0 = 2.
Tetapi R.H.S. = 4
∴ L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ (2,0) bukan penyelesaian.

(iii) (4, 0) bermaksud x = 4 dan y = 0
Dengan meletakkan x = 4 dan y = o di x & # 8211 2y = 4, kita dapat
L.H.S. = 4 & # 8211 2 (0) = 4 & # 8211 0 = 4 = R.H.S.
∴ L.H.S. = R.H.S.
∴ (4, 0) adalah penyelesaian.

(iv) (√2, 4√2) bermaksud x = √2 dan y = 4√2
Dengan meletakkan x = √2 dan y = 4√2 dalam x & # 8211 2y = 4, kita dapat
L.H.S. = √2 & # 8211 2 (4√2) = √2 & # 8211 8√2 = -7√2
Tetapi R.H.S. = 4
∴ L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ (√2, 4√2) bukan penyelesaian.

(v) (1, 1) bermaksud x = 1 dan y = 1
Dengan meletakkan x = 1 dan y = 1 dalam x & # 8211 2y = 4, kita dapat
LH.S. = 1 & # 8211 2 (1) = 1 & # 8211 2 = -1. Tetapi R.H.S = 4
∴ LH.S. ≠ R.H.S.
∴ (1, 1) bukan penyelesaian.

Soalan 4
Cari nilai k, jika x = 2, y = 1 ¡s adalah penyelesaian persamaan 2x + 3y = k.
Penyelesaian:
Kami mempunyai 2x + 3y = k
meletakkan x = 2 dan y = 1 dalam 2x + 3y = k, kita dapat
2 (2) + 3 (1) ⇒ k = 4 + 3 & # 8211 k ⇒ 7 = k
Oleh itu, nilai k yang diperlukan ialah 7.

Penyelesaian NCERT untuk Matematik Kelas 9 Bab 4 Persamaan Linear dalam Dua Pemboleh ubah Cth 4.3

soalan 1
Lukiskan graf setiap persamaan linear berikut dalam dua pemboleh ubah:
(i) x + y = 4
(ii) x & # 8211 y = 2
(iii) y = 3x
(iv) 3 = 2x + y
Penyelesaian:
(i) x + y = 4 ⇒ y = 4 & # 8211 x
Sekiranya kita mempunyai x = 0, maka y = 4 & # 8211 0 = 4
x = 1, maka y = 4 & # 8211 1 = 3
x = 2, maka y = 4 & # 8211 2 = 2
∴ Kami mendapat jadual berikut:

Petak pasangan yang disusun (0, 4), (1,3) dan (2,2) pada kertas graf. Bergabung dengan titik-titik ini, kami mendapat garis lurus AB seperti yang ditunjukkan.

Oleh itu, garis AB adalah graf yang diperlukan x + y = 4

(ii) x & # 8211 y = 2 ⇒ y = x & # 8211 2
Sekiranya kita mempunyai x = 0, maka y = 0 & # 8211 2 = -2
x = 1, maka y = 1 & # 8211 2 = -1
x = 2, maka y = 2 & # 8211 2 = 0
∴ Kami mendapat jadual berikut:

Petak pasangan yang disusun (0, -2), (1, -1) dan (2, 0) pada kertas graf. Bergabung dengan titik-titik ini, kami mendapat PQ garis lurus seperti yang ditunjukkan.

Oleh itu, ime adalah graf yang diperlukan bagi x & # 8211 y = 2

(iii) y = 3x
Sekiranya kita mempunyai x = 0,
maka y = 3 (0) ⇒ y = 0
x = 1, maka y = 3 (1) = 3
x = -1, maka y = 3 (-1) = -3
∴ Kami mendapat jadual berikut:

Petak pasangan yang disusun (0, 0), (1, 3) dan (-1, -3) pada kertas graf. Bergabung dengan titik-titik ini, kami mendapat garis lurus LM seperti yang ditunjukkan.

Oleh itu, garis LM adalah graf yang diperlukan y = 3x.

(iv) 3 = 2x + y ⇒ y = 3 & # 8211 2x
Sekiranya kita mempunyai x = 0, maka y = 3 & # 8211 2 (0) = 3
x = 1, maka y = 3 & # 8211 2 (1) = 3 & # 8211 2 = 1
x = 2, maka y = 3 & # 8211 2 (2) = 3 & # 8211 4 = -1
∴ Kami mendapat jadual berikut:

Tuliskan pasangan yang disusun (0, 3), (1, 1) dan (2, & # 8211 1) pada kertas graf. Bergabung dengan poin ini, kami mendapat CD garis lurus seperti yang ditunjukkan.

Oleh itu, CD baris adalah graf yang diperlukan 3 = 2x + y.

Soalan 2
Berikan persamaan dua garis yang melintas (2, 14). Berapa banyak lagi baris yang ada, dan mengapa?
Penyelesaian:
(2, 14) bermaksud x = 2 dan y = 14
Persamaan yang mempunyai (2,14) sebagai penyelesaiannya adalah (i) x + y = 16, (ii) 7x & # 8211 y = 0
Ada sejumlah garis yang melewati titik (2, 14), kerana jumlah garis tak terbatas dapat ditarik melalui titik.

Soalan 3
Sekiranya titik (3, 4) terletak pada grafik persamaan 3y = ax + 7, cari nilai a.
Penyelesaian:
Persamaan garis yang diberi ialah 3y = ax + 7
∵ (3, 4) terletak pada garis yang diberikan.
∴ Ia mesti memenuhi persamaan 3y = ax + 7
Kami mempunyai, (3, 4) ⇒ x = 3 dan y = 4.
Dengan meletakkan nilai ini dalam persamaan yang diberikan, kita dapat
3 x 4 = a x 3 + 7
⇒ 12 = 3a + 7
⇒ 3a = 12 & # 8211 7 = 5 ⇒ a = ( frac <5> <3> )
Oleh itu, nilai a yang diperlukan adalah ( frac <5> <3> )

Soalan 4
Tambang teksi Di bandar adalah seperti berikut: Untuk kilometer pertama, tambang adalah Rs. 8 dan untuk jarak seterusnya ialah Rs. 5 setiap km. Mengambil jarak yang diliputi sebagai x km dan jumlah tambang sebagai Rs.y, tulis persamaan linear untuk Maklumat ini, dan lukiskan grafnya.
Penyelesaian:
Di sini, jumlah jarak perjalanan = x km dan jumlah tambang teksi = Rs. y
Tambang untuk 1km = Rs. 8
Baki jarak = (x & # 8211 1) km
∴ Tambang untuk (x & # 8211 1) km = Rs.5 x (x & # 8211 1)
Jumlah tambang teksi = Rs. 8 + Rs. 5 (x & # 8211 1)
Menurut soalan,
y = 8 + 5 (x & # 8211 1) = y = 8 + 5x & # 8211 5
⇒ y = 5x + 3,
yang merupakan persamaan linear yang diperlukan yang mewakili maklumat yang diberikan.
Grafik: Kami mempunyai y = 5x + 3
Wben x = 0, maka y = 5 (0) + 3 ⇒ y = 3
x = -1, maka y = 5 (-1) + 3 ⇒ y = -2
x = -2, maka y = 5 (-2) + 3 ⇒ y = -7
∴ Kami mendapat jadual berikut:

Sekarang, dengan memetakan pasangan yang disusun (0, 3), (-1, -2) dan (-2, -7) pada kertas graf dan bergabung dengannya, kami mendapat garis lurus PQ seperti yang ditunjukkan.

Oleh itu, garis PQ adalah graf yang diperlukan bagi persamaan linear y = 5x + 3.

Soalan 5
Dari pilihan yang diberikan di bawah, pilih persamaan yang grafnya diberikan ¡n Gambar. (1) dan Gambar (2).
Untuk Rajah (1)
(i) y = x
(ii) x + y = 0
(iii) y = 2x
(iv) 2 + 3y = 7x

Untuk Rajah (2)
(i) y = x + 2
(ii) y = x & # 8211 2
(iii) y = -x + 2
(iv) x + 2y = 6

Penyelesaian:
Untuk Rajah. (1), persamaan linear yang betul ialah x + y = 0
[Sebagai (-1, 1) = -1 + 1 = 0 dan (1, -1) = 1 + (-1) = 0]
Untuk Rajah. (2), persamaan linear yang betul ialah y = -x + 2
[Sebagai (-1,3) 3 = -1 (-1) + 2 = 3 = 3 dan (0,2)
⇒ 2 = -(0) + 2 ⇒ 2 = 2]

Soalan 6
Sekiranya kerja yang dilakukan oleh badan dengan menggunakan daya malar berkadar terus dengan jarak yang dilalui oleh badan, nyatakan ini dalam bentuk persamaan dalam dua pemboleh ubah dan lukiskan graf yang sama dengan mengambil daya malar sebagai 5 unit . Baca juga dari grafik kerja yang dilakukan ketika jarak yang dilalui oleh badan adalah
(i) 2 unit
(ii) 0 unit
Penyelesaian:
Daya malar ialah 5 unit.
Biarkan jarak yang dilalui = unit x dan kerja yang dilakukan = unit y.
Kerja selesai = Angkatan x Jarak
⇒ y = 5 x x ⇒ y = 5x
Untuk melukis graf, kita mempunyai y = 5x
Apabila x = 0, maka y = 5 (0) = 0
x = 1, maka y = 5 (1) = 5
x = -1, maka y = 5 (-1) = -5
∴ Kami mendapat jadual berikut:

Memetik pasangan yang disusun (0, 0), (1, 5) dan (-1, -5) pada kertas graf dan bergabung dengan titik, kita mendapat garis lurus AB seperti yang ditunjukkan.

Dari grafik, kita dapat
(i) Jarak yang dilalui = 2 unit iaitu, x = 2
∴ Jika x = 2, maka y = 5 (2) = 10
⇒ Kerja selesai = 10 unit.

(ii) Jarak yang dilalui = 0 unit iaitu, x = 0
∴ Sekiranya x = 0 ⇒ y = 5 (0) & # 8211 0
⇒ Kerja selesai = 0 unit.

Soalan 7
Yamini dan Fatima, dua pelajar Kelas IX sebuah sekolah, bersama-sama menyumbang Rs. 100 menuju Dana Bantuan Perdana Menteri untuk membantu mangsa gempa. Tuliskan persamaan linear yang memenuhi data ini. (Anda mungkin mengambil sumbangan mereka sebagai Rs.xand Rs.y.) Lukiskan graf yang sama.
Penyelesaian:
Biarkan sumbangan Yamini = Rs. x
dan sumbangan Fatima Rs. y
Have Kami mempunyai x + y = 100 ⇒ y = 100 & # 8211 x
Sekarang, apabila x = 0, y = 100 & # 8211 0 = 100
x = 50, y = 100 & # 8211 50 = 50
x = 100, y = 100 & # 8211 100 = 0
∴ Kami mendapat jadual berikut:

Memplot pasangan yang disusun (0,100), (50,50) dan (100, 0) pada kertas graf menggunakan skala yang betul dan bergabung dengan titik-titik ini, kami mendapat garis lurus PQ seperti yang ditunjukkan.

Oleh itu, garis PQ adalah graf yang diperlukan bagi persamaan linear x + y = 100.

Soalan 8
Di negara-negara seperti Amerika Syarikat dan Kanada, suhu diukur dalam Fahrenheit, sedangkan di negara-negara seperti India, suhu diukur dalam Celsius. Inilah Adakah
persamaan linear yang menukar Fahrenheit ke Celsius:
F = ( ( frac <9> <5> )) C + 32
(i) Lukiskan graf persamaan linear di atas menggunakan Celsius untuk paksi-x dan Fahrenheit untuk paksi-y.
(ii) Sekiranya suhu 30 ° C, berapakah suhu di Fahrenheit?
(iii) Sekiranya suhu 95 ° F, berapakah suhu dalam Celsius?
(iv) Jika suhu 0 ° C, berapakah suhu Di Fahrenheit dan Jika suhu 0 ° F, berapakah suhu Dalam Celsius?
(v) Adakah suhu yang sama secara numerik di Fahrenheit dan Celsius? Sekiranya ya, cari.
Penyelesaian:
(i) Kita ada
F = ( ( frac <9> <5> )) C + 32
Apabila C = 0, F = ( ( frac <9> <5> )) x 0 + 32 = 32
Apabila C = 15, F = ( ( frac <9> <5> )) (- 15) + 32 = -27 + 32 = 5
Apabila C = -10, F = ( frac <9> <5> ) (-10) +32 = -18 + 32 = 14
Kami mempunyai jadual berikut:

Memetakan pasangan yang disusun (0, 32), (-15, 5) dan (-10,14) pada kertas graf. Bergabung dengan poin ini, kami mendapat garis lurus AB.

(ii) Dari grafik, kita mempunyai 86 ° F sepadan dengan 30 ° C.
(iii) Dari grafik, kita mempunyai 95 ° F sepadan dengan 35 ° C.
(iv) Kita ada, C = 0
Dari (1), kita dapat
F = ( ( frac <9> <5> )) 0 + 32 = 32
Juga, F = 0
Dari (1), kita dapat
0 = ( ( frac <9> <5> )) C + 32 ⇒ ( frac <-32 kali 5> <9> ) = C ⇒ C = -17.8
(V) Bila F = C (secara numerik)
Dari (1), kita dapat
F = ( frac <9> <5> ) F + 32 ⇒ F & # 8211 ( frac <9> <5> ) F = 32
⇒ ( frac <-4> <5> ) F = 32 ⇒ F = -40
∴ Suhu ialah & # 8211 40 ° di F dan C.

Penyelesaian NCERT untuk Matematik Kelas 9 Bab 4 Persamaan Linear dalam Dua Pemboleh ubah Ex 4.4

soalan 1
Berikan perwakilan geometri y = 3 sebagai persamaan
(i) dalam satu pemboleh ubah
(ii) dalam dua pemboleh ubah
Penyelesaian:
(i) y = 3
∵ y = 3 adalah persamaan dalam satu pemboleh ubah, iaitu y sahaja.
∴ y = 3 adalah penyelesaian unik pada garis nombor seperti yang ditunjukkan di bawah:

(ii) y = 3
Kita boleh menulis y = 3 dalam dua pemboleh ubah sebagai 0.x + y = 3
Sekarang, apabila x = 1, y = 3
x = 2, y = 3
x = -1, y = 3
∴ Kami mendapat jadual berikut:

Memetakan pasangan yang disusun (1, 3), (2, 3) dan (-1, 3) pada kertas graf dan menyambungkannya, kami mendapat aline AB sebagai penyelesaian 0. x + y = 3,
iaitu y = 3.

Soalan 2
Berikan perwakilan geometri 2x + 9 = 0 sebagai persamaan
(i) dalam satu pemboleh ubah
(ii) dalam dua pemboleh ubah
Penyelesaian:
(i) 2x + 9 = 0
Kami mempunyai, 2x + 9 = 0 ⇒ 2x = & # 8211 9 ⇒ x = ( frac <-9> <2> )
yang merupakan persamaan linear dalam satu pemboleh ubah iaitu x sahaja.
Terdapat bijih, x = (- frac <9> <2> ) adalah penyelesaian unik pada garis nombor seperti yang ditunjukkan di bawah:

(ii) 2x + 9 = 0
Kita boleh menulis 2x + 9 = 0 dalam dua pemboleh ubah sebagai 2x + 0, y + 9 = 0
atau (x = frac <-9-0.y> <2> )
∴ Bila y = 1, x = (x = frac <-9-0 (1)> <2> ) = (- frac <9> <2> )

Oleh itu, kami mendapat jadual berikut:

Sekarang, plotkan pasangan yang disusun (( frac <-9> <2>, 3) ), (( frac <-9> <2>, 3) ) dan (( frac <-9 > <2>, 3) ) pada kertas graf dan bergabung dengannya, kami mendapat garis PQ sebagai penyelesaian 2x + 9 = 0.


Menyelesaikan sistem persamaan dalam dua pemboleh ubah

Sistem persamaan linear terdiri daripada dua atau lebih persamaan dan satu mencari penyelesaian umum untuk persamaan. Dalam sistem persamaan linear, setiap persamaan sesuai dengan garis lurus sesuai dan satu mencari titik di mana kedua garis tersebut bersilang.

Selesaikan sistem persamaan linear berikut:

Oleh kerana kita mencari titik persimpangan, kita dapat membuat grafik persamaan:

Kami melihat di sini bahawa garis-garis saling bersilang pada titik x = 2, y = 8. Ini adalah penyelesaian kami dan kami mungkin merujuknya sebagai penyelesaian grafik untuk tugas tersebut.

Tetapi bagaimana seseorang mencapai penyelesaian jika garis tidak pernah bersilang? Kita tidak boleh, sistem persamaan tidak mempunyai jalan penyelesaian.

Seseorang juga mungkin mendapat jawapan yang betul dengan bantuan kaedah penghapusan (juga disebut kaedah penambahan atau kaedah kombinasi linear) atau kaedah penggantian.

Semasa menggunakan kaedah penggantian kita menggunakan fakta bahawa jika dua ungkapan y dan x sama nilai x = y, maka x boleh menggantikan y atau sebaliknya dalam ungkapan lain tanpa mengubah nilai ungkapan.

Selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah penggantian

Kami menggantikan y di persamaan teratas dengan ungkapan untuk persamaan kedua:

Untuk menentukan y-nilai, kami boleh meneruskan dengan memasukkan kami x-menilai dalam mana-mana persamaan. Kami memilih persamaan pertama:

Oleh itu, kami telah mencapai jawapan yang tepat seperti dalam penyelesaian grafik.

Kaedah penghapusan memerlukan kita untuk menambah atau mengurangkan persamaan untuk menghilangkan salah satu x atau y, selalunya seseorang tidak boleh meneruskan penambahan secara langsung tanpa mengalikan persamaan pertama atau kedua dengan beberapa nilai.

Kami sekarang ingin menambahkan kedua persamaan itu tetapi tidak akan menghasilkan kedua-dua persamaan x atau y dihapuskan. Oleh itu kita mesti mengalikan persamaan kedua dengan 2 di kedua-dua belah pihak dan mendapatkan:

Sekarang kita cuba menambah sistem persamaan kita. Kami bermula dengan x-terma di sebelah kiri, dan y-terma selepas itu dan akhirnya dengan nombor di sebelah kanan:

The y-terma sekarang telah dihapuskan dan kita sekarang mempunyai persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah:

Selepas itu, untuk menentukan y-nilai yang kami masukkan x= 2.5 dalam salah satu persamaan. Kami memilih yang pertama:


Merangka sistem persamaan linear

Penyelesaian kepada sistem persamaan linear dapat ditentukan secara grafik. Satu-satunya perkara yang perlu anda lakukan ialah melukis garis berdasarkan persamaan yang diberikan dan kemudian secara visual menentukan titik di mana garis melintasi. Anda boleh belajar melakukannya dengan mengklik pada pautan ke artikel kami mengenai grafik persamaan linear.


Sekiranya anda ingin mempraktikkan penyelesaian dan grafik sistem persamaan linear, sila gunakan lembaran kerja matematik di bawah.