Artikel

1.2B: Kalkulus Fungsi Berharga Vektor II - Matematik

1.2B: Kalkulus Fungsi Berharga Vektor II - Matematik



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Bahagian sebelumnya memperkenalkan kami kepada objek matematik baru, fungsi nilai vektor. Kita mulakan dengan had, kemudian jalankan derivatif hingga integrasi.

Had Fungsi Berharga Vektor

Definisi awal had fungsi bernilai vektor agak menakutkan, seperti definisi had dalam Definisi 1. Teorema mengikuti definisi menunjukkan bahawa dalam praktiknya, mengambil had fungsi bernilai vektor tidak lebih sukar daripada mengambil had fungsi bernilai sebenar.

Definisi 68: Had Fungsi Berfungsi Vektor

Biarkan (I ) menjadi selang terbuka yang mengandungi (c ), dan biarkan ( vecs r (t) ) menjadi fungsi bernilai vektor yang ditentukan pada (I ), kecuali mungkin pada (c ). The had ( vecs r (t) ), sebagai (t ) pendekatan (c ), adalah ( vecs L ), dinyatakan sebagai

[ lim_ {t to c} vecs r (t) = vecs L, ]

bermaksud bahawa jika diberi ( epsilon> 0 ), terdapat ( delta> 0 ) sehingga untuk semua (t neq c ), jika (| tc | < delta ), kita mempunyai ( norma { vecs r (t) - vecs L} < epsilon. )

Perhatikan bagaimana pengukuran jarak antara nombor nyata adalah nilai mutlak perbezaan mereka; ukuran jarak antara vektor adalah norma vektor, atau besarnya, perbezaannya.

teorema 89: Had Fungsi Berfungsi Vektor

  1. Mari ( vecs r (t) = langle , f (t), g (t) , rangle ) menjadi fungsi bernilai vektor dalam ( mathbb {R} ^ 2 ) yang ditentukan pada selang terbuka (I ) yang mengandungi (c ). Kemudian [ lim_ {t to c} vecs r (t) = langle lim_ {t to c} f (t) ,, , lim_ {t to c} g (t) bingkas. ]
  2. Mari ( vecs r (t) = langle , f (t), g (t), h (t) , rangle ) menjadi fungsi bernilai vektor di ( mathbb {R} ^ 3 ) didefinisikan pada selang terbuka (I ) yang mengandungi (c ). Kemudian [ lim_ {t to c} vecs r (t) = langle lim_ {t to c} f (t) ,, , lim_ {t to c} g (t) ,, , lim_ {t hingga c} h (t) rangle ]

Teorem 89 menyatakan bahawa kita mengira had berdasarkan komponen.

Contoh ( PageIndex {1} ): Mencari had fungsi bernilai vektor

Mari ( vecs r (t) = langle frac { sin t} {t}, , t ^ 2-3t + 3, , cos t rangle. ) Cari ( lim_ {t ke 0} vecs r (t) ).

Penyelesaian

Kami menggunakan teori dan had komputasi berdasarkan komponen.

[ mulakan {align *}
lim_ {t to0} vecs r (t) & = langle lim_ {t to 0} frac { sin t} {t} ,, , lim_ {t to 0} t ^ 2-3t + 3 ,, , lim_ {t to 0} cos t rangle
& = langle 1,3,1 rangle.
end {align *} ]

Kesinambungan

Definisi 69: Kesinambungan Fungsi Berharga Vektor

Mari ( vecs r (t) ) menjadi fungsi bernilai vektor yang ditentukan pada selang terbuka (I ) yang mengandungi (c ).

  1. ( vecs r (t) ) adalah berterusan di (c ) jika ( lim_ {t to c} vecs r (t) = r (c) ).
  2. Sekiranya ( vecs r (t) ) terus menerus sama sekali (c ) di (I ), maka ( vecs r (t) ) adalah berterusan pada (Saya ).

Kami sekali lagi mempunyai teorema yang membolehkan kita menilai kesinambungan komponen.

THEOREM 90: Kesinambungan Fungsi Berharga Vektor

Mari ( vecs r (t) ) menjadi fungsi bernilai vektor yang ditentukan pada selang terbuka (I ) yang mengandungi (c ). ( vecs r (t) ) berterusan di (c ) jika, dan hanya jika, setiap fungsi komponennya berterusan di (c ).

Contoh ( PageIndex {2} ): Menilai kesinambungan fungsi bernilai vektor

Mari ( vecs r (t) = langle frac { sin t} {t}, , t ^ 2-3t + 3, , cos t rangle. ) Tentukan apakah ( vecs r ) berterusan pada (t = 0 ) dan (t = 1 ).

Penyelesaian

Walaupun komponen kedua dan ketiga ( vecs r (t) ) didefinisikan di (t = 0 ), komponen pertama, (( sin t) / t ), tidak. Oleh kerana komponen pertama tidak didefinisikan di (t = 0 ), ( vecs r (t) ) tidak didefinisikan di (t = 0 ), dan oleh itu ia tidak berterusan di (t = 0 ).

Pada (t = 1 ) setiap fungsi komponen adalah berterusan. Oleh itu ( vecs r (t) ) berterusan pada (t = 1 ).

Derivatif

Pertimbangkan fungsi bernilai vektor ( vecs r ) yang ditentukan pada selang terbuka (I ) yang mengandungi (t_0 ) dan (t_1 ). Kita dapat menghitung perpindahan ( vecs r ) pada ([t_0, t_1] ), seperti yang ditunjukkan pada Gambar ( PageIndex {1a} ). Ingat bahawa membahagikan vektor perpindahan dengan (t_1-t_0 ) memberikan kadar perubahan purata pada ([t_0, t_1] ), seperti yang ditunjukkan dalam ( PageIndex {1b} ).

The kata terbitan fungsi nilai vektor adalah ukuran dari sekejap kadar perubahan, diukur dengan mengambil had sebagai panjang ([t_0, t_1] ) menjadi 0. Daripada memikirkan selang sebagai ([t_0, t_1] ), kami menganggapnya sebagai ( [c, c + h] ) untuk beberapa nilai (h ) (oleh itu selang mempunyai panjang (h )). The rata-rata kadar perubahan adalah

[ frac { vecs r (c + h) - vecs r (c)} {h} ]

untuk sebarang nilai (h neq0 ). Kami mengambil had sebagai (h to0 ) untuk mengukur kadar perubahan seketika; ini adalah turunan dari ( vecs r ).

Definisi 70: Derivatif Fungsi Berharga Vektor

Biarkan ( vecs r (t) ) berterusan pada selang terbuka (I ) yang mengandungi (c ).

  1. Derivatif dari ( vecs r ) di (t = c ) adalah [ vecs r ^ prime (c) = lim_ {h to 0} frac { vecs r (c + h) - vecs r (c)} {h}. ]
  2. Derivatif dari ( vecs r ) adalah [ vecs r ^ prime (t) = lim_ {h to 0} frac { vecs r (t + h) - vecs r (t)} {h}. ]

Catatan: Notasi alternatif untuk turunan ( vecs r ) termasuk: [ vecs r ^ prime (t) = frac {d} {dt} big (, vecs r (t) , big) = frac {d vecs r} {dt}. ]

Sekiranya fungsi bernilai vektor mempunyai turunan untuk semua (c ) dalam selang terbuka (I ), kita mengatakan bahawa ( vecs r (t) ) adalah boleh dibezakan pada (I ).

Sekali lagi kita mungkin melihat definisi ini sebagai menakutkan, tetapi ingat bahawa kita dapat menilai had berdasarkan komponen. Teorema berikut mengesahkan bahawa ini bermaksud kita dapat mengira komponen derivatif juga, menjadikan tugas itu tidak terlalu sukar.

teorema 91: Derivatif Fungsi Berharga Vektor

  1. Mari ( vecs r (t) = langle , f (t), g (t) , rangle ). Kemudian [ vecs r ^ prime (t) = langle , f ^ prime (t), g ^ prime (t) , rangle. ]
  2. Mari ( vecs r (t) = langle , f (t), g (t), h (t) , rangle ). Kemudian [ vecs r ^ prime (t) = langle , f ^ prime (t), g ^ prime (t), h ^ prime (t) , rangle. ]

Contoh ( PageIndex {3} ): Derivatif fungsi bernilai vektor

Mari ( vecs r (t) = langle t ^ 2, t rangle ).

  1. Lakarkan ( vecs r (t) ) dan ( vecs r ^ prime (t) ) pada paksi yang sama.
  2. Hitung ( vecs r ^ prime (1) ) dan lakarkan vektor ini dengan titik awalnya pada asal dan di ( vecs r (1) ).

Penyelesaian

  1. Teorem 91 membolehkan kita mengira komponen derivatif dengan bijak, jadi [ vecs r ^ prime (t) = langle 2t, 1 rangle. ] ( Vecs r (t) ) dan ( vecs r ^ prime (t) ) digambarkan bersama dalam Rajah 11.9 (a). Perhatikan bagaimana merancang kedua-duanya bersama-sama, dengan cara ini, tidak terlalu menerangkan. Semasa berurusan dengan fungsi bernilai sebenar, merancang (f (x) ) dengan (f ^ prime (x) ) memberi kami maklumat berguna kerana kami dapat membandingkan (f ) dan (f ^ perdana ) pada nilai (x ) yang sama. Semasa berurusan dengan fungsi bernilai vektor, sukar untuk mengetahui titik mana pada grafik ( vecs r ^ prime ) sesuai dengan titik mana pada grafik ( vecs r ).
  2. Kami dengan mudah mengira ( vecs r ^ prime (1) = langle 2,1 rangle ), yang dilukis dalam Gambar ( PageIndex {2a} ) dengan titik awalnya di asal, serta di ( vecs r (1) = langle 1,1 rangle. ) Ini digambarkan dalam Rajah ( PageIndex {2b} ).

Contoh ( PageIndex {4} ): Derivatif fungsi bernilai vektor

Mari ( vecs r (t) = langle cos t, sin t, t rangle ). Hitung ( vecs r ^ prime (t) ) dan ( vecs r ^ prime ( pi / 2) ). Lakarkan ( vecs r ^ prime ( pi / 2) ) dengan titik awalnya pada asal dan di ( vecs r ( pi / 2) ).

Penyelesaian

Kami mengira ( vecs r ^ prime ) sebagai ( vecs r ^ prime (t) = langle - sin t, cos t, 1 rangle ). Pada (t = pi / 2 ), kita memiliki ( vecs r ^ prime ( pi / 2) = langle -1,0,1 rangle ). Rajah ( PageIndex {3} ) menunjukkan graf ( vecs r (t) ), dengan ( vecs r ^ prime ( pi / 2) ) diplotkan dengan titik awalnya pada asal dan pada ( vecs r ( pi / 2) ).

Dalam Contoh ( PageIndex {3} ) dan ( PageIndex {4} ), melukis turunan tertentu dengan titik awalnya pada asalnya sepertinya tidak memperlihatkan sesuatu yang penting. Namun, ketika kami membuat lakaran vektor dengan titik awalnya pada titik yang sesuai pada grafik, kami melihat sesuatu yang penting: vektor itu kelihatannya tangen ke graf. Kami belum menentukan apa maksud "tangen" dari segi lengkung di ruang angkasa; sebenarnya, kami menggunakan kata terbitan untuk menentukan istilah ini.

Definisi 71: Vektor Tangen, Garis Tangen

Biarkan ( vecs r (t) ) menjadi fungsi bernilai vektor yang dapat dibezakan pada selang terbuka (I ) yang mengandungi (c ), di mana ( vecs r ^ prime (c) neq vecs 0 ).

  1. Vektor ( vecs v ) ialah bersinggungan dengan graf ( vecs r (t) ) di (t = c ) jika ( vecs v ) selari dengan ( vecs r ^ prime (c) ).
  2. Garis tangen} ke grafik ( vecs r (t) ) di (t = c ) adalah garis melalui ( vecs r (c) ) dengan arah selari dengan ( vecs r ^ perdana (c) ). Persamaan garis tangen ialah
    [ vecs ell (t) = vecs r (c) + t , vecs r ^ prime (c). ]

Contoh ( PageIndex {5} ): Mencari garis tangen untuk melengkung di ruang angkasa

Biarkan ( vecs r (t) = langle t, t ^ 2, t ^ 3 rangle ) on ([- 1.5,1.5] ). Cari persamaan vektor garis lurus dengan graf ( vecs r ) di (t = -1 ).

Penyelesaian

Untuk mencari persamaan garis, kita memerlukan titik pada garis dan arah garis. Titik diberikan oleh ( vecs r (-1) = langle -1,1, -1 rangle ). (Untuk jelas, ( langle -1,1, -1 rangle ) adalah a vektor, bukan titik, tetapi kami menggunakan titik "ditunjuk ke" oleh vektor ini.)

Arahnya berasal dari ( vecs r ^ prime (-1) ). Kami mengira, berdasarkan komponen, ( vecs r ^ prime (t) = langle 1,2t, 3t ^ 2 rangle ). Oleh itu ( vecs r ^ prime (-1) = langle 1, -2,3 rangle ).

Persamaan vektor garis adalah ( ell (t) = langle -1,1, -1 rangle + t langle 1, -2,3 rangle ). Garis ini dan ( vecs r (t) ) digambarkan, dari dua perspektif, dalam Rajah ( PageIndex {4a} ) dan ( PageIndex {4b} ).

Contoh ( PageIndex {6} ): Mencari garis tangen ke lengkung

Cari persamaan garis yang bersinggungan dengan ( vecs r (t) = langle t ^ 3, t ^ 2 rangle ) di (t = -1 ) dan (t = 0 ).

Penyelesaian

Kami dapati bahawa ( vecs r ^ prime (t) = langle 3t ^ 2,2t rangle ). Pada (t = -1 ), kita ada

[ vecs r (-1) = langle -1,1 rangle quad text {dan} quad vecs r ^ prime (-1) = langle 3, -2 rangle, nonumber ]

jadi persamaan garis singgung dengan graf ( vecs r (t) ) di (t = -1 ) adalah

[ ell (t) = langle -1,1 rangle + t langle 3, -2 rangle. nombor ]

Garis ini digambarkan dengan ( vecs r (t) ) dalam Rajah ( PageIndex {5} ).

Pada (t = 0 ), kita memiliki ( vecs r ^ prime (0) = langle 0,0 rangle = vecs 0 )! Ini menyiratkan bahawa garis tangen "tidak mempunyai arah." "Kita tidak dapat menerapkan Definisi 71, oleh itu tidak dapat mencari persamaan garis tangen.

Kami tidak dapat mengira persamaan garis singgung dengan ( vecs r (t) = langle t ^ 3, t ^ 2 rangle ) di (t = 0 ) kerana ( vecs r ^ perdana (0) = vecs 0 ). Grafik dalam Rajah 11.12 menunjukkan bahawa terdapat titik puncak pada ketika ini. Ini membawa kita kepada definisi lain mengenai lancar, yang sebelumnya ditakrifkan oleh Definisi 46 dalam Bahagian 9.2.

Definisi 72: Fungsi Berfungsi Vektor yang lancar

Mari ( vecs r (t) ) menjadi fungsi nilai vektor yang boleh dibezakan pada selang terbuka (I ). ( vecs r (t) ) adalah lancar di (I ) jika ( vecs r ^ prime (t) neq vecs 0 ) di (I ).

Setelah menetapkan derivatif fungsi bernilai vektor, kami kini meneroka hubungan antara derivatif dan operasi vektor lain. Teorema berikut menyatakan bagaimana derivatif berinteraksi dengan penambahan vektor dan pelbagai produk vektor.

THEOREM 92: Sifat Derivatif Fungsi Berharga Vektor

Biarkan ( vecs r ) dan ( vecs s ) menjadi fungsi bernilai vektor yang boleh dibezakan, biarkan (f ) menjadi fungsi bernilai nyata yang dapat dibezakan, dan biarkan (c ) menjadi nombor nyata.

  1. ( frac {d} {dt} Besar ( vecs r (t) pm vecs s (t) Big) = vecs r ^ prime (t) pm vecs s , '(t )
  2. ( frac {d} {dt} Besar (c vecs r (t) Besar) = c vecs r ^ prime (t) )
  3. ( frac {d} {dt} Big (f (t) vecs r (t) Big) = f ^ prime (t) vecs r (t) + f (t) vecs r ^ perdana (t) ) Peraturan Produk
  4. ( frac {d} {dt} Besar ( vecs r (t) cdot vecs s (t) Big) = vecs r ^ prime (t) cdot vecs s (t) + vecs r (t) cdot vecs s , '(t) ) Peraturan Produk
  5. ( frac {d} {dt} Big ( vecs r (t) times vecs s (t) Big) = vecs r ^ prime (t) times vecs s (t) + vecs r (t) kali vecs s , '(t) ) Peraturan Produk
  6. ( frac {d} {dt} Besar ( vecs r besar (f (t) besar) Besar) = vecs r ^ perdana besar (f (t) besar) f ^ perdana (t) ) Peraturan Rantai

Contoh ( PageIndex {7} ): Menggunakan sifat terbitan fungsi bernilai vektor

Mari ( vecs r (t) = langle t, t ^ 2-1 rangle ) dan biarkan ( vecs u (t) ) menjadi vektor unit yang menunjuk ke arah ( vecs r (t) ).

  1. Grafik ( vecs r (t) ) dan ( vecs u (t) ) pada paksi yang sama, pada ([- 2,2] ).
  2. Cari ( vecs u , '(t) ) dan lakarkan ( vecs u ,' (- 2) ), ( vecs u , '(- 1) ) dan ( vecs u , '(0) ). Lakarkan setiap satu dengan titik awal titik yang sesuai pada grafik ( vecs u ).

Penyelesaian

  1. Untuk membentuk vektor unit yang menunjuk ke arah ( vecs r ), kita perlu membahagikan ( vecs r (t) ) dengan besarnya.
    [ norm { vecs r (t)} = sqrt {t ^ 2 + (t ^ 2-1) ^ 2} quad Rightarrow quad vecs u (t) = frac {1} { sqrt {t ^ 2 + (t ^ 2-1) ^ 2}} langle t, t ^ 2-1 rangle. ]
    ( vecs r (t) ) dan ( vecs u (t) ) digambarkan dalam Rajah 11.13. Perhatikan bagaimana graf ( vecs u (t) ) membentuk sebahagian daripada bulatan; ini mesti berlaku, kerana panjang ( vecs u (t) ) adalah 1 untuk semua (t ).
  2. Untuk mengira ( vecs u , '(t) ), kami menggunakan Teorem 92, menulis [ vecs u (t) = f (t) vecs r (t), quad text {where} quad f (t) = frac {1} { sqrt {t ^ 2 + (t ^ 2-1) ^ 2}} = besar (t ^ 2 + (t ^ 2-1) ^ 2 besar) ^ {- 1/2}. ]
    (Kami boleh tulis [ vecs u (t) = langle frac {t} { sqrt {t ^ 2 + (t ^ 2-1) ^ 2}}, frac {t ^ 2-1} { sqrt { t ^ 2 + (t ^ 2-1) ^ 2}} rangle ]
    dan kemudian ambil derivatifnya. Ini adalah soal pilihan; kaedah terakhir ini memerlukan dua aplikasi Peraturan Quotient di mana kaedah kami menggunakan Peraturan Produk dan Rantai.)

    Kami dapati (f ^ prime (t) ) menggunakan Peraturan Rantai: [ begin {align *} f ^ prime (t) & = - frac12 big (t ^ 2 + (t ^ 2- 1) ^ 2 besar) ^ {- 3/2} besar (2t + 2 (t ^ 2-1) (2t) besar) & = - frac {2t (2t ^ 2-1)} {2 big ( sqrt {t ^ 2 + (t ^ 2-1) ^ 2} , big) ^ 3} end {align *} ]

    Sekarang kita dapati ( vecs u , '(t) ) menggunakan bahagian 3 dari Theorem 92: [ begin {align *} vecs u ,' (t) & = f ^ prime (t) vecs u (t) + f (t) vecs u , '(t) & = - frac {2t (2t ^ 2-1)} {2 besar ( sqrt {t ^ 2 + (t ^ 2-1) ^ 2} , besar) ^ 3} langle t, t ^ 2-1 rangle + frac {1} { sqrt {t ^ 2 + (t ^ 2-1) ^ 2 }} langle 1,2t rangle. end {align *} ]

    Ini diakui sangat "tidak kemas;" seperti biasanya apabila kita berurusan dengan vektor unit. Kita boleh menggunakan formula ini untuk mengira ( vecs u , (- 2) ), ( vecs u , ( -1) ) dan ( vecs u , (0) ): [ begin {align *} vecs u , (- 2) & = langle - frac {15} {13 sqrt {13}}, - frac {10} {13 sqrt {13}} rangle approx langle -0.320, -0.213 rangle vecs u , (- 1) & = langle 0, - 2 rangle vecs u , (0) & = langle 1,0 rangle end {align *} ]

Masing-masing dilukiskan dalam Rajah ( PageIndex {6} ). Perhatikan bagaimana panjang vektor memberikan petunjuk betapa cepatnya lingkaran itu dikesan pada ketika itu. Apabila (t = -2 ), bulatan dilukis agak perlahan; apabila (t = -1 ), bulatan itu dikesan dengan lebih cepat.

Ini adalah fakta geometri asas bahawa garis yang bersinggungan dengan bulatan pada titik (P ) tegak lurus dengan garis yang melewati pusat bulatan dan (P ). Ini digambarkan dalam Rajah 11.14; setiap vektor tangen berserenjang dengan garis yang melewati titik awalnya dan pusat bulatan. Oleh kerana pusat bulatan adalah asal, kita dapat menyatakannya dengan cara lain: ( vecs u , '(t) ) adalah ortogonal ke ( vecs u (t) ).

Ingat bahawa produk titik berfungsi sebagai ujian untuk orthogonality: jika ( vecs u cdot vecs v = 0 ), maka ( vecs u ) adalah ortogonal ke ( vecs v ). Oleh itu, dalam contoh di atas, ( vecs u (t) cdot vecs u , '(t) = 0 ).

Ini berlaku untuk sebarang fungsi bernilai vektor yang mempunyai panjang tetap, iaitu jejak keluar dari bulatan. Ia mempunyai implikasi penting di kemudian hari, jadi kami menyatakannya sebagai teorema (dan meninggalkan bukti rasmi sebagai Latihan.)

THEOREM 93 Fungsi Berharga Vektor dengan Panjang Tetap

Biarkan ( vecs r (t) ) menjadi fungsi nilai vektor yang boleh dibezakan pada selang terbuka (I ) dengan panjang tetap. Iaitu, ( norma { vecs r (t)} = c ) untuk semua (t ) di (I ) (setara, ( vecs r (t) cdot vecs r (t ) = c ^ 2 ) untuk semua (t ) di (I )). Kemudian ( vecs r (t) cdot vecs r ^ prime (t) = 0 ) untuk semua (t ) di (I ).

Kesepaduan

Integrasi tidak tentu dan pasti fungsi bernilai vektor juga dinilai berdasarkan komponen.

TEORI 94: Integrasi Tidak Tentu dan Pasti Fungsi Berharga Vektor

Mari ( vecs r (t) = langle f (t), g (t) rangle ) menjadi fungsi bernilai vektor di ( mathbb {R} ^ 2 ).

  1. ( int vecs r (t) dt = langle int f (t) dt, int g (t) dt rangle )
  2. ( int_a ^ b vecs r (t) dt = langle int_a ^ b f (t) dt, int_a ^ b g (t) dt rangle )

Pernyataan serupa berlaku untuk fungsi bernilai vektor di ( mathbb {R} ^ 3 ).

Contoh ( PageIndex {8} ): Menilai integral pasti fungsi bernilai vektor

Mari ( vecs r (t) = langle e ^ {2t}, sin t rangle ). Nilaikan ( int_0 ^ 1 vecs r (t) dt ).

Penyelesaian

Kami mengikuti Teorem 94.

[ mulakan {align *}
int_0 ^ 1 vecs r (t) dt & = int_0 ^ 1 langle e ^ {2t}, sin t rangle dt
& = langle int_0 ^ 1 e ^ {2t} dt , int_0 ^ 1 sin t dt rangle
& = langle frac12e ^ {2t} Besar | _0 ^ 1 , - cos t Besar | _0 ^ 1 rangle
& = langle frac12 (e ^ 2-1) , - cos (1) +1 rangle
& lebih kurang langle 3.19,0.460 rangle.
end {align *} ]

Contoh ( PageIndex {9} ): Menyelesaikan masalah nilai awal

Mari ( vecs r ^ { prime prime} (t) = langle 2, cos t, 12t rangle ). Cari ( vecs r (t) ) di mana:

  1. ( vecs r (0) = langle -7, -1,2 rangle ) dan
  2. ( vecs r ^ prime (0) = langle 5,3,0 rangle. )

Penyelesaian

Mengetahui ( vecs r ^ { prime prime} (t) = langle 2, cos t, 12t rangle ), kita dapati ( vecs r ^ prime (t) ) dengan menilai tak tentu tidak terpadu.

[ mulakan {align *}
int vecs r ^ { prime prime} (t) dt & = langle int 2 dt , int cos t dt , int 12t dt rangle
& = langle 2t + C_1, sin t + C_2, 6t ^ 2 + C_3 rangle
& = langle 2t, sin t, 6t ^ 2 rangle + langle C_1, C_2, C_3 rangle
& = langle 2t, sin t, 6t ^ 2 rangle + vecs C_1.
end {align *} ]

Perhatikan bagaimana setiap kamiran tidak tentu membuat pemalarnya sendiri yang kita kumpulkan sebagai satu vektor malar ( vecs C_1 ). Mengetahui ( vecs r ^ prime (0) = langle 5,3,0 rangle ) membolehkan kita menyelesaikan ( vecs C_1 ):

[ mulakan {align *}
vecs r ^ prime (t) & = langle 2t, sin t, 6t ^ 2 rangle + vecs C_1
vecs r ^ prime (0) & = langle 0,0,0 rangle + vecs C_1
langle 5,3,0 rangle & = vecs C_1.
end {align *} ]

Jadi ( vecs r ^ prime (t) = langle 2t, sin t, 6t ^ 2 rangle + langle 5,3,0 rangle = langle 2t + 5, sin t + 3, 6t ^ 2 rangle ). Untuk mencari ( vecs r (t) ), kami menyatukan sekali lagi.

[ mulakan {align *}
int vecs r ^ prime (t) dt & = langle int 2t + 5 dt, int sin t + 3 dt, int 6t ^ 2 dt rangle
& = langle t ^ 2 + 5t, - cos t + 3t, ​​2t ^ 3 rangle + vecs C_2.
end {align *} ]

Dengan ( vecs r (0) = langle -7, -1,2 rangle ), kami menyelesaikan untuk ( vecs C_2 ):

[ mulakan {align *}
vecs r (t) & = langle t ^ 2 + 5t, - cos t + 3t, ​​2t ^ 3 rangle + vecs C_2
vecs r (0) & = langle 0, -1,0 rangle + vecs C_2
langle -7, -1,2 rangle & = langle 0, -1,0 rangle + vecs C_2
langle -7,0,2 rangle & = vecs C_2.
end {align *} ]

Jadi ( vecs r (t) = langle t ^ 2 + 5t, - cos t + 3t, ​​2t ^ 3 rangle + langle -7,0,2 rangle = langle t ^ 2 + 5t- 7, - cos t + 3t, ​​2t ^ 3 + 2 rangle. )

Apa yang dimaksudkan dengan integrasi fungsi bernilai vektor bermaksud? Ada banyak aplikasi, tetapi tidak ada yang langsung seperti "area di bawah kurva" yang kami gunakan dalam memahami integral fungsi yang bernilai nyata.

Pemahaman utama bagi kami adalah dengan mempertimbangkan integral turunan: [ int_a ^ b vecs r ^ prime (t) dt = vecs r (t) Big | _a ^ b = vecs r (b) - vecs r (a). ]
Mengintegrasikan a kadar perubahan fungsi memberi anjakan.

Memerhatikan bahawa fungsi bernilai vektor berkait rapat dengan persamaan parametrik, kita dapat menggambarkan panjang busur grafik fungsi bernilai vektor sebagai integral. Diberi persamaan parametrik (x = f (t) ), (y = g (t) ), panjang lengkok pada ([a, b] ) graf adalah

[ text {Arc Length} = int_a ^ b sqrt {f ^ prime (t) ^ 2 + g ^ prime (t) ^ 2} dt, ]

seperti yang dinyatakan dalam Teorem 82 dalam Bahagian 9.3. Jika ( vecs r (t) = langle f (t), g (t) rangle ), perhatikan bahawa ( sqrt {f ^ prime (t) ^ 2 + g ^ prime (t) ^ 2} = norma { vecs r ^ prime (t)} ). Oleh itu, kita dapat menyatakan panjang lengkok grafik fungsi bernilai vektor sebagai integral besarnya turunannya.

THEOREM 95: Panjang Arc Fungsi Berharga Vektor

Mari ( vecs r (t) ) menjadi fungsi bernilai vektor di mana ( vecs r ^ prime (t) ) berterusan pada ([a, b] ). Panjang lengkok (L ) graf ( vecs r (t) ) ialah [L = int_a ^ b norma { vecs r ^ prime (t)} dt. ]

Perhatikan bahawa kita sebenarnya mengintegrasikan fungsi skalar di sini, bukan fungsi bernilai vektor.

Bahagian seterusnya mengambil apa yang telah kita tetapkan sejauh ini dan menerapkannya pada objek yang bergerak. Kami akan membiarkan ( vecs r (t) ) menerangkan jalan objek dalam satah atau di angkasa dan akan menemui maklumat yang diberikan oleh ( vecs r ^ prime (t) ) dan ( vecs r ^ { prime prime} (t) ).


1.2B: Kalkulus Fungsi Berharga Vektor II - Matematik

Fungsi vektor merangkumi sekumpulan vektor multidimensi di persimpangan domain [lateks] f [/ lateks], [lateks] g [/ lateks], dan [lateks] h [/ lateks].

Objektif Pembelajaran

Terangkan penerapan fungsi bernilai vektor

Pengambilan Utama

Perkara utama

  • Fungsi bernilai vektor dapat terdiri dari vektor dan / atau skalar.
  • Setiap fungsi komponen dalam fungsi nilai vektor mewakili lokasi nilai dalam dimensi yang berbeza.
  • Domain fungsi nilai vektor adalah persimpangan domain fungsi komponen.
  • Fungsi bernilai vektor boleh berperilaku sama seperti vektor, dan dinilai sama.

Syarat Utama

  • domain: himpunan semua kemungkinan entiti matematik (titik) di mana fungsi tertentu ditentukan
  • vektor: kuantiti terarah, satu dengan kedua-dua magnitud dan arah perbezaan ditandakan antara dua titik
  • skalar: kuantiti yang mempunyai magnitud tetapi bukan arah membandingkan vektor

Apakah Fungsi Nilai Vektor?

Juga disebut fungsi vektor, fungsi bernilai vektor membolehkan anda menyatakan kedudukan titik dalam pelbagai dimensi dalam satu fungsi. Ini dapat dinyatakan dalam jumlah dimensi yang tidak terbatas, tetapi paling sering dinyatakan dalam dua atau tiga. Input ke dalam fungsi bernilai vektor dapat berupa vektor atau skalar. Dalam atom ini kita akan memperkenalkan sifat dan kegunaan fungsi bernilai vektor.

Sifat Fungsi Nilai Vektor

Fungsi bernilai vektor membolehkan anda mewakili kedudukan zarah dalam satu atau lebih dimensi. Fungsi bernilai tiga dimensi vektor memerlukan tiga fungsi, satu untuk setiap dimensi. Dalam bentuk Cartesian dengan vektor unit piawai (i, j, k), fungsi bernilai vektor dapat ditunjukkan dengan salah satu cara berikut:

[lateks] mathbf(t) = f (t) mathbf + g (t) mathbf + h (t) mathbf mathbf(t) = langle f (t), g (t), h (t) rangle [/ latex]

di mana [lateks] t [/ lateks] digunakan sebagai pemboleh ubah. Ini adalah fungsi bernilai vektor tiga dimensi. Grafik menunjukkan perwakilan visual

[lateks] mathbf(t) = langle 2 cos (t), 4 sin (t), t rangle [/ latex].

Fungsi Nilai Vektor: Ini grafik lengkung parametrik (fungsi bernilai vektor sederhana dengan parameter tunggal dimensi [lateks] 1 [/ lateks]). Grafik adalah lengkung: [lateks] langle 2 cos (t), 4 sin (t), t rangle [/ latex] di mana [lateks] t [/ latex] beralih dari [lateks] 0 [/ lateks] hingga [lateks] 8 pi [/ lateks].

Ini dapat dipecah menjadi tiga fungsi terpisah yang disebut fungsi komponen:

[lateks] x (t) = 2 cos (t) y (t) = 4 sin (t) z (t) = t [/ lateks].

Sekiranya anda mengambil keratan rentas, dengan potongan tegak lurus dengan salah satu daripada tiga paksi, anda akan melihat grafik fungsi tersebut. Sebagai contoh, jika anda memotong bentuk tiga dimensi yang berserenjang dengan [getah] z [/ lateks] -axis, grafik yang akan anda lihat akan berfungsi [lateks] z (t) = t [/ latex] . Domain fungsi bernilai vektor adalah domain yang memenuhi semua fungsi komponen. Ia dapat dijumpai dengan mengambil persilangan domain fungsi komponen individu. Fungsi bernilai vektor dapat dimanipulasi dengan cara yang sama seperti vektor yang dapat ditambahkan, dikurangkan, dan produk titik dan produk silang dapat dijumpai.

Contohnya

Untuk contoh ini, kita akan menggunakan masa sebagai parameter kita. Fungsi bernilai vektor berikut mewakili masa, [lateks] t [/ lateks]:

[lateks] mathbf(t) = f (t) mathbf + g (t) mathbf + h (t) mathbf[/ lateks]

Fungsi ini mewakili kedudukan. Oleh itu, jika kita mengambil turunan fungsi ini, kita akan mendapat halaju:

[lateks] displaystyle < frac<>(t)>

= f (t) mathbf'+ g (t) mathbf'+ h (t) mathbf' , qquad = mathbf(t) > [/ lateks]

Sekiranya kita membezakan kali kedua, kita akan dibiarkan dengan pecutan:


Jabatan Matematik

Kaunselor anda dapat membantu anda memilih kursus yang sesuai untuk anda.

Kursus ini adalah salah satu daripada dua kursus yang mengembangkan topik matematik yang diperlukan untuk pengajaran sekolah rendah dengan fokus pada penaakulan, penyelesaian masalah, dan komunikasi. Kursus ini memberi tumpuan kepada pengembangan kemahiran penaakulan kuantitatif melalui penerokaan topik dalam matematik yang mendalam dan bersepadu, termasuk sistem dan subsistem nombor sebenar. Penekanan adalah pada pemahaman dan analisis konsep matematik dan aplikasi penaakulan logik. Memenuhi syarat untuk pensijilan guru sekolah rendah.

Kursus ini adalah salah satu daripada dua kursus yang mengembangkan topik matematik yang diperlukan untuk pengajaran sekolah rendah dengan fokus pada penaakulan, penyelesaian masalah, dan komunikasi. Topik merangkumi statistik dan kebarangkalian dasar, geometri dua dan tiga dimensi, pengukuran, geometri koordinat, dan membuat grafik. Memenuhi syarat untuk pensijilan guru sekolah rendah.

Kursus ini mengembangkan pemahaman tentang hubungan bahasa dengan logik, yang seharusnya membawa kepada kemampuan untuk menganalisis, mengkritik, dan mengadvokasi idea dan memberi alasan secara induktif dan deduktif. Kemahiran akan dikembangkan melalui penulisan serta perwakilan argumen simbolik formal.

Kursus ini boleh digunakan untuk pelajar yang jurusannya tidak menentukan kursus matematik tahap pemindahan tertentu. Ini adalah tinjauan konsep matematik dalam pelbagai bidang. Topiknya merangkumi kebarangkalian, statistik, teori set, pengukuran, geometri, dan kewangan perniagaan.

Kursus ini boleh digunakan untuk jurusan perniagaan, ekonomi dan sains sosial. Kursus ini mengembangkan pemahaman mengenai fungsi linear, sistem persamaan dan ketaksamaan linear, matriks, pengaturcaraan linear, matematik kewangan, rajah set dan Venn, teknik kombinatori dan pengenalan kepada kebarangkalian.

Kursus ini menyajikan kajian mengenai teknik kalkulus tanpa menggunakan trigonometri. Ia menekankan penerapan konsep-konsep ini kepada masalah berkaitan perniagaan dan pengurusan. Aplikasi derivatif dan integrasi fungsi termasuk fungsi polinomial, rasional, eksponen dan logaritma dikaji.

Kursus ini menggunakan data dari disiplin termasuk perniagaan, sains sosial, psikologi, sains kehidupan, sains kesihatan, dan pendidikan untuk mewujudkan pemahaman yang lebih baik mengenai teknik kebarangkalian, pengujian hipotesis, dan teknik ramalan untuk memudahkan pengambilan keputusan. Topik merangkumi statistik deskriptif kebarangkalian dan persampelan taburan statistik inferensi korelasi dan analisis regresi linear varians, chi-square dan t-test dan aplikasi teknologi untuk analisis statistik termasuk penafsiran perkaitan penemuan statistik.

Kursus ini merangkumi teori dan aplikasi trigonometri. Topik merangkumi definisi fungsi trigonometri segitiga bulat dan kanan, grafik, identiti, persamaan, penyelesaian segitiga tepat dan serong, vektor, koordinat kutub, dan nombor kompleks.

Kursus ini merangkumi konsep aljabar lanjutan yang berada di luar ruang lingkup Algebra Menengah khusus untuk mempersiapkan pelajar untuk Kalkulus semester pertama. Topik-topik tersebut merangkumi penyederhanaan algebra, kerucut, teori dan penyelesaian persamaan dan ketaksamaan, sistem persamaan, fungsi linear, fungsi eksponen dan logaritma, fungsi polinomial dan rasional, pengembangan binomial dan pecahan separa.

Terutama untuk jurusan Sains, Teknologi, Kejuruteraan & Matematik (STEM), ini adalah kursus pertama dalam kalkulus pembezaan dan integral dari satu pemboleh ubah: fungsi, had dan kesinambungan, teknik dan aplikasi pembezaan dan integrasi, Teorem Fundamental Kalkulus.

Terutama untuk jurusan Sains, Teknologi, Kejuruteraan & Matematik (STEM), ini adalah kursus kedua dalam kalkulus pembezaan dan integral dari satu pemboleh ubah: teknik penyatuan integrasi, urutan dan siri tak terhingga, persamaan polar dan parametrik, aplikasi integrasi.

Terutama untuk jurusan Sains, Teknologi, Kejuruteraan & Matematik (STEM), ini adalah kursus ketiga dalam kalkulus pembezaan dan integral: fungsi bernilai vektor, kalkulus fungsi lebih dari satu pemboleh ubah, derivatif separa, penggabungan pelbagai, Teorema Green, Teorema Stokes , teorema perbezaan.

Terutama untuk jurusan Sains, Teknologi, Kejuruteraan & Matematik (STEM), kursus ini adalah pengenalan kepada persamaan pembezaan biasa termasuk kaedah kuantitatif dan kualitatif serta aplikasi dari pelbagai disiplin ilmu. Memperkenalkan aspek teoritis persamaan pembezaan, termasuk menentukan kapan penyelesaian ada, dan teknik untuk mendapatkan penyelesaian, termasuk, penyelesaian siri, dan titik tunggal, transformasi Laplace dan sistem linear.

Kursus ini mengembangkan teknik dan teori yang diperlukan untuk menyelesaikan dan mengklasifikasikan sistem persamaan linear. Teknik penyelesaian merangkumi operasi baris, penghapusan Gauss, dan aljabar matriks. Menyelidiki sifat vektor dalam dua dan tiga dimensi, yang membawa kepada konsep ruang vektor abstrak. Vektor ruang dan teori matriks dikemukakan termasuk topik seperti produk dalaman, norma, orthogonality, nilai eigen, ruang eigens, dan transformasi linear. Aplikasi algebra linier terpilih disertakan.

Kursus ini direka untuk memberi pelajar kemahiran Algebra peringkat awal kerana mereka ingin mengikuti jurusan Sains, Teknologi, Kejuruteraan & Matematik (STEM). Kursus ini menyediakan pelajar untuk mengambil Algebra Pertengahan (Matematik 124) dan merangkumi konsep dan operasi asas algebra.

Kursus ini tidak berpindah.

Kursus ini merangkumi topik terpilih dalam geometri. Topiknya merangkumi kesesuaian, kesamaan, paralelisme, bukti, konstruksi, dan perimeter, luas dan isipadu angka geometri.

Kursus ini tidak berpindah tetapi akan memenuhi syarat AA.

Kursus ini menggabungkan konsep yang terdapat dalam algebra permulaan dan pertengahan tradisional dalam format dipercepat. Kursus ini dirancang untuk memberi pelajar kemahiran Algebra peringkat awal dan pertengahan kerana mereka ingin mengikuti jurusan Sains, Teknologi, Kejuruteraan & Matematik (STEM). Kursus ini menyediakan pelajar untuk mengambil Algebra Kolej (Matematik 26) dan merangkumi konsep dan operasi asas algebra.

Kursus ini tidak berpindah tetapi akan memenuhi syarat AA / AS.

Kursus ini dirancang untuk memberi pelajar kemahiran persediaan untuk Pengantar Statistik (Matematik 18) atau Matematik Seni Liberal (Matematik 11) kerana mereka berhasrat untuk mengambil jurusan dalam bidang pengajian Seni Liberal. Kursus ini merangkumi statistik deskriptif seperti min, median, mod dan sisihan piawai, serta, taburan normal, kebarangkalian dan pemodelan linear dan eksponensial.

Kursus ini tidak berpindah tetapi akan memenuhi syarat AA / AS.

Kursus ini dibina berdasarkan konsep dan kemahiran yang dipelajari dalam Permulaan Algebra. Kursus ini dirancang untuk memberi pelajar kemahiran Algebra peringkat pertengahan kerana mereka ingin mengikuti jurusan Sains, Teknologi, Kejuruteraan & Matematik (STEM). Kursus ini menyediakan pelajar untuk mengambil Algebra Kolej (Matematik 26) dan Trigonometri (Matematik 20). Kursus ini merangkumi konsep dan operasi asas algebra.

Kursus ini tidak berpindah tetapi akan memenuhi syarat AA / AS.

Kursus ini adalah kelas persediaan tanpa kredit dan kendiri untuk semua kelas matematik yang ditawarkan di Butte College.


Ini disebabkan oleh fakta bahawa norma adalah fungsi berterusan dan komposisi fungsi berterusan adalah berterusan. $ t rightarrow | r (t) | $ adalah kompos $ r $ dan norma.

Di sisi lain, jika $ f circ g $ berterusan dengan $ f $ berterusan, anda tidak dapat menyimpulkan bahawa $ g $ diteruskan. Contohnya komposisi $ c circ f $ sentiasa berterusan di mana $ c $ adalah fungsi tetap.

Pertama sekali, anda harus berhati-hati dengan ungkapan anda. Tidak betul bahawa $ | r | $ berterusan pada $ t $ menyiratkan $ r $ tidak putus pada $ t $. Saya percaya maksud anda ialah $ | r | $ berterusan pada $ t $ tidak bermaksud $ r $ berterusan pada $ t $, yang benar.

Sebenarnya, itu benar untuk kenyataan.Pertimbangkan fungsi $ f: mathbb ke mathbb$ di mana

Maka $ | f (x) | $ berterusan di mana-mana, tetapi $ f $ berterusan di mana-mana sahaja.

Untuk memanjangkannya ke kes nilai vektor, ambil fungsi nilai vektor yang kelihatan seperti $ f $ pada koordinat pertama, dan $ di tempat lain.


1.2B: Kalkulus Fungsi Berharga Vektor II - Matematik

Untuk masalah 1 & 2 cari domain fungsi vektor yang diberikan.

  1. ( displaystyle vec r kiri (t kanan) = kiri langle <+ 1, frac <1> <>, sqrt > kanan rangle ) Penyelesaian
  2. ( vec r kiri (t kanan) = kiri langle < ln kiri (<4 - > kanan), sqrt > kanan rangle ) Penyelesaian

Untuk masalah 3 - 5 lakarkan graf fungsi vektor yang diberikan.

  1. Penyelesaian ( vec r kiri (t kanan) = kiri langle <4t, 10 - 2t> kanan rangle )
  2. ( displaystyle vec r kiri (t kanan) = kiri langle <4>+ 3> kanan rangle ) Penyelesaian
  3. ( vec r kiri (t kanan) = kiri langle <4 sin kiri (t kanan), 8 cos kiri (t kanan)> kanan rangle ) Penyelesaian

Untuk masalah 6 & 7 kenal pasti graf fungsi vektor tanpa membuat lakaran grafik.

  1. ( vec r kiri (t kanan) = kiri langle <3 cos kiri (<6t> kanan), - 4, sin kiri (<6t> kanan)> kanan rangle Penyelesaian
  2. ( vec r kiri (t kanan) = kiri langle <2 - t, 4 + 7t, - 1 - 3t> kanan rangle ) Penyelesaian

Untuk masalah 8 & 9 tuliskan persamaan segmen garis antara dua titik.


1.2B: Kalkulus Fungsi Berharga Vektor II - Matematik

Anda akan padamkan kerja anda mengenai aktiviti ini. Adakah anda pasti mahu melakukan ini?

Versi yang dikemas kini tersedia

Ada satu versi yang dikemas kini aktiviti ini. Sekiranya anda mengemas kini ke versi terbaru aktiviti ini, maka kemajuan semasa anda dalam aktiviti ini akan terhapus. Walau apa pun, rekod penyelesaian anda akan tetap ada. Bagaimana anda mahu meneruskan?

Penyunting Ekspresi Matematik

Dengan satu input, dan output vektor, kami berfungsi mengikut komponen.

Had fungsi bernilai vektor

Dengan fungsi bernilai vektor, anda mempunyai sesuatu yang serupa

di mana setiap komponen benar-benar bebas daripada komponen lain. Semasa mengira had, kita dapat menulis:

Ini wajar dinyatakan sebagai teorema.

Kami menilai had dengan hanya mengambil had setiap komponen secara berasingan.

Sekarang kita mempunyai konsep had, kita juga dapat menentukan konsep kesinambungan fungsi bernilai vektor:

Pada hakikatnya, kami mengatakan bahawa fungsi yang disenaraikan di atas adalah berterusan di mana sahaja ia ditentukan.

Derivatif

Ingat definisi had derivatif: Kami mempunyai definisi had serupa bagi fungsi bernilai vektor: Oleh kerana had dapat dikira berdasarkan komponen, derivatif ini dapat dikira berdasarkan komponen.

Derivatif fungsi bernilai vektor memberikan vektor yang menunjuk ke arah bahawa fungsi nilai vektor menarik lengkung.

Di bawah ini kita melihat turunan fungsi bernilai vektor bersama dengan penghampiran had untuk nilai kecil:

Kami juga mempunyai beberapa peraturan derivatif (tambahan):

Derivatif fungsi bernilai vektor memberikan a vektor tangen. Vektor tangen adalah vektor yang menunjukkan arah lengkung yang dilukis.

Di bawah ini kita melihat turunan fungsi bernilai vektor bersama dengan penghampiran had untuk nilai kecil:

  • Vektor adalah a vektor tangen ke graf di, jika selari dengan.
  • The garis tangen ke graf at adalah garis melalui arah selari dengan. Persamaan garis tangen ialah
  • Arahan diberikan oleh vektor tangen unit dari diberikan oleh

Kami ingin dapat meramalkan bagaimana keluk yang dilukis oleh fungsi bernilai vektor bertindak berdasarkan turunan fungsi tersebut. Walau bagaimanapun, jika terbitannya adalah vektor sifar, kita kehilangan semua maklumat tersebut. Apabila ini berlaku, kita tidak boleh menggunakan alat kalkulus. Oleh kerana itu, kami mempunyai nama khas untuk fungsi di mana vektor tangen tidak pernah menjadi vektor sifar:

Akhirnya, kami menunjukkan bahawa jika fungsi bernilai vektor mempunyai panjang yang tetap, maka ada hubungan khusus antara fungsi dan vektor tangennya.

dan ini bermaksud bahawa vektor dan selari tegak lurus.

Sekarang anggap itu untuk semua, dan ortogonal. Ini bermaksud

tetapi kita tahu dari mana asal kata terbitan di sebelah kiri! Oleh itu, kita mungkin menulis untuk pemalar. Sekarang kita melihat bahawa fungsi vektor bernilai panjang tetap pada selang terbuka.

Dengan menggerakkan gelangsar di sekeliling anda dapat melihat vektor panjang malar yang melengkung lengkung dan vektor tangen. Perhatikan bahawa vektor ini berbentuk ortogonal.

Bersepadu

Oleh kerana kita mengambil turunan fungsi bernilai vektor dengan membezakan setiap komponen, kita juga akan mengira integral yang tidak tentu dan pasti dengan mengira antiderivatif setiap komponen.

Kami juga dapat menyelesaikan masalah nilai awal, lihat contoh berikut:

Perhatikan bagaimana setiap integral tidak tentu membuat pemalarnya sendiri yang kita kumpulkan sebagai satu vektor malar. Mengetahui membolehkan kita menyelesaikan:

Untuk mencari, kami menyatukan sekali lagi.

Kami sekarang meninggalkan anda dengan soalan: Apakah integrasi fungsi bernilai vektor bermaksud? Ada banyak aplikasi, tetapi tidak ada yang langsung seperti "area di bawah kurva" yang kami gunakan dalam memahami integral fungsi bernilai nyata. Kami akan menerangkannya kemudian dalam kajian kalkulus kami.


1.2B: Kalkulus Fungsi Berharga Vektor II - Matematik

Anda akan padamkan kerja anda mengenai aktiviti ini. Adakah anda pasti mahu melakukan ini?

Versi yang dikemas kini tersedia

Ada satu versi yang dikemas kini aktiviti ini. Sekiranya anda mengemas kini ke versi terbaru aktiviti ini, maka kemajuan semasa anda dalam aktiviti ini akan terhapus. Walau apa pun, rekod penyelesaian anda akan tetap ada. Bagaimana anda mahu meneruskan?

Penyunting Ekspresi Matematik

Dengan satu input, dan output vektor, kami berfungsi mengikut komponen.

Had fungsi bernilai vektor

Dengan fungsi bernilai vektor, anda mempunyai sesuatu yang serupa

di mana setiap komponen benar-benar bebas daripada komponen lain. Semasa mengira had, kita dapat menulis:

Ini wajar dinyatakan sebagai teorema.

Kami menilai had dengan hanya mengambil had setiap komponen secara berasingan.

Sekarang kita mempunyai konsep had, kita juga dapat menentukan konsep kesinambungan fungsi bernilai vektor:

Pada hakikatnya, kami mengatakan bahawa fungsi yang disenaraikan di atas adalah berterusan di mana sahaja ia ditentukan.

Derivatif

Ingat definisi had derivatif: Kami mempunyai definisi had serupa bagi fungsi bernilai vektor: Oleh kerana had dapat dikira berdasarkan komponen, derivatif ini dapat dikira berdasarkan komponen.

Derivatif fungsi bernilai vektor memberikan vektor yang menunjuk ke arah bahawa fungsi nilai vektor menarik lengkung.

Di bawah ini kita melihat turunan fungsi bernilai vektor bersama dengan penghampiran had untuk nilai kecil:

Kami juga mempunyai beberapa peraturan derivatif (tambahan):

Derivatif fungsi bernilai vektor memberikan a vektor tangen. Vektor tangen adalah vektor yang menunjukkan arah lengkung yang dilukis.

Di bawah ini kita melihat turunan fungsi bernilai vektor bersama dengan penghampiran had untuk nilai kecil:

  • Vektor adalah a vektor tangen ke graf di, jika selari dengan.
  • The garis tangen ke graf at adalah garis melalui arah selari dengan. Persamaan garis tangen ialah
  • Arahan diberikan oleh vektor tangen unit dari diberikan oleh

Kami ingin dapat meramalkan bagaimana keluk yang dilukis oleh fungsi bernilai vektor bertindak berdasarkan turunan fungsi tersebut. Walau bagaimanapun, jika terbitannya adalah vektor sifar, kita kehilangan semua maklumat tersebut. Apabila ini berlaku, kita tidak boleh menggunakan alat kalkulus. Oleh kerana itu, kami mempunyai nama khas untuk fungsi di mana vektor tangen tidak pernah menjadi vektor sifar:

Akhirnya, kami menunjukkan bahawa jika fungsi bernilai vektor mempunyai panjang yang tetap, maka ada hubungan khusus antara fungsi dan vektor tangennya.

dan ini bermaksud bahawa vektor dan selari tegak lurus.

Sekarang anggap itu untuk semua, dan ortogonal. Ini bermaksud

tetapi kita tahu dari mana asal kata terbitan di sebelah kiri! Oleh itu, kita mungkin menulis untuk pemalar. Sekarang kita melihat bahawa fungsi vektor bernilai panjang tetap pada selang terbuka.

Dengan menggerakkan gelangsar di sekeliling anda dapat melihat vektor panjang malar yang melengkung lengkung dan vektor tangen. Perhatikan bahawa vektor ini berbentuk ortogonal.

Bersepadu

Oleh kerana kita mengambil turunan fungsi bernilai vektor dengan membezakan setiap komponen, kita juga akan mengira integral yang tidak tentu dan pasti dengan mengira antiderivatif setiap komponen.

Kami juga dapat menyelesaikan masalah nilai awal, lihat contoh berikut:

Perhatikan bagaimana setiap integral tidak tentu membuat pemalarnya sendiri yang kita kumpulkan sebagai satu vektor malar. Mengetahui membolehkan kita menyelesaikan:

Untuk mencari, kami menyatukan sekali lagi.

Kami sekarang meninggalkan anda dengan soalan: Apakah integrasi fungsi bernilai vektor bermaksud? Ada banyak aplikasi, tetapi tidak ada yang langsung seperti "area di bawah kurva" yang kami gunakan dalam memahami integral fungsi bernilai nyata. Kami akan menerangkannya kemudian dalam kajian kalkulus kami.


  • Dikembangkan dan dipantau oleh pasukan profesional yang komited, yang mempunyai kejayaan pelajar sebagai keutamaan mereka.
  • Membuat penggunaan teknologi yang sesuai.

Menggunakan komputer multi-media, kalkulator saintifik atau grafik, dan rakaman video

MATH 001 - Bengkel Kecemasan Matematik Minus

Bengkel ini menangani kegelisahan kerana berkaitan dengan matematik. Sesi ini akan memberi tumpuan kepada sebab dan pengurusan kecemasan matematik. Beberapa kemahiran menyelesaikan masalah dan belajar akan disertakan. Pelajar di mana-mana peringkat matematik boleh mendaftar. (F, Sp)

Prasyarat: Tiada

MATH 045 - Penyegaran Matematik

Kursus penyegaran satu minggu intensif untuk pelajar yang kurang tahap matematik untuk mendaftar dalam MATH 050. Kandungan akan merangkumi konsep dan operasi nombor bulat dan nombor rasional, strategi penyelesaian masalah, dan kemahiran mengambil ujian dan belajar matematik. (F, Sp)

Prasyarat: Tahap Membaca 3 dan Menulis Tahap 2 dan Kelulusan Jabatan

MATH 050 - PraAlgebra

Kursus ini mengkaji operasi matematik yang melibatkan pecahan dan perpuluhan. Topik merangkumi perkenan, nisbah, perkadaran, pengukuran A.S. dan metrik, bilangan bulat, grafik statistik, Teorema Pythagoras, perimeter, luas, dan isipadu. Ia juga memperkenalkan konsep algebra menggunakan ekspresi dan persamaan. Kemahiran menyelesaikan masalah, membuat anggaran, dan menaakul diajar. Aplikasi kalkulator dan kehidupan sebenar disatukan sepanjang kursus. (F, Sp, Su)

Prasyarat: Tahap Matematik 3 dan Tahap Membaca 3 dan Tahap Penulisan 2

MATH 107 - Algebra Pengenalan

Kira grafik diperlukan. Topik merangkumi penyelesaian masalah, sifat nombor dan eksponen nyata, ungkapan pemboleh ubah, menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan linear, operasi polinomial, membuat grafik, menyelesaikan sistem persamaan dan ketaksamaan, regresi linear, persamaan nilai mutlak dan ketaksamaan, fungsi dan hubungan. Kalkulator grafik, pelbagai, aplikasi kehidupan sebenar dan geometri disatukan sepanjang kursus. (F, Sp, Su)

Prasyarat: (Minimum 2.0 dalam MATH 050 atau Matematik Tahap 4) dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 2

MATH 112 - Algebra Pertengahan

Kira grafik diperlukan. Ini adalah lanjutan algebra permulaan dengan penekanan pada grafik dan aplikasi kehidupan nyata yang pelbagai. Juga ditekankan adalah fungsi & hubungan, ungkapan dan persamaan polinomial, rasional, radikal, dan kuadratik, eksponen rasional, dan persamaan dan ketaksamaan nilai mutlak dengan pengenalan kepada nombor kompleks. (F, Sp, Su)

Prasyarat: (Minimum 2.0 dalam MATH 107 dalam 2 tahun atau Matematik Tahap 5 dalam 2 tahun) dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 4

MATH 114 - Matematik Teknikal I

Algebra pengenalan untuk pelajar dalam program teknikal, dengan pengenalan ringkas mengenai trigonometri. Ungkapan algebra, kekuatan, akar, nisbah dan perkadaran, variasi, persamaan linear dan kuadratik, menilai dan menyelesaikan formula, sistem persamaan, grafik, luas, isipadu, Teorema Pythagoras, pengenalan ringkas untuk trigonometri segitiga kanan. Menekankan penyelesaian masalah untuk aplikasi teknikal. (F, Sp, Su)

Prasyarat: (Minimum 2.0 dalam MATH 050 dalam 2 tahun atau Tahap Matematik 4 dalam 2 tahun) dan Tahap Membaca 4

MATH 115 - Matematik Teknikal II

Geometri dan trigonometri gunaan untuk pelajar dalam program teknikal. Kesesuaian, kesamaan, poligon, geometri bulatan, trigonometri dengan segitiga kanan dan serong (termasuk undang-undang sinus, kosinus dan kotangen), luas permukaan, isipadu, sistem koordinat, dan pengenalan kepada vektor. Menekankan penyelesaian masalah untuk aplikasi teknikal. (F, Sp, Su)

Prasyarat: (Minimum 2.0 dalam MATH 114 dalam 2 tahun atau Matematik Tahap 5 dalam 2 tahun) dan Tahap Membaca 5

MATH 117 - Matematik untuk Perniagaan

Kursus ini meninjau aplikasi matematik dalam perniagaan. Aplikasi yang mewakili pengurusan, pemasaran, kewangan, perakaunan, dan statistik digunakan. Analisis situasi dalam perniagaan dan penggunaan teori perniagaan yang betul diberi penekanan di samping ketepatan dalam matematik. (F, Sp)

Prasyarat: (Minimum 2.0 dalam MATH 107 dalam 2 tahun atau Matematik Tahap 5 dalam 2 tahun) dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 4

MATH 118 - Seni Geometri

Kursus ini menekankan visualisasi dan penghayatan keindahan matematik melalui geometri menterjemahkan antara representasi visual dan simbolik objek yang digunakan dalam seni visual menerapkan pemetaan, simetri, persamaan, tiling, vektor, dan pembinaan geometri bentuk untuk bekerja dengan angka 2D dan 3D menggunakan geometri perisian, teknik dan model langsung. (F, Sp)

Prasyarat: (Minimum 2.0 dalam MATH 107 dalam 2 tahun atau Matematik Tahap 5 dalam 2 tahun) dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 4

MATH 119 - Matematik - Aplikasi untuk Hidup

Menggunakan strategi aritmetik, geometri, dan aljabar untuk menyelesaikan masalah dan menyampaikan penyelesaian secara berkesan dalam pelbagai disiplin pekerjaan. Mengaplikasikan penaakulan, penyelesaian masalah, kerja berpasukan, pemikiran matematik dan pemodelan untuk pengukuran, perkadaran, perkenan, grafik, formula, pemboleh ubah, konsep geometri, sistem koordinat, dan penaakulan dan kebarangkalian statistik. (F, Sp)

Prasyarat: (Minimum 2.0 dalam MATH 107 dalam 2 tahun atau Matematik Tahap 5 dalam 2 tahun) dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 4

MATH 120 - Algebra Kolej

Kursus ini adalah untuk pelajar yang tidak berhasrat untuk mengambil MATH 122 atau MATH 151, tetapi mungkin ingin terus ke MATH 141. Sifat dan grafik fungsi linear, kuadratik, polinomial, rasional, eksponensial dan logaritma, dengan penekanan pada aplikasi termasuk kewangan , perniagaan / industri, kehidupan dan sains sosial. (F, Sp)

Prasyarat: (Minimum 2.0 dalam MATH 112 dalam 2 tahun atau Matematik Tahap 6 dalam 2 tahun) dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 4

MATH 121 - PraKalkulus I

Kursus ini memberi asas dalam algebra kolej yang penting untuk kursus matematik seterusnya. Menyiapkan pelajar untuk kalkulus diberi penekanan. Topik merangkumi fungsi polinomial, rasional, radikal, eksponensial, dan logaritma menyelesaikan persamaan / ketaksamaan secara algebra dan grafik dan pemodelan / regresi matematik dalam penyelesaian masalah. (F, Sp, Su)

Prasyarat: (Minimum 2.0 dalam MATH 112 dalam 2 tahun atau Matematik Tahap 6 dalam 2 tahun) dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 4

MATH 122 - Precalculus II

Kedua dalam urutan dua kursus, berikut MATH 121. Topik merangkumi trigonometri segitiga kanan, fungsi trigonometri, grafik, identiti dan persamaan, fungsi trig terbalik, hukum sinus / kosinus, koordinat kutub, vektor, sistem persamaan linear, urutan, siri, bahagian kerucut, persamaan parametrik, permutasi, kombinasi, dan teorem binomial. Kredit ijazah mungkin tidak diperoleh dalam MATH 121/122 dan MATH 126. (F, Sp, Su)

Prasyarat: (Minimum 2.0 dalam MATH 121 dalam 2 tahun atau Tahap Matematik 7 dalam 2 tahun) dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 4

MATH 126 - PraKalkulus

Kursus intensif yang merangkumi bahan yang sama seperti MATH 121-122. Topik merangkumi fungsi algebra dan transendental, menyelesaikan persamaan / ketaksamaan secara algebra dan grafik, pemodelan matematik, identiti trigonometri, hukum sinus / kosinus, koordinat polar, vektor, sistem persamaan linear, urutan, siri, bahagian kerucut, persamaan parametrik, permutasi dan kombinasi , teorema binomial,. Kredit ijazah mungkin tidak diperoleh dalam MATH 126 dan MATH 121-122. (F, Sp, Su)

Prasyarat: Tahap Membaca 5 dan Menulis Tahap 4 dan (Tahap Matematik 8 dalam 2 tahun)

MATH 130 - Matematik Terhad dengan Algebra Kolej

Kursus ini adalah untuk pelajar yang programnya tidak memerlukan trigonometri. Topik merangkumi fungsi linear, eksponensial, kuadratik, polinomial dan logaritma, matematik kewangan, matriks, pengaturcaraan linear, permutasi, kombinasi, kebarangkalian, dan statistik dasar. Di samping itu, pelajar akan menyelesaikan masalah yang diaplikasikan dengan menyelesaikan tugasan kalkulator komputer / grafik yang diperlukan. (F, Sp, Su)

Prasyarat: (Minimum 2.0 dalam MATH 112 dalam 2 tahun atau Tahap Matematik 6 dalam 2 tahun) dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 4

MATH 141 - Kalkulus dengan Aplikasi

Kursus ini memberikan pengenalan kepada kalkulus dengan penekanan pada aplikasi dalam perniagaan, ekonomi, sains sosial / kehidupan dan bidang lain yang tidak memerlukan kajian kalkulus yang luas. Topik merangkumi fungsi, derivatif, integral pasti dan aplikasinya. (Matematik, Sains Fizikal, Sains Komputer, dan jurusan Kejuruteraan harus mengambil MATH151.) (F, Sp, Su)

Prasyarat: (Minimum 2.0 dalam MATH 120 atau MATH 121 atau MATH 130 dalam masa 2 tahun atau Tahap Matematik 7 dalam masa 2 tahun) dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 6

MATH 151 - Kalkulus I

Kursus pertama dalam urutan kalkulus tiga semester. Topik merangkumi had, kesinambungan, turunan fungsi algebraic, trigonometrik, eksponen dan logaritmik, penghampiran linear, peraturan L & # 39Hopital, integrasi dan teorema asas kalkulus. Aplikasi kalkulus untuk kedua-dua masalah fizikal dan geometri diberi penekanan. (F, Sp, Su)

Prasyarat: (Minimum 2.0 dalam MATH 122 dalam 2 tahun atau Tahap Matematik 9 dalam 2 tahun) dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 6

MATH 152 - Kalkulus II

Kursus kedua dalam urutan kalkulus tiga semester. Topik merangkumi teknik dan aplikasi integrasi, turunan fungsi trigonometri songsang, integrasi yang tidak betul, urutan dan siri tak terhingga, perwakilan fungsi rangkaian daya, sistem koordinat 3D, dan vektor. (F, Sp, Su)

Prasyarat: (Minimum 2.0 dalam MATH 151 atau MATH 161 dalam masa 2 tahun) dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 6

MATH 161 - Kalkulus Kepujian I

Kursus pertama dalam urutan kalkulus penghormatan dua semester. Topik merangkumi had, kesinambungan, turunan fungsi algebra, trigonometri, eksponen dan logaritmik, penghampiran linier, peraturan L & # 39Hopital, integrasi, dan teori asas kalkulus. Aplikasi kalkulus untuk kedua-dua masalah fizikal dan geometri ditekankan, di samping penekanan khusus pada konsep dan teori. (F, Sp)

Prasyarat: Minimum 3.0 dalam MATH 122 dalam 2 tahun dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 6

MATH 162 - Kalkulus Kepujian II

Kursus kedua dalam urutan kalkulus penghormatan dua semester. Topik merangkumi teknik dan aplikasi integrasi, turunan fungsi trigonometri songsang, integrasi yang tidak betul, urutan dan siri tak terhingga, perwakilan fungsi rangkaian fungsi, bahagian kerucut dan koordinat kutub. Penekanan khas diberikan kepada konsep dan teori. (F, Sp)

Prasyarat: Minimum 2.0 dalam MATH 161 dalam 2 tahun atau minimum 3.0 pada MATH 151 dalam masa 2 tahun

MATH 201 - Matematik untuk Guru SD I

Kursus pertama dalam urutan dua kursus untuk calon guru sekolah rendah. Topik merangkumi sistem nombor nyata dan sifat, set, logik, teori nombor, dan kebarangkaliannya. Penekanan adalah pada penglibatan aktif dalam penyiasatan matematik untuk mengembangkan kemahiran menyelesaikan masalah dan pengetahuan konsep yang penting untuk mengajar matematik sekolah rendah. (F, Sp)

Prasyarat: (Minimum 2.0 dalam MATH 112 dalam 2 tahun atau Tahap Matematik 6 dalam 2 tahun) dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 6

MATH 202 - Matematik untuk Guru SD II

Kursus kedua dalam urutan dua kursus untuk calon guru sekolah rendah. Topik merangkumi penerokaan data, statistik deskriptif dan konsep dan pengukuran geometri. Penekanan adalah pada penglibatan aktif dalam penyiasatan matematik untuk mengembangkan kemahiran menyelesaikan masalah dan pengetahuan konsep yang penting untuk mengajar matematik sekolah rendah. (F, Sp)

Prasyarat: Minimum 2.0 dalam MATH 201 dalam 2 tahun dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 6

MATH 253 - Kalkulus III

Kursus terakhir dalam urutan kalkulus tiga semester. Analisis kalkulus dan vektor pelbagai boleh dikaji. Topik merangkumi aljabar vektor, lengkung dan permukaan dalam ruang 3D, fungsi bernilai vektor, derivatif separa, pelbagai integral, integral garis, dan integral permukaan. Aplikasi semua topik ini dibentangkan. (F, Sp, Su)

Prasyarat: (Minimum 2.0 dalam MATH 152 atau MATH 162 dalam masa 2 tahun) dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 6

MATH 254 - Pengenalan kepada Persamaan Pembezaan

Pengenalan kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan pembezaan biasa. Topik merangkumi kaedah pekali yang tidak ditentukan, variasi parameter, siri, transformasi Laplace, dan kaedah berangka. Aplikasi diberi penekanan. (F, Sp, Su)

Prasyarat: Minimum 2.0 dalam MATH 253 dalam masa 2 tahun dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 6

MATH 260 - Algebra Linear

Pengenalan aljabar linear ini merangkumi kajian mengenai sistem persamaan linear, aljabar matriks, ruang vektor, transformasi linear, nilai eigen dan vektor eigen, dengan aplikasi. (Sp)

Prasyarat: Minimum 2.0 dalam MATH 253 dalam masa 2 tahun dan Tahap Membaca 5 dan Tahap Menulis 4

MATH 281 - Seminar Matematik Kepujian

Pelajar menyelesaikan satu set masalah matematik yang mencabar yang biasanya tidak dihadapi di kelas lain. Pemikiran kreatif dan berdikari didorong dan dikembangkan. (Sp)

Prasyarat: (Minimum 2.0 dalam MATH 151 atau MATH 161 dalam masa 2 tahun) dan Kelulusan Jabatan

MATH 295 - Kajian Ind dalam Matematik

Peluang untuk pelajar yang diarahkan sendiri untuk meneroka topik yang berkaitan, tetapi tidak diajar dalam kurikulum. Pelajar menghabiskan sekurang-kurangnya dua jam seminggu untuk setiap kredit. Cadangan terperinci mesti dikemukakan oleh pelajar untuk diluluskan oleh Jabatan dan pengajar penyelia sebelum pendaftaran. (F, Sp, Su)

Prasyarat: Kelulusan Jabatan

Jabatan Matematik dan Sains Komputer
Bangunan Seni & Sains, Bilik 3203
Telefon: (517) 483-1073
Maklumat hubungan tambahan »

  • Hak Cipta © Lansing Community College, MI, 1-800-644-4522


Kalkulus II

Kalkulus pertama kali diciptakan untuk memenuhi keperluan matematik para saintis abad keenam belas dan ketujuh belas, keperluan yang terutama bersifat mekanikal. Pada masa kini, ia adalah alat yang digunakan hampir di mana-mana di dunia moden untuk menggambarkan perubahan dan gerakan. Penggunaannya meluas dalam bidang sains, kejuruteraan, perubatan, perniagaan, industri, dan banyak bidang lain. Kalkulus juga menyediakan alat penting dalam memahami fungsi dan telah membawa kepada pengembangan bidang baru matematik termasuk analisis nyata dan kompleks, topologi, dan geometri bukan euklida.

Objektif kursus ini adalah untuk memperkenalkan idea asas kalkulus pembezaan dan integral fungsi beberapa pemboleh ubah.

Siri kuasa, Taylor Polinomial, Seri Taylor, siri Maclaurin, siri Binomial, Garis dan satah, Fungsi beberapa pemboleh ubah, Had dan Kesinambungan, Pembezaan Separa, Peraturan Rantai, satah tangen, Titik kritikal, Ekstrem Global dan Tempatan, Derivatif Arah, Gradien, Divergence and Curl, Multiple integrals with apps, Triple integrals with apps, Triple integrals in Cylindrical and Spherical koordinat, Line-, Surface- and Volume Integrals, Independence of path, Green's Theorem, Conservative Vector Fields, Divergence Theorem, Stoke's Teorema.

HUBUNGAN DENGAN KURSUS LAIN

Kursus ini menyediakan latar belakang matematik untuk pelajar kejuruteraan dan sangat penting, misalnya, untuk kursus lanjutan mengenai persamaan pembezaan separa, kebarangkalian dan analisis statistik atau analisis berangka.

Setelah berjaya menamatkan kursus, para pelajar seharusnya dapat:


Kalkulus APEX

Bahagian sebelumnya memperkenalkan kami kepada objek matematik baru, fungsi nilai vektor. Kami sekarang menerapkan konsep kalkulus untuk fungsi ini. Kita mulakan dengan had, kemudian jalankan derivatif hingga integrasi.

Subseksyen 11.2.1 Had Fungsi Berfungsi Vektor

Definisi awal had fungsi bernilai vektor agak menakutkan, seperti definisi had dalam Definisi 1.2.2. Teorema yang mengikuti definisi menunjukkan bahawa dalam praktiknya, mengambil had fungsi bernilai vektor tidak lebih sukar daripada mengambil had fungsi bernilai sebenar.

Kita boleh menentukan had satu sisi dengan cara yang hampir sama dengan Definisi 11.2.1.

Definisi 11.2.1. Had Fungsi Berharga Vektor.

Biarkan (I ) menjadi selang terbuka yang mengandungi (c text <,> ) dan biarkan ( vec r (t) ) menjadi fungsi bernilai vektor yang ditentukan pada (I text <,> ) kecuali mungkin di (c text <.> ) The, dinyatakan sebagai

bermaksud bahawa jika diberi ( varepsilon gt 0 text <,> ) terdapat ( delta gt 0 ) sedemikian rupa sehingga untuk semua (t neq c text <,> ) jika ( abs lt delta text <,> ) kita punya ( norma < vec r (t) - vec L> lt varepsilon text <.> )

Perhatikan bagaimana pengukuran jarak antara nombor nyata adalah nilai mutlak perbezaan mereka ukuran jarak antara vektor adalah norma vektor, atau besarnya, perbezaan mereka.

Teorema 11.2.2 menyatakan bahawa kita dapat mengira had fungsi-fungsi vektor-nilai komponen.

Teorema 11.2.2. Had Fungsi Berharga Vektor.

Mari ( vec r (t) = la , f (t), g (t) , ra ) menjadi fungsi bernilai vektor di ( mathbb^ 2 ) didefinisikan pada selang terbuka (I ) yang mengandungi (c text <,> ) kecuali mungkin pada (c text <.> ) Kemudian

Mari ( vec r (t) = la , f (t), g (t), h (t) , ra ) menjadi fungsi bernilai vektor di ( mathbb^ 3 ) didefinisikan pada selang terbuka (I ) yang mengandungi (c text <,> ) kecuali mungkin pada (c text <.> ) Kemudian

Contoh 11.2.3. Mencari had fungsi bernilai vektor.

Mari ( ds vec r (t) = la frac < sin (t)>, , t ^ 2-3t + 3, , cos (t) ra text <.> ) Cari ( lim had_ vec r (t) teks <.> )

Kami menggunakan teori dan had komputasi berdasarkan komponen.

Subseksyen 11.2.2 Kesinambungan

Definisi 11.2.4. Kesinambungan Fungsi-Nilai Vektor.

Mari ( vec r (t) ) menjadi fungsi bernilai vektor yang ditentukan pada selang terbuka (I ) yang mengandungi (c text <.> )

( vec r (t) ) adalah berterusan pada (c ) jika ( lim had_ vec r (t) = r (c) teks <.> )

Sekiranya ( vec r (t) ) terus menerus sama sekali (c ) di (I text <,> ) maka ( vec r (t) ) adalah berterusan pada (I text <.> )

Dengan menggunakan had satu sisi, kita juga dapat menentukan kesinambungan pada selang tertutup seperti yang dilakukan sebelumnya.

Kami sekali lagi mempunyai teorema yang membolehkan kita menilai kesinambungan komponen.

Teorema 11.2.5. Kesinambungan Fungsi-Nilai Vektor.

Mari ( vec r (t) ) menjadi fungsi bernilai vektor yang ditentukan pada selang terbuka (I ) yang mengandungi (c text <.> ) Kemudian ( vec r (t) ) adalah berterusan pada (c ) jika, dan hanya jika, setiap fungsi komponennya berterusan di (c text <.> )

Contoh 11.2.6. Menilai kesinambungan fungsi bernilai vektor.

Mari ( ds vec r (t) = la frac < sin (t)>, , t ^ 2-3t + 3, , cos (t) ra text <.> ) Tentukan apakah ( vec r ) berterusan di (t = 0 ) dan (t = 1 teks <.> )

Sementara komponen kedua dan ketiga ( vec r (t) ) didefinisikan pada (t = 0 teks <,> ) komponen pertama, (( sin (t)) / t ​​teks < ,> ) tidak. Oleh kerana komponen pertama tidak ditakrifkan pada (t = 0 text <,> ) ( vec r (t) ) tidak didefinisikan pada (t = 0 text <,> ) dan oleh itu tidak berterusan di (t = 0 text <.> )

Pada (t = 1 ) setiap fungsi komponen adalah berterusan. Oleh itu ( vec r (t) ) berterusan pada (t = 1 teks <.> )

Subseksyen 11.2.3 Derivatif

Pertimbangkan fungsi bernilai vektor ( vec r ) yang ditentukan pada selang terbuka (I ) yang mengandungi (t_0 ) dan (t_1 teks <.> ) Kita dapat menghitung perpindahan ( vec r ) di ([t_0, t_1] text <,> ) seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 11.2.7. (a) Ingat bahawa membahagikan vektor perpindahan dengan (t_1-t_0 ) memberikan kadar perubahan purata pada ([t_0, t_1] text <,> ) seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 11.2.7. (B).

The kata terbitan fungsi nilai vektor adalah ukuran dari sekejap kadar perubahan, diukur dengan mengambil had kerana panjang ([t_0, t_1] ) pergi ke 0. Daripada memikirkan selang waktu sebagai ([t_0, t_1] text <,> ) kita memikirkan sebagai ([c, c + h] ) untuk beberapa nilai (h ) (oleh itu selang mempunyai panjang (h )). The rata-rata kadar perubahan adalah

untuk sebarang nilai (h neq0 text <.> ) Kami mengambil had sebagai (h to0 ) untuk mengukur kadar perubahan seketika ini adalah turunan dari ( vec r text <.> )

Definisi 11.2.8. Derivatif Fungsi Berharga Vektor.

Biarkan ( vec r (t) ) berterusan pada selang terbuka (I ) yang mengandungi (c text <.> )

Notasi alternatif untuk terbitan ( vec r ) termasuk:

Sekiranya fungsi bernilai vektor mempunyai turunan untuk semua (c ) dalam selang terbuka (I text <,> ) kita mengatakan bahawa ( vec r (t) ) dihidupkan (I text <.> )

Sekali lagi kita mungkin melihat definisi ini sebagai menakutkan, tetapi ingat bahawa kita dapat menilai had berdasarkan komponen. Teorema berikut mengesahkan bahawa ini bermaksud kita dapat mengira komponen derivatif juga, menjadikan tugas itu tidak terlalu sukar.

Sekali lagi, menggunakan had satu sisi, kita dapat menentukan perbezaan pada selang waktu tertutup. Kami akan memanfaatkannya beberapa kali dalam bab ini.

Teorema 11.2.9. Derivatif Fungsi Berharga Vektor.

Biarkan ( vec r (t) = la , f (t), g (t) , ra text <.> ) Kemudian

Biarkan ( vec r (t) = la , f (t), g (t), h (t) , ra text <.> ) Kemudian

Contoh 11.2.10. Derivatif fungsi bernilai vektor.

Lakarkan ( vec r (t) ) dan ( vrp (t) ) pada paksi yang sama.

Hitung ( vrp (1) ) dan lakarkan vektor ini dengan titik awalnya pada asal dan di ( vec r (1) teks <.> )

Teorem 11.2.9 membolehkan kita mengira komponen derivatif, jadi

( vec r (t) ) dan ( vrp (t) ) digambarkan bersama dalam Rajah 11.2.11. (a) Perhatikan bagaimana merancang kedua-duanya bersama-sama, dengan cara ini, tidak terlalu menerangkan. Semasa berurusan dengan fungsi bernilai sebenar, merancang (f (x) ) dengan ( fp (x) ) memberi kami maklumat berguna kerana kami dapat membandingkan (f ) dan ( fp ) di nilai (x ) yang sama. Semasa berurusan dengan fungsi bernilai vektor, sukar untuk mengetahui titik mana pada grafik ( vrp ) yang sesuai dengan titik mana pada grafik ( vec r text <.> )

Kami dengan mudah mengira ( vrp (1) = la 2,1 ra text <,> ) yang dilukis pada Rajah 11.2.11 dengan titik awalnya pada asal, dan juga pada ( vec r (1) = la 1,1 ra teks <.> ) Ini digambarkan dalam Rajah 11.2.11. (B).

Contoh 11.2.12. Derivatif fungsi bernilai vektor.

Mari ( vec r (t) = la cos (t), sin (t), t ra text <.> ) Hitung ( vrp (t) ) dan ( vrp ( pi / 2) teks <.> ) Lakarkan ( vrp ( pi / 2) ) dengan titik awalnya pada asal dan di ( vec r ( pi / 2) teks <.> )

Kami mengira ( vrp ) sebagai ( vrp (t) = la - sin (t), cos (t), 1 ra text <.> ) At (t = pi / 2 text <,> ) kita mempunyai ( vrp ( pi / 2) = la -1,0,1 ra text <.> ) Rajah 11.2.13 menunjukkan graf ( vec r (t) text <,> ) dengan ( vrp ( pi / 2) ) diplotkan dengan titik awalnya pada asal dan di ( vec r ( pi / 2) teks <.> )

Dalam Contoh 11.2.10 dan Contoh 11.2.12, lakaran turunan tertentu dengan titik awalnya pada asalnya nampaknya tidak memperlihatkan sesuatu yang signifikan. Namun, ketika kami membuat lakaran vektor dengan titik awalnya pada titik yang sesuai pada grafik, kami melihat sesuatu yang penting: vektor itu kelihatannya tangen ke graf. Kami belum menentukan apa yang dimaksudkan dengan "tangen" dari segi keluk di ruang, kami menggunakan kata terbitan untuk menentukan istilah ini.

Definisi 11.2.14. Vektor Tangen, Garis Tangen.

Biarkan ( vec r (t) ) menjadi fungsi bernilai vektor yang dapat dibezakan pada selang terbuka (I ) yang mengandungi (c text <,> ) di mana ( vrp (c) neq vec 0 teks <.> )

Vektor ( vec v ) ialah bersinggungan dengan graf ( vec r (t) ) di (t = c ) jika ( vec v ) selari dengan ( vrp (c) text <.> )

The garis tangen ke graf ( vec r (t) ) di (t = c ) ialah garis melalui ( vec r (c) ) dengan arah selari dengan ( vrp (c) teks < .> ) Persamaan garis tangen adalah

Contoh 11.2.15. Mencari garis tangen ke lengkung di angkasa.

Biarkan ( vec r (t) = la t, t ^ 2, t ^ 3 ra ) pada ([- 1.5,1.5] text <.> ) Cari persamaan vektor garis singgung ke graf ( vec r ) di (t = -1 teks <.> )

Untuk mencari persamaan garis, kita memerlukan titik pada garis dan arah garis. Titik diberikan oleh ( vec r (-1) = la -1,1, -1 ra text <.> ) (Untuk jelas, ( la -1,1, -1 ra ) adalah a vektor, bukan titik, tetapi kami menggunakan titik "ditunjuk" oleh vektor ini.)

Arahnya berasal dari ( vrp (-1) text <.> ) Kami mengira, berdasarkan komponen, ( vrp (t) = la 1,2t, 3t ^ 2 ra text <.> ) Oleh itu ( vrp (-1) = la 1, -2,3 ra text <.> )

Persamaan vektor garis adalah ( ell (t) = la -1,1, -1 ra + t la 1, -2,3 ra teks <.> ) Garis ini dan ( vec r (t) ) digambarkan dalam Rajah 11.2.16.

Contoh 11.2.17. Mencari garis tangen ke lengkung.

Cari persamaan garis yang bersinggungan dengan ( vec r (t) = la t ^ 3, t ^ 2 ra ) di (t = -1 ) dan (t = 0 text <.> )

Kami dapati bahawa ( vrp (t) = la 3t ^ 2,2t ra text <.> ) Pada (t = -1 text <,> ) kita mempunyai

jadi persamaan garis singgung dengan graf ( vec r (t) ) di (t = -1 ) adalah

Garis ini digambarkan dengan ( vec r (t) ) dalam Rajah 11.2.18.

Di (t = 0 text <,> ) kita mempunyai ( vrp (0) = la 0,0 ra = vec 0 text) Ini menunjukkan bahawa garis tangen "tidak memiliki arah." Kami tidak dapat menerapkan Definisi 11.2.14, oleh itu tidak dapat mencari persamaan garis tangen.

Kami tidak dapat mengira persamaan garis singgung dengan ( vec r (t) = la t ^ 3, t ^ 2 ra ) di (t = 0 ) kerana ( vrp (0) = vec 0 text <.> ) Grafik dalam Rajah 11.2.18 menunjukkan bahawa terdapat titik puncak pada ketika ini. Ini membawa kita kepada definisi lain mengenai lancar, yang sebelumnya ditakrifkan oleh Definisi 9.2.22 dalam Bahagian 9.2.

Definisi 11.2.19. Fungsi Berfungsi Vektor yang lancar.

Biarkan ( vec r (t) ) menjadi fungsi bernilai vektor yang boleh dibezakan pada selang terbuka (I ) di mana ( vrp (t) ) berterusan pada (I text <.> ) ( vec r (t) ) dihidupkan (I ) jika ( vrp (t) neq vec 0 ) di (I text <.> )

Setelah menetapkan derivatif fungsi bernilai vektor, kami kini meneroka hubungan antara derivatif dan operasi vektor lain.Teorema berikut menyatakan bagaimana derivatif berinteraksi dengan penambahan vektor dan pelbagai produk vektor.

Teorema 11.2.20. Sifat Derivatif Fungsi Berharga Vektor.

Biarkan ( vec r ) dan ( vec s ) menjadi fungsi bernilai vektor yang dapat dibezakan, biarkan (f ) menjadi fungsi bernilai nyata yang dapat dibezakan, dan biarkan (c ) menjadi nombor nyata.

( displaystyle ds frac

Besar ( vec r (t) pm vec s (t) Besar) = vrp (t) pm vec s , '(t) )

( displaystyle ds frac

Besar (c vec r (t) Besar) = c vrp (t) )

( ds frac

Besar (f (t) vec r (t) Besar) = fp (t) vec r (t) + f (t) vrp (t) ) Peraturan Produk

( ds frac

Big ( vec r (t) cdot vec s (t) Big) = vrp (t) cdot vec s (t) + vec r (t) cdot vec s , '( t) ) Peraturan Produk

( ds frac

Besar ( vec r (t) kali vec s (t) Besar) = vrp (t) kali vec s (t) + vec r (t) kali vec s , '( t) ) Peraturan Produk

( ds frac

Besar ( vec r besar (f (t) besar) Besar) = vrp besar (f (t) besar) fp (t) ) Peraturan Rantai

Contoh 11.2.21. Menggunakan sifat terbitan fungsi bernilai vektor.

Mari ( vec r (t) = la t, t ^ 2-1 ra ) dan biarkan ( vec u (t) ) menjadi vektor unit yang menunjuk ke arah ( vec r (t) teks <.> )

Grafik ( vec r (t) ) dan ( vec u (t) ) pada paksi yang sama, pada ([- 2,2] teks <.> )

Cari ( vec u , '(t) ) dan lakarkan ( vec u ,' (- 2) text <,> ) ( vec u , '(- 1) ) dan ( vec u , '(0) text <.> ) Lakarkan setiap satu dengan titik awal titik yang sesuai pada grafik ( vec u text <.> )

Untuk membentuk vektor unit yang menunjuk ke arah ( vec r text <,> ) kita perlu membahagikan ( vec r (t) ) dengan besarnya.

( vec r (t) ) dan ( vec u (t) ) digambarkan dalam Rajah 11.2.22. Perhatikan bagaimana graf ( vec u (t) ) membentuk sebahagian daripada bulatan ini mesti berlaku, kerana panjang ( vec u (t) ) adalah 1 untuk semua (t teks < .> )

Untuk mengira ( vec u , '(t) text <,> ) kami menggunakan Teorem 11.2.20, menulis

dan kemudian ambil derivatifnya. Keutamaan kaedah yang terakhir ini memerlukan dua aplikasi Peraturan Kuota di mana kaedah kami menggunakan Peraturan Produk dan Rantai.) Kami dapati ( fp (t) ) menggunakan Peraturan Rantai:

Kami sekarang menemui ( vec u , '(t) ) menggunakan bahagian 3 dari Teorem 11.2.20:

Ini diakui sangat "tidak kemas" seperti biasanya apabila kita berurusan dengan vektor unit. Kita boleh menggunakan formula ini untuk mengira ( vec u , '(- 2) text <,> ) ( vec u ,' (- 1) ) dan ( vec u , '( 0) teks <:> )

Masing-masing digambarkan dalam Rajah 11.2.23. Perhatikan bagaimana panjang vektor memberikan petunjuk betapa cepatnya lingkaran itu dikesan pada ketika itu. Apabila (t = -2 text <,> ) bulatan dilukis dengan agak perlahan apabila (t = -1 text <,> ) bulatan itu dikesan lebih cepat.

Ini adalah fakta asas geometri bahawa garis yang bersinggungan dengan bulatan pada titik (P ) tegak lurus dengan garis yang melewati pusat bulatan dan (P teks <.> ) Ini digambarkan dalam Rajah 11.2 .23 setiap vektor tangen berserenjang dengan garis yang melewati titik awalnya dan pusat bulatan. Oleh kerana pusat bulatan adalah asal, kita dapat menyatakannya dengan cara lain: ( vec u , '(t) ) adalah ortogonal ke ( vec u (t) text <.> )

Ingat bahawa produk titik berfungsi sebagai ujian untuk orthogonality: jika ( vec u cdot vec v = 0 text <,> ) maka ( vec u ) adalah ortogonal kepada ( vec v text <.> ) Oleh itu, dalam contoh di atas, ( vec u (t) cdot vec u , '(t) = 0 text <.> )

Ini berlaku untuk sebarang fungsi bernilai vektor yang mempunyai panjang tetap, iaitu jejak keluar dari bulatan. Ia mempunyai implikasi penting di kemudian hari, jadi kami menyatakannya sebagai teorema (dan meninggalkan bukti rasmi sebagai Latihan.)

Teorema 11.2.24. Fungsi-Nilai Vektor Panjang Panjar.

Mari ( vec r (t) ) menjadi fungsi bernilai vektor dengan panjang malar yang dapat dibezakan pada selang terbuka (I text <.> ) Maksudnya, ( norma < vec r (t )> = c ) untuk semua (t ) di (I text <> ) sama, ( vec r (t) cdot vec r (t) = c ^ 2 ) untuk semua (t ) di (I text <.> ) Kemudian ( vec r (t) cdot vrp (t) = 0 ) untuk semua (t ) di (I text <. > )

Subseksyen 11.2.4 Integrasi

Sebelum secara formal menentukan integrasi fungsi bernilai vektor, pertimbangkan persamaan berikut yang diberitahu oleh pengalaman kalkulus kami semestinya jadi jujur:

Iaitu, penggabungan fungsi kadar perubahan harus memberikan perubahan total. Dalam konteks fungsi bernilai vektor, perubahan total ini adalah perpindahan. Persamaan di atas adalah benar kita sekarang mengembangkan teori untuk menunjukkan mengapa.

Kita dapat menentukan antiderivatif dan penggabungan fungsi vektor yang tidak terbatas dengan cara yang sama seperti yang kita tentukan integral tak tentu dalam Definisi 5.1.2. Namun, kita tidak dapat menentukan integral pasti fungsi bernilai vektor seperti yang kita lakukan dalam Definisi 5.2.6. Definisi itu didasarkan pada kawasan yang ditandatangani antara fungsi (y = f (x) ) dan paksi (x ) -. Definisi berdasarkan kawasan tidak akan berguna dalam konteks fungsi bernilai vektor. Sebagai gantinya, kami menentukan integral pasti fungsi bernilai vektor dengan cara yang serupa dengan fungsi Teorem 5.3.26, dengan menggunakan jumlah Riemann.

Definisi 11.2.25. Antiderivatif, Integriti Tidak Tentu dan Pasti Fungsi Berharga Vektor.

Mari ( vec r (t) ) menjadi fungsi bernilai vektor berterusan pada ([a, b] text <.> ) An dari ( vec r (t) ) adalah fungsi ( vec R (t) ) sehingga ( vec R '(t) = vec r (t) teks <.> )

Kumpulan semua antivirus ( vec r (t) ) adalah ( vec r (t) teks <,> ) dilambangkan oleh

di mana ( Delta t_i ) ialah panjang subinterval (i ) partisi ([a, b] text <,> ) ( norma < Delta t> ) adalah panjang subinterval terbesar dalam partition, dan (c_i ) adalah nilai apa pun dalam subinterval (i ) partition.

Mungkin sukar untuk menyimpulkan makna dari definisi kamiran yang pasti. Perkara penting yang perlu disedari dari definisi adalah bahawa ia dibina berdasarkan had, yang mana kita dapat menilai komponen.

Teorema berikut mempermudah pengiraan integral pasti bahagian ini dan bahagian berikut akan memberi makna dan penerapan kepada gabungan ini.

Teorema 11.2.26. Integrasi Tidak Tentu dan Pasti Fungsi Berharga Vektor.

Mari ( vec r (t) = la f (t), g (t) ra ) menjadi fungsi bernilai vektor di ( mathbb^ 2 ) yang berterusan pada ([a, b] text <.> )

( displaystyle ds int vec r (t) , dt = la int f (t) , dt, int g (t) , dt ra )

( displaystyle ds int_a ^ b vec r (t) , dt = la int_a ^ b f (t) , dt, int_a ^ b g (t) , dt ra )

Pernyataan serupa berlaku untuk fungsi bernilai vektor di ( mathbb^ 3 teks <.> )

Contoh 11.2.27. Menilai integral pasti fungsi bernilai vektor.

Mari ( vec r (t) = la e ^ <2t>, sin (t) ra text <.> ) Nilaikan ( ds int_0 ^ 1 vec r (t) , dt teks <.> )

Contoh 11.2.28. Menyelesaikan masalah nilai awal.

Mari ( vrp '(t) = la 2, cos (t), 12t ra text <.> ) Cari ( vec r (t) ) di mana:

Mengetahui ( vrp '(t) = la 2, cos (t), 12t ra text <,> ) kita dapati ( vrp (t) ) dengan menilai kamiran tidak tentu.

Perhatikan bagaimana setiap integral tidak tentu membuat pemalarnya sendiri yang kita kumpulkan sebagai satu vektor malar ( vec C text <.> ) Mengetahui ( vrp (0) = la 5,3,0 ra ) membolehkan kita untuk menyelesaikan vec C text <:> )

Oleh itu ( vrp (t) = la 2t, sin (t), 6t ^ 2 ra + la 5,3,0 ra = la 2t + 5, sin (t) + 3, 6t ^ 2 ra text <.> ) Untuk mencari ( vec r (t) text <,> ) kami menyatukan sekali lagi.

Dengan ( vec r (0) = la -7, -1,2 ra text <,> ) kita menyelesaikan vec C text <:> )

Apa yang dimaksudkan dengan integrasi fungsi bernilai vektor bermaksud? Ada banyak aplikasi, tetapi tidak ada yang langsung seperti "area di bawah kurva" yang kami gunakan dalam memahami integral fungsi bernilai nyata.

Pemahaman utama bagi kami berasal dari mempertimbangkan penggabungan turunan:

Mengintegrasikan a kadar perubahan fungsi memberi anjakan.

Memerhatikan bahawa fungsi bernilai vektor berkait rapat dengan persamaan parametrik, kita dapat menggambarkan panjang busur grafik fungsi bernilai vektor sebagai integral. Diberi persamaan parametrik (x = f (t) teks <,> ) (y = g (t) teks <,> ) panjang lengkok pada ([a, b] ) graf adalah

seperti yang dinyatakan dalam Teorem 9.3.17 dalam Bahagian 9.3. Sekiranya ( vrt = la f (t), g (t) ra text <,> ) perhatikan bahawa ( sqrt < fp (t) ^ 2 + g '(t) ^ 2> = norm < vrp (t)> text <.> ) Oleh itu, kita dapat menyatakan panjang lengkok grafik fungsi bernilai vektor sebagai integral besarnya turunannya.

Teorema 11.2.29. Panjang Arc Fungsi Berharga Vektor.

Biarkan vrt menjadi fungsi bernilai vektor di mana ( vrp (t) ) berterusan pada ([a, b] text <.> ) Panjang lengkok (L ) graf vrt adalah

Perhatikan bahawa kita sebenarnya mengintegrasikan fungsi skalar di sini, bukan fungsi bernilai vektor.

Bahagian seterusnya mengambil apa yang telah kita tetapkan sejauh ini dan menerapkannya pada objek yang bergerak. Kami akan membiarkan vrt menerangkan jalan objek di satah atau di angkasa dan akan menemui maklumat yang diberikan oleh ( vrp (t) ) dan ( vrp '(t) teks <.> )

Latihan 11.2.5 Latihan

Had, derivatif dan integrasi fungsi bernilai vektor semuanya dinilai mengikut kaedah.

Unsur pasti fungsi kadar perubahan memberi.

Mengapa secara amnya tidak berguna untuk membuat grafik kedua ( vec r (t) ) dan ( vrp (t) ) pada paksi yang sama?

Teorem 11.2.20 mengandungi tiga peraturan produk. Apakah tiga jenis produk yang digunakan dalam peraturan ini?