Artikel

10.2: Sudut dan Ukurannya - Matematik


Bahagian ini memulakan kajian kami mengenai Trigonometri dan untuk memulakan, kita mengingat beberapa definisi asas dari Geometri. A sinar biasanya digambarkan sebagai "garis separuh" dan dapat dianggap sebagai segmen garis di mana salah satu dari dua titik akhir ditolak jauh dari yang lain, seperti gambar di bawah. Titik dari mana sinar berasal disebut titik awal sinar.

Sebuah sinar dengan titik awal P

Apabila dua sinar berkongsi titik awal yang sama, mereka membentuk sebuah sudut dan titik awal yang biasa disebut bucu dari sudut. Dua contoh perkara yang biasa difikirkan sebagai sudut

(kiri) Sudut dengan bucu P. (kanan) Sudut dengan bucu Q.

Walau bagaimanapun, kedua-dua gambar di bawah ini juga menggambarkan sudut - walaupun ini, dalam beberapa segi, adalah kes yang melampau. Dalam kes pertama, kedua sinar saling bertentangan membentuk apa yang dikenali sebagai a sudut lurus; pada detik, sinarnya serupa sehingga `sudut 'tidak dapat dibezakan dari sinar itu sendiri.

Sudut lurus.

The ukuran sudut adalah nombor yang menunjukkan jumlah putaran yang memisahkan sinar sudut. Terdapat satu masalah segera dengan ini, seperti gambar di bawah.

Berapakah jumlah putaran yang cuba kita ukur? Yang baru kita ketahui ialah kita mempunyai sekurang-kurangnya dua sudut yang dijelaskan oleh rajah ini. Nota kaki {Frasa "sekurang-kurangnya" akan dibenarkan dalam urutan pendek.} Jelas kedua sudut ini mempunyai ukuran yang berbeza kerana satu nampaknya mewakili putaran yang lebih besar daripada yang lain, jadi kita mesti melabelnya secara berbeza. Dalam buku ini, kami menggunakan huruf Yunani kecil seperti ( alpha ) (alpha), ( beta ) (beta), ( gamma ) (gamma) dan ( theta ) (theta ) untuk melabelkan sudut. Jadi, sebagai contoh, kita ada

Salah satu sistem yang biasa digunakan untuk mengukur sudut ialah index {angle! darjah} indeks {ukuran darjah} teksbf {ukuran darjah}. Kuantiti yang diukur dalam darjah dilambangkan dengan simbol $ $ {{}} $ yang biasa. Satu revolusi lengkap seperti yang ditunjukkan di bawah adalah (360 ^ { circ} ), dan bahagian revolusi diukur secara berkadar.

Nota

Pilihan ganjil $ 360 $ paling sering dikaitkan dengan orang Babilonia.

Oleh itu, separuh revolusi (sudut lurus) mengukur ( frac {1} {2} kiri (360 ^ { circ} kanan) = 180 ^ { circ} ), seperempat revolusi (a sudut tepat) mengukur ( frac {1} {4} kiri (360 ^ { circ} kanan) = 90 ^ { circ} ) dan sebagainya.

Perhatikan bahawa dalam gambar di atas, kami telah menggunakan kotak kecil `$ ! ! ! ! ! ! qed $ 'untuk menunjukkan sudut tepat, seperti biasa di Geometri. Ingatlah bahawa jika sudut mengukur dengan ketat antara (0 ^ { circ} ) dan (90 ^ { circ} ) ia dipanggil index {akut sudut} indeks {sudut! akut} textbf {sudut akut} dan jika mengukur dengan ketat antara (90 ^ { circ} ) dan (180 ^ { circ} ) ia dipanggil index {obtuse angle} index {angle! obtuse} textbf {sudut obtuse}. Penting untuk diperhatikan bahawa, secara teorinya, kita dapat mengetahui ukuran sudut mana pun selagi kita mengetahui perkadaran yang diwakilinya dari seluruh revolusi (ini adalah bagaimana penunjuk arah dinilai). Sebagai contoh, ukuran sudut yang mewakili putaran ( frac {2} {3} ) revolusi akan mengukur ( frac {2} {3} kiri (360 ^ { circ} kanan) = 240 ^ { circ} ), ukuran sudut yang hanya membentuk ( frac {1} {12} ) ukuran revolusi ( frac {1} {12} kiri (360 ^ { circ} right) = 30 ^ { circ} ) dan sudut yang tidak menunjukkan putaran sama sekali diukur sebagai (0 ^ { circ} ).

Dengan menggunakan definisi ukuran darjah, kita mempunyai (1 ^ { circ} ) mewakili ukuran sudut yang membentuk ( frac {1} {360} ) revolusi. Walaupun sukar untuk digambar, namun tidak sukar untuk membayangkan sudut dengan ukuran yang lebih kecil daripada (1 ^ { circ} ). Terdapat dua cara untuk membahagikan darjah. Yang pertama, dan paling biasa, adalah perpuluhan. Contohnya, sudut dengan ukuran (30.5 ^ { circ} ) akan mewakili putaran di tengah-tengah antara (30 ^ { circ} ) dan (31 ^ { circ} ), atau setara, ( frac {30.5} {360} = frac {61} {720} ) putaran penuh. Perkara ini dapat dibatasi dengan menggunakan Kalkulus sehingga langkah-langkah seperti ( sqrt {2} ^ {, circ} ) masuk akal. Nota kaki {Matematik yang luar biasa, ini adalah idea yang sama di sebalik menentukan eksponen tidak rasional dalam Bahagian ref {IntroExpLogs}.}

Cara kedua untuk membahagi darjah adalah Ijazah - Minit - Kedua (DMS) sistem. Dalam sistem ini, satu darjah dibahagi sama menjadi enam puluh minit, dan pada gilirannya, setiap minit dibahagi sama menjadi enam puluh saat. Adakah sistem seperti ini biasa? Dalam simbol, kita menulis (1 ^ { circ} = 60 ') dan (1' = 60 "), dari mana ia mengikuti (1 ^ { circ} = 3600" ). Untuk menukar ukuran (42.125 ^ { circ} ) ke sistem DMS, kita mulakan dengan mencatat bahawa (42.125 ^ { circ} = 42 ^ { circ} + 0.125 ^ { circ} ). Menukarkan sebahagian darjat menjadi beberapa minit, kita dapati (0.125 ^ { circ} kiri ( frac {60 '} {1 ^ { circ}} kanan) = 7.5' = 7 '+ 0.5' ) . Menukar sebilangan minit ke saat memberikan (0,5 ' kiri ( frac {60' '} {1'} kanan) = 30 "). Menggabungkan semuanya menghasilkan

[ begin {array} {rcl} 42.125 ^ { circ} & = & 42 ^ { circ} + 0.125 ^ { circ} & = & 42 ^ { circ} + 7.5 ' & = & 42 ^ { circ} + 7 '+ 0,5' & = & 42 ^ { circ} + 7 '+ 30 " & = & 42 ^ { circ} 7' 30 ' tamat {array} ]

Sebaliknya, untuk menukar (117 ^ { circ} 15'45 '' ) ke darjah perpuluhan, pertama kita mengira (15 ' kiri ( frac {1 ^ { circ}} {60'} kanan) = frac {1} {4} ^ { circ} ) dan (45 " kiri ( frac {1 ^ { circ}} {3600"} kanan) = frac { 1} {80} ^ { circ} ). Kemudian kita dapati

[ start {array} {rcl} 117 ^ { circ} 15'45 "& = & 117 ^ { circ} + 15" + 45 " [5pt] & = & 117 ^ { circ } + frac {1} {4} ^ { circ} + frac {1} {80} ^ { circ} [5pt] & = & frac {9381} {80} ^ { circ} [5pt] & = & 117.2625 ^ { circ} end {array} ]

Ingat bahawa dua sudut akut disebut sudut pelengkap jika langkah mereka menambah (90 ^ { circ} ). Dua sudut, sama ada sepasang sudut kanan atau satu sudut akut dan satu sudut tegak, disebut sudut pelengkap jika langkah mereka menambah (180 ^ { circ} ). Dalam rajah di bawah, sudut ( alpha ) dan ( beta ) adalah sudut tambahan sementara pasangan ( gamma ) dan ( theta ) adalah sudut pelengkap.

Dalam praktiknya, perbezaan antara sudut itu sendiri dan ukurannya kabur sehingga kalimat `$ alpha ) adalah sudut yang mengukur (42 ^ { circ} $ 'sering disingkat sebagai' $ alpha = 42 ^ { circ} ). ' Sekarang adalah masa untuk contoh.

Contoh ( PageIndex {1} ):

Mari ( alpha = 111.371 ^ { circ} ) dan ( beta = 37 ^ { circ} 28'17 ").

  1. Tukar ( alpha ) ke sistem DMS. Bulatkan jawapan anda ke detik terdekat.
  2. Tukar ( beta ) ke darjah perpuluhan. Bulatkan jawapan anda ke seperseribu darjah terdekat.
  3. Lakarkan ( alpha ) dan ( beta ).
  4. Cari sudut tambahan untuk ( alpha ).
  5. Cari sudut pelengkap untuk ( beta ).

Penyelesaian

  1. Untuk menukar ( alpha ) ke sistem DMS, kita mulakan dengan (111.371 ^ { circ} = 111 ^ { circ} + 0.371 ^ { circ} ). Seterusnya kita menukar (0.371 ^ { circ} kiri ( frac {60 '} {1 ^ { circ}} kanan) = 22.26' ). Menulis (22.26 '= 22' + 0.26 '), kita menukar (0.26' kiri ( frac {60 "} {1 '} kanan) = 15.6" ). Oleh itu,

[ begin {array} {rcl} 111.371 ^ { circ} & = & 111 ^ { circ} + 0.371 ^ { circ} & = & 111 ^ { circ} + 22.26 ' & = & 111 ^ { circ} + 22 '+ 0,26' & = & 111 ^ { circ} + 22 '+ 15,6' & = & 111 ^ { circ} 22'15,6 " tamat {array} ]

Membundarkan kepada beberapa saat, kami memperoleh ( alpha lebih kurang 111 ^ { circ} 22'16 '' ).

  1. item Untuk menukar ( beta ) ke darjah perpuluhan, kita menukar (28 ' kiri ( frac {1 ^ { circ}} {60'} kanan) = frac {7} {15} ^ {, ​​ circ} ) dan (17 '' kiri ( frac {1 ^ { circ}} {3600 '} kanan) = frac {17} {3600} ^ {, circ} ). Menggabungkan semuanya, kita ada

[ start {array} {rcl} 37 ^ { circ} 28'17 "& = & 37 ^ { circ} + 28" + 17 " [5pt] & = & 37 ^ { circ } + frac {7} {15} ^ {, circ} + frac {17} {3600} ^ {, circ} [5pt] & = & frac {134897} {3600} ^ { circ} [5pt] & approx & 37.471 ^ { circ} end {array} ]

  1. item Untuk membuat lakaran ( alpha ), pertama-tama kita perhatikan bahawa (90 ^ { circ} < alpha <180 ^ { circ} ). Sekiranya kita membahagikan julat ini menjadi separuh, kita mendapat (90 ^ { circ} < alpha <135 ^ { circ} ), dan sekali lagi, kita mempunyai (90 ^ { circ} < alpha <112,5 ^ { circ} ). Ini memberi kita anggaran yang cukup baik untuk ( alpha ), seperti yang ditunjukkan di bawah ini. Nota kaki {Sekiranya proses ini kelihatan biasa, memang seharusnya. Bandingkan kaedah ini dengan Kaedah Pembahagian yang diperkenalkan di Bahagian ref {RealZeros}.} Dengan cara yang sama untuk ( beta ), kita dapati (0 ^ { circ} < beta <90 ^ { circ} ), kemudian (0 ^ { circ} < beta <45 ^ { circ} ), (22,5 ^ { circ} < beta <45 ^ { circ} ), dan terakhir, (33,75 ^ { circ} < beta <45 ^ { circ} ).

[ mulakan {array} {cc}

mula {mfpic} [15] {- 5} {5} {- 5} {5}

arrow reverse arrow polyline {(- 1.822, 4.656), (0,0), (5,0)}

dotted polyline {(-5,0), (0,0), (0,5)}

dotted polyline {(-3.5355,3.5355), (0,0)}

dotted polyline {(-1.9134,4.6194), (0,0)}

titik [3pt] {(0,0)}

arrow reverse arrow arc [c] {(0,0), (2.5,0.1), 107}

tcaption {Sudut ( alpha $}

tamat {mfpic}

&

hspace {1in}

mula {mfpic} [15] {- 5} {5} {- 5} {5}

arrow reverse arrow polyline {(3.9683, 3.0417), (0,0), (5,0)}

dotted polyline {(0,5), (0,0), (5,0)}

dotted polyline {(3.5355,3.5355), (0,0)}

dotted polyline {(4.6194,1.9134), (0,0)}

titik putus polyline {(4.1573,2.7778), (0,0)}

titik [3pt] {(0,0)}

arrow reverse arrow arc [c] {(0,0), (2.5,0.1), 33}

tcaption {Angle ( beta $}

end {mfpic} end {array} ]

  1. Untuk mencari sudut tambahan untuk ( alpha ), kami mencari sudut ( theta ) sehingga ( alpha + theta = 180 ^ { circ} ). Kami mendapat ( theta = 180 ^ { circ} - alpha = 180 ^ { circ} - 111.371 ^ { circ} = 68.629 ^ { circ} ).
  2. Untuk mencari sudut pelengkap untuk ( beta ), kami mencari sudut ( gamma ) sehingga ( beta + gamma = 90 ^ { circ} ). Kami mendapat ( gamma = 90 ^ { circ} - beta = 90 ^ { circ} - 37 ^ { circ} 28'17 '' ). Walaupun kita dapat mencari kalkulator untuk mendapatkan jawapan perkiraan, kita memilih untuk melakukan sedikit seksagesimal footnote {Seperti "latus rectum," ini juga merupakan istilah matematik sebenar.} Aritmetik. Kami mula-mula menulis semula (90 ^ { circ} = 90 ^ { circ} 0 '0' = 89 ^ { circ} 60 '0' = 89 ^ { circ} 59'60 '' ). Pada dasarnya, kita "meminjam" (1 ^ { circ} = 60 ") dari tempat darjah, dan kemudian meminjam (1 '= 60" ) dari tempat minit. Nota kaki {Ini adalah jenis pinjaman yang sama seperti yang biasa anda lakukan di Sekolah Dasar ketika berusaha mencari (300 - 125 ). Pada masa itu, anda bekerja dalam sistem asas sepuluh; di sini, ia adalah asas enam puluh.} Ini menghasilkan, ( gamma = 90 ^ { circ} - 37 ^ { circ} 28'17 "= 89 ^ { circ} 59'60" - 37 ^ { circ} 28'17 "= 52 ^ { circ} 31'43" ). qed

Hingga saat ini, kami hanya membincangkan sudut yang mengukur antara (0 ^ { circ} ) dan (360 ^ { circ} ), inklusif. Pada akhirnya, kami ingin menggunakan gudang Algebra yang telah kami simpan dalam Bab ref {RelationsandFunctions} melalui ref {SequencesandSeries} untuk bukan sahaja menyelesaikan masalah geometri yang melibatkan sudut, tetapi juga untuk memperluas kegunaannya terhadap fenomena dunia nyata yang lain. Langkah pertama ke arah ini adalah memperluas pengertian kita tentang sudut dari sekadar mengukur sejauh mana putaran kepada kuantiti yang dapat dikaitkan dengan angka nyata. Untuk itu, kami memperkenalkan konsep a sudut berorientasikan. Seperti namanya, dalam sudut berorientasikan, arah putaran adalah penting. Kami membayangkan sudut yang disapu bermula dari sudut index {! sisi awal} indeks {sisi awal sudut} textbf {sisi awal} dan berakhir pada a sisi terminal, seperti yang ditunjukkan di bawah. Apabila putaran berlawanan arah jarum jam nota kaki {`widdershins '} dari sisi awal ke sisi terminal, kita mengatakan bahawa sudut adalah positif; apabila putaran mengikut arah jam, kita mengatakan bahawa sudut adalah negatif.

Pada titik ini, kami juga memperluas putaran yang dibenarkan untuk merangkumi sudut yang merangkumi lebih dari satu revolusi. Sebagai contoh, untuk membuat lakaran sudut dengan ukuran (450 ^ { circ} ) kita mulakan dengan sisi awal, putar berlawanan arah jarum jam satu revolusi lengkap (untuk mengurus "pertama" (360 ^ { circ} $) kemudian teruskan dengan putaran (90 ^ { circ} ) berlawanan arah jam, seperti yang dilihat di bawah.

Untuk menghubungkan sudut dengan Algebra yang sebelumnya, kita selalunya akan melampirkan rajah sudut pada satah koordinat. Sudut dikatakan berada dalam sudut index {! kedudukan standard} index {standard position of an angle} textbf {standard position} jika bucunya adalah asal dan sisi awalnya bertepatan dengan positif (x $ -axis. Sudut dalam kedudukan standard dikelaskan mengikut di mana terminal mereka sisi terletak. Sebagai contoh, sudut dalam kedudukan standard yang sisi terminal terletak di Kuadran I disebut "sudut Kuadran I". Sekiranya sisi sudut sudut terletak pada salah satu paksi koordinat, ia disebut sudut indeks { ! quadrantal} index {quadrantal angle} textbf {quadrantal angle}. Dua sudut dalam kedudukan standard disebut coterminal jika mereka berkongsi sisi terminal yang sama. nota kaki {Perhatikan bahawa dengan kedudukan standard mereka secara automatik berkongsi sisi awal yang sama iaitu positif (x $ -axis.} Pada gambar di bawah, ( alpha = 120 ^ { circ} ) dan ( beta = -240 ^ { circ} ) adalah dua sudut Kuadran II coterminal yang dilukis dalam kedudukan standard. Perhatikan bahawa ( alpha = beta + 360 ^ { circ} ), atau setara, ( beta = alpha - 360 ^ { circ} ). Kami memberikannya sebagai latihan kepada pembaca untuk mengesahkan bahawa sudut coterminal selalu berbeza dengan gandaan (360 ^ { circ} ) . nota kaki {Perlu diingat bahawa semua patologi Trigonometri Analitik berpunca dari fakta tidak berbahaya ini.} Lebih tepat lagi, jika ( alpha ) dan ( beta ) adalah sudut coterminal, maka ( beta = alpha + 360 ^ { circ} cdot k ) di mana (k ) adalah bilangan bulat. nota kaki {Ingat bahawa ini bermaksud (k = 0, pm 1, pm 2, ldots ). }

Dua sudut coterminal, ( alpha = 120 ^ { circ} ) dan ( beta = -240 ^ { circ} ), dalam kedudukan standard.

Contoh ( PageIndex {1} ): orientedcoterminaldegree

Grafkan setiap sudut (berorientasi) di bawah dalam kedudukan standard dan klasifikasikan mengikut tempat terminal terletak. Cari tiga sudut coterminal, sekurang-kurangnya satu sudut positif dan salah satunya negatif.

  1. ( alpha = 60 ^ { circ} )
  2. ( beta = -225 ^ { circ} )
  3. ( gamma = 540 ^ { circ} )
  4. ( phi = -750 ^ { circ} )

Penyelesaian

  1. Untuk membuat grafik ( alpha = 60 ^ { circ} ), kami melukis sudut dengan sisi awalnya pada positif (x $ -axis dan memutar lawan arah jam ( frac {60 ^ { circ}} {360 ^ { circ}} = frac {1} {6} ) revolusi. Kami melihat bahawa ( alpha ) adalah sudut Kuadran I. Untuk mencari sudut yang bersifat coterminal, kami mencari sudut ( theta ) dari bentuk ( theta = alpha + 360 ^ { circ} cdot k ), untuk beberapa bilangan bulat (k ). Apabila (k = 1 ), kita mendapat ( theta = 60 ^ { circ} + 360 ^ { circ} = 420 ^ { circ} ). Mengganti (k = -1 ) memberikan ( theta = 60 ^ { circ} - 360 ^ { circ} = -300 ^ { circ} ). Akhirnya, jika kita membiarkan (k = 2 ), kita mendapat ( theta = 60 ^ { circ} + 720 ^ { circ} = 780 ^ { circ} ).
  2. Oleh kerana ( beta = - 225 ^ { circ} ) negatif, kita mulakan pada positif (x $ -axis dan putar textit {mengikut arah jam} ( frac {225 ^ { circ}} {360 ^ { circ}} = frac {5} {8} ) revolusi. Kami melihat bahawa ( beta ) adalah sudut Kuadran II. Untuk mencari sudut coterminal, kami meneruskan seperti sebelumnya dan menghitung ( theta = -225 ^ { circ} + 360 ^ { circ} cdot k ) untuk nilai integer (k ). Kami dapati (135 ^ { circ} ), (- 585 ^ { circ} ) dan (495 ^ { circ} ) semuanya coterminal dengan (- 225 ^ { circ} ).

  1. Oleh kerana ( gamma = 540 ^ { circ} ) positif, kami berputar berlawanan arah jam dari arah positif (x $ -axis. Satu revolusi penuh menyumbang (360 ^ { circ} ), dengan (180 ^ { circ} ), atau ( frac {1} {2} ) masih ada revolusi. Oleh kerana sisi terminal ( gamma ) terletak pada negatif (x $ -axis, ( gamma ) adalah sudut kuadran. Semua sudut coterminal dengan ( gamma ) adalah dalam bentuk ( theta = 540 ^ { circ} + 360 ^ { circ} cdot k ), di mana (k ) adalah bilangan bulat. Melalui aritmetik, kita menjumpai tiga sudut seperti itu: (180 ^ { circ} ), (- 180 ^ { circ} ) dan (900 ^ { circ } ).
  2. Huruf Yunani ( phi ) diucapkan "fee" atau "fie" dan kerana ( phi ) negatif, kita memulakan putaran kita searah jarum jam dari positif (x $ -axis. Dua revolusi penuh menyumbang (720 ^ { circ} ), hanya dengan (30 ^ { circ} ) atau ( frac {1} {12} ) revolusi yang akan kita jalankan. Kami mendapati bahawa ( phi ) adalah sudut Kuadran IV. Untuk mencari sudut koterminal, kami mengira ( theta = -750 ^ { circ} + 360 ^ { circ} cdot k ) untuk beberapa bilangan bulat (k ) dan memperoleh ( -390 ^ { circ} ), (- 30 ^ { circ} ) dan (330 ^ { circ} ).

Perhatikan bahawa kerana terdapat bilangan bulat yang tak terhingga, setiap sudut tertentu memiliki banyak sudut coterminal, dan pembaca digalakkan untuk merancang beberapa set sudut coterminal yang terdapat dalam Contoh ref {orientedcoterminaldegree} untuk melihat ini. Kami kini hanya selangkah dari sudut perkahwinan sepenuhnya dengan bilangan sebenar dan Aljabar yang lain. Untuk itu, kami mengingat definisi ini dari Geometri.

Definisi: ( pi )

Nombor sebenar ( pi ) ditakrifkan sebagai nisbah lilitan bulatan dengan diameternya. Dalam simbol, diberi lingkaran bulatan (C ) dan diameter (d ),

Walaupun Definisi ref {pidefn} sangat mungkin definisi "standard" dari ( pi ), penulis akan lalai jika kita tidak menyebutkan bahawa yang dikhaskan dalam definisi ini sebenarnya adalah teorema. Seperti yang mungkin diketahui oleh pembaca, nombor ( pi ) adalah pemalar matematik - iaitu, tidak masalah textit {lingkaran mana yang dipilih, nisbah lilitannya dengan diameternya akan mempunyai nilai yang sama seperti bulatan lain. Walaupun ini memang benar, ini jauh dari jelas dan membawa kepada senario berlawanan arah yang diterokai dalam Latihan. Oleh kerana diameter bulatan dua kali radius, kita dapat menyusun semula persamaan dengan cepat dalam Definisi ref {pidefn} untuk mendapatkan formula yang lebih berguna untuk tujuan kita, iaitu: (2 pi = dfrac {C} {r} $

Ini memberitahu kita bahawa untuk bulatan apa pun, nisbah lilitannya dengan jejarinya juga selalu tetap; dalam kes ini pemalar adalah (2 pi ). Anggaplah sekarang kita mengambil textit {bahagian} bulatan, jadi daripada membandingkan keseluruhan lilitan (C ) dengan jari-jari, kita membandingkan beberapa unit ukuran arka dengan panjangnya, seperti yang digambarkan di bawah . Biarkan ( theta ) menjadi sudut tengah dipelihara oleh busur ini, iaitu sudut yang bucunya adalah pusat bulatan dan yang menentukan sinarnya melewati titik akhir busur. Dengan menggunakan argumen proporsionaliti, nisbah bahawa nisbah ( dfrac {s} {r} ) juga harus menjadi pemalar di antara semua kalangan, dan nisbah inilah yang menentukan ukuran radian dari sudut.

Untuk mendapatkan kesan yang lebih baik untuk ukuran radian, kami perhatikan bahawa sudut dengan ukuran radian (1 ) bermaksud panjang busur yang sesuai (s ) sama dengan jejari bulatan (r ), oleh itu (s = r ). Apabila ukuran radian adalah (2 ), kita mempunyai (s = 2r ); apabila ukuran radian adalah (3 ), (s = 3r ), dan sebagainya. Oleh itu, ukuran radian sudut ( theta ) memberitahu kita berapa banyak 'panjang jari-jari' yang perlu kita sapu sepanjang bulatan untuk memendekkan sudut ( theta ).

Oleh kerana satu revolusi menyapu keseluruhan lilitan (2 pi r ), satu revolusi mempunyai ukuran radian ( dfrac {2 pi r} {r} = 2 pi ). Dari ini kita dapat mencari ukuran radian sudut tengah lain menggunakan perkadaran, seperti yang kita lakukan dengan darjah. Contohnya, separuh revolusi mempunyai ukuran radian ( frac {1} {2} (2 pi) = pi ), seperempat revolusi mempunyai ukuran radian ( frac {1} {4} (2 pi) = frac { pi} {2} ), dan sebagainya. Perhatikan bahawa, menurut definisi, ukuran radian dari sudut adalah panjang yang dibahagi dengan panjang yang lain sehingga ukuran ini sebenarnya tidak berdimensi dan dianggap nombor "murni". Atas sebab ini, kami tidak menggunakan simbol apa pun untuk menunjukkan ukuran radian, tetapi kami menggunakan kata `radian 'untuk menunjukkan unit tanpa dimensi ini jika diperlukan. Sebagai contoh, kita mengatakan satu revolusi mengukur radian $ 2 pi ), separuh daripada revolusi mengukur radian $ $ pi ), dan sebagainya.

Seperti ukuran darjah, perbezaan antara sudut itu sendiri dan ukurannya sering kabur dalam praktiknya, jadi ketika kita menulis "$ theta = frac { pi} {2} $", kita bermaksud ( theta ) adalah sudut yang mengukur ( frac { pi} {2} ) radian. nota kaki {Penulis sedar bahawa kita sekarang mengenal pasti radian dengan nombor nyata. Kami akan membenarkannya sebentar lagi.} Kami memanjangkan ukuran radian ke sudut berorientasi, seperti yang kami lakukan dengan darjah sebelumnya, sehingga ukuran positif menunjukkan putaran lawan arah jam dan ukuran negatif menunjukkan putaran mengikut arah jam. Nota kaki {Ini, seterusnya, memberi busur halus dengan orientasi juga. Kami mengatasinya dalam jangka pendek.} Seperti sebelumnya, dua sudut positif ( alpha ) dan ( beta ) adalah tambahan jika ( alpha + beta = pi ) dan pelengkap jika ( alpha + beta = frac { pi} {2} ). Akhirnya, kami menyerahkan kepada pembaca untuk menunjukkan bahawa apabila menggunakan ukuran radian, dua sudut ( alpha ) dan ( beta ) adalah coterminal jika dan hanya jika ( beta = alpha + 2 pi k ) untuk beberapa bilangan bulat (k ).

Contoh ( PageIndex {3} ): orientedcoterminalradian

Grafkan setiap sudut (berorientasi) di bawah dalam kedudukan standard dan klasifikasikan mengikut tempat terminal terletak. Cari tiga sudut coterminal, sekurang-kurangnya satu sudut positif dan salah satunya negatif.

  1. $ alpha = dfrac { pi} {6} $
  2. $ beta = - dfrac {4 pi} {3} $
  3. $ gamma = dfrac {9 pi} {4} $
  4. $ phi = - dfrac {5 pi} {2} $

Penyelesaian

  1. item Sudut ( alpha = frac { pi} {6} ) adalah positif, jadi kami menarik sudut dengan sisi awalnya pada positif (x $ -axis dan memutar lawan arah jam ( frac { kiri ( pi / 6 kanan)} {2 pi} = frac {1} {12} ) revolusi. Oleh itu ( alpha ) adalah sudut Kuadran I. Sudut sepotermin ( theta ) adalah dalam bentuk ( theta = alpha + 2 pi cdot k ), untuk beberapa bilangan bulat (k ). Untuk membuat aritmetik sedikit lebih mudah, kami perhatikan bahawa (2 pi = frac {12 pi} {6} ), jadi apabila (k = 1 ), kita mendapat ( theta = frac { pi} {6} + frac {12 pi} {6} = frac {13 pi} {6} ). Penggantian (k = -1 ) memberikan ( theta = frac { pi} {6} - frac {12 pi} {6} = - frac {11 pi} {6} ) dan apabila kita membiarkan (k = 2 ), kita mendapat ( theta = frac { pi} {6} + frac {24 pi} { 6} = frac {25 pi} {6} ).
  2. item Oleh kerana ( beta = - frac {4 pi} {3} ) adalah negatif, kita mulakan pada positif (x $ -axis dan putar mengikut arah jam ( frac { kiri (4 pi / 3 kanan)} {2 pi} = frac {2} {3} ) revolusi. Kami menjumpai ( beta ) sebagai sudut Kuadran II. Untuk mencari sudut coterminal, kami meneruskan seperti sebelumnya (2 pi = frac {6 pi} {3} ), dan hitung ( theta = - frac {4 pi} {3} + frac {6 pi} {3} cdot k ) untuk nilai integer (k ). Kami memperoleh ( frac {2 pi} {3} ), (- frac {10 pi} {3} ) dan ( frac {8 pi} {3} ) sebagai sudut coterminal.

  1. Oleh kerana ( gamma = frac {9 pi} {4} ) positif, kami berputar berlawanan arah jam dari arah positif (x $ -axis. Satu revolusi penuh menyumbang (2 pi = frac { 8 pi} {4} ) ukuran radian dengan ( frac { pi} {4} ) atau ( frac {1} {8} ) masih ada revolusi. Kami mempunyai ( gamma ) sebagai sudut Kuadran I. Semua sudut coterminal dengan ( gamma ) adalah dalam bentuk ( theta = frac {9 pi} {4} + frac {8 pi} {4} cdot k ), di mana (k ) adalah bilangan bulat. Melalui aritmetik, kita dapati: ( frac { pi} {4} ), (- frac {7 pi} {4} ) dan ( frac {17 pi} {4} ).
  2. Untuk membuat graf ( phi = - frac {5 pi} {2} ), kita memulakan putaran kita mengikut arah jam dari positif (x $ -axis. Sebagai (2 pi = frac {4 pi} {2} ), setelah satu revolusi penuh mengikut arah jarum jam, kita masih mempunyai ( frac { pi} {2} ) atau ( frac {1} {4} ) revolusi. Oleh kerana bahagian terminal ( phi ) terletak pada negatif (y $ -axis, ( phi ) adalah sudut kuadran. Untuk mencari sudut coterminal, kami mengira ( theta = - frac {5 pi} {2 } + frac {4 pi} {2} cdot k ) untuk beberapa bilangan bulat (k ) dan dapatkan (- frac { pi} {2} ), ( frac {3 pi} {2} ) dan ( frac {7 pi} {2} ).

Perlu disebutkan bahawa kita dapat menjabarkan sudut dalam Contoh ref {orientedcoterminalradian} dengan terlebih dahulu mengubahnya menjadi ukuran darjah dan mengikuti prosedur yang dinyatakan dalam Contoh ref {orientedcoterminaldegree}. Walaupun menukar bolak-balik dari darjah dan radian tentunya merupakan kemahiran yang baik, ada baiknya anda belajar untuk berfikir secara radian dan juga anda boleh berfikir dalam darjah. Akan tetapi, penulis akan terbengkalai dalam tugas kita jika kita mengabaikan penukaran asas antara sistem ini sama sekali. Oleh kerana satu revolusi berlawanan arah jarum jam (360 ^ { circ} ) dan sudut yang sama mengukur radian (2 pi ) radian, kita dapat menggunakan perkadaran ( frac {2 pi , text {radian }} {360 ^ { circ}} ), atau setara yang dikurangkan, ( frac { pi , text {radians}} {180 ^ { circ}} ), sebagai faktor penukaran antara dua sistem. Contohnya, untuk menukar (60 ^ { circ} ) ke radian kita dapati (60 ^ { circ} kiri ( frac { pi , text {radians}} {180 ^ { circ} } kanan) = frac { pi} {3} , teks {radian} ), atau cukup ( frac { pi} {3} ). Untuk menukar dari ukuran radian kembali ke darjah, kita mengalikan dengan nisbah ( frac {180 ^ { circ}} { pi , text {radian}} ). Contohnya, (- frac {5 pi} {6} , text {radians} ) sama dengan ( kiri (- frac {5 pi} {6} , teks {radian } kanan) kiri ( frac {180 ^ { circ}} { pi , text {radians}} kanan) = -150 ^ { circ} ). nota kaki {Perhatikan bahawa tanda negatif menunjukkan putaran mengikut arah jam di kedua-dua sistem, dan oleh itu ia berjalan sesuai.} Yang paling menarik ialah hakikat bahawa sudut yang mengukur (1 ) dalam ukuran radian adalah sama dengan ( frac {180 ^ { circ}} { pi} kira-kira 57.2958 ^ { circ} ).

Kami meringkaskan penukaran ini di bawah.

Catatan: Ijazah - Penukaran Radian

  • Untuk menukar ukuran darjah ke ukuran radian, kalikan dengan ( dfrac { pi , text {radians}} {180 ^ { circ}} $
  • Untuk menukar ukuran radian menjadi ukuran darjah, kalikan dengan ( dfrac {180 ^ { circ}} { pi , text {radians}} $

Mengingat Contoh ref {orientedcoterminalradian} dan Persamaan ref {degreenradianconversion}, pembaca mungkin tertanya-tanya apakah daya tarikan ukuran radian. Angka yang terlibat, diakui, jauh lebih rumit daripada ukuran darjah. Jawapannya terletak pada seberapa mudah sudut dalam ukuran radian dapat dikenali dengan nombor nyata. Pertimbangkan Lingkaran Unit, (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ), seperti yang dilukis di bawah, sudut ( theta ) dalam kedudukan standard dan panjang unit arka yang mengukur (s ). Secara definisi, dan fakta bahawa Lingkaran Unit mempunyai jejari 1, ukuran radian ( theta ) adalah ( dfrac {s} {r} = dfrac {s} {1} = s ) sehingga , sekali lagi mengaburkan perbezaan antara sudut dan ukurannya, kita mempunyai ( theta = s ). Untuk mengenal pasti nombor nyata dengan sudut berorientasi, kami memanfaatkan fakta ini dengan asasnya "membungkus" indeks {fungsi pembungkus} garis nombor sebenar di sekitar Lingkaran Unit dan mengaitkan dengan setiap nombor nyata (t ) an textit {oriented} arc index {oriented arc} pada Lingkaran Unit dengan titik awal ((1,0) ).

Melihat garis menegak (x = 1 ) sebagai garis nombor nyata lain yang dibatasi seperti (y $ -axis, diberi nombor nyata (t> 0 ), kami "membungkus" selang (menegak) ([ 0, t] ) di sekitar Lingkaran Unit dengan arah lawan jam. Arka yang dihasilkan mempunyai panjang unit (t ) dan oleh itu sudut yang sesuai mempunyai ukuran radian sama dengan (t ). Jika (t <0 ), kita membungkus selang ([t, 0] ) textit {mengikut arah jam} di sekitar Lingkaran Unit. Oleh kerana kita telah menentukan putaran mengikut arah jam sebagai mempunyai ukuran radian negatif, sudut yang ditentukan oleh busur ini mempunyai ukuran radian sama ke (t ). Jika (t = 0 ), kita berada pada titik ((1,0) ) pada (x $ -axis yang sepadan dengan sudut dengan ukuran radian (0 Dengan cara ini, kita mengenal pasti setiap nombor nyata (t ) dengan sudut yang sesuai dengan ukuran radian (t ).

Contoh ( PageIndex {1} ):

Lakarkan busur berorientasi pada Lingkaran Unit yang sesuai dengan setiap nombor nyata berikut.

  1. $ t = dfrac {3 pi} {4} $
  2. $ t = - 2 pi $
  3. $ t = -2 $
  4. $ t = 117 $

Penyelesaian

  1. item Arka yang berkaitan dengan (t = frac {3 pi} {4} ) adalah busur pada Lingkaran Unit yang menundukkan sudut ( frac {3 pi} {4} ) dalam ukuran radian . Oleh kerana ( frac {3 pi} {4} ) adalah ( frac {3} {8} ) revolusi, kita mempunyai busur yang bermula pada titik ((1,0) ) bergerak berlawanan arah jam hingga pertengahan melalui Kuadran II.
  2. item Oleh kerana satu revolusi adalah (2 pi ) radian, dan (t = -2 pi ) adalah negatif, kami membuat grafik arka yang bermula pada ((1,0) ) dan meneruskan textit { mengikut arah jam} untuk satu revolusi penuh.

  1. item Like (t = -2 pi ), (t = -2 ) adalah negatif, jadi kami memulakan lengkok kami di ((1,0) ) dan meneruskan mengikut arah jam mengikut pusingan unit. Oleh kerana ( pi lebih kurang 3.14 ) dan ( frac { pi} {2} lebih kurang 1.57 ), kita dapati bahawa radian berputar (2 ) mengikut arah jam dari titik ((1,0) ) mendarat kita di Kuadran III. Untuk meletakkan titik akhir dengan lebih tepat, kita teruskan seperti yang kita lakukan dalam Contoh ref {degreeex}, berturut-turut mengurangkan ukuran sudut sehingga kita menjumpai ( frac {5 pi} {8} lebih kurang 1.96 ) yang memberitahu arka kita meluas sedikit melebihi tanda suku ke Kuadran III.
  2. item Oleh kerana (117 ) positif, busur yang sesuai dengan (t = 117 ) bermula pada ((1,0) ) dan bergerak berlawanan arah jam. Oleh kerana (117 ) jauh lebih besar daripada (2 pi ), kami membungkus Bulatan Unit beberapa kali sebelum akhirnya sampai ke titik akhir kami. Kami mengira ( frac {117} {2 pi} ) sebagai (18.62 ) yang memberitahu kita bahawa kita menyelesaikan (18 ) revolusi berlawanan arah jam dengan (0.62 ), atau hanya malu ( frac {5} {8} ) revolusi yang masih ada. Dengan kata lain, sisi terminal sudut yang mengukur (117 ) radian dalam kedudukan standard tidak jauh dari pertengahan melalui Kuadran III.

Aplikasi Ukuran Radian: Gerakan Bulat

Sekarang kita telah memasangkan sudut dengan nombor nyata melalui ukuran radian, seluruh dunia aplikasi menanti kita. Lawatan pertama kami ke alam ini dilakukan melalui gerakan bulat. Anggaplah objek bergerak seperti yang digambarkan di bawah sepanjang jalur bulatan jejari (r ) dari titik (P ) ke titik (Q ) dalam jangka masa (t ).

mula {tengah}

mula {mfpic} [14] {- 5} {5} {- 5} {5}

tlabel [cc] (3.25, -0.5) { kecil (P $}

tlabel [cc] (1.25,3.25) { small (Q $}

tlabel [cc] (1.5, -0.5) { small (r $}

titik [3pt] {(0,0), (3,0), (1.5, 2.5981)}

drawcolor [kelabu] {0.7}

bulatan {(0,0), 3}

drawcolor [rgb] {0.33,0.33,0.33}

arrow reverse arrow polyline {(5, 0), (0,0), (2.5, 4.3301)}

panah parafcn {5, 55, 5} {1.5 * dir (t)}

tlabel [cc] (1.732, 1) {$ theta $}

penwd {1.5pt}

panah parafcn {0,60,5} {3 * dir (t)}

tlabel [cc] (3.0311,1.75) {$ s $}

tamat {mfpic}

hujung {tengah}

Di sini (s ) mewakili textit {displacement} sehingga (s> 0 ) bermaksud objek bergerak dalam arah lawan arah jam dan (s <0 ) menunjukkan pergerakan dalam arah pusingan jam. Perhatikan bahawa dengan konvensyen ini formula yang kami gunakan untuk menentukan ukuran radian, iaitu ( theta = dfrac {s} {r} ), masih bertahan kerana nilai negatif (s ) yang timbul dari anjakan arah jam sepadan dengan negatif yang kami tetapkan untuk ( theta ) untuk putaran mengikut arah jam. Dalam Fizik, textbf {velocity rata-rata} index {velocity rata-rata} objek, dilambangkan ( overline {v} ) dan dibaca sebagai `$ v $ -bar ', didefinisikan sebagai kadar perubahan purata kedudukan objek berkenaan dengan masa. nota kaki {Lihat Definisi ref {arc} di Bahagian ref {LinearFunctions} untuk tinjauan konsep ini.} Akibatnya, kami mempunyai ( overline {v} = frac { text {displacement}} { text {time}} = dfrac {s} {t} ). Kuantiti ( overline {v} ) mempunyai unit ( frac { text {length}} { text {time}} ) dan menyampaikan dua idea: arah di mana objek bergerak dan seberapa pantas kedudukan objek berubah. Sumbangan arah dalam kuantiti ( overline {v} ) adalah untuk menjadikannya positif (dalam hal gerakan lawan arah jam) atau negatif (dalam hal gerakan searah jarum jam), sehingga kuantitas ( kiri | overline {v} kanan | ) mengukur seberapa pantas objek bergerak - ia adalah textbf {speed} objek. Measuring ( heta) in radians we have ( heta = dfrac{s}{r}) thus (s = r heta) and [ overline{v} = frac{s}{t} = frac{r heta}{t} = r cdot frac{ heta}{t} ] The quantity (dfrac{ heta}{t}) is called the index{velocity ! average angular}index{average angular velocity} extbf{average angular velocity} of the object. It is denoted by (overline{omega}) and is read `omega-bar'. The quantity (overline{omega}) is the average rate of change of the angle ( heta) with respect to time and thus has units (frac{ ext{radians}}{ ext{time}}). If (overline{omega}) is constant throughout the duration of the motion, then it can be shownfootnote{You guessed it, using Calculus ldots} that the average velocities involved, namely (overline{v}) and (overline{omega}), are the same as their instantaneous counterparts, (v) and (omega), respectively. In this case, (v) is simply called the index{velocity ! instantaneous}`velocity' of the object and is the instantaneous rate of change index{instantaneous rate of change} of the position of the object with respect to time.footnote{See the discussion on Page pageref{instantaneousrateofchange} for more details on the idea of an `instantaneous' rate of change.} Similarly, (omega) is called the index{velocity ! instantaneous angular}`angular velocity' and is the instantaneous rate of change of the angle with respect to time.

If the path of the object were `uncurled' from a circle to form a line segment, then the velocity of the object on that line segment would be the same as the velocity on the circle. For this reason, the quantity (v) is often called the extit{linear} velocity of the object in order to distinguish it from the extit{angular} velocity, (omega). Putting together the ideas of the previous paragraph, we get the following.

Note: Circular Motion Velocity

Velocity for Circular Motion:} For an object moving on a circular path of radius (r) with constant angular velocity (omega), the (linear) velocity of the object is given by (v = r omega).

We need to talk about units here. The units of (v) are (frac{ ext{length}}{ ext{time}}), the units of (r) are length only, and the units of (omega) are (frac{ ext{radians}}{ ext{time}}). Thus the left hand side of the equation (v = r omega) has units (frac{ ext{length}}{ ext{time}}), whereas the right hand side has units ( ext{length} cdot frac{ ext{radians}}{ ext{time}} = frac{ ext{length} cdot ext{radians}}{ ext{time}} (. The supposed contradiction in units is resolved by remembering that radians are a dimensionless quantity and angles in radian measure are identified with real numbers so that the units (frac{ ext{length} cdot ext{radians}}{ ext{time}}) reduce to the units (frac{ ext{length}}{ ext{time}}). We are long overdue for an example.

Example (PageIndex{4}): EarthRotationEx

Assuming that the surface of the Earth is a sphere, any point on the Earth can be thought of as an object traveling on a circle which completes one revolution in (approximately) 24 hours. The path traced out by the point during this 24 hour period is the Latitude of that point. Lakeland Community College is at (41.628^{circ}) north latitude, and it can be shownfootnote{We will discuss how we arrived at this approximation in Example ef{cosinesinecircleex}.} that the radius of the earth at this Latitude is approximately (2960) miles. Find the linear velocity, in miles per hour, of Lakeland Community College as the world turns.

Penyelesaian

To use the formula (v = r omega), we first need to compute the angular velocity (omega). The earth makes one revolution in 24 hours, and one revolution is (2 pi) radians, so (omega = frac{2 pi , ext{radians}}{24 , ext{hours}} = frac{pi}{12 , ext{hours}}), where, once again, we are using the fact that radians are real numbers and are dimensionless. (For simplicity's sake, we are also assuming that we are viewing the rotation of the earth as counter-clockwise so (omega > 0).) Hence, the linear velocity is [ v = 2960 , ext{miles} cdot frac{pi}{12 , ext{hours}} approx 775 , frac{ ext{miles}}{ ext{hour}}] qed

It is worth noting that the quantity (frac{1 , ext{revolution}}{24 , ext{hours}}) in Example ef{EarthRotationEx} is called the index{frequency ! ordinary} index{ordinary frequency} extbf{ordinary frequency} of the motion and is usually denoted by the variable (f). The ordinary frequency is a measure of how often an object makes a complete cycle of the motion. The fact that (omega = 2pi f) suggests that (omega) is also a frequency. Indeed, it is called the index{frequency ! angular} index{angular frequency} extbf{angular frequency} of the motion. On a related note, the quantity (T = dfrac{1}{f}) is called the index{period ! circular motion} extbf{period} of the motion and is the amount of time it takes for the object to complete one cycle of the motion. In the scenario of Example ef{EarthRotationEx}, the period of the motion is 24 hours, or one day.

The concepts of frequency and period help frame the equation (v = r omega) in a new light. That is, if (omega) is fixed, points which are farther from the center of rotation need to travel faster to maintain the same angular frequency since they have farther to travel to make one revolution in one period's time. The distance of the object to the center of rotation is the radius of the circle, (r), and is the `magnification factor' which relates (omega) and (v). We will have more to say about frequencies and periods in Section ef{Sinusoid}. While we have exhaustively discussed velocities associated with circular motion, we have yet to discuss a more natural question: if an object is moving on a circular path of radius (r) with a fixed angular velocity (frequency) (omega), what is the position of the object at time (t$? The answer to this question is the very heart of Trigonometry and is answered in the next section.


Solving for measures of angles

In this lesson we’ll look at how to find the measures of angles, in degrees, algebraically.

Saya membuat kursus dalam talian untuk membantu anda mengikuti kelas matematik anda. Baca lebih lanjut.

The measure of angles

An angle is a fraction of a circle, the turn of the angle is measured in degrees (or radians).

The name of this angle is . angle ABC. When we talk about the measure of the angle we use an . m. in front of the angle sign, . mangle ABC=110<>^circ.

Angle addition

The parts of an angle add to the entire angle.

Here you can see that . mangle ABC=mangle ABD+mangle DBC. This means if you know . mangle DBC=55<>^circ. dan. mangle ABC=110<>^circ. you can find . mangle ABD.

. mangle ABC=mangle ABD+mangle DBC.


Balbharati solutions for Mathematics and Statistics 1 (Arts and Science) 11th Standard Maharashtra State Board chapter 1 (Angle and its Measurement) include all questions with solution and detail explanation. This will clear students doubts about any question and improve application skills while preparing for board exams. The detailed, step-by-step solutions will help you understand the concepts better and clear your confusions, if any. Shaalaa.com has the Maharashtra State Board Mathematics and Statistics 1 (Arts and Science) 11th Standard Maharashtra State Board solutions in a manner that help students grasp basic concepts better and faster.

Further, we at Shaalaa.com provide such solutions so that students can prepare for written exams. Balbharati textbook solutions can be a core help for self-study and acts as a perfect self-help guidance for students.

Concepts covered in Mathematics and Statistics 1 (Arts and Science) 11th Standard Maharashtra State Board chapter 1 Angle and its Measurement are Directed Angle, Angles of Different Measurements, Angles in Standard Position, Measures of Angles, Area of a Sector of a Circle, Length of an Arc of a Circle.

Using Balbharati 11th solutions Angle and its Measurement exercise by students are an easy way to prepare for the exams, as they involve solutions arranged chapter-wise also page wise. The questions involved in Balbharati Solutions are important questions that can be asked in the final exam. Maximum students of Maharashtra State Board 11th prefer Balbharati Textbook Solutions to score more in exam.


Lesson 10

If you connect the ends of the sides you drew to make a triangle, is the third side longer or shorter than 5 centimeters? How can you use a compass to explain your answer?

10.2: Revisiting How Many Can You Draw?

Use the applet to draw triangles.

Draw as many different triangles as you can with each of these sets of measurements:

  1. One angle measures (40^circ) , one side measures 4 cm and one side measures 5 cm.
  2. Two sides measure 6 cm and one angle measures (100^circ) .

Did either of these sets of measurements determine one unique triangle? Bagaimana anda tahu?

10.3: Three Angles

Use the applet to draw triangles. Sides can overlap.

  1. Draw as many different triangles as you can with each of these sets of measurements:
    1. One angle measures (50^circ) , one measures (60^circ) , and one measures (70^circ) .
    2. One angle measures (50^circ) , one measures (60^circ) , and one measures (100^circ) .

    Using only the point, segment, and compass tools provided, create an equilateral triangle. You are only successful if the triangle remains equilateral while dragging its vertices around.

    Ringkasan

    A triangle has six measures: three side lengths and three angle measures.

    If we are given three measures, then sometimes, there is no triangle that can be made. For example, there is no triangle with side lengths 1, 2, 5, and there is no triangle with all three angles measuring (150^circ) .

    Expand Image

    Sometimes, only one triangle can be made. By this we mean that any triangle we make will be the same, having the same six measures. For example, if a triangle can be made with three given side lengths, then the corresponding angles will have the same measures. Another example is shown here: an angle measuring (45^circ) between two side lengths of 6 and 8 units. With this information, one unique triangle can be made.

    Expand Image

    Sometimes, two or more different triangles can be made with three given measures. For example, here are two different triangles that can be made with an angle measuring (45^circ) and side lengths 6 and 8. Notice the angle is not between the given sides.

    Expand Image

    Three pieces of information about a triangle’s side lengths and angle measures may determine no triangles, one unique triangle, or more than one triangle. It depends on the information.

    IM 6–8 Math was originally developed by Open Up Resources and authored by Illustrative Mathematics®, and is copyright 2017-2019 by Open Up Resources. It is licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0). OUR's 6–8 Math Curriculum is available at https://openupresources.org/math-curriculum/.

    Adaptations and updates to IM 6–8 Math are copyright 2019 by Illustrative Mathematics, and are licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

    Adaptations to add additional English language learner supports are copyright 2019 by Open Up Resources, and are licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

    The second set of English assessments (marked as set "B") are copyright 2019 by Open Up Resources, and are licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

    Spanish translation of the "B" assessments are copyright 2020 by Illustrative Mathematics, and are licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

    The Illustrative Mathematics name and logo are not subject to the Creative Commons license and may not be used without the prior and express written consent of Illustrative Mathematics.

    This site includes public domain images or openly licensed images that are copyrighted by their respective owners. Openly licensed images remain under the terms of their respective licenses. See the image attribution section for more information.


    Angles in the Plane, Standard, and Coterminal Angles

    We can place the rays that form an angle in the coordinate plane. In this case, it is often convenient to place them so that the vertex coincides with the origin and its initial side coincides with the positive direction of the x-axis.

    An angle drawn in the plane is said to be in standard form atau standard position if its vertex is at the origin and its initial side is along the positive x-axis.

    We have here two angles of the same size but with different placement in the coordinate plane. The angle AOB is drawn in standard position since its initial side, OA, is drawn along the positive x-axis and its vertex is at the origin. On the other hand, COD is not in standard position, even though its vertex is also at the origin. Kenapa tidak? Because its initial side is not on the (positive) x axis.

    If we were to rotate COD so that its initial side lay along the positive x-axis then it too would be in standard position, and in fact its terminal side would coincide with the terminal side of AOB.

    Two angles, drawn in standard position, are called coterminal if their terminal sides coincide.

    If an angle is drawn in standard position and its terminal side is along one of the axes, then we say the angles is a quadrantal angle . The quadrantal angles are 0°, 90°, 180°, 270°, and their coterminal angles. For example, �° and 2430° are quadrantal angles.

    If two angles are coterminal, must they be the same angle? In fact no - it is possible that one is a revolution more than the other, or any integer number of revolutions more (or less) than the other. That is, coterminal angles must differ by an integer number of revolutions or, equivalently, by an integer multiple of 360°. (Recall that the integers are the numbers . 𕒹, 𕒸, 𕒷, 𕒶, 𕒵, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . ) Notice that 0 is an integer, so the case of equal angles is covered by "one angle is 0 revolutions more than the other."

    To see this, note that the list can also be written as

    From the preceding example, we note that if an angle has measure x°, then the collection of all the angles coterminal with it are given by the formula

    (x + 360n)°, n an integer This formula tells us that any coterminal angle may be found by adding an appropriate multiple of 360° to the given angle. Note that the formula can be modified by replacing x with any other angle coterminal to it. For example, the formulas
    (50 + 360n)°, n an integer
    dan
    (� + 360m)°, m an integer
    describe the same set of angles.

    The formula (x + 360n)° , n an integer, for representing coterminal angles is a special case of the following situation. Biarkan x dan y be given angles. The collection of angles which are an integer multiple of y added to x are given by the formula

    x + yn, n an integer

    Contoh: Find a formula for the collection of angles . �°, 󔽄°, 20°, 100°, 180°, .
    Penyelesaian: Each angle is obtained from the previous angle in the list by adding 80°. Select any angle in the list, say 20°. Then the collection of angles is represented by the formula (20 + 80n)°, n an integer

    The following exercise offers practice for writing angles written in list form as a formula. Your answer should be entered in the form A° + B°n, or (A + Bn)° (where A and B are numbers and n is the integer variable). Do not enter the phrase "n an integer".


    Tangents, Secants, Arcs and Angles

    The three theorems for the intercepted arcs to the angle of two tangents, two secants or 1 tangent and 1 secant are summarized by the pictures below. If you look at each theorem, you really only need to remember ONE formula.

    The Formula

    The angle formed by the intersection of 2 tangents, 2 secants or 1 tangent and 1 secant outside the circle equals half the difference of the intercepted arcs! Therefore to find this angle (angle K in the examples below), all that you have to do is take the far intercepted arc and near the smaller intercepted arc and then divide that number by two! That's why we call this the Far Arc Near Arc theorem (sometimes abbreviated Farc - Narc) .

    Far Arc &minus Near Arc Formula

    All of the formulas on this page can be thought of in terms of a "far arc" and a "near arc". The angle formed outside of the circle is always equal to the the far arc minus the near arc divided by 2.

    The Technical Formulas

    Look up above to see the easy way to remember the formulas

    Case I. Tangent and Secant

    The measure of an angle formed by a secant and a tangent drawn from a point outside the circle is $ frac 1 2 $ the difference of the intercepted arcs .

    Remember that this theorem only used the intercepted arcs . Therefore, the red arc in the picture below is not used in this formula.

    Case II. 2 Secants

    The measure of an angle formed by a 2 secants drawn from a point outside the circle is half the the difference of the intercepted arcs:

    In the picture below, the measure of $ angle x$ is $ frac 1 2 $ the difference of the arcs intercepted by the two secants.

    Remember that this theorem only makes use of the intercepted arcs. Therefore, the red arcs in the picture below are not used in this theorem's formula.

    Case III. 2 Tangents

    The measure of an angle formed by a two tangents drawn from a point outside the circle is $frac 1 2 $ the the difference of the intercepted arcs .

    In one way, this case seems to differ from the others-- because all circle is included in the intercepted arcs. Since both of the lines are tangents, they touch the circle in one point and therefore they do not 'cut off' any parts of the circle.


    List of Angle Worksheets

    How about some practice in identifying the vertex and arms of an angle? Get ahead of the pack with these parts of an angle pdfs and practice identifying and naming the vertex and arms of an angle.

    Are you aware of the four ways of naming angles? Buckle up with these printable worksheets, and watch how accurately and effortlessly children name angles using the three points.

    Turning the spotlight on interior and exterior angles, these 4th grade and 5th grade pdfs hone necessary skills in locating or marking a point in between or outside the two arms of an angle.

    Spark interest and encourage children to identify acute, right, and obtuse angles with a bunch of fun-filled exercises like recognizing angles in a clock, angle types in real-life objects, and a lot more!

    Become twice as conversant with identifying, classifying, and drawing all six types of angles: acute, right, obtuse, straight, reflex, and complete angles with this collection of pdfs.

    Use the protractor tool like a pro to measure and draw angles. Printable protractor templates, a chart illustrating the parts and use of the tool, and protractor reading exercises await students in elementary school.

    Reading the correct scale of the protractor to measure angles: the inner or outer scale, measuring and classifying angles, and solving linear equations are the skills grade 4 and grade 5 students acquire with these exercises.

    Show your students how to construct angles using a protractor with these drawing angle pdfs. The exercises include constructing angles with 1° increments or 5°, drawing reflex angles, and more.

    Expert-level skills aren’t built in a day, to acquire superior skills in estimating angles 4th grade and 5th grade children need to bolster practice with our printable estimating angles worksheets.

    Work your way through this compilation of worksheets and examine the angles on a straight line that add up to 180°. Grade 4 and grade 5 students find the measures of the unknown angles by subtracting the given angles from 180°.

    Did you know that the angles around a point add up to 360°? Keep this fact in mind as you figure out the measures of the unknown angles by adding the given angles and subtracting the sum from 360°.

    If it's a pair of angles you see and are trying to figure out if they make a complementary or supplementary pair, the trick is just adding them up and if their sum is 90° they are complementary and if it is 180° they are supplementary. These worksheets are a sure-shot hit with 6th grade and 7th grade learners.

    Explore this bunch of printable adjacent angles worksheets to get a vivid picture of the angle addition property exhibited by angles that share the same vertex and are next to each other.

    Linked here are exercises on angles formed by intersecting lines! Know the congruent properties of vertical angles or vertically opposite angles and apply them to determine unknown angle measures.

    Two angles that are both adjacent and supplementary are a linear pair. The measure of such a pair sum up to 180°. Get to the heart of such angle pairs with these pdf worksheets and solve equations for the unknown angle measures.

    Tap your grade 7, and grade 8 student’s potential in identifying the different pairs of angles such as complementary and supplementary angles, linear pair, vertical angles and much more with our engaging set of worksheets.

    Construct additional and experiential knowledge with these 8th grade and high school handouts to comprehend the seven types of angle pairs formed by a transversal that include corresponding angles, alternate angles, and consecutive angles.


    Basic Geometry Ideas and Angle Measurement

    Students will describe and identify basic geometry ideas including line segments, rays, lines, parallel lines, perpendicular lines, and midpoint. Students will describe attribute of angles and measure angles.

    Materials

    Lampiran

    • Angle Sort paper
    • Worksheets: Geometry Words Journal Page, Measuring Angles worksheets
    • Measuring angles quiz
    • Classifying Angles song overhead
    • Scissors, Paper for foldable, Protractors
    • Two-Colored Circular manipulative (made with small plastic plates)

    Background for Teachers

    Enduring Understanding (Big Ideas):
    Geometric ideas can be identified and described.

    • Where are examples of lines, segments and rays, parallel and perpendicular lines and midpoints found in the real-world?
    • How does a midpoint compare to other points on a line segment?
    • What units of measurement are appropriate for measuring angles? When is an angle considered to be a right angle? An acute angle? An obtuse angle?

    Skill Focus:
    Identify and classify geometric figures using information about their characteristics

    Vocabulary Focus:
    Point, line, line segment, ray, parallel lines, perpendicular lines, intersecting lines, midpoint, angle, vertex, degree, protractor, acute, right, obtuse, congruent

    Ways to Gain/Maintain Attention (Primacy):
    contest, sorting, measuring, cooperative learning, manipulative, music, movement, virtual manipulatives-Geoboard

    Instructional Procedures

    Lampiran

    Post all vocabulary using a mind map to help students connect the words to their meaning.

    Starter: How great is your memory from your past experiences Contest? Try to match each word to the correct picture.

    Lesson Segment 1: Where are examples of lines, segments and rays, parallel and perpendicular lines and midpoints found in the real-world? How does midpoint differ from other points on a line?
    This can be a contest where small groups compete to see how many they can name. As you discuss the starter with the students, have them begin to fill in the Geometry Words journal page (attached). Assign each team of students one idea from the starter except "angle" to consider three real-world examples or situations. Select one person from each team to share the examples, so the class can choose one of those to write on their journal page. As you discuss the ideas, have students fill in their own words and sketches.

    Lesson Segment 2: Where are examples of angles found or used in the realworld?
    Guessing game: Tell students you are thinking of one of the geometric ideas and that you will point to some examples of that idea in the room. When they think they might know what the idea you are thinking of is, they may write the idea down. After pointing to several examples that suggest where an angle might be formed, ask for responses. Ask students to describe attributes for some of the angles you pointed to such as where the vertex point might be, or where the line segments are which form the angle. Show the math symbol for angle.

    Lesson Segment 3: How can I describe attributes of angles?
    Without giving information have students sort angles by cutting out the cards on the Angle Sort paper. Partners cut and sort, writing the rule for their sort. Then have the partners compare their sorting to another pair. Discuss with class the sort bringing them to the idea that angles can be described by the wideness or openness of the angle. This wideness is the measure of an angle. Remind them that they may have heard words such as acute, right or obtuse when describing angles.
    Sing this song with the students:

    Classifying Angles Song
    (to the tune of Skip To My Lou. Lyrics by Linda Bolin)
    Use arms to show each as the verse is sung.

    I'm a little angle. I like me like that.
    An ACUTE little angle, and I'm not fat.
    I'm an alligators mouth or a witches hat.
    I'm ACUTE. I'm less than 90.

    'm a RIGHT angle, and I look square.
    Look for a corner, and I'll be there.
    I'm a flag or a present. I'm everywhere.
    I'm just RIGHT. I'm exactly 90.

    I'm rather large, so I have pride.
    I'm an OBTUSE angle. I'm big inside.
    I'm a reclining chair or a door open wide.
    I'm OBTUSE. I am more than 90.

    Have students use Two-color Circular manipulative to show attributes such as acute, obtuse and right as you ask them to. (A two-color manipulative can easily be made to allow the students to demonstrate angles. Make a cut in two different colored small plastic plates from the circumference to the center of the plate. Slide the two plates together at the cut.)

    As they play with the two-color manipulative, get students to notice that an angle is a turn. When the turn is less than 90, the angle is acute. You can have students act this out. Have a student put one hand on a chair and rotate around it. Have the class guess if the rotation was an acute, obtuse or right angle. If the subject comes up, let students know that angles that are 180 or more hae different names and we will learn those at a later time.

    Have students re-sort the angles into acute, right and obtuse categories (if they did not originally do so) and write the category on the back of the card.

    Lesson Segment 4: What is the measure for a given angle?
    Use the "Measuring Angles" investigation worksheet and protractors to become more familiar with the protractor and to measure angles.

    Practice:
    Make a three column foldable (as shown below). The back side of the foldable can be labeled "Measuring and Classifying Angles". Have students use their protractors to measure each of the angles from the sort cards. Then have them use the protractor to sketch the angles in the appropriate column on the Foldable and label the measure of each angle.

    Using the Two-Color Circular manipulative again, call out angle degrees and have the students rotate the sections of their plate to show an estimate for the measure.


    Angles and Their Measurement RS Aggarwal Class 6 Maths Solutions Ex 13A

    Angles and Their Measurement RS Aggarwal Class 6 Maths Solutions Exercise 13A

    S1

    S2

    S3

    S4

    S5

    S6


    10.2: Angles and their Measure - Mathematics

    Measures of arcs and central angles

    We can use a few more theorems to find the measures of arcs and central angles of circles. Let’s begin by stating a few theorems:

    THEOREM: The measure of a central angle is equal to the measure of the arc it intersects.

    THEOREM: The measure of a major arc (an arc greater than a semicircle) is equal to (360^circ ) minus the measure of the corresponding minor arc.

    THEOREM: Vertical angles are equal.

    CONTOH: Find the measure of the arc (widehat )

    SOLUTION: (widehat ) is a major arc, so, by a theorem above, its measure is (360^circ - mwidehat ). Then we must find the measure of (widehat ).

    Again, by a theorem above, we know that the measure of the central angle corresponding to (widehat ) must be (70^circ ). Now we can conclude, by the fact that straight angles measure (180^circ ), that the central angle corresponding to (widehat ) equals (180 - 70 - 70 = 40). That is, (mwidehat = 40^circ ).

    So we can conclude that (mwidehat = 360^circ - 40^circ = 320^circ ).

    CONTOH: Find (mangle JKI)

    SOLUTION: Since (widehat = 50^circ ), we can conclude, by a theorem above, that (angle FKG = 50^circ ). Then, by the vertical angle theorem, we know that (angle JKL = angle FKG). That is, (angle JKL = 50^circ ).

    Below you can muat turun sesetengah percuma math worksheets and practice.


    Tonton videonya: 2 TRIGONOMETRI - Ukuran sudut dalam bentuk derajat, radian dan putaran (Disember 2021).