Artikel

2.3: Integrasi Trigonometri - Matematik

2.3: Integrasi Trigonometri - Matematik



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Objektif Pembelajaran

  • Selesaikan masalah integrasi yang melibatkan produk dan kuasa ( sin x ) dan ( cos x ).
  • Selesaikan masalah integrasi yang melibatkan produk dan kuasa ( tan x ) dan ( sec x ).
  • Gunakan formula pengurangan untuk menyelesaikan kamiran trigonometri.

Dalam bahagian ini kita melihat bagaimana mengintegrasikan pelbagai produk fungsi trigonometri. Integrasi ini disebut integral trigonometri. Mereka adalah bahagian penting dari teknik integrasi yang disebut penggantian trigonometri, yang dipaparkan dalam Penggantian Trigonometri. Teknik ini membolehkan kita mengubah ungkapan algebra yang mungkin tidak dapat kita gabungkan dalam ungkapan yang melibatkan fungsi trigonometri, yang mungkin dapat kita gabungkan dengan teknik yang dijelaskan dalam bahagian ini. Selain itu, jenis kamiran ini sering muncul ketika kita mengkaji sistem koordinat kutub, silinder, dan sfera nanti. Mari mulakan kajian kami dengan produk ( sin x ) dan ( cos x. )

Mengintegrasikan Produk dan Kuasa sin x dan cos x

Idea utama di sebalik strategi yang digunakan untuk mengintegrasikan kombinasi produk dan kuasa ( sin x ) dan ( cos x ) melibatkan menulis semula ungkapan ini sebagai jumlah dan perbezaan gabungan antara bentuk (∫ sin ^ jx cos x , dx ) atau (∫ cos ^ jx sin x , dx ). Setelah menulis semula integrasi ini, kami menilai penggunaannya awak-tukar ganti. Sebelum menerangkan proses umum secara terperinci, mari kita lihat contoh berikut.

Contoh ( PageIndex {1} ): Mengintegrasikan ( displaystyle ∫ cos ^ j x sin x , dx )

Nilaikan ( displaystyle ∫ cos ^ 3x sin x , dx. )

Penyelesaian

Gunakan (u ) - penggantian dan biarkan (u = cos x ). Dalam kes ini, (du = - sin x , dx. )

Oleh itu,

[∫ cos ^ 3x sin x , dx = −∫u ^ 3 , du = - frac {1} {4} u ^ 4 + C = - frac {1} {4} cos ^ 4x + C. bilangan ]

Latihan ( PageIndex {1} )

Nilaikan ( displaystyle ∫ sin ^ 4x cos x , dx. )

Petunjuk

Mari (u = sin x. )

Jawapan

( displaystyle ∫ sin ^ 4x cos x , dx = frac {1} {5} sin ^ 5x + C )

Contoh ( PageIndex {2} ): Contoh Awal: Mengintegrasikan (∫ cos ^ jx sin ^ kx , dx ) di mana (k ) adalah Ganjil

Nilaikan ( displaystyle ∫ cos ^ 2x sin ^ 3x , dx. )

Penyelesaian

Untuk menukar integral ini ke integral bentuk ( displaystyle ∫ cos ^ jx sin x , dx, ) rewrite ( sin ^ 3x = sin ^ 2x sin x ) dan buat penggantian ( sin ^ 2x = 1− cos ^ 2x. )

Oleh itu,

( displaystyle begin {align *} ∫ cos ^ 2x sin ^ 3x , dx & = ∫ cos ^ 2x (1− cos ^ 2x) sin x , dx & & text {Let} u = cos x; ; teks {maka} du = - sin x , dx. [4pt]
& = - ∫u ^ 2 (1 − u ^ 2) , du [4pt]
& = ∫ (u ^ 4 − u ^ 2) , du [4pt]
& = frac {1} {5} u ^ 5− frac {1} {3} u ^ 3 + C [4pt]
& = frac {1} {5} cos ^ 5x− frac {1} {3} cos ^ 3x + C. end {align *} )

Latihan ( PageIndex {2} )

Nilaikan ( displaystyle ∫ cos ^ 3x sin ^ 2x , dx. )

Petunjuk

Tulis ( cos ^ 3x = cos ^ 2x cos x = (1− sin ^ 2x) cos x ) dan biarkan (u = sin x ).

Jawapan

( displaystyle ∫ cos ^ 3x sin ^ 2x , dx = frac {1} {3} sin ^ 3x− frac {1} {5} sin ^ 5x + C )

Dalam contoh seterusnya, kita melihat strategi yang mesti diterapkan ketika hanya ada kekuatan yang sama dari ( sin x ) dan ( cos x ). Untuk gabungan jenis ini, identiti

[ sin ^ 2x = frac {1} {2} - frac {1} {2} cos (2x) = frac {1− cos (2x)} {2} ]

dan

[ cos ^ 2x = frac {1} {2} + frac {1} {2} cos (2x) = frac {1+ cos (2x)} {2} ]

tidak ternilai. Identiti ini kadang-kadang dikenali sebagai jatidaya pengurangan kuasa dan mereka mungkin berasal dari identiti dua sudut ( cos (2x) = cos ^ 2x− sin ^ 2x ) dan identiti Pythagoras ( cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1. )

Contoh ( PageIndex {3} ): Mengintegrasikan Kuasa Genap ( sin x )

Nilaikan ( displaystyle ∫ sin ^ 2x , dx ).

Penyelesaian

Untuk menilai kamiran ini, mari gunakan identiti trigonometri ( sin ^ 2x = frac {1} {2} - frac {1} {2} cos (2x). ) Oleh itu,

( displaystyle ∫ sin ^ 2x , dx = ∫ left ( frac {1} {2} - frac {1} {2} cos (2x) kanan) , dx = frac {1 } {2} x− frac {1} {4} sin (2x) + C. )

Latihan ( PageIndex {3} )

Nilaikan ( displaystyle ∫ cos ^ 2x , dx. )

Petunjuk

( cos ^ 2x = frac {1} {2} + frac {1} {2} cos (2x) )

Jawapan

( displaystyle ∫ cos ^ 2x , dx = frac {1} {2} x + frac {1} {4} sin (2x) + C )

Proses umum untuk mengintegrasikan produk kekuatan ( sin x ) dan ( cos x ) diringkaskan dalam set panduan berikut.

Strategi Penyelesaian Masalah: Mengintegrasikan Produk dan Kuasa ( sin x ) dan (cos x )

Untuk mengintegrasikan ( displaystyle int cos ^ jx sin ^ kx , dx ) gunakan strategi berikut:

1. Jika (k ) ganjil, tulis semula ( sin ^ kx = sin ^ {k − 1} x sin x ) dan gunakan identiti ( sin ^ 2x = 1− cos ^ 2x ) untuk menulis semula ( sin ^ {k − 1} x ) dalam sebutan ( cos x ). Bersepadu menggunakan penggantian (u = cos x ). Penggantian ini menjadikan (du = - sin x , dx. )

2. Sekiranya (j ) ganjil, tulis semula ( cos ^ jx = cos ^ {j − 1} x cos x ) dan gunakan identiti ( cos ^ 2x = 1− sin ^ 2x ) untuk menulis semula ( cos ^ {j − 1} x ) dalam sebutan ( sin x ). Bersepadu menggunakan penggantian (u = sin x ). Penggantian ini menjadikan (du = cos x , dx. ) (Catatan: Sekiranya kedua (j ) dan (k ) ganjil, strategi 1 atau strategi 2 mungkin digunakan.)

3. Sekiranya keduanya (j ) dan (k ) genap, gunakan ( sin ^ 2x = (1/2) - (1/2) cos (2x) ) dan ( cos ^ 2x = (1/2) + (1/2) cos (2x) ). Setelah menggunakan formula ini, permudahkan dan gunakan semula strategi 1 hingga 3 yang sesuai.

Contoh ( PageIndex {4} ): Mengintegrasikan (∫ cos ^ jx sin ^ kx , dx ) di mana (k ) adalah Ganjil

Nilaikan ( displaystyle ∫ cos ^ 8x sin ^ 5x , dx. )

Penyelesaian

Oleh kerana daya pada ( sin x ) ganjil, gunakan strategi 1. Oleh itu,

( displaystyle begin {align *} ∫ cos ^ 8x sin ^ 5x , dx & = ∫ cos ^ 8x sin ^ 4x sin x , dx & & text {Break off} sin x . [4pt]
& = ∫ cos ^ 8x ( sin ^ 2x) ^ 2 sin x , dx & & text {Tulis semula} sin ^ 4x = ( sin ^ 2x) ^ 2. [4pt]
& = ∫ cos ^ 8x (1− cos ^ 2x) ^ 2 sin x , dx & & text {Pengganti} sin ^ 2x = 1− cos ^ 2x. [4pt]
& = ∫u ^ 8 (1 − u ^ 2) ^ 2 (−du) & & text {Let} u = cos x text {dan} du = - sin x , dx. [4pt]
& = ∫ (−u ^ 8 + 2u ^ {10} −u ^ {12}) du & & text {Kembangkan.} [4pt]
& = - frac {1} {9} u ^ 9 + frac {2} {11} u ^ {11} - frac {1} {13} u ^ {13} + C & & teks {Nilaikan kamiran.} [4pt]
& = - frac {1} {9} cos ^ 9x + frac {2} {11} cos ^ {11} x− frac {1} {13} cos ^ {13} x + C & & teks {Pengganti} u = cos x. end {align *} )

Contoh ( PageIndex {5} ): Mengintegrasikan (∫ cos ^ jx sin ^ kx , dx ) di mana (k ) dan (j ) genap

Nilaikan ( displaystyle ∫ sin ^ 4x , dx. )

Penyelesaian: Oleh kerana power on ( sin x ) genap ((k = 4) ) dan power on ( cos x ) genap ((j = 0), ) kita mesti menggunakan strategi 3. Oleh itu,

(∫ sin ^ 4x , dx = ∫ ( sin ^ 2x) ^ 2 , dx ) Tulis semula ( sin ^ 4x = ( sin ^ 2x) ^ 2 ).

(= ∫ ( frac {1} {2} - frac {1} {2} cos (2x)) ^ 2 , dx ) Pengganti ( sin ^ 2x = frac {1} {2 } - frac {1} {2} cos (2x). )

(= ∫ ( frac {1} {4} - frac {1} {2} cos (2x) + frac {1} {4} cos ^ 2 (2x)) , dx ) Kembangkan (( frac {1} {2} - frac {1} {2} cos (2x)) ^ 2. )

(= ∫ ( frac {1} {4} - frac {1} {2} cos (2x) + frac {1} {4} ( frac {1} {2} + frac {1 } {2} cos (4x)) , dx. )

Oleh kerana ( cos ^ 2 (2x) ) mempunyai kekuatan genap, pengganti ( cos ^ 2 (2x) = frac {1} {2} + frac {1} {2} cos (4x) ):

(= ∫ ( frac {3} {8} - frac {1} {2} cos (2x) + frac {1} {8} cos (4x)) , dx ) Permudahkan.

(= frac {3} {8} x− frac {1} {4} sin (2x) + frac {1} {32} sin (4x) + C ) Nilai kamiran.

Latihan ( PageIndex {4} )

Nilaikan ( displaystyle ∫ cos ^ 3x , dx. )

Petunjuk

Gunakan strategi 2. Tulis ( cos ^ 3x = cos ^ 2x cos x ) dan gantikan ( cos ^ 2x = 1− sin ^ 2x. )

Jawapan

( displaystyle ∫ cos ^ 3x , dx = sin x− frac {1} {3} sin ^ 3x + C )

Latihan ( PageIndex {5} )

Nilaikan ( displaystyle ∫ cos ^ 2 (3x) , dx. )

Petunjuk

Gunakan strategi 3. Pengganti ( cos ^ 2 (3x) = frac {1} {2} + frac {1} {2} cos (6x) )

Jawapan

( displaystyle ∫ cos ^ 2 (3x) , dx = frac {1} {2} x + frac {1} {12} sin (6x) + C )

Dalam beberapa bidang fizik, seperti mekanik kuantum, pemprosesan isyarat, dan pengiraan siri Fourier, sering kali diperlukan untuk mengintegrasikan produk yang merangkumi (sin (ax), sin (bx), cos (ax), ) dan (cos (bx). ) Integrasi ini dinilai dengan menerapkan identiti trigonometri, seperti yang dijelaskan dalam peraturan berikut.

Peraturan: Mengintegrasikan Produk Sinus dan Kosinus dari Sudut Berbeza

Untuk mengintegrasikan produk yang melibatkan ( sin (ax), , sin (bx), , cos (ax), ) dan ( cos (bx), ) gunakan pengganti

[ sin (ax) sin (bx) = frac {1} {2} cos ((a − b) x) - frac {1} {2} cos ((a + b) x) ]

[ sin (ax) cos (bx) = frac {1} {2} sin ((a − b) x) + frac {1} {2} sin ((a + b) x) ]

[ cos (ax) cos (bx) = frac {1} {2} cos ((a − b) x) + frac {1} {2} cos ((a + b) x) ]

Rumus ini mungkin berasal dari formula penjumlahan sudut untuk sinus dan kosinus.

Contoh ( PageIndex {6} ): Menilai (∫ sin (ax) cos (bx) , dx )

Nilaikan ( displaystyle ∫ sin (5x) cos (3x) , dx. )

Penyelesaian: Terapkan identiti ( sin (5x) cos (3x) = frac {1} {2} sin (2x) + frac {1} {2} sin (8x). ) Oleh itu,

( displaystyle ∫ sin (5x) cos (3x) , dx = ∫ frac {1} {2} sin (2x) + frac {1} {2} sin (8x) , dx = - frac {1} {4} cos (2x) - frac {1} {16} cos (8x) + C. )

Latihan ( PageIndex {6} )

Nilaikan ( displaystyle ∫ cos (6x) cos (5x) , dx. )

Petunjuk

Pengganti ( cos (6x) cos (5x) = frac {1} {2} cos x + frac {1} {2} cos (11x). )

Jawapan

( displaystyle ∫ cos (6x) cos (5x) , dx = frac {1} {2} sin x + frac {1} {22} sin (11x) + C )

Mengintegrasikan Produk dan Kuasa ( tan x ) dan ( sec x )

Sebelum membincangkan integrasi produk dan kuasa ( tan x ) dan ( sec x ), adalah berguna untuk mengingat kembali integrasi yang melibatkan ( tan x ) dan ( sec x ) yang kita ada sudah belajar:

1. ( displaystyle ∫ sec ^ 2x , dx = tan x + C )

2. ( displaystyle ∫ sec x tan x , dx = sec x + C )

3. ( displaystyle ∫ tan x , dx = ln | sec x | + C )

4. ( displaystyle ∫ sec x , dx = ln | sec x + tan x | + C. )

Untuk sebilangan besar produk dan kekuatan ( tan x ) dan ( sec x ), kami menulis semula ungkapan yang ingin kami satukan sebagai jumlah atau perbezaan gabungan antara bentuk ( displaystyle ∫ tan ^ jx sec ^ 2x , dx ) atau ( displaystyle ∫ sec ^ jx tan x , dx ). Seperti yang kita lihat dalam contoh berikut, kita dapat menilai integrasi baru ini dengan menggunakan penggantian u.

Contoh ( PageIndex {7} ): Menilai (∫ sec ^ jx tan x , dx )

Nilaikan ( displaystyle ∫ sec ^ 5 x tan x , dx. )

Penyelesaian: Mulakan dengan menulis semula ( sec ^ 5 x tan x ) sebagai ( sec ^ 4 x sec x tan x. )

( displaystyle begin {align *} ∫ sec ^ 5x tan x , dx & = ∫ sec ^ 4 x sec x tan x , dx & & text {Let} u = sec x ; , text {then}, , du = sec x tan x , dx. [4pt]
& = ∫u ^ 4 , du & & text {Nilaikan kamiran.} [4pt]
& = tfrac {1} {5} u ^ 5 + C & & text {Pengganti} saat x = u. [4pt]
& = tfrac {1} {5} sec ^ 5 x + C end {align *} )

Anda boleh membaca beberapa maklumat menarik di laman web ini untuk mengetahui tentang gabungan yang melibatkan pemisah.

Latihan ( PageIndex {7} )

Nilaikan ( displaystyle ∫ tan ^ 5x sec ^ 2x , dx. )

Petunjuk

Biarkan (u = tan x ) dan (du = sec ^ 2 x. )

Jawapan

( displaystyle ∫ tan ^ 5x sec ^ 2x , dx = tfrac {1} {6} tan ^ 6x + C )

Kami sekarang melihat pelbagai strategi untuk mengintegrasikan produk dan kekuatan ( sec x ) dan ( tan x. )

Strategi Penyelesaian Masalah: Mengintegrasikan ( displaystyle ∫ tan ^ kx sec ^ jx , dx )

Untuk mengintegrasikan ( displaystyle ∫ tan ^ kx sec ^ jx , dx, ) gunakan strategi berikut:

1. Jika (j ) genap dan (j≥2, ) tulis semula ( sec ^ jx = sec ^ {j − 2} x sec ^ 2x ) dan gunakan ( sec ^ 2x = tan ^ 2x + 1 ) untuk menulis semula ( sec ^ {j − 2} x ) dalam sebutan ( tan x ). Mari (u = tan x ) dan (du = sec ^ 2x. )

2. Jika (k ) ganjil dan (j≥1 ), tulis semula ( tan ^ kx sec ^ jx = tan ^ {k − 1} x sec ^ {j − 1} x sec x tan x ) dan gunakan ( tan ^ 2x = sec ^ 2x − 1 ) untuk menulis semula ( tan ^ {k − 1} x ) dalam sebutan ( sec x ). Biarkan (u = sec x ) dan (du = sec x tan x , dx. ) (Catatan: Jika (j ) genap dan (k ) ganjil, maka salah satu strategi 1 atau strategi 2 boleh digunakan.)

3. Sekiranya (k ) ganjil di mana (k≥3 ) dan (j = 0 ), tulis semula ( tan ^ kx = tan ^ {k − 2} x tan ^ 2x = tan ^ {k − 2} x ( sec ^ 2x − 1) = tan ^ {k − 2} x sec ^ 2x− tan ^ {k − 2} x. ) Mungkin perlu mengulanginya proses pada istilah ( tan ^ {k − 2} x ).

4. Sekiranya (k ) genap dan (j ) ganjil, maka gunakan ( tan ^ 2x = sec ^ 2x − 1 ) untuk menyatakan ( tan ^ kx ) dalam sebutan ( saat x ). Gunakan integrasi oleh bahagian untuk mengintegrasikan kekuatan ganjil ( sec x. )

Contoh ( PageIndex {8} ): Mengintegrasikan (∫ tan ^ kx sec ^ jx , dx ) apabila (j ) genap

Nilaikan ( displaystyle ∫ tan ^ 6x sec ^ 4x , dx. )

Penyelesaian

Oleh kerana power on ( sec x ) genap, tulis semula ( sec ^ 4x = sec ^ 2x sec ^ 2x ) dan gunakan ( sec ^ 2x = tan ^ 2x + 1 ) untuk tulis semula yang pertama ( sec ^ 2x ) dari segi ( tan x. ) Oleh itu,

(∫ tan ^ 6x sec ^ 4x , dx = ∫ tan ^ 6x ( tan ^ 2x + 1) sec ^ 2x , dx ) Biarkan (u = tan x ) dan ( du = sec ^ 2x. )

(= ∫u ^ 6 (u ^ 2 + 1) , du ) Kembangkan.

(= ∫ (u ^ 8 + u ^ 6) , du ) Nilai kamiran.

(= frac {1} {9} u ^ 9 + frac {1} {7} u ^ 7 + C ) Pengganti ( tan x = u ).

(= frac {1} {9} tan ^ 9x + frac {1} {7} tan ^ 7x + C. )

Contoh ( PageIndex {9} ): Mengintegrasikan (∫ tan ^ kx sec ^ jx , dx ) apabila (k ) adalah Ganjil

Nilaikan ( displaystyle ∫ tan ^ 5x sec ^ 3x , dx. )

Penyelesaian

Oleh kerana kuasa pada ( tan x ) ganjil, mulakan dengan menulis semula ( tan ^ 5x sec ^ 3x = tan ^ 4x sec ^ 2x sec x tan x. ) Oleh itu,

( tan ^ 5x sec ^ 3x = tan ^ 4x sec ^ 2x sec x tan x. ) Tulis ( tan ^ 4x = ( tan ^ 2x) ^ 2 ).

(∫ tan ^ 5x sec ^ 3x , dx = ∫ ( tan ^ 2x) ^ 2sec ^ 2x sec x tan x , dx ) Gunakan ( tan ^ 2x = sec ^ 2x− 1. )

(= ∫ ( sec ^ 2x − 1) ^ 2 sec ^ 2x sec x tan x , dx ) Biarkan (u = sec x ) dan (du = sec x tan x , dx ).

(= ∫ (u ^ 2−1) ^ 2u ^ 2du ) Kembangkan.

(= ∫ (u ^ 6−2u ^ 4 + u ^ 2) du ) Gabungkan.

(= frac {1} {7} u ^ 7− frac {2} {5} u ^ 5 + frac {1} {3} u ^ 3 + C ) Pengganti ( sec x = u . )

(= frac {1} {7} sec ^ 7x− frac {2} {5} sec ^ 5x + frac {1} {3} sec ^ 3x + C )

Contoh ( PageIndex {10} ): Mengintegrasikan (∫ tan ^ kx , dx ) di mana (k ) adalah Ganjil dan (k≥3 )

Nilaikan ( displaystyle ∫ tan ^ 3x , dx. )

Penyelesaian

Mulakan dengan menulis semula ( tan ^ 3x = tan x tan ^ 2x = tan x ( sec ^ 2x − 1) = tan x sec ^ 2x− tan x. ) Oleh itu,

(∫ tan ^ 3x , dx = ∫ ( tan x sec ^ 2x− tan x) , dx )

(= ∫ tan x sec ^ 2x , dx − ∫ tan x , dx )

(= frac {1} {2} tan ^ 2x− ln | sec x | + C. )

Untuk kamiran pertama, gunakan penggantian (u = tan x. ) Untuk kamiran kedua, gunakan formula.

Contoh ( PageIndex {11} ): Mengintegrasikan ( displaystyle ∫ sec ^ 3x , dx )

Gabungkan ( displaystyle ∫ sec ^ 3x , dx. )

Penyelesaian

Integrasi ini memerlukan penyatuan oleh bahagian. Untuk memulakan, biarkan (u = sec x ) dan (dv = sec ^ 2x ). Pilihan ini menjadikan (du = sec x tan x ) dan (v = tan x ). Oleh itu,

(∫ sec ^ 3x , dx = sec x tan x − ∫ tan x sec x tan x , dx )

(= sec x tan x − ∫ tan ^ 2x sec x , dx ) Permudahkan.

(= sec x tan x − ∫ ( sec ^ 2x − 1) sec x , dx ) Pengganti ( tan ^ 2x = sec ^ 2x − 1. )

(= sec x tan x + ∫ sec x , dx − ∫ sec ^ 3x , dx ) Tulis semula.

(= sec x tan x + ln | sec x + tan x | −∫ sec ^ 3x , dx. ) Nilaikan (∫ sec x , dx. )

Kami kini mempunyai

[∫ sec ^ 3x , dx = sec x tan x + ln | sec x + tan x | −∫ sec ^ 3x , dx. Nonumber ]

Oleh kerana integral ( displaystyle ∫ sec ^ 3x , dx ) telah muncul kembali di sebelah kanan, kita dapat menyelesaikannya ( displaystyle ∫ sec ^ 3x , dx ) dengan menambahkannya ke kedua sisi . Dengan berbuat demikian, kita memperoleh

[2∫ sec ^ 3x , dx = sec x tan x + ln | sec x + tan x |. Nonumber ]

Membahagi dengan 2, kami tiba di

[∫ sec ^ 3x , dx = frac {1} {2} sec x tan x + frac {1} {2} ln | sec x + tan x | + C bukan nombor ]

Latihan ( PageIndex {8} )

Nilaikan ( displaystyle ∫ tan ^ 3x sec ^ 7x , dx. )

Petunjuk

Gunakan Contoh ( PageIndex {9} ) sebagai panduan.

Jawapan

( displaystyle ∫ tan ^ 3x sec ^ 7x , dx = frac {1} {9} sec ^ 9x− frac {1} {7} sec ^ 7x + C )

Formula Pengurangan

Menilai ( displaystyle ∫ sec ^ nx , dx ) untuk nilai (n ) di mana (n ) ganjil memerlukan penyatuan oleh bahagian. Selain itu, kita juga mesti mengetahui nilai ( displaystyle ∫ sec ^ {n − 2} x , dx ) untuk menilai ( displaystyle ∫ sec ^ nx , dx ). Penilaian ( displaystyle ∫ tan ^ nx , dx ) juga memerlukan dapat mengintegrasikan ( displaystyle ∫ tan ^ {n − 2} x , dx ). Untuk mempermudah prosesnya, kita dapat memperoleh dan menggunakan formula pengurangan kuasa berikut. Peraturan ini membolehkan kita mengganti integral kekuatan ( sec x ) atau ( tan x ) dengan kamiran kekuatan yang lebih rendah ( sec x ) atau ( tan x. )

Peraturan: Rumus Pengurangan untuk (∫ sec ^ nx , dx ) dan (∫ tan ^ nx , dx )

[∫ sec ^ nx , dx = frac {1} {n − 1} sec ^ {n − 2} x tan x + frac {n − 2} {n − 1} ∫ sec ^ { n − 2} x , dx ]

[∫ tan ^ n x , dx = frac {1} {n − 1} tan ^ {n − 1} x − ∫ tan ^ {n − 2} x , dx ]

Peraturan pengurangan kuasa pertama dapat disahkan dengan menerapkan integrasi oleh bahagian. Yang kedua dapat disahkan dengan mengikuti strategi yang digariskan untuk menyatukan kekuatan ganjil ( tan x. )

Contoh ( PageIndex {12} ): Meninjau semula (∫ sec ^ 3x , dx )

Gunakan formula pengurangan untuk menilai ( displaystyle ∫ sec ^ 3x , dx. )

Penyelesaian: Dengan menggunakan formula pengurangan pertama, kita memperoleh

(∫ sec ^ 3x , dx = frac {1} {2} sec x tan x + frac {1} {2} ∫ sec x , dx )

(= frac {1} {2} sec x tan x + frac {1} {2} ln | sec x + tan x | + C. )

Contoh ( PageIndex {13} ): Menggunakan Formula Pengurangan

Nilaikan ( displaystyle ∫ tan ^ 4x , dx. )

Penyelesaian: Menggunakan formula pengurangan untuk (∫ tan ^ 4x , dx ) yang kita ada

(∫ tan ^ 4x , dx = frac {1} {3} tan ^ 3x − ∫ tan ^ 2x , dx )

(= frac {1} {3} tan ^ 3x - ( tan x − ∫ tan ^ 0x , dx) ) Terapkan formula pengurangan ke (∫ tan ^ 2x , dx. )

(= frac {1} {3} tan ^ 3x− tan x + ∫1 , dx ) Permudahkan.

(= frac {1} {3} tan ^ 3x− tan x + x + C ) Nilaikan (∫1 , dx )

Latihan ( PageIndex {9} )

Gunakan formula pengurangan pada ( displaystyle ∫ sec ^ 5x , dx. )

Petunjuk

Gunakan formula pengurangan 1 dan biarkan (n = 5. )

Jawapan

( displaystyle ∫ sec ^ 5x , dx = frac {1} {4} sec ^ 3x tan x + frac {3} {4} ∫ sec ^ 3x )

Konsep kunci

  • Integrasi fungsi trigonometri dapat dinilai dengan menggunakan pelbagai strategi. Strategi ini merangkumi
  1. Menerapkan identiti trigonometri untuk menulis semula kamiran sehingga dapat dinilai oleh (u ) - penggantian
  2. Menggunakan integrasi mengikut bahagian
  3. Menerapkan identiti trigonometri untuk menulis semula produk sinus dan kosinus dengan argumen yang berbeza sebagai jumlah fungsi sinus dan kosinus individu
  4. Mengamalkan formula pengurangan

Persamaan Utama

Untuk mengintegrasikan produk yang melibatkan ( sin (ax), , sin (bx), , cos (ax), ) dan ( cos (bx), ) gunakan pengganti.

  • Produk sinus

( sin (ax) sin (bx) = frac {1} {2} cos ((a − b) x) - frac {1} {2} cos ((a + b) x) )

  • Produk Sinus dan Kosinus

( sin (ax) cos (bx) = frac {1} {2} sin ((a − b) x) + frac {1} {2} sin ((a + b) x) )

  • Produk Kosin

( cos (ax) cos (bx) = frac {1} {2} cos ((a − b) x) + frac {1} {2} cos ((a + b) x) )

  • Formula Pengurangan Kuasa

( displaystyle ∫ sec ^ nx , dx = frac {1} {n − 1} sec ^ {n − 2} x tan x + frac {n − 2} {n − 1} ∫ sec ^ {n − 2} x , dx )

  • Formula Pengurangan Kuasa

( displaystyle ∫ tan ^ nx , dx = frac {1} {n − 1} tan ^ {n − 1} x − ∫ tan ^ {n − 2} x , dx )

Glosari

formula pengurangan kuasa
suatu peraturan yang membolehkan suatu integral dari suatu kekuatan fungsi trigonometri ditukar dengan suatu integral yang melibatkan daya yang lebih rendah
kamiran trigonometri
kamiran yang melibatkan kuasa dan produk fungsi trigonometri

2.3: Integrasi Trigonometri - Matematik

Bahagian ini akan mengkaji integrasi fungsi trigonometri menggunakan identiti trigonometri asas. Juga, tiga jenis penggantian trigonometri diperkenalkan untuk membantu mengintegrasikan fungsi trigonometri kompleks.

Untuk memulakan, fungsi sinus dan kosinus asas perlu disatukan. Pada bahagian sebelumnya, derivatif fungsi trigonometri diperkenalkan. Sebagai contoh,

Menggabungkan kedua-dua sisi persamaan di atas memberikan,

Persamaan di atas bermaksud integral kosinus adalah sinus. Dengan cara yang serupa, integral sinus adalah kosinus negatif.

Begitu juga, fungsi trigonometri asas lain juga dapat disatukan untuk memberikan:


Integrasi dosa 2 x cos 3 x

Identiti trigonometri asas di atas digunakan untuk mengintegrasikan kombinasi fungsi trigonometri tertentu. Jenis pertama gabungan fungsi trigonometri adalah kekuatan sinus dan kosinus.

Strategi umum berikut digunakan dalam menilai integral bentuk, di mana bilangan bulat.

    Sekiranya n adalah ganjil (n = 2k + 1, di mana k adalah integer), buat penggantian cos 2 x = 1 - sin 2 x.


Integrasi dosa 2 x cos 2 x

    Sekiranya kedua-dua m dan n sama, buat penggantian identiti sudut separuh

sin 2 x = 1/2 (1 - cos2x)
cos 2 x = 1/2 (1 + cos2x)


Penggabungan tan 3 x saat 4 x

Jenis kedua gabungan fungsi trigonometri adalah kekuatan tangen dan seketul.

Strategi umum berikut digunakan dalam menilai integral bentuk, di mana bilangan bulat.

    Sekiranya n genap (n = 2k, di mana k adalah integer), buat penggantian sec 2 x = 1 + tan 2 x dan gantikan u = tan x.

Jenis ketiga gabungan fungsi trigonometri adalah pengeluaran sinus dan kosinus.

Identiti berikut digunakan untuk menilai gabungan mempunyai tingkatan 3.

  • sin mx cos nx = 1/2 (sin (m - n) x + sin (m + n) x)
  • sin mx sin nx = 1/2 (cos (m - n) x - cos (m + n) x)
  • cos mx cos nx = 1/2 (cos (m - n) x + cos (m + n) x)
    Rajah di sebelah kiri menunjukkan integrasi sin2xcos3x.

Integrasi sin2 x cos3 x

Apabila integral bentuk muncul, di mana a adalah pemalar, penggantian u = a 2 + x 2 sukar digunakan kerana tanda akar. Sekiranya menukar pemboleh ubah x ke & theta dengan penggantian x = asin & theta, kemudian menggunakan identiti 1 - sin 2 & theta = cos 2 & theta, tanda akar dapat disingkirkan. Kaedah ini dipanggil penggantian trigonometri. Terdapat tiga jenis penggantian trigonometri utama.

Jenis 1: Sekiranya berlaku integrand, maka ganti x = tan & theta, & theta terletak di (- & pi / 2, & pi / 2).

Jenis 2: Sekiranya berlaku dalam integrand, maka gantikan x = sin & theta, & theta terletak pada [- & pi / 2, & pi / 2].

Jenis 3: Sekiranya berlaku integrand, maka ganti x = a sec & theta, & theta terletak pada [0, & pi / 2) atau [- & pi, 3 & pi / 2).


2.3: Integrasi Trigonometri - Matematik

Anda akan padamkan kerja anda mengenai aktiviti ini. Adakah anda pasti mahu melakukan ini?

Versi yang dikemas kini tersedia

Ada satu versi yang dikemas kini aktiviti ini. Sekiranya anda mengemas kini ke versi terbaru aktiviti ini, maka kemajuan semasa anda dalam aktiviti ini akan terhapus. Walau apa pun, rekod penyelesaian anda akan tetap ada. Bagaimana anda mahu meneruskan?

Penyunting Ekspresi Matematik

Kita boleh menggunakan penggantian dan identiti trigonometri untuk mencari antiderivatif jenis fungsi trigonometri tertentu.

Penawar fungsi trigonometri lain

Kita dapat menentukan antivirus dan mudah dari formula untuk turunannya, tetapi bagaimana kita membuat formula yang lain?

Dengan menetapkan, kita dapati dan dengan demikian:

Menggunakan sifat logaritma, diikuti oleh fakta yang memberikan:

Sekarang kita melihat alasan di sebalik mengalikan bahagian atas dan bawah dengan. Derivatif dari penyebut integrand tepatnya pengangka.

Sekiranya kita membiarkannya dan dengan demikian integral kita menjadi

Rumus untuk penawar dan didapati secara analog.

Integriti yang melibatkan produk dan

Kita mulakan dengan contoh mudah:

Dalam contoh ini, kami melihat bahawa penggantian sangat membantu. Sebelumnya, kami melihat bahawa terdapat dua contoh biasa di mana penggantian dapat membantu untuk mengira antivirus:

    Sebaik sahaja kita menukar pemboleh ubah, ungkapan yang tersisa dalam pemboleh ubah lama adalah sebahagian daripada perbezaan yang baru. Contohnya, pertimbangkan:

Dengan menetapkan, jadi integral asal adalah sebahagian daripada pembezaan baru dan:

Dengan menetapkan, jadi integral asal adalah sebahagian daripada pembezaan baru dan:

di mana kita telah menggunakan fakta bahawa pada langkah terakhir di atas. Perhatikan bahawa kita dapat melakukan ini integral terakhir menggunakan integrasi mengikut bahagian!

Ini menyoroti strategi yang akan kita gunakan dalam bahagian ini untuk membiarkan salah satu fungsi trigonometri menjadi pemboleh ubah baru kita, dan menyatakan ekspresi yang tersisa dengan mudah dari segi itu.

Kami dapat menggunakan identiti ini untuk menulis semula dalam kamiran kami sehingga menjadi: Sekarang strategi yang sama yang kami gunakan dalam contoh pertama bahagian ini akan berfungsi. Kita boleh melakukan penggantian. Kami dapati, sehingga integral menjadi:

Menyelesaikan kamiran ini kita dapat

Perhatikan bahawa jika kita membiarkannya, kita harus menyimpan salinan untuk pembezaan. Ini meninggalkan tiga kekuatan kiri! Kita pasti dapat menggunakan identiti Pythagoras dari sebelumnya untuk menulis:

Sekiranya, kita dapati, dan dari atas kita dapat menulis integral asalnya sebagai:

Perpaduan ini dapat dinilai dengan penggantian lain dan beberapa aljabar, tetapi pastinya lebih memakan masa daripada pendekatan pertama!

Kita boleh membuat pemerhatian yang berguna dari contoh ini. Unggul kami sebelumnya melibatkan kuasa dan. Kami mengupas salinan turunan dari apa yang ingin kami gunakan. Sekiranya ini meninggalkan bilangan genap fungsi trigonometri yang lain, kita boleh menggunakan identiti Pythagoras untuk menulis kekuatan yang lain dari fungsi trigonometri yang lain dari segi.

Dalam contoh sebelumnya, kekuatan kosinus adalah ganjil, dan untuk contoh lain, selagi kekuatan dalam kamiran asli adalah ganjil, maka kita dapat mengupas istilah yang akan digunakan dan kemudian membiarkan untuk menyatakan bilangan bulat dalam istilah daripada. Pendekatan umum ini dinyatakan dengan lebih terperinci dalam latihan, tetapi buat masa ini mari kita cuba contoh lain.

Sekiranya kita mencuba, kita dapati bahawa kita memerlukan faktor perbezaan, yang meninggalkan 1 kekuatan kiri, jadi menggunakan identiti Pythagoras akan menghasilkan gabungan yang tidak menyenangkan. Walau bagaimanapun, jika kita mencuba, kita dapati bahawa kita memerlukan faktor perbezaan, yang meninggalkan empat kekuatan kiri. Kami boleh menulis semula ini secara mencabar sebagai:

Sekarang dengan menggunakan identiti Pythagoras kita dapat menulis semula semuanya dari segi, tetapi mempunyai satu kekuatan untuk membantu pembezaan dalam penggantian pemboleh ubah akhirnya:

hasil Ini adalah polinomial in, dan oleh itu kita dapat menyelesaikan integrasi dengan mudah dengan hanya memperluas polinomial dan mengintegrasikan term-by-term. Tulis dengan saya


Matematik Lanjutan STPM T

Derivatif dan gabungan dari fungsi trigonometri dibahas dalam Matematik T. Oleh itu, dalam bahagian ini, saya & # 8217 hanya akan mengajar anda bagaimana membezakannya fungsi trigonometri songsang. Amaran di sini ialah anda mesti mempelajari bab ini Kesepaduan (terutamanya bahagian di penyatuan mengikut bahagian) dalam Matematik T sebelum anda masuk ke bahagian ini, jika tidak anda akan benar-benar keliru.

Untuk mencari turunan dari dosa -1 x, kita perlu memanfaatkan pengetahuan kita untuk membezakan fungsi secara tersirat. Kami membiarkan x = dosa y . Membezakan fungsi secara tersirat, kita ada

Dari sini, anda dapat membuat kesimpulan bahawa turunan turunan fungsi trigonometri songsang harus mengikuti peraturan yang sama, iaitu membezakan fungsi secara tersirat, kemudian memanfaatkan identiti trigonometri mereka. Senarai turunan dari semua fungsi trigonometri songsang adalah seperti berikut:

di mana a adalah pemalar. Anda harus cuba membuktikan setiap satu sebagai latihan.

Anda harus berusaha membezakan fungsi ini dengan pemboleh ubah rumit menggunakan semua peraturan pembezaan yang anda pelajari. Sebagai contoh,

Perhatikan bahawa setelah anda membezakan fungsi trigonometri terbalik, ia menjadi pecahan polinomial. Jangan bimbang tentang anti-derivatif fungsi polinomial terbalik ini sekarang, kerana saya akan memberikan jadual ringkasan pada bahagian di Formula Pengurangan.

Walau bagaimanapun, saya ingin membincangkan mengenai anti-derivatif fungsi trigonometri songsang itu sendiri. Sebagai contoh, saya ingin mencari

Untuk melakukan ini, anda perlu memanfaatkannya penyatuan mengikut bahagian. Sekiranya anda mengikuti formula dalam lembaran formula Maths T, itu akan menjadi

Walau bagaimanapun, saya mencadangkan agar anda menggunakan formula ini yang membuat anda lebih mudah mengingat:

Sebelum saya teruskan, izinkan saya menerangkan formula ini. Biasanya, anda hanya menggunakan integrasi dengan bahagian apabila anda cuba mengintegrasikan produk dengan 2 fungsi, yang kemungkinan besar logaritma, eksponen, polinomial dan fungsi trigonometri. Oleh itu, anda membiarkan satu fungsi berlaku awak, dan fungsi yang lain v. Perhatikan bahawa v mestilah fungsi yang senang disatukan, sementara awak mesti menjadi yang lain yang sukar untuk disatukan / senang dibezakan. Dengan kata lain, formula ini boleh dibaca sebagai

& # 8220Persatuan u & # 215 v = [ awak & # 215 menyatukan v ] & # 8211 penyatuan (bezakan awak & # 215 menyatukan v)”

Sudahlah jika anda tidak mendapatkannya, selagi anda mempunyai versi I oleh P. anda sendiri. dosa -1 x, kita biarkan awak = dosa -1 x, dan v = 1. Kami ada

Dapatkannya? Jadi petua penting untuk soalan ini adalah meletakkan v = 1 (anda mungkin ingat bahawa ini adalah kaedah yang anda gunakan untuk menyatukan ln x). Jadi selebihnya fungsi, setelah integrasi memberi

Cuba anggap semua itu sebagai latihan. Perhatikan bahawa istilah ln [x + & # 8730 (x 2 & # 8211 1)] sebenarnya adalah cosh -1 x fungsi.

Lakukan banyak amalan mengenai perkara ini. Terdapat banyak soalan peperiksaan mengenai integrasi dan pembezaan, yang menggabungkan pelbagai fungsi bersama-sama. Anda mungkin tidak mahu melakukan kesalahan dan kehilangan markah. & # 9786


Definisi kamiran yang berbeza adalah

Perhatikan bahawa dosa integrand xx adalah fungsi sink, dan juga fungsi Bessel sfera sifar. Oleh kerana sink adalah fungsi yang sama rata (holomorfik di seluruh satah kompleks), Si adalah keseluruhan, ganjil, dan integral dalam definisinya dapat diambil sepanjang jalan yang menghubungkan titik akhir.

Secara definisi, Si (x) adalah penawar dosa x / x yang nilainya sifar pada x = 0, dan si (x) adalah antivirus yang nilainya sifar pada x = ∞. Perbezaan mereka diberikan oleh Dirichlet integral,

Dalam pemprosesan isyarat, ayunan integral sinus menyebabkan artifak overhoot dan dering ketika menggunakan saringan sip, dan deringan domain frekuensi jika menggunakan saringan sipi terpotong sebagai penapis lulus rendah.

Berkaitan adalah fenomena Gibbs: Jika integral sinus dianggap sebagai konvolusi fungsi sink dengan fungsi langkah berat, ini sesuai dengan pemotongan siri Fourier, yang merupakan penyebab fenomena Gibbs.

Takrif kamiran yang berbeza adalah

di mana γ ≈ 0,57721566. ialah pemalar Euler – Mascheroni. Beberapa teks menggunakan ci dan bukannya Ci.

Ci (x) adalah penawar dari kos x / x (yang hilang sebagai x → ∞ < displaystyle x to infty>). Kedua-dua definisi tersebut dihubungkan oleh

Cin adalah fungsi yang sekata. Atas sebab itu, beberapa teks menganggap Cin sebagai fungsi utama, dan memperoleh Ci dari segi Cin.

Integral sinus hiperbolik ditakrifkan sebagai

Ia berkaitan dengan sinus biasa yang tidak terpisahkan oleh

Ia mempunyai pengembangan siri

Integrasi trigonometri dapat difahami dari segi apa yang disebut sebagai "fungsi bantu"

Dengan menggunakan fungsi-fungsi ini, integral trigonometri dapat dinyatakan kembali sebagai (lih. Abramowitz & amp Stegun, hlm. 232)

Spiral yang dibentuk oleh plot parametrik si, ci dikenali sebagai spiral Nielsen.

Spiral berkait rapat dengan integral Fresnel dan spiral Euler. Spiral Nielsen mempunyai aplikasi dalam pemrosesan penglihatan, pembinaan jalan dan trek dan bidang lain. [1]

Pelbagai pengembangan dapat digunakan untuk penilaian integrasi trigonometri, bergantung pada jangkauan argumen.

Siri asimptotik (untuk hujah besar) Edit

Siri ini asimtotik dan berbeza, walaupun dapat digunakan untuk anggaran dan bahkan penilaian tepat pada ℜ (x) ≫ 1 .

Suntingan siri konvergen

Siri ini bertumpu pada x kompleks apa pun, walaupun untuk | x | ≫ 1, siri ini akan berkumpul secara perlahan pada mulanya, memerlukan banyak istilah untuk ketepatan tinggi.

Derivasi Pengembangan Pengembangan Siri

dipanggil integral eksponensial. Ini berkait rapat dengan Si dan Ci,

Oleh kerana setiap fungsi masing-masing bersifat analitik kecuali untuk pemotongan pada nilai negatif dari argumen, bidang kesahan hubungan harus diperluas ke (Di luar julat ini, syarat tambahan yang merupakan faktor integer π muncul dalam ungkapan.)

Kes-kes argumen khayalan fungsi integro-eksponensial umum adalah

yang merupakan bahagian sebenar dari

Pendekatan Padé dari siri Taylor konvergen memberikan cara yang cekap untuk menilai fungsi untuk argumen kecil. Rumus berikut, diberikan oleh Rowe et al. (2015), [2] tepat hingga lebih baik daripada 10 −16 untuk 0 ≤ x ≤ 4 ,

Si ⁡ (x) ≈ x ⋅ (1 - 4.54393409816329991 ⋅ 10 - 2 ⋅ x 2 + 1.15457225751016682 ⋅ 10 - 3 ⋅ x 4 - 1.41018536821330254 ⋅ 10 - 5 ⋅ x 6 + 9.43280809438713025 ⋅ 10 - 8 ⋅ x 8997167 - 10 ⋅ x 10 + 7.08240282274875911 ⋅ 10 - 13 ⋅ x 12 - 6.05338212010422477 ⋅ 10 - 16 ⋅ x 14 1 + 1.01162145739225565 ⋅ 10 - 2 ⋅ x 2 + 4.99175116169755106 ⋅ 10 - 5 ⋅ x 4 + 1.55658 6 + 3.28067571055789734 ⋅ 10 - 10 ⋅ x 8 + 4.5049097575386581 ⋅ 10 - 13 ⋅ x 10 + 3.21107051193712168 ⋅ 10 - 16 ⋅ x 12) Ci ⁡ (x) ≈ γ + ln ⁡ (x) + x 2 ⋅ (- 0.25 + 7.51851524438898291 ⋅ 10 - 3 ⋅ x 2 - 1.27528342240267686 ⋅ 10 - 4 ⋅ x 4 + 1.05297363846239184 ⋅ 10 - 6 ⋅ x 6 - 4.68889508144848019 ⋅ 10 - 9 ⋅ x 8 + 1.06480802891189243 48 10 11 10 11 10 48 10 48 10 11 10 11 10 11 10 11 10 11 10 11 10 11 10 11 10 11 10 11 10 11 10 11 10 11 10 11 10 11 1010 ⋅ x 12 1 + 1.1592605689110735 ⋅ 10 − 2 ⋅ x 2 + 6.72126800814254432 ⋅ 10 − 5 ⋅ x 4 + 2.55533277086129636 ⋅ 10 − 7 ⋅ x 6 + 6.97071295760958946 ⋅ 10 − 10 ⋅ x 8 + 1.38536352772778619 ⋅ 10 − 12 ⋅ x 10 + 1.89106054713059759 ⋅ 10 − 15 ⋅ x 12 + 1.39759616731376855 ⋅ 10 − 18 ⋅ x 14 ) operatorname (x)&approx &xcdot left(1-4.54393409816329991cdot 10^<-2>cdot x^<2>+1.15457225751016682cdot 10^<-3>cdot x^<4>-1.41018536821330254cdot 10^<-5>cdot x^<6>

+9.43280809438713025cdot 10^<-8>cdot x^<8>-3.53201978997168357cdot 10^<-10>cdot x^<10>+7.08240282274875911cdot 10^<-13>cdot x^<12>

-6.05338212010422477cdot 10^<-16>cdot x^<14>end><egin1+1.01162145739225565cdot 10^<-2>cdot x^<2>+4.99175116169755106cdot 10^<-5>cdot x^<4>+1.55654986308745614cdot 10^<-7>cdot x^<6>

+3.28067571055789734cdot 10^<-10>cdot x^<8>+4.5049097575386581cdot 10^<-13>cdot x^<10>+3.21107051193712168cdot 10^<-16>cdot x^<12>end>> ight)&

&operatorname (x)&approx &gamma +ln(x)+&&x^<2>cdot left(-0.25+7.51851524438898291cdot 10^<-3>cdot x^<2>-1.27528342240267686cdot 10^<-4>cdot x^<4>+1.05297363846239184cdot 10^<-6>cdot x^<6>

-4.68889508144848019cdot 10^<-9>cdot x^<8>+1.06480802891189243cdot 10^<-11>cdot x^<10>-9.93728488857585407cdot 10^<-15>cdot x^<12>end><egin1+1.1592605689110735cdot 10^<-2>cdot x^<2>+6.72126800814254432cdot 10^<-5>cdot x^<4>+2.55533277086129636cdot 10^<-7>cdot x^<6>

+6.97071295760958946cdot 10^<-10>cdot x^<8>+1.38536352772778619cdot 10^<-12>cdot x^<10>+1.89106054713059759cdot 10^<-15>cdot x^<12>

The integrals may be evaluated indirectly via auxiliary functions f ( x ) and g ( x ) , which are defined by

f ( x ) ≈ 1 x ⋅ ( 1 + 7.44437068161936700618 ⋅ 10 2 ⋅ x − 2 + 1.96396372895146869801 ⋅ 10 5 ⋅ x − 4 + 2.37750310125431834034 ⋅ 10 7 ⋅ x − 6 + 1.43073403821274636888 ⋅ 10 9 ⋅ x − 8 + 4.33736238870432522765 ⋅ 10 10 ⋅ x − 10 + 6.40533830574022022911 ⋅ 10 11 ⋅ x − 12 + 4.20968180571076940208 ⋅ 10 12 ⋅ x − 14 + 1.00795182980368574617 ⋅ 10 13 ⋅ x − 16 + 4.94816688199951963482 ⋅ 10 12 ⋅ x − 18 − 4.94701168645415959931 ⋅ 10 11 ⋅ x − 20 1 + 7.46437068161927678031 ⋅ 10 2 ⋅ x − 2 + 1.97865247031583951450 ⋅ 10 5 ⋅ x − 4 + 2.41535670165126845144 ⋅ 10 7 ⋅ x − 6 + 1.47478952192985464958 ⋅ 10 9 ⋅ x − 8 + 4.58595115847765779830 ⋅ 10 10 ⋅ x − 10 + 7.08501308149515401563 ⋅ 10 11 ⋅ x − 12 + 5.06084464593475076774 ⋅ 10 12 ⋅ x − 14 + 1.43468549171581016479 ⋅ 10 13 ⋅ x − 16 + 1.11535493509914254097 ⋅ 10 13 ⋅ x − 18 ) g ( x ) ≈ 1 x 2 ⋅ ( 1 + 8.1359520115168615 ⋅ 10 2 ⋅ x − 2 + 2.35239181626478200 ⋅ 10 5 ⋅ x − 4 + 3.12557570795778731 ⋅ 10 7 ⋅ x − 6 + 2.06297595146763354 ⋅ 10 9 ⋅ x − 8 + 6.83052205423625007 ⋅ 10 10 ⋅ x − 10 + 1.09049528450362786 ⋅ 10 12 ⋅ x − 12 + 7.57664583257834349 ⋅ 10 12 ⋅ x − 14 + 1.81004487464664575 ⋅ 10 13 ⋅ x − 16 + 6.43291613143049485 ⋅ 10 12 ⋅ x − 18 − 1.36517137670871689 ⋅ 10 12 ⋅ x − 20 1 + 8.19595201151451564 ⋅ 10 2 ⋅ x − 2 + 2.40036752835578777 ⋅ 10 5 ⋅ x − 4 + 3.26026661647090822 ⋅ 10 7 ⋅ x − 6 + 2.23355543278099360 ⋅ 10 9 ⋅ x − 8 + 7.87465017341829930 ⋅ 10 10 ⋅ x − 10 + 1.39866710696414565 ⋅ 10 12 ⋅ x − 12 + 1.17164723371736605 ⋅ 10 13 ⋅ x − 14 + 4.01839087307656620 ⋅ 10 13 ⋅ x − 16 + 3.99653257887490811 ⋅ 10 13 ⋅ x − 18 ) f(x)&approx &>cdot left(1+7.44437068161936700618cdot 10^<2>cdot x^<-2>+1.96396372895146869801cdot 10^<5>cdot x^<-4>+2.37750310125431834034cdot 10^<7>cdot x^<-6>

+1.43073403821274636888cdot 10^<9>cdot x^<-8>+4.33736238870432522765cdot 10^<10>cdot x^<-10>+6.40533830574022022911cdot 10^<11>cdot x^<-12>

+4.20968180571076940208cdot 10^<12>cdot x^<-14>+1.00795182980368574617cdot 10^<13>cdot x^<-16>+4.94816688199951963482cdot 10^<12>cdot x^<-18>

-4.94701168645415959931cdot 10^<11>cdot x^<-20>end><egin1+7.46437068161927678031cdot 10^<2>cdot x^<-2>+1.97865247031583951450cdot 10^<5>cdot x^<-4>+2.41535670165126845144cdot 10^<7>cdot x^<-6>

+1.47478952192985464958cdot 10^<9>cdot x^<-8>+4.58595115847765779830cdot 10^<10>cdot x^<-10>+7.08501308149515401563cdot 10^<11>cdot x^<-12>

+5.06084464593475076774cdot 10^<12>cdot x^<-14>+1.43468549171581016479cdot 10^<13>cdot x^<-16>+1.11535493509914254097cdot 10^<13>cdot x^<-18>end>> ight)&&g(x)&approx &>>cdot left(1+8.1359520115168615cdot 10^<2>cdot x^<-2>+2.35239181626478200cdot 10^<5>cdot x^<-4>+3.12557570795778731cdot 10^<7>cdot x^<-6>

+2.06297595146763354cdot 10^<9>cdot x^<-8>+6.83052205423625007cdot 10^<10>cdot x^<-10>+1.09049528450362786cdot 10^<12>cdot x^<-12>

+7.57664583257834349cdot 10^<12>cdot x^<-14>+1.81004487464664575cdot 10^<13>cdot x^<-16>+6.43291613143049485cdot 10^<12>cdot x^<-18>

-1.36517137670871689cdot 10^<12>cdot x^<-20>end><egin1+8.19595201151451564cdot 10^<2>cdot x^<-2>+2.40036752835578777cdot 10^<5>cdot x^<-4>+3.26026661647090822cdot 10^<7>cdot x^<-6>

+2.23355543278099360cdot 10^<9>cdot x^<-8>+7.87465017341829930cdot 10^<10>cdot x^<-10>+1.39866710696414565cdot 10^<12>cdot x^<-12>

+1.17164723371736605cdot 10^<13>cdot x^<-14>+4.01839087307656620cdot 10^<13>cdot x^<-16>+3.99653257887490811cdot 10^<13>cdot x^<-18>end>> ight)end>>


2.3: Trigonometric Integrals - Mathematics

You are about to erase your work on this activity. Are you sure you want to do this?

Updated Version Available

There is an updated version of this activity. If you update to the most recent version of this activity, then your current progress on this activity will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?

Mathematical Expression Editor

We define and discuss the complex trigonometric functions.

The Complex Cosine

The series of interest are:

and the sum identity for the cosine is: We get the ball rolling by allowing an imaginary term in the sum identity: Next, we define the sine and cosine of a purely imaginary angle using their respective power series: and These power series can be simplified into hyperbolic functions (!) by noting that for all : and

Substituting these into the sum identity establishes We use this as our definition of the complex cosine.

The Complex Sine

Based on the results obtained in the method for defining the complex cosine, which of the following is the definition of the complex sine function ?

Identiti

Periodicity

Since the real sine and cosine functions are periodic, so are their complex extenstions.

Evenness and Oddness

Recall that and are odd functions and that and are even functions. As a result, is an odd function and is an even function.

The evenness of the complex cosine is demonstrated similarly (verify).

Shift by

Relation to the Complex Exponential

The result follows by dividing by . The proof of the second equation is similar (verify).

Co-functions

Sum and Difference Identities

The second equation follows from the first by replacing with and using evenness and oddness. The third and fourth equations are proved in the same manner as the first and second (verify).

The Other Trig functions

The other four trigonometric functions are defined in terms of the sine and cosine.


Pengenalan

Trigonometric substitutions are a specific type of u u u -substitutions and rely heavily upon techniques developed for those.

Where applicable, the sign of the square root may be determined by the value of θ heta θ .

One of the most common and direct applications is the integration of the reciprocal of a quadratic function.

In general, tangent or cotangent substitutions help a lot with the integration of rational functions, especially those with denominators of even degree. This concept is further explored below in the section on rational functions.

Trigonometric substitutions also help integrate certain types of radical functions, especially those involving square roots of quadratic functions. In fact, this technique may provide a verification of the well-known formula for the area of a circle.


Integration by Trigonometric Substitution

By completing the square,
#t^2-6t+13=(t^2-6t+9)+4=(t-3)^2+2^2#

So, we can rewrite the integral as
#int

/>#

Let #t-3=2tan theta# .
#Rightarrow

/=2sec^2 theta Rightarrow dt=2sec^2 theta d theta#

In general trigonometric substitutions are useful to solve the integrals of algebraic functions containing radicals in the form #sqrt(x^2+-a^2)# or #sqrt(a^2+-x^2)# . Consider the different cases:

A. Let #f(x)# be a rational function of #x# and #sqrt(x^2+a^2)# :

#int f(x)dx = int R(x, sqrt(x^2+a^2))dx#

Substitute: #x = atant# , #dx = asec^2tdt# with #t in (-pi/2,pi/2)# and use the trigonometric identity:

Considering that for #t in (-pi/2,pi/2)# the secant is positive:

#int f(x)dx = int R(atant, asect)sec^2t dt#

B. Let #f(x)# be a rational function of #x# and #sqrt(x^2-a^2)# :

#int f(x)dx = int R(x, sqrt(x^2-a^2))dx#

Restrict the function to #x in (a,+oo)# and substitute: #x = asect# , #dx = asect tantdt# with #t in (0,pi/2)# and use the trigonometric identity:

Considering that for #t in (0,pi/2)# the tangent is positive:

#int f(x)dx = int R(asect, atant)sect tant dt#

Normally you can see by differentiation that the solution that is found is valid also for #x in (-oo, -a)#

C. Let #f(x)# be a rational function of #x# and #sqrt(a^2-x^2)# :

#int f(x)dx = int R(x, sqrt(a^2-x^2))dx#

Substitute: #x = a sint# , #dx = a cost # with #t in (-pi/2,pi/2)# and use the trigonometric identity:


Welcome!

This is one of over 2,400 courses on OCW. Explore materials for this course in the pages linked along the left.

MIT OpenCourseWare is a free & open publication of material from thousands of MIT courses, covering the entire MIT curriculum.

No enrollment or registration. Freely browse and use OCW materials at your own pace. There's no signup, and no start or end dates.

Knowledge is your reward. Use OCW to guide your own life-long learning, or to teach others. We don't offer credit or certification for using OCW.

Made for sharing. Download files for later. Send to friends and colleagues. Modify, remix, and reuse (just remember to cite OCW as the source.)


Latihan

Integrate each of the given functions:

Latihan 1

Recall that `sin 2x = 2 sin x cos x`

`int(sin 2x)/(cos^2x)dx=int(2 sin x cos x)/(cos^2x)dx`

Latihan 2

`int_(pi//4)^(pi//3)(1+sec x)^2dx =int_(pi//4)^(pi//3)(1+2 sec x+sec^2 x)dx`

This is the curve `y=(1+sec x)^2`:

The shaded region represents the integral we needed to find.

Latihan 3

If the current in a certain electric circuit is i = 110 cos 377t, find the expression for the voltage across a 500-&muF capacitor as a function of time. The initial voltage is zero. Show that the voltage across the capacitor is 90° out of phase with the current.

We need the following result from electronics, which gives the voltage across a capacitor, where C is the capacitance:

Note that &mu = 1 millionth, or 10 -6 .

`=1/(500xx10^-6)int110 cos 377t dt`

`cos(377t-pi/2) =cos 377t cos (pi/2)+` `sin 377t sin (pi/2)`

This shows that `583.6 sin 377t` and `110 cos 377t` are `90^"o"=pi/2` out of phase.

Latihan 4

A force is given as a function of the distance from the origin as

Express the work done by this force as a function of x sekiranya W = 0 for x = 0.


Tonton videonya: Integral Trigonometri dan Sifatnya Belajar dari Nol. (Ogos 2022).