Artikel

16.5: Transformasi Fungsi - Matematik


Objektif Pembelajaran

  • Graf berfungsi menggunakan peralihan menegak dan mendatar.
  • Graf berfungsi menggunakan pantulan mengenai paksi-x dan paksi-y.
  • Tentukan sama ada fungsi genap, ganjil, atau tidak dari grafnya.
  • Fungsi grafik menggunakan pemampatan dan peregangan.
  • Gabungkan transformasi.

Kita semua tahu bahawa cermin rata membolehkan kita melihat gambaran diri kita yang tepat dan apa sahaja yang ada di belakang kita. Apabila kita memiringkan cermin, gambar yang kita lihat mungkin beralih secara mendatar atau menegak. Tetapi apa yang berlaku apabila kita membengkokkan cermin yang fleksibel? Seperti cermin funhouse karnival, ia memperlihatkan kepada kita gambaran diri kita yang tersimpang, diregangkan atau dimampatkan secara mendatar atau menegak. Dengan cara yang serupa, kita dapat memutarbelitkan atau mengubah fungsi matematik untuk menyesuaikannya dengan lebih baik untuk menggambarkan objek atau proses di dunia nyata. Di bahagian ini, kita akan melihat beberapa jenis transformasi.

Selalunya apabila diberi masalah, kami cuba memodelkan senario menggunakan matematik dalam bentuk kata, jadual, grafik, dan persamaan. Salah satu kaedah yang dapat kita gunakan adalah menyesuaikan grafik asas fungsi toolkit untuk membina model baru untuk senario tertentu. Terdapat kaedah sistematik untuk mengubah fungsi untuk membina model yang sesuai untuk masalah yang ingin kita selesaikan.

Mengenal pasti Pergeseran Vertikal

Satu jenis transformasi yang sederhana melibatkan pengalihan keseluruhan grafik fungsi ke atas, bawah, kanan, atau kiri. Pergeseran paling sederhana adalah peralihan menegak, menggerakkan grafik ke atas atau ke bawah, kerana transformasi ini melibatkan penambahan pemalar positif atau negatif pada fungsi. Dengan kata lain, kita menambah pemalar yang sama pada nilai output fungsi tanpa mengira input. Untuk fungsi (g (x) = f (x) + k ), fungsi (f (x) ) dipindahkan secara menegak (k ) unit. Lihat Rajah ( PageIndex {2} ) untuk contoh.

Untuk membantu anda menggambarkan konsep peralihan menegak, pertimbangkan bahawa (y = f (x) ). Oleh itu, (f (x) + k ) bersamaan dengan (y + k ). Setiap unit (y ) digantikan oleh (y + k ), sehingga nilai (y ) - meningkat atau menurun bergantung pada nilai (k ). Hasilnya adalah pergeseran ke atas atau ke bawah.

Definisi: Pergeseran Vertikal

Diberi fungsi (f (x) ), fungsi baru (g (x) = f (x) + k ), di mana (k ) adalah pemalar, adalah peralihan menegak fungsi (f (x) ). Semua nilai output berubah dengan unit (k ). Sekiranya (k ) positif, grafik akan beralih ke atas. Sekiranya (k ) negatif, grafik akan beralih ke bawah.

Contoh ( PageIndex {1} ): Menambah Pemalar ke Fungsi

Untuk mengatur suhu di bangunan hijau, aliran udara di dekat bumbung terbuka dan ditutup sepanjang hari. Rajah ( PageIndex {3} ) menunjukkan kawasan lubang terbuka (V ) (dalam kaki persegi) sepanjang hari dalam beberapa jam selepas tengah malam, (t ). Semasa musim panas, pengurus kemudahan memutuskan untuk berusaha mengatur suhu dengan lebih baik dengan meningkatkan jumlah lubang terbuka sebanyak 20 kaki persegi sepanjang hari dan malam. Lakarkan graf fungsi baru ini.

Penyelesaian

Kita dapat membuat lakaran grafik fungsi baru ini dengan menambahkan 20 pada setiap nilai output fungsi asal. Ini akan membawa kesan menggeser grafik secara menegak ke atas, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar ( PageIndex {4} ).

Perhatikan bahawa dalam Gambar ( PageIndex {4} ), untuk setiap nilai input, nilai output telah meningkat sebanyak 20, jadi jika kita memanggil fungsi baru (S (t) ), kita dapat menulis

[S (t) = V (t) +20 ]

Notasi ini memberitahu kita bahawa, untuk nilai (t ), (S (t) ) dapat dijumpai dengan menilai fungsi (V ) pada input yang sama dan kemudian menambahkan 20 pada hasilnya. Ini mendefinisikan (S ) sebagai transformasi fungsi (V ), dalam hal ini pergeseran menegak naik 20 unit. Perhatikan bahawa, dengan pergeseran menegak, nilai input tetap sama dan hanya nilai output yang berubah. Lihat Jadual ( PageIndex {1} ).

Jadual ( PageIndex {1} )

(t )

0810171924

(V (t) )

0022022000

(S (t) )

20202402402020

Bagaimana untuk...

Dengan fungsi jadual, buat baris baru untuk mewakili pergeseran menegak.

  1. Kenal pasti baris atau lajur output.
  2. Tentukan besarnya peralihan.
  3. Tambahkan peralihan ke nilai di setiap sel output. Tambahkan nilai positif untuk naik atau nilai negatif untuk turun.

Contoh ( PageIndex {2} ): Mengalihkan Fungsi Jadual secara menegak

Fungsi (f (x) ) diberikan dalam Jadual ( PageIndex {2} ). Buat jadual untuk fungsi (g (x) = f (x) −3 ).

Jadual ( PageIndex {2} )

(x )

2468

(f (x) )

13711

Penyelesaian

Rumus (g (x) = f (x) −3 ) memberitahu kita bahawa kita dapat mencari nilai output (g ) dengan mengurangkan 3 dari nilai output (f ). Sebagai contoh:

[ start {align *} f (x) & = 1 & text {Diberi} [4pt] g (x) & = f (x) -3 & teks {Diberi Transformasi} [4pt] g (2) & = f (2) −3 & = 1-3 & = - 2 end {align *} ]

Dengan mengurangkan 3 dari setiap nilai (f (x) ), kita dapat melengkapkan jadual nilai untuk (g (x) ) seperti yang ditunjukkan dalam Jadual ( PageIndex {3} ).

Jadual ( PageIndex {3} )

(x )

2468

(f (x) )

13711

(g (x) )

-2048

Analisis

Seperti pergeseran menegak sebelumnya, perhatikan nilai input tetap sama dan hanya nilai output yang berubah.

Latihan ( PageIndex {1} )

Fungsi (h (t) = - 4.9t ^ 2 + 30t ) memberikan ketinggian (h ) bola (dalam meter) yang dilemparkan ke atas dari tanah setelah (t ) saat. Anggaplah bola itu dilemparkan dari atas bangunan 10-m. Kaitkan fungsi ketinggian baru ini (b (t) ) dengan (h (t) ), dan kemudian cari formula untuk (b (t) ).

Jawapan

(b (t) = h (t) + 10 = −4.9t ^ 2 + 30t + 10 )

Mengenalpasti Peralihan Mendatar

Kami baru sahaja melihat bahawa pergeseran menegak adalah perubahan pada output, atau di luar, fungsi. Kita sekarang akan melihat bagaimana perubahan input, di bahagian dalam fungsi, mengubah grafik dan maknanya. Peralihan ke input menghasilkan pergerakan grafik fungsi kiri atau kanan dalam apa yang dikenali sebagai a peralihan mendatar, ditunjukkan dalam Rajah ( PageIndex {4} ).

Contohnya, jika (f (x) = x ^ 2 ), maka (g (x) = (x − 2) ^ 2 ) adalah fungsi baru. Setiap input dikurangkan 2 sebelum kuadrat fungsi. Hasilnya adalah bahawa grafik dialihkan 2 unit ke kanan, karena kita perlu meningkatkan input sebelumnya dengan 2 unit untuk menghasilkan nilai output yang sama seperti yang diberikan dalam (f ).

Definisi: Pergeseran Mendatar

Diberi fungsi (f ), fungsi baru (g (x) = f (x − h) ), di mana (h ) adalah pemalar, adalah peralihan mendatar fungsi (f ). Sekiranya (h ) positif, grafik akan beralih ke kanan. Sekiranya (h ) negatif, grafik akan beralih ke kiri.

Contoh ( PageIndex {4} ): Menambah Pemalar ke Input

Kembali ke contoh aliran udara bangunan kami dari Gambar ( PageIndex {2} ), anggap bahawa pada musim luruh pengurus kemudahan memutuskan bahawa rancangan pengudaraan asal bermula terlalu terlambat, dan ingin memulakan keseluruhan program pengudaraan 2 jam lebih awal. Lakarkan graf fungsi baru.

Penyelesaian

Kita dapat menetapkan (V (t) ) menjadi program semula dan (F (t) ) menjadi program yang disemak semula.

[V (t) = teks {pelan pengudaraan asal} bukan nombor ]

[F (t) = teks {bermula 2 jam lebih awal} bukan nombor ]

Dalam grafik baru, pada setiap waktu, aliran udara sama dengan fungsi asalnya (V ) 2 jam kemudian. Sebagai contoh, dalam fungsi asal (V ), aliran udara mula berubah pada pukul 8 pagi, sedangkan untuk fungsi (F ), aliran udara mula berubah pada pukul 6 pagi Nilai fungsi yang sebanding adalah (V (8 ) = F (6) ). Lihat Rajah ( PageIndex {5} ). Perhatikan juga bahawa ventilasi pertama kali dibuka untuk (220 teks {ft} ^ 2 ) pada pukul 10 pagi di bawah rancangan asal, sementara di bawah rancangan baru ventilasi mencapai (220 teks {ft} ^ 2 ) pada pukul 8 am, jadi (V (10) = F (8) ).

Dalam kedua kes tersebut, kita melihatnya, kerana (F (t) ) bermula 2 jam lebih awal, (h = −2 ). Itu bermaksud bahawa nilai output yang sama dicapai apabila (F (t) = V (t - (- 2)) = V (t + 2) ).

Analisis

Perhatikan bahawa (V (t + 2) ) mempunyai kesan mengalihkan grafik ke kiri.

Perubahan mendatar atau "perubahan dalam" mempengaruhi domain fungsi (input) dan bukannya julat dan sering kelihatan berlawanan dengan intuisi. Fungsi baru (F (t) ) menggunakan output yang sama seperti (V (t) ), tetapi memadankan output tersebut dengan input 2 jam lebih awal daripada (V (t) ). Dengan cara lain, kita mesti menambah 2 jam pada input (V ) untuk mencari output yang sesuai untuk (F: F (t) = V (t + 2) ).

Bagaimana untuk...

Dengan fungsi tabular, buat baris baru untuk mewakili peralihan mendatar.

  1. Kenal pasti baris atau lajur input.
  2. Tentukan besarnya pergeseran.
  3. Tambahkan peralihan ke nilai di setiap sel input.

Contoh ( PageIndex {5} ): Mengalihkan Fungsi Jadual Secara Mendatar

Fungsi (f (x) ) diberikan dalam Jadual ( PageIndex {4} ). Buat jadual untuk fungsi (g (x) = f (x − 3) ).

Jadual ( PageIndex {4} )

(x )

2468

(f (x) )

13711

Penyelesaian

Rumus (g (x) = f (x − 3) ) memberitahu kita bahawa nilai output (g ) adalah sama dengan nilai output (f ) ketika nilai input 3 kurang dari nilai asal. Sebagai contoh, kita tahu bahawa (f (2) = 1 ). Untuk mendapatkan output yang sama dari fungsi (g ), kita memerlukan nilai input yang 3 lebih besar. Kami memasukkan nilai yang 3 lebih besar untuk (g (x) ) kerana fungsi mengambil 3 sebelum menilai fungsi (f ).

[ start {align *} g (5) & = f (5-3) & = f (2) & = 1 end {align *} ]

Kami meneruskan nilai-nilai lain untuk membuat Jadual ( PageIndex {5} ).

Jadual ( PageIndex {5} )

(x )

57911

(x-3 )

2468

(f (x) )

13711

(g (x) )

13711

Hasilnya ialah fungsi (g (x) ) telah dialihkan ke kanan dengan 3. Perhatikan nilai output untuk (g (x) ) tetap sama dengan nilai output untuk (f (x) ), tetapi nilai input yang sesuai, (x ), telah beralih ke kanan sebanyak 3. Secara khusus, 2 beralih ke 5, 4 beralih ke 7, 6 beralih ke 9, dan 8 beralih ke 11.

Analisis

Rajah ( PageIndex {6} ) mewakili kedua fungsi. Kita dapat melihat peralihan mendatar pada setiap titik.

Contoh ( PageIndex {6} ): Mengenalpasti Pergeseran Mendatar Fungsi Toolkit

Rajah ( PageIndex {7} ) mewakili transformasi fungsi toolkit (f (x) = x ^ 2 ). Kaitkan fungsi baru ini (g (x) ) dengan (f (x) ), dan kemudian cari formula untuk (g (x) ).

Penyelesaian

Perhatikan bahawa grafik sama bentuknya dengan fungsi (f (x) = x ^ 2 ), tetapi nilai (x ) - dialihkan ke 2 unit kanan. Bucu dulunya berada di ((0,0) ), tetapi sekarang bucu berada di ((2,0) ). Grafik adalah fungsi kuadratik asas menggeser 2 unit ke kanan, jadi

[g (x) = f (x − 2) bukan nombor ]

Perhatikan bagaimana kita mesti memasukkan nilai (x = 2 ) untuk mendapatkan nilai output (y = 0 ); nilai (x ) - nilai mestilah 2 unit lebih besar kerana pergeseran ke kanan oleh 2 unit. Kita kemudian boleh menggunakan definisi fungsi (f (x) ) untuk menulis formula untuk (g (x) ) dengan menilai (f (x − 2) ).

[ start {align *} f (x) & = x ^ 2 g (x) & = f (x-2) g (x) & = f (x-2) = (x-2 ) ^ 2 end {align *} ]

Analisis

Untuk menentukan sama ada pergeseran itu (+ 2 ) atau (- 2 ), pertimbangkan satu titik rujukan pada grafik. Untuk kuadratik, melihat titik bucu adalah mudah. Dalam fungsi asal, (f (0) = 0 ). Dalam fungsi beralih kita, (g (2) = 0 ). Untuk mendapatkan nilai output 0 dari fungsi (f ), kita perlu memutuskan sama ada tanda tambah atau tolak akan berfungsi untuk memuaskan (g (2) = f (x − 2) = f (0) = 0 ). Untuk berjaya, kita perlu mengurangkan 2 unit dari nilai input kita.

Contoh ( PageIndex {7} ): Mentafsirkan Peralihan Mendatar berbanding Vertikal

Fungsi (G (m) ) memberikan bilangan galon gas yang diperlukan untuk memandu (m ) batu. Tafsirkan (G (m) +10 ) dan (G (m + 10) )

Penyelesaian

(G (m) +10 ) dapat ditafsirkan sebagai penambahan 10 pada output, galon. Ini adalah gas yang diperlukan untuk memandu sejauh (m ) batu, ditambah dengan 10 gelen gas lagi. Grafik akan menunjukkan pergeseran menegak.

(G (m + 10) ) dapat ditafsirkan sebagai menambahkan 10 pada input, mil. Jadi ini adalah jumlah galon gas yang diperlukan untuk memandu 10 batu lebih jauh daripada (m ) batu. Grafik akan menunjukkan peralihan mendatar.

Latihan ( PageIndex {7} )

Diberi fungsi (f (x) = sqrt {x} ), grafik fungsi asal (f (x) ) dan transformasi (g (x) = f (x + 2) ) pada paksi yang sama. Adakah ini anjakan mendatar atau menegak? Dengan cara manakah graf itu dialihkan dan berapa unit?

Jawapan

Grafik (f (x) ) dan (g (x) ) ditunjukkan di bawah. Transformasi adalah peralihan mendatar. Fungsi dialihkan ke kiri oleh 2 unit.

Menggabungkan Pergeseran Vertikal dan Mendatar

Sekarang kita mempunyai dua transformasi, kita dapat menggabungkannya bersama. Pergeseran menegak adalah perubahan luar yang mempengaruhi nilai paksi output ((y -) ) dan menggeser fungsi ke atas atau ke bawah. Pergeseran mendatar adalah perubahan dalam yang mempengaruhi nilai paksi input ((x -) ) dan menggeser fungsi ke kiri atau kanan. Menggabungkan dua jenis pergeseran akan menyebabkan grafik fungsi beralih ke atas atau bawah dan kanan atau kiri.

Bagaimana untuk...

Memandangkan fungsi dan peralihan menegak dan mendatar, lakarkan grafik.

  1. Kenal pasti peralihan menegak dan mendatar dari formula.
  2. Peralihan menegak dihasilkan dari pemalar yang ditambahkan pada output. Gerakkan grafik ke atas untuk pemalar positif dan turun untuk pemalar negatif.
  3. Peralihan mendatar dihasilkan dari pemalar yang ditambahkan pada input. Gerakkan graf ke kiri untuk pemalar positif dan kanan untuk pemalar negatif.
  4. Terapkan pergeseran ke grafik dalam urutan sama ada.

Contoh ( PageIndex {8} ): Grafik Gabungan Pergeseran Vertikal dan Mendatar

Diberi (f (x) = | x | ), lakarkan graf (h (x) = f (x + 1) −3 ).

Penyelesaian

Fungsi (f ) adalah fungsi nilai mutlak toolkit kami. Kita tahu bahawa grafik ini mempunyai bentuk V, dengan titik pada asal. Grafik (h ) telah berubah (f ) dalam dua cara: (f (x + 1) ) adalah perubahan pada bahagian dalam fungsi, memberikan pergeseran mendatar yang ditinggalkan oleh 1, dan pengurangan oleh 3 in (f (x + 1) −3 ) adalah perubahan ke bahagian luar fungsi, memberikan pergeseran tegak ke bawah sebanyak 3. Transformasi grafik digambarkan dalam Rajah ( PageIndex {9} ).

Mari kita ikuti satu titik graf (f (x) = | x | ).

  • Titik ((0,0) ) diubah terlebih dahulu dengan menggeser kiri 1 unit: ((0,0) anak panah kanan (−1,0) )
  • Titik ((- 1,0) ) diubah seterusnya dengan menggeser 3 unit ke bawah: ((- 1,0) anak panah kanan (−1, −3) )

Rajah ( PageIndex {10} ) menunjukkan graf (h ).

Latihan ( PageIndex {8} )

Diberi (f (x) = | x | ), lakarkan graf (h (x) = f (x − 2) +4 ).

Jawapan

Contoh ( PageIndex {9} ): Mengenal pasti Pergeseran Vertikal dan Mendatar Gabungan

Tulis formula untuk grafik yang ditunjukkan dalam Rajah ( PageIndex {12} ), yang merupakan transformasi fungsi root square toolkit.

Penyelesaian

Grafik fungsi toolkit bermula pada asal, jadi grafik ini telah dialihkan 1 ke kanan dan ke atas 2. Dalam notasi fungsi, kita dapat menulisnya sebagai

[h (x) = f (x − 1) +2 bukan nombor ]

Dengan menggunakan formula untuk fungsi kuasa dua, kita boleh menulis

[h (x) = sqrt {x − 1} +2 bukan nombor ]

Analisis

Perhatikan bahawa transformasi ini telah mengubah domain dan julat fungsi. Grafik baru ini mempunyai domain ( kiri [1, infty kanan) ) dan julat ( kiri [2, infty kanan) ).

Latihan ( PageIndex {9} )

Tulis formula untuk transformasi fungsi timbal balik toolkit (f (x) = frac {1} {x} ) yang mengalihkan grafik fungsi satu unit ke kanan dan satu unit ke atas.

Jawapan

[g (x) = dfrac {1} {x-1} +1 bukan nombor ]

Fungsi Grafik Menggunakan Refleksi mengenai Paksi

Transformasi lain yang dapat diterapkan pada fungsi adalah pantulan pada paksi-x atau y. A pantulan menegak memantulkan graf secara menegak melintasi paksi-x, sementara a pantulan mendatar memantulkan graf secara melintang di paksi-y. Pantulan ditunjukkan dalam Rajah ( PageIndex {13} ).

.

Perhatikan bahawa pantulan menegak menghasilkan graf baru yang merupakan gambaran cermin asas atau graf asal mengenai paksi-x. Pantulan mendatar menghasilkan graf baru yang merupakan gambaran cermin asas atau graf asal mengenai paksi-y.

Definisi: Refleksi

Diberi fungsi (f (x) ), fungsi baru (g (x) = - f (x) ) adalah pantulan menegak fungsi (f (x) ), kadang-kadang disebut pantulan mengenai (atau lebih, atau melalui) paksi-x.

Diberi fungsi (f (x) ), fungsi baru (g (x) = f (−x) ) adalah pantulan mendatar fungsi (f (x) ), kadang-kadang disebut pantulan mengenai paksi-y.

Bagaimana untuk...

Diberi fungsi, bayangkan grafnya secara menegak dan mendatar.

  1. Gandakan semua output dengan –1 untuk pantulan menegak. Grafik baru adalah pantulan graf asal mengenai paksi-x.
  2. Gandakan semua input dengan –1 untuk pantulan mendatar. Grafik baru adalah pantulan graf asal mengenai paksi-y.

Contoh ( PageIndex {10} ): Mencerminkan Graf Melintang dan Tegak

Pantulkan graf (s (t) = sqrt {t} ) (a) menegak dan (b) mendatar.

Penyelesaian

a. Memantulkan grafik secara menegak bermaksud setiap nilai output akan dipantulkan di atas paksi-t mendatar seperti yang ditunjukkan dalam Rajah ( PageIndex {14} ).

Oleh kerana setiap nilai output bertentangan dengan nilai output asal, kita dapat menulis

[V (t) = - s (t) teks {atau} V (t) = - sqrt {t} bukan nombor ]

Perhatikan bahawa ini adalah perubahan luar, atau pergeseran menegak, yang mempengaruhi nilai output (s (t) ), jadi tanda negatif berada di luar fungsi.

b. Memantulkan secara mendatar bermaksud bahawa setiap nilai input akan dipantulkan di atas paksi menegak seperti yang ditunjukkan dalam Gambar ( PageIndex {15} ).

Kerana setiap nilai input bertentangan dengan nilai input asal, kita dapat menulis

[H (t) = s (−t) teks {atau} H (t) = sqrt {−t} bukan nombor ]

Perhatikan bahawa ini adalah perubahan dalam atau perubahan mendatar yang mempengaruhi nilai input, jadi tanda negatif ada di bahagian dalam fungsi.

Perhatikan bahawa transformasi ini dapat mempengaruhi domain dan julat fungsi. Walaupun fungsi akar kuadrat asal mempunyai domain ( kiri [0, infty kanan) ) dan julat ( kiri [0, infty kanan) ), pantulan menegak memberikan (V (t) ) fungsi julat ( kiri (- infty, 0 kanan] ) dan pantulan mendatar memberikan fungsi (H (t) ) domain ( kiri (- infty, 0 kanan] ).

Latihan ( PageIndex {5} )

Pantulkan graf (f (x) = | x − 1 | ) (a) menegak dan (b) mendatar.

Jawapan

a.

b.

Contoh ( PageIndex {11} ): Mencerminkan Fungsi Jadual Secara Melintang dan Tegak

Fungsi (f (x) ) diberikan sebagai Jadual ( PageIndex {6} ). Buat jadual untuk fungsi di bawah.

a. (g (x) = - f (x) )
b. (h (x) = f (−x) )

Jadual ( PageIndex {6} )

(x )

2468

(f (x) )

13711

a. Untuk (g (x) ), tanda negatif di luar fungsi menunjukkan pantulan menegak, jadi nilai-x tetap sama dan setiap nilai output akan berlawanan dengan nilai output asal. Lihat Jadual ( PageIndex {7} ).

Jadual ( PageIndex {7} )

(x )

2468

(g (x) )

-1-3-7-11

b. Untuk (h (x) ), tanda negatif di dalam fungsi menunjukkan pantulan mendatar, jadi setiap nilai input akan berlawanan dengan nilai input asal dan nilai (h (x) ) tetap sama dengan Nilai (f (x) ). Lihat Jadual ( PageIndex {8} ).

Jadual ( PageIndex {8} )

(x )

-2-4-6-8

(h (x) )

13711

Latihan ( PageIndex {6} )

Fungsi (f (x) ) diberikan sebagai Jadual ( PageIndex {9} ). (h (x) = f (−x) )

Jadual ( PageIndex {9} )

(x )

-2024

(f (x) )

5101520
Jawapan

a. (g (x) = - f (x) )

Jadual ( PageIndex {10} )

(x )

-2024

(g (x) )

-5-10-15-20

b. (h (x) = f (−x) )

Jadual ( PageIndex {11} )

(x )

-202-4

(h (x) )

1510520

Contoh ( PageIndex {12} ): Menerapkan Persamaan Model Pembelajaran

Model biasa untuk pembelajaran mempunyai persamaan yang serupa dengan (k (t) = - 2 ^ {- t} +1 ), di mana (k ) adalah peratusan penguasaan yang dapat dicapai setelah (t ) sesi latihan. Ini adalah transformasi fungsi (f (t) = 2 ^ t ) yang ditunjukkan dalam Rajah ( PageIndex {18} ). Lakarkan graf (k (t) ).

Penyelesaian

Persamaan ini menggabungkan tiga transformasi menjadi satu persamaan.

  • Pantulan mendatar: (f (−t) = 2 ^ {- t} )
  • Pantulan menegak: (- f (−t) = - 2 ^ {- t} )
  • Peralihan menegak: (- f (−t) + 1 = −2 ^ {- t} +1 )

Kita dapat membuat lakaran grafik dengan menerapkan transformasi ini satu demi satu pada fungsi asal. Mari kita ikuti dua perkara melalui setiap tiga transformasi. Kami akan memilih titik ((0, 1) ) dan ((1, 2) ).

  • Pertama, kita menggunakan pantulan mendatar: ((0, 1) ; (–1, 2) ).
  • Kemudian, kami menerapkan pantulan menegak: ((0, −1) ; (-1, –2) ).
  • Akhirnya, kami menerapkan peralihan menegak: ((0, 0) ; (-1, -1) ).

Ini bermaksud bahawa titik asal, ((0,1) ) dan ((1,2) ) menjadi ((0,0) ) dan ((- 1, -1) ) setelah kami menerapkan transformasi.

Dalam Rajah ( PageIndex {19} ), graf pertama terhasil dari pantulan mendatar. Hasil kedua dari pantulan menegak. Hasil ketiga dari peralihan menegak naik 1 unit.

Analisis

Sebagai model pembelajaran, fungsi ini akan terbatas pada domain (t geq0 ), dengan julat yang sesuai ( kiri [0,1 kanan) ).

Latihan ( PageIndex {7} )

Diberi fungsi toolkit (f (x) = x ^ 2 ), grafik (g (x) = - f (x) ) dan (h (x) = f (−x) ). Perhatikan sebarang tingkah laku yang mengejutkan untuk fungsi ini.

Jawapan

Perhatikan: (g (x) = f (−x) ) kelihatan sama dengan (f (x) ).

Menentukan Fungsi Genap dan Ganjil

Beberapa fungsi menunjukkan simetri sehingga pantulan menghasilkan grafik asal. Contohnya, mencerminkan fungsi toolkit secara mendatar (f (x) = x ^ 2 ) atau (f (x) = | x | ) akan menghasilkan graf asal. Kami mengatakan bahawa jenis grafik ini adalah simetri mengenai paksi-y. Fungsi yang grafnya simetri mengenai paksi-y disebut malah berfungsi.

Sekiranya graf (f (x) = x ^ 3 ) atau (f (x) = frac {1} {x} ) dipantulkan pada kedua paksi, hasilnya akan menjadi grafik asal, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah ( PageIndex {21} ).

Kami mengatakan bahawa grafik ini tidak simetri mengenai asal usulnya. Fungsi dengan graf yang simetri mengenai asal disebut an fungsi ganjil.

Catatan: Fungsi tidak boleh sama rata atau ganjil jika tidak menunjukkan simetri. Sebagai contoh, (f (x) = 2 ^ x ) tidak sama rata dan ganjil. Selain itu, satu-satunya fungsi yang sama dan ganjil adalah fungsi tetap (f (x) = 0 ).

Definisi: Fungsi genap dan ganjil

Fungsi dipanggil an malah berfungsi jika untuk setiap input (x )

(f (x) = f (−x) )

Graf fungsi sekata adalah simetri mengenai paksi-y.

Fungsi dipanggil an fungsi ganjil jika untuk setiap input (x )

(f (x) = - f (−x) )

Graf fungsi ganjil adalah simetri mengenai asal usul.

Bagaimana untuk...

Memandangkan formula untuk fungsi, tentukan apakah fungsi itu genap, ganjil, atau tidak.

  1. Tentukan sama ada fungsi memenuhi (f (x) = f ((x) ). Sekiranya ia berlaku, ia adalah sama rata.
  2. Tentukan sama ada fungsi memenuhi (f (x) = - f ((x) ). Sekiranya ia berlaku, itu aneh.
  3. Sekiranya fungsi tersebut tidak memenuhi mana-mana peraturan, ia tidak sama rata dan ganjil.

Contoh ( PageIndex {13} ): Menentukan sama ada Fungsi Merata, Ganjil atau Tidak

Adakah fungsi (f (x) = x ^ 3 + 2x ) genap, ganjil, atau tidak?

Penyelesaian

Tanpa melihat grafik, kita dapat menentukan sama ada fungsi itu genap atau ganjil dengan mencari formula untuk pantulan dan menentukan apakah fungsi tersebut mengembalikan kita ke fungsi asal. Mari kita mulakan dengan peraturan untuk fungsi genap.

[f (−x) = (- x) ^ 3 + 2 (−x) = - x ^ 3−2x bukan nombor ]

Ini tidak mengembalikan kita ke fungsi asal, jadi fungsi ini tidak sama rata. Kita sekarang boleh menguji peraturan untuk fungsi ganjil.

[- f (−x) = - (- x ^ 3−2x) = x ^ 3 + 2x bukan nombor ]

Kerana (- f (−x) = f (x) ), ini adalah fungsi ganjil.

Analisis

Pertimbangkan graf (f ) dalam Rajah ( PageIndex {22} ). Perhatikan bahawa grafik itu simetri mengenai asal usulnya. Untuk setiap titik ((x, y) ) pada grafik, titik yang sesuai ((- x, −y) ) juga terdapat pada grafik. Contohnya, ((1, 3) ) ada pada grafik (f ), dan titik yang sepadan ((- 1, −3) ) juga terdapat pada grafik.

Latihan ( PageIndex {8} )

Adakah fungsi (f (s) = s ^ 4 + 3s ^ 2 + 7 ) genap, ganjil, atau tidak?

Jawapan

sekata

Fungsi Grafik Menggunakan Regangan dan Mampatan

Menambah pemalar ke input atau output fungsi mengubah posisi grafik sehubungan dengan sumbu, tetapi tidak mempengaruhi bentuk grafik. Kami kini meneroka kesan mengalikan input atau output dengan kuantiti.

Kita dapat mengubah bahagian dalam (nilai input) fungsi atau kita dapat mengubah bahagian luar (nilai output) fungsi. Setiap perubahan mempunyai kesan khusus yang dapat dilihat secara grafik.

Peregangan dan Mampatan menegak

Apabila kita mengalikan fungsi dengan pemalar positif, kita mendapat fungsi yang grafnya diregangkan atau dimampatkan secara menegak sehubungan dengan grafik fungsi asal. Sekiranya pemalar lebih besar daripada 1, kita mendapat a regangan menegak; jika pemalar antara 0 dan 1, kita mendapat a pemampatan menegak. Rajah ( PageIndex {23} ) menunjukkan fungsi yang didarabkan dengan faktor tetap 2 dan 0.5 dan regangan dan pemampatan menegak yang dihasilkan.

Definisi: Peregangan dan Pemampatan Vertikal

Diberi fungsi (f (x) ), fungsi baru (g (x) = af (x) ), di mana (a ) adalah pemalar, adalah regangan menegak atau pemampatan menegak fungsi (f (x) ).

Bagaimana untuk...

Diberi fungsi, grafikkan regangan menegaknya.

  1. Kenal pasti nilai (a ).
  2. Gandakan semua nilai julat dengan (a )
  3. Sekiranya (a> 1 ), graf diregangkan oleh faktor (a ).
  4. Sekiranya (0
  5. Sekiranya (a <0 ), grafik itu diregangkan atau dimampatkan dan juga dipantulkan mengenai paksi-x.

Contoh 1.5.14: Melukis Peregangan Vertikal

Fungsi (P (t) ) memodelkan populasi lalat buah. Grafik ditunjukkan dalam Rajah ( PageIndex {24} ).

Seorang saintis membandingkan populasi ini dengan populasi lain, (Q ), yang pertumbuhannya mengikuti corak yang sama, tetapi dua kali lebih besar. Lakarkan graf populasi ini.

Penyelesaian

Oleh kerana populasi selalu dua kali lebih besar, nilai output populasi baru selalu dua kali ganda dari nilai output fungsi asal. Secara grafik, ini ditunjukkan dalam Rajah ( PageIndex {25} ).

Sekiranya kita memilih empat titik rujukan, ((0, 1) ), ((3, 3) ), ((6, 2) ) dan ((7, 0) ) kita akan mengalikan semua daripada output dengan 2.

Berikut menunjukkan di mana titik baru untuk grafik baru akan berada.

[(0, 1) anak panah kanan (0, 2) ]

[(3, 3) anak panah kanan (3, 6) ]

[(6, 2) anak panah kanan (6, 4) ]

[(7, 0) anak panah kanan (7, 0) ]

Secara simbolik, hubungan itu ditulis sebagai

[Q (t) = 2P (t) bukan nombor ]

Ini bermaksud bahawa untuk sebarang input (t ), nilai fungsi (Q ) adalah dua kali nilai fungsi (P ). Perhatikan bahawa kesan pada grafik adalah regangan menegak grafik, di mana setiap titik menggandakan jaraknya dari paksi mendatar. Nilai input, (t ), tetap sama sementara nilai output dua kali lebih besar dari sebelumnya.

Bagaimana untuk...

Memandangkan fungsi tabular dan menganggap bahawa transformasi adalah regangan menegak atau mampatan, buat jadual untuk pemampatan menegak.

  1. Tentukan nilai (a ).
  2. Darabkan semua nilai output dengan (a ).

Contoh ( PageIndex {15} ): Mencari Mampatan Vertikal Fungsi Jadual

Fungsi (f ) diberikan sebagai Jadual ( PageIndex {12} ). Buat jadual untuk fungsi (g (x) = frac {1} {2} f (x) ).

Jadual ( PageIndex {12} )

(x )

2468

(f (x) )

13711

Penyelesaian

Rumus (g (x) = frac {1} {2} f (x) ) memberitahu kita bahawa nilai output (g ) adalah separuh daripada nilai output (f ) dengan yang sama input. Sebagai contoh, kita tahu bahawa (f (4) = 3 ). Kemudian

[g (4) = frac {1} {2} f (4) = frac {1} {2} (3) = frac {3} {2} bukan nombor ]

Kami melakukan perkara yang sama untuk nilai-nilai lain untuk menghasilkan Jadual ( PageIndex {13} ).

Jadual ( PageIndex {13} )

(x )

2468

(g (x) )

( dfrac {1} {2} ) ( dfrac {3} {2} ) ( dfrac {7} {2} ) ( dfrac {11} {2} )

Analisis

Hasilnya ialah fungsi (g (x) ) telah dimampatkan secara menegak oleh ( frac {1} {2} ). Setiap nilai keluaran dibahagi dua, jadi grafnya adalah separuh dari ketinggian asal.

Latihan ( PageIndex {9} )

Fungsi (f ) diberikan sebagai Jadual ( PageIndex {14} ). Buat jadual untuk fungsi (g (x) = frac {3} {4} f (x) ).

Jadual ( PageIndex {14} )

(x )

2468

(f (x) )

1216200
Jawapan
Jadual ( PageIndex {15} )

(x )

2468

(g (x) )

912150

Contoh ( PageIndex {16} ): Mengenali Regangan Vertikal

Grafik dalam Rajah ( PageIndex {26} ) adalah transformasi fungsi toolkit (f (x) = x ^ 3 ). Kaitkan fungsi baru ini (g (x) ) dengan (f (x) ), dan kemudian cari formula untuk (g (x) ).

Semasa cuba menentukan regangan atau anjakan menegak, ada baiknya mencari titik pada grafik yang agak jelas. Dalam grafik ini, nampaknya (g (2) = 2 ). Dengan fungsi padu asas pada input yang sama, (f (2) = 2 ^ 3 = 8 ). Berdasarkan itu, nampaknya output (g ) adalah ( frac {1} {4} ) keluaran fungsi (f ) kerana (g (2) = frac {1 } {4} f (2) ). Dari sini kita dapat membuat kesimpulan dengan selamat bahawa (g (x) = frac {1} {4} f (x) ).

Kita boleh menulis formula untuk (g ) dengan menggunakan definisi fungsi (f ).

[g (x) = frac {1} {4} f (x) = frac {1} {4} x ^ 3. ]

Latihan ( PageIndex {1} )

Tulis formula untuk fungsi yang kita dapat ketika kita meregangkan fungsi toolkit identiti dengan faktor 3, dan kemudian turunkannya sebanyak 2 unit.

Jawapan

(g (x) = 3x-2 )

Peregangan dan Mampatan Mendatar

Sekarang kita mempertimbangkan perubahan pada bahagian dalam fungsi. Apabila kita mengalikan input fungsi dengan pemalar positif, kita mendapat fungsi yang grafnya diregangkan atau dimampatkan secara mendatar sehubungan dengan grafik fungsi asal. Sekiranya pemalar antara 0 dan 1, kita mendapat a regangan mendatar; jika pemalar lebih besar daripada 1, kita mendapat a mampatan mendatar fungsi.

Diberi fungsi (y = f (x) ), bentuk (y = f (bx) ) menghasilkan regangan atau pemampatan mendatar. Pertimbangkan fungsi (y = x ^ 2 ). Perhatikan Rajah ( PageIndex {27} ). Grafik (y = (0.5x) ^ 2 ) ialah peregangan mendatar bagi fungsi (y = x ^ 2 ) dengan faktor 2. Grafik (y = (2x) ^ 2 ) ialah pemampatan mendatar grafik fungsi (y = x ^ 2 ) dengan faktor 2.

Definisi: Peregangan dan Pemampatan Mendatar

Diberi fungsi (f (x) ), fungsi baru (g (x) = f (bx) ), di mana (b ) adalah pemalar, adalah regangan mendatar atau mampatan mendatar fungsi (f (x) ).

  • Sekiranya (b> 1 ), maka grafik akan dimampatkan oleh ( frac {1} {b} ).
  • Sekiranya (0
  • Sekiranya (b <0 ), maka akan ada gabungan regangan atau pemampatan mendatar dengan pantulan mendatar.

Bagaimana untuk...

Dengan gambaran fungsi, lakarkan pemampatan atau regangan mendatar.

  1. Tulis formula untuk mewakili fungsi.
  2. Tetapkan (g (x) = f (bx) ) di mana (b> 1 ) untuk pemampatan atau (0

Contoh ( PageIndex {17} ): Melakar Mampatan Mendatar

Katakan seorang saintis membandingkan populasi lalat buah dengan populasi yang berkembang sepanjang jangka hayatnya dua kali lebih cepat daripada populasi asal. Dengan kata lain, populasi baru ini, (R ), akan berkembang dalam 1 jam dengan jumlah yang sama seperti populasi asal dalam 2 jam, dan dalam 2 jam, ia akan berkembang sama seperti populasi asal dalam 4 jam. Lakarkan graf populasi ini.

Penyelesaian

Secara simbolik, kita boleh menulis

( start {align} R (1) & = P (2), R (2) & = P (4), & teks {dan secara umum,} R (t) & = P ( 2t). End {align} )

Lihat Rajah ( PageIndex {28} ) untuk perbandingan grafik penduduk asal dan populasi termampat.

Analisis

Perhatikan bahawa kesan pada grafik adalah pemampatan mendatar di mana semua nilai input adalah separuh dari jarak asalnya dari paksi menegak.

Contoh ( PageIndex {18} ): Mencari Peregangan Mendatar untuk Fungsi Jadual

Fungsi (f (x) ) diberikan sebagai Jadual ( PageIndex {16} ). Buat jadual untuk fungsi (g (x) = f ( frac {1} {2} x) ).

Jadual ( PageIndex {16} )

(x )

2468

(f (x) )

13711

Rumus (g (x) = f ( frac {1} {2} x) ) memberitahu kita bahawa nilai output untuk (g ) adalah sama dengan nilai output untuk fungsi (f ) pada input separuh ukuran. Perhatikan bahawa kita tidak mempunyai cukup maklumat untuk menentukan (g (2) ) kerana (g (2) = f ( frac {1} {2} ⋅2) = f (1) ), dan kami tidak mempunyai nilai untuk (f (1) ) dalam jadual kami. Nilai input kami ke (g ) perlu dua kali lebih besar untuk mendapatkan input untuk (f ) yang dapat kami nilaikan. Sebagai contoh, kita dapat menentukan (g (4) ).

[g (4) = f ( dfrac {1} {2} ⋅4) = f (2) = 1 ]

Kami melakukan perkara yang sama untuk nilai-nilai lain untuk menghasilkan Jadual ( PageIndex {17} ).

Jadual ( PageIndex {17} )

(x )

481216

(g (x) )

13711

Rajah ( PageIndex {29} ) menunjukkan graf kedua-dua set titik ini.

Analisis

Oleh kerana setiap nilai input telah digandakan, hasilnya adalah bahawa fungsi (g (x) ) telah diregangkan secara mendatar oleh faktor 2.

Contoh ( PageIndex {19} ): Mengenali Mampatan Mendatar pada Graf

Kaitkan fungsi (g (x) ) dengan (f (x) ) dalam Rajah ( PageIndex {30} ).

Penyelesaian

Graf (g (x) ) kelihatan seperti graf (f (x) ) yang dimampatkan secara mendatar. Kerana (f (x) ) berakhir pada (6,4) dan (g (x) ) berakhir pada (2,4), kita dapat melihat bahawa nilai-x telah dimampatkan oleh ( frac { 1} {3} ), kerana (6 ( frac {1} {3}) = 2 ). We might also notice that (g(2)=f(6)) and (g(1)=f(3)). Either way, we can describe this relationship as (g(x)=f(3x)). This is a horizontal compression by (frac{1}{3}).

Analisis

Notice that the coefficient needed for a horizontal stretch or compression is the reciprocal of the stretch or compression. So to stretch the graph horizontally by a scale factor of 4, we need a coefficient of (frac{1}{4}) in our function: (f(frac{1}{4}x)). This means that the input values must be four times larger to produce the same result, requiring the input to be larger, causing the horizontal stretching.

Latihan ( PageIndex {11} )

Write a formula for the toolkit square root function horizontally stretched by a factor of 3.

Jawapan

(g(x)=f(frac{1}{3}x)), so using the square root function we get (g(x)=sqrt{frac{1}{3}x})

Performing a Sequence of Transformations

When combining transformations, it is very important to consider the order of the transformations. For example, vertically shifting by 3 and then vertically stretching by 2 does not create the same graph as vertically stretching by 2 and then vertically shifting by 3, because when we shift first, both the original function and the shift get stretched, while only the original function gets stretched when we stretch first.

When we see an expression such as (2f(x)+3), which transformation should we start with? The answer here follows nicely from the order of operations. Given the output value of (f(x)), we first multiply by 2, causing the vertical stretch, and then add 3, causing the vertical shift. In other words, multiplication before addition.

Horizontal transformations are a little trickier to think about. When we write (g(x)=f(2x+3)), for example, we have to think about how the inputs to the function (g) relate to the inputs to the function (f). Suppose we know (f(7)=12). What input to (g) would produce that output? In other words, what value of (x) will allow (g(x)=f(2x+3)=12?) We would need (2x+3=7). To solve for (x), we would first subtract 3, resulting in a horizontal shift, and then divide by 2, causing a horizontal compression.

This format ends up being very difficult to work with, because it is usually much easier to horizontally stretch a graph before shifting. We can work around this by factoring inside the function.

[f(bx+p)=f(b(x+frac{p}{b})) onumber]

Let’s work through an example.

[f(x)=(2x+4)^2 onumber]

We can factor out a 2.

[f(x)=(2(x+2))^2 onumber]

Now we can more clearly observe a horizontal shift to the left 2 units and a horizontal compression. Factoring in this way allows us to horizontally stretch first and then shift horizontally.

Combining Transformations

  • When combining vertical transformations written in the form (af(x)+k), first vertically stretch by (a) and then vertically shift by (k).
  • When combining horizontal transformations written in the form (f(bx+h)), first horizontally shift by (h) and then horizontally stretch by (frac{1}{b}).
  • When combining horizontal transformations written in the form (f(b(x+h))), first horizontally stretch by (frac{1}{b}) and then horizontally shift by (h).
  • Horizontal and vertical transformations are independent. It does not matter whether horizontal or vertical transformations are performed first.

Example (PageIndex{20}): Finding a Triple Transformation of a Tabular Function

Given Table (PageIndex{18}) for the function (f(x)), create a table of values for the function (g(x)=2f(3x)+1).

Table (PageIndex{18})

(x )

6121824

(f (x) )

10141517

Penyelesaian

There are three steps to this transformation, and we will work from the inside out. Starting with the horizontal transformations, (f(3x)) is a horizontal compression by (frac{1}{3}), which means we multiply each (x)-value by (frac{1}{3}).See Table (PageIndex{19}).

Table (PageIndex{19})

(x )

2468

(f(3x))

10141517

Looking now to the vertical transformations, we start with the vertical stretch, which will multiply the output values by 2. We apply this to the previous transformation. See Table (PageIndex{20}).

Table (PageIndex{20})

(x )

2468

(2f(3x))

20283034

Finally, we can apply the vertical shift, which will add 1 to all the output values. See Table (PageIndex{21}).

Table (PageIndex{21})

(x )

2468

(g(x)=2f(3x)+1+1)

21293135

Example (PageIndex{21}): Finding a Triple Transformation of a Graph

Use the graph of (f(x)) in Figure (PageIndex{31}) to sketch a graph of (k(x)=fBig(frac{1}{2}x+1Big)−3).

To simplify, let’s start by factoring out the inside of the function.

[fBig(dfrac{1}{2}x+1Big)−3=fBig(dfrac{1}{2}(x+2)Big)−3]

By factoring the inside, we can first horizontally stretch by 2, as indicated by the (frac{1}{2}) on the inside of the function. Remember that twice the size of 0 is still 0, so the point ((0,2)) remains at ((0,2)) while the point ((2,0)) will stretch to ((4,0)). See Figure (PageIndex{32}).

Next, we horizontally shift left by 2 units, as indicated by (x+2). See Figure (PageIndex{33}).

Last, we vertically shift down by 3 to complete our sketch, as indicated by the −3 on the outside of the function. See Figure (PageIndex{34}).

Persamaan Utama

  • Vertical shift (g(x)=f(x)+k) (up for (k>0))
  • Horizontal shift (g(x)=f(x−h))(right) for (h>0)
  • Vertical reflection (g(x)=−f(x))
  • Horizontal reflection (g(x)=f(−x))
  • Vertical stretch (g(x)=af(x)) (a>0 )
  • Vertical compression (g(x)=af(x)) (0
  • Horizontal stretch (g(x)=f(bx)(0
  • Horizontal compression (g(x)=f(bx)) (b>1)

Konsep kunci

  • A function can be shifted vertically by adding a constant to the output.
  • A function can be shifted horizontally by adding a constant to the input.
  • Relating the shift to the context of a problem makes it possible to compare and interpret vertical and horizontal shifts.
  • Vertical and horizontal shifts are often combined.
  • A vertical reflection reflects a graph about the x-axis. A graph can be reflected vertically by multiplying the output by –1.
  • A horizontal reflection reflects a graph about the y-axis. A graph can be reflected horizontally by multiplying the input by –1.
  • A graph can be reflected both vertically and horizontally. The order in which the reflections are applied does not affect the final graph.
  • A function presented in tabular form can also be reflected by multiplying the values in the input and output rows or columns accordingly.
  • A function presented as an equation can be reflected by applying transformations one at a time.
  • Even functions are symmetric about the y-axis, whereas odd functions are symmetric about the origin.
  • Even functions satisfy the condition (f(x)=f(−x)).
  • Odd functions satisfy the condition (f(x)=−f(−x)).
  • A function can be odd, even, or neither.
  • A function can be compressed or stretched vertically by multiplying the output by a constant.
  • A function can be compressed or stretched horizontally by multiplying the input by a constant.
  • The order in which different transformations are applied does affect the final function. Both vertical and horizontal transformations must be applied in the order given. However, a vertical transformation may be combined with a horizontal transformation in any order.

Glosari

even function

a function whose graph is unchanged by horizontal reflection, (f(x)=f(−x)), and is symmetric about the y-axis

horizontal compression
a transformation that compresses a function’s graph horizontally, by multiplying the input by a constant b>1

horizontal reflection
a transformation that reflects a function’s graph across the y-axis by multiplying the input by −1

horizontal shift
a transformation that shifts a function’s graph left or right by adding a positive or negative constant to the input

horizontal stretch
a transformation that stretches a function’s graph horizontally by multiplying the input by a constant 0

odd function
a function whose graph is unchanged by combined horizontal and vertical reflection, (f(x)=−f(−x)), and is symmetric about the origin

vertical compression
a function transformation that compresses the function’s graph vertically by multiplying the output by a constant 0

vertical reflection
a transformation that reflects a function’s graph across the x-axis by multiplying the output by −1

vertical shift
a transformation that shifts a function’s graph up or down by adding a positive or negative constant to the output

vertical stretch
a transformation that stretches a function’s graph vertically by multiplying the output by a constant a>1


Tonton videonya: Teksta uzdevumi (Disember 2021).