Artikel

5.1: Had - Matematik

5.1: Had - Matematik



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Mari (A subset mathbb {R} ) dan biarkan (x ) menjadi titik had (A. ) Berikut ini, kita akan membiarkan (S (A, x) ) menunjukkan set semua urutan konvergen ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n di I} ) sehingga (x_ {n} di A ) untuk semua (n di I, x_ {n} neq x ) untuk semua (n di I, ) dan ( lim _ {n rightarrow infty} x_ {n} = x. ) Kami akan membiarkan (S ^ { +} (A, x) ) menjadi subset (S (A, x) ) urutan ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n di I} ) yang (x_ {n}> x ) untuk semua (n di I ) dan (S ^ {-} (A, x) ) menjadi subset (S (A, x) ) dari urutan ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n di I} ) yang (x_ {n}

Definisi

Mari (D subset mathbb {R}, f: D rightarrow mathbb {R}, L in mathbb {R}, ) dan anggap (a ) adalah titik had (D. ) Kami mengatakan had (f ) sebagai (x ) menghampiri (a ) dilambangkan (L, )

[ lim _ {x anak panah kanan a} f (x) = L, ]

jika untuk setiap urutan ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n di I} di S (D, a) ),

[ lim _ {n rightarrow infty} f kiri (x_ {n} kanan) = L. ]

Sekiranya (S ^ {+} (D, a) neq emptyset, ) kita katakan had dari sebelah kanan (f ) kerana (x ) menghampiri (a ) adalah (L, ) dilambangkan

[ lim _ {x panah kanan a +} f (x) = L, ]

jika untuk setiap urutan ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n di I} di S ^ {+} (D, a) ),

[ lim _ {n rightarrow infty} f kiri (x_ {n} kanan) = L, ]

dan, jika (S ^ {-} (D, a) neq emptyset, ) kita katakan had dari sebelah kiri (f ) kerana (x ) menghampiri (a ) adalah ( L, ) dilambangkan

[ lim _ {x panah kanan a-} f (x) = L, ]

jika untuk setiap urutan ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n di I} di S ^ {-} (D, a) ),

[ lim _ {n rightarrow infty} f kiri (x_ {n} kanan) = L. ]

Kita juga mungkin menunjukkan

[ lim _ {x anak panah kanan a} f (x) = L ]

dengan menulis

[f (x) rightarrow L text {as} x rightarrow a. ]

Begitu juga, kita mungkin menunjukkan

[ lim _ {x kanan bawah a ^ {+}} f (x) = L ]

dengan menulis

[f (x) kanan L teks {as} x downarrow a ]

dan

[ lim _ {x panah kanan a ^ {-}} f (x) = L ]

dengan menulis

[f (x) kanan L teks {as} x uparrow a ]

Kami juga membiarkan

[f (a +) = lim _ {x kanan bawah a ^ {+}} f (x) ]

dan

[f (a -) = lim _ {x kanan bawah a ^ {-}} f (x). ]

Harus jelas bahawa jika ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ) dan (S ^ {+} (D, a) neq emptyset, ) maka (f ( a +) = L ). Begitu juga, jika ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ) dan (S ^ {-} (D, a) neq emptyset, ) maka (f (a-) = L ).

cadangan ( PageIndex {1} )

Katakan (D subset mathbb {R}, f: D rightarrow mathbb {R}, ) dan (a ) adalah titik had (D ). Sekiranya (f (a -) = f (a +) = L, ) maka ( lim _ {x anak panah kanan a} f (x) = L ).

Bukti

Katakan ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n = m} ^ { infty} di S (D, a). ) Biarkan

[J ^ {-} = kiri {n: n in mathbb {Z}, x_ {n}

dan

[J ^ {+} = kiri {n: n in mathbb {Z}, x_ {n}> a kanan }. ]

Katakan (J ^ {-} ) kosong atau terhingga dan biarkan (k = m-1 ) jika (J ^ {-} = emptyset ) dan, jika tidak, biarkan (k ) menjadi bilangan bulat terbesar di (J ^ {-}. ) Kemudian ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n = k + 1} ^ { infty} di S ^ {+} (D , a), ) dan sebagainya

[ lim _ {n rightarrow infty} f kiri (x_ {n} kanan) = f (a +) = L. ]

Hujah serupa menunjukkan bahawa jika (J ^ {+} ) kosong atau terbatas, maka

[ lim _ {n rightarrow infty} f kiri (x_ {n} kanan) = f (a -) = L. ]

Sekiranya (J ^ {-} ) atau (J ^ {+} ) tidak terhingga atau kosong, maka ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n di J} - ) dan ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n di J} + ) adalah turutan ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n = m} ^ { infty} ) dengan ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n di J ^ {-}} di S ^ {-} (D, a) ) dan ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n di J +} di S ^ {+} (D, a). ) Oleh itu, jika diberi sebarang ( epsilon> 0, ), kita mungkin menjumpai bilangan bulat (N ) dan (M ) sedemikian

[ kiri | f kiri (x_ {n} kanan) -L kanan | < epsilon ]

setiap kali (n di kiri {j: j di J ^ {-}, j> N kanan } ) dan

[ kiri | f kiri (x_ {n} kanan) -L kanan | < epsilon ]

setiap kali (n di kiri {j: j di J ^ {+}, j> M kanan }. ) Biarkan (P ) menjadi lebih besar (N ) dan (M . ) Oleh kerana (J ^ {-} cup J ^ {+} = kiri {j: j in mathbb {Z} ^ {+}, j geq m kanan }, ) ia mengikuti bahawa

[ kiri | f kiri (x_ {n} kanan) -L kanan | < epsilon ]

bila-bila masa (n> P. ) Oleh itu ( lim _ {n rightarrow infty} f kiri (x_ {n} kanan) = L, ) dan begitu ( lim _ {x kanan bawah } f (x) = L ). ( quad ) Q.E.D.

cadangan ( PageIndex {2} )

Katakan (D subset mathbb {R}, a ) adalah titik had (D, ) dan (f: D rightarrow mathbb {R} ). Sekiranya ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ) dan ( alpha in mathbb {R}, ) maka

[ lim _ {x kanan bawah a} alpha f (x) = alpha L. ]

Bukti

Katakan ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n di I} di S (D, a). ) Kemudian

[ lim _ {n rightarrow infty} alpha f left (x_ {n} right) = alpha lim _ {n rightarrow infty} f kiri (x_ {n} kanan) = alpha L. ]

Oleh itu ( lim _ {x kanan bawah a} alpha f (x) = alpha L ). ( quad ) Q.E.D.

cadangan ( PageIndex {3} )

Katakan (D subset mathbb {R}, a ) adalah titik had (D, f: D rightarrow mathbb {R}, ) dan (g: D rightarrow mathbb {R} . ) Jika ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ) dan ( lim _ {x rightarrow a} g (x) = M, ) maka

[ lim _ {x anak panah kanan a} (f (x) + g (x)) = L + M. ]

Bukti

Katakan ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n di I} di S (D, a). ) Kemudian

[ lim _ {n panah kanan infty} kiri (f kiri (x_ {n} kanan) + g kiri (x_ {n} kanan) kanan) = lim _ {n kanan bawah infty} f kiri (x_ {n} kanan) + lim _ {n kananarrow infty} g kiri (x_ {n} kanan) = L + M. ]

Oleh itu ( lim _ {x anak panah kanan a} (f (x) + g (x)) = L + M ). ( quad ) Q.E.D.

cadangan ( PageIndex {4} )

Katakan (D subset mathbb {R}, a ) adalah titik had (D, f: D rightarrow mathbb {R}, ) dan (g: D rightarrow mathbb {R} . ) Jika ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ) dan ( lim _ {x rightarrow a} g (x) = M, ) maka

[ lim _ {x anak panah kanan a} f (x) g (x) = L M. ]

Latihan ( PageIndex {1} )

Buktikan dalil sebelumnya.

cadangan ( PageIndex {5} )

Katakan (D subset mathbb {R}, a ) adalah titik had (D, f: D rightarrow mathbb {R} ), (g: D rightarrow mathbb {R}, ) dan (g (x) neq 0 ) untuk semua (x di D. ) Jika ( lim _ {x kanan bawah a} f (x) = L, lim _ {x anak panah kanan a} g (x) = M, ) dan (M neq 0, ) kemudian

[ lim _ {x kanan bawah a} frac {f (x)} {g (x)} = frac {L} {M}. ]

Latihan ( PageIndex {2} )

Buktikan dalil sebelumnya.

cadangan ( PageIndex {6} )

Katakan (D subset mathbb {R}, a ) adalah titik had (D, f: D rightarrow mathbb {R}, ) dan (f (x) geq 0 ) untuk semua (x di D. ) Jika ( lim _ {x kanan bawah a} f (x) = L, ) maka

[ lim _ {x kanan bawah a} sqrt {f (x)} = sqrt {L}. ]

Latihan ( PageIndex {3} )

Buktikan dalil sebelumnya.

Diberi (D subset mathbb {R}, f: D rightarrow mathbb {R}, ) dan (A subset D, ) kita membiarkan

[f (A) = {y: y = f (x) teks {untuk beberapa} x in A }. ]

Khususnya, (f (D) ) menunjukkan julat (f ).

cadangan ( PageIndex {7} )

Katakan (D subset mathbb {R}, E subset mathbb {R}, a ) adalah titik had (D, g: D rightarrow mathbb {R} ), (f: E rightarrow mathbb {R}, ) dan (g (D) subset E. ) Lebih-lebih lagi, anggap ( lim _ {x rightarrow a} g (x) = b ) dan, untuk beberapa ( epsilon> 0 ), (g (x) neq b ) untuk semua (x in (a- epsilon, a + epsilon) cap D. ) Jika ( lim _ { x panah kanan b} f (x) = L, ) kemudian

[ lim _ {x anak panah kanan a} f circ g (x) = L. ]

Bukti

Katakan ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n di I} di S (D, a). ) Kemudian

[ lim _ {n rightarrow infty} g kiri (x_ {n} kanan) = b. ]

Biarkan (N in mathbb {Z} ^ {+} ) sehingga ( kiri | x_ {n} -a kanan | < epsilon ) setiap kali (n> N. ) Kemudian

[ kiri {g kiri (x_ {n} kanan) kanan } _ {n = N + 1} ^ { infty} di S (E, b), ]

begitu

[ lim _ {n rightarrow infty} f kiri (g kiri (x_ {n} kanan) kanan) = L. ]

Oleh itu ( lim _ {x anak panah kanan a} f circ g (x) = L ). ( quad ) Q.E.D.

Contoh ( PageIndex {1} )

Biarkan

[g (x) = kiri { begin {array} {ll} {0,} & { text {if} x neq 0,} {1,} & { text {if} x = 0.} End {array} kanan. ]

Sekiranya (f (x) = g (x), ) maka

[f circ g (x) = left { begin {array} {ll} {1,} & { text {if} x neq 0,} {0,} & { text { if} x = 0.} akhir {array} kanan. ]

Oleh itu ( lim _ {x rightarrow 0} f circ g (x) = 1, ) walaupun ( lim _ {x rightarrow 0} g (x) = 0 ) dan ( lim _ {x rightarrow 0} f (x) = 0 ).

5.1.1 Had Fungsi Polinomial dan Rasional

Contoh ( PageIndex {2} )

Sekiranya (c in mathbb {R} ) dan (f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) diberikan oleh (f (x) = c ) untuk semua (x in mathbb {R} ), kemudian dengan jelas ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = c ) untuk sebarang (a in mathbb {R} ).

Contoh ( PageIndex {3} )

Katakan (f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) ditakrifkan oleh (f (x) = x ) untuk semua (x in mathbb {R}. ) Jika, untuk mana-mana (a in mathbb {R}, kiri {x_ {n} kanan } _ {n di I} di S ( mathbb {R}, a), ) kemudian

[ lim _ {n rightarrow infty} f kiri (x_ {n} kanan) = lim _ {n rightarrow infty} x_ {n} = a. ]

Oleh itu ( lim _ {x anak panah kanan a} x = a ).

Contoh ( PageIndex {4} )

Katakan (n in mathbb {Z} ^ {+} ) dan (f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) ditakrifkan oleh (f (x) = x ^ {n } ). Kemudian

[ lim _ {x rightarrow a} f (x) = lim _ {x rightarrow a} x ^ {n} = prod_ {i = 1} ^ {n} lim _ {x rightarrow a } x = a ^ {n}. ]

Definisi

Sekiranya (n in mathbb {Z}, n geq 0, ) dan (b_ {0}, b_ {1}, ldots, b_ {n} ) adalah nombor nyata dengan (b_ {n } neq 0, ) maka kita memanggil fungsi (p: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) yang ditentukan oleh

[p (x) = b_ {n} x ^ {n} + b_ {n-1} x ^ {n-1} + cdots + b_ {1} x + b_ {0} ]

polinomial darjah (n ).

Latihan ( PageIndex {4} )

Tunjukkan bahawa jika (f ) adalah polinomial dan (a in mathbb {R}, ) maka ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = f (a) ).

Definisi

Katakan (p ) dan (q ) adalah polinomial dan

[D = {x: x in mathbb {R}, q (x) neq 0 }. ]

Kami memanggil fungsi (r: D rightarrow mathbb {R} ) yang ditentukan oleh

[r (x) = frac {p (x)} {q (x)} ]

fungsi rasional.

Latihan ( PageIndex {5} )

Tunjukkan bahawa jika (f ) adalah fungsi rasional dan (a ) berada dalam domain (f, ) maka ( lim _ {x kanan bawah a} f (x) = f (a) ).

Latihan ( PageIndex {6} )

Katakan (D subset mathbb {R}, a in D ) adalah titik had (D, ) dan ( lim _ {x kanan bawah a} f (x) = L ). Sekiranya (E = D backslash {a } ) dan (g: E rightarrow mathbb {R} ) ditentukan oleh (g (x) = f (x) ) untuk semua ( x di E, ) menunjukkan bahawa ( lim _ {x kanan bawah a} g (x) = L. )

Latihan ( PageIndex {7} )

Nilaikan

[ lim _ {x kanan bawah 1} frac {x ^ {5} -1} {x ^ {3} -1}. ]

Latihan ( PageIndex {8} )

Katakan (D subset mathbb {R}, a ) adalah titik had (D, f: D rightarrow mathbb {R}, g: D rightarrow mathbb {R} ), ( h: D rightarrow mathbb {R}, ) dan (f (x) leq h (x) leq g (x) ) untuk semua (x di D. ) Jika ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ) dan ( lim _ {x rightarrow a} g (x) = L, ) menunjukkan bahawa ( lim _ {x rightarrow a} h (x) = L. ) (Ini adalah teorema pemerasan untuk had fungsi.)

Perhatikan bahawa hasil di atas yang telah dinyatakan untuk had akan berlaku juga untuk had satu sisi yang sesuai, iaitu had dari kanan atau dari kiri.

Latihan ( PageIndex {9} )

Andaikan

[f (x) = kiri { begin {array} {ll} {x + 1,} & { text {if} x <0,} {4,} & { text {if} x = 0,} {x ^ {2},} & { text {if} x> 0.} akhir {array} kanan. ]

Nilaikan (f (0), f (0 -), ) dan (f (0+). ) Adakah ( lim _ {x rightarrow 0} f (x) ) wujud?

5.1.2 Definisi Setara

cadangan ( PageIndex {8} )

Katakan (D subset mathbb {R}, a ) adalah titik had (D, ) dan (f: D rightarrow mathbb {R} ). Kemudian ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ) jika dan hanya jika untuk setiap ( epsilon> 0 ) terdapat ( delta> 0 ) sehingga

[| f (x) -L | < epsilon text {bila-bila masa} x neq a text {dan} x in (a- delta, a + delta) cap D. ]

Bukti

Andaikan ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L. ) Andaikan ada ( epsilon> 0 ) sehingga untuk setiap ( delta> 0 ) ada (x in (a- delta, a + delta) cap D, x neq a, ) yang mana (| f (x) -L | geq epsilon ). Untuk (n = 1,2,3, ldots, ) pilih

[x_ {n} in kiri (a- frac {1} {n}, a + frac {1} {n} kanan) cap D, ]

(x_ {n} neq a, ) sehingga ( kiri | f kiri (x_ {n} kanan) -L kanan | geq epsilon. ) Kemudian ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n = 1} ^ { infty} di S (D, a), ) tetapi ( kiri {f kiri (x_ {n} kanan) kanan } _ {n = 1} ^ { infty} ) tidak menyatu dengan (L, ) yang bertentangan dengan anggapan bahawa ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ).

Sekarang anggap bahawa untuk setiap ( epsilon> 0 ) ada ( delta> 0 ) sedemikian rupa sehingga (| f (x) -L | < epsilon ) setiap kali (x neq a ) dan (x in (a- delta, a + delta) cap D. ) Biarkan ( kiri {x_ {n} kanan } _ {n di I} di S (D, a Diberi ( epsilon> 0 ), biarkan ( delta> 0 ) sedemikian rupa sehingga (| f (x) -L | < epsilon ) setiap kali (x neq a ) dan (x in (a- delta, a + delta) cap D. ) Pilih (N in mathbb {Z} ) sehingga ( kiri | x_ {n} -a kanan | < delta ) setiap kali (n> N. ) Kemudian ( kiri | f kiri (x_ {n} kanan) -L kanan | < epsilon ) untuk semua (n> N. ) Oleh itu ( lim _ {n rightarrow infty} f kiri (x_ {n} kanan) = L, ) dan begitu ( lim _ {x kanan bawah a} f (x) = L . ) ( quad ) QED

Bukti dua cadangan seterusnya adalah serupa.

cadangan ( PageIndex {9} )

Katakan (D subset mathbb {R}, a ) adalah titik had (D, f: D rightarrow mathbb {R}, ) dan (S ^ {-} (D, a) neq emptyset. ) Kemudian ( lim _ {x rightarrow a ^ {-}} f (x) = L ) jika dan hanya jika untuk setiap ( epsilon> 0 ) terdapat ( delta> 0 ) sedemikian

[| f (x) -L | < epsilon text {bila-bila masa} x in (a- delta, a) cap D. ]

cadangan ( PageIndex {10} )

Katakan (D subset mathbb {R}, a ) adalah titik had (D, f: D rightarrow mathbb {R}, ) dan (S ^ {+} (D, a) neq emptyset. ) Kemudian ( lim _ {x rightarrow a ^ {+}} f (x) = L ) jika dan hanya jika untuk setiap ( epsilon> 0 ) terdapat ( delta> 0 ) sedemikian

[| f (x) -L | < epsilon text {setiap kali} x in (a, a + delta) cap D. ]

5.1.3 Contoh

Contoh ( PageIndex {5} )

Tentukan (f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) oleh

[f (x) = kiri { begin {array} {ll} {1,} & { text {if} x text {adalah rasional,}} {0,} & { text { jika} x teks {tidak rasional. }} end {array} kanan. ]

Mari (a in mathbb {R}. ) Oleh kerana setiap selang terbuka mengandungi nombor rasional dan tidak rasional, untuk sebarang ( delta> 0 ) dan sebarang pilihan (L in mathbb {R}, ) akan ada (x in (a- delta, a + delta), ) (x neq a, ) sehingga

[| f (x) -L | geq frac {1} {2}. ]

Oleh itu ( lim _ {x rightarrow a} f (x) ) tidak wujud untuk sebarang nombor nyata (a ).

Contoh ( PageIndex {6} )

Tentukan (f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) oleh

[f (x) = kiri { begin {array} {ll} {x,} & { text {if} x text {adalah rasional,}} {0,} & { text { jika} x teks {tidak rasional. }} end {array} kanan. ]

Kemudian ( lim _ {x rightarrow 0} f (x) = 0 ) sejak, diberikan ( epsilon> 0, | f (x) | < epsilon ) disediakan (| x | < epsilon ).

Latihan ( PageIndex {9} )

Tunjukkan bahawa jika (f ) seperti yang diberikan dalam contoh sebelumnya dan (a neq 0 ), maka ( lim _ {x rightarrow a} f (x) ) tidak wujud.

Latihan ( PageIndex {11} )

Tentukan (f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) oleh

[f (x) = kiri { begin {array} {ll} { frac {1} {q},} & { text {if} x text {adalah rasional dan} x = frac { p} {q},} {0,} & { text {if} x text {tidak rasional,}} end {array} kanan. ]

di mana (p ) dan (q ) diambil sebagai bilangan bulat prima dengan (q> 0, ) dan kita mengambil (q = 1 ) apabila (x = 0. ) Tunjukkan bahawa, untuk sebarang nombor nyata (a, lim _ {x rightarrow a} f (x) = 0 ).

Contoh ( PageIndex {7} )

Tentukan ( varphi: [0,1] rightarrow [-1,1] ) oleh

[ varphi (x) = left { begin {array} {ll} {4 x,} & { text {if} 0 leq x leq frac {1} {4},} {2-4 x,} & { text {if} frac {1} {4}

Selanjutnya tentukan (s: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) oleh (s (x) = varphi (x- lfloor x rfloor), ) di mana ( lfloor x rfloor ) menunjukkan bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan (x ) (iaitu, ( lfloor x rfloor ) adalah lantai (x )). Fungsi (s ) adalah contoh fungsi gigi gergaji. Lihat grafik ( varphi ) dan (s ) dalam Rajah (5.1 .1. ) Perhatikan bahawa untuk mana-mana (n in mathbb {Z} ),

[s ([n, n + 1]) = [- 1,1]. ]

Sekarang mari (D = mathbb {R} backslash {0 } ) dan tentukan ( sigma: D rightarrow mathbb {R} ) oleh

[ sigma (x) = s kiri ( frac {1} {x} kanan). ]

Lihat graf ( sigma ) dalam Rajah (5.1 .2. ) Perhatikan bahawa untuk sebarang (n in mathbb {Z} ^ {+} ),

[ sigma kiri ( kiri [ frac {1} {n + 1}, frac {1} {n} kanan] kanan) = s ([n, n + 1]) = [- 1 , 1]. ]

Oleh itu untuk sebarang ( epsilon> 0, sigma ((0, epsilon)) = [- 1,1], ) dan begitu ( lim _ {x kanan bawah 0 ^ {+}} sigma ( x) ) tidak wujud. Begitu juga, tidak ada ( lim _ {x rightarrow 0 ^ {-}} sigma (x) ) atau ( lim _ {x rightarrow 0} sigma (x) ).

Contoh ( PageIndex {8} )

Mari (s ) menjadi fungsi gigi gergaji dari contoh sebelumnya dan biarkan (D = mathbb {R} backslash {0 }. ) Definisikan ( psi: D rightarrow mathbb {R} oleh

[ psi (x) = x s kiri ( frac {1} {x} kanan). ]

Lihat Rajah 5.1 .2 untuk grafik ( psi. ) Kemudian untuk semua (x di D ),

[- | x | leq psi (x) leq | x |, ]

dan begitu ( lim _ {x rightarrow 0} psi (x) = 0 ) oleh teorem pemerasan.

Definisi

Mari (D subset mathbb {R} ) dan (f: D rightarrow mathbb {R}. ) Kami katakan (f ) terikat jika ada nombor nyata (B ) seperti itu bahawa (| f (x) | leq B ) untuk semua (x di D ).

Latihan ( PageIndex {12} )

Katakan (f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) dibatasi. Tunjukkan bahawa ( lim _ {x kanan bawah 0} x f (x) = 0 ).


BATASAN MATEMATIK

Pengarang: Chaitin, Gregory J.

Beli buku ini

  • ISBN 978-1-85233-668-4
  • Penghantaran percuma untuk individu di seluruh dunia
  • Pelanggan institusi harus menghubungi pengurus akaun mereka
  • Biasanya siap dihantar dalam masa 3 hingga 5 hari bekerja, jika ada stok
  • ISBN 978-1-4471-1121-4
  • Penghantaran percuma untuk individu di seluruh dunia
  • Pelanggan institusi harus menghubungi pengurus akaun mereka
  • Biasanya siap dihantar dalam masa 3 hingga 5 hari bekerja, jika ada stok

Sebagai seorang remaja, Greg mencipta secara bebas dari Kolmogorov dan Solomonoff, yang kami namakan sekarang sebagai teori maklumat algoritmik, yang merupakan sub jek di mana dia adalah arkitek utama. Makalahnya tahun 1965 mengenai eksperimen gedanken pada automata, yang ditulisnya ketika dia di sekolah menengah, masih menarik perhatiannya hari ini. Dia juga banyak terlibat dalam IBM, di mana dia telah bekerja selama hampir tiga puluh tahun, dalam pengembangan teknologi RISC. Hasil Greg dipetik secara meluas. Potret kegemaran saya Greg boleh didapati di John Horgan's-seorang penulis buku Scientific American-1996 The End 01 Science. Greg telah mendapat banyak penghargaan. Dia adalah tetamu orang terkenal seperti Prigogine, Raja dan Ratu Belgia, dan Putera Mahkota Jepun. Singkatnya, izinkan saya memartabatkan Bette Davis dalam All About Eve. Dia berkata, "Kencangkan tali pinggang keledar anda, itu akan menjadi perbincangan yang tidak menyenangkan!" Tuan-tuan dan puan-puan, Greg Chaitin! [Ketawa & Tepuk Tangan] CALUDE KRISTIAN memperkenalkan GREGORY CHAITIN pada pertemuan DMTCS'96 di University of Auckland.


Fungsi Eksponensial

Seorang pertumbuhan pertumbuhan atau fungsi pereputan adalah fungsi yang tumbuh atau menyusut pada kadar pertumbuhan peratus yang tetap. Persamaan boleh ditulis dalam bentuk [lateks] f (x) = a (1+ r) ^ x [/ latex] atau [latex] f (x) = ab ^ x [/ latex] di mana [lateks] b = 1 + r. [/ Lateks]

  • [lateks] a [/ lateks] adalah nilai awal atau permulaan fungsi
  • [lateks] r [/ lateks] adalah peratus pertumbuhan atau kadar kerosakan, ditulis sebagai perpuluhan
  • [lateks] b [/ lateks] adalah faktor pertumbuhan atau pengganda pertumbuhan. Oleh kerana kekuatan nombor negatif berkelakuan aneh, kita mengehadkan b pada nilai positif.

Contoh 1

Penduduk India adalah 1.14 bilion pada tahun 2008 dan meningkat sekitar 1.34% setiap tahun. Tulis fungsi eksponensial untuk penduduk India, dan gunakannya untuk meramalkan jumlah penduduk pada tahun 2020.

Dengan menggunakan tahun 2008 sebagai waktu permulaan kami [lateks] (t = 0), [/ lateks] populasi awal kami adalah 1.14 bilion. Oleh kerana kadar pertumbuhan peratus adalah 1.34%, nilai kita untuk [lateks] r [/ lateks] ialah 0.0134.

Dengan menggunakan formula asas untuk pertumbuhan eksponensial [lateks] f (x) = a (1+ r) ^ x [/ lateks] kita dapat menulis formula, [lateks] f (t) = 1.14 (1+ 0.0134) ^ t [ / susu getah]

Untuk menganggarkan populasi pada tahun 2020, kami menilai fungsi pada [lateks] t = 12, [/ latex] sejak tahun 2020 adalah 12 tahun selepas 2008.

[lateks] f (12) -1.14 (1 + 0.0234) ^ 12 lebih kurang 1.337 teks [/ lateks] ≈ bilion orang pada tahun 2020

Contoh 2

Sijil deposit (CD) adalah jenis akaun simpanan yang ditawarkan oleh bank, biasanya menawarkan kadar faedah yang lebih tinggi sebagai imbalan untuk jangka masa yang tetap anda akan meninggalkan wang anda dilaburkan. Sekiranya bank menawarkan CD 24 bulan dengan kadar faedah tahunan 1.2% dikompaun bulanan, berapakah jumlah pelaburan $ 1000 yang akan meningkat selama 24 bulan tersebut?

Pertama, kita mesti perhatikan bahawa kadar faedah adalah kadar tahunan, tetapi dikompaun setiap bulan, yang bermaksud faedah dikira dan ditambahkan ke akaun setiap bulan. Untuk mengetahui kadar faedah bulanan, kami membahagikan kadar tahunan 1.2% dengan 12 kerana terdapat 12 bulan dalam setahun: 1.2% / 12 = 0.1%. Setiap bulan kita akan mendapat faedah 0.1%. Dari ini, kita dapat menetapkan fungsi eksponensial, dengan jumlah awal $ 1000 dan kadar pertumbuhan r = 0.001, dan input kami diukur dalam beberapa bulan.

Selepas 24 bulan, akaun akan bertambah menjadi

Contoh 3

Bismuth-210 adalah isotop yang secara radioaktif merosot sekitar 13% setiap hari, yang bermaksud 13% dari bismut-210 yang tersisa berubah menjadi atom lain (polonium-210 dalam kes ini) setiap hari. Sekiranya anda memulakan dengan 100 mg Bismuth-210, berapa banyak yang tinggal selepas satu minggu?

Dengan peluruhan radioaktif, bukannya kuantiti meningkat pada kadar peratus, kuantiti menurun pada kadar peratus. Kuantiti awal kami adalah [lateks] a = 100 mg [/ lateks], dan kadar pertumbuhan kami akan menjadi negatif 13%, kerana kami semakin berkurang: [lateks] r = -0.13. [/ Lateks] Ini memberikan persamaan:
$ Q (d) = 100 (1-0.13) ^ d = 100 (0.87) ^ d $
Ini juga dapat dijelaskan dengan menyedari bahawa jika 13% merosot, maka 87% tetap.

Selepas satu minggu, 7 hari, jumlah yang tinggal akan menjadi
[lateks] Q (7) = 100 (0.87) ^ 7 = 37.73 [/ lateks] mg Bismuth-210 kekal.

Contoh 4

[lateks] T (q) [/ latex] mewakili jumlah kontrak telefon pintar Android, dalam ribuan, yang dipegang oleh kawasan kedai Verizon tertentu yang diukur setiap suku tahun sejak 1 Januari 2010. Tafsirkan semua bahagian persamaan [lateks] t (2) = 86 (1.64) ^ 2 = 231.3056 [/ lateks]

Mentafsirkan ini dari bentuk eksponen asas, kita tahu bahawa 86 adalah nilai awal kita. Ini bermaksud bahawa pada 1 Januari 2010 wilayah ini memiliki 86,000 kontrak telefon pintar Android. Oleh kerana [lateks] b = 1 + r = 1.64, [/ lateks] kita tahu bahawa setiap suku tahun kontrak telefon pintar meningkat sebanyak 64%. [lateks] T (2) = 231.3056 [/ lateks] bermaksud bahawa pada suku kedua (atau pada akhir suku kedua) terdapat kira-kira 231.305 kontrak telefon pintar Android.

Semasa bekerja dengan eksponen, ada pemalar khas yang mesti kita bicarakan. Ia timbul ketika kita membincangkan hal-hal yang terus berkembang, seperti penggabungan berterusan, atau fenomena semula jadi seperti kerosakan radioaktif yang berlaku secara berterusan.


Contoh dengan Fungsi Kuadratik

Masalah 3. Dengan menggunakan definisi had, tunjukkan bahawa lim x & # x2192 1 x 2 = 1 < displaystyle < displaystyle lim _x ^ <2> = 1 >>.

dengan cara yang dijelaskan dalam Penjelasan. Lebih penting lagi, dengan menambahkan dua ketidaksamaan yang kita ada

Sekarang, bukti kami boleh ditulis.

Masalah 4. Dengan menggunakan definisi had, tunjukkan bahawa lim x & # x2192 2 3 x 2 = 12 < displaystyle < displaystyle lim _3x ^ <2> = 12 >>.

Berdasarkan masalah sebelumnya, mari pilih & # x03B4 = 1 < displaystyle delta = 1> awal. Kemudian kita ada


Senarai had umum

Untuk sebarang nombor nyata a dan c, l ⁢ i ⁢ m x → a ⁢ c = c.

Untuk sebarang nombor nyata a dan n, lim x → a ⁡ x n = a n (terbukti di sini (http://planetmath.org/ContinuityOfNaturalPower) untuk n bilangan bulat positif)

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1 (terbukti di sini (http://planetmath.org/LimitOfDisplaystyleFracsinXxAsXApproaches0))

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 0 (terbukti di sini (http://planetmath.org/LimitOfDisplaystyleFrac1CosXxAsXApproaches0))

lim x → 0 ⁡ arcsin ⁡ x x = 1 (terbukti di sini (http://planetmath.org/LimitExamples))

lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 (terbukti di sini (http://planetmath.org/DerivativeOfExponentialFunction))

Untuk a & gt 0, lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a (terbukti di sini (http://planetmath.org/LimitOfDisplaystyleFracax1xAsXApproaches0)).

Untuk b & gt 1 dan nombor nyata, lim x → ∞ ⁡ x a b x = 0 (terbukti di sini (http://planetmath.org/GrowthOfExponentialFunction)).

lim x → 0 + ⁡ x x = 1 (terbukti di sini (http://planetmath.org/FunctionXx))

lim x → 0 + ⁡ x ⁢ ln ⁡ x = 0 (terbukti di sini (http://planetmath.org/GrowthOfExponentialFunction))

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0 (terbukti di sini (http://planetmath.org/GrowthOfExponentialFunction))

lim x → ∞ ⁡ x 1 x = 1 (terbukti di sini (http://planetmath.org/GrowthOfExponentialFunction))

lim x → 0 ⁡ (1 + sin ⁡ x) 1 x = e (kekuatan e, peraturan l'Hôpital (http://planetmath.org/LHpitalsRule))

lim x → ∞ ⁡ (x - x 2 - a 2) = 0 (terbukti di sini (http://planetmath.org/Hyperbola))

Untuk a & gt 0 dan n bilangan bulat positif, lim x → a ⁡ x - a x n - a n = 1 n ⁢ a n - 1.

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - sin ⁡ x x 3 = 1 2 (oleh peraturan l'Hôpital (http://planetmath.org/LHpitalsRule))

Untuk q & gt 0, lim x → ∞ ⁡ (log ⁡ x) p x q = 0

tan ⁡ (x + π 2) = lim ξ → π 2 ⁡ tan ⁡ x + tan ⁡ ξ 1 - tan ⁡ x ⁢ tan ⁡ ξ = lim ξ → π 2 ⁡ sec 2 ⁡ ξ - tan ⁡ x ⁢ sec 2 ⁡ ξ = - cot ⁡ x (mengikut peraturan l'Hôpital (http://planetmath.org/LHpitalsRule))
Maksudnya, tan ⁡ x ⁢ tan ⁡ (x + π 2) = - 1, yang menunjukkan orthogonality lereng yang diwakili oleh fungsi tersebut.

Untuk pemalar nyata atau kompleks c dan pemboleh ubah z,
lim n → ∞ ⁡ n n + 1 z n + 1 ⁢ (c + n z) - (n + 1) = e - c ⁢ z.

Untuk x sebenar (atau kompleks), lim n → ∞ ⁡ n ⁢ (x n - 1) = log ⁡ x (terbukti di sini (http://planetmath.org/HalleysFormula) untuk x sebenar).


Sempadan Kelas

Batasan kelas boleh didefinisikan sebagai had kelas sebenar selang kelas.

Untuk klasifikasi bertindih atau klasifikasi yang saling eksklusif yang tidak termasuk had kelas atas seperti 1

batas kelas bertepatan dengan had kelas.

Ini biasanya dilakukan untuk pemboleh ubah berterusan. Walau bagaimanapun, untuk klasifikasi yang tidak bertindih atau saling merangkumi yang merangkumi kedua-dua had kelas seperti

yang biasanya berlaku untuk pemboleh ubah diskrit, kita ada

di mana D adalah perbezaan antara LCL selang kelas seterusnya dan UCL selang kelas yang diberikan.

Untuk data yang ditunjukkan dalam jadual di atas, LCB selang kelas pertama adalah

dan UCB yang sesuai adalah

Selain daripada had kelas barang dan had kelas, mari kita lihat titik tengah selang kelas. & # xa0


Mengehadkan Nilai Fungsi

Kami menganggap x sebagai pemboleh ubah sebenar, a adalah pemalar sebenar dan f (x) adalah fungsi bernilai tunggal x.

Sekiranya x secara beransur-ansur menghampiri nilai-nilai andaian yang lebih besar daripada a dan jika nilai-nilai f (x) yang sesuai ada dan nilai-nilai ini secara beransur-ansur mendekati pemalar terhingga, maka $ latexl_1 $ disebut nilai had f had tangan kanan f (x) dan dilambangkan dengan,

Sekali lagi, jika x secara beransur-ansur mendekati nilai-nilai andaian yang kurang dari a dan jika nilai f (x) yang sesuai ada dan nilai-nilai ini secara beransur-ansur mendekati pemalar hingga $ latexl_2 $, maka $ latexl_2 $ disebut kiri (x) atau had kiri f (x) dan dilambangkan dengan,

Apabila x menghampiri nilai anggapan sama ada lebih besar atau kurang dari a dan f (x) menganggap nilai terhingga untuk setiap nilai x dan jika nilai f (x) secara beransur-ansur mendekati pemalar terhingga l, maka l disebut nilai had f (x). Ia dilambangkan oleh,

Had fungsi hanya ada jika kedua-duanya (had tangan kanan) dan (had tangan kiri) ada dan, iaitu, jika


Contoh Berfungsi

Ini adalah salah satu daripada lebih daripada 2,400 kursus di OCW. Terokai bahan untuk kursus ini di halaman yang dipautkan di sebelah kiri.

MIT OpenCourseWare adalah penerbitan bahan percuma & terbuka dari beribu-ribu kursus MIT, yang merangkumi keseluruhan kurikulum MIT.

Tiada pendaftaran atau pendaftaran. Jelajah dan gunakan bahan OCW secara bebas mengikut kadar anda sendiri. Tidak ada pendaftaran, dan tidak ada tarikh mula atau akhir.

Ilmu adalah ganjaran anda. Gunakan OCW untuk membimbing pembelajaran sepanjang hayat anda sendiri, atau untuk mengajar orang lain. Kami tidak menawarkan kredit atau pensijilan untuk menggunakan OCW.

Dibuat untuk berkongsi. Muat turun fail untuk kemudian. Hantar kepada rakan dan rakan sekerja. Ubah, remix, dan gunakan semula (ingat untuk menyebut OCW sebagai sumbernya.)


Had: Pengenalan dan Had Satu Sisi

Had fungsi f (x) kerana x menghampiri beberapa nilai sewenang-wenang a dilambangkan oleh:


dan dibaca "had f (x) kerana x menghampiri sama dengan L". Oleh kerana nilai x menghampiri nilai a, nilai f (x) mendekati L. Penting untuk diperhatikan bahawa had tersebut tidak termasuk di mana x = a tetapi hanya nilai yang dekat dan di kedua sisi a.

Ambil fungsi f (x) = x + 2 x & # x2212 1 ketika menghampiri 1. Jadual menyenaraikan nilai f (x) berhampiran x = 0.

Jadual menunjukkan bahawa ketika x menghampiri 0 dari kiri atau kanan, nilai f (x) menghampiri -2. Dari ini kita dapat mengagak bahawa had f (x) = x + 2 x & # x2212 1 ketika x menghampiri 0 adalah -2:

Walaupun had fungsi f (x) = x + 2 x & # x2212 1 nampaknya menghampiri -2 kerana x menghampiri 0 dari kiri atau kanan, beberapa fungsi hanya mempunyai had satu sisi. Notasi berikut digunakan untuk melambangkan had kiri dan kanan.

lim x & # x2192 a & # x2212 f (x) lim x & # x2192 a + f (x)

Had kiri Had kanan

Mari kita lihat beberapa had fungsi yang ditunjukkan di bawah.

Had sebagai x menghampiri 1 dari kiri, lim x & # x2192 1 & # x2212 f (x), adalah 3 sementara had sebagai x menghampiri 1 dari kanan, lim x & # x2192 1 + f (x), adalah 1. Oleh kerana had kiri dan kanan kerana x pendekatan 1 berbeza, had kerana x menghampiri 1 tidak ada.

Sekarang 'mari kita lihat had ketika x menghampiri 2. Batas sebagai x menghampiri 2 dari kiri adalah 0.5, dan had ketika x menghampiri 2 dari kanan adalah 0.5. Oleh itu had sebagai x menghampiri 1 dari kedua arah adalah 0,5.

Perhatikan bahawa bila x = 2 nilai fungsi adalah 4. Oleh itu, had tidak mementingkan nilai ketika x = 2 tetapi hanya nilai sebagai x menghampiri 2.

Had Kiri: lim x & # x2192 1 & # x2212 f (x) = 3

Had sebelah kanan: lim x & # x2192 1 + f (x) = 1

Had Keseluruhan: lim x & # x2192 1 f (x) = DNE

Had kiri: lim x & # x2192 2 & # x2212 f (x) = 0.5

Had kanan: lim x & # x2192 2 + f (x) = 0.5

Had Keseluruhan: lim x & # x2192 2 f (x) = 0.5

Mari cari had dalam beberapa contoh.

Langkah 1: Grafkan fungsi.

Langkah 2: Buat jadual nilai dekat dan di kedua sisi 2.


Kalkulus

Perkataan Calculus berasal dari bahasa Latin yang bermaksud "batu kecil",
Kerana ia seperti memahami sesuatu dengan melihat potongan-potongan kecil.

Kalkulus Pembezaan memotong sesuatu menjadi kepingan kecil untuk mengetahui bagaimana ia berubah.

Kalkulus Integral bergabung (menyatukan) kepingan-kepingan kecil itu bersama-sama untuk mencari jumlah yang ada.

Baca Pengenalan Kalkulus atau "berapa pantas sekarang?"


Hitung had ungkapan

Had adalah nilai tertentu yang mana fungsi menghampiri. Mencari had biasanya bermaksud mencari nilai apa y kerana x menghampiri nombor tertentu. Anda akan mengartikannya seperti "had fungsi f (x) adalah 7 kerana x menghampiri tak terhingga. Contohnya, bayangkan lengkung seperti ketika x menghampiri tak terhingga, lengkung itu semakin dekat dan lebih dekat dengan y = 0 sementara tidak pernah benar-benar sampai di sana. Jadi, bagaimana kita dapat mencari had itu secara algebra? Salah satu cara untuk mencari had adalah dengan cara kaedah penggantian.

Sebagai contoh, had grafik berikut adalah 0 kerana x menghampiri infiniti, jelas dilihat ketika grafik mendekati 0 seperti:

Sekarang, mari kita lihat beberapa contoh di mana kita dapat menemui had fungsi sebenar:

Contoh A

Cari had (f (x) = 4x ), ketika x menghampiri 3.

1) Gantikan x untuk 3.
2) Permudahkan.

(f (x) = 4x ) menjadi (f (3) = 4 (3) = 12 ).

Jadi, had (f (x) = 4x ) kerana x menghampiri 3 ialah 12.

Dalam kes ini, penyelesaiannya sangat mudah, kerana fungsinya tidak hanya menghampiri 12 tetapi berjalan lancar!

Contoh B: Cari had:

Ikuti langkah yang sama seperti di atas.

Jadi, had (x ^ 2 + 5x - 3 ) kerana x menghampiri 1 adalah 3.

Walau bagaimanapun, kaedah penggantian tidak akan selalu berfungsi. Untuk Contoh C di bawah, anda mesti memperhitungkan pengangka terlebih dahulu SEBELUM menggunakan kaedah penggantian.

Contoh C:

Sekiranya kita menggantikan 0 untuk x dalam Contoh C, kita akan membuat pembahagian dengan sifar yang TIDAK ADA atau TIDAK DILARANG. Itulah sebab pemfaktoran HARUS menjadi langkah pertama kami dalam sampel ini. Kita mesti membersihkannya sedikit supaya tidak ada pembahagian dengan sifar.

Memfaktorkan pembilang untuk x, yang biasa bagi kedua-dua istilah, memberi kita:

Kami membatalkan faktor x dalam pengangka dan penyebut, meninggalkan kami dengan had sederhana:

Sekarang, kita boleh menggantikan 0 dengan x untuk mengetahui hadnya adalah -7:

Catatan: Walaupun kami dapat mempermudah fungsi di Sampel C dengan memfaktorkan, kami tidak dapat berpura-pura bahawa ia tidak berlaku. Ingat bahawa kita menemui had ketika x menghampiri 0, tidak berusaha menilai fungsi AT x = 0. Fungsi masih belum ditentukan pada x = 0. Namun, ia mempunyai had. Hanya versi yang dipermudahkan yang mempunyai penyelesaian pada x = 0. Hanya setelah pemfaktoran, dalam beberapa kes, kita dapat menggunakan pengganti untuk mencari hadnya.


Tonton videonya: X Sannolikhet (Ogos 2022).