Artikel

6.4: Pangkalan Lain


Dalam sistem 1 ← 3, tiga titik dalam satu kotak bernilai satu titik di kotak satu tempat di sebelah kiri. Ini memberikan gambaran baru:

Setiap titik di kotak kedua dari kiri bernilai tiga. Setiap titik di kotak ketiga bernilai tiga 3, iaitu sembilan, dan seterusnya.

Contohnya

Kami mengatakan bahawa kod 1 ← 3 untuk lima belas adalah 120. Kami melihat bahawa ini betul kerana:

[1 cdot 9 + 2 cdot 3 + 0 cdot 1 = 15 ldotp ]

Masalah 8

Jawab soalan-soalan ini mengenai sistem 1 ← 3.

  1. Label apa yang harus terdapat pada kotak di sebelah kiri kotak 9?
  2. Berapakah nilai kotak dua titik di sebelah kiri kotak 9?
  3. Nombor apa yang mempunyai kod 1 ← 3 21002?
  4. Apakah kod 1 ← 3 untuk dua ratus titik?

Dalam sistem 1 ← 4, empat titik dalam satu kotak bernilai satu titik di kotak satu tempat di sebelah kiri.

Masalah 9

Jawab soalan-soalan ini mengenai sistem 1 ← 4.

  1. Berapakah nilai setiap kotak dalam gambar di atas?
  2. Apakah kod 1 ← 4 untuk dua puluh sembilan titik?
  3. Nombor berapa yang mempunyai 1 ← 4 kod 132?

Masalah 10

Dalam sistem 1 ← 10, sepuluh titik dalam satu kotak bernilai satu titik di kotak satu tempat di sebelah kiri.

  1. Lukis gambar 1 ← 10 dan labelkan empat kotak pertama dengan nilainya.
  2. Apakah kod 1 ← 10 untuk lapan ribu empat ratus dua puluh dua?
  3. Apakah nombor yang mempunyai kod 1 ← 10 95,753?
  4. Apabila kita menulis nombor 7,842, apa yang dimaksud dengan "7"?
    The "4" adalah empat kumpulan dengan nilai apa?
    Nilai “8” adalah lapan kumpulan dengan nilai apa?
    Nilai “2” adalah dua kumpulan dengan nilai apa?
  5. Mengapa anda fikir kami menggunakan sistem 1 ← 10 untuk menulis nombor?

Definisi

Ingat bahawa nombor yang ditulis dalam sistem ← 2 dipanggil binari atau asas dua nombor.

Nombor yang ditulis dalam sistem ← 3 dipanggil asas tiga nombor.

Nombor yang ditulis dalam sistem 1 ← 4 dipanggil asas empat nombor.

Nombor yang ditulis dalam sistem 1 ← 10 dipanggil asas sepuluh nombor.

Secara umum, nombor ditulis dalam 1 ←b sistem dipanggil pangkalan b nombor.

Di pangkalan b sistem nombor, setiap tempat mewakili kekuatan b, yang bermaksud (b ^ {n} ) untuk beberapa nombor bulat n. Ingat ini bermaksud b didarab dengan sendirinya n kali:

  • Tempat paling tepat adalah unit atau tempat. (Mengapa ini adalah kekuatan b?)
  • Tempat kedua adalah "bTempat. (Di pangkalan sepuluh, ini adalah tempat berpuluh.)
  • Tempat ketiga adalah tempat “ (b ^ {2} )”. (Di pangkalan sepuluh, itulah ratusan tempat. Perhatikan bahawa (10 ​​^ {2} = 100 ).)
  • Tempat keempat adalah tempat “ (b ^ {3} )”. (Di pangkalan sepuluh, itulah ribuan tempat, kerana (10 ​​^ {3} = 1000 ).)
  • Dan sebagainya.

tatatanda

Setiap kali kita berurusan dengan nombor yang ditulis dalam pangkalan yang berbeza, kita menggunakan langganan untuk menunjukkan pangkalannya agar tidak ada kekeliruan. Jadi:

  • (102_ {three} ) adalah nombor tiga asas (baca sebagai "satu-sifar-dua asas tiga"). Ini adalah kod asas tiga untuk nombor sebelas.
  • (222_ {empat} ) adalah nombor empat asas (baca sebagai "dua-dua-dua asas empat"). Ini adalah kod asas empat untuk nombor empat puluh dua.
  • (5321_ {ten} ) ialah nombor sepuluh asas. (Tidak mengapa mengatakan "lima puluh empat ribu tiga ratus dua puluh satu." Mengapa?)

Sekiranya asasnya tidak ditulis, kami menganggapnya asas sepuluh.

Ingat: apabila anda melihat langganan, anda akan melihatnya kod untuk sebilangan titik.

Fikir / Pasangkan / Kongsi

  1. Cari bilangan titik yang ditunjukkan oleh masing-masing: $$ 222_ {three} qquad 310_ {four} qquad 5321_ {ten} ldotp $$
  2. Mewakili sembilan titik di setiap pangkalan: $$ teks {tiga, lima, lapan, sembilan, dan sebelas} ldotp $$
  3. Digit manakah yang digunakan dalam sistem asas dua? Sistem asas tiga? Sistem asas empat? Sistem asas lima? Sistem asas enam? Sistem asas sepuluh?
  4. Apa yang dilakukan pangkalan memberitahu anda mengenai sistem nombor? (Fikirkan sebanyak mungkin jawapan!)

Pangkalan b ke Pangkalan Sepuluh

Kami sekarang akan menerangkan beberapa kaedah umum untuk menukar dari pangkalan b untuk asas sepuluh, di mana b boleh mewakili nombor bulat yang lebih besar daripada satu.

Sekiranya asasnya b, itu bermakna kita berada dalam 1 ←b sistem. Titik di kotak paling kanan bernilai 1. Titik di kotak kedua bernilai b. Titik di kotak ketiga bernilai, dan seterusnya.

Jadi, sebagai contoh, nombor (10123_ {b} ) mewakili

[1 cdot b ^ {4} + 0 cdot b ^ {3} + 1 cdot b ^ {2} + 2 cdot b + 3 cdot 1, ]

kerana kita membayangkan tiga titik di kotak paling kanan (masing-masing bernilai satu), dua titik di kotak kedua (masing-masing mewakili b titik), satu titik di kotak ketiga (mewakili titik ((b ^ {2} ) titik), dan seterusnya. Itu bererti kita hanya dapat melakukan pengiraan singkat untuk mencari jumlah titik, tanpa melalui semua masalah dalam melukis gambar dan "tidak meletup" titik-titik itu.

Ini mewakili nombor $$ 1 cdot 5 ^ {2} + 2 cdot 5 + 3 = 25 + 10 + 3 = 38 ldotp ]

(123_ {tujuh} ).

[1 cdot 7 ^ {2} + 2 cdot 7 + 3 = 49 + 14 + 3 = 66 ]

Pangkalan Sepuluh ke Pangkalan b

Kami sekarang akan menerangkan beberapa kaedah umum untuk menukar dari pangkalan sepuluh ke pangkalan b, di mana b boleh mewakili nombor bulat yang lebih besar daripada satu.

Terdapat dua kaedah umum untuk melakukan penukaran ini. Untuk setiap kaedah, kami akan mencari contoh, dan kemudian menerangkan kaedah umum. Kaedah pertama yang kami terangkan mengisi kotak dari kiri ke kanan.

: Kaedah 1 (kiri ke kanan)

Untuk menukar (321_ {ten} ) menjadi nombor asas lima (tanpa benar-benar melalui proses yang membosankan untuk meletupkan titik dalam kumpulan lima).

Cari kuasa lima terbesar yang lebih kecil daripada 321. Kami hanya akan menyenaraikan lima kuasa:

Oleh itu, kami tahu bahawa kotak paling kiri yang akan kami gunakan adalah kotak 125, kerana 625 terlalu besar.

Berapakah bilangan titik dalam kotak 125? Itu sama dengan bertanya berapa 125 dalam 321. Sejak

[2 cdot 125 = 250 qquad dan qquad 3 cdot 125 = 375, ]

kita harus meletakkan dua titik dalam kotak 125. Tiga titik akan terlalu banyak.

Berapa banyak titik yang tidak dihitung? (321 - 250 = 71 ) titik dibiarkan.

Sekarang ulangi proses: Kekuatan terbesar lima yang kurang dari 71 adalah (5 ^ {2} = 25 ). Sekiranya kita meletakkan dua di dalam kotak 25, itu menjaga 50 titik. (Tiga titik adalah 75, yang terlalu banyak.)

Setakat ini kita mempunyai dua titik di kotak (5 ^ {3} ) dan dua titik di kotak (5 ^ {2} ), jadi jumlah

[2 cdot 125 + 2 cdot 25 = 300 ; teks {titik} ldotp ]

Kami mempunyai (321 - 300 = 21 ) titik lagi untuk dipertanggungjawabkan.

Ulangi proses sekali lagi: Kekuatan terbesar 5 yang kurang dari 21 adalah 5. Berapa banyak titik boleh masuk dalam kotak 5? (5 cdot 4 = 20 ), jadi kita boleh meletakkan empat titik di dalam kotak 5.

Kami mempunyai satu titik lagi untuk dipertimbangkan. Sekiranya kita meletakkan satu titik di kotak 1, kita sudah selesai.

[2 cdot 125 + 2 cdot 25 + 4 cdot 5 + 1 = 250 + 50 + 20 + 1 = 321 ldotp ]

Oleh itu (321_ {ten} = 2241_ {lima} ldotp )

Algoritma umum untuk menukar dari asas sepuluh ke asas:

  1. Mulakan dengan nombor asas sepuluh anda n. Cari yang terbesar kuasa b itu kurang daripada n, katakan bahawa kuasa itu (b ^ {k} ).
  2. Cari tahu berapa banyak titik yang boleh masuk dalam kotak (b ^ {k} ) tanpa melampaui batas n. Katakan nombor itu a. Letakkan digit a dalam kotak (b ^ {k} ), dan kemudian tolak (n - a cdot b ^ {k} ) untuk mengetahui berapa banyak titik yang tinggal.
  3. Sekiranya nombor anda sekarang adalah sifar, anda telah menjelaskan semua titik. Letakkan angka nol di mana-mana kotak yang tinggal, dan anda mempunyai nombor. Jika tidak, mulailah pada langkah (1) dengan bilangan titik yang tersisa.

Kaedahnya agak sukar untuk dijelaskan secara umum. Mungkin lebih baik mencuba beberapa contoh sendiri untuk mengetahuinya.

Fikir / Pasangkan / Kongsi

Gunakan kaedah di atas untuk menukar (99_ {ten} ) ke pangkalan tiga, ke pangkalan empat, dan ke pangkalan lima.

Inilah kaedah lain untuk menukar nombor sepuluh menjadi asas lain, dan kaedah ini mengisi angka dari kanan ke kiri. Sekali lagi, kita akan mulakan dengan contoh dan kemudian menerangkan kaedah umum.

: Kaedah 2 (kanan ke kiri)

Untuk menukar (712_ {ten} ) ke nombor tujuh asas, bayangkan terdapat 712 titik di dalam kotak yang satu. Kami akan menulis nombornya, tetapi bayangkan sebagai titik.

Ketahui berapa banyak kumpulan 7 yang boleh anda buat, dan berapa banyak titik yang tinggal.

[712 div 7 = 101 ; teks {R} 5 ; qquad bahawa ; ialah, ; 712 = 101 cdot 7 + 5 ldotp ]

Ini bermakna kita mempunyai 101 kumpulan 7 titik, dengan baki 5 titik.

"Meletup" kumpulan 7 satu kotak ke kiri, dan tinggalkan 5 titik di belakang.

Sekarang ulangi proses: Berapa kumpulan 7 yang boleh anda buat dari 101 titik?

[101 div 7 = 14 ; teks {R} 3, qquad bermaksud ; 101 = 14 cdot 7 + 3 ldotp ]

"Meletup" kumpulan 7 satu kotak ke kiri, dan tinggalkan 3 titik di belakang.

Ulangi:

[14 div 7 = 2 ; teks {R} 0, qquad begitu ; 14 = 2 cdot 7 + 0 ldotp ]

"Meletup" kumpulan 7 satu kotak ke kiri, dan tinggalkan 0 titik di belakang.

Oleh kerana terdapat kurang dari 7 titik di setiap kotak, kami sudah selesai.

[712_ {ten} = 2035_ {tujuh} ldotp ]

Sudah tentu, kita boleh (dan harus!) Memeriksa pengiraan kita dengan menukar jawapannya menjadi asas sepuluh:

[2035_ {seven} = 2 cdot 7 ^ {3} + 0 cdot 7 ^ {2} + 3 cdot 7 + 5 = 686 + 0 + 21 + 5 = 712_ {sepuluh} ldotp ]

Jadi, inilah kaedah umum kedua untuk menukar asas sepuluh nombor menjadi asas sewenang-wenangnya b:

  1. Bahagikan nombor asas sepuluh dengan b untuk mendapatkan hasil dan selebihnya.
  2. Letakkan baki di ruang paling kanan di pangkalan b nombor.
  3. Sekiranya hasilnya kurang daripada b, ia berada di ruang satu tempat ke kiri. Jika tidak, kembali ke langkah (1) dan ulangi dengan hasil tambah, isikan baki dari kanan ke kiri di nombor asas.

Sekali lagi, kaedah ini mungkin lebih masuk akal jika anda mencubanya beberapa kali.

Fikir / Pasangkan / Kongsi

Gunakan kaedah yang dijelaskan di atas untuk menukar (250_ {sepuluh} ) ke asas tiga, empat, lima, dan enam.


Penjagaan markah adalah seni. Terdapat kesederhanaan yang indah mengenai grid berlian 9x9. Sekarang dengan 6-4-3, anda dapat mengekalkan tradisi dengan rupa dan nuansa kad skor kertas dan pensil dengan kemudahan buku skor yang sesuai di dalam poket anda.

Mengapa anda harus mempelajari sistem pemarkahan yang baru? Beberapa sistem ingin menemubual anda mengenai setiap permainan. Dengan 6-4-3, anda hanya menuliskan apa yang berlaku seperti yang anda lakukan di lembaran skor anda. Gunakan jari anda untuk menarik garis dari rumah hingga pertama hingga kedua, dan 6-4-3 mencatat dua kali ganda.

Dan apabila permainan selesai, 6-4-3 tidak selesai. Anda mempunyai lembaran skor yang indah, mudah dibaca, dan disimpan dengan sempurna sebagai kenang-kenangan permainan. Pamerkannya dengan mengeposkan lembaran skor anda terus ke Facebook, hantarkan e-mel kepada rakan anda, atau bawa pulang untuk mencetaknya.


Bendera kebanggaan LGBTQ tidak akan dikibarkan di pangkalan tentera: Pentagon

Keputusan mengekalkan dasar Trump yang juga secara efektif melarang bendera Gabungan di pangkalan tentera AS.

Pentagon mengatakan pada hari Jumaat bahawa ia tidak akan membuat pengecualian untuk membenarkan pemasangan tentera AS mengibarkan bendera kebanggaan pelangi pada bulan Jun, sesuai dengan kebijakan yang ditetapkan oleh mantan Presiden Donald Trump yang membatasi jenis bendera yang dapat dikibarkan di pangkalan.

Awal minggu ini, Presiden Joe Biden mengatakan bahawa hampir 1,500 pelantik agensi persekutuannya dikenali sebagai lesbian, gay, biseksual, transgender dan pelik, dalam pernyataan yang menandakan bermulanya Bulan Pride meraikan komuniti LGBTQ.

Pada bulan Julai 2020, Pentagon Trump mengeluarkan kebijakan yang hanya membenarkan bendera tertentu pada pemasangan tentera dan dilihat sebagai cara bagi Setiausaha Pertahanan Mark Esper untuk mengeluarkan larangan de facto untuk memaparkan bendera Gabungan tanpa menyebutnya secara khusus.

"Tidak akan ada pengecualian yang dibuat bulan ini untuk bendera kebanggaan," kata jurucakap Pentagon John Kirby.

Joseph Fons, yang memegang bendera kebanggaan, berdiri di hadapan bangunan Mahkamah Agung AS setelah mahkamah memutuskan bahawa undang-undang persekutuan yang melarang diskriminasi di tempat kerja juga meliputi orientasi seksual, di Washington, DC, pada 15 Jun 2020 [Fail: Tom Brenner / Reuters ] Dia mengatakan bahawa keputusan itu dibuat kerana pengecualian dapat membuka pintu untuk cabaran lain terhadap peraturan yang ditetapkan pada Juli lalu.

"Ini sama sekali tidak mencerminkan kurangnya rasa hormat atau kekaguman terhadap orang-orang [dari] komuniti LGBTQ +, anggota dalam dan tidak berpakaian yang bertugas di jabatan ini," tambah Kirby. "Kami bangga dengan mereka."

Kajian RAND 2015 mendapati bahawa 5.8 peratus anggota perkhidmatan dikenal pasti sebagai lesbian, gay atau biseksual.

Pada hari pertamanya di pejabat, Biden menandatangani perintah eksekutif yang mengarahkan agensi persekutuan untuk melindungi orang LGBTQ di bawah semua undang-undang persekutuan yang melarang diskriminasi berdasarkan seks. Biden juga membatalkan larangan orang transgender secara terbuka mendaftar dan berkhidmat dalam tentera.

Rumah Putih Biden juga membatalkan perintah yang dikeluarkan oleh Setiausaha Negara Trump ketika itu Mike Pompeo untuk mengibarkan bendera kebanggaan dan beberapa kedutaan AS, termasuk di India dan Australia, menunjukkan sokongan mereka kepada orang-orang LGBTQ.


Edit Notasi

Terdapat beberapa konvensi notasi untuk mewakili perpuluhan berulang. Tiada satu pun yang diterima secara universal.

  • Di Amerika Syarikat, Kanada, India, Perancis, Jerman, Switzerland, Czechia, dan Slovakia, konvensyen ini adalah untuk melukis garis mendatar (vinculum) di atas pengulangan. (Lihat contoh dalam jadual di bawah, lajur Vinculum.)
  • Di United Kingdom, New Zealand, Australia, India, Korea Selatan, dan China daratan, konvensyen ini adalah meletakkan titik di atas angka paling jauh dari pengulangan. (Lihat contoh dalam jadual di bawah, Titik titik.)
  • Di bahagian Eropah, Vietnam dan Rusia, konvensyen ini adalah untuk memasukkan pengulangan dalam kurungan. (Lihat contoh dalam jadual di bawah, ruangan Parentheses.) Ini boleh menyebabkan kekeliruan dengan notasi ketidakpastian standard.
  • Di Sepanyol dan beberapa negara Amerika Latin, nota busur pada pengulangan juga digunakan sebagai alternatif untuk notasi vinculum dan titik. (Lihat contoh dalam jadual di bawah, lajur Arc.)
  • Secara tidak formal, perpuluhan berulang sering dilambangkan dengan elipsis (tiga tempoh, 0,333.), Terutamanya ketika konvensi notasi sebelumnya pertama kali diajar di sekolah. Notasi ini memperkenalkan ketidakpastian tentang digit mana yang harus diulang dan bahkan sama ada pengulangan berlaku sama sekali, kerana elips seperti itu juga digunakan untuk nombor tidak rasional π, misalnya, dapat ditunjukkan sebagai 3.14159.

Dalam bahasa Inggeris, terdapat pelbagai cara untuk membaca perpuluhan berulang dengan kuat. Sebagai contoh, 1.2 34 dapat dibaca "satu titik dua mengulang tiga empat", "satu titik dua diulang tiga empat", "satu titik dua berulang tiga empat", "satu titik dua mengulang tiga empat" atau "satu titik dua hingga tak terhingga tiga empat ".

Urutan pengembangan dan pengulangan perpuluhan Edit

dll. Perhatikan bahawa pada setiap langkah kita mempunyai baki yang berturut-turut yang ditunjukkan di atas adalah 56, 42, 50. Apabila kita sampai pada 50 sebagai baki, dan menurunkan "0", kita mendapati diri kita membahagi 500 dengan 74, yang merupakan masalah yang sama kita mulakan. Oleh itu, perpuluhan berulang: 0,0675 675 675.

Setiap nombor rasional adalah penyuntingan perpuluhan akhir atau berulang

Bagi mana-mana pembahagi yang diberikan, hanya banyak sisa yang boleh berlaku. Dalam contoh di atas, 74 kemungkinan baki adalah 0, 1, 2,. 73. Sekiranya pada tahap mana-mana bahagian selebihnya adalah 0, pengembangan berakhir pada ketika itu. Kemudian panjang pengulangan, juga disebut "titik", ditakrifkan menjadi 0.

Sekiranya 0 tidak pernah berlaku sebagai baki, maka proses pembahagian berterusan selama-lamanya, dan akhirnya, selebihnya mesti berlaku yang telah berlaku sebelumnya. Langkah seterusnya dalam pembahagian akan menghasilkan digit baru yang sama dalam kuota, dan baki baru yang sama, seperti sebelumnya yang selebihnya sama. Oleh itu, bahagian berikut akan mengulangi hasil yang sama. Urutan digit berulang disebut "pengulangan" yang mempunyai panjang tertentu lebih besar dari 0, juga disebut "titik". [4]

Setiap perpuluhan berulang atau penamatan adalah nombor Rasional Edit

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, . (urutan A051626 dalam OEIS).

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 0434782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3,. (urutan A036275 dalam OEIS).

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28,. (urutan A002371 dalam OEIS).

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211,. (urutan A007138 dalam OEIS).

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231,. (urutan A054471 dalam OEIS).

1, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 6, 4, 10, 2, 12, 3, 4, 1, 8, 6, 18, 4, 6, 10, 11, 2, 20, 12, 18, 3, 28, 4, 5, 1, 10, 8, 12, 6, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 12, 11,. (urutan A007733 dalam OEIS).

Ulangan asas-10 timbal balik bagi nombor perdana yang lebih besar daripada 5 dibahagi dengan 9. [5]

Nombor kitaran Edit

Contoh pecahan yang tergolong dalam kumpulan ini adalah:

  • 1/7 = 0. 142857, 6 digit berulang
  • 1/17 = 0. 0588235294117647, 16 digit berulang
  • 1/19 = 0. 052631578947368421, 18 digit berulang
  • 1/23 = 0. 0434782608695652173913, 22 digit berulang
  • 1/29 = 0. 0344827586206896551724137931, 28 digit berulang
  • 1/47 = 0. 0212765957446808510638297872340425531914893617, 46 digit berulang
  • 1/59 = 0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661, 58 digit berulang
  • 1/61 = 0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459, 60 digit berulang
  • 1/97 = 0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567, 96 digit berulang

Setiap betul gandaan nombor bulat (iaitu gandaan yang mempunyai bilangan digit yang sama) adalah putaran:

  • 1 / 7 = 1 × 0.142857. = 0.142857.
  • 2 / 7 = 2 × 0.142857. = 0.285714.
  • 3 / 7 = 3 × 0.142857. = 0.428571.
  • 4 / 7 = 4 × 0.142857. = 0.571428.
  • 5 / 7 = 5 × 0.142857. = 0.714285.
  • 6 / 7 = 6 × 0.142857. = 0.857142.

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861. (urutan A073761 dalam OEIS).

Prima adalah perdana yang tepat jika dan hanya jika ia adalah perdana reptend penuh dan sesuai dengan 1 mod 10.

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823. (urutan A000353 dalam OEIS).

Timbal balik prima lain Edit

Beberapa timbal balik bilangan prima yang tidak menghasilkan nombor kitaran adalah:

  • 1/3 = 0. 3, yang mempunyai tempoh (panjang berulang) 1.
  • 1/11 = 0. 09, yang mempunyai jangka masa 2.
  • 1/13 = 0. 076923, yang mempunyai jangka masa 6.
  • 1/31 = 0. 032258064516129, yang mempunyai tempoh 15.
  • 1/37 = 0. 027, yang mempunyai jangka masa 3.
  • 1/41 = 0. 02439, yang mempunyai jangka masa 5.
  • 1/43 = 0. 023255813953488372093, yang mempunyai tempoh 21.
  • 1/53 = 0. 0188679245283, yang mempunyai tempoh 13.
  • 1/67 = 0. 014925373134328358208955223880597, yang mempunyai tempoh 33.

dan kemudian dengan pemeriksaan cari pengulangan 09 dan tempoh 2.

  • 1 / 13 = 0.076923.
  • 10 / 13 = 0.769230.
  • 9 / 13 = 0.692307.
  • 12 / 13 = 0.923076.
  • 3 / 13 = 0.230769.
  • 4 / 13 = 0.307692.

di mana pengulangan setiap pecahan adalah susunan semula kitaran 076923. Set kedua adalah:

  • 2 / 13 = 0.153846.
  • 7 / 13 = 0.538461.
  • 5 / 13 = 0.384615.
  • 11 / 13 = 0.846153.
  • 6 / 13 = 0.461538.
  • 8 / 13 = 0.615384.

di mana pengulangan setiap pecahan adalah susunan semula kitaran 153846.

Secara amnya, himpunan gandaan timbal balik yang tepat bagi perdana hlm terdiri daripada n subset, masing-masing dengan panjang berulang k, di mana nk = hlm − 1.

Peraturan Totient Edit

Tempoh (panjang ulangan) L(49) mesti menjadi faktor λ(49) = 42, di mana λ(n) dikenali sebagai fungsi Carmichael. Ini berpunca dari teorema Carmichael yang menyatakan bahawa jika n adalah bilangan bulat positif maka λ(n) adalah bilangan bulat terkecil m seperti itu

untuk setiap bilangan bulat a itu adalah coprime ke n.

119 = 7 × 17 λ(7 × 17) = LCM (λ(7), λ(17)) = LCM (6, 16) = 48,

Sekiranya hlm, q, r, dll adalah bilangan prima selain dari 2 atau 5, dan k, l, m, dll adalah bilangan bulat positif, maka

adalah perpuluhan berulang dengan jangka masa

Bilangan bulat yang bukan coprime hingga 10 tetapi mempunyai faktor utama selain 2 atau 5 mempunyai timbal balik yang akhirnya berkala, tetapi dengan urutan digit yang tidak berulang yang mendahului bahagian yang berulang. Balasan boleh dinyatakan sebagai:

di mana a dan b kedua-duanya tidak sifar.

Pecahan ini juga dapat dinyatakan sebagai:

sekiranya a & gt b, atau sebagai

sekiranya b & gt a, atau sebagai

  • Peralihan awal maksimum (a, b) digit selepas titik perpuluhan. Sebilangan atau semua digit dalam sementara boleh menjadi nol.
  • Pengulangan seterusnya yang sama dengan pecahan
  • 1 / p kq l ⋯ .
  • a = 2, b = 0, dan faktor lain p kq l ⋯ = 7
  • terdapat 2 digit awal yang tidak berulang, 03 dan
  • terdapat 6 digit berulang, 571428, jumlah yang sama dengan
  • 1/7 mempunyai.

Memandangkan perpuluhan berulang, adalah mungkin untuk mengira pecahan yang menghasilkannya. Sebagai contoh:

Edit jalan pintas

Prosedur di bawah ini dapat diterapkan khususnya jika pengulangan itu berlaku n digit, yang semuanya 0 kecuali yang terakhir ialah 1. Contohnya untuk n = 7:

Adalah mungkin untuk mendapatkan formula umum yang menyatakan perpuluhan berulang dengan n-digit period (panjang berulang), bermula tepat selepas titik perpuluhan, sebagai pecahan:

Secara lebih jelas, seseorang mendapat kes berikut:

Sekiranya perpuluhan berulang adalah antara 0 dan 1, dan blok berulang adalah n digit panjang, pertama berlaku tepat selepas titik perpuluhan, maka pecahan (tidak semestinya dikurangkan) akan menjadi nombor bulat yang diwakili oleh n-digit blok dibahagi dengan yang diwakili oleh n digit 9. Contohnya,

  • 0.444444. =
  • 4/9 kerana blok berulang adalah 4 (blok 1 digit),
  • 0.565656. =
  • 56/99 kerana blok berulang adalah 56 (blok 2 digit),
  • 0.012012. =
  • 12/999 kerana blok berulang adalah 012 (blok 3 digit) ini semakin berkurang menjadi
  • 4 / 333 .
  • 0.999999. =
  • 9/9 = 1, kerana blok berulang adalah 9 (juga blok 1 digit)

Sekiranya perpuluhan berulang adalah seperti di atas, kecuali ada k (tambahan) digit 0 antara titik perpuluhan dan pengulangan n-digit blok, maka seseorang hanya boleh menambah k digit 0 selepas n digit 9 penyebut (dan, seperti sebelumnya, pecahannya kemudiannya dipermudahkan). Sebagai contoh,

  • 0.000444. =
  • 4/9000 kerana blok berulang adalah 4 dan blok ini didahului oleh 3 nol,
  • 0.005656. =
  • 56/9900 kerana blok berulang adalah 56 dan didahului oleh 2 nol,
  • 0.00012012. =
  • 12 / 99900 =
  • 1/8325 kerana blok berulang adalah 012 dan didahului oleh 2 nol.

Sebarang perpuluhan berulang bukan dari bentuk yang dijelaskan di atas boleh ditulis sebagai jumlah perpuluhan akhir dan perpuluhan berulang dari salah satu dari dua jenis di atas (sebenarnya jenis pertama cukup, tetapi yang memerlukan perpuluhan akhir adalah negatif). Sebagai contoh,

  • 1.23444. = 1.23 + 0.00444. =
  • 123 / 100 +
  • 4 / 900 =
  • 1107 / 900 +
  • 4 / 900 =
  • 1111 / 900
    • atau sebagai alternatif 1.23444. = 0.79 + 0.44444. =
    • 79 / 100 +
    • 4 / 9 =
    • 711 / 900 +
    • 400 / 900 =
    • 1111 / 900
    • atau sebagai alternatif 0.3789789. = −0.6 + 0.9789789. = -
    • 6 / 10 + 978/999 = −
    • 5994 / 9990 +
    • 9780 / 9990 =
    • 3786 / 9990 =
    • 631 / 1665

    Kaedah yang lebih pantas adalah dengan mengabaikan titik perpuluhan sepenuhnya dan pergi seperti ini

    • 1.23444. =
    • 1234 − 123 / 900 =
    • 1111/900 (penyebutnya mempunyai satu 9 dan dua 0s kerana satu digit berulang dan terdapat dua digit tidak berulang setelah titik perpuluhan)
    • 0.3789789. =
    • 3789 − 3 / 9990 =
    • 3786/9990 (penyebutnya mempunyai tiga 9 dan satu 0 kerana tiga digit berulang dan ada satu digit tidak berulang setelah titik perpuluhan)

    Ini menunjukkan bahawa setiap perpuluhan berulang dengan titik n, dan k digit selepas titik perpuluhan yang bukan merupakan bahagian berulang, boleh ditulis sebagai pecahan (tidak semestinya dikurangkan) penyebutnya (10 n − 1)10 k .

    Perpuluhan berulang juga boleh dinyatakan sebagai siri tak terhingga. Maksudnya, perpuluhan berulang dapat dianggap sebagai jumlah bilangan rasional yang tidak terbatas. Untuk mengambil contoh paling mudah,


    Pangkalan b ke Pangkalan Sepuluh

    Kami sekarang akan menerangkan beberapa kaedah umum untuk menukar dari pangkalan b untuk asas sepuluh, di mana b boleh mewakili nombor bulat yang lebih besar daripada satu.

    Sekiranya asasnya b, itu bermakna kita berada dalam 1 reb sistem. Titik di kotak paling kanan bernilai 1. Titik di kotak kedua bernilai b. Titik di kotak ketiga bernilai , dan sebagainya.

    Jadi, sebagai contoh, bilangannya mewakili

    kerana kita membayangkan tiga titik di kotak paling kanan (masing-masing bernilai satu), dua titik di kotak kedua (masing-masing mewakili b titik), satu titik di kotak ketiga (mewakili titik), dan sebagainya. Itu bermakna kita hanya dapat melakukan pengiraan pendek untuk mencari jumlah titik, tanpa perlu melalui semua masalah dalam melukis gambar dan “tidak meletup & # 8221 titik.

    Contoh

    Contoh 1: Pertimbangkan nombornya .

    Ini mewakili nombor

    Contoh 2: Pertimbangkan nombornya .


    Anda hanya melakukan pembahagian panjang, ingat bahawa anda bekerja dengan cara yang berbeza.

    Sebagai contoh, katakan bahawa kami ingin menukar $ 254_ <6> $ menjadi $ 4 $.

    Oleh kerana kita mesti membahagi dengan $ 4 $ mari kita mulakan dengan membuat jadual pendaraban dengan $ 4 $ untuk asas $ 6 $: $ 4 kali 0 = 0 4 kali 1 = 4 4 kali 2 = 12 4 kali 3 = 20 4 kali 4 = 24 4 kali 5 = 32 $

    Sekarang dengan pembahagian panjang kita mendapat $ 25 _ <(6)>: 4 $ mempunyai $ q = 4, r = 1 $ dan $ 14 _ <(6)>: 4 $ mempunyai $ q = 2, r = 2 $. Ini memberikan $ 254 _ <(6)>: 4 q = 42, r = 2 $

    Ini memberi kita bahawa digit terakhir ialah $ 2 $.

    Sekarang apabila kita membahagi $ 42_ <6> $ menjadi $ 4 $ kita mendapat $ q = 10, r = 2 $. Oleh itu, digit terakhir kedua ialah $ 2 $.

    Akhirnya $ 10_ <(6)>: 4 $ memberikan $ q = 1 $ dan $ r = 2 $. Angka terakhir ketiga ialah $ 4 $ dan digit pertama ialah $ 1 $.

    Saya tidak fikir ada alternatif yang lebih baik daripada menggunakan asas $ 10 $, secara umum. Inilah contohnya.

    Katakan kita mahu menukar $ (261) _8 $ menjadi $ 5 $.

    Dengan menggunakan asas $ 10 $, kita tahu bahawa $ (261) _8 = 2 cdot 8 ^ 2 + 6 cdot 8 ^ 1 + 1 cdot 8 ^ 0 $, di mana pengembangan ini bergantung pada kenyataan bahawa "pekali" kami, pengganda pelbagai kekuatan kita $ 8 $, dinyatakan asas $ 10 $ (belum lagi asas itu sendiri, $ 8 $).

    Sekiranya kita melompat terus ke dasar $ 5 $, maka sejak $ 8 = (13) _5 $, kita akan mempunyai sesuatu seperti

    $ (261) _8 = (2) _5 cdot besar ((13) _5 besar) ^ 2 + (11) _5 cdot besar ((13) _5 besar) ^ 1 + (1) _5 cdot besar ((13) _5 besar) ^ 0. $

    Sekarang, adakah mustahil untuk mengira sepenuhnya dengan jumlah $ 5 $? Tidak, tentu saja tidak seperti kita

    $ (2) _5 cdot besar ((13) _5 besar) ^ 2 = (2) _5 cdot (224) _5 = (1003) _5 $

    menggunakan algoritma penambahan / pendaraban standard tetapi pada asasnya $ 5, tetapi saya mendapati perkara seperti itu sangat tidak menyenangkan, memandangkan alternatifnya! Belum lagi, kita mempunyai dua lagi, ditambah penambahan terakhir sebelum kita selesai.

    Mungkin untuk penukaran tertentu terdapat jalan pintas (antara kekuatan $ 2 $, katakan), tetapi secara umum, saya tidak akan ragu-ragu menggunakan asas $ 10 $.


    6.4: Pangkalan Lain

    Kami menerapkan peraturan berikut untuk menukar nombor perpuluhan ke asas lain.

    • Kami membahagi nombor perpuluhan dengan pangkalan berulang kali sehingga hasilnya menjadi 0.
    • Bermula pada digit yang paling tidak signifikan, kami menulis baki dengan susunan bahagian yang sama.

    Sebagai contoh, untuk menukar perpuluhan 88 menjadi oktal (pangkalan 8), kita membahagikan 88 dengan 8 berulang kali sehingga hasilnya menjadi 0.

    Apabila kita membahagi 88 dengan 8, hasilnya adalah 11 dan selebihnya adalah 0. Oleh itu, 0 adalah digit paling kecil yang setara dengan oktal. Kami meneruskan algoritma dengan 11. Apabila kita membahagi 11 dengan 8, hasilnya adalah 1 dan selebihnya adalah 3. Kemudian 3 adalah digit kedua paling tidak signifikan. Akhirnya, kita membahagikan 1 dengan 8. Semasa kita melakukan operasi ini, hasilnya adalah 0 dan selebihnya adalah 1. Oleh kerana hasilnya adalah 0, kami menghentikan prosedur. Kemudian kami menuliskan baki terakhir kepada digit nombor oktal yang paling penting. Kesimpulannya, perwakilan oktal 88 adalah 130.

    NOMBOR KEPUTUSAN

    Sekiranya nombor perpuluhan bukan bilangan bulat, kita boleh menukar nombor bulat dan bahagian pecahan secara berasingan dan menambah setara oktal ke atas.

    Untuk menukar bahagian pecahan nombor perpuluhan, kami menerapkan peraturan berikut.

    • Kami mengalikan bahagian pecahan dengan asas berulang kali sehingga produk menjadi bilangan bulat atau bilangan digit yang signifikan mencukupi untuk pengiraan kita.
    • Pada setiap langkah, kita menulis bahagian integer dari digit paling kanan ke bahagian pecahan nombor dalam asas toher. Kami meneruskan bahagian pecahan produk.

    Sebagai contoh, untuk menukar 88.37 menjadi oktal (asas 8), kita mengalikan bahagian pecahan dengan 8 berulang kali.

    • 0.37 & kali 8 = 2 .96
    • 0.96 & kali 8 = 7 .68
    • 0.68 & kali 8 = 5 .44
    • .

    Bahagian pecahan 88.37 ialah 0.37. Apabila kita mengalikan 0.37 dengan 8, hasilnya adalah 2 .96. Bahagian integer dari 2 .96 adalah 2. Oleh itu, kita menulis 2 hingga digit pertama pada RHS dari titik perpuluhan.

    Kami meneruskan bahagian pecahan 2 .96. Apabila kita mengalikan 2.96 dengan 8, hasilnya adalah 7 .68. Kami menulis bahagian integer dari 7 .68 hingga digit oktal seterusnya.

    Bahagian pecahan dari 7 .68 ialah 0.68. Oleh itu, kami meneruskan nombor ini. Produk 0.68 dan 8 sama dengan 5 .44. Kami menulis bahagian integer ke digit seterusnya.

    Perwakilan oktal 88.37 sama dengan jumlah perwakilan oktal 88 dan 0.37. Oleh itu, perpuluhan 88.37 sama dengan oktal 130. 275..

    APAKAH KEPUTUSAN PENGUKUR ASAS KEPADA ASAS LAIN?

    Penukar asas - perpuluhan ke pangkalan lain, mengira setara dengan nombor perpuluhan yang dimasukkan dalam pangkalan dari 2 hingga 16.

    BAGAIMANA CARA MENGGUNAKAN DECIMAL BASE CONVERTER KEPADA ASAS LAIN?

    Anda boleh menggunakan penukar ini dengan dua cara.

    INPUT PENGGUNA

    Anda boleh memasukkan nombor perpuluhan ke kotak input dan klik pada " TUKAR butang ". Hasil dan penjelasan appaer di bawah kalkulator

    INPUT RANDOM

    Anda boleh mengklik pada ICE DIE di sebelah kotak input. Sekiranya anda menggunakan harta ini, nombor perpuluhan rawak dihasilkan dan dimasukkan ke kalkulator, secara automatik. Anda dapat melihat hasil dan penjelasan di bawah kalkulator. Anda boleh membuat contoh dan amalan anda sendiri menggunakan harta tanah ini.

    MEMBERSIHKAN KOTAK INPUT

    Untuk memeriksa setara dengan perpuluhan lain, anda boleh mengosongkan kotak input dengan mengklik pada BERSIH butang di bawah kotak input.

    MENYALIN & MENGUNDUH PENYELESAIAN

    Anda boleh menyalin penyelesaian yang dihasilkan dengan mengklik pada pautan "Salin Teks", appaers di bawah panel penyelesaian.

    Malah anda boleh memuat turun penyelesaiannya sebagai fail gambar dengan sambungan .jpg jika anda mengklik pada pautan "Muat turun Penyelesaian" di bahagian bawah panel penyelesaian. Anda boleh berkongsi fail gambar yang dimuat turun.


    Kandungan

    Lebuh raya bawah tanah di Amerika seperti jalan bebas hambatan kecuali di bawah tanah. Jalan raya itu bergantung pada motor elektrik [untuk trak, kereta dan bas] untuk jalan berturap, dan untuk perjalanan terhad. Terdapat gaya transit yang lain untuk pengangkutan dan penumpang iaitu perjalanan cepat. Rangkaian di seluruh dunia itu disebut "Sistem Sub-Global." Ia mempunyai pusat pemeriksaan di setiap pintu masuk negara. Terdapat tabung ulang-alik yang 'menembak' kereta dengan kelajuan yang luar biasa menggunakan kaedah mag-lev dan vakum. Mereka bergerak dengan kelajuan yang melebihi kepantasan suara. Sebahagian daripada soalan anda melibatkan lokasi pintu masuk ke pangkalan itu. Cara paling mudah untuk menjawabnya adalah dengan mengatakan bahawa setiap negeri di AS mempunyai mereka. Kerap kali, pintu masuk disamarkan sebagai penggalian pasir atau operasi perlombongan. Portal kompleks lain terdapat di pangkalan tentera. New Mexico dan Arizona mempunyai jumlah pintu masuk terbesar diikuti oleh California, Montana, Idaho, Colorado, Pennsylvania, Kansas, Arkansas dan Missouri. Dari semua negeri Florida dan Dakota Utara mempunyai jumlah pintu masuk paling sedikit. Wyoming mempunyai jalan yang terbuka terus ke jalan raya bawah tanah. Jalan itu tidak lagi digunakan, tetapi dapat diaktifkan semula sekiranya mereka memutuskan untuk melakukannya, dengan kos minimum. Ia terletak berhampiran dengan Tasik Brooks. & # 915 & # 93

    The& # 160Transamerican Subshuttle Underground System& # 160 (T.A.U.S.S.) Adalah sistem pengangkutan yang menghubungkan pemasangan bawah tanah bersama-sama. Ia meliputi seluruh benua Amerika Syarikat dan meluas ke Amerika Tengah dan Brazil hingga ke Argentina. & # 917 & # 93

    Terdapat dua kaedah pengangkutan yang berbeza. Trem dan gondola. Dua jenis trem. pod berbentuk telur dengan empat tempat duduk di bahagian dalaman yang bertentangan. Tempat duduk doktor gigi berlapis dengan tali pinggang keledar, yang tidak diperlukan. Pod boleh melebihi 700 MPH. & # 916 & # 93 Mereka mempunyai bidang inersia sendiri. & # 918 & # 93

    "Sistem trem bawah tanah berada di bawah lautan. Ia pergi ke Australia. Ia pergi ke Eropah. Ia pergi ke Asia. Sistem trem bergerak ke seluruh penjuru. Dan terdapat pangkalan bawah air. Terdapat pangkalan yang berada di bawah air, di permukaan dasar laut, dan ada juga dasar bawah tanah di bawah dasar laut.

    Saya mempunyai seorang jurutera yang menerangkan kepada saya bagaimana mereka membina pangkalan tertentu dengan kubah yang diturunkan ke dalam air, diposisikan oleh Angkatan Laut, dan kemudian konkrit bawah air digunakan. Kubah diletakkan di atas pondasi, dan kemudian air dipam keluar dari bahagian dalam kubah. Dan kemudian tekanan lautan membuat meterai yang lebih ketat dari cara rekayasa. Ia adalah sejenis konkrit yang menjadi asasnya. They enter in below and come up within.

    And then they build within it. And then, again, there are also Navy expeditions that have gone and found beautiful underwater caverns that lead to areas underground that are perfect for sealing off and pumping all the water out, pressurizing, and building a base. They've done that and created several submarine bases. There's one that there was a lot of speculation about. Some people said it was a hoax, but there is an opening for an underground base system that submarines use off the coast of California that was, I believe, caught on a satellite image. And there was a whole lot of scuttlebutt on the Internet about it, and then it kind of died off. There was a door that would normally be closed that matches the features of the ocean floor, and it was wide open, and this is where submarines go in, go to a lake that is in Nebraska. And it pops up in a . . . And they pop up in a lake, or they'll stay just below and not surface. But they have . . . It's large enough for nuclear submarines to travel in a subterranean cavern system. It's like an underground submarine . . . and underground, underwater submarine base.” & # 912 & # 93

    “There are underground bases and facilities all over the place – in cities all around us. … there are people that walk into buildings that take elevators that are service elevators that the rest of the public don't know about. They go down several more floors than anyone that work in the building know about, get on an underground train system, and are shuttled to anywhere in the world in a matter of an hour or two, to where they can work in these underground bunkers and facilities. And they're absolutely spread out all over the place.

    Most of the bases are self-contained. There's only a small percentage, globally, that are a part of this underground network. The vast majority of them are built to be self-contained and to house a certain amount of people, anywhere from 10, 20 to 100 years, and sustain them.

    Of course, some of them are joint-operated. … I know that the majority of them are for R&D.

    Some of them use geothermal power, and some of them use hydrodynamics, and some of them use classified power systems.

    One of the most advanced bases has been built down in Brazil.

    There have been some of these bases that have been attacked, some of the older bases or bases closer to the surface. This is why they have put so many resources into building these more advanced bases, like the one I'm talking about in Brazil that I've heard referenced as a “Zazi base” and a few other terms.

    (And I've had insiders like Jacob, from the space program, tell me that there are these air apertures on these underground bases, and they can partially open them or close them and then ventilate air through them, and it's like blowing into a trumpet and getting this big, resonant sound. Do you know if they do have these iris-type of metal things that could be used like that, that open and close for air ventilation?)”

    “The DUMBs recycle air from time to time.” “… ventilating the air out of an underground base” makes a trumpet noise “almost like a tornado siren.” “… some of these trumpet noises people are hearing on a wider scale in the skies are actually an energetic shock wave coming from the Sun, … the sound is coming from energy coming from the Sun interacting with our upper atmosphere.” & # 912 & # 93

    “Multiple whistleblowers have revealed that the casinos themselves are intimately involved with the military-industrial complex, if not directly owned by them in many cases. A virtual monopoly exists on construction and real estate in Vegas, which is typically blamed on "the mafia" -- and that may be one aspect of it. Nonetheless, some casinos apparently have elevators that will take you down to sub-shuttles for quick trips to Nellis, Area 51 and elsewhere. Certain casino employees, such as heads of security, may work their jobs as cover assignments while also moonlighting as black-ops employees.” Η]

    The early ones ran on railroads. ⎖] They were later upgraded to egg-shaped shuttles powered by a maglev system, hydraulics system and vacuum system. ⎗] ⎘] The shuttles travel by the use of high-intensity compressed air, and are extremely fast. Inflatable airbags inside the shuttle cushion you from the impact of turns. The ride can be sickening enough that every seat has a vacuum-powered chute to capture vomit as soon as you lean into it. ⎙] One can neurologically interface with the shuttle through metallic plates where the hands go and through two ports in the back of the seat. & # 917 & # 93

    When they were first developing the subterrenes, they just drove the drill uninterrupted for long distances at a constant speed so that the glass tunnels would be of a uniform density. The problem with this design is that the earth’s crust goes through various shifts, and one earthquake is enough to disrupt the glass. The glass would then crack and burst open like a banana peel across many many miles. The crack instantly spreads across both sides of the tube, and all of the dirt comes rushing in. The whole thing has to be re-drilled, and that area of the underground network of cities is now cut off. Eventually, they started driving the subterrene for a certain distance momentarily stop it to melt a thick layer of glass, shaped like a ring, on a regular interval. These rings form buttresses which stop the lenticular cracks from forming. The cracks are now contained between the two rings. This makes repair much easier. & # 9114 & # 93

    “Pine Gap is located in Australia’s Northern Territory to locals it is nothing more than a satellite ground station which is jointly operated by the Americans and Aussies. While it appears to be surrounded by mountains, it is actually a hologram that conceals a massive base built deep inside the mountain.” Ώ]


    6.4: Other Bases

    When we write a normal (base 10) number, like 5763, we mean the value:

    or, to put it in a more revealing form:

    $5 cdot 10^3 + 7 cdot 10^2 + 6 cdot 10^1 + 3 cdot 10^0$

    Notice, the "digits" of our number correspond to the coefficients on the powers of ten that are added together to obtain the value of our number.

    In a similar manner, we can specify numbers in other "bases" (besides 10), using different digits that correspond to the coefficients on the powers (of the given base) that must be added together to obtain the value of our number.

    For example, the "base 8" (or "oktal") number (as indicated by the subscript)

    $5 cdot 8^3 + 7 cdot 8^2 + 6 cdot 8^1 + 3 cdot 8^0 = 3059$

    More generally, the "base b" number

    $d_n cdot b^ + d_ cdot b^ + d_ cdot b^ + cdots + d_0 cdot b^0$

    In order that every number have a base b representation, but no number has more than one such representation, we must only use the digits 0 through (b-1) in any given base b number.

    This is consistent with base 10 numbers, where we use digits 0-9.

    For smaller bases, we use a subset of these digits. For example, in base 5, we only use digits 0-4 in base 2 (which is also called binary), we only use the digits 0 and 1.

    For larger bases, we need to have single digits for values past 9. Hexadecimal (base 16) numbers provide an example of how this can be done. In hexadecimal, we use digits 0-9 and A-F, where A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, and F=15. In this way, we have digits corresponding to 0-15, which is what we need.

    $5AF8 = 5 cdot 16^3 + 10 cdot 16^2 + 15 cdot 16^1 + 8 cdot 16^0 = 23288$

    (Note: As shown above, the subscript indicating the base to be used is often left off in the case of hexadecimal and/or binary numbers. In these instances, the context of their use usually makes the base clear.)

    Changing from base 10 to a different base

    One (straight-forward, but inefficient) way to convert from base 10 to a different base is to:

    1. Determine the higest power of the base that goes into the number a non-zero number of times.
    2. Determine how many times this power can be subtracted from the number without the result being negative (i.e, divide the number by the power). Write this digit down.
    3. Redefine the number to be this smallest positive remainder upon division by the power in question
    4. Redefine the power to be the power divided by the base.
    5. Go back to step 2, unless the power is now less than one -- in which case, you are done.


    For example, to convert 1073 to base 5, we recall that:

    Then we notice that 5 4 = 625 is the highest power of 5 under 1073.

    The red digits, 13243 , reveal the base 5 representation of 1073.

    This process, however, is inefficient in that one must both know and use the various powers of the desired base.

    Consider the remainders seen upon division of the following numbers by 5:

    Note: the base 5 representation comes from reading off the remainders (in red) from bottom to top! In each step above, we are just dividing by 5 and looking at both the quotient and remainder -- no knowledge of higher powers of 5 is necessary!

    Wonderfully, this technique works in any base. (Can you explain why?)

    So, for example, if we wanted to find the binary (base 2) representation of 1000, we simply calculate the following:

    So 1000 in binary is 1111101000

    Counting in another base

    Counting in other bases is not too different from counting in base 10. To see the similarities, let's count to 41 in base 10 and base 3 (as shown in the table below).

    Pay particular attention to how "2" in base 3 plays the same role as "9" in base 10. It represents the last digit you can use before increasing the digit to the immediate left.

    Base 10 Base 3 Base 10 Base 3
    0 0 21 210
    1 1 22 211
    2 2 23 212
    3 10 24 220
    4 11 25 221
    5 12 26 222
    6 20 27 1000
    7 21 28 1001
    8 22 29 1002
    9 100 30 1010
    10 101 31 1011
    11 102 32 1012
    12 110 33 1020
    13 111 34 1021
    14 112 35 1022
    15 120 36 1100
    16 121 37 1101
    17 122 38 1102
    18 200 39 1110
    19 201 40 1111
    20 202 41 1112

    Adding in another base

    You can add in another base (without converting to base 10) as long as you remember that you "carry" when you have a sum that is greater than or equal to your base (instead of greater than or equal to 10), and that what you "carry" is the number of times you can pull out the base from your sum.

    This is best illustrated by an example. Suppose you wish to add the hexadecimal numbers 4EF5A and 6ACF7:

    Let's walk through the example. Notice that

    So we write down a 1 in the "units" column and carry a 1. Then,

    So we write down a 5 in the "tens/sixteens" column and carry a 1. Then,

    So we write down a C in the next column and carry a 1. Then,

    So we write down a 9 in the next column and carry a 1. Then,

    So we write down a B in the next column, and we are done.

    Shortcut for changing between base 2 and base 16

    Consider the following conversion from binary to hexadecimal:

    Amazingly, one can always break a binary number into groups of 4 digits (starting at the right, and adding leading zeros if one runs out of digits), and then reinterpreting these groups of 4 as hexadecimal values, arrive at the hexadecimal representation for the original binary number. (Can you figure out why?)


    Acids and Bases

    Acids and bases exist as conjugate acid-base pairs. Istilah konjugat comes from the Latin stems meaning "joined together" and refers to things that are joined, particularly in pairs, such as Brnsted acids and bases.

    Every time a Brnsted acid acts as an H + -ion donor, it forms a conjugate base. Imagine a generic acid, HA. When this acid donates an H + ion to water, one product of the reaction is the A - ion, which is a hydrogen-ion acceptor, or Brnsted base.

    Conversely, every time a base gains an H + ion, the product is a Brnsted acid, HA.

    Acids and bases in the Brnsted model therefore exist as conjugate pairs whose formulas are related by the gain or loss of a hydrogen ion.

    Our use of the symbols HA and A - for a conjugate acid-base pair does not mean that all acids are neutral molecules or that all bases are negative ions. It signifies only that the acid contains an H + ion that isn't present in the conjugate base. Brnsted acids or bases can be neutral molecules, positive ions, or negative ions. Various Brnsted acids and their conjugate bases are given in the table below.

    Typical Brnsted Acids and Their Conjugate Bases

    Acid Base
    H3O + H2O
    H2O OH -
    OH - O 2-
    HCl Cl -
    H2SO4 HSO4 -
    HSO4 - SO4 2-
    NH4 + NH3
    NH3 NH2 -

    A compound can be both a Brnsted acid and a Brnsted base. H2O, OH - , HSO4 - , and NH3, for example, can be found in both columns in the table above. Water is the perfect example of this behavior because it simultaneously acts as an acid and a base when it forms the H3O + and OH - ions.

    Many hardware stores sell "muriatic acid" a 6 M solution of hydrochloric acid HCl(aq)to clean bricks and concrete. Grocery stores sell vinegar, which is a 1 M solution of acetic acid: CH3CO2H. Although both substances are acids, you wouldn't use muriatic acid in salad dressing, and vinegar is ineffective in cleaning bricks or concrete.

    The difference between the two is that muriatic acid is a strong acid and vinegar is a weak acid. Muriatic acid is strong because it is very good at transferring an H + ion to a water molecule. In a 6 M solution of hydrochloric acid, 99.996% of the HCl molecules react with water to form H3O + and Cl - ions.

    HCl(aq) + H2O(l) H3O + (aq) + Cl - (aq)

    Vinegar is a weak acid because it is not very good at transferring H + ions to water. In a 1 M solution, less than 0.4% of the CH3CO2H molecules react with water to form H3O + and CH3CO2 - ions.

    More than 99.6% of the acetic acid molecules remain intact.

    The relative strengths of acids is often described in terms of an acid-dissociation equilibrium constant, Ka. To understand the nature of this equilibrium constant, let's assume that the reaction between an acid and water can be represented by the following generic equation.

    In other words,some of the HA molecules react to form H3O + and A - ions, as shown in the figure below.

    By convention, the concentrations of these ions in units of moles per liter are represented by the symbols [H3O + ] and [A - ]. The concentration of the HA molecules that remain in solution is represented by the symbol [HA].

    The value of Ka for acid is calculated from the following equation.

    When a strong acid dissolves in water, the acid reacts extensively with water to form H3O + and A - ions. (Only a small residual concentration of the HA molecules remains in solution.) The product of the concentrations of the H3O + and A - ions is therefore much larger than the concentration of the HA molecules, so Ka for a strong acid is greater than 1.

    Example: Hydrochloric acid has a Ka of roughly 1 x 10 6 .

    Weak acids, on the other hand, react only slightly with water. The product of the concentrations of the H3O + and A - ions is therefore smaller than the concentration of the residual HA molecules. As a result, Ka for a weak acid is less than 1.

    Example: Acetic acid has a Ka of only 1.8 x 10 -5 .

    Ka can therefore be used to distinguish between strong acids and weak acids.

    Example: HCl is a strong acid. If HCl is a strong acid, it must be a good proton donor. HCl can only be a good proton donor, however, if the Cl - ion is a poor proton acceptor. Thus, the Cl - ion must be a weak base.

    Example: Let's consider the relationship between the strength of the ammonium (NH4 + ) and its conjugate base, ammonia (NH3). The NH4 + ion is a weak acid because ammonia is a reasonably good base.

    Use the acid-dissociation equilibrium constants for the conjugate acids of these bases to predict whether the CH3CO2 - ion or the OH - ion is the stronger base.

    The value of Ka for an acid can be used to decide whether it is a strong acid or a weak acid, in an absolute sense. It can also be used l to compare the relative strengths of a pair of acids.

    Example: Consider HCl and the H3O + ion.

    These Ka values suggest that both are strong acids, but HCl is a stronger acid than the H3O + ion.

    A high proportion of the HCl molecules in an aqueous solution reacts with water to form H3O + and Cl - ions. The Brnsted theory suggests that every acid-base reaction converts an acid into its conjugate base and a base into its conjugate acid.

    There are two acids and two bases in this reaction. The stronger acid, however, is on the left side of the equation.

    The general rules suggest that the stronger of a pair of acids must form the weaker of a pair of conjugate bases. The fact that HCl is a stronger acid than the H3O + ion implies that the Cl - ion is a weaker base than water.

    Thus, the equation for the reaction between HCl and water can be written as follows.

    HCl(g) + H2O(l) H3O + (aq) + Cl - (aq)
    stronger
    asid
    stronger
    pangkalan
    weaker
    asid
    weaker
    pangkalan

    It isn't surprising that 99.996% of the HCl molecules in a 6 M solution react with water to give H3O + ions and Cl - ions. The stronger of a pair of acids should react with the stronger of a pair of bases to form a weaker acid and a weaker base.

    Let's look at the relative strengths of acetic acid and the H3O + ion.

    The values of Ka for these acids suggest that acetic acid is a much weaker acid than the H3O + ion, which explains why acetic acid is a weak acid in water. Once again, the reaction between the acid and water must convert the acid into its conjugate base and the base into its conjugate acid.

    But this time, the stronger acid and the stronger base are on the right side of the equation.

    CH3CO2H(aq) + H2O(l) H3O + (aq) + CH3CO2 - (aq)
    weaker
    asid
    weaker
    pangkalan
    stronger
    asid
    stronger
    pangkalan

    As a result, only a few of the CH3CO2H molecules actually donate an H + ion to a water molecule to form the H3O + and CH3CO2 - ions.

    NaNH2 reacts with water to give an aqueous solution of NaOH and NH3.

    NaNH2(s) + H2O(l) Na + (aq) + OH - (aq) + NH3(aq)

    Determine which is the stronger base, the NH2 - or OH - ions.

    The magnitude of Ka can also be used to explain why some compounds that qualify as Brnsted acids or bases don't act like acids or bases when they dissolve in water. When the value of Ka for an acid is relatively large, the acid reacts with water until essentially all of the acid molecules have been consumed. Sulfuric acid (Ka = 1 x 10 3 ), for example, reacts with water until 99.9% of the H2SO4 molecules in a 1 M solution have lost a proton to form HSO4 - ions.

    Sebagai Ka becomes smaller, the extent to which the acid reacts with water decreases.

    As long as Ka for the acid is significantly larger than the value of Ka for water, the acid will ionize to some extent. Acetic acid, for example, reacts to some extent with water to form H3O + and CH3CO2 - , or acetate, ions.

    As the Ka value for the acid approaches the Ka for water, the compound becomes more like water in its acidity. Although it is still a Brnsted acid, it is so weak that we may be unable to detect this acidity in aqueous solution.

    Some potential Brnsted acids are so weak that their Ka values are smaller than water's. Ammonia, for example, has a Ka of only 1 x 10 -33 . Although NH3 can be a Brnsted acid, because it has the potential to act as a hydrogen-ion donor, there is no evidence of this acidity when it dissolves in water.

    All strong acids and bases seem to have the same strength when dissolved in water, regardless of the value of Ka. This phenomenon is known as the leveling effect of water the tendency of water to limit the strength of strong acids and bases. We can explain this by noting that strong acids react extensively with water to form the H3O + ion. More than 99% of the HCl molecules in hydrochloric acid react with water to form H3O + and Cl - ions, for example,

    and more than 99% of the H2SO4 molecules in a 1 M solution react with water to form H3O + ions and HSO4 - ions.

    Thus, the strength of strong acids is limited by the strength of the acid (H3O + ) formed when water molecules pick up an H + ion.

    A similar phenomenon occurs in solutions of strong bases. Strong bases react quantitatively with water to form the OH - ion. Once this happens, the solution cannot become any more basic. The strength of strong bases is limited by the strength of the base (OH - ) formed when water molecules lose an H + ion.

    The Brnsted definition of acids and bases offers many advantages over the Arrhenius and operational definitions.

    • It expands the list of potential acids to include positive and negative ions, as well as neutral molecules.
    • It expands the list of bases to include any molecule or ion with at least one pair of nonbonding valence electrons.
    • It explains the role of water in acid-base reactions: Water accepts H + ions from acids to form the H3O + ion.
    • It can be expanded to include solvents other than water and reactions that occur in the gas or solid phases.
    • It links acids and bases into conjugate acid-base pairs.
    • It can explain the relationship between the strengths of an acid and its conjugate base.
    • It can explain differences in the relative strengths of a pair of acids or a pair of bases.
    • It can explain the leveling effect of water the fact that strong acids and bases all have the same strength when dissolved in water.

    Because of these advantages, whenever chemists use the words asid atau pangkalan without any further description, they are referring to a Brnsted asid or a Brnsted pangkalan.

    Pure water is both a weak acid and a weak base. By itself, water forms only a very small number of the H3O + and OH - ions that characterize aqueous solutions of stronger acids and bases.

    The concentrations of the H3O + and OH - ions in water can be determined by carefully measuring the ability of water to conduct an electric current. At 25 o C, the concentrations of these ions in pure water is 1.0 x 10 -7 moles per liter.

    [H3O + ] = [OH - ] = 1.0 x 10 -7 M (at 25C)

    When we add a strong acid to water, the concentration of the H3O + ion increases.

    HCl(aq) + H2O(l) H3O + (aq) + Cl - (aq)

    At the same time, the OH - ion concentration decreases because the H3O + ions produced in this reaction neutralize some of the OH - ions in water.

    H3O + (aq) + OH - (aq) 2 H2O(l)

    The product of the concentrations of the H3O + and OH - ions is constant, no matter how much acid or base is added to water. In pure water at 25 o C, the product of the concentration of these ions is 1.0 x 10 -14 .

    The range of concentrations of the H3O + and OH - ions in aqueous solution is so large that it is difficult to work with. In 1909 the Danish biochemist S. P. L. Sorenson suggested reporting the concentration of the H3O + ion on a logarithmic scale, which he named the pH scale. Because the H3O + ion concentration in water is almost always smaller than 1, the log of these concentrations is a negative number. To avoid having to constantly work with negative numbers, Sorenson defined pH as the negative of the log of the H3O + ion concentration.

    Calculate the pH of Pepsi Cola if the concentration of the H3O + ion in this solution is 0.00347 M.

    The concept of pH compresses the range of H3O + ion concentrations into a scale that is much easier to handle. As the H3O + ion concentration decreases from roughly 10 0 to 10 -14 , the pH of the solution increases from 0 to 14.

    If the concentration of the H3O + ion in pure water at 25 o C is 1.0 x 10 -7 M, the pH of pure water is 7.

    pH = -log [H3O + ] = -log (1.0 x 10 -7 ) = 7

    When the pH of a solution is less than 7, the solution is acidic. When the pH is more than 7, the solution is basic.

    The pH of a solution depends on the strength of the acid or base in the solution. Measurements of the pH of dilute solutions are therefore good indicators of the relative strengths of acids and bases. Values of the pH of 0.10 M solutions of a number of common acids and bases are given in the table below.


    Tonton videonya: Capítulo - 2000 Citas Ultimas (Disember 2021).