Artikel

5.8: Pemodelan Menggunakan Variasi - Matematik


Objektif Pembelajaran

Di bahagian ini, anda akan:

  • Selesaikan masalah variasi langsung.
  • Selesaikan masalah variasi songsang.
  • Selesaikan masalah yang melibatkan variasi sendi.

Sebuah syarikat kereta terpakai baru sahaja menawarkan calon terbaik mereka, Nicole, kedudukan dalam penjualan. Contohnya, jika dia menjual kenderaan dengan harga $ 4,600, dia akan memperoleh $ 736. Dia mahu menilai tawaran itu, tetapi dia tidak pasti caranya. Di bahagian ini, kita akan melihat hubungan, seperti yang ini, antara pendapatan, penjualan dan kadar komisen.

Menyelesaikan Masalah Variasi Langsung

Dalam contoh di atas, pendapatan Nicole dapat dijumpai dengan menggandakan penjualannya dengan komisennya. Rumus (e = 0.16s ) memberitahu kami pendapatannya, (e ), berasal dari produk 0.16, komisennya, dan harga jualan kenderaan. Sekiranya kita membuat jadual, kita melihat bahawa ketika harga penjualan meningkat, pendapatan juga meningkat, yang semestinya intuitif. Lihat Jadual 5.8.1.

(s ), harga jualan (e = 0.16s )Tafsiran
$9,200 (e = 0,16 (9,200) = 1,472 )Jualan kenderaan bernilai $ 9.200 menghasilkan pendapatan $ 1472.
$4,600 (e = 0.16 (4.600) = 736 )Jualan kenderaan bernilai $ 4,600 menghasilkan pendapatan $ 736.
$18,400 (e = 0.16 (18.400) = 2.944 )Jualan kenderaan bernilai $ 18,400 menghasilkan pendapatan $ 2944.

Jadual 5.8.1

Perhatikan bahawa pendapatan adalah gandaan penjualan. Apabila penjualan meningkat, pendapatan meningkat dengan cara yang dapat diramalkan. Gandakan penjualan kenderaan dari $ 4,600 hingga $ 9,200, dan kami menggandakan pendapatan dari $ 736 hingga $ 1,472. Apabila input meningkat, output meningkat sebagai gandaan input. Hubungan di mana satu kuantiti adalah pemalar dikalikan dengan kuantiti yang lain disebut variasi langsung. Setiap pemboleh ubah dalam hubungan jenis ini berbeza secara langsung dengan yang lain.

Gambar 5.8.1 menunjukkan data untuk potensi pendapatan Nicole. Kami mengatakan bahawa pendapatan berbeza secara langsung dengan harga jualan kereta. Rumus (y = kx ^ n ) digunakan untuk variasi langsung. Nilai (k ) adalah pemalar bukan sifar lebih besar daripada sifar dan dipanggil pemalar tetap. Dalam kes ini, (k = 0.16 ) dan (n = 1 ). Kami melihat fungsi seperti ini ketika membincangkan fungsi kuasa.

Rajah mempunyai sumber yang tidak sah: image dilihat sehinggalah diselamatkan .... src = "/ @ api / Deki / pages / = Rak buku% 252FPrecalculus% 252FBook% 25253A_Precalculus_ (OpenStax)% 252F03% 25253A_Polynomial_and_Rational_Functions% 252F3.9% 25253A_Modeling_Using_Variation / fail / CNX_Precalc_Figure_03_09_001. jpg

Nota Umum: VARIASI LANGSUNG

Sekiranya (x ) dan (y ) dihubungkan oleh persamaan bentuk

(y = kx ^ n )

maka kita mengatakan bahawa hubungan itu variasi langsung dan (y ) berbeza secara langsung dengan, atau sebanding dengan, kekuatan (n ) (x ). Dalam hubungan variasi langsung, terdapat nisbah malar nol (k = dfrac {y} {x ^ n} ), di mana (k ) disebut sebagai pemalar tetap, yang membantu menentukan hubungan antara pemboleh ubah.

Dengan memberikan gambaran mengenai masalah variasi langsung, selesaikan yang tidak diketahui.

  1. Kenal pasti input, (x ), dan outputnya, (y ).
  2. Tentukan pemalar variasi. Anda mungkin perlu membahagi (y ) dengan kekuatan yang ditentukan dari (x ) untuk menentukan pemalar variasi.
  3. Gunakan pemalar variasi untuk menulis persamaan untuk hubungan.
  4. Ganti nilai yang diketahui ke dalam persamaan untuk mencari yang tidak diketahui.

Contohnya

Menyelesaikan Masalah Variasi Langsung

Kuantiti (y ) berbeza secara langsung dengan kubus (x ). Jika (y = 25 ) ketika (x = 2 ), cari (y ) ketika (x ) adalah (6 ).

Penyelesaian

Formula umum untuk variasi langsung dengan kubus ialah (y = kx ^ 3 ). Pemalar boleh didapati dengan membahagi (y ) dengan kubus (x ).

(k = dfrac {y} {x ^ 3} )

(= dfrac {25} {2 ^ 3} )

(= dfrac {25} {8} )

Sekarang gunakan pemalar untuk menulis persamaan yang mewakili hubungan ini.

(y = dfrac {25} {8} x ^ 3 )

Ganti (x = 6 ) dan selesaikan (y ).

(y = dfrac {25} {8} {(6)} ^ 3 )

(=675)

Analisis

Grafik persamaan ini adalah kubik sederhana, seperti ditunjukkan dalam Rajah 5.8.2.

Soal Jawab

Adakah graf semua persamaan variasi langsung kelihatan seperti Contoh?

Tidak. Persamaan variasi langsung adalah fungsi daya - mereka mungkin linear, kuadratik, kubik, kuartik, radikal, dll. Tetapi semua grafik melewati ((0,0) ).

Senaman

Kuantiti (y ) berbeza secara langsung dengan kuadrat (x ). Sekiranya (y = 24 ) ketika (x = 3 ), cari (y ) ketika (x ) ialah 4.

Penyelesaian

( frac {128} {3} )

Menyelesaikan Masalah Variasi Berbalik

Suhu air di lautan berbeza-beza dengan kedalaman air. Rumus (T = frac {14,000} {d} ) memberi kita suhu dalam darjah Fahrenheit pada kedalaman kaki di bawah permukaan Bumi. Pertimbangkan Lautan Atlantik, yang meliputi 22% permukaan Bumi. Di lokasi tertentu, pada kedalaman 500 kaki, suhu mungkin 28 ° F.

Sekiranya kita mencipta Jadual 5.8.2, kita perhatikan bahawa, ketika kedalaman meningkat, suhu air menurun.

(d ), kedalaman (T = frac {14,000} {d} )Tafsiran
500 kaki ( frac {14,000} {500} = 28 )Pada kedalaman 500 kaki, suhu air ialah 28 ° F.
1000 kaki ( frac {14,000} {1000} = 14 )Pada kedalaman 1,000 kaki, suhu air ialah 14 ° F.
2000 kaki ( frac {14,000} {2000} = 7 )Pada kedalaman 2,000 kaki, suhu air ialah 7 ° F.

Jadual 5.8.2

Kami perhatikan dalam hubungan antara pemboleh ubah ini bahawa, apabila satu kuantiti meningkat, yang lain menurun. Kedua-dua kuantiti itu dikatakan berkadar songsang dan setiap penggal berbeza secara terbalik dengan yang lain. Hubungan berkadar sebaliknya juga disebut variasi songsang.

Contohnya, Rajah 5.8.3 menggambarkan variasi songsang. Kami mengatakan suhu air berbeza secara terbalik dengan kedalaman air kerana, ketika kedalaman meningkat, suhu menurun. Rumus (y = frac {k} {x} ) untuk variasi terbalik dalam kes ini menggunakan (k = 14,000 ).

Nota Umum: VARIASI INVERSE

Sekiranya (x ) dan (y ) dihubungkan oleh persamaan bentuk

(y = frac {k} {x ^ n} )

di mana (k ) adalah pemalar bukan sifar, maka kita mengatakan bahawa (y ) berbeza secara terbalik dengan kekuatan (n ) (x ). Dalam berkadar songsang hubungan, atau variasi songsang, terdapat gandaan tetap (k = x ^ ny ).

Contohnya

Menulis Formula untuk Hubungan Berkadar songsang

Seorang pelancong merancang untuk memandu sejauh 100 batu. Cari formula untuk perjalanan yang akan diambil sebagai fungsi dari kepantasan perjalanan pelancong.

Penyelesaian

Ingat bahawa mengalikan kelajuan dengan masa memberikan jarak. Sekiranya kita membiarkan (t ) mewakili masa pemanduan dalam beberapa jam, dan (v ) mewakili halaju (kelajuan atau kadar) di mana pelancong memandu, maka (vt = ) jarak. Kerana jaraknya tetap pada 100 batu, (vt = 100 ) jadi (t = frac {100} {v} ). Oleh kerana masa adalah fungsi halaju, kita dapat menulis (t (v) ).

(t (v) = frac {100} {v} )

(= 100v ^ {- 1} )

Kita dapat melihat bahawa pemalar variasi adalah 100 dan, walaupun kita dapat menulis hubungan menggunakan eksponen negatif, lebih biasa melihatnya ditulis sebagai pecahan. Kami mengatakan bahawa masa berbeza secara berlawanan dengan halaju.

Dengan memberikan gambaran mengenai masalah variasi tidak langsung, selesaikan yang tidak diketahui.

  1. Kenal pasti input, (x ), dan outputnya, (y ).
  2. Tentukan pemalar variasi. Anda mungkin perlu mengalikan (y ) dengan kekuatan yang ditentukan dari (x ) untuk menentukan pemalar variasi.
  3. Gunakan pemalar variasi untuk menulis persamaan untuk hubungan.
  4. Ganti nilai yang diketahui ke dalam persamaan untuk mencari yang tidak diketahui.

Contohnya

Menyelesaikan Masalah Variasi Terbalik

Kuantiti (y ) berbeza secara terbalik dengan kubus (x ). Jika (y = 25 ) ketika (x = 2 ), cari (y ) ketika (x ) adalah (6 ).

Penyelesaian

Formula umum untuk variasi terbalik dengan kubus ialah (y = frac {k} {x ^ 3} ). Pemalar boleh didapati dengan mengalikan (y ) dengan kubus (x ).

(k = x ^ 3y )

(=2^3⋅25)

(=200)

Sekarang kita menggunakan pemalar untuk menulis persamaan yang mewakili hubungan ini.

(y = dfrac {k} {x ^ 3} ), (k = 200 )

(y = dfrac {200} {x ^ 3} )

Ganti (x = 6 ) dan selesaikan (y ).

(y = dfrac {200} {6 ^ 3} )

(= dfrac {25} {27} )

Analisis

Grafik persamaan ini adalah fungsi rasional, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 5.8.4.

Senaman

Kuantiti (y ) berbeza terbalik dengan kuadrat (x ). Sekiranya (y = 8 ) ketika (x = 3 ), cari (y ) ketika (x ) adalah (4 ).

Penyelesaian

( frac {9} {2} )

Menyelesaikan Masalah Melibatkan Variasi Sendi

Banyak situasi lebih rumit daripada variasi langsung asas atau model variasi terbalik. Satu pemboleh ubah sering bergantung pada beberapa pemboleh ubah lain. Apabila pemboleh ubah bergantung pada produk atau hasil dua atau lebih pemboleh ubah, ini dipanggil variasi sendi. Contohnya, kos menaiki bas pelajar untuk setiap perjalanan sekolah berbeza dengan jumlah pelajar yang hadir dan jarak dari sekolah. Pemboleh ubah (c ), kos, berbeza bersama dengan bilangan pelajar, (n ), dan jarak, (d ).

Nota Umum: VARIASI BERSAMA

Variasi sendi berlaku apabila pemboleh ubah berbeza secara langsung atau terbalik dengan pelbagai pemboleh ubah.

Sebagai contoh, jika (x ) berbeza secara langsung dengan kedua (y ) dan (z ), kita memiliki (x = kyz ). Sekiranya (x ) berbeza secara langsung dengan (y ) dan sebaliknya dengan (z ), kita mempunyai (x = frac {ky} {z} ). Perhatikan bahawa kita hanya menggunakan satu pemalar dalam persamaan variasi bersama.

Contohnya

Menyelesaikan Masalah Melibatkan Variasi Sendi

Kuantiti (x ) berbeza secara langsung dengan kuadrat (y ) dan sebaliknya dengan akar kubus (z ). Sekiranya (x = 6 ) ketika (y = 2 ) dan (z = 8 ), cari (x ) ketika (y = 1 ) dan (z = 27 ).

Penyelesaian

Mulakan dengan menulis persamaan untuk menunjukkan hubungan antara pemboleh ubah.

(x = dfrac {ky ^ 2} { sqrt [3] {z}} )

Pengganti (x = 6 ), (y = 2 ), dan (z = 8 ) untuk mencari nilai pemalar (k ).

(6 = dfrac {k2 ^ 2} { sqrt [3] {8}} )

(6 = dfrac {4k} {2} )

(3 = k )

Sekarang kita boleh menggantikan nilai pemalar ke persamaan untuk hubungan.

(x = dfrac {3y ^ 2} { sqrt [3] {z}} )

Untuk mencari (x ) ketika (y = 1 ) dan (z = 27 ), kami akan menggantikan nilai untuk (y ) dan (z ) ke dalam persamaan kami.

(x = dfrac {3 {(1)} ^ 2} { sqrt [3] {27}} )

(=1)

Senaman

Kuantiti (x ) berbeza secara langsung dengan petak (y ) dan sebaliknya dengan (z ). Sekiranya (x = 40 ) ketika (y = 4 ) dan (z = 2 ), cari (x ) ketika (y = 10 ) dan (z = 25 ).

Penyelesaian

(x = 20 )

Persamaan Utama

Variasi langsung

(y = kx ^ n ), (k ) ialah pemalar bukan sifar.

Variasi terbalik

(y = dfrac {k} {x ^ n} ), (k ) ialah pemalar bukan sifar.

Konsep kunci

  • Hubungan di mana satu kuantiti adalah pemalar dikalikan dengan kuantiti yang lain disebut variasi langsung. Lihat Contoh.
  • Dua pemboleh ubah yang berkadar langsung antara satu sama lain akan mempunyai nisbah tetap.
  • Hubungan di mana satu kuantiti adalah pemalar yang dibahagi dengan kuantiti yang lain disebut variasi terbalik. Lihat Contoh.
  • Dua pemboleh ubah yang berkadar songsang antara satu sama lain akan mempunyai gandaan tetap. Lihat Contoh.
  • Dalam banyak masalah, pemboleh ubah berbeza secara langsung atau terbalik dengan pelbagai pemboleh ubah. Kami memanggil jenis variasi hubungan bersama. Lihat Contoh.

Mengajar Matematik Menggunakan Model Abstrak Perwakilan Konkrit

Model CRA adalah pendekatan instruksional untuk mengajar matematik. Ia terdiri daripada tiga fasa:

Pada fasa konkrit, kita fokus menggunakan manipulatif secara langsung. Pelajar harus dapat menggerakkan dan memanipulasi objek 3D untuk mewakili pemikiran mereka. Contohnya mungkin asas sepuluh blok untuk mewakili ungkapan tambahan.

Dalam fasa perwakilan, kami melukis perwakilan. Sebagai contoh, kita dapat mewakili puluhan dasar dari gambar sebelumnya dengan gambar asas sepuluh blok.

Pada fasa abstrak, kita melambangkan pemikiran kita dengan digit dan simbol. Sebagai contoh, sepuluh blok asas sekarang dapat ditunjukkan sebagai persamaan.

JURANG"

Bukan rahsia lagi bahawa terdapat jurang besar dalam banyak pemahaman dan kefasihan matematik pelajar kami. Mengapa sebilangan pelajar nampaknya "mendapat" matematik dan ada yang tidak berjaya?

Saya percaya bahawa sebab jurang ini adalah kurangnya fokus pada pembelajaran konkrit.

Saya tahu bahawa saya telah melakukan aktiviti konkrit untuk melakukan aktiviti abstrak dengan lebih pantas. Pernahkah awak? Sangat mudah untuk melihat fasa abstrak sebagai tujuan akhir yang kita tergesa-gesa untuk sampai ke & # 8211 tetapi adakah ini benar-benar matlamat akhir kita? Atau adakah tujuan untuk membantu pelajar kita membina pemahaman mereka dan menjadi pemikir yang fleksibel?

Sekiranya anda mempunyai pelajar yang bergelut dengan matematik, saya mendorong anda untuk mempertimbangkan bahawa alasan kelemahan mereka adalah kerana mereka tidak "melihat" matematik di kepala mereka. Daripada melihat 25 sebagai dua puluh dan lima, mereka melihatnya secara harfiah sebagai "2" dan "5." Ini menyukarkan mereka untuk membuat hubungan dan melihat hubungan.

Kami dapat membantu merapatkan jurang ini dengan memberi peluang kepada pelajar kami dengan bahan konkrit sehingga mereka membina pemahaman yang penting untuk kejayaan masa depan mereka dalam matematik.

MERANCANG PELAJARAN DENGAN MODEL CRA DI MIND

Semasa anda mengajar pelajaran matematik, jadikan matlamat anda untuk memasukkan konkrit, representasi, dan abstrak ke dalam pelajaran yang sama. Dengan cara ini anda dapat memastikan bahawa anda membezakan semua pelajar anda, tidak kira di mana mereka berada dalam pemahaman mereka.

Ia lebih baik untuk memikirkan model CRA sebagai gambarajah Venn dan bukannya siri langkah yang berurutan.

Berikut adalah beberapa petua untuk memasukkan model CRA ke dalam pelajaran anda dengan lancar:

  • Jangan simpan manipulasi anda di dalam laci dan bawanya hanya untuk majlis khas! Ini harus menjadi bahagian biasa dalam arahan matematik anda.
  • Sediakan manipulatif dalam kumpulan jadual pelajar supaya mudah diakses oleh mereka yang memerlukannya.
  • Semasa ceramah matematik keseluruhan kelas, mewakili pemikiran dengan pelbagai cara. Ingat bahawa tidak setiap pelajar berfikir sama.
  • Ubah pemikiran anda - jika tujuannya adalah pemikiran yang fleksibel, maka sebahagian besar masa harus dihabiskan dengan manipulasi. Setelah pelajar dapat "melihat" matematik dalam fikiran mereka, fasa abstrak akan menjadi kemajuan yang sederhana dan semula jadi. Ini juga bermaksud bahawa kurang intervensi dan pengajaran semula diperlukan.

ALAT UNTUK MENGAJAR DENGAN MODEL CRA

Berikut adalah beberapa kaedah kegemaran saya untuk memasukkan model CRA ke dalam pelbagai tugas matematik.

Bagaimana anda menggunakan model CRA di bilik darjah anda? Beritahu saya dalam komen di bawah!


Pemodelan Matematik Struktur Biofilm Menggunakan Data COMSTAT

Pemodelan matematik mempunyai potensi besar untuk menerangkan secara kuantitatif pertumbuhan biofilm dengan kehadiran atau ketiadaan agen kimia yang digunakan untuk membatasi atau mempromosikan pertumbuhan biofilm. Dalam makalah ini, kami menerangkan kerangka matematik / statistik umum yang memungkinkan untuk mencirikan data kompleks dari segi beberapa parameter dan kemampuan untuk (i) membandingkan eksperimen dan pendedahan yang berbeza dengan agen yang berlainan, (ii) menguji hipotesis yang berbeza mengenai pertumbuhan biofilm dan interaksi dengan agen yang berbeza, dan (iii) mensimulasikan pentadbiran ejen sewenang-wenangnya. Kerangka matematik dibahagikan kepada submodel yang mencirikan biofilm, termasuk model baru yang mencirikan pertumbuhan biofilm hidup dan pengumpulan sel mati interaksi dengan agen yang menghalang atau merangsang pertumbuhan kinetik agen. Kerangka statistik dapat mengambil kira pengukuran dan variasi intereksperimen. Kami menunjukkan penerapan (beberapa) model menggunakan data mikroskopi confocal yang diperoleh menggunakan program komputer COMSTAT.

1. Pengenalan

Biofilm adalah komuniti bakteria terstruktur yang tertutup dalam matriks ekstraselular yang terdiri daripada polisakarida, protein, dan DNA ekstraselular yang melekat pada permukaan [1]. Tidak seperti bakteria planktonik, biofilem menunjukkan perbezaan dalam metabolisme, toleransi antibiotik, dan kemampuan untuk menghindari sistem kekebalan tubuh, menjadikan jangkitan kerana biofilm sukar dirawat [2]. Biofilm adalah penyebab utama jangkitan akut dan kronik, termasuk jangkitan badan asing, otitis media, dan jangkitan saluran kencing.

Apabila populasi mikroorganisma yang disusun dalam biofilm tumbuh, kemungkinan besar akan melewati fasa yang berlainan. Pertumbuhannya mungkin berlaku setelah tempoh dorman, jika keadaan persekitaran sebelum permulaan pertumbuhan tidak optimum. Akhirnya, sel mula membahagi dan menyusun, dan biofilm tumbuh menjadi satu tempoh di mana kadar pembahagian sel secara keseluruhan berlaku berbanding kematian mereka. Dalam keadaan yang baik, pertumbuhan boleh dianggap tidak terbatas (oleh itu eksponensial) untuk beberapa waktu, tetapi akhirnya [3] had fisiologi dan fizikal seperti (i) kehabisan nutrien yang ada, (ii) pengumpulan metabolit penghambat atau produk akhir, dan (iii) ruang habis. Akibatnya, kadar pertumbuhan menurun dan koloni mencapai ukuran maksimumnya. Pendedahan berulang atau berterusan terhadap tekanan persekitaran atau fisiologi ini boleh mengakibatkan penurunan ukuran biofilm [4].

Biofilm in vitro sering digunakan dalam kajian mengenai terapi, menangani reaksi populasi bakteria terhadap pelbagai agen: ubat, misalnya, antibiotik, atau mutagen [5–8]. Itu digunakan secara luaran pada struktur biofilm dan mengubah persekitarannya atau secara langsung menghilangkan (membunuh) bakteria atau menurunkan kemampuan pembiakannya.

Pelbagai model matematik telah digunakan untuk menggambarkan pertumbuhan bakteria dalam penyelidikan dinamika di persekitaran hanya bergantung pada aktiviti bakteria [9, 10]. Begitu juga, sejumlah model telah diusulkan untuk menggambarkan tindakan agen yang berlainan, khususnya ubat-ubatan dan interaksi mereka [11–13]. Objektif makalah ini adalah untuk mendapatkan kerangka terpadu yang menyediakan model yang menggambarkan berbagai tahap pertumbuhan biofilm, tindakan agen yang berlainan, dan pemodelan serentak kinetik yang dihasilkan untuk biofilm hidup dan mati. Masalah statistik yang berkaitan dengan penggunaan data ini, khususnya perlakuan terhadap pelbagai sumber kebolehubahan, juga ditangani.

Kami menunjukkan penggunaan model umum yang dihasilkan menggunakan data yang diperoleh melalui mikroskopi confocal dan COMSTAT [14]. COMSTAT mengambil tumpukan gambar yang dibuat oleh mikroskop confocal sebagai data sumber dan menghasilkan hingga sepuluh ciri analisis gambar untuk pengukuran struktur biofilm yang dihasilkan sebagai satu atau lebih fail teks. Model yang kami jelaskan dalam makalah ini berlaku untuk pengukuran univariat: jumlah biomassa, luas dalam lapisan tertentu, ketebalan rata-rata, dan jumlah mikrokoli yang dikenal pasti di substratum (COMSTAT juga memperoleh data multivariat, seperti pengedaran ketebalan, yang dapat digunakan untuk mengukur struktur tiga dimensi dalam biofilm. Pemodelan data sedemikian adalah subjek penyelidikan pemodelan semasa dan akan dilaporkan dalam komunikasi masa depan.).

2. Kaedah

2.1. Pemodelan Matematik

Pemodelan pertumbuhan biofilm memerlukan spesifikasi tiga komponen. Yang pertama, fungsi

, menerangkan pertumbuhan biofilm tanpa adanya agen yang membatasi atau mendorong pertumbuhan. Yang kedua, fungsi bukan negatif

, menerangkan interaksi dengan ejen. Ketiga,

, menerangkan variasi temporal (kinetik) agen yang bertindak pada biofilm. Model umum yang kami anggap menyatakan kadar perubahan biofilm seperti berikut:

di mana masa, adalah jumlah biofilm yang ada dalam sistem pada waktu, adalah keadaan awal atau jumlah biofilm pada, dan merupakan kepekatan agen pada masa itu. Tanda ± menunjukkan bahawa model dapat menggambarkan perencatan atau rangsangan.

2.1.1. Pertumbuhan Biofilm

Sebilangan besar model telah diusulkan untuk menggambarkan pertumbuhan bakteria, misalnya, [15–17]. Untuk tujuan makalah ini, kami hanya menerangkan model termudah untuk pertumbuhan tanpa had (eksponensial) dan tiga model separa separa untuk pertumbuhan terhad. Pertumbuhan biofilm eksponensial menganggap bahawa kadar pertumbuhan sebanding dengan jumlah sel yang ada dalam sistem, dan bahawa tidak ada batasan pertumbuhan

di manakah kadar pertumbuhan biofilm. Penyelesaian analitik dari (2) adalah pertumbuhan eksponensial:

Secara umum, pertumbuhan eksponensial hanya dapat menggambarkan peringkat awal pertumbuhan biofilm. Sejumlah model semempirikal dapat digunakan untuk mempertimbangkan penurunan percambahan yang terjadi akibat pembatasan bekalan nutrien atau kekangan mekanikal atau pengumpulan metabolit. Kami menganggap model Logistik, Gompertz, dan Bertalanffy. Logistik [18] mengambil bentuk berikut:

di mana tahap biofilm maksimum yang boleh dicapai. Penyelesaian analitik yang sesuai adalah seperti berikut:

Model Gompertz [19–21] mengambil bentuk berikut:

Akhirnya model Bertalanffy [22] menganggap bahawa pertumbuhan berlaku secara berkadar dengan luas permukaan biofilm, sementara kehilangan biofilm sebanding dengan biofilm:

di manakah kadar kematian untuk biofilm. Penyelesaian (8) juga berbentuk sigmoidal dan cenderung menjadi asimptot seiring bertambahnya waktu, di mana tempoh kelahiran dan kematian saling menyeimbangkan. Versi umum model Bertalanffy mengambil bentuk berikut [22]:

. Persamaan Logistik adalah kes khas model ini dengan.

2.1.2. Interaksi Ejen dengan Biofilm

Model termudah yang menggambarkan interaksi biofilm bakteria dengan ejen menganggap bahawa tindakan ejen itu sebanding dengan ejen produk dan biofilm:

di mana sekarang mengukur interaksi. Untuk agen penghambat menggabungkan (10) dengan pertumbuhan eksponensial (2) memperoleh Menurut model ini jika kepekatan agen disimpan pada tahap tetap, kadar pertumbuhan adalah sifar. Kepekatan itu adalah kepekatan minimum agen membunuh bakteria atau BIC. BIC sering digunakan untuk mencirikan pertumbuhan bakteria dalam eksperimen planktonik, in vitro, dan tetapan klinikal (mis., [23]). Perhatikan bahawa jika kadar pertumbuhan tidak eksponensial, BIC tidak tetap tetapi bergantung pada jumlah biofilm semasa. Sebagai contoh, untuk model Logistik, menggabungkan tindakan agen penghambat mengambil bentuk berikut: dan BIC diberikan oleh persamaan berikut:

yang menunjukkan bagaimana penurunan BIC sebagai fungsi. Begitu juga, untuk model Gompertz, model yang lebih kompleks untuk agen interaksi / biofilm boleh digunakan, misalnya, model ambang, yang mana agen tersebut berkesan jika kepekatannya mencapai ambang,

di mana parameternya adalah ambang atau model yang mengikuti kinetik tepu yang serupa dengan yang digunakan dalam, misalnya, farmakodinamik [13], di mana sekarang, untuk kepekatan agen yang besar, kadar pembunuhan asimptot menjadi. Dengan adanya dua ejen, dan, model (10) dan (16) peningkatan kerumitan, kerana agen tersebut dapat mempengaruhi kadar pembunuhan dengan cara yang berbeza. Sebagai contoh, model linier (10) dapat digeneralisasikan seperti berikut: atau di mana kadar pembunuhan untuk interaksi ejen. Ketika kinetik tepu hadir, seperti halnya model agen tunggal (16), sejumlah kemungkinan timbul, menghasilkan model tambahan, sinergis, dan antagonis yang sering digunakan dalam eksperimen farmakodinamik, enzimologi, atau pengikatan [12]. Sebagai contoh, menggabungkan model untuk interaksi kompetitif antara hasil dua ejen

model menunjukkan daya tambah, dan apabila ia menjadi model dan hasil antagonisme yang kompetitif

2.1.3. Kinetik Ejen

Perwakilan matematik kinetik ejen diperlukan untuk menggabungkan tindakan mereka pada biofilm. Ini secara amnya tidak menimbulkan kesulitan tertentu. Penyelesaian analitik atau set persamaan pembezaan boleh digunakan untuk melakukannya [24, 25]. Sebagai alternatif, seseorang dapat menggunakan perwakilan data "model bebas", seperti melicinkan splines [26], atau, ketika kesalahan pengukuran dalam data kinetik rendah, interpolan linier yang lebih sederhana seperti yang kita lakukan dalam contoh yang dilaporkan di bawah.

2.1.4. Memodelkan Biofilm Mati

Data mikroskopi confocal membolehkan pengukuran kedua-dua sel hidup dan mati (lihat bahagian Data). Menunjukkan oleh

biofilm mati yang terdapat dalam sistem pada masa itu, kadar penjanaannya dapat diperoleh secara langsung dari persamaan pertumbuhan yang dilaporkan di atas dengan mengenal pasti kerugian atau keuntungan dalam sel hidup kerana adanya agen tersebut. Untuk persamaan kadar pertumbuhan Logistik (4), ini menghasilkan dan, untuk persamaan model Bertalanffy umum (8), agen penghambat memperoleh Untuk model Gompertz, persamaan pertumbuhan tidak membawa secara langsung untuk menyatakan kadar kehilangan sel kerana hanya menyatakan penurunan kadar pertumbuhan berbanding terbalik dengan pertumbuhan biofilm. Kemungkinan adalah mengekspresikan biofilm mati sebagai berikut: perbezaan antara apa yang akan dihasilkan dari pertumbuhan eksponensial dan tahap biofilm sebenar.

2.1.5. Pemodelan Biofilm Pasca Plateau Berkurang

Untuk mengira kesan yang membawa kepada penurunan ukuran biofilm pasca dataran tinggi [4], seseorang dapat memperkenalkan pemboleh ubah endogen hipotesis,

, yang dikurangkan secara berkadar dengan jumlah biofilm yang ada [27, 28].

di mana kadar pengurangannya. secara sewenang-wenangnya ditetapkan pada 1 pada waktu sifar itu positif apabila meningkat, tetapi akhirnya menjadi negatif (seperti yang dapat dilihat oleh hubungan

). Kadar pertumbuhan biofilm mengambil bentuk berikut: di mana (diberikan oleh (4) atau (6). Sebagai contoh, untuk pertumbuhan Logistik,

Bahagian kanan persamaan (25) dan (26) menjadi negatif seiring berjalannya waktu dan membawa kepada asimptot menjadi sifar (asimptot ke nilai negatif). Batasan utama model adalah bahawa untuk setiap nilai biofilm selalu asimptot menjadi 0. Untuk mengelakkan ini model dapat diubahsuai seperti berikut:

di mana dan kadar pengeluaran dan penghapusan bahan endogen. Persamaan untuk sel mati diperoleh seperti sebelumnya.

Kami menyatakan bahawa terutamanya dalam sistem in vivo seseorang dapat melihat penampilan pertumbuhan kitaran sebelum atau sesudah dataran tinggi, yang berkaitan dengan pembenihan dan penyebaran [29, 30]. Untuk memodelkan situasi ini, seseorang dapat menggunakan variasi waktu yang mengubah nilai setelah penundaan waktu murni atau bergantung pada nilai biofilm ambang.

2.1.6. Pemodelan Dormancy

Pertumbuhan biofilm dapat mengikuti tempoh awal dormansi yang dapat dinyatakan dengan mudah menggunakan waktu lag (murni). Kadar pertumbuhan menjadi

2.2. Pemodelan Statistik dan Pemilihan Model

Data biofilm biasanya terdiri dari beberapa pengukuran yang dibuat pada sejumlah "sel" yang tumbuh pada kesempatan yang berlainan. Pengukuran menunjukkan tahap variasi rawak yang berbeza: antara pengukuran dalam sel tertentu (variasi intrasel), di antara sel (variasi antar sel), dan interokrasi. Model kesan campuran nonlinear hierarki [31] boleh digunakan untuk mewakili data tersebut. Menurut model ini

percubaan sel dan th,

di mana waktu persampelan yang sesuai, adalah fungsi nonlinier yang menggambarkan hubungan antara waktu, parameter, dan tindak balas yang diramalkan, dan menjelaskan nilai parameter untuk setiap sel, yang bergantung pada, vektor parameter min kesan tetap, vektor parameter kesan rawak interel , dan vektor parameter kesan rawak antara sel, dengan min sifar dan sebilangan normal, normal, multivariate distribusi dengan matriks varians-kovarians

. Kesan rawak menunjukkan kebolehubahan intrasel (mis., Ralat pengukuran) yang biasanya diandaikan (multivariate) yang biasanya diedarkan dengan min sifar dan matriks kovarians

, yang boleh bergantung pada (kami menghilangkan perincian untuk kesederhanaan) dan vektor parameter yang tidak diketahui

. Kaedah popular yang digunakan untuk menyesuaikan model kesan campuran ke data dilaksanakan dalam program komputer seperti NONMEM [32] dan NLME [33], yang memungkinkan pengiraan statistik pesanan kedua yang sesuai untuk anggaran, khususnya varians-kovarians sampel yang besar matriks parameter, parameter individu sebagai anggaran empirikal-Bayes, dan ramalan yang sesuai, bergantung pada anggaran untuk.

Untuk memilih antara model yang berbeza, seseorang boleh menggunakan kriteria pemilihan model statistik bersama dengan paparan grafik biasa berdasarkan ramalan, pemerhatian, dan sisa. Beberapa kriteria pemilihan model statistik adalah Hannan-Quinn (HQ) [34] dan Akaike (AKA) [35] kriteria ini menghukum kemungkinan model itu sebanding dengan jumlah parameter dalam model, sehingga menghukum pemilihan model dengan ' terlalu banyak parameter. HQ adalah yang paling konservatif ia menggunakan dua kali log dari jumlah pemerhatian kali jumlah parameter sebagai penalti, sementara AKA menggunakan dua kali jumlah parameter.

2.3. Data

Pseudomonas aeruginosa PAO1 yang ditandai dengan protein pendarfluor hijau (GFP) dikaji dalam eksperimen ruang aliran yang dijelaskan dalam [36]. Secara ringkas, biofilm ditanam pada suhu 30 ° C di ruang aliran. Setiap ruang aliran diinokulasi dengan 250 μL budaya semalam PAO1 dicairkan menjadi OD600 0,05 dan dibiarkan tanpa aliran selama satu jam. Setelah satu jam, aliran dimulakan dengan media minimum pada kadar aliran 20 ml / jam menggunakan pam peristaltik (Watson Marlow 205 S). Setelah penanaman selama 24 atau 72 jam, aliran dihentikan dan media minimum diganti dengan termos antibiotik yang mengandungi kepekatan yang diinginkan sama ada Meropenem (MEM) atau Tobramycin (TOB) di mana diberikan sebagai bolus berselang. Termos antibiotik ini dihubungkan ke perangkap gelembung dan ruang aliran yang mengandungi biofilm PAO1 yang ditanam. Aliran dimulakan semula dan media minimum dipam dari termos pencairan ke termos antibiotik ke ruang aliran pada kadar tetap yang dikira untuk meniru pemalar kadar penghapusan antibiotik. MEM dan TOB diperoleh dari farmasi Pusat Perubatan Universiti California San Francisco [37]. Profil masa konsentrasi didasarkan pada parameter PK MEM dan TOB yang telah dijelaskan sebelumnya dari sukarelawan yang sihat dan pesakit dengan fibrosis sista [38, 39]. Kepekatan puncak MEM sasaran berdasarkan nilai populasi manusia dikira menjadi 107.53 mg / L dengan a

h. Kepekatan puncak TOB sasaran, berdasarkan dos 10 mg / kg pada orang dewasa 70 kg, adalah 32.79 mg / L dengan

h. Sampel dianalisis dengan spektrometri massa kromatografi cecair-tandem (LC-MS / MS) [40].

Pemerhatian mikroskopik sel aliran diselesaikan dengan menggunakan mikroskopi pemindaian laser confocal Leica TCS SP2 (CLSM) dengan laser argon / krypton dan alat pengesan dan penapis untuk pemantauan serentak GFP (pengujaan, pelepasan 488 nm, 517 nm) untuk pewarnaan sel hidup dan propidium iodida (pengujaan, pelepasan 543 nm, 565 nm) untuk pewarnaan sel mati. Gambar diperoleh pada kira-kira 1 μselang m di

arah ke bawah melalui biofilm. Setiap saluran ruang aliran digambarkan secara rawak di dua lokasi terpisah setiap titik waktu. Imej CLSM dianalisis menggunakan COMSTAT [14].

3. Hasil

Model Pertumbuhan Biofilm: Simulasi. Gambar 1 (a) menunjukkan plot model Gompertz dan Logistik (lihat (7) dan (5)) dengan nilai parameter,


Penyelesaian

(1) Kenalpasti dan pilih pemboleh ubah:

Kami ingin mencari model untuk waktu siang di lokasi tertentu. Mula-mula kami memilih lokasi: Taman Rohnert, California (bandar asal pengarang). Oleh kerana jumlah cahaya siang berubah sepanjang tahun, satu pemboleh ubah yang perlu dipertimbangkan adalah masa. Pada hari yang berlainan dalam setahun, kami mempunyai jumlah cahaya siang yang berbeza, tetapi setiap tahun, kitaran berulang dengan sendirinya (kurang lebih), jadi kami tidak perlu bekerja dengan tarikh, hanya dengan hari dalam setahun. Siang boleh diukur dalam beberapa jam dan minit, jadi ini adalah pemboleh ubah lain dalam model.

Jumlah siang adalah fungsi berkala pada hari dalam setahun. Kami akan menemui fungsi $ f (t) $ yang memberikan jumlah cahaya siang, dalam beberapa jam, pada hari $ t $ dalam setahun. Kami menganggap bahawa setiap tahun mengikuti corak yang sama persis, yang merupakan sedikit penyederhanaan realiti.

Terdapat banyak laman web yang memberikan data matahari terbit / terbenam. Sebagai contoh

Bahagian data ditunjukkan di sini:

Dalam jadual data lengkap kami mempunyai 365 hari data matahari terbit dan terbenam. Kita boleh menggunakannya untuk mengira jumlah siang hari pada siang hari. Daripada mengira waktu siang untuk setiap hari, kita hanya memerlukan dua hari jika kita memilih fungsi sinusoidal untuk memodelkan data - hari terpanjang dan terpendek.

The longest day is June 21 with sunrise at 0447 (4:47 am) and sunset at 1938 (7:38 pm). This gives 14 hours and 51 minutes of daylight. We convert this number to hours and get $14+51/60 = 14.85$ hours.

The shortest day is December 21 with sunrise at 7:24 and sunset at 16:54, which gives $9+30/60 = 9.5$ hours of daylight. Therefore we are looking for a sinusoidal function with amplitude equal $(14.85-9.48)/2 = 2.68$ hours and midline $(14.85+9.5)/2 = 12.175$ hours. The period of the function is 365. If we choose $t=0$ to correspond to June 21, the longest day of the year, we can use a cosine function without horizontal shift for our model:

A graph of the function shows all important features:

(3)(4)(5) Use the model and see if the answer makes sense:

We are asked to use the model to find the hours of daylight on our birthday. My birthday is January 14, which is 207 days after the longest day of the year. Oleh itu,

$f(207) = 2.675cos(2pi/365 cdot 207)+12.175 approx 9.734.$

So on my birthday there are about 9 hours and 44 minutes of daylight. This number seems reasonable given that January 14 is a little more than 3 weeks after the shortest day of the year with 9.5 hours of daylight.


5.8: Modeling Using Variation - Mathematics

Ever teach kids math using the Model Method but discovered that you do not know how to draw the diagram? If you have, you might want to know that you are not alone. Many parents are facing the same problem as you simply because you were not taught Math this way when you were young. The Model building approach to solving word problems was developed locally years ago by a team of educators from the Singapore Ministry of Education led by Dr Kho Tek Hong. This team included some well-known educators like Mr Hector Chee, Sin Kwai Meng, among others, all of whom are very experienced Mathematics teachers. They helped to promote the method to Singapore teachers in the mid-eighties, and this method has since been widely used in the teaching of kids math in primary schools (or elementary schools if you prefer) in Singapore. Kids in Singapore are introduced to the method from as young as Primary One (the equivalent of Grade One).

Students in Singapore (and probably everywhere else) typically find word problems difficult due to various reasons: they are weak in the Mathematical language they have limited understanding of the arithmetic operations they are unable to relate the knowns to the unknowns when the problem structure is difficult to understand and they are unable to analyze problem situations.

This method is especially useful when: you teach kids who respond better to visual stimuli (e.g. pictures, drawings, etc) you try to provide math homework help but the conventional methods do not really work well with your kids and your kids has not learnt algebra yet and solving the math problems with algebra is not an option.

However, without proper guidance, you may not be able to experience the full benefits of the Bar Model Approach. We have therefore created this website to share with you how the Method is applied to different scenarios so that you could confidently teach kids math problems even when you do not have prior knowledge of this Method. It essentially becomes a good entry level tool to help the kids understand and break the questions down into component parts making solving and learning math a breeze.

The model approach requires kids to draw rectangular boxes to represent part-whole relationships and math values (both known or unknown values) in the math problems. The word problems are typically designed to depict real-life situations such as grocery shopping and division of money.

By drawing such boxes/blocks, they can visualize the math problems more clearly and are able to make tacit knowledge explicit. Word problem solving is a major part of the curriculum in Primary Mathematics in Singapore.

This technique of model building is a visual way of picturing a situation. Instead of forming simultaneous equations and solving for the variables, model building involves using blocks or boxes to solve the problem. The power of using models can be best illustrated by problems, often involving fractions, ratios or percentages, which appear difficult but if models can be drawn to show the situation, the solution becomes clearer, sometimes even obvious.


Constant of Variation

The constant of variation in a direct variation is the constant (unchanged) ratio of two variable quantities.

The formula for direct variation is

where k is the constant of variation .

If y varies directly as x and y = 15 when x = 24 , find x when y = 25 .

Find the constant of variation.

k = y x = 15 24 = 5 8 y = 5 8 x

To find x , substitute 25 for y .

The constant of variation in an indirect variation is the constant (unchanged) product between two variable quantities.

The formula for indirect variation is

where k is the constant of variation .

If it takes 4 hours at an average speed of 90 km/h to do a certain journey, how long would it take at 120 km/h?

Find the constant of variation.

Download our free learning tools apps and test prep books

Names of standardized tests are owned by the trademark holders and are not affiliated with Varsity Tutors LLC.

4.9/5.0 Satisfaction Rating over the last 100,000 sessions. As of 4/27/18.

Media outlet trademarks are owned by the respective media outlets and are not affiliated with Varsity Tutors.

Award-Winning claim based on CBS Local and Houston Press awards.

Varsity Tutors does not have affiliation with universities mentioned on its website.

Varsity Tutors connects learners with experts. Instructors are independent contractors who tailor their services to each client, using their own style, methods and materials.


Method for partial differential equations with beta-derivative

4.1 Introduction

The real problem with linear or nonlinear equation is to find a suitable analytical method that can be used to derive their exact or special solutions. It is no wonder that many scholars have devoted their attention in developing methods to handle these equations. Several methods were proposed for instance, the Laplace transform method [ 75–77 ], the Mellin transform method [ 78 ], the Fourier transform method [ 79, 80 ], the Sumudu transform method [ 81–83 ], and the Green function method [ 84 ] for linear cases. The perturbation method [ 85 ], variational iteration method [ 86–88 ], homotopy decomposition and perturbation method [ 89–92 ], and others were developed for both linear and nonlinear cases. On the other hand, we should mention that mathematical models are a simplified description of physical reality expressed in mathematical terms. Thus, the investigation of the exact or approximate solution helps us to understand the means of these mathematical models. In most cases, it is difficult, or infeasible, to find the analytical solution, but a good numerical solution of the problems can be obtained. Numerical solutions or approximate analytical solutions become necessary. Numerical methods typically yield approximate solutions to the governing equation through the discretization of space and time, and can relax the rigid idealized conditions of analytical models or lumped-parameter models. They can, therefore, be more realistic and flexible for simulating field conditions. Within the discredited problem domain, the variable internal properties, boundaries, and stresses of the system are approximated. The main aim of this section is to present some iterative and numerical methods that will be used to solve ordinary and partial differential equation with beta-derivative. This will be presented in details in the next section, starting with iterative methods.


Further Topics

10.6 Modeling Heterogeneous Detection Probabilities

The same methods that have been used to account for heterogeneity in detection probabilities for single-season occupancy models (e.g., finite-mixtures, abundance-induced heterogeneity, and random effects Chapter 7 ), could also be applied to the multi-season case. This requires additional model structure for the within-season detection process, with the between-season model structure for the occupancy dynamics being, largely, unchanged.

The use of finite-mixtures to account for detection heterogeneity has been incorporated into the software packages Program PRESENCE ( Hines, 2006 ) and Program MARK ( White and Burnham, 1999 ). There are some additional considerations involved with the use of finite-mixture models in the multi-season situation compared to the single-season case. Finite-mixtures involve defining that the occupied units consist of a fixed number of groups, each with a different detection probability . From the available data, group membership is unknown, hence the analysis must account for that fact that a unit may belong to any of the defined groups each season. One consideration is whether group membership is independent each season, or whether a unit will tend to be in the same group, e.g., the group with lower detection probability, in consecutive seasons. In other words, is group membership randomly ‘assigned’ each season or does it follow a first-order Markov process. Random group membership has been implemented in PRESENCE and MARK, which involves group membership probabilities (for occupied units) being estimated for each season, each group with a potentially different detection probability. Which group a unit may have belonged to in the previous season, has no effect on which group that unit may belong to in the current season. Alternatively, a finite-mixture approach could be developed where group membership in a season does depend on group membership in the previous season. For example, if a unit belonged to the ‘low detection’ group in one season, it is more likely to be in the ‘low detection’ group in the next season.

This can be accomplished using the multi-season multi-state occupancy model, particularly the conditional-binomial parameterization, where the dynamic occupancy parameters (for a finite-mixture with two groups ψ t [ 0 ] , ψ t [ 1 ] , and ψ t [ 2 ] Chapter 9 ) are the colonization and persistence (the complement of local extinction) probabilities. That is, ψ t [ 0 ] equates to colonization, and ψ t [ 1 ] and ψ t [ 2 ] are both persistence probabilities (species present in consecutive seasons), for each detection group. The dynamic ‘reproduction’ probabilities ( R t [ 0 ] , R t [ 1 ] , and R t [ 2 ] ) now become the probabilities of group membership, conditional upon the unit's group in the previous year. A key consideration is the structure of the detection matrix. Presuming there are only two possible observations, nondetection and detection, the detection probability matrix may therefore be defined as:

where p 1 , t , j and p 2 , t , j are the detection probabilities for each group in survey j of season t. Recall that each column of hlm is associated with a type of observation, in this case the first column relates to nondetection and the second column to detection. This is the same structure as that used in the derivation of the finite-mixture model as a multi-state model in Chapter 7 . We have not actually attempted to fit this model to data ourselves, and it may be that some constraints on parameters are required to ensure identifiability, but the model is certainly conceptually possible.

Another approach to the modeling of detection heterogeneity in multiple season data would be to extend the abundance distribution modeling of Royle and Nichols (2003) (see Chapter 7 ). Under this model, the probability of detecting the species at unit i, in survey j of season t ( p t , i j [ N t , i ] is the probability of detecting at least one individual at the unit if there are N t , i individuals at the unit in season t) is modeled as a function of the detection probability of individual animals ( r t , i j ):

The N t i could be modeled as independent values each season (i.e., N t + 1 , i does not depend on N t , i ), where abundance at each unit is assumed to be a random value from an appropriate distribution (e.g., Poisson or negative binomial distribution), which may be different in each season. This would be a non-Markovian approach. A Markovian dynamics model could be constructed by defining N t + 1 , i in terms of the number of ‘survivors’ from season t at the unit and number of ‘recruits’ ( Rossman et al., 2016 ). That is:

where φ t is the probability of an individual ‘surviving’ at unit i between seasons t and t + 1 , and G t , i is the number of ‘recruits’ or gains to the local population of individuals between seasons t and t + 1 , which could be assumed to be a random value from an appropriate discrete distribution (e.g., Poisson Rossman et al., 2016 ). Local extinction of the species would therefore be the probability of all individuals dying or dispersing from the unit and no new individuals arriving at the unit:

The probability of the species colonizing an unoccupied unit i between seasons t and t + 1 , hence N t , i = 0 , would be:

In this approach, colonization and local extinction probabilities are derived parameters and the modeling would have to be performed in terms of changes in local abundance because of the defined model for detection probabilities. As the N t , i values are unknown, they would have to be integrated out of the probability statement, as in the single-season model of Royle and Nichols (2003) , by accounting for all possible combinations of N t , i and N t + 1 , i that are consistent with the data. Alternatively, the complete data likelihood approach could be used which would avoid complex integration terms, particularly with MCMC estimation methods (e.g., Rossman et al., 2016 ).

However, we would advise caution in the interpretation of the resulting estimates of the abundance-related parameters for two reasons. First, the demographic parameters associated with individual ‘survival’ and ‘recruitment’ include an among-unit movement aspect. If all individuals move from one unit to another, that would be modeled as 100% mortality at one unit and recruitment at another unit, although there has been no actual change in the number of individuals within the area of interest. Second, all of the information about ‘abundance’ and parameters associated with changes in ‘abundance’ is from among-unit variation in detection probabilities, and changes in that variation over time, from detection/nondetection data, that may be due to sources other than abundance. Therefore, as with the Royle and Nichols (2003) model (Chapter 7 ), we would suggest this above approach may be a suitable method for improving inferences about occupancy-level dynamic processes by accounting for detection heterogeneity, but will typically provide weaker inference about abundance-level dynamic processes, particularly where individuals are more numerous or likely to move among units.

A third approach would be a ‘random effects’ model where each parameter for a specific unit is a random value from some defined distribution, similar to the approach outlined in Chapter 7 . In some circumstances it may be reasonable to consider that some random values for a unit may be correlated. For instance units with a high detection probability (due to abundance say) may have a low extinction probability. As such the ‘random effects’ could be modeled as a random draw from a multivariate distribution with some covariance or correlation structure. Such a model could be difficult to implement using a maximum likelihood approach, but could be very easily implemented using MCMC algorithms, including software such as OpenBUGS or JAGS.


Using Mathematics and Computational Thinking

Although there are differences in how mathematics and computational thinking are applied in science and in engineering, mathematics often brings these two fields together by enabling engineers to apply the mathematical form of scientific theories and by enabling scientists to use powerful information technologies designed by engineers. Both kinds of professionals can thereby accomplish investigations and analyses and build complex models, which might otherwise be out of the question. (NRC Framework, 2012, p. 65)

Students are expected to use mathematics to represent physical variables and their relationships, and to make quantitative predictions. Other applications of mathematics in science and engineering include logic, geometry, and at the highest levels, calculus. Computers and digital tools can enhance the power of mathematics by automating calculations, approximating solutions to problems that cannot be calculated precisely, and analyzing large data sets available to identify meaningful patterns. Students are expected to use laboratory tools connected to computers for observing, measuring, recording, and processing data. Students are also expected to engage in computational thinking, which involves strategies for organizing and searching data, creating sequences of steps called algorithms, and using and developing new simulations of natural and designed systems. Mathematics is a tool that is key to understanding science. As such, classroom instruction must include critical skills of mathematics. The NGSS displays many of those skills through the performance expectations, but classroom instruction should enhance all of science through the use of quality mathematical and computational thinking.


A Transparent, Mathematical Model to Evaluate Proposals for Healthcare Reform

Gabriel M. Knight, BA, Northwestern University Feinberg School of Medicine Kevin Schulman, MD , Arnold Milstein, MD, MPH , Clinical Excellence Research Center, Stanford University School of Medicine Sheridan Rea, BS Giovanni Malloy, BS Usman Khaliq, BEng David Scheinker, PhD, Stanford University School of Engineering

Cite as: Gabriel M. Knight, Kevin Schulman, Arnold Milstein, Sheridan Rea, Giovanni Malloy, Usman Khaliq, David Scheinker. 2019. A Transparent, Mathematical Model to Evaluate Proposals for Healthcare Reform. Health Management Policy and Innovation, Volume 4, Issue 3.

The U.S. Needs Transparent, Mathematical, Prospective Analyses of Policy Proposals

The United States spends nearly twice as much as other high-income countries on healthcare despite similar utilization rates and access to fewer services. [1] American health expenditures are expected to continue to increase by an average of 5.8 percent annually through at least 2024 if current laws and practices persist. [1–3] Moreover, the cost of healthcare, whether preventive services or the treatment of illness, profoundly impacts nearly every American’s life, making the issues of healthcare costs and access a deeply personal and often emotional subject of discussion. There is significant intellectual debate about efforts to reform and restructure the healthcare system in the country.

We suggest that the current healthcare policy debate would be less partisan and more effective if there were a means to separate questions of principle from technical implementation. Issues of principle in the debate include whether access to healthcare is a right or whether it is a discretionary consumer service where the appropriate boundary between personal responsibility and social support lies and how society should allocate healthcare resources to those with and without means. Clearly, these issues engender personal, passionate debate.

The issues of technical implementation include quality, efficiency, and cost current and proposed incentives the timeline of implementation and other economic considerations. These are technical issues that engender much less passionate response on the part of the public—though experts may still have passionate disagreements about some of these factors. Developing a public, transparent model could force health policy analysts to discuss the technical aspects of policy proposals early, so that when policy proposals are released to the public, there would be less conflation of principle and technical arguments.

The nonpartisan Congressional Budget Office (CBO) produces a detailed quantitative report estimating the impact of proposed legislation. However, the models used by CBO are often not broadly available for outside interrogation or modification. Furthermore, while the CBO is a nonpartisan support arm of the United States Congress, some parameters of their models do reflect political influence, as was the case, for instance, in the debate over dynamic modeling of the 2017 tax cuts. [4]

Many proposed health policies can be readily parameterized, including reimbursement rates, the start and duration of the implementation period, and the subset of the industry to which various provisions apply. Modern data simulation and visualization technology make it possible to create relatively simple, flexible models suitable for simulating a large range of policy proposals and economic scenarios. If even a fraction of the debate around healthcare reform involved elements of shared models, the public could become more engaged in the discussion.

We propose a real-time simulation and visualization model to guide and assess basic structural questions underlying healthcare policy. We illustrate the idea of how such a tool may function by drawing on a recently published paper describing a proposed version of Medicare for All (MFA). [5-8] The attention paid to this proposal suggests it is an interesting example to explore.

This essay has three goals. We first describe three properties of a good health policy model. Second, we catalog sources of data. Third, we develop a simple proof-of-concept version of the MFA tool and explore basic questions about this proposed policy.

Parameterizing Health Policy: An Illustration Using Variants of “Medicare for All” (MFA)

Properties of a useful policy simulation tool

A useful policy simulation model has three characteristics. First, the model must illustrate policies through an easy-to-use visual interface. While no useful tool can simulate all healthcare reform policies, users could consider the high-level components of many proposals as dynamic parameters. Second, it should incorporate values and parameters for which evidence is uncontroversial, such as the number of hospitals in the U.S. and the revenue of each hospital. For the values and parameters for which no consensus exists, such as the time needed to adopt a reform or changes in efficiency that result from the reform, the model must allow dynamic manipulation. Third, the model should be transparent, so that people interested in testing other policies or assumptions can modify it. This is necessary to address criticisms such as “the model fails to account for these phenomena.”

Feasibility: Data sources

Several public and private sources provide data for the model we propose. Data on payments (private, public, out-of-pocket) and costs (e.g., labor, supply, infrastructure, subsidies) broken down by hospital are necessary to model how reforms affect hospitals and systems across different entity types (e.g., academic versus community, nonprofit versus for-profit) and locations (e.g., regions, states, urban vs rural). Below we describe which data are available and which, if made available through policy changes or research, would help create the model.

First consider cost versus payment data. Data on costs for hospitals and providers is more readily available than data on payments—particularly prices paid by private insurers, which involve high price variation and little transparency. Cost data are available from the Centers for Medicare & Medicaid Services (CMS) Hospital Cost Report, which contains total costs for hospitals for fiscal years 2014–2017. [9] Additionally, the CMS Market Basket dataset, which is a hospital input price index, reflects price inflation facing providers of medical services.

Despite the limits of existing payment data, payments by specific hospitals or groups of hospitals could be estimated using data sources such as the CMS Case Mix File Hospital Inpatient Prospective Payment System. This file contains hospitals’ case mix indices, representing the average diagnosis-related group relative weight for that hospital, as well as the number of cases at the hospital for 2014–2017. [10] This data could then be multiplied by payer mixes for individual hospitals, which exist in Definitive Healthcare’s Essential Data on Hospitals and IDNs database. [11] This, in turn, could be multiplied by approximate reimbursement rates as a percentage of the Medicare reimbursement rate for specific payer mixes or diagnosis-related groups. The Medicare reimbursement rate could be estimated using the CMS Physician Fee Schedule as well as recently published data about average disparities between Medicare and private reimbursements for different procedure types. [5,12]

To the best of our knowledge, detailed datasets reporting payments and reimbursement rates associated with individual hospitals and systems do not exist. Future efforts should create this information. A recently proposed rule from the Department of Health and Human Services would require hospitals publish the prices that they charge private insurers, which would facilitate the analyses we propose. [13]

Subsidy data has mixed availability. Estimates exist regarding total dollars associated with some subsidy programs, such as the 340B drug pricing program and Disproportionate Share Hospital payments for hospitals that serve relatively large numbers of Medicaid and uninsured individuals. [14–16] However, we lack granular data on subsidies and other savings afforded to certain centers of care. Fortunately, because subsidies represent a small fraction of healthcare spending, this has limited impact on the power of the model.

Additional data about hospital characteristics will be needed to allow users to explore how certain reforms might affect different types of hospitals. For example, to filter key demographic information, U.S. Census data could be cross-walked with zip codes, cities, or other localizing data associated with which patients visit which hospitals. The type of entity (e.g., academic versus community, nonprofit versus for-profit) could be obtained from Definitive Healthcare’s Essential Data on Hospitals and IDNs database. [11] For users interested in evaluating how reforms will affect locales associated with different health outcomes, data could be extracted from Robert Wood Johnson Foundation County Health Rankings data. [17] Similar approaches could be applied to many other factors.

Ultimately, a trustworthy simulation model should move beyond dollars to forecast impact on all six aims of healthcare that the Institute of Medicine’s famous “Crossing the Quality Chasm” report highlights. [18] To achieve this, we will need access to electronic health record data as well as key patient-reported outcomes such as patient experience. While our proposed model focuses on economic and operational effects, it could serve as the foundation for a more comprehensive effort.

A simple proof of concept: Exploring variants of “Medicare for All”

The focus of our MFA model is the impact of reimbursement changes on hospital financial and performance. We consider both sources of funds, including insurance payments and other payments and subsidies, as well as uses of funds, including property, plant and equipment, labor, and medications and supplies. Costs were further divided into variable costs and committed cost. [24] To allow the user to simulate variants of the MFA proposal by Schulman and Milstein, [5] we used modifiable parameters of: the duration of the transition period to the new payment model, the policy payment rate as a percentage of Medicare payment rates, and changes in hospital productivity in response to a policy change. We discuss these in more detail below.

Measurement Parameters

Policy parameters

  • Reimbursement rate as percent of Medicare prices. In the proposed MFA policy, the reimbursement rate is set, implicitly, to 100 percent. One may readily imagine policies that set all private prices to a higher percentage of Medicare prices. For example, in her proposed MFA plan, Senator Elizabeth Warren has argued in favor of setting reimbursements to 110 percent of the current Medicare rate. [19]
  • The start and duration of the implementation period. Schulman et al.’s proposal explored the hypothetical change if the policy was implemented from one year to the next. [5] In practice, a transition would likely be set to start several years in the future and phase in over several more years.
  • The rate at which reimbursement changes over the years of the implementation period. This rate is partly determined by the total reimbursement change and the duration of the implementation period.
  • The sizes and characteristics of hospitals to which various versions of the policy apply. While the original proposal grouped all hospitals together, different MFA proposals would likely apply differently across categories of hospitals such as critical-access hospitals.

Impact parameters

  • The rate at which hospitals improve efficiency in response. The premise of the original proposal, supported by empirical evidence, is that hospitals would respond to price pressure by reducing costs. Though the original proposal did not explore this explicitly, a simulation model could incorporate this as a parameter.
  • The rate at which hospitals convert revenue shortfalls into full-time equivalent (FTE) reductions. The original paper calculated the number of FTEs hospitals would have to reduce to offset the entire projected revenue shortfall associated with a transition to MFA. In practice, hospitals would likely find a variety of ways to respond to revenue shortfalls. For example, price pressure might force hospitals to increase FTEs in areas associated with productivity improvement.

Calculated outcomes

  • The costs and revenues of each hospital in each year.
  • Total healthcare spending at the national and local levels.
  • The change in the number of FTEs and the corresponding job creation and losses across various parts of the country.

Several figures depict the core ideas. Figure 1 provides a schematic illustrating the logic underpinning a proof-of-concept framework for adoption of MFA. Figure 2 is a more detailed logic diagram. Figure 3 offers a sample data visualization of the model output. In the model, users can modulate: (1) the number of years for which to iterate the model (2) annual efficiency improvement (i.e., % cost reduction) in response to reform (3) annual healthcare cost growth (4) target Medicare reimbursement rate (as a percentage of the 2018 rate) (5) years needed to fully phase in reform and accompanying reimbursement models and (6) percentage of change in hospital revenue addressed by FTE changes. For this proof-of-concept, we have set values for these parameters to those found in Schulman and Milstein’s essay on MFA. [5] In particular, the target reimbursement rate is 100 percent of the 2018 Medicare rate and the percentage in revenue changes addressed by FTE changes to 100%. [6]

Rajah 1. A general schematic illustrating the logic underlying a model for adoption of Medicare for All.

Figure 2. A more detailed schematic illustrating the logic underlying a model for adoption of Medicare for All.

Figure 3. A proof of concept. This model would allow users to dynamically modulate key parameters in which they are interested or for which no consensus currently exists.

While designed for one specific, simple proposal, this sample model could readily be modified to apply to other policies recently proposed. In addition to “Medicare for all,” examples include (1) a new national health insurance program for all U.S. residents with an opt-out for qualified coverage (2) a new public plan option that would be offered to individuals through the Affordable Care Act (ACA) marketplace (3) a Medicaid buy-in option that states could elect to offer to individuals through the ACA marketplace and (4) a Medicare buy-in option for older individuals not yet eligible for the current Medicare program. [20]

The plans proposed by the 2020 Democratic presidential candidates all involve extending public insurance. [20,21] These proposals would likely have a number of direct effects that can be estimated, including: (1) overall payments to hospitals and health systems (2) impact of changes to hospital subsidies such as the 340B drug pricing program and (3) decreasing certain labor and infrastructure costs associated with a complex, multi-payer system, where each payer has its own policies and procedures. [5,22,23] Each of these proposals would precipitate these changes and an effective model would allow the user the ability to quickly and clearly change the values for the different parameters that distinguish these different reforms in order to objectively and meaningfully compare them and evaluate their impacts.

Looking Forward: Create an Objective Model for Technical Implementation

The debate over healthcare reform would be less partisan with explicit distinctions between matters of principle and technical implementation. An objective, transparent, and versatile simulation and visualization model could simulate the results of a variety of technical policy proposals. Such a model would allow policymakers and the public to compare the potential impact of various healthcare reform proposals. We demonstrated the feasibility of such a model and the availability of much of the necessary data with a simple proof-of-concept. A commitment to making data more available and developing a more robust model are necessary steps toward a more fruitful debate on healthcare reform.

Notes and References

[1] Papanicolas I, Woskie LR, Jha AK. Health care spending in the United States and other high-income countries. Journal of the American Medical Association 2018319(10):1024-1039.

[2] Morgan, L. U.S. healthcare annual spending estimated to rise by 5.8% on average through 2024. American Health & Drug Benefits 20158(5):272.

[3] McCarthy M. U.S. healthcare spending will reach 20% of GDP by 2024, says report. British Medical Journal 2015 August 3351(3):h4204.

[5] Schulman KA, Milstein A. The implications of “Medicare for All” for U.S. hospitals. Journal of the American Medical Association 2019321(17):1661-1662.

[6] Rosenthal E. ‘Medicare for All’ could kill two million jobs, and that’s O.K. The New York Times 2019 May 16. Available at: https://www.nytimes.com/2019/05/16/opinion/medicare-for-all-jobs.html.

[7] Rosenthal E. That beloved hospital? It’s driving up health care costs. The New York Times 2019 September 1. Available at: https://www.nytimes.com/2019/09/01/opinion/hospital-spending.html.

[8] Abelson R. Hospitals stand to lose billions under ‘Medicare for All’. The New York Times 2019 April 21. Available at: https://www.nytimes.com/2019/04/21/health/medicare-for-all-hospitals.html?smid=nytcore-ios-share.

[9] The National Bureau of Economic Research. Healthcare Cost Report Information System (HCRIS) data. The Centers for Medicare & Medicaid Services 2019. Available at: https://www.nber.org/data/hcris.html.

[10] The National Bureau of Economic Research. CMS Casemix File Hospital Inpatient Prospective Payment System (IPPS). The Centers for Medicare & Medicaid Services 2017. Available at: https://www.nber.org/data/cms-casemix-file-hospital-inpatient-prospective-payment-system-ipps.html.

[11] Definitive Healthcare. Hospitals and IDNs database. Definitive Healthcare, LLC, 2019. Available at: https://www.definitivehc.com/product/our-databases/hospitals-and-idns.

[12] CMS.gov. Physician Fee Schedule. Centers for Medicare & Medicaid Services 2019. Available at: https://www.cms.gov/Medicare/Medicare-Fee-for-Service-Payment/PhysicianFeeSched/index.html.

[13] Uhrmacher K, Schaul K, Firozi P, Stein J. Where 2020 Democrats stand on Medicare-for-all. The Washington Post 2019 December 2. Available at: https://www.washingtonpost.com/graphics/politics/policy-2020/medicare-for-all/.

[14] Dickson S, Coukell A, Reynolds I. The size of the 340B Program and its impact on manufacturer revenues. Health Affairs 2019 August 8. Available at: https://www.healthaffairs.org/do/10.1377/hblog20180807.985552/full/.

[15] Lagasse J. Hospitals saved an average of $11.8 million due to 340B drug discount program. Healthcare Finance 2019 June 17. Available at: https://www.healthcarefinancenews.com/node/138838.

[16] Bristol N. Medicaid DSH Payment cuts could add to financial woes of safety-net hospitals. The Commonwealth Fund 2012. Available at: https://www.commonwealthfund.org/publications/newsletter-article/medicaid-dsh-payment-cuts-could-add-financial-woes-safety-net.

[17] County Health Rankings & Roadmaps. 2019 County Health Rankings. Robert Wood Johnson Foundation, 2019. Available at: https://www.countyhealthrankings.org/explore-health-rankings/rankings-data-documentation.

[18] Institute of Medicine. Crossing the quality chasm: A new health system for the 21 st Century. National Academy of Sciences 2001. Available at: http://www.nationalacademies.org/hmd/

[19] Sanger-Katz M, Kliff S. Elizabeth Warren’s ‘Medicare for All’ math. The New York Times 2019 November 11. Available at: https://www.nytimes.com/2019/11/01/upshot/elizabeth-warrens-medicare-for-all-math.html.

[20] KFF Health Reform. Comparing Medicare-for-all and public plan proposals. Kaiser Family Foundation 2019. Available at: https://www.kff.org/interactive/compare-medicare-for-all-public-plan-proposals/.

[21] Uhrmacher K et al. Where 2020 Democrats stand on Medicare-for-all. The Washington Post 2019 December 2. Available at: https://www.washingtonpost.com/graphics/politics/policy-2020/medicare-for-all/.

[22] Liu JL, Eibner C. National health spending estimates under Medicare for All. RAND 2019. Available at: https://www.rand.org/pubs/research_reports/RR3106.html.

[23] Jawani A. et al. Billing and insurance-related administrative costs in United States’ health care: Synthesis of micro-costing evidence. BMC Health Services Research 201414:556.

[24] Though certain costs are fixed for years at a time, labor costs are never truly fixed, so we use the term “committed” as suggested by Professor Robert Kaplan of Harvard Business School.


Tonton videonya: წაკითხული ტექსტის გააზრება (Disember 2021).