Artikel

Persimpangan Garisan dan satah - Matematik


Garisan dan satah yang diberi mungkin atau tidak bersilang. Sekiranya garis itu bersilang dengan satah, kemungkinan garis itu betul-betul terkandung di dalam pesawat juga. Bagaimana kita dapat membezakan antara ketiga kemungkinan ini?

Contoh ( PageIndex {8} ): Mencari persimpangan Garisan dan satah

Tentukan sama ada garis berikut bersilang dengan satah yang diberikan. Sekiranya mereka bersilang, tentukan sama ada garis itu terkandung dalam satah atau memotongnya dalam satu titik. Akhirnya, jika garis memotong satah dalam satu titik, tentukan titik persimpangan ini.

[ start {align *} text {Line:} quad x & = 2 - t & text {Plane:} quad 3x - 2y + z = 10 [5pt] y & = 1 + t [5pt] z & = 3t end {align *} nonumber ]

Penyelesaian

Perhatikan bahawa kita dapat menggantikan ungkapan (t ) yang diberikan dalam persamaan parametrik garis ke persamaan satah untuk (x ), (y ), dan (z ).

[3 (2-t) - 2 (1 + t) + 3t = 10 bukan nombor ]

Menyelesaikan persamaan ini untuk (t ):

[6 - 3t -2 - 2t + 3t = 10 bukan nombor ]

[4 - 2t = 10 bukan nombor ]

[- 2t = 6 bukan nombor ]

[t = -3 bukan nombor ]

Oleh kerana kami menjumpai satu nilai (t ) dari proses ini, kami tahu bahawa garis harus memotong satah dalam satu titik, di sini di mana (t = -3 ). Jadi titik persimpangan dapat ditentukan dengan memasukkan nilai ini untuk (t ) dalam persamaan parametrik garis.

Di sini: (x = 2 - (-3) = 5, quad y = 1 + (-3) = -2, , text {dan} quad z = 3 (-3) = -9 ) .

Jadi titik persimpangan garis ini dengan satah ini adalah ( kiri (5, -2, -9 kanan) ). Kami dapat mengesahkan ini dengan memasukkan koordinat titik ini ke dalam persamaan satah dan memeriksa untuk memastikannya berpuas hati.

Cek: (3 (5) - 2 (-2) + (-9) = 15 + 4 - 9 = 10 quad tanda semak )

Sekarang kita telah memeriksa apa yang berlaku apabila terdapat satu titik persimpangan antara satu garis dan satu titik, mari kita pertimbangkan bagaimana kita mengetahui apakah garis sama ada sama sekali tidak memotong satah atau jika ia berada di atas pesawat (iaitu, setiap titik di garisan juga di kapal terbang).

Contoh ( PageIndex {9} ): Hubungan lain antara garis dan satah

Tentukan sama ada garis berikut bersilang dengan satah yang diberikan. Akhirnya, jika garis memotong satah dalam satu titik, tentukan titik persimpangan ini.

[ start {align *} text {Line:} quad x & = 1 + 2t & text {Plane:} quad x + 2y - 2z = 5 [5pt] y & = -2 + 3t [5pt] z & = -1 + 4t end {align *} nonumber ]

Penyelesaian

Menggantikan ungkapan (t ) yang diberikan dalam persamaan parametrik garis ke dalam persamaan satah memberi kita:

[(1 + 2t) +2 (-2 + 3t) - 2 (-1 + 4t) = 5 bukan nombor ]

Memudahkan bahagian kiri memberi kita:

[1 + 2t -4 + 6t + 2 - 8t = 5 angka ]

Mengumpulkan istilah seperti di sebelah kiri menyebabkan pemboleh ubah (t ) dibatalkan dan meninggalkan kita dengan percanggahan:

[- 1 = 5 angka ]

Oleh kerana ini tidak benar, kita tahu bahawa tidak ada nilai (t ) yang menjadikan persamaan ini benar, dan dengan itu tidak ada nilai (t ) yang akan memberi kita titik pada garis yang juga kapal terbang. Ini bermaksud bahawa garis ini tidak bersilang dengan satah ini dan akan ada tiada titik persimpangan.

Bagaimana kita dapat mengetahui jika garis terkandung di dalam pesawat?

Bagaimana jika kita mengekalkan garis yang sama, tetapi ubah persamaan satah menjadi (x + 2y - 2z = -1 )? Dalam kes ini, mengulangi langkah-langkah di atas sekali lagi akan menyebabkan pemboleh ubah (t ) dihapuskan dari persamaan, tetapi akan meninggalkan kita dengan identiti, (- 1 = -1 ), dan bukannya percanggahan. Ini bermaksud bahawa setiap nilai (t ) akan menghasilkan titik pada garis yang juga di atas satah, memberitahu kita bahawa garis itu terkandung dalam satah yang persamaannya (x + 2y - 2z = -1 ).


Persimpangan Garisan dan satah - Matematik

Garis adalah kumpulan titik di sepanjang jalan lurus yang memanjang ke dua arah. Ini ditunjukkan oleh anak panah di setiap hujungnya, ditunjukkan dalam gambar di bawah.

Garisan mempunyai satu dimensi, panjangnya. Dua titik yang tidak bertindih menentukan garis yang unik dan kita boleh menamakan garis dengan dua titik itu atau dua titik lain pada garis.


garis AB atau BA ditakrifkan oleh titik A dan B

Garisan digunakan dalam bentuk, sudut, dan banyak konteks geometri yang lain.


Selamat datang!

Ini adalah salah satu daripada lebih daripada 2,400 kursus di OCW. Terokai bahan untuk kursus ini di halaman yang dipautkan di sebelah kiri.

MIT OpenCourseWare adalah penerbitan bahan percuma & terbuka dari beribu-ribu kursus MIT, yang merangkumi keseluruhan kurikulum MIT.

Tiada pendaftaran atau pendaftaran. Jelajah dan gunakan bahan OCW secara bebas mengikut kadar anda sendiri. Tidak ada pendaftaran, dan tidak ada tarikh mula atau akhir.

Ilmu adalah ganjaran anda. Gunakan OCW untuk membimbing pembelajaran sepanjang hayat anda sendiri, atau untuk mengajar orang lain. Kami tidak menawarkan kredit atau pensijilan untuk menggunakan OCW.

Dibuat untuk berkongsi. Muat turun fail untuk kemudian. Hantar kepada rakan dan rakan sekerja. Ubah, remix, dan gunakan semula (ingat hanya untuk menyebut OCW sebagai sumbernya.)

Mengenai MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare adalah penerbitan bahan dalam talian dari lebih daripada 2,500 kursus MIT, secara bebas berkongsi pengetahuan dengan pelajar dan pendidik di seluruh dunia. Ketahui lebih lanjut & raquo

& salin 2001 & ndash2018
Institut Teknologi Massachusetts

Penggunaan laman dan bahan MIT OpenCourseWare oleh anda adalah tertakluk kepada Lesen Creative Commons dan syarat penggunaan lain.


Garis Parametrik Melintang Pesawat

Muat turun video dari iTunes U atau Arkib Internet.

DAVID JORDAN: Helo, dan selamat datang kembali ke bacaan. Masalah saya ingin bekerjasama dengan anda sekarang ialah kita mempunyai garis yang melewati dua titik yang diberikan kepada kita secara eksplisit, dan kita mempunyai pesawat yang diberikan kepada kita oleh persamaan. Dan yang ingin kita ketahui ialah di manakah garis ini bersilang dengan satah ini? Oleh itu, satu perkara yang saya sarankan untuk memulakannya ialah kita perlu memberikan parametriisasi garis panduan kita untuk memulakan. Baiklah, jadi mengapa anda tidak menyelesaikannya, berhenti sebentar, dan kami akan kembali sebentar dan menyelesaikannya bersama.

OK, selamat datang kembali. Mari kita mulakan. Oleh itu, mari kita mulakan dengan melukis kartun mengenai apa yang berlaku di sini.

Oleh itu, kita mempunyai pesawat ini di ruang angkasa. Dan kita mempunyai beberapa jenis jalan melalui ruang. Jadi mungkin ia seperti ini. Dan ada titik persimpangan tunggal ini. Oleh itu, walaupun dari kartun, kita dapat melihat dua perkara yang sedang berlaku.

Yang mana kita mengharapkan titik persimpangan, atau kita mengharapkan tepat, jika kita memilih jenis garis generik dan satah generik. Agar tidak ada titik persimpangan, kita harus mempunyai garis yang sejajar dengan pesawat, yang sangat tidak mungkin. Dan jika tidak, kita menjangkakan hanya satu titik persimpangan.

Oleh itu, saya ingin membahagikan jenis ini kepada dua komponen. Oleh itu, kita mempunyai persamaan untuk kapal terbang. Dan ketika saya melihat persamaan yang menggambarkan kapal terbang, saya menganggapnya sebagai semacam ujian keahlian. Kita boleh memasukkan titik (x, y, z) ke persamaan, dan kita boleh bertanya, apakah titik ini menjadikan persamaan itu benar, atau bukan? Sekiranya berlaku, maka titik itu (x, y, z) berada dalam satah, dan jika tidak, ia tidak berada dalam satah.

Untuk yang pertama, apa yang perlu kita lakukan dalam sekejap adalah kita perlu membuat parametriisasi. Dan parametrization adalah jenis perkara yang berbeza daripada persamaan yang menggambarkan garis. Parameterisasi, dan bukannya menjadi ujian keahlian, sebenarnya merupakan kaedah untuk menyenaraikan semua perkara di talian. Oleh itu, apabila kita memberikan parametrization - dalam sekejap - maka kita akan dapat menyenaraikan semua titik dalam baris. Dan kemudian kita akan dapat memasukkan senarai kita ke dalam persamaan untuk pesawat, dan mengetahui titik di mana senarai kita sebenarnya berada di dalam pesawat. Yang manakah memenuhi persamaan keahlian.

Oleh itu, mengapa tidak kita mulakan terlebih dahulu dengan mengetepikan garis. Jadi jenis gambaran umum di sini adalah kita mempunyai titik P_1 di ruang angkasa, dan kita mempunyai titik P_2 yang lain di ruang angkasa, dan kita ingin memisahkan garis yang berada di antara mereka. Dan sebenarnya ada cara yang sangat mudah untuk melakukan ini.

Apa yang kami lakukan ialah kami ingin mengambil titik asal P_1 kami, dan kami ingin menambahkan pemboleh ubah t kali vektor P_2 tolak P_1 yang menghubungkannya. Jadi yang ini di sini. OKEY. Jadi ini adalah perkara yang wajar dilakukan, kerana jika kita memasukkan t sama dengan 0, maka kita hanya mendapat P_1. Dan jika kita pasangkan t sama dengan 1, maka kita mendapat P_1 ditambah P_2 tolak P_1 kita hanya mendapat P_2. Oleh itu, garis ini pasti merangkumi dua perkara itu, dan itulah yang sangat kita perlukan.

Oleh itu, dalam masalah khusus kita di sini, kita mempunyai - P_1 kita dapat menjadi titik pertama, 0, tolak 1, 1. Dan kemudian kita mempunyai masa - jadi kita mempunyai 2 tolak 0 adalah 2--3 tolak negatif 1 adalah 4-- dan 3 tolak 1 adalah 2. Dan ini adalah vektor yang menghubungkannya. Oleh itu, kita boleh menulis, kita boleh menggabungkan kedua-duanya dan kita mendapat 2t, 4t tolak 1, dan 2t ditambah 1. OK? Jadi ini di sini adalah parametriisasi garis.

Oleh kerana kita berubah t-- sekarang, berjalan kembali ke gambar kita - kerana kita berbeza-beza, kita hanya akan menyenaraikan semua perkara di talian. Dan kita akan bertanya, untuk titik mana sebenarnya kita berada di dalam pesawat? Oleh itu, mari kita pergi ke papan kenyataan di sini dan menyelesaikannya.

Oleh itu, apa yang ingin kita ketahui ialah adakah titik ini memenuhi persamaan bagi pesawat? Dan pesawat kami diberikan kepada kami dengan persamaan 2x tambah y tolak z sama dengan 1. Jadi x pada baris kami adalah 2t. Jadi kita mempunyai 2 kali 2t, tambah-- y adalah 4t tolak 1, tolak-- z adalah 2t tambah 1. Dan semua ini dimaksudkan untuk sama dengan 1.

OKEY. Oleh itu, jika kita memperluasnya, kita mendapat 4t ditambah 4t lain tolak 2t dan kita mendapat minus 1 tolak 1 lagi sehingga kita mendapat minus 2-- sama dengan 1. Jadi sama sekali kita mendapat 6t sama dengan 3, sehingga memberitahu kita bahawa t adalah 1/2. OKEY?

Dan akhirnya, untuk mendapatkan jawapan kami, kita perlu kembali ke garis parametriisasi kita dan pasangkan t sama dengan 1/2. Oleh itu, kembali ke sini, memasukkan t sama dengan 1/2, kita mendapat 1-2 2 tolak 1 adalah 1 dan 1 ditambah 1 adalah 2. OK, jadi kita mendapat titik persimpangan, (1, 1, 2) .

Jadi itu adalah beberapa langkah, jadi mari kita tinjau apa yang telah kita lakukan. Oleh itu, kita perlu memahami bahawa persamaan untuk kapal terbang adalah ujian untuk keahlian. Ini bukan senarai semua poin dalam pesawat, ini adalah ujian keahlian.

Parameterisasi garis, sebaliknya, adalah cara untuk menyenaraikan semua titik pada garis. Oleh itu, jika tujuan kita adalah untuk mencari titik tertentu pada garis yang terkandung di dalam pesawat, maka kita perlu memisahkan garis kita, dan kemudian kita perlu memasukkan parametrization kita ke persamaan kita untuk pesawat, dan kemudian menyelesaikan nilainya t yang menjadikannya benar. Menemui itu maka kita-- itu sama dengan mencari titik di talian kami.


Bolehkah persimpangan satah dan segmen garis menjadi sinar?

Garis adalah istilah satu dimensi dalam geometri yang hanya mempunyai panjang tetapi tidak lebar. Ia meluas hingga tak terhingga. Satah adalah permukaan rata dua dimensi yang memanjang hingga tak terhingga.

Sebuah satah seperti lembaran kertas, ketika kita memotong satu helai dengan helaian lain, kita akan melihat bahawa persimpangan itu adalah garis (seperti yang kita berikan dalam lampiran).

Oleh itu, persimpangan dua satah adalah garis.

Oleh itu, jawapan yang betul adalah Pilihan A - garis

10. Sekiranya anda diminta memberikan persimpangan satah dan garis yang tidak ada dalam satah itu, jawapan anda akan selalu menjadi titik

11. Sekiranya anda diminta memberikan persimpangan dua satah tidak selari, jawapan anda akan selalu menjadi garis

12. Sekiranya anda diminta memberikan persilangan dua baris, jawapan anda akan selalu menjadi titik

10. Di ruang angkasa, satah dan garis yang tidak tergeletak di satah ini atau selari dengannya akan selalu bertemu pada titik.

Contohnya, garis PN memotong satah A pada titik N

11. Persimpangan dua satah di angkasa adalah garis.

Sebagai contoh, persimpangan pesawat QRST dan PQRN adalah garis RQ.

12. Dua garis yang tidak selari dalam satah yang sama akan sentiasa bersilang pada satu titik.

Contohnya, garis TQ dan PQ bersilang pada titik Q

Walau bagaimanapun, jika dua garis selari sama dan bertepatan antara satu sama lain, mereka berpotongan pada titik yang tidak terhingga.

16. Dengan mengatakan bahawa garis memotong satu satah dan kemudian satah yang lain, anda mengatakan bahawa garis ada pada dua satah. Ini adalah percanggahan langsung dengan pernyataan tersebut.

17. Segitiga sama sisi kerana silogisme pada dasarnya menghubungkan titik-titik. Sekiranya sudut dalam segitiga sama, ia mempunyai semua sisi yang sama, dan jika ia mempunyai semua sisi yang sama, maka ia sama sisi, oleh itu, itu adalah D, bukan C.

Satah adalah satu bentuk dimensi

Salah. Segmen garis adalah satu dimensi, oleh itu setiap interaksi mereka dengan satah akan menjadi titik.

Sekiranya dua satah bersilang maka ia akan membentuk garis.

Untuk kapal terbang iaitu dan sebaris persilangan antara satu sama lain persimpangan akan didefinisikan sebagai titik dan dikenali sebagai titik persimpangan. Dengan kata lain titik persimpangan untuk dua garis, dua satah atau garis dan satah adalah titik di mana nilai bagi kedua-dua garis, satah atau garis dan satah akan sama.

Dalam kes ini kita dapat menentukan intinya sebagai di mana koordinat titik garisan dan kapal terbang akan sama berkata

Apabila anda mempunyai dua pesawat yang persimpangannya bukan set kosong, anda mempunyai dua posibilit:

- Kedua-dua pesawat itu sama. Dalam kes ini, anda tidak mempunyai garis sebagai persimpangan dari mereka, tetapi ia adalah satah lagi.

-Dua satah tidak sama. Maka persimpangan mestilah garis dengan aksioma kejadian.


2 Jawapan 2

Saya mengesyaki bahawa dengan dua vektor, anda bermaksud dua titik, dan ingin memotong garis yang menghubungkan kedua titik itu dengan satah yang ditentukan oleh Y = 0.

Sekiranya demikian, anda boleh menggunakan definisi garis antara dua titik:

& ltA + (D - A) * u, B + (E - B) * u, C + (F - C) * u & gt

Di mana & ltA, B, C & gt adalah salah satu titik anda dan & ltD, E, F & gt adalah titik yang lain. u adalah skalar tidak ditentukan yang digunakan untuk mengira titik sepanjang garis ini.

Oleh kerana anda memotong garis ini dengan satah Y = 0, anda hanya perlu mencari titik pada garis di mana segmen "Y" adalah 0.

Khususnya, selesaikan u di B + (E - B) * u = 0, dan kemudian masukkan kembali ke persamaan garis asal untuk mencari komponen X dan Z.


Cara paling mudah (dan sangat umum) untuk menyelesaikannya adalah dengan mengatakannya

yang memberi anda 3 persamaan dalam 3 pemboleh ubah. Selesaikan untuk x, y dan z, dan kemudian ganti kembali ke salah satu persamaan asal untuk mendapatkan jawapan anda. Ini dapat digeneralisasikan untuk melakukan perkara-perkara yang kompleks seperti mencari titik yang merupakan persimpangan dua satah dalam 4 dimensi.

Untuk pendekatan alternatif, produk silang N dari (P2-P1) dan (P3-P1) adalah vektor yang berada pada sudut tepat ke satah. Ini bermaksud bahawa satah dapat didefinisikan sebagai kumpulan titik P sedemikian rupa sehingga produk titik P dan N adalah produk titik P1 dan N. Selesaikan untuk x sehingga (L1 + x * (L2 - L1)) titik N ialah pemalar ini memberi anda satu persamaan dalam satu pemboleh ubah yang mudah diselesaikan. Sekiranya anda akan memotong banyak garis dengan pesawat ini, pendekatan ini pasti bermanfaat.

Ditulis secara eksplisit ini memberikan:

Perhatikan bahawa silap mata produk tersebut hanya berfungsi dalam 3 dimensi, dan hanya untuk masalah khusus pesawat dan garis anda.


Persimpangan Garisan dan satah - Matematik

Untuk masalah 1 - 3 tuliskan persamaan satah.

  1. Pesawat yang mengandungi titik ( kiri (<4, - 3,1> kanan) ), ( kiri (<- 3, - 1,1> kanan) ) dan ( kiri (< 4, - 2,8> kanan) ). Penyelesaian
  2. Pesawat yang mengandungi titik ( kiri (<3,0, - 4> kanan) ) dan ortogonal ke garis yang diberi oleh ( vec r kiri (t kanan) = kiri langle <12 - t, 1 + 8t, 4 + 6t> kanan rangle ). Penyelesaian
  3. Pesawat yang mengandungi titik ( kiri (<- 8,3,7> kanan) ) dan selari dengan satah yang diberi oleh (4x + 8y - 2z = 45 ). Penyelesaian

Untuk masalah 4 & 5 tentukan sama ada kedua-dua satah itu selari, ortogonal atau tidak.

  1. Pesawat yang diberi oleh (4x - 9y - z = 2 ) dan satah yang diberi oleh (x + 2y - 14z = - 6 ). Penyelesaian
  2. Pesawat yang diberi oleh (- 3x + 2y + 7z = 9 ) dan satah yang mengandungi titik ( kiri (<- 2,6,1> kanan) ), ( kiri (<- 2, 5,0> kanan) ) dan ( kiri (<- 1,4, - 3> kanan) ). Penyelesaian

Untuk masalah 6 & 7 tentukan di mana garis bersilang dengan satah atau menunjukkan bahawa ia tidak bersilang dengan satah.


Kandungan

Terdapat lebih dari satu objek primitif, seperti titik (gambar di atas), yang membentuk persimpangan. Persimpangan dapat dilihat secara kolektif sebagai semua objek yang dikongsi (iaitu, operasi persimpangan menghasilkan satu set, mungkin kosong), atau sebagai beberapa objek persimpangan (mungkin sifar).

Persimpangan dua set A dan B adalah himpunan unsur-unsur yang terdapat pada kedua-duanya A dan B. Dalam simbol,

Contohnya, jika A = <1, 3, 5, 7> dan B = <1, 2, 4, 6> kemudian AB = <1>. Contoh yang lebih terperinci (melibatkan set tak terhingga) adalah:

Sebagai contoh lain, nombor 5 adalah tidak terkandung dalam persimpangan set nombor perdana <2, 3, 5, 7, 11,…> dan set nombor genap <2, 4, 6, 8, 10,…>, kerana walaupun 5 adalah nombor perdana, ia adalah tidak sekata. Sebenarnya, nombor 2 adalah satu-satunya nombor di persimpangan dua set ini. Dalam kes ini, persimpangan mempunyai makna matematik: nombor 2 adalah satu-satunya nombor perdana genap.

Persimpangan dilambangkan oleh INTERSECTION U + 2229 from dari Pengendali Matematik Unicode.

Peano juga mencipta simbol besar untuk persimpangan umum dan penyatuan lebih dari dua kelas dalam bukunya 1908 Formulario mathematico. [4] [5]


Kandungan

Euclid menunjukkan mercu tanda pemikiran matematik pertama yang hebat, perlakuan geometri aksiomatik. [1] Dia memilih inti kecil istilah yang tidak ditentukan (disebut tanggapan umum) dan postulat (atau aksioma) yang kemudian digunakannya untuk membuktikan pelbagai pernyataan geometri. Walaupun pesawat dalam pengertian modennya tidak secara langsung diberikan definisi di mana saja Unsur, ia mungkin dianggap sebagai sebahagian daripada tanggapan umum. [2] Euclid tidak pernah menggunakan angka untuk mengukur panjang, sudut, atau luas. Dengan cara ini pesawat Euclidean tidak sama dengan pesawat Cartesian.

Bahagian ini hanya berkaitan dengan pesawat yang tertanam dalam tiga dimensi: khususnya, di R 3 .

Penentuan oleh titik dan garis terkandung Edit

Di ruang Euclidean dengan sebilangan dimensi, pesawat ditentukan secara unik oleh mana-mana yang berikut:

  • Tiga titik bukan collinear (titik tidak pada satu baris).
  • Garisan dan titik tidak pada garis itu.
  • Dua garis yang berbeza tetapi bersilang.
  • Dua garis yang berbeza tetapi selari.

Edit Properties

Pernyataan berikut terdapat dalam ruang Euclidean tiga dimensi tetapi tidak dalam dimensi yang lebih tinggi, walaupun mempunyai analog dimensi yang lebih tinggi:

  • Dua satah yang berbeza sama ada selari atau bersilang dalam satu garis.
  • Garisan selari dengan satah, memotongnya pada satu titik, atau terkandung di dalam satah.
  • Dua garis yang berbeza tegak lurus dengan satah yang sama mestilah selari antara satu sama lain.
  • Dua satah yang berbeza tegak lurus dengan garis yang sama mestilah selari antara satu sama lain.

Titik – bentuk normal dan bentuk umum persamaan satah Edit

Dengan cara yang serupa dengan garis di ruang dua dimensi dijelaskan menggunakan bentuk titik-cerun untuk persamaannya, satah dalam ruang tiga dimensi mempunyai gambaran semula jadi menggunakan titik di dalam satah dan vektor ortogonal kepadanya ( vektor normal) untuk menunjukkan "kecenderungan" nya.

Secara khusus, biarkan r0 menjadi vektor kedudukan beberapa titik P0 = (x0, y0, z0), dan biarkan n = (a, b, c) menjadi vektor bukan sifar. Pesawat ditentukan oleh titik P0 dan vektor n terdiri daripada perkara-perkara tersebut P , dengan vektor kedudukan r , sehingga vektor diambil dari P0 ke P berserenjang dengan n . Mengingat bahawa dua vektor tegak lurus jika dan hanya jika produk titik mereka sifar, maka satah yang diinginkan dapat digambarkan sebagai set semua titik r seperti itu

Titik di sini bermaksud produk titik (skalar).
Dikembangkan menjadi

yang mana satu titik – normal bentuk persamaan satah. [3] Ini hanyalah persamaan linear

Dalam matematik adalah kebiasaan umum untuk menyatakan normal sebagai vektor unit, tetapi argumen di atas berlaku untuk vektor normal dengan panjang bukan sifar.

Sebaliknya, dengan mudah ditunjukkan bahawa jika a, b, c dan d adalah pemalar dan a, b , dan c tidak semuanya sifar, maka graf persamaan

ialah satah yang mempunyai vektor n = (a, b, c) seperti biasa. [4] Persamaan biasa untuk kapal terbang disebut bentuk umum persamaan satah. [5]

Oleh itu, sebagai contoh, persamaan regresi bentuk y = d + kapak + cz (dengan b = −1) mewujudkan satah paling sesuai dalam ruang tiga dimensi apabila terdapat dua pemboleh ubah penjelasan.

Memerihalkan satah dengan titik dan dua vektor yang terletak di atasnya Edit

Sebagai alternatif, satah boleh digambarkan secara parametrik sebagai himpunan semua titik bentuk

di mana s dan t merangkumi semua nombor nyata, v dan w diberi vektor bebas linear yang menentukan satah, dan r0 adalah vektor yang mewakili kedudukan titik sewenang-wenang (tetapi tetap) di satah. Vektornya v dan w dapat digambarkan sebagai vektor bermula pada r0 dan menunjuk ke arah yang berbeza di sepanjang kapal terbang. Vektornya v dan w boleh tegak lurus, tetapi tidak boleh selari.

Memerihalkan kapal terbang melalui tiga titik Edit

Kaedah 1 Edit

Pesawat yang melalui hlm1 , hlm2 , dan hlm3 boleh digambarkan sebagai himpunan semua titik (x,y,z) yang memenuhi persamaan penentu berikut:

Kaedah 2 Edit

Untuk menerangkan satah dengan persamaan bentuk a x + b y + c z + d = 0 < displaystyle ax + by + cz + d = 0>, selesaikan sistem persamaan berikut:

Sistem ini dapat diselesaikan dengan menggunakan peraturan Cramer dan manipulasi matriks asas. Biarkan

Sekiranya D adalah tidak sifar (jadi untuk pesawat tidak melalui asal) nilai untuk a, b dan c boleh dikira seperti berikut:

Persamaan ini adalah parametrik dalam d. Menetapkan d sama dengan nombor bukan sifar dan menggantikannya menjadi persamaan ini akan menghasilkan satu set penyelesaian.

Kaedah 3 Edit

Pesawat ini juga dapat digambarkan dengan preskripsi "titik dan vektor normal" di atas. Vektor normal yang sesuai diberikan oleh produk silang

dan intinya r0 boleh dianggap sebagai salah satu titik yang diberikan hlm1 , hlm2 atau hlm3 [6] (atau titik lain dalam pesawat).

Jarak dari titik ke kapal terbang Edit

Bentuk vektor lain untuk persamaan satah, yang dikenali sebagai bentuk normal Hesse bergantung pada parameter D. Borang ini adalah: [5]

Garisan – persimpangan satah Edit

Dalam geometri analitik, persilangan garis dan satah dalam ruang tiga dimensi boleh menjadi set kosong, titik, atau garis.

Garis persimpangan antara dua pesawat Edit

Sisa ungkapan tersebut dicapai dengan mencari titik sewenang-wenangnya di talian. Untuk melakukannya, pertimbangkan bahawa mana-mana titik dalam ruang boleh ditulis sebagai r = c 1 n 1 + c 2 n 2 + λ (n 1 × n 2) < displaystyle < boldsymbol > = c_ <1> < boldsymbol > _ <1> + c_ <2> < boldsymbol > _ <2> + lambda (< boldsymbol > _ <1> kali < boldsymbol > _ <2>)>, kerana < displaystyle << boldsymbol > _ <1>, < boldsymbol > _ <2>, (< boldsymbol > _ <1> kali < boldsymbol > _ <2>) >> adalah asas. Kami ingin mencari titik yang terdapat pada kedua-dua satah (iaitu di persimpangan mereka), jadi masukkan persamaan ini ke dalam setiap persamaan satah untuk mendapatkan dua persamaan serentak yang dapat diselesaikan untuk c 1 < displaystyle c_ <1>> dan c 2 < displaystyle c_ <2>>.

Sudut Dihedral Edit

Sebagai tambahan kepada struktur geometri yang sudah biasa, dengan isomorfisme yang merupakan isometri berkenaan dengan produk dalaman yang biasa, satah ini dapat dilihat pada pelbagai tahap pengabstrakan. Setiap tahap abstraksi sesuai dengan kategori tertentu.

Pada satu tahap yang ekstrem, semua konsep geometri dan metrik dapat dijatuhkan untuk meninggalkan satah topologi, yang mungkin dianggap sebagai kepingan getah tak terbatas homotopis yang ideal, yang mempertahankan pengertian kedekatan, tetapi tidak memiliki jarak. Bidang topologi mempunyai konsep jalur lurus, tetapi tidak ada konsep garis lurus. Bidang topologi, atau setara dengan cakera terbuka, adalah kejiranan topologi asas yang digunakan untuk membina permukaan (atau 2-manifold) yang dikelaskan dalam topologi dimensi rendah. Isomorfisme satah topologi adalah biakan berterusan. Bidang topologi adalah konteks semula jadi untuk cabang teori grafik yang berkaitan dengan grafik satah, dan hasilnya seperti teorema empat warna.

Pesawat ini juga dapat dilihat sebagai ruang afin, yang isomorfisme adalah gabungan terjemahan dan peta linear bukan tunggal. Dari sudut pandang ini tidak ada jarak, tetapi collinearity dan nisbah jarak pada garis mana pun dipelihara.

Geometri pembezaan melihat satah sebagai manifold nyata 2 dimensi, satah topologi yang dilengkapi dengan struktur pembezaan. Sekali lagi dalam kes ini, tidak ada gagasan tentang jarak, tetapi sekarang ada konsep kelancaran peta, misalnya jalan yang dapat dibezakan atau lancar (bergantung pada jenis struktur pembezaan yang diterapkan). Isomorfisme dalam kes ini adalah bijeksi dengan tahap perbezaan yang dipilih.

Dalam arah abstraksi yang berlawanan, kita mungkin menerapkan struktur medan yang serasi ke satah geometri, sehingga menimbulkan bidang kompleks dan bidang utama analisis kompleks. Medan kompleks hanya mempunyai dua isomorfisme yang meninggalkan garis sebenar tetap, identiti dan konjugasi.

Dengan cara yang sama seperti dalam kes sebenar, pesawat juga boleh dilihat sebagai manifold kompleks satu dimensi (melebihi nombor kompleks) termudah, kadang-kadang disebut garis kompleks. Namun, sudut pandang ini berbeza dengan kes pesawat sebagai manifold nyata 2 dimensi. Isomorfisme adalah semua biakan konformasi dari satah kompleks, tetapi satu-satunya kemungkinan adalah peta yang sesuai dengan komposisi pendaraban dengan nombor kompleks dan terjemahan.

Selain itu, geometri Euclidean (yang mempunyai kelengkungan sifar di mana-mana) bukanlah satu-satunya geometri yang mungkin dimiliki oleh satah. Pesawat boleh diberi geometri sfera dengan menggunakan unjuran stereografi. Ini dapat dianggap sebagai meletakkan bola di atas pesawat (seperti bola di lantai), melepaskan titik atas, dan memproyeksikan bola ke pesawat dari titik ini). Ini adalah salah satu unjuran yang mungkin digunakan untuk membuat peta rata sebahagian permukaan Bumi. Geometri yang dihasilkan mempunyai kelengkungan positif yang berterusan.

Sebagai alternatif, satah juga boleh diberi metrik yang memberikan kelengkungan negatif berterusan memberikan satah hiperbolik. Kemungkinan terakhir menemui aplikasi dalam teori relativiti khas dalam kes yang dipermudahkan di mana terdapat dua dimensi ruang dan satu dimensi masa. (Pesawat hiperbolik adalah permukaan atas yang serupa dengan masa di ruang Minkowski tiga dimensi.)

Pemadatan satu titik satah adalah homeomorfik ke sfera (lihat unjuran stereografi) cakera terbuka adalah homeomorfik ke sfera dengan "kutub utara" hilang menambahkan titik itu melengkapkan sfera (padat). Hasil pemadatan ini adalah manifold yang disebut sebagai bola Riemann atau garis projektif yang kompleks. Unjuran dari pesawat Euclidean ke sfera tanpa titik adalah diffeomorphism dan bahkan peta konformal.

Pesawat itu sendiri adalah homeomorfik (dan diffeomorphic) ke cakera terbuka. Bagi satah hiperbolik, diffeomorphism seperti itu adalah selaras, tetapi bagi pesawat Euclidean tidak.


Tonton videonya: KBSM19 4M 05 Sudut antara Garis dan Satah cth4 (Disember 2021).