Artikel

15.1: Fraktal - Matematik

15.1: Fraktal - Matematik



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Fraktal adalah set matematik, biasanya diperoleh melalui rekursi, yang menunjukkan sifat dimensi yang menarik. Buat masa ini, kita boleh memulakan dengan idea persamaan diri, ciri kebanyakan fraktal.

Kesamaan diri

Bentuknya adalah serupa diri apabila pada dasarnya kelihatan sama dari jarak yang sama dengan jarak dekat.

Kesamaan diri sering dijumpai di alam semula jadi. Dalam brokoli Romanesco yang digambarkan di bawah [1], jika kita memperbesar sebahagian gambar, potongan yang tersisa kelihatan serupa dengan keseluruhannya.

Begitu juga, di pelepah pakis di bawah [2], satu bahagian pelepah kelihatan serupa dengan keseluruhan.

Begitu juga, jika kita memperbesar garis pantai Portugal [3], setiap zoom menunjukkan perincian yang sebelumnya tersembunyi, dan garis pantai, walaupun tidak sama dengan pemandangan dari arah yang lebih jauh, memang menunjukkan ciri yang serupa.


[1] en.Wikipedia.org/wiki/File:Ca...ractal_AVM.JPG

[2] http://www.flickr.com/photos/cjewel/3261398909/

[3] Openstreetmap.org, CC-BY-SA


Pelajaran 15

Mari kita selidiki ungkapan dengan pemboleh ubah dan eksponen.

15.1: Naik atau Turun?

Cari nilai (3 ^ x ) dan ( kiri ( frac13 kanan) ^ x ) untuk nilai yang berbeza dari (x ). Corak apa yang anda perhatikan?

(x ) (3 ^ x ) ( kiri ( frac13 kanan) ^ x )
1
2
3
4

15.2: Apakah Nilai?

Nilai setiap ungkapan untuk nilai yang diberikan (x ).

15.3: Eksperimen Eksponen

Cari penyelesaian untuk setiap persamaan dalam senarai. (Nombor dalam senarai mungkin merupakan penyelesaian untuk lebih dari satu persamaan, dan tidak semua nombor dalam senarai akan digunakan.)

  1. (64 = x ^ 2 )
  2. (64 = x ^ 3 )
  3. (2 ^ x = 32 )
  4. (x = kiri ( frac25 kanan) ^ 3 )
  5. ( frac <16> <9> = x ^ 2 )
  6. (2 boldcdot 2 ^ 5 = 2 ^ x )
  7. (2x = 2 ^ 4 )
  8. (4 ^ 3 = 8 ^ x )

Fraktal ini dipanggil Sierpinski Tetrahedron. Tetrahedron adalah polyhedron yang mempunyai empat muka. (Jamak tetrahedron adalah tetrahedra.)

Tetrahedra kecil membentuk empat tetrahedra bersaiz sederhana: biru, merah, kuning, dan hijau. Tetrahedra bersaiz sederhana membentuk satu tetrahedron besar.

Kembangkan Gambar

Penerangan: & ltp & gtTetrahedron besar dibentuk oleh empat tetrahedra bersaiz sederhana dengan pelbagai warna: biru, merah, kuning, hijau. Setiap tetrahedron bersaiz sederhana dibentuk oleh empat tetrahedra kecil. & Lt / p & gt

  1. Berapakah bilangan wajah kecil yang terdapat pada fraktal ini? Pastikan anda memasukkan wajah yang tidak dapat anda lihat. Cuba cari cara untuk mengetahuinya sehingga anda tidak perlu menghitung setiap wajah.
  2. Berapa banyak tetrahedra kecil di lapisan bawah, menyentuh meja?
  3. Untuk membuat versi fraktal yang lebih besar lagi, anda boleh mengambil empat fraktal seperti yang digambarkan dan menyatukannya. Terangkan di mana anda akan memasang fraktal untuk membuat tetrahedron yang lebih besar.
  4. Berapa banyak muka kecil yang akan dimiliki fraktal yang lebih besar ini? Berapakah bilangan tetrahedra kecil di lapisan bawah?
  5. Apa corak lain yang anda dapati?

Ringkasan

Dalam pelajaran ini, kita melihat ungkapan yang menggunakan huruf (x ) sebagai pemboleh ubah. Kami menilai ungkapan ini untuk nilai yang berbeza dari (x ).

  • Untuk menilai ungkapan (2x ^ 3 ) ketika (x ) adalah 5, kita mengganti huruf (x ) dengan 5 untuk mendapatkan (2 boldcdot 5 ^ 3 ). Ini sama dengan (2 boldcdot 125 ) atau hanya 250. Jadi nilai (2x ^ 3 ) adalah 250 apabila (x ) adalah 5.
  • Untuk menilai ( frac<8> ) ketika (x ) adalah 4, kita mengganti huruf (x ) dengan 4 untuk mendapatkan ( frac <4 ^ 2> <8> = frac <16> <8> ) , yang sama dengan 2. Jadi ( frac<8> ) mempunyai nilai 2 apabila (x ) adalah 4.

Kami juga melihat persamaan dengan pemboleh ubah (x ) dan harus memutuskan nilai (x ) apa yang akan menjadikan persamaan itu benar.

  • Katakan kita mempunyai persamaan (10 ​​ boldcdot 3 ^ x = 90 ) dan senarai kemungkinan penyelesaian: (<1, 2, 3, 9, 11> ). Satu-satunya nilai (x ) yang menjadikan persamaan itu benar adalah 2 kerana (10 ​​ boldcdot 3 ^ 2 = 10 boldcdot 3 boldcdot 3 ), yang sama dengan 90. Jadi 2 adalah penyelesaian untuk persamaan tersebut.

IM 6-8 Math awalnya dikembangkan oleh Open Up Resources dan dikarang oleh Illustrative Mathematics®, dan merupakan hak cipta 2017-2019 oleh Open Up Resources. Ia dilesenkan di bawah Lesen Antarabangsa Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY 4.0). Kurikulum Matematik 6–8 KAMI boleh didapati di https://openupresources.org/math-curriculum/.

Penyesuaian dan kemas kini untuk IM 6-8 Math adalah hak cipta 2019 oleh Illustrative Mathematics, dan dilesenkan di bawah Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

Adaptasi untuk menambahkan sokongan pelajar bahasa Inggeris tambahan adalah hak cipta 2019 oleh Open Up Resources, dan dilesenkan di bawah Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

Kumpulan penilaian bahasa Inggeris yang kedua (ditandai sebagai set "B") adalah hak cipta 2019 oleh Open Up Resources, dan dilesenkan di bawah Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

Terjemahan bahasa Sepanyol untuk penilaian "B" adalah hak cipta 2020 oleh Illustrative Mathematics, dan dilesenkan di bawah Lesen Antarabangsa Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY 4.0).

Nama dan logo Ilustrasi Matematik tidak tertakluk kepada lesen Creative Commons dan tidak boleh digunakan tanpa persetujuan bertulis Illustratif Matematik terlebih dahulu dan jelas.

Laman web ini merangkumi gambar domain awam atau gambar berlesen terbuka yang dilindungi hak cipta oleh pemiliknya masing-masing. Gambar berlesen secara terbuka tetap di bawah syarat lesen masing-masing. Lihat bahagian atribusi gambar untuk maklumat lebih lanjut.


15.1: Fraktal - Matematik

Matematik Fraktal

Benoit Mandelbrot umumnya dianggap sebagai bapa fraktal. Dia mencipta istilah fraktal untuk menggambarkan lekuk, permukaan dan objek yang mempunyai beberapa sifat yang sangat pelik. Anda belajar di sekolah bahawa lengkung sederhana, seperti garis, mempunyai satu dimensi. Kotak, segi empat tepat, bulatan, poligon, dan lain-lain mempunyai dua dimensi, sedangkan objek padat seperti kubus, mempunyai tiga dimensi. Ketiga-tiga dimensi menentukan ruang. Masa boleh dianggap sebagai dimensi keempat. Kita biasanya menganggap dimensi sebagai bilangan bulat: 1, 2, 3,. . .

Apa yang sangat aneh mengenai fraktal ialah ia ada dimensi pecahan ! Kelengkungan fraktal mungkin mempunyai dimensi 1.4332, misalnya, daripada 1. Fraktal bukan sekadar rasa ingin tahu matematik. Sebilangan besar objek semula jadi bersifat fraktal, dan dapat digambarkan dengan baik menggunakan matematik fraktal. Awan, daun, sistem saluran darah, garis pantai, zarah serat, dan lain-lain mempunyai bentuk fraktal.

Fraktal dihasilkan oleh proses berulang - melakukan perkara yang sama berulang kali. Fraktal juga mempunyai sifat bahawa ketika anda membesarkannya, mereka tetap kelihatan sama. Ini dipanggil persamaan diri.


Fraktal, Kekacauan, Kesamaan Diri

Berikut ini adalah koleksi penerokaan fraktal yang berbeza oleh penulis selama ini dan juga penjelasan mengenai pelbagai topik. Ia merangkumi formulasi yang paling terkenal, termasuk tetapi tidak terhad kepada L-Systems, IFS (Iterated Function Systems), penarik dan kedua-dua fraktal geometri 2D dan 3D. Juga disertakan sejumlah penyelesaian berangka untuk dimensi kebolehkomputeran dan metrik lain.

Harap maklum bahawa saya ada sebagai perunding mengenai perkara yang berkaitan dengan fraktal. Ini mungkin termasuk membuat bentuk baru, membuat grafik berkualiti tinggi, animasi, menerapkan algoritma (lihat dimensi kotak dan kompas) dan sebagainya.

Pengisian ruang secara rawak kapal terbang
Mengisi ruang satah (dan garis atau 3D) dengan bentuk sewenang-wenangnya. Konsep awal dan inspirasi oleh John Shier.

DLA (Gabungan Terhad Diffusion)
Gabungan Terhad Diffusion dalam 2D ​​dan 3D. Termasuk dibatasi oleh permukaan dan pelaksanaan perisian.

Menyediakan lembangan tarikan jenis Wada
Inilah muslihat pesta untuk lebih Krismas. Dapatkan 4 bola Krismas berkilat besar, beberapa kertas pembungkus berwarna, beberapa lampu dari pokok Krismas, dan anda mempunyai makmal fraktal untuk menghiburkan diri sepanjang musim perayaan.

Dimensi Fraktal dan Kesamaan Diri - Penghitungan kotak dimensi fraktal data volumetrik - Kotak penghitungan dimensi fraktal data titik
Pakej perisian pengiraan kotak tertentu, Dimensi Pembaris atau Kompas, Kekacauan, Spektrum multifaktal, Petak berulang, Kesamaan Diri. Contoh persamaan diri dalam fraktal dengan contoh dari matematik dan foto dunia fizikal.

Termasuk Badui, Mset nombor nyata, set Quinternion, Sine Mset, Triternion fractal, kelantangan Danca.

Bising
Termasuk bunyi 1 / f. Planet dan landskap fraktal: Kaedah untuk membuat planet, landskap, dan awan fraktal. Menghasilkan bunyi dengan undang-undang spektrum kuasa yang berbeza. Termasuk sintesis frekuensi dan anjakan titik tengah dan galeri gambar yang dibuat menggunakan Voxel World oleh Dmytry Lavrov. Kebisingan dan pergolakan Perlin: Membuat tekstur dimensi sewenang-wenangnya dan kesan semula jadi lain menggunakan teknik yang dikreditkan kepada Ken Perlin.

Fraktal polyhedral
Gasket Sierpinski, Sponge Menger, fraktal padat Platonis dan pelengkapnya, Set kotak, Menger Bersilang, Kubus Menger Yerusalem, Kubik, Fraktal Keplerian

IFS (Sistem Fungsi Berterusan)
Aplikasi dan manual penjana IFS berasaskan Macintosh. Galeri IFS Rawak. Jubin IFS, IFS Bush, daun maple IFS, spiral IFS, seperti IFS Mandelbrot, pokok IFS, daun IFS, dolar Pasir IFS, pakis IFS, teks kekacauan IFS, naga, ranting, landak IFS, salib IFS

Sistem L (Sistem Lindenmayer)
Penerangan perisian bersejarah, contoh dari daun, semak, alga, pokok, batang dan rumpai, segitiga LSystem, LSystem Peano, kristal LSystem, Square Sierpinski, Quadratic Gosper, kurva Hilbert, papan LSystem, kurva Koch, Pulau Koch Kuadratik, Kepingan Salju Kuadratik, Sierpinski panah, kepingan salji Von Koch, LSystem cross, Pentaplexity, LSystem tiles, LSystem rings, Dragon curve, Hexagonal gosper, Krishna anklets, Mango leaf, Snake kolam.

Kandungan: Kertas kerja, Pembentangan, Bengkel
Geometri, Permukaan, Lengkung, Polyhedra
Fraktal, Kekacauan, Kesamaan diri
Kubah, Planetarium, Fisheye, Cermin Sfera
Stereografik, Unjuran 3D
Panorama, Video 360
Pembinaan Semula Fotografi
Pelbagai: Unjuran, Pemodelan, Rendering
Format Data: 3D, Audio, Imej
Perpustakaan Tekstur, Keseronokan, Teka-teki, Perjalanan
Semua halaman di satu tempat
Baru / Dikemas kini: Penarik dalam 3D untuk tontonan VR
Penentukuran kamera manual untuk unjuran gambar fisheye
Eksperimen dalam Perspektif Berbalik
Alat untuk Unjuran Cermin Sfera
Luar kawasan : Buku Muka, Sketchfab, YouTube, Vimeo, Shapeways

Kandungan laman web ini adalah & salin Hak Cipta Paul Bourke atau penyumbang pihak ketiga jika dinyatakan. Anda boleh mencetak atau menyimpan salinan elektronik bahagian laman web ini untuk kegunaan peribadi anda sendiri. Kebenaran mesti dicari untuk kegunaan lain. Sebarang kod sumber yang terdapat di sini boleh digunakan secara percuma dengan syarat kredit diberikan kepada pengarang. Pembelian lesen bebas kredit bahan yang terdapat di laman web ini boleh dirundingkan dengan penulis. Penulis juga boleh memetik variasi unik dan / atau versi resolusi yang lebih tinggi dari gambar yang terdapat di laman web ini.


Geometri Fraktal: Asas dan Aplikasi Matematik

Jawatankuasa Senarai Perpustakaan Asas mengesyorkan buku ini untuk pemerolehan oleh perpustakaan matematik sarjana.

Pengulas semestinya mendedahkan pada awalnya bahawa dia mempelajari geometri fraktal sebagai sarjana (tahun kedua) di St. Andrews dari edisi kedua teks & hellip ini dan betapa indahnya kursus itu! Seseorang berharap, mungkin secara idealis, agar setiap sarjana matematik diperlakukan dengan oasis yang hangat sebelum mereka lulus. Sebenarnya, pelajar yang ingin tahu itu dapat mempelajari teks Falconer & rsquos sendiri dengan sangat menguntungkan, dengan kemungkinan ada bantuan / bimbingan yang diperlukan di sudut teknikal tertentu. Untuk pelajar seperti itu, terdapat satu set penyelesaian lengkap untuk latihan yang terdapat dalam talian.

Edisi pertama teks yang dikaji ditulis sekitar tahun 1989, yang kedua pada tahun 2003. Di antara, Falconer menulis teks susulan untuk pelajar siswazah dan penyelidik yang berminat untuk menangani literatur semasa yang bertajuk: Teknik dalam Geometri Fraktal (TFG), diterbitkan oleh Wiley pada tahun 1997. Dan sebelum dia memulakan duo ini, dia sudah menulis apa yang masih difikirkan oleh banyak ahli matematik sebagai pilihan penikmat & rsquos: Geometri Set Fraktal (GFS), diterbitkan pada tahun 1985 sebagai Jilid 85 dari Cambridge Tracts in Mathematics. Seolah-olah seolah-olah Geometri Fraktal: Asas dan Aplikasi Matematik (FGFA) ditulis untuk membuat bahan yang mudah diakses oleh pemula dari salurannya yang ramping (sekitar 180 halaman) 1985, dan juga untuk menarik para penyelidik dari bidang-bidang di luar matematik dan ketegasan yang sering menakutkan. Bakat ekspositori Profesor Falconer & rsquos terus berkembang. Tahun lalu, pada tahun 2013, kami menerima buku terbarunya yang paling tipis dan paling inklusif sejauh ini: Fraktal: Pengenalan Yang Sangat Ringkas (FVSI), diterbitkan oleh Oxford.

Buku ini, yang terdiri daripada lapan belas bab dengan rata-rata 20 halaman setiap bab, disusun dalam dua bahagian: yang pertama & ldquoFoundations & rdquo (lapan bab), dan yang kedua & ldquoAplikasi dan Contoh & rdquo (sepuluh bab).

Yayasan: Terdapat bab pengantar yang cepat mengenai pelbagai elemen latar belakang matematik yang diperlukan, dan kemudian kita berangkat untuk membina alat untuk mengkaji dan membedah fraktal: dimensi penghitungan kotak pertama kali diperkenalkan, kemudian ukuran dan dimensi Hausdorff dan pembungkusan, diikuti dengan bab mengenai teknik asas untuk mengira dimensi. Bab 5 hingga 8 yang lebih teknikal memberi pembaca rasa teori ukuran geometri: mereka masing-masing mengkaji struktur, unjuran, produk dan persilangan fraktal tempatan.

Aplikasi dan Contohnya: Selepas pembuatan alat, pembaca diberi pelbagai pemandangan matematik yang luar biasa di mana seseorang dapat menemui set fraktal dari satu jenis atau yang lain. Bab 9 mengkaji Sistem Fungsi Iterasi (IFS) yang serupa dan berkaitan dengan diri sendiri yang menyamaratakan pembinaan seperti set Cantor pertengahan pertiga yang mungkin ditemui pelajar dalam analisis sebenar atau topologi sarjana. Terdapat bahagian baru mengenai teori Lapidus dan van Frankenhuijsen & rsquos dimensi kompleks. Bab 10 mengkaji contoh indah subset fraktal yang timbul dari dalam teori nombor. Contoh yang lebih rumit seperti himpunan kenyataan di [0,1] yang entri pecahan berterusannya sama ada 1s atau 2s tidak termasuk dalam perbincangan, tetapi pembaca yang berminat membawa rujukan yang sangat baik dalam literatur. Bab 11 mengkaji dimensi grafik fungsi, di mana menghitung nilai tepat dimensi Hausdorff tetap menjadi bidang penyelidikan yang aktif. Bab 12 memaparkan smorgasbord dari & ldquopure & rdquo (perkataan ini berbunyi salah di sini di telinga pengulas & rsquos!) Matematik, mis. masalah Kakeya, sangkaan Vitushkin & rsquos, dan kumpulan / cincin fraktal.

Bab 13 dan 14, mengenai sistem dinamik dan dinamika holomorfik, adalah antara kegemaran pengulas & rsquos! Dia ingat bab-bab ini memberikan kesan yang kuat ketika dia seorang pelajar, dan sejak itu dia terus belajar. Yang pasti, keseluruhan buku boleh dan telah ditulis pada setiap bab tersebut. Bab 15 dan 16 melemparkan proses stokastik ke dalam campuran dan mengkaji fraktal rawak, gerakan Brownian dan permukaan Brownian. Bab 17 menyajikan analisis multifakta & mdash ini adalah landasan yang cukup baru, dan mudah bagi pembaca untuk mencapai kemajuan penyelidikan kontemporari setelah membaca bab ini dan menindaklanjuti rujukan akhir bab. Nampaknya pengulas bahawa bab / bahagian mengenai formalisme termodinamik (lihat komen di bawah) juga akan teratur di sini. Bab terakhir melalui pelbagai fraktal yang muncul dalam pelbagai aplikasi fizikal. Terdapat contoh-contoh klasik dari kajian pergolakan, tetapi juga aplikasi moden, mis. ke antena fraktal!

Setiap bab diakhiri dengan kedua & ldquoNota dan rujukan & rdquo dan & ldquoExercises & rdquo, kedua-duanya wajar diberi komen. Latihan dibuat dengan baik dan telah diuji di kelas dalam pelbagai persekitaran. Mereka juga memberi jemputan kepada pelajar untuk aspek matematik moden yang jauh melebihi tambang perguruan standard. Terdapat banyak usaha untuk membuat nota dan rujukan terkini (iaitu, hingga 2013) dan dalam banyak kes, buku ini mendorong pelajar / penyelidik untuk membuat literatur penyelidikan terkini. Tidak dinafikan bahawa kedua-dua aspek ini menambah kejayaan & kejayaan berterusan.

Untuk buku teks $ 60 dengan banyak kandungan visual yang menarik, kualiti kertas sangat buruk. Buku ini dipenuhi dengan gambar rajah yang memudahkan pembacaan. Walau bagaimanapun, hampir semua rajah ditunjukkan melalui halaman kerana ketebalan kertas. Ini amat malang apabila terdapat gambar rajah di kedua-dua sisi satu halaman. Saya & rsquod mengesyorkan percetakan dan kertas yang lebih baik untuk edisi ke-4! Gambar warna fraktal seperti set Mandelbrot dan Julia juga sangat dialu-alukan.

Buku ini memberikan pekerjaan yang luar biasa dalam menarik pembaca, seperti yang jelas dari ringkasan, lawatan pemandangan matematik. Walau bagaimanapun, saya kesal melihat FGFA dan FGVSI ketinggalan memperkenalkan bidang penting dalam matematik fraktal yang indah yang secara historis adalah tempat pertama di mana objek-objek rumit itu muncul tanpa diumumkan. Pada tahun 1883 Poincar & eacute diterbitkan, dalam jilid pertama Mittag-Leffler & rsquos yang baru dicincang Acta Mathematica, penyiasatannya mengenai kumpulan Fuchsian dan kemudian Kleinian (dan fungsi). Ini adalah subkumpulan diskrit kumpulan isometri ruang hiperbolik dua dan tiga dimensi, masing-masing. Di sinilah semasa mengganggu penjana kumpulan Fuchsian, Poincar & eacute tersandung pada kumpulan Kleinian pertama (sekarang disebut quasi-Fuchsian dalam kesusasteraan) kumpulan. Set had mereka adalah lekukan yang sangat rumit, dengan kata Poincar & eacute & rsquos:

Ces domaines sont s & eacutepar & eacutes par une ligne L, si l & rsquoon peut appeler & ccedila une ligne. & hellip De plus j & rsquoai tout lieu de croire qu & rsquoil n & rsquoy a pas de tangente aux points de L qui ne font pas partie de P.

& ldquoM & eacutemoire sur les groupes klein & eacuteens & rdquo, Matematik Acta, 3 (1883), 49 & ndash92.

Kerja Poincar & eacute & rsquos pada kumpulan / fungsi Fuchsian dan Kleinian telah didedahkan dengan indah di beberapa tempat, mis. lihat Bab 3 biografi saintifik Jeremy Gray & rsquos. Pengulas ini sedang berusaha untuk mengekspos sejarah ini dengan tujuan untuk menggambarkan penemuan Poincar & eacute & rsquos dengan teliti, penerimaannya dan perkembangan matematik seterusnya hingga kebangkitan Sullivan & rsquos pada awal 1980-an dengan bukti terkenalnya mengenai teorema domain yang tidak mengembara. Dalam proses penyiasatannya, Sullivan menemui sebuah kamus yang sangat indah yang menghubungkan hasil / konsep dari dinamika holomorfik dan kumpulan Kleinian yang terus merangsang penyelidikan hingga hari ini.

Falconer memang mempunyai bab yang sangat baik (14) pada yang pertama, tetapi kehilangan apa yang akan menjadi bab yang berguna & ldquodual & rdquo mengenai kumpulan Fuchsian dan Kleinian. Ini juga akan memberikan pelengkap yang baik kepada IFS yang serupa dan berkaitan dengan diri sendiri dari Bab 9. Sebenarnya, adalah idea yang baik untuk menambah bahagian tambahan ke Bab 9 yang memperkenalkan generalisasi bukan linear, mis. IFSs yang sesuai & agrave la Mauldin-Urbański, atau bahkan set pemotong kuki yang lebih sederhana seperti yang dijelaskan dalam Bab 4 (Pemotong cookie dan Penyimpangan Terikat) Falconer & rsquos TFG. Adalah baik juga untuk memasukkan & ldquoheart & rdquo Bab 5 (Formalisme Termodinamik) dari TFG: menerangkan generalisasi Bowen & rsquos (kepada situasi tidak linear) formula Moran-Hutchinson untuk dimensi Haudorff daya tarikan / set had.

Beberapa tipu yang menggembirakan

A. Pada hlm. 75, perenggan terakhir Bahagian 4.1 berikut bukti Proposisi 4.9 diakhiri dengan cadangan yang mungkin diabaikan yang kemudian dilewatkan oleh penyunting. Namun kandungan matematik yang dimaksudkan adalah jelas. Berikut & rsquos bagaimana perenggan itu harus dibaca:

Mungkin menarik bagi pembaca bahawa hasil dari Bahagian 4.1 mempunyai keluasan yang lebih besar di luar ( mathbb^ n ), mis. di ruang-ruang Hilbert yang tidak dapat dipisahkan dimensi. Untuk eksposisi yang bersih dan serba lengkap, lihat Bahagian 8 (Teori penyimpangan terhadap ukuran geometri) D. Mauldin, T. Szarek dan M. Urbański, & ldquoGraph Mengarahkan Sistem Markov di Hilbert Spaces & rdquo, Math. Pro. Cambridge Phil. Soc. 147 (2009), 455-488.

B. Walaupun nama keluarga Urbański dieja dengan tepat sebelumnya dalam bibliografi, entri di halaman. 356 seharusnya mempunyai & ldquoUrbański M. (1990) & rdquo dan tidak & ldquoUrbanski C. (1990) & rdquo. Apa yang mungkin membuat salah ejaan nama keluarga Poland ini agak tidak masuk akal, adalah bahawa slip serupa berlaku pada beberapa kali di laman web pengarang & rsquos sendiri.

Buku Falconer & rsquos sangat baik dalam banyak aspek dan pengulas sangat mengesyorkannya. Semoga setiap perpustakaan universiti memiliki satu atau tiga salinan! Dan jika anda & # 39; meminta pelajar membaca ini, periksa sekarang!

Tushar Das adalah Penolong Profesor Matematik di University of Wisconsin & ndash La Crosse.


Imej dihasilkan dengan Fractal Generator untuk ImageJ.

Dengan menggunakan segitiga tengah sebagai asas, bentuk tetrahedron. Gantikan asas segitiga dengan "khemah" tetrahedral.

Dimensi Hausdorff
(nilai sebenar)
Dimensi Hausdorff
(lebih kurang)
Nama Ilustrasi Kenyataan
1/2 0.5 Sifar proses Wiener Sifar proses Wiener (gerakan Brownian) adalah set Lebesgue berukuran 0 yang padat dengan struktur fraktal. [4] [37]
Penyelesaian E (C 1 s + C 2 s) = 1 < displaystyle E (C_ <1> ^+ C_ <2> ^) = 1> di mana E (C 1) = 0.5 < displaystyle E (C_ <1>) = 0.5> dan E (C 2) = 0.3 < displaystyle E (C_ <2>) = 0.3> 0.7499 set Cantor rawak dengan 50% - 30% Generalisasi: pada setiap lelaran, panjang selang kiri ditentukan dengan pemboleh ubah rawak C 1 < displaystyle C_ <1>>, peratusan pemboleh ubah panjang selang asal. Sama untuk selang waktu yang betul, dengan pemboleh ubah rawak C 2 < displaystyle C_ <2>>. Dimensi Hausdorff s < displaystyle s> memuaskan: E (C 1 s + C 2 s) = 1 < displaystyle E (C_ <1> ^+ C_ <2> ^) = 1> (di mana E (X) < displaystyle E (X)> adalah nilai jangkaan X < displaystyle X>). [4]
Penyelesaian s + 1 = 12 ⋅ 2 - (s + 1) - 6 ⋅ 3 - (s + 1) < displaystyle s + 1 = 12 cdot 2 ^ <- (s + 1)> - 6 cdot 3 ^ <- (s + 1) >> 1.144. lengkung von Koch dengan selang rawak Panjang selang tengah adalah pemboleh ubah rawak dengan pembahagian seragam pada selang (0,1 / 3). [4]
Diukur 1.22±0.02 Pinggir pantai Ireland Nilai untuk dimensi fraktal seluruh pantai Ireland ditentukan oleh McCartney, Abernethy dan Gault [38] di University of Ulster dan pelajar Teori Fizik di Trinity College, Dublin, di bawah pengawasan S. Hutzler. [39]

Perhatikan bahawa terdapat perbezaan ketara antara pantai barat Ireland yang lusuh (dimensi fraktal sekitar 1,26) dan pantai timur yang jauh lebih halus (dimensi fraktal 1,10) [39]


15 + 1 + 8 = Anda Melakukan Matematik

Seberapa sukar anda bersenam? Adakah anda salah satu daripada orang yang memberikan semua yang anda dapat, atau & # 39 & # 39 meninggalkan semuanya di lapangan, & # 39 & # 39 seperti kata pepatah? Saya tahu ada kalanya saya & rsquom seperti itu. Saya berjumpa dengan pelatih saya, mendapatkan rancangan senaman baru dan mengatur rancangan tersebut untuk bertindak. Saya biasanya tahu berapa kali seminggu saya akan menaikkan berat badan, apabila perlumbaan saya dijadualkan untuk bulan berikutnya, ketika saya perlu cuti, dll. Saya suka meneliti latihan baru, mencuba kelas baru, dan menjadikan kecergasan sebagai bahagian rutin dan konsisten dalam hidup saya. Saya & rsquom sangat menyedari sama ada saya & rsquom memenuhi matlamat minit kecergasan saya untuk bulan ini di SparkPeople. Itu & rsquos semuanya baik, bukan?

Saya tahu berkali-kali kita memikirkannya, tetapi baru-baru ini saya melihat sesuatu di internet yang meletakkan perkara menjadi perspektif yang lebih baik bagi saya. Malangnya, saya tidak ingat di mana saya membacanya sekarang, tetapi penulis mengatakan bahawa kami bersenam 60 minit sehari (1 jam) dan kemudian harus membuat keputusan makanan selama 15 jam, meninggalkan 8 jam untuk tidur. Sekiranya anda tidak membuat pilihan makanan yang baik selama berjam-jam itu, bagaimana anda boleh mengharapkan 1 jam itu untuk mengimbangi dan menggerakkan anda ke arah yang betul?

Fikirkanlah dalam beberapa minit & hellip60 berbanding 900. Saya tahu saya & # 39; telah tertangkap berkata, & # 39 & # 39Saya & # 39; akan makan ini kerana kemudian, saya & rsquom melakukan itu & # 39. Kawan baik saya menghentikan saya di trek baru-baru ini dengan memberitahu saya bahawa dia tidak mahu mendengar alasan atau justifikasi saya untuk brownie yang merosot itu saya bersiap sedia untuk makan & ndash makan saja dan teruskan. Saya memandangnya seperti dia adalah kawan saya (rakan / musuh). Okey, hanya bergurau, tapi dia betul. Mungkin memerlukan lebih daripada 60 minit untuk membakar sebilangan cinta & ndash yang saya maksudkan coklat & ndash dari badan saya. Saya & # 39; t mengatakan bahawa anda & # 39; boleh & # 39; s & rsquot mempunyai makanan kerana percayalah, saya makan brownie itu dan menikmati setiap gigitan. Sekiranya saya kerap melakukannya? Tidak! Keesokan paginya saya bangun dan menjalankan perlumbaan saya dan kembali ke landasan yang betul.

Moral dari kisah ini adalah anda harus menghabiskan lebih banyak masa untuk menyiapkan 900 minit sehari daripada yang anda lakukan selama 60 minit sehari untuk mencapai matlamat anda. Bagaimana anda melakukannya? Saya melakukannya dengan merancang makanan. Saya banyak meneliti dan membaca kerana saya suka makan dan gemar melakukannya. Saya menyimpan senarai resipi sihat yang kami cuba dan sukai. Saya memulakan papan di Pinterest untuk mengumpulkan kumpulan resipi yang saya & rsquom cuba. Saya cenderung menyimpan stok bekalan di pantry dan freezer yang boleh digunakan dalam sebilangan besar resipi sihat. Saya kerap ke kedai sekurang-kurangnya dua kali seminggu untuk mendapatkan hasil segar. Saya memastikan Tupperware saya teratur dan mempunyai set tambahan. Semua perkara ini memudahkan penyediaan dan pengambilan makanan bagi keluarga saya.

Ketika datang ke makanan saya, saya cenderung mengikut arus. Saya & rsquove mengesan makanan saya dengan konsisten selama hampir tiga tahun sekarang, dan saya dapat mengira berapa banyak kalori yang saya makan sekiranya saya keluar dari restoran. Secara berkala, saya perlu memeriksa diri saya dan merancang makanan dengan teliti hanya untuk mengingatkan diri saya bahawa makanan sangat penting. Tubuh saya akan selalu menggambarkan kuantiti dan kualiti dari apa yang saya masukkan ke dalam mulut saya, tidak kira berapa banyak yang saya lakukan.

Sekiranya anda menggunakan blog ini sebagai justifikasi untuk hanya membuat rancangan makan selama 900 minit dan mengabaikan kecergasan minima 60 minit itu? Tidak boleh! Tubuh anda memerlukan kedua-duanya dan saya & # 39; yakin dengan kepercayaan & frasa & # 39 & # 39 & # 39; Saya mempunyai lebih daripada 41,000 minit kecergasan yang dilog masuk ke akaun SparkPeople saya sejak awal perjalanan saya. Jelas sekali, saya percaya bahawa anda perlu bersenam. Saya rasa kombinasi terbaik untuk perjalanan sihat yang berjaya adalah mencari keseimbangan yang baik antara keduanya, dan saya sedar bahawa melakukan satu tanpa yang lain akan menipu saya daripada hasil yang saya layak.

Semakin lama saya berada dalam perjalanan ini, saya rasa badan kita seperti kereta lumba yang diselaraskan. Sekiranya anda tidak menjaga kereta itu, ia akan berhenti berjalan. Sekiranya anda tidak menyetel enjin, menyalurkan komponen, menukar tayar, dan memasukkan bahan bakar berkualiti, anda tidak akan mempunyai perlumbaan yang baik. Tubuh kita memerlukan makanan yang baik, berkualiti dan banyak air. Kita perlu bergerak, meregangkan, dan bersenam untuk menguatkan tulang, membina otot, dan membuat semua bahagian berfungsi dengan baik. Apabila kita tidak melakukan semua perkara itu, kita berjuang dalam perlumbaan kita.

Adakah anda merasa mempunyai keseimbangan yang sihat antara merancang untuk bersenam dan makan? Adakah anda memihak kepada yang lain? Yang mana yang perlu anda kerjakan minggu ini?


Kata pengantar edisi pertama ix

Kata pengantar edisi kedua xiii

Kata pengantar kepada edisi ketiga xv

1 Latar belakang matematik 3

1.2 Fungsi dan had 7

1.3 Langkah dan pengagihan jisim 11

1.4 Catatan mengenai teori kebarangkalian 17

1.5 Catatan dan rujukan 24

2 Dimensi membilang kotak 27

2.1 Dimensi membilang kotak 27

2.2 Sifat dan masalah dimensi membilang kotak 34

* 2.3 Dimensi pengiraan kotak yang diubah suai 38

2.4 Beberapa definisi lain dari dimensi 40

2.5 Catatan dan rujukan 41

3 Ukuran dan dimensi Hausdorff dan pembungkusan 44

3.2 Dimensi Hausdorff 47

3.3 Pengiraan dimensi Hausdorff & # 8211 contoh mudah 51

3.4 Definisi setara Hausdorff dimensi 53

* 3.5 Ukuran dan dimensi pembungkusan 54

* 3.6 Definisi dimensi yang lebih baik 57

3.9 Catatan dan rujukan 63

4 Teknik mengira dimensi 66

4.2 Subset ukuran terhingga 75

4.3 Kaedah teori berpotensi 77

* 4.4 Kaedah transformasi Fourier 80

4.5 Catatan dan rujukan 81

5 Struktur tempatan fraktal 83

5.4 Catatan dan rujukan 96

6 Unjuran fraktal 98

6.1 Unjuran set sewenang-wenangnya 98

6.2 Unjuran s-set dimensi integral 101

6.3 Unjuran set sewenang-wenang dimensi integral 103

6.4 Catatan dan rujukan 105

7 Produk fraktal 108

7.2 Catatan dan rujukan 116

8 Persimpangan fraktal 118

8.1 Rumus persilangan untuk fraktal 119

* 8.2 Set dengan persimpangan besar 122

8.3 Catatan dan rujukan 128

BAHAGIAN II APLIKASI DAN CONTOH 131

9 Sistem fungsi berulang & # 8211 set serupa dan diri sendiri 133

9.1 Sistem fungsi teruling 133

9.2 Dimensi set serupa diri 139

9.5 Aplikasi untuk pengekodan gambar 155

* 9.6 Fungsi Zeta dan dimensi kompleks 158

9.7 Catatan dan rujukan 167

10 Contoh dari teori nombor 169

10.1 Pembahagian digit nombor 169

10.2 Pecahan berterusan 171

10.3 Penghampiran Diophantine 172

10.4 Catatan dan rujukan 176

11 Graf fungsi 178

11.1 Dimensi graf 178

* 11.2 Autokorelasi fungsi fraktal 188

11.3 Catatan dan rujukan 192

12 Contoh dari matematik tulen 195

12.1 Dualitas dan masalah Kakeya 195

12.2 Sangkaan Vitushkin & # 8217s 198

12.4 Kumpulan dan cincin fraktal 201

12.5 Catatan dan rujukan 204

13 Sistem dinamik 206

13.1 Sistem repeller dan fungsi lelaran 208

13.3 Transformasi regangan dan lipatan 213

13.5 Sistem dinamik berterusan 220

* 13.6 Teori pembahagi kecil 225

* 13.7 Eksponen dan penyertaan Lyapunov 228

13.8 Catatan dan rujukan 231

14 Pengulangan fungsi kompleks & # 8211 Set Julia dan set Mandelbrot 235

14.1 Teori umum Julia menetapkan 235

14.2 Fungsi kuadratik & # 8211 set Mandelbrot 243

14.3 Julia set fungsi kuadratik 248

14.4 Pencirian bulatan kuasi mengikut dimensi 256

14.5 Kaedah Newton & # 8217s untuk menyelesaikan persamaan polinomial 258

14.6 Catatan dan rujukan 262

15 Fraktal rawak 265

15.1 Set Cantor rawak 266

15.2 Penyerapan fraktal 272

15.3 Catatan dan rujukan 277

16 Gerakan Brownian dan permukaan Brownian 279

16.1 Gerakan Brown di & # 8477 279

16.2 Gerakan Brown dalam & # 8477n 285

16.3 Gerakan Brown pecahan 289

16.4 Permukaan pecahan Brownian 294

16.5 Proses stabil L & # 233vy 296

16.6 Catatan dan rujukan 299

17 Langkah-langkah multifractal 301

17.1 Analisis multifaktal kasar 302

17.2 Analisis multifaktal halus 307

17.3 Multifractal yang serupa dengan diri sendiri 310

17.4 Catatan dan rujukan 320

18 Aplikasi fizikal 323

18.1 Penjarian fraktal 325

18.2 Keistimewaan potensi elektrostatik dan graviti 330

18.3 Dinamika bendalir dan pergolakan 332

18.5 Fraktal dalam kewangan 336

18.6 Catatan dan rujukan 340


Sejarah Geometri Fraktal

Sebarang konsep matematik yang kini terkenal oleh kanak-kanak sekolah telah melalui beberapa dekad, jika tidak berabad-abad penyempurnaan. Pelajar biasa akan, pada pelbagai titik dalam kerjaya matematiknya - seberapa lama atau singkat - menghadapi konsep dimensi, nombor kompleks, dan "geometri". If the field of mathematics does not particularly interest her, this student might see these concepts as distinct and unrelated and, in particular, she might make the mistake of thinking that the Euclidean geometry taught to her in school encompasses the whole of the field of geometry. However, if she were to pursue mathematics at the university level, she might discover an exciting and relatively new field of study that links the aforementioned ideas in addition to many others: fractal geometry.

While the lion's share of the credit for the development of fractal geometry goes to Benoît Mandelbrot, many other mathematicians in the century preceding him had laid the foundations for his work. Moreover, Mandelbrot owes a great deal of his advancements to his ability to use computer technology -- an advantage that his predecessors distinctly lacked however, this in no way detracts from his visionary achievements. Nevertheless, while acknowledging and understanding the accomplishments of Mandelbrot, it undoubtedly helps to have some familiarity with the relevant works of Karl Weierstrass, Georg Cantor, Felix Hausdorff, Gaston Julia, Pierre Fatou and Paul Lévy -- not only to make Mandelbrot's work clearer -- but to see its connections to other branches of mathematics. Equally, while most authors will not fail to include at least brief discussion of Mandelbrot's rather interesting and slightly unconventional ( for a modern mathematician ) life in their texts on fractals, it seems only fair to give some, if not equal, consideration to his predecessors.

Until the 19 th century, mathematics had concerned itself only with functions that produced differentiable curves. Indeed, the conventional wisdom of the day said that any function with an analytic formula ( i.e. sum of a convergent power series ) would certainly produce such a curve. [ 3 ] However, on July 18 , 1872 , Karl Weierstrass presented a paper at the Royal Prussian Academy of Sciences showing that for a a a a positive integer and 0 < b < 1 0 < b < 1 0 < b < 1

While these are both approximations, one can see that these functions lack the smoothness of parabolas or of the sine and cosine functions. These functions resisted traditional analysis and were -- though not due to their appearance, which was beyond the ability of mathematicians of the day to represent -- labelled "monsters" by Charles Hermite and were largely ignored by the contemporary mathematical community. [ 2 ]

In 1883 Georg Cantor, who attended lectures by Weierstrass during his time as a student at the University of Berlin [ 9 ] and who is to set theory what Mandelbrot is to fractal geometry, [ 3 ] introduced a new function, ψ , for which ψ' = 0 except on the set of points, < z > < z >. This set, < z > < z >, is what became known as the Cantor set.

The Cantor set has a Lebesgue measure of zero however, it is also uncountably infinite. [ 3 ] What is more, it has the property of being self-similar, meaning that if one magnifies a section of the set, one obtains the whole set again. Looking at Figure 4 , one can easily see that each horizontal line is one third the size of the horizontal line directly above it. In fact, self-similarity is a feature of fractals, and the Cantor set is an early example of a fractal, though self-similarity was not defined until 1905 ( by Cesàro, who was analysing the paper by Helge von Koch discussed below ) and fractals were not defined until Mandelbrot in 1975 , [ 2 ] thus Cantor would not have thought of it in those terms.

In a paper published in 1904 , Swedish mathematician Helge von Koch constructed using geometrical means the now-famous von Koch curve and hence the Koch snowflake, which is three von Koch curves joined together. In the introduction to his paper he stated the following about Weierstrass's 1872 essay [ 6 ] :

Von Koch's curve, like the Cantor set, has the property of self-similarity. It, too, is a fractal, though, like Cantor, von Koch was not thinking in such terms. He merely aimed to provide an alternative way of proving that functions that were non-differentiable ( i.e. functions that "have no tangents" in geometric parlance ) could exist -- a way that involved using "elementary geometry" ( reference [ 6 ] 's title translates to On a Continuous Curve without Tangent Constructible from Elementary Geometry ). In doing so, von Koch expressed a link between these non-differentiable "monsters" of analysis and geometry.

Von Koch himself was a fairly unremarkable mathematician. Many of his other results were derived from those of Henri Poincaré, from whom he knew it was possible to obtain "pathological" results -- i.e. these so-called "monsters" -- but never really explored them, outside of the aforementioned essay. [ 5 ] Poincaré, it should be noted, studied non-linear dynamics in the later 19 th century, which eventually led to chaos theory, [ 2 ] a field closely related to fractal geometry, though beyond the scope of this paper. It is therefore fitting that a mathematician whose work followed that of Poincaré so closely would turn out to be one of the forefathers of a field that is closely related to the area of study for which Poincaré himself helped lay the foundations.

An absolutely key concept in the study of fractals, aside from the aforementioned self-similarity and non-differentiability, is that of Hausdorff dimension, a concept introduced by Felix Hausdorff in March of 1918 . Hausdorff's results from the same paper were important to the field of topology, as well [ 3 ] however that his definition of dimension extended the previous definition to allow for sets to have a dimension that is an arbitrary, non-zero value [ 4 ] ( unlike topological dimension ) ended up being integral to the definition of a fractal, as Mandelbrot defined fractals "a set having Hausdorff dimension strictly greater than its topological dimension." [ 2 ]

As soon as Hausdorff introduced this new, expanded definition of dimension, it was the subject of investigation -- in particular by Abraham Samilovitch Besicovitch, who, from 1934 to early 1937 wrote no less than three papers referencing Hausdorff's work. [ 3 ] Sadly, by this time, Hausdorff was experiencing difficulties living as a Jew in Nazi Germany. He was forced to give up his post as a professor at the University of Bonn in 1935 , and even though he continued to work on set theory and topology, his work could only be published outside of Germany. Despite temporarily managing to avoid being sent to a concentration camp, the situation in Germany quickly became unbearable and, with nowhere else to go, he, along with his wife and sister-in-law, opted to commit suicide in January 1942 . [ 4 ]

Because Fatou and Julia ( and, by extension, their work ) predated computers, they were unable to generate pictures such as the one on the right, which is the graph of millions of iterations of a function. They were limited to what they could do by hand, which would only be about three or four iterations. [ 7 ] Julia published a 199 -page paper in 1918 called Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles Ⓣ , which discussed much of his work on iterative functions and describing the Julia set. With this paper, Julia won the Grand Prix of the Académie des Sciences and became extremely famous in mathematical circles throughout the 1920 s. However, despite this prominence, his work on iteration fell into obscurity for about fifty years. [ 11 ]

Fatou, on the other hand, did not achieve the same level of fame as Julia, even contemporarily, despite discovering very similar results -- though in a different manner -- and also submitting them to be published. He submitted an announcement of his results to Comptes Rendus, while Julia had chosen to send his opus to the Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Julia, protective of his work, sent letters to Comptes Rendus asking them to investigate whose results had priority. The publication duly launched an investigation and included a note on Julia's findings in the same issue as the Fatou's announcement. This apparently discouraged Fatou enough to keep him from entering for the Grand Prix. Still, the Académie des Sciences gave him some recognition and awarded him a prize for his paper on the topic. [ 10 ]

Julia sets can be completely disconnected, in which case they are "dust" ( Figure 7) -- similar to the Cantor set ( Figure 4) -- or they are completely connected ( Figure 6) . On rare occasions, they can be "dendrites" ( Figure 8) , where they are "made up completely of continuously sub-branching lines, which are only just connected since the removal of any point from them would split them in two," [ 7 ] at which point, they would be considered "dust". [ 7 ]

If this sequence goes off to infinity, then the set is disconnected. Otherwise, it is connected. [ 7 ]

In 1938 , the year after Besicovitch's last paper on Hausdorff dimension, Paul Lévy produced a comprehensive treatment on the property of self-similarity. He showed that the von Koch curve was just one of many examples of a self-similar curve, though von Koch himself had stated that his curve could be generalized. The curves generated by Lévy ( see Figure 9 for an example -- the green and blue sets are two smaller copies of the larger set ) were iterative and connected and, with enough iterations, covers ( or tiles ) the plane. Lévy's curves, however, are not fractals, as they have both a Hausdorff and a topological dimension of two. [ 3 ]

Little did anyone at this time suspect that there was someone, albeit still a very young person, who would unite the works of Lévy and Hausdorff. Benoit Mandelbrot was born in 1924 in Warsaw, Poland and, like Hausdorff, he was also Jewish, though his family managed to escape life under the Third Reich in 1936 by leaving Poland for France, where family and friends helped them set up their new lives. One of Mandelbrot's uncles, Szolem Mandelbrojt, was a pure mathematician, who took an interest in the young Mandelbrot and tried to steer him towards mathematics. In fact, in 1945 , Mandelbrojt showed his nephew the works of Fatou and Julia, though the young Mandelbrot initially did not take much of an interest. [ 13 ]

Mandelbrot's education was very uneven, and completely interrupted in 1940 , when Mandelbrot and his family were forced to flee the Nazis again. This time they went to central France. Mandelbrot, like Helge von Koch before him, preferred visual representations of mathematical problems, as opposed to the symbolic, [ 7 ] though this may also stem from his lack of formal education, due to World War II. [ 13 ] Unfortunately, this would bring him into direct conflict with the teaching style of "Bourbaki", a group of mathematicians whose belief in solving problems analytically ( as opposed to visually ) dominated the teaching of mathematics in France at the time. [ 7 ]

After the war had ended, Mandelbrot took the entrance exams for the École Polytechnique in Paris, despite having no preparation. He did very well in the mathematics section, where he could employ his ability to solve problems through visualisation to answer questions. While this method was not always possible on other sections, he managed to pass [ 7 ] and after a one-day career at the École Normale, Mandelbrot started at the École Polytechnique, where he met another of his mentors, Paul Lévy, [ 13 ] who was a professor at there from 1920 until his retirement in 1959 [ 12 ] .

After completing his studies, Mandelbrot moved to New York, where he started work for IBM's Thomas J. Watson Research Centre. The company gave him a free hand in choosing a topic of study, which allowed him to explore and develop concepts using his own methods, without having to worry about the reaction of the academic community. In 1967 , while still there, Mandelbrot wrote his landmark essay, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension [ 8 ] , in which he linked the idea of previous mathematicians to the real world -- namely coastlines, which he claimed were "statistically self-similar". He argued that [ 8 ]

The Mandelbrot set is, for many, the quintessential fractal. When one zooms in on some part of the edge, one notices that the Mandelbrot set is, indeed, self-similar. Furthermore, if one zooms in even further on various sections of the edge, one obtains different Julia sets. In fact, it is "asymptotically similar to Julia sets near any point on its boundary," as proved in a theorem by the Chinese mathematician Tan Lei. [ 7 ]

Mandelbrot has managed not only to invent the discipline of fractal geometry, but has also popularized it through its applications to other areas of science. He clearly believed this was important, as he once stated [ 3 ]

As he hinted in How Long Is the Coast of Britain? fractal geometry comes in useful in representing natural phenomena things such as coastlines, the silhouette of a tree, or the shape of snowflakes -- things are not easily represented using traditional Euclidean geometry. After all, no organic entity comes to mind when one contemplates a square or a circle. Equally, no simple shape from Euclidean geometry comes to mind when contemplating things such as the path of a river. Even the earth is not a perfect sphere, however convenient it may be for one's calculations to treat it as such. Furthermore, fractal geometry and chaos theory have important connections to physics, medicine, and the study of population dynamics. [ 7 ] However, even if the field lacked these links, it would be hard for those so inclined to resist the aesthetic appeal of most fractals.

Mandelbrot's non-traditional approach led him to invent an amazing and useful new form of mathematics. However, no mathematician can claim to have developed his results in complete isolation from anyone else's. Mandelbrot's discovery owes a great deal to the mathematicians who preceded him, such as Weierstrass and von Koch, but especially to Julia, Fatou, and Hausdorff. He also benefitted from access to computers, which allowed him not only to build upon the works of others in a new way -- one which had definitely not been done before -- but to use his preferred method of solving problems -- namely visualisation. Furthermore, his invention also makes a case for the importance of the study of pure mathematics: until Mandelbrot came along and united the eclectic ideas of Hausdorff, Julia, et al, they represented very abstract mathematical ideas from varying branches of ( pure ) mathematics. There is very little that would interest an ordinary biologist about set theory. However, through fractal geometry, many of these seemingly abstract ideas ( from mathematicians who are relatively unknown outside of their own spheres of research ) develop applications that other scientists and even non-scientists can appreciate. Thus, the work that eventually led to fractals and their applications are an excellent counterexample to the arguments of anyone who would dare to denigrate the study of pure mathematics.


1 Jawapan 1

After thinking a little bit more about the options, this is a possible way of showing the underlying patterns. I am explaining this method, but I would really like to learn others, and share ideas with other MSE users, so I will keep the question open for some time.

In this case, for the same example as above, OEIS A000265, each initial number of the sequence (or first status of the automaton) is represented by a radius $1$ circle (yellow).

In the second step, the elements marked to be removed were "invaded" by the closest elements at their right side. The invader element grew. We will show that growth by adding a new circle with a radius that covers both the invaded element (represented by its former step circle) and the invader (also represented by its former step circle).

That new circle is e.g. shown in red color. When we repeat the algorithm, or in other words, we continue evolving the automaton shown in the question some more steps, finally the pattern starts to arise:

Clearly there is a fractal pattern over there! This same method can be applied to any fractal sequence, providing different patterns for each one. And of course it is possible to use instead of circles, rectangles (or diamonds) or other shapes.

The color code could represent the depth of the step. For instance warm colors could fill the circles representing the initial status (or steps) of the automaton (they will be inner circles) and cold colors could fill the most external and bigger circles (recent steps of the automaton).

I would appreciate very much learning other visualizations!


Tonton videonya: Karmaşık Düzlemler ve Fraktal Geometri - 1 (Ogos 2022).