We are searching data for your request:
Upon completion, a link will appear to access the found materials.
LATIHAN ( PageIndex {1} )
Pertimbangkan medan vektor autonomi (C ^ {r} ), (r ge 1 ), ( mathbb {R} ^ 2 ):
( dot {x} = f (x) ),
dengan aliran
( phi_ {t} ( cdot) ),
dan biarkan (x = bar {x} ) menunjukkan titik keseimbangan jenis pelana hiperbolik untuk medan vektor ini. Kami menunjukkan manifold stabil dan tidak stabil tempatan titik keseimbangan ini dengan:
(W_ {loc} ^ {s} ( bar {x}) ), (W_ {loc} ^ {u} ( bar {x}) ),
masing-masing. Manifold stabil dan tidak stabil global ( bar {x} ) ditakrifkan oleh:
(W ^ {s} ( bar {x}) equiv cup_ {t le 0} phi_ {t} (W_ {loc} ^ {s} ( bar {x})) ),
(W ^ {u} ( bar {x}) equiv cup_ {t ge 0} phi_ {t} (W_ {loc} ^ {s} ( bar {x})) ),
(a) Tunjukkan bahawa (W ^ {s} ( bar {x}) ) dan (W ^ {u} ( bar {x}) ) adalah set invarian.
(b) Misalkan (p in W ^ {s} ( bar {x}) ), tunjukkan bahawa ( phi_ {t} (p) kanan bawah bar {x} ) pada kadar eksponen sebagai (t panah kanan infty ).
(c) Andaikan bahawa (p in W ^ {u} ( bar {x}) ), tunjukkan bahawa ( phi_ {t} (p) kanan bawah bar {x} ) pada kadar eksponen sebagai (t anak panah kanan - infty ).
LATIHAN ( PageIndex {2} )
Pertimbangkan medan vektor autonomi (C ^ {r}, r ge 1 ) di ( mathbb {R} ^ 2 ) yang mempunyai titik pelana hiperbolik. Bolehkah manifold stabil dan tidak stabil bersilang pada titik terpencil (yang bukan titik tetap medan vektor) seperti yang ditunjukkan pada gambar 2?
LATIHAN ( PageIndex {3} )
Pertimbangkan medan vektor autonomi berikut di pesawat:
( dot {x} = alpha x ),
[ dot {y} = beta y + gamma x ^ {n + 1}, label {6.42} ]
di mana ( alpha <0 ), ( beta> 0 ), ( gamma ) adalah nombor nyata, dan n adalah bilangan bulat positif.
- Tunjukkan bahawa asalnya adalah titik pelana hiperbolik.
- Hitung dan lakarkan ruang bawah yang stabil dan tidak stabil.
- Tunjukkan bahawa ruang bawah yang stabil dan tidak stabil tidak berubah di bawah dinamik linear.
- Tunjukkan aliran yang dihasilkan oleh medan vektor ini diberikan oleh:
(x (t, x_ {0}) = x_ {0} e ^ { alpha t} ),
(y (t, x_ {0}, y_ {0}) = e ^ { beta t} (y_ {0} - frac { gamma x_ {0} ^ {n + 1}} { alpha ( n + 1) - beta}) + ( frac { gamma x_ {0} ^ {n + 1}} { alpha (n + 1) - beta}) e ^ { alpha (n + 1) t} )
- Hitung manifold stabil dan tidak stabil global yang berasal dari aliran.
- Tunjukkan bahawa manifold stabil dan tidak stabil global yang telah anda hitung tidak berubah-ubah.
- Lakarkan manifold stabil dan tidak stabil global dan bincangkan bagaimana ia bergantung pada g dan n.
LATIHAN ( PageIndex {4} )
Katakan ( dot {x} = f (x), x in mathbb {R} ^ n ) adalah medan vektor (C ^ r ) yang mempunyai titik tetap hiperbolik, (x = x_ {0 } ), dengan orbit homoslinik. Huraikan orbit homoslinik dari segi manifold yang stabil dan tidak stabil (x_ {0} ).
LATIHAN ( PageIndex {5} )
Katakan ( dot {x} = f (x), x in mathbb {R} ^ n ) adalah medan vektor (C ^ r ) yang mempunyai titik tetap hiperbolik, (x = x_ {0} ) dan (x_ {1} ), dengan orbit heteroklinik yang menghubungkan (x_ {0} ) dan (x_ {1} ). Huraikan orbit heteroklinik dari segi manifold yang stabil dan tidak stabil (x_ {0} ) dan (x_ {1} ).
