Artikel

6.1: Set Masalah

6.1: Set Masalah



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

LATIHAN ( PageIndex {1} )

Pertimbangkan medan vektor autonomi (C ^ {r} ), (r ge 1 ), ( mathbb {R} ^ 2 ):

( dot {x} = f (x) ),

dengan aliran

( phi_ {t} ( cdot) ),

dan biarkan (x = bar {x} ) menunjukkan titik keseimbangan jenis pelana hiperbolik untuk medan vektor ini. Kami menunjukkan manifold stabil dan tidak stabil tempatan titik keseimbangan ini dengan:

(W_ {loc} ^ {s} ( bar {x}) ), (W_ {loc} ^ {u} ( bar {x}) ),

masing-masing. Manifold stabil dan tidak stabil global ( bar {x} ) ditakrifkan oleh:

(W ^ {s} ( bar {x}) equiv cup_ {t le 0} phi_ {t} (W_ {loc} ^ {s} ( bar {x})) ),

(W ^ {u} ( bar {x}) equiv cup_ {t ge 0} phi_ {t} (W_ {loc} ^ {s} ( bar {x})) ),

(a) Tunjukkan bahawa (W ^ {s} ( bar {x}) ) dan (W ^ {u} ( bar {x}) ) adalah set invarian.

(b) Misalkan (p in W ^ {s} ( bar {x}) ), tunjukkan bahawa ( phi_ {t} (p) kanan bawah bar {x} ) pada kadar eksponen sebagai (t panah kanan infty ).

(c) Andaikan bahawa (p in W ^ {u} ( bar {x}) ), tunjukkan bahawa ( phi_ {t} (p) kanan bawah bar {x} ) pada kadar eksponen sebagai (t anak panah kanan - infty ).

LATIHAN ( PageIndex {2} )

Pertimbangkan medan vektor autonomi (C ^ {r}, r ge 1 ) di ( mathbb {R} ^ 2 ) yang mempunyai titik pelana hiperbolik. Bolehkah manifold stabil dan tidak stabil bersilang pada titik terpencil (yang bukan titik tetap medan vektor) seperti yang ditunjukkan pada gambar 2?

LATIHAN ( PageIndex {3} )

Pertimbangkan medan vektor autonomi berikut di pesawat:

( dot {x} = alpha x ),

[ dot {y} = beta y + gamma x ^ {n + 1}, label {6.42} ]

di mana ( alpha <0 ), ( beta> 0 ), ( gamma ) adalah nombor nyata, dan n adalah bilangan bulat positif.

  1. Tunjukkan bahawa asalnya adalah titik pelana hiperbolik.
  2. Hitung dan lakarkan ruang bawah yang stabil dan tidak stabil.
  3. Tunjukkan bahawa ruang bawah yang stabil dan tidak stabil tidak berubah di bawah dinamik linear.
  4. Tunjukkan aliran yang dihasilkan oleh medan vektor ini diberikan oleh:

    (x (t, x_ {0}) = x_ {0} e ^ { alpha t} ),

    (y (t, x_ {0}, y_ {0}) = e ^ { beta t} (y_ {0} - frac { gamma x_ {0} ^ {n + 1}} { alpha ( n + 1) - beta}) + ( frac { gamma x_ {0} ^ {n + 1}} { alpha (n + 1) - beta}) e ^ { alpha (n + 1) t} )

  5. Hitung manifold stabil dan tidak stabil global yang berasal dari aliran.
  6. Tunjukkan bahawa manifold stabil dan tidak stabil global yang telah anda hitung tidak berubah-ubah.
  7. Lakarkan manifold stabil dan tidak stabil global dan bincangkan bagaimana ia bergantung pada g dan n.

LATIHAN ( PageIndex {4} )

Katakan ( dot {x} = f (x), x in mathbb {R} ^ n ) adalah medan vektor (C ^ r ) yang mempunyai titik tetap hiperbolik, (x = x_ {0 } ), dengan orbit homoslinik. Huraikan orbit homoslinik dari segi manifold yang stabil dan tidak stabil (x_ {0} ).

LATIHAN ( PageIndex {5} )

Katakan ( dot {x} = f (x), x in mathbb {R} ^ n ) adalah medan vektor (C ^ r ) yang mempunyai titik tetap hiperbolik, (x = x_ {0} ) dan (x_ {1} ), dengan orbit heteroklinik yang menghubungkan (x_ {0} ) dan (x_ {1} ). Huraikan orbit heteroklinik dari segi manifold yang stabil dan tidak stabil (x_ {0} ) dan (x_ {1} ).


Tonton videonya: Practice Problem Fundamental of Electric Circuits Sadiku 5th Ed - Capacitors Voltage u0026 Energy (Ogos 2022).