Artikel

Buku: Elementary Trigonometry (Corral) - Matematik


Ini adalah teks mengenai trigonometri sekolah rendah, yang direka untuk pelajar yang telah menamatkan kursus dalam aljabar dan geometri sekolah menengah. Walaupun dirancang untuk pelajar kolej, ia juga dapat digunakan di sekolah menengah. Topik tradisional dibahas, tetapi pendekatan yang lebih geometri diambil daripada biasa. Juga, beberapa kaedah berangka (mis. Kaedah pemisah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri) dibincangkan.


Trigonometri oleh Michael Corral - Pratonton HTML

16. Dalam Contoh 3.20, yang bersudut A, B, C berikan nilai maksimum kos A + cos B + cos C ?

Walaupun tidak penting untuk latihan ini, tidak satu pun sudut dalam formula ini diukur dalam darjah. Kami

akan membincangkan unit pengukuran mereka dalam Bab 4.

4.1 Radian dan Darjah

Sejauh ini kita menggunakan darjah sebagai unit pengukuran untuk sudut. Walau bagaimanapun, ada

cara lain untuk mengukur sudut yang selalunya lebih senang. Idea mudah: bersekutu

sudut tengah bulatan dengan lengkok yang dipintas.

Pertimbangkan bulatan jejari r & gt 0, seperti dalam Rajah 4.1.1. Dalam geometri anda belajar bahawa

lilitan C bulatan adalah C = 2 π r, di mana π = 3.14159265.

AB = C = 2 π r

Sudut θ dan arka memintas AB pada bulatan lilitan C = 2 πr

Dalam Rajah 4.1.1 kita melihat bahawa sudut tengah 90◦ memotong lengkok panjang π r, pusat

sudut 180◦ memotong lengkok panjang π r, dan sudut tengah 360◦ memotong lengkok panjang

2 π r, yang sama dengan lilitan bulatan. Jadi mengaitkan sudut tengah

dengan lengkok yang dipintas, kita boleh katakan, sebagai contoh, bahawa

Jejari r sewenang-wenangnya, tetapi 2 π di hadapannya tetap sama. Jadi daripada menggunakan

"radius" canggung atau "radii", kita menggunakan istilah radian:

Hubungan di atas memberi kita cara mudah untuk menukar antara darjah dan radian:

Bab 4 • Langkah Radian

Formula (4.2) diikuti dengan membahagikan kedua sisi persamaan (4.1) dengan 360, sehingga 1◦ = 2 π

radian, kemudian mengalikan kedua-dua sisi dengan x. Formula (4.3) juga diturunkan dengan membahagi

kedua-dua sisi persamaan (4.1) dengan 2 π kemudian gandakan kedua-dua sisi dengan x.

Penyataan θ = 2 π radian biasanya disingkat sebagai θ = 2 π rad, atau hanya θ = 2 π apabila jelas bahawa kita menggunakan radian. Apabila sudut diberikan sebagai beberapa gandaan π, awak boleh

anggap bahawa unit yang digunakan adalah radian.

Penyelesaian: Dengan menggunakan formula penukaran (4.2) untuk darjah ke radian, kita dapat

Tukarkan π radian hingga darjah.

Penyelesaian: Dengan menggunakan formula penukaran (4.3) untuk radian hingga darjah, kita dapat

Sudut yang biasa digunakan pada radian

Jadual 4.1 menunjukkan penukaran antara darjah dan radian bagi sebilangan

sudut sepunya. Menggunakan formula penukaran (4.3) untuk radian ke darjah,

Secara formal, radian didefinisikan sebagai sudut tengah dalam lingkaran jejari

r yang memintas lengkok panjang r, seperti dalam Gambar 4.1.2. Definisi ini

tidak bergantung pada pilihan r (bayangkan mengubah saiz Rajah 4.1.2).

Radian dan Darjah • Bahagian 4.1

Salah satu sebab mengapa radian digunakan ialah skala lebih kecil daripada darjah. Satu revol-

dalam radian ialah 2 π .2 6.283185307, yang jauh lebih kecil daripada 360, bilangan darjah

dalam satu revolusi. Skala yang lebih kecil membuat graf fungsi trigonometri (yang kita

akan dibincangkan dalam Bab 5) mempunyai timbangan yang serupa untuk paksi mendatar dan menegak. Yang lain

alasannya ialah selalunya dalam aplikasi fizikal pemboleh ubah yang digunakan adalah dari segi arka

panjang, yang menjadikan radian sebagai pilihan semula jadi.

Mod lalai dalam kebanyakan kalkulator saintifik adalah menggunakan darjah untuk memasuki sudut. Dihidupkan

banyak kalkulator ada butang berlabel DRG untuk beralih antara mod darjah (D),

mod radian (R), dan gradian mode (G) .1 Pada beberapa kalkulator grafik, seperti TI-

83, ada butang MODE untuk menukar antara darjah dan radian. Pastikan bahawa anda

kalkulator berada dalam mod sudut yang betul sebelum ini memasuki sudut, atau jawapan anda kemungkinan besar

jadi nilai-nilai itu tidak hanya mati dalam skala besar, tetapi juga tidak mempunyai tanda yang sama. Menggunakan anda

butang sin ator 1, cos − 1, dan tan − 1 dalam mod radian tentu saja akan memberi anda sudut

sebagai perpuluhan, bukan ungkapan dari segi π.

Anda juga harus sedar bahawa matematik berfungsi dalam banyak bahasa pengaturcaraan komputer

pengawal menggunakan radian, jadi anda harus menulis penukaran sudut anda sendiri

Untuk Latihan 1-5, ubah sudut yang diberikan menjadi radian.

Untuk Latihan 6-10, ubah sudut yang diberikan kepada darjah.

11. Letakkan kalkulator anda dalam mod radian dan ambil kosinus 0. Apapun jawapannya, ambil

kosinus. Kemudian ambil kosin jawapan baru. Terus ulangi perkara ini. Pada kebanyakan kalkulator selepas

lebih kurang 50-60 lelaran anda harus mula melihat jawapan yang sama berulang. Apakah nombor itu?

Cuba mulakan dengan nombor yang berbeza dari 0. Adakah anda mendapat jawapan yang sama berulang setelah kira-kira

bilangan lelaran yang sama seperti sebelumnya? Cubalah prosedur yang sama dalam mod darjah, bermula dengan 0◦.

Adakah perkara yang sama berlaku? Sekiranya demikian, adakah lebih sedikit iterasi untuk jawapannya mula berulang

daripada dalam mod radian, atau lebih?

1A gradian ditakrifkan sebagai 1 lingkaran, iaitu terdapat 400 graduan dalam satu revolusi. Berbanding dengan yang lebih banyak

biasa 360◦ dalam satu revolusi, graduan nampaknya lebih mudah dikerjakan, kerana sudut kanan adalah 100 graduan

(sehingga menjadikan gandaan bilangan bulat dari sudut kanan lebih mudah diingat). Di luar beberapa bidang khusus (mis.

pengiraan artileri), graduan tidak banyak digunakan pada masa kini.

2Satu pengecualian adalah Octave, yang mempunyai fungsi cosd (), sind (), tand () yang mengambil sudut dalam darjah sebagai parameter,

selain fungsi cos (), sin (), tan () biasa yang menggunakan radian.

Bab 4 • Langkah Radian

Dalam Bahagian 4.1 kita melihat bahawa satu revolusi mempunyai ukuran radian 2 π rad. Perhatikan bahawa 2 π adalah

nisbah lilitan (iaitu panjang lengkok total) C bulatan ke jejarinya r:

Ukuran radian 1 revolusi = 2 π =

Jelas, nisbah itu tidak bergantung kepada r. Secara umum, ukuran radian sudut adalah

nisbah panjang busur yang dipotong oleh sudut pusat yang sepadan dalam satu bulatan dengan jejari

bulatan, bebas dari jejari.

Untuk melihat ini, ingatlah definisi formal kami tentang radian: sudut tengah dalam lingkaran jejari r

yang memintas lengkok panjang r. Oleh itu, anggaplah bahawa kita mempunyai lingkaran jejari r dan kami meletakkan

sudut tengah dengan ukuran radian 1 di atas sudut pusat lain dengan ukuran radian

1, seperti dalam Gambar 4.2.1 (a). Jelas, sudut tengah gabungan kedua sudut mempunyai radian

ukuran 1 + 1 = 2, dan panjang arka gabungan ialah r + r = 2 r.

Ukuran dan panjang lengkok Radian

Sekarang anggap kita memotong sudut dengan ukuran radian 1 pada separuh, seperti dalam Gambar 4.2.1 (b).

Jelas, ini memotong panjang busur r pada separuh juga. Oleh itu, kita melihatnya

dan secara amnya, untuk mana-mana θ ≥ 0,

Panjang lengkok • Bahagian 4.2

Secara intuitif, jelas bahawa pengecutan atau pembesaran lingkaran mengekalkan ukuran a

sudut tengah walaupun radius berubah. Perbincangan di atas mengatakan lebih banyak, iaitu bahawa

nisbah panjang s dari lengkok yang dipintas ke jejari r terpelihara, tepat kerana itu

nisbah adalah ukuran sudut tengah dalam radian (lihat Rajah 4.2.2).

(a) Sudut θ, jejari r

(b) Sudut θ, jejari r

Lingkaran dengan sudut tengah yang sama, jejari yang berbeza

Oleh itu, kami mendapat formula mudah untuk panjang busur:

Dalam bulatan jejari r, biarkan s panjang lengkok dipintas oleh sudut tengah dengan

ukuran radian θ ≥ 0. Kemudian panjang lengkok s adalah:

Dalam bulatan jejari r = 2 cm, berapakah panjangnya s lengkok dipintas oleh sudut ukuran tengah

Penyelesaian: Dengan menggunakan formula (4.4), kami mendapat:

s = r θ = (2) (1.2) = 2.4 cm

Dalam bulatan jejari r = 10 kaki, berapa panjangnya s lengkok dipintas oleh sudut ukuran tengah

Penyelesaian: Menggunakan formula (4.4) secara membuta tuli dengan θ = 41◦, kita akan dapat s = r θ = (10) (41) = 410 kaki. Tetapi ini mustahil, kerana lingkaran jejari 10 kaki mempunyai lilitan hanya 2 π (10) ≈ 62.83 kaki! Kesalahan kami adalah

dalam menggunakan sudut θ diukur dalam darjahtidak radian. Jadi pertama kali menukar θ = 41◦ ke radian, kemudian gunakan

s = r θ = (10) (0.716) = 7.16 kaki

Perhatikan bahawa sejak panjang busur s dan jejari r biasanya diberikan dalam unit yang sama, radian

ukuran benar-benar tanpa unit, kerana anda boleh memikirkan pembatalan unit dalam nisbah s , iaitu

hanya θ. Ini adalah sebab lain mengapa radian digunakan secara meluas.

Bab 4 • Langkah Radian

Sudut tengah dalam bulatan jejari 5 m memotong lengkok panjang 2 m. Apakah ukuran bagi

sudut dalam radian? Apakah ukuran dalam darjah?

Penyelesaian: Membiarkan r = 5 dan s = 2 dalam formula (4.4), kita mendapat:

Untuk sudut tengah θ & gt 2 π rad, iaitu θ & gt 360◦, mungkin tidak jelas apa yang dimaksudkan antara

busur cepted, kerana sudut lebih besar daripada satu revolusi dan oleh itu "membungkus" bulatan

lebih dari sekali. Kami akan mengambil pendekatan bahawa arka seperti itu terdiri daripada lilitan penuh

ditambah panjang arka tambahan yang ditentukan oleh sudut. Dengan kata lain, formula (4.4) masih ada

berlaku untuk sudut θ & gt 2 π rad.

Bagaimana dengan sudut negatif? Dalam kes ini menggunakan s = r θ bermaksud panjang lengkoknya

negatif, yang melanggar konsep panjang yang biasa. Oleh itu, kami akan menggunakan konvensyen hanya

menggunakan sudut tengah yang tidak negatif semasa membincangkan panjang lengkok.

Tali diikat ke dinding di dua tempat yang berjarak 8 kaki pada ketinggian yang sama. A

bekas silinder dengan jejari 2 kaki ditolak dari dinding sebagai

sejauh yang boleh dilalui sambil dipegang oleh tali, seperti dalam Gambar 4.2.3 yang

menunjukkan pandangan atas. Sekiranya pusat bekas berada 3 kaki dari

tunjuk pada dinding di tengah-tengah hujung tali, berapakah panjangnya

Penyelesaian: Kami melihat bahawa, secara simetri, panjang keseluruhan tali adalah L =

2 ( AB + SM). Juga, perhatikan bahawa △ ADE adalah segitiga tepat, jadi hipotenus

mempunyai panjang AE = DE 2 + D A 2 = 32 + 42 = 5 kaki, oleh Pythagoras The-

orem. Sekarang sejak AB bersinggungan dengan bekas bulat, kita tahu bahawa

ABE adalah sudut tepat. Oleh itu, oleh Teorem Pythagoras kita ada

Dengan formula (4.4) lengkok SM mempunyai panjang MENJADI · θ, di mana θ = ∠ BEC adalah

makanan tambahan ∠ AED + ∠ AEB. Oleh itu sejak

θ = ∠ BEC = 180◦ − (∠ AED + ∠ AEB) = 180◦ − (53.1◦ + 66.4◦) = 60.5◦ .

Menukar kepada radian, kita dapat θ = π

L = 2( AB + · SM) = 2( 21 + MENJADI · θ) = 2 (21 + (2) (1.06)) = 13.4 kaki.

Panjang lengkok • Bahagian 4.2

Pusat dua katrol tali pinggang, masing-masing dengan jarak 5 cm dan 8 cm, berjarak 15 cm. Cari

panjang keseluruhan L tali pinggang di sekitar takal.

Penyelesaian: Dalam Rajah 4.2.4 kita melihat bahawa, secara simetri, L = 2 ( DE + EF + FG).

Tali pinggang tali pinggang dengan jari-jari 5 cm dan 8 cm

Pertama, di pusat B takal dengan jejari 8, lukis bulatan jejari 3, yang merupakan perbezaannya

di jejari kedua takal. Biarkan C menjadi titik di mana bulatan ini bersilang BF. Kemudian kita tahu bahawa

garis tangen AC ke bulatan yang lebih kecil ini berserenjang dengan segmen garis BF. Oleh itu, ∠ ACB ialah

sudut tepat, dan panjangnya AC adalah

oleh Teorem Pythagoras. Sekarang sejak AEEF dan EFCF dan CFAC, segiempat

AEFC mestilah segi empat tepat. Khususnya, EF = AC, begitu EF = 6 6.

Dengan formula (4.4) kita tahu bahawa DE = E A · ∠ D AE dan FG = BF · ∠ GBF, di mana sudut diukur dalam radian. Jadi memikirkan sudut dalam radian (menggunakan π rad = 180◦), kita lihat dari Rajah 4.2.4

D AE = π − ∠ E AC − ∠ BAC = π

Oleh itu, ∠ D AE = π 2 - 0,201 = 1,37 rad. Oleh itu sejak AE dan BF selari, kita mempunyai ∠ ABC = ∠ D AE =

1.37 rad. Oleh itu, ∠ GBF = π − ∠ ABC = π - 1,37 = 1,77 rad. Oleh itu,

L = 2 ( DE + EF + FG) = 2 (5 (1.37) + 6 6 + 8 (1.77)) = 71.41 cm.

Bab 4 • Langkah Radian

Untuk Latihan 1-4, cari panjang lengkok yang dipotong oleh sudut tengah yang diberikan θ dalam bulatan jejari r.

1. θ = 0.8 rad, r = 12 cm

2. θ = 171◦, r = 8 m

3. θ = π rad, r = 11 dalam

4. Sudut tengah dalam bulatan jejari 2 cm memotong lengkok panjang 4,6 cm. Apakah ukuran bagi

sudut dalam radian? Berapakah ukuran sudut dalam darjah?

5. Pusat dua katrol tali pinggang, dengan jari-jari masing-masing 3 inci dan 6 inci, adalah 13 inci

berjauhan. Cari jumlah panjang L tali pinggang di sekitar takal.

6. Pada Rajah 4.2.5 satu hujung batang besi 4 kaki dilekatkan pada pusat takal dengan jejari 0,5 kaki.

Hujung yang lain dilampirkan pada sudut 40◦ ke dinding, di tempat 6 kaki di atas hujung bawah dawai keluli

menyokong kotak. Hujung wayar yang lain keluar dari dinding tepat dari seberang

takal. Cari panjangnya L wayar dari dinding ke kotak.

7. Gambar 4.2.6 menunjukkan penyediaan yang sama seperti dalam Latihan 6 tetapi sekarang wayar keluar dari dinding 2 kaki di atas tempat rod dipasang. Cari panjangnya L wayar dari dinding ke kotak.

8. Cari jumlah panjang L dari angka lapan bentuk

9. Ulangi Latihan 8 tetapi dengan bulatan di A mempunyai-

dengan jejari 3 bukannya 2. ( Petunjuk: Lukis a

bulatan jejari 5 berpusat di A, kemudian lukiskan a

garis singgung ke bulatan itu dari B. )

10. Anggaplah bahawa dalam Rajah 4.2.7 garis-garis tidak melintang melintang tetapi melintasi lurus, seperti pada a

sistem takal tali pinggang. Cari jumlah panjang L dari bentuk yang dihasilkan.

11. Cari panjang kedua busur yang dipotong oleh kord panjang 3 dalam bulatan jejari 2.

12. Cari perimeter a dodecagon biasa (iaitu poligon 12 sisi dengan sisi sama panjang)

tertulis di dalam bulatan jejari 1. Bandingkan dengan lilitan bulatan.

Kawasan Sektor • Bahagian 4.3

Dalam geometri anda mengetahui bahawa luas bulatan jejari r adalah πr 2. Kami

sekarang akan belajar bagaimana mencari kawasan a sektor bulatan. Sektor adalah

kawasan yang dibatasi oleh sudut tengah dan lengkok yang dipintas, seperti

Biarkan θ menjadi sudut tengah dalam bulatan jejari r dan biarkan A jadilah kawasannya

sektor. Sama dengan panjang lengkok, nisbah A ke kawasan seluruh bulatan

sama dengan nisbah θ kepada satu revolusi. Dengan kata lain, sekali lagi menggunakan

Menyelesaikan untuk A dalam persamaan di atas, kita mendapat formula berikut:

Dalam bulatan jejari r, kawasan A sektor dalam sudut tengah θ adalah

A = 1 r 2 θ ,

di mana θ diukur dalam radian.

Cari luas sektor yang sudutnya π rad dalam bulatan jejari 4 cm.

Penyelesaian: Menggunakan θ = π dan r

= 4 dalam formula (4.5), luasnya A sektor ini adalah

A = 1 r 2 θ

Cari luas sektor yang sudutnya 117◦ dalam bulatan jejari 3.5 m.

Penyelesaian: Seperti panjang busur, kita harus memastikan bahawa sudut diukur dalam radian atau yang lain

jawapannya akan jauh. Jadi menukar θ = 117◦ untuk radian dan menggunakan r = 3.5 dalam formula (4.5) untuk kawasan tersebut A sektor ini, kita dapat

A = 1 r 2 θ = 1 (3.5) 2 (2.042) = 12.51 m2.

Untuk sektor yang sudutnya θ dalam bulatan jejari r, panjang busur yang dipotong oleh itu

sudut adalah s = r θ. Oleh itu, dengan formula (4.5) kawasan A sektor ini boleh ditulis sebagai: 3

Catatan: Sudut tengah θ yang memintas busur kadang-kadang disebut sudut lemah lembut

3Dalam beberapa teks formula ini diambil sebagai hasil daripada geometri dasar dan kemudian digunakan untuk membuktikan formula

Bab 4 • Langkah Radian

Cari luas sektor yang lengkoknya 6 cm dalam bulatan jejari 9 cm.

Penyelesaian: Menggunakan s = 6 dan r = 9 dalam formula (4.6) untuk kawasan tersebut A, kita mendapatkan

Perhatikan bahawa sudut yang dipelihara oleh busur adalah θ = s

Cari kawasan K di dalam sistem takal tali pinggang dari Contoh 4.7 dalam Bahagian 4.2.

Penyelesaian: Ingatlah bahawa takal tali pinggang mempunyai radius 5 cm dan 8 cm, dan pusatnya berjarak 15 cm.

Kami menunjukkan dalam Contoh 4.7 bahawa EF = AC = 6 6, ∠ D AE = 1.37 rad, dan ∠ GBF = 1.77 rad. Kami melihat dari Rajah 4.3.2 bahawa, secara simetri, luas keseluruhan K tertutup tali pinggang adalah dua kali luas di atas garisan DG, itu dia,

K = 2 ((Kawasan sektor D AE) + (Luas segi empat tepat AEFC)


Kalkulus Elemen

Buku teks ini merangkumi kalkulus pemboleh ubah tunggal, sesuai untuk kursus selama setahun (atau dua semester). Bab 1-5 merangkumi Kalkulus I, sementara Bab 6-9 merangkumi Kalkulus II. Buku ini direka untuk pelajar yang telah menamatkan kursus dalam aljabar, geometri, dan trigonometri sekolah menengah. Walaupun dirancang untuk pelajar kolej, ia juga dapat digunakan di sekolah menengah. Topik tradisional dibahas, tetapi idea lama tentang infinitesimal dibangkitkan semula, kerana kegunaannya (terutama dalam sains).


Sejarah


Ahli astronomi Sumeria mengkaji ukuran sudut, menggunakan pembahagian bulatan menjadi 360 darjah. & # 911 & # 93 Mereka, dan kemudian orang Babilonia, mengkaji nisbah sisi segitiga serupa dan menemui beberapa sifat nisbah ini, tetapi tidak mengubahnya menjadi kaedah sistematik untuk mencari sisi dan sudut segitiga. Orang Nubia kuno menggunakan kaedah yang serupa. & # 912 & # 93

Orang-orang kuno & # 160 orang Mesir & # 160and & # 160Babylonians & # 160dikenal dengan teorema pada nisbah sisi segi tiga yang serupa selama berabad-abad. Tetapi masyarakat pra-Hellenic tidak mempunyai konsep ukuran sudut dan akibatnya, sisi segitiga dipelajari sebagai gantinya, bidang yang lebih baik disebut "trilaterometri". & # 913 & # 93

Pada abad ke-3 SM, ahli matematik Hellenistik klasik (seperti Euclid dan Archimedes) mengkaji sifat kord dan sudut yang tertulis dalam bulatan, dan membuktikan teorema yang setara dengan formula trigonometri moden, walaupun mereka mengemukakannya secara geometri dan bukan algebra. Ahli matematik Hellenized Mesir & # 160 Claudius Ptolemy berkembang di Hipparchus ' Kord dalam Bulatan dalam dia Almagest. Β]

Fungsi sinus moden pertama kali didefinisikan dalam Surya Siddhanta, dan sifat-sifatnya didokumentasikan selanjutnya oleh ahli matematik dan astronomi India abad ke-5 (CE) Aryabhata. & # 915 & # 93 & # 160The Siddhantas dan juga Aryabhatiya mengandungi jadual nilai sinus paling awal yang masih ada dan nilai versine (1 & # 160 & # 8722 & # 160cosine), dalam selang 3.75 ° dari 0 ° hingga 90 °, hingga ketepatan 4 tempat perpuluhan. & # 916 & # 93

Karya-karya India diterjemahkan dan dikembangkan oleh ahli matematik Islam. Menjelang abad ke-10, & # 160dalam karya & # 160Abū al-Wafā 'al-Būzjānī, & # 160 ahli matematik Islam menggunakan semua enam fungsi trigonometri, & # 917 & # 93 & # 160had telah menjabarkan nilai-nilai mereka (Abu al-Wafa telah sinus jadual dalam kenaikan 0,25 °, hingga 8 tempat perpuluhan ketepatan, dan jadual nilai tangen tepat & # 917 & # 93), dan menerapkannya pada masalah dalam geometri sfera. & # 160Pada masa yang sama, & # 160China & # 160mathematicians juga menterjemahkan karya India dan mengembangkan bidang trigonometri mereka sendiri secara bebas, walaupun ia bukan bidang kajian utama bagi mereka. & # 160Pengetahuan mengenai fungsi dan kaedah trigonometri mencapai Eropah melalui terjemahan Latin karya astronomi Parsi dan Arab seperti Al Battani dan Nasir al-Din al-Tusi. & # 918 & # 93

Salah satu karya awal trigonometri oleh ahli matematik Eropah adalah De Triangulis oleh ahli matematik Jerman Regiomontanus abad ke-15. Trigonometri masih kurang diketahui di Eropah abad ke-16 sehingga Nicolaus Copernicus mengabdikan dua bab De Revolutionibus orbium coelestium untuk menerangkan konsep asasnya.


Trigonometri

Pelajar sekolah menengah dan kolej, yang telah menamatkan kursus sekolah menengah dalam aljabar dan geometri, harus bersedia untuk mengikuti kursus trigonometri dan menggunakan buku teks trigonometri dalam talian percuma ini. Ia ditulis oleh Michael Corral dari Schoolcraft College.

Corral percaya bahawa banyak buku trigonometri terlalu menekankan pada analisis. Karyanya dimulakan dengan pendekatan segitiga tepat & # 8220old-fashioned & # 8221 ke fungsi trigonometri yang menurutnya lebih mudah difahami oleh pelajar. Daripada berusaha memaksa hubungan antara & # 8220 dunia nyata & # 8221 aplikasi trigonometri, dia memfokuskan pada bagaimana matematik akan digunakan dalam kursus kemudian. Bagaimanapun, berapa banyak orang yang menggunakan protraktor untuk menentukan ketinggian pokok atau menentukan kelajuan roda Ferris.

Buku teks trigonometrinya diambil dari catatan kuliahnya dengan penambahan beratus masalah latihan. Dia menyertakan jawapan untuk masalah bernombor ganjil dan juga beberapa masalah genap. Apa yang saya fikir adalah idea bagus adalah bahawa untuk beberapa masalah, ia termasuk petunjuk. Sebagai contoh, satu latihan meminta pelajar membuktikan Teorem Cofunction. Dia memberikan petunjuk, dalam teks dan tidak berada di dekat kunci jawapan yang menggoda, & # 8220 lukis segitiga kanan dan labelkan sudut dan sisi. & # 8221


Buku serupa

Nota Trigonometri
oleh Steven Sy - Universiti Negeri Michigan
Dari jadual kandungan: Tinjauan Fungsi Rasional Fungsi Elemen Trigonometri Grafik Trigonometri Fungsi Trigonometrik Identiti Lanjutan Konsep Trigonometri Segitiga Trigonometri Jawapan Terpilih untuk Latihan.
(12941 pandangan) Unsur Trigonometri Pesawat
oleh Hugh Blackburn - Macmillan dan rakan sekerja
Trigonometri adalah sains hubungan berangka antara sisi dan sudut segitiga. Risalah ini bertujuan untuk menunjukkan bagaimana dari nilai yang diberikan dari beberapa sisi dan sudut segitiga untuk mengira semua yang lain.
(10184 pandangan) Trigonometri satah
oleh Arnold Dresden - John Wiley And Sons
Tidak ada usaha untuk melengkapkan logik yang telah dibuat, melainkan telah menjadi tujuan pengarang untuk menyesuaikan perlakuan dengan tahap perkembangan logik yang mungkin diharapkan dari siswa yang memulai studi trigonometri.
(3111 pandangan) Trigonometri satah dan sfera dalam tiga bahagian
oleh Henry Bedingfield Goodwin - Longmans, Green, dan Co.
Buku ini bertujuan untuk menjadi pengantar kepada kajian Navigasi dan Nautical Astronomy bagi para pegawai junior yang sedang menjalani latihan di H.M. Armada. Trigonometri satah teks, trigonometri sfera, dan contoh dalam penggunaan logaritma.
(10984 pandangan)

Kandungan

Ahli astronomi Sumeria mengkaji ukuran sudut, menggunakan pembahagian bulatan menjadi 360 darjah. [9] Mereka, dan kemudian orang Babilonia, mengkaji nisbah sisi segitiga serupa dan menemui beberapa sifat nisbah ini tetapi tidak mengubahnya menjadi kaedah sistematik untuk mencari sisi dan sudut segitiga. Orang Nubia kuno menggunakan kaedah yang serupa. [10]

Pada abad ke-3 SM, ahli matematik Hellenistik seperti Euclid dan Archimedes mengkaji sifat kord dan sudut bersisipan dalam bulatan, dan mereka membuktikan teorema yang setara dengan formula trigonometri moden, walaupun mereka mengemukakannya secara geometri dan bukan aljabar. Pada tahun 140 SM, Hipparchus (dari Nicaea, Asia Kecil) memberikan jadual akord pertama, setanding dengan jadual moden nilai sinus, dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah dalam trigonometri dan trigonometri sfera. [11] Pada abad ke-2 Masihi, ahli astronomi Greco-Mesir Ptolemy (dari Alexandria, Mesir) membina jadual trigonometri terperinci (jadual akord Ptolemy) dalam Buku 1, bab 11 Almagest. [12] Ptolemy menggunakan panjang akord untuk menentukan fungsi trigonometri-nya, perbezaan kecil dari konvensi sinus yang kita gunakan hari ini. [13] (Nilai yang kita sebut sin (θ) dapat dijumpai dengan melihat panjang kord untuk dua kali sudut minat (2θ) dalam jadual Ptolemy, dan kemudian membagi nilai itu dengan dua.) dihasilkan, dan risalah Ptolemy tetap digunakan untuk melakukan perhitungan trigonometri dalam astronomi sepanjang 1200 tahun ke depan di dunia Bizantium, Islam, dan, kemudian, dunia Eropah Barat.

Konvensyen sinus moden pertama kali dibuktikan dalam Surya Siddhanta, dan sifat-sifatnya didokumentasikan lebih lanjut oleh ahli matematik dan astronomi India abad ke-5 (AD) Aryabhata. [14] Karya Yunani dan India ini diterjemahkan dan dikembangkan oleh ahli matematik Islam abad pertengahan. Menjelang abad ke-10, ahli matematik Islam menggunakan keenam-enam fungsi trigonometri, telah menjabarkan nilainya, dan menerapkannya pada masalah dalam geometri sfera. [15] [16] Polimat Parsi Nasir al-Din al-Tusi telah digambarkan sebagai pencipta trigonometri sebagai disiplin matematik dengan sendirinya. [17] [18] [19] Nasīr al-Dīn al-Tūsī adalah yang pertama memperlakukan trigonometri sebagai disiplin matematik yang bebas dari astronomi, dan dia mengembangkan trigonometri sfera ke bentuknya sekarang. [20] Dia menyenaraikan enam kes berbeza segitiga bersudut tegak dalam trigonometri sfera, dan dalam bukunya Pada Rajah Sektor, dia menyatakan hukum sinus untuk segitiga satah dan bulat, menemukan hukum tangen untuk segitiga bulat, dan memberikan bukti bagi kedua undang-undang ini. [21] Pengetahuan mengenai fungsi dan kaedah trigonometri mencapai Eropah Barat melalui terjemahan Latin Ptolemy dari bahasa Yunani Almagest serta karya ahli astronomi Parsi dan Arab seperti Al Battani dan Nasir al-Din al-Tusi. [22] Salah satu karya awal trigonometri oleh ahli matematik Eropah utara adalah De Triangulis oleh ahli matematik Jerman Regiomontanus abad ke-15, yang didorong untuk menulis, dan diberikan salinan Almagest, oleh kardinal sarjana Yunani Byzantine, Basilios Bessarion yang dengannya dia tinggal selama beberapa tahun. [23] Pada masa yang sama, terjemahan lain dari Almagest dari bahasa Yunani ke bahasa Latin dilengkapkan oleh George Cretan dari Trebizond. [24] Trigonometri masih kurang diketahui di Eropah utara abad ke-16 sehingga Nicolaus Copernicus menumpukan dua bab De Revolutionibus orbium coelestium untuk menerangkan konsep asasnya.

Didorong oleh tuntutan navigasi dan keperluan yang semakin meningkat untuk peta tepat kawasan geografi yang besar, trigonometri berkembang menjadi cabang utama matematik. [25] Bartholomaeus Pitiscus adalah yang pertama menggunakan kata itu, menerbitkan bukunya Trigonometria pada tahun 1595. [26] Gemma Frisius menerangkan untuk pertama kalinya kaedah triangulasi yang masih digunakan hingga kini dalam tinjauan. Leonhard Euler yang menggabungkan nombor kompleks ke dalam trigonometri. Karya-karya ahli matematik Scotland James Gregory pada abad ke-17 dan Colin Maclaurin pada abad ke-18 berpengaruh dalam pengembangan siri trigonometri. [27] Juga pada abad ke-18, Brook Taylor mendefinisikan siri Taylor umum. [28]

Nisbah trigonometri adalah nisbah antara tepi segitiga kanan. Nisbah ini diberikan oleh fungsi trigonometri sudut yang diketahui berikut A, di mana a, b dan c rujuk panjang sisi dalam gambar yang disertakan:

  • Benar fungsi (sin), ditakrifkan sebagai nisbah sisi yang bertentangan dengan sudut ke hipotenus.
  • Kosinus fungsi (cos), didefinisikan sebagai nisbah kaki yang bersebelahan (sisi segitiga yang bergabung dengan sudut ke sudut kanan) ke hipotenus.
  • Tangen fungsi (tan), ditakrifkan sebagai nisbah kaki yang bertentangan dengan kaki yang berdekatan.

Hipotenus adalah sisi yang bertentangan dengan sudut 90 darjah di segitiga kanan ia adalah sisi terpanjang segitiga dan salah satu dari dua sisi bersebelahan dengan sudut A. The kaki bersebelahan adalah sisi lain yang bersebelahan dengan sudut A. The seberang adalah sisi yang bertentangan dengan sudut A. Terma tegak lurus dan pangkalan kadang-kadang digunakan untuk sisi yang bertentangan dan bersebelahan masing-masing. Lihat di bawah di bawah Mnemonics.

Oleh kerana ada dua segitiga tepat dengan sudut akut yang sama A serupa, [29] nilai nisbah trigonometri hanya bergantung pada sudut A.

Kebalikan dari fungsi ini dinamakan cosecant (csc), sekeping (saat), dan kotangen (katil bayi) masing-masing:

Kosinus, cotangent, dan cosecant dinamakan demikian kerana masing-masing sinus, tangen, dan penahan sudut pelengkap disingkat menjadi "co-". [30]

Dengan fungsi-fungsi ini, seseorang dapat menjawab hampir semua pertanyaan tentang segitiga sewenang-wenang dengan menggunakan hukum sinus dan hukum kosinus. [31] Undang-undang ini dapat digunakan untuk menghitung sudut dan sisi segitiga yang tersisa setelah dua sisi dan sudut yang disertakan atau dua sudut dan sisi atau tiga sisi diketahui.

Mnemonik

Penggunaan mnemonik yang biasa adalah untuk mengingat fakta dan hubungan dalam trigonometri. Sebagai contoh, sinus, kosinus, dan tangen nisbah dalam segitiga kanan dapat diingat dengan mewakili mereka dan sisi yang sesuai sebagai rentetan huruf. Sebagai contoh, mnemonic adalah SOH-CAH-TOA: [32]

Sine = Opposit ÷ Hypotenuse Cosine = Aberdekatan ÷ Hypotenuse Tsudut = Opposit ÷ Abersebelahan

Salah satu cara untuk mengingat huruf adalah dengan membunyikannya secara fonetik (iaitu, SOH-CAH-TOA, yang diucapkan 'so-ka-jari kaki-uh '/ s oʊ k æ ˈ t oʊ ə /). Kaedah lain adalah memperluas huruf menjadi ayat, seperti "Sya Old Hippie Csemestinya Another Hippie Trippin ' On Acid ". [33]

Lingkaran unit dan nilai trigonometri biasa

Nisbah trigonometri juga dapat diwakili menggunakan lingkaran satuan, yang merupakan lingkaran jejari 1 yang berpusat pada titik asal dalam satah. [34] Dalam tetapan ini, sisi sudut bersudut A diletakkan dalam kedudukan standard akan memotong bulatan unit pada titik (x, y), di mana x = cos ⁡ A < displaystyle x = cos A> dan y = sin ⁡ A < displaystyle y = sin A>. [34] Perwakilan ini memungkinkan untuk mengira nilai trigonometri yang biasa dijumpai, seperti dalam jadual berikut: [35]

Dengan menggunakan bulatan unit, seseorang dapat memperluas definisi nisbah trigonometri ke semua argumen positif dan negatif [36] (lihat fungsi trigonometri).

Grafik fungsi trigonometri

Jadual berikut meringkaskan sifat grafik dari enam fungsi trigonometri utama: [37] [38]

Fungsi Tempoh Domain Julat Grafik
sinus 2 π ( − ∞ , ∞ ) [ − 1 , 1 ]
kosinus 2 π ( − ∞ , ∞ ) [ − 1 , 1 ]
tangen π x ≠ π / 2 + n π < displaystyle x neq pi / 2 + n pi> ( − ∞ , ∞ )
sekeping 2 π x ≠ π / 2 + n π < displaystyle x neq pi / 2 + n pi> ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , ∞ )
cosecant 2 π x ≠ n π ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , ∞ )
cotangent π x ≠ n π ( − ∞ , ∞ )

Fungsi trigonometri terbalik

Kerana enam fungsi trigonometri utama adalah berkala, mereka tidak suntikan (atau, 1 hingga 1), dan dengan itu tidak dapat dibalikkan. Walau bagaimanapun, dengan menyekat domain fungsi trigonometri, ia dapat dibuat secara terbalik. [39]: 48 jam

Nama-nama fungsi trigonometri terbalik, bersama dengan domain dan julatnya, terdapat dalam jadual berikut: [39]: 48ff [40]: 521ff

Perwakilan siri kuasa

Apabila dianggap sebagai fungsi pemboleh ubah nyata, nisbah trigonometri dapat ditunjukkan oleh rangkaian yang tidak terbatas. Sebagai contoh, sinus dan kosinus mempunyai perwakilan berikut: [41]

Dengan definisi ini fungsi trigonometri dapat ditentukan untuk nombor kompleks. [42] Apabila diperluas sebagai fungsi pemboleh ubah nyata atau kompleks, formula berikut berlaku untuk eksponen kompleks:

Fungsi eksponen kompleks ini, ditulis dalam bentuk fungsi trigonometri, sangat berguna. [43] [44]

Mengira fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri adalah antara penggunaan terawal untuk jadual matematik. [45] Jadual seperti itu digabungkan ke dalam buku teks matematik dan pelajar diajar untuk mencari nilai dan bagaimana menginterpolasi antara nilai yang disenaraikan untuk mendapatkan ketepatan yang lebih tinggi. [46] Peraturan slaid mempunyai skala khas untuk fungsi trigonometri. [47]

Kalkulator saintifik mempunyai butang untuk mengira fungsi trigonometri utama (sin, cos, tan, dan kadang-kadang cis dan kebalikannya). [48] ​​Sebilangan besar membenarkan pilihan kaedah pengukuran sudut: darjah, radian, dan kadang-kadang gradian. Sebilangan besar bahasa pengaturcaraan komputer menyediakan perpustakaan fungsi yang merangkumi fungsi trigonometri. [49] Perkakasan unit titik terapung yang dimasukkan ke dalam cip mikropemproses yang digunakan di kebanyakan komputer peribadi mempunyai arahan terbina dalam untuk mengira fungsi trigonometri. [50]

Fungsi trigonometri lain

Astronomi

Selama berabad-abad, trigonometri sfera telah digunakan untuk mencari kedudukan matahari, bulan, dan bintang, [53] meramalkan gerhana, dan menggambarkan orbit planet-planet. [54]

Pada zaman moden, teknik triangulasi digunakan dalam astronomi untuk mengukur jarak ke bintang-bintang berdekatan, [55] dan juga dalam sistem navigasi satelit. [16]

Navigasi

Dari segi sejarah, trigonometri telah digunakan untuk mencari garis lintang dan garis bujur kapal layar, merancang plot, dan mengira jarak semasa navigasi. [56]

Trigonometri masih digunakan dalam navigasi melalui cara seperti Sistem Penentududukan Global dan kecerdasan buatan untuk kenderaan autonomi. [57]

Meninjau

Dalam tinjauan tanah, trigonometri digunakan dalam pengiraan panjang, luas, dan sudut relatif antara objek. [58]

Pada skala yang lebih besar, trigonometri digunakan dalam geografi untuk mengukur jarak antara mercu tanda. [59]

Fungsi berkala

Fungsi sinus dan kosinus adalah asas kepada teori fungsi berkala, [60] seperti fungsi yang menggambarkan gelombang bunyi dan cahaya. Fourier mendapati bahawa setiap fungsi berkala yang berterusan dapat digambarkan sebagai jumlah fungsi trigonometri yang tidak terbatas.

Malah fungsi bukan berkala dapat diwakili sebagai gabungan sinus dan kosinus melalui transformasi Fourier. Ini mempunyai aplikasi untuk mekanik kuantum [61] dan komunikasi, [62] antara bidang lain.

Optik dan akustik

Trigonometri berguna dalam banyak sains fizikal, [63] termasuk akustik, [64] dan optik. [64] Di daerah ini, mereka digunakan untuk menggambarkan gelombang suara dan cahaya, dan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sempadan dan transmisi. [65]

Aplikasi lain

Trigonometri telah diperhatikan kerana banyak identitinya, iaitu persamaan yang berlaku untuk semua input yang mungkin. [80]

Identiti yang hanya melibatkan sudut dikenali sebagai identiti trigonometri. Persamaan lain, dikenali sebagai identiti segitiga, [81] mengaitkan sisi dan sudut segitiga tertentu.

Identiti segitiga

Dalam identiti berikut, A, B dan C ialah sudut segitiga dan a, b dan c ialah panjang sisi segitiga bertentangan dengan sudut masing-masing (seperti yang ditunjukkan dalam rajah). [82]

Undang-undang sinus

The undang-undang sinus (juga dikenali sebagai "peraturan sinus") untuk segitiga sewenang-wenang menyatakan: [83]

Undang-undang kosinus

The undang-undang kosinus (dikenali sebagai formula kosinus, atau "peraturan cos") adalah lanjutan dari teorema Pythagoras kepada segitiga sewenang-wenang: [83]

Hukum tangen

The undang-undang tangen, dikembangkan oleh François Viète, adalah alternatif kepada Hukum Cosines ketika menyelesaikan sisi segitiga yang tidak diketahui, memberikan pengiraan yang lebih mudah ketika menggunakan jadual trigonometri. [84] Ia diberikan oleh:

Diberikan dua sisi a dan b dan sudut antara sisi C, luas segitiga diberikan oleh separuh produk dari panjang dua sisi dan sinus sudut antara kedua sisi: [83]

Formula Heron adalah kaedah lain yang boleh digunakan untuk mengira luas segitiga. Formula ini menyatakan bahawa jika segitiga mempunyai sisi panjang a, b, dan c, dan jika semiperimeter adalah

maka luas segitiga adalah: [85]

di mana R adalah jejari lingkaran bulat segitiga.

Identiti trigonometri

Identiti Pythagoras

Identiti trigonometri berikut berkaitan dengan teorema Pythagoras dan bertahan untuk sebarang nilai: [86]


Persamaan kedua dan ketiga berasal dari membagi persamaan pertama dengan cos 2 ⁡ A < displaystyle cos ^ <2>> dan sin 2 ⁡ A < displaystyle sin ^ <2>>, masing-masing.

Formula Euler

Formula Euler, yang menyatakan bahawa e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x < displaystyle e ^= cos x + i sin x>, menghasilkan identiti analitis berikut untuk sinus, kosinus, dan tangen dari segi e dan unit khayalan i:

Identiti trigonometri lain

Identiti trigonometri lain yang biasa digunakan merangkumi identiti sudut setengah, identiti jumlah dan perbezaan sudut, dan identiti produk hingga jumlah. [29]


Trigonometri oleh Michael Corral - Pratonton HTML

menggunakan ada segi tiga tepat yang mempunyai A sebagai salah satu sudut.

Oleh kerana kami menentukan fungsi trigonometri dari segi nisbah sisi, anda boleh berfikir

unit pengukuran bagi sisi tersebut sebagai membatalkan nisbah tersebut. Ini bermaksud

itu nilai fungsi trigonometri adalah nombor tanpa unit. Jadi ketika Amerika

pelajar mengira 3/5 sebagai nilai dosa A dalam Contoh 1.5, itu sama dengan 3/5 itu

pelajar Jerman itu mengira, walaupun terdapat perbezaan unit untuk panjang sisi.

Cari nilai keenam-enam fungsi trigonometri 45◦.

Penyelesaian: Oleh kerana kita mungkin menggunakan segitiga tepat yang mempunyai 45◦ sebagai salah satu

sudut, gunakan yang paling sederhana: ambil petak yang sisinya sepanjang 1 unit dan

bahagikannya menjadi separuh menyerong, seperti pada gambar di sebelah kanan. Sejak kedua kaki

segitiga △ ABC mempunyai panjang yang sama, △ ABC adalah segitiga isosceles,

yang bermaksud bahawa sudut A dan B sama. Oleh itu sejak A + B = 90◦, ini

bermaksud bahawa kita mesti ada A = B = 45◦. Oleh Teorema Pythagoras, the

panjang c hipotenus diberikan oleh

Oleh itu, menggunakan sudut A kita mendapatkan:

Perhatikan bahawa kami akan memperoleh jawapan yang sama jika kami menggunakan segitiga tepat yang serupa dengan

ABC. Contohnya, jika kita mengalikan setiap sisi △ ABC oleh

2, maka kita akan mempunyai yang serupa

segi tiga dengan kaki panjang

2 dan hipotenuse panjang 2. Ini akan memberi kita dosa 45◦ = 2, yang

= 1 seperti sebelumnya. Perkara yang sama berlaku untuk fungsi lain.

3Kami akan menggunakan notasi AB untuk menunjukkan panjang segmen garis AB.

Bab 1 • Trigonometri Segi Tiga Kanan

Cari nilai keenam-enam fungsi trigonometri 60◦.

Penyelesaian: Oleh kerana kita mungkin menggunakan segitiga tepat yang mempunyai 60◦ sebagai salah satu

sudut, kita akan menggunakan yang sederhana: ambil segitiga yang sisinya semuanya 2

unit panjang dan bahagikannya menjadi dua dengan menarik bahagian dua dari satu bucu ke

sisi yang bertentangan, seperti pada gambar di sebelah kanan. Sejak segitiga asal

adalah seorang segi tiga sama sisi (iaitu ketiga-tiga sisi mempunyai panjang yang sama), itu

tiga sudut semuanya sama, iaitu 60◦. Ingat dari dasar sekolah-

ometry bahawa pembagi dari sudut bucu segitiga sama sisi

ke sisi bertentangan membelah kedua sudut bucu dan sisi bertentangan. Jadi

seperti pada gambar di sebelah kanan, segitiga

ABC mempunyai sudut A = 60◦ dan

sudut B = 30◦, yang memaksa sudut C menjadi 90◦. Oleh itu, △ ABC adalah hak

segi tiga. Kami melihat bahawa hipotenus mempunyai panjang c = AB = 2 dan kaki AC mempunyai panjang b = AC = 1.

Oleh Teorema Pythagoras, panjangnya a dari kaki SM diberikan oleh

a 2 + b 2 = c 2

Oleh itu, menggunakan sudut A kita mendapatkan:

Perhatikan bahawa, sebagai bonus, kita mendapatkan nilai dari keenam-enam fungsi trigonometri 30◦, dengan menggunakan sudut

B = 30◦ dalam segitiga yang sama △ ABC atas:

A adalah sudut akut sehingga dosa A = 2. Cari nilai trigonometri yang lain

Penyelesaian: Secara amnya dapat melukis segitiga tepat untuk menyelesaikan masalah ini

menaip. Sebabnya ialah fungsi trigonometri didefinisikan dalam istilah

nisbah sisi segitiga kanan, dan anda diberi satu fungsi seperti itu (sinus,

dalam kes ini) sudah dari segi nisbah: dosa A = 2. Sejak dosa A ditakrifkan sebagai

sebaliknya, gunakan 2 sebagai panjang sisi yang bertentangan A dan gunakan 3 sebagai panjang hipotenus di a

segi tiga tepat △ ABC (lihat gambar di atas), sehingga dosa A = 2. Bahagian bersebelahan dengan A telah tidak diketahui

panjang b, tetapi kita boleh menggunakan Teorema Pythagoras untuk mencarinya:

Fungsi Trigonometri Sudut Akut • Bahagian 1.2

Kita sekarang tahu panjang semua sisi segitiga △ ABC, jadi kami mempunyai:

Anda mungkin telah memperhatikan hubungan antara sinus dan kosinus, berpisah dan cosecant,

dan tangen dan kotangen sudut pelengkap dalam Contoh 1.5 dan 1.7. Menghuraikan contoh-contoh tersebut memberi kita teorema berikut:

Teorem 1.2. Teorema Peluang: Sekiranya A dan B adalah sudut akut pelengkap di a

segi tiga tepat △ ABC, maka hubungan berikut berlaku:

Kami mengatakan bahawa pasangan fungsi , , dan adalah gabungan.

Jadi sinus dan kosinus adalah kofungsi, sekatan dan kosenan adalah kofungsi, dan tangen dan

cotangent adalah kofungsi. Itulah bagaimana fungsi kosinus, kosecan, dan kotangen mendapat

"Co" dalam nama mereka. Teorema Cofunction mengatakan bahawa sebarang fungsi trigonometri suatu

sudut akut sama dengan fungsi sudut pelengkap.

Tuliskan setiap nombor berikut sebagai fungsi trigonometri dengan sudut kurang dari 45◦: (a) dosa 65◦

(b) cos 78◦ (c) tan 59◦.

Penyelesaian: (a) Pelengkap 65◦ adalah 90◦ - 65◦ = 25◦ dan fungsi dosa adalah kos, oleh itu

Teorema Pegunaan kita tahu bahawa dosa 65◦ = cos 25◦.

(b) Pelengkap 78◦ adalah 90◦ - 78◦ = 12◦ dan fungsi cos adalah sin, jadi cos 78◦ = sin 12◦.

(c) Pelengkap 59◦ ialah 90◦ - 59◦ = 31◦ dan padu tan adalah katil bayi, jadi tan 59◦ = katil 31◦.

Dua segitiga kanan am (mana-mana a & gt 0)

Sudut 30◦, 45◦, dan 60◦ sering timbul dalam aplikasi. Kita boleh menggunakan Pythagoras

Teorema untuk menggeneralisasikan segitiga tepat pada Contoh 1.6 dan 1.7 dan melihat apa ada 45 −

Segitiga kanan 45 - 90 dan 30 - 60 - 90 kelihatan seperti pada Rajah 1.2.2 di atas.

Bab 1 • Trigonometri Segi Tiga Kanan

Cari sinus, kosinus, dan tangen 75◦.

Penyelesaian: Sejak 75◦ = 45◦ + 30◦, letakkan segi tiga tepat 30−60-90

ADB dengan kaki panjang

3 dan 1 di atas hipotenus

segitiga tepat 45 - 45 - 90 △ ABC yang hypotenuse mempunyai

3, seperti dalam gambar di sebelah kanan. Dari Rajah 1.2.2 (a) kita

ketahui bahawa panjang setiap kaki △ ABC ialah panjang

2. Oleh itu AC = SM = 3 =

tegak lurus kepada AC, supaya △ ADE adalah segi tiga tepat. Sejak

BAC = 45◦ dan ∠ D AB = 30◦, kita melihat bahawa ∠ D AE = 75◦ sejak

ia adalah jumlah dua sudut tersebut. Oleh itu, kita perlu mencari sinus,

kosinus, dan tangen ∠ D AE.

Perhatikan bahawa ∠ ADE = 15◦, kerana ia adalah pelengkap ∠ D AE.

Dan ∠ ADB = 60◦, kerana ia adalah pelengkap ∠ D AB. Lukis

BF tegak lurus kepada DE, supaya △ DFB adalah segi tiga tepat.

Kemudian ∠ BDF = 45◦, kerana ia adalah perbezaan ∠ ADB = 60◦ dan

ADE = 15◦. Juga, ∠ DBF = 45◦ kerana ia adalah pelengkap dari

BDF. Hipotenus BD daripada △ DFB mempunyai panjang 1 dan △ DFB

adalah segitiga tepat 45 - 45 - 90, jadi kita tahu bahawa DF = FB = 1 .

Sekarang, kita tahu bahawa DEAC dan SMAC, begitu FE dan SM selari. Begitu juga, FB dan SPR kedua-duanya berserenjang dengan DE dan oleh itu FB selari dengan SPR. Oleh itu, FBCE adalah segi empat tepat, kerana ∠ SM

adalah sudut tepat. Jadi SPR = FB = 1 dan FE = SM =

DE = DF + FE = 1 +

AE = ACSPR =

Catatan: Mengambil timbal balik, kami mendapat csc 75◦ =

Untuk Latihan 1-10, cari nilai keenam-enam fungsi trigonometri

sudut A dan B pada segi tiga tepat △ ABC dalam Rajah 1.2.3.

1. a = 5, b = 12, c = 13

2. a = 8, b = 15, c = 17

3. a = 7, b = 24, c = 25

4. a = 20, b = 21, c = 29

5. a = 9, b = 40, c = 41

6. a = 1, b = 2, c = 5

7. a = 1, b = 3

8. a = 2, b = 5

9. a = 5, c = 6

10. b = 7, c = 8

Untuk Latihan 11-18, cari nilai lima fungsi trigonometri sudut akut yang lain A

diberi nilai yang ditunjukkan dari salah satu fungsi.

Fungsi Trigonometri Sudut Akut • Bahagian 1.2

Untuk Latihan 19-23, tulis nombor yang diberi sebagai fungsi trigonometri sudut akut kurang daripada

Untuk Latihan 24-28, tulis nombor yang diberi sebagai fungsi trigonometri dengan sudut akut lebih besar

29. Dalam Contoh 1.7 kami dapati nilai-nilai keenam-enam fungsi trigonometri 60◦ dan 30◦.

(a) Adakah sin 30◦ + sin 30◦ = sin 60◦?

(b) Adakah cos 30◦ + cos 30◦ = cos 60◦?

(c) Adakah tan 30◦ + tan 30◦ = tan 60◦?

(d) Adakah 2 sin 30◦ cos 30◦ = sin 60◦?

30. Untuk sudut akut A, boleh berdosa A lebih besar daripada 1? Terangkan jawapan anda.

31. Untuk sudut akut A, boleh cos A lebih besar daripada 1? Terangkan jawapan anda.

32. Untuk sudut akut A, boleh berdosa A lebih besar daripada tan A? Terangkan jawapan anda.

33. Sekiranya A dan B adalah sudut akut dan A & lt B, terangkan mengapa dosa A & Dosa B.

34. Sekiranya A dan B adalah sudut akut dan A & lt B, terangkan mengapa cos A & gt cos B.

35. Buktikan Teorem Kefungsi (Teorema 1.2). ( Petunjuk: Lukis segitiga tepat dan labelkan sudut

36. Gunakan Contoh 1.10 untuk mencari keenam-enam fungsi trigonometri 15◦.

37. Dalam Rajah 1.2.4, CB ialah diameter bulatan dengan jejari

2 cm dan tengah O, △ ABC ialah segitiga tepat, dan CD

(a) Cari dosa A. ( Petunjuk: Gunakan Teorema Thales. )

(b) Cari panjang AC.

(c) Cari panjang IKLAN.

(d) Rajah 1.2.4 dilukis mengikut skala. Gunakan protraktor untuk

ukur sudut A, kemudian gunakan kalkulator anda untuk mencari

sinus dari sudut itu. Adakah hasil kalkulator hampir dengan

Catatan: Pastikan kalkulator anda berada dalam mod darjah.

38. Dalam Latihan 37, sahkan bahawa kawasan △ ABC sama dengan 1 AB

· CD. Mengapa ini masuk akal?

39. Dalam Latihan 37, sahkan bahawa kawasan △ ABC sama dengan 1 AB

40. Dalam Latihan 37, sahkan bahawa kawasan △ ABC sama dengan 1 ( SM) 2 katil bayi A.

Bab 1 • Trigonometri Segi Tiga Kanan

1.3 Aplikasi dan Menyelesaikan Segi Tiga Kanan

Sepanjang perkembangan awalnya, trigonometri sering digunakan sebagai alat pengukuran tidak langsung

suruhan, mis. menentukan jarak atau panjang yang besar dengan menggunakan ukuran sudut dan

jarak kecil, yang diketahui. Hari ini, trigonometri digunakan secara meluas dalam fizik, astronomi, jurutera-

ing, navigasi, tinjauan, dan pelbagai bidang matematik dan disiplin lain. Di dalam ini

bahagian kita akan melihat beberapa cara trigonometri dapat diaplikasikan. Kalkulator anda

harus berada dalam mod darjah untuk contoh-contoh ini.

Seseorang berjarak 150 kaki dari tiang bendera dan mengukur sebuah sudut ketinggian dari 32◦ dari miliknya

garis penglihatan mendatar ke bahagian atas tiang bendera. Anggap bahawa mata orang itu adalah jarak menegak

6 kaki dari tanah. Berapakah ketinggian tiang bendera?

Penyelesaian: Gambar di sebelah kanan menerangkan keadaan. Kami melihatnya

ketinggian tiang bendera adalah h + 6 kaki, di mana

h = 150 tan 32◦ = 150 (0.6249) = 94.

Bagaimana kita tahu bahawa tan 32◦ = 0.6249? Dengan menggunakan kalkulator. Dan

kerana tidak ada nombor yang diberi nombor perpuluhan, kami membundarkan

bagi jawapan untuk h kepada bilangan bulat terdekat. Oleh itu, ketinggian tiang bendera adalah h +6 = 94 + 6 = 100 kaki.

Seseorang yang berdiri 400 kaki dari dasar gunung mengukur sudut ketinggian dari tanah

ke puncak gunung menjadi 25◦. Orang itu kemudian berjalan kaki lurus sejauh 500 kaki dan mengukur

sudut ketinggian sekarang ialah 20◦. Berapa tinggi gunung itu?

Penyelesaian: Kami akan menganggap bahawa tanah rata dan tidak

berpaut relatif dengan dasar gunung. Biarkan h menjadi ketinggian

gunung, dan biarkan x jarak dari pangkalan

gunung ke titik betul-betul di bawah puncak gunung-

tain, seperti dalam gambar di sebelah kanan. Kemudian kita melihatnya

h = ( x + 400) tan 25◦, dan

h = ( x + 900) tan 20◦, jadi

( x + 400) tan 25◦ = ( x + 900) tan 20◦, kerana keduanya sama h. Gunakan persamaan itu untuk menyelesaikannya x:

x tan 25◦ - x tan 20◦ = 900 tan 20◦ - 400 tan 25◦

Akhirnya, ganti x menjadi formula pertama untuk h untuk mendapatkan ketinggian gunung:

h = (1378 + 400) tan 25◦ = 1778 (0.4663) = 829 kaki

Aplikasi dan Menyelesaikan Segi Tiga Kanan • Bahagian 1.3

Blimp 4280 kaki di atas tanah mengukur sebuah sudut kemurungan 24◦ dari garis mendatarnya

pandangan ke pangkal rumah di tanah. Dengan andaian tanah rata, sejauh mana sepanjang jalan

tanah adalah rumah dari tempat simpanan?

Penyelesaian: Biarkan x jadilah jarak sepanjang tanah dari tempat simpanan

ke rumah, seperti dalam gambar di sebelah kanan. Sejak tanah dan

garis pandangan mendatar blimp adalah selari, kita tahu dari sekolah rendah

geometri bahawa sudut ketinggian θ dari pangkal rumah ke

blimp sama dengan sudut kemurungan dari blimp ke

pangkalan rumah, iaitu θ = 24◦. Oleh itu,

Seorang pemerhati di puncak gunung 3 batu di atas permukaan laut mengukur sudut kemurungan 2.23◦

ke ufuk laut. Gunakan ini untuk mengira jejari bumi.

Penyelesaian: Kita akan menganggap bahawa bumi adalah sfera.4 Biarkan r menjadi

jejari bumi. Biarkan maksudnya A mewakili bahagian atas

gunung, dan biarkan H jadilah cakrawala lautan dalam pandangan dari

A, seperti dalam Rajah 1.3.1. Biarkan O jadilah pusat bumi, dan biarkan B

menjadi titik pada garis pandangan mendatar dari A (iaitu di talian

tegak lurus kepada Wahai A). Biarkan θ menjadi sudut ∠ AOH.

Sejak A adalah 3 batu di atas permukaan laut, kita ada Wahai A = r + 3. Juga,

OH = r. Sekarang sejak ABOA, kita ada ∠ OAB = 90◦, jadi kita lihat

bahawa ∠ OH = 90◦ - 2.23◦ = 87.77◦. Kami melihat bahawa garis melalui A

dan H adalah garis singgung ke permukaan bumi (mempertimbangkan

permukaan sebagai bulatan jejari r melalui H seperti dalam gambar). Jadi

oleh Latihan 14 dalam Bahagian 1.1, AHOH dan oleh itu ∠ OH A = 90◦.

Sejak sudut dalam segitiga △ OH tambah hingga 180◦, kita ada

θ = 180◦ - 90◦ - 87.77◦ = 2.23◦. Oleh itu,

jadi penyelesaian untuk r kita mendapatkan

r = ( r + 3) kos 2.23◦

rr cos 2.23◦ = 3 kos 2.23◦

Catatan: Jawapan ini sangat dekat dengan radius bumi (rata-rata) 3956.6 batu.

4Tentu saja ia tidak berbentuk sfera dengan sempurna. Bumi adalah sebuah elipsoid, berbentuk telur, dengan diperhatikan elips

1/297 (sfera mempunyai elips 0). Lihat ms 26-27 dalam W.H. MUNK DAN G.J.F MACDONALD, Putaran

Bumi: Perbincangan Geofizik, London: Cambridge University Press, 1960.

Bab 1 • Trigonometri Segi Tiga Kanan

Sebagai aplikasi trigonometri lain untuk astronomi, kita akan menemui jaraknya

dari bumi ke matahari. Biarkan O menjadi pusat bumi, biarkan A menjadi titik

di khatulistiwa, dan biarkan B mewakili objek (mis. bintang) di ruang angkasa, seperti di

gambar di sebelah kanan. Sekiranya bumi diposisikan sedemikian rupa sehingga sudut

OAB = 90◦, maka kita katakan bahawa sudut α = ∠ OBA adalah paralaks khatulistiwa

objek. Paralaks khatulistiwa matahari telah diperhatikan

hampir α = 0.00244◦. Gunakan ini untuk mengira jarak dari pusat

Penyelesaian: Biarkan B jadilah kedudukan matahari. Kami mahu mencari panjangnya OB.

Kami akan menggunakan jejari bumi yang sebenarnya, yang disebutkan di akhir Contoh

1.14, untuk mendapatkan Wahai A = 3956.6 batu. Sejak ∠ OAB = 90◦, kita ada

jadi jarak dari pusat bumi ke matahari adalah kira-kira 93 juta batu.

Catatan: Orbit bumi di sekitar matahari adalah elips, jadi jarak sebenar ke matahari berbeza-beza.

Dalam contoh di atas kami menggunakan sudut yang sangat kecil (0,00244◦). Ijazah boleh dibahagikan kepada

unit yang lebih kecil: a minit adalah satu-enam puluh darjah, dan a kedua adalah satu-enam puluh satu minit.

Simbol untuk satu minit adalah ′ dan simbol untuk sesaat adalah ′ ′. Contohnya, 4.5◦ = 4◦ 30 ′. Dan

Dalam Contoh 1.15 kami menggunakan α = 0.00244◦ ◦ 8.8 ′ ′, yang kami sebutkan hanya kerana beberapa sudut

alat pengukuran menggunakan minit dan saat.

Seorang pemerhati di bumi mengukur sudut 32 ′ 4 ′ ′ dari yang kelihatan

tepi matahari ke tepi yang lain (bertentangan), seperti dalam gambar di

betul. Gunakan ini untuk mengira jejari cahaya matahari.

Penyelesaian: Biarkan maksudnya E jadilah bumi dan biarkan S menjadi pusat

matahari. Garis pandangan pemerhati ke tepi cahaya yang dapat dilihat

adalah garis singgung ke permukaan matahari di titik A dan B. Oleh itu,

E SEBAGAI = ∠ EBS = 90◦. Jejari matahari sama dengan SEBAGAI. Dengan jelas SEBAGAI = BS. Oleh itu sejak EB = E A (mengapa?), segitiga △ E SEBAGAI dan △ EBS serupa. Oleh itu, ∠ AES = ∠ BES = 1

Sekarang, ES adalah jarak dari permukaan bumi (di mana pemerhati berdiri) ke pusat-

terik matahari. Dalam Contoh 1.15 kami menjumpai jarak dari pusat bumi ke matahari

menjadi 92, 908, 394 batu. Oleh kerana kita memperlakukan matahari dalam contoh itu sebagai titik, maka kita dibenarkan

mengira jarak itu sebagai jarak antara pusat bumi dan matahari. Jadi ES =

92908394 - radius bumi = 92908394 - 3956.6 = 92904437.4 batu. Oleh itu,

SEBAGAI = ES sin 0.26722◦ = (92904437.4) sin 0.26722◦ = 433.293 batu.

Catatan: Jawapan ini hampir dengan radius (rata-rata) matahari 432, 200 batu.

Aplikasi dan Menyelesaikan Segi Tiga Kanan • Bahagian 1.3

Anda mungkin menyedari bahawa penyelesaian untuk contoh yang telah kami tunjukkan memerlukan sekurang-kurangnya

satu segi tiga tepat. Dalam masalah yang berlaku, tidak semestinya jelas segitiga yang tepat

gunakan, itulah sebabnya masalah seperti ini boleh menjadi sukar. Selalunya tidak ada segi tiga tepat

segera terbukti, jadi anda perlu membuatnya. Tidak ada strategi umum untuk ini,

tetapi ingat bahawa segi tiga tepat memerlukan sudut yang tepat, jadi cari tempat di mana anda boleh

membentuk segmen garis tegak lurus. Apabila masalah mengandungi bulatan, anda boleh membuat betul

sudut dengan menggunakan tegak lurus garis singgung ke bulatan pada titik5 dengan garis

yang bergabung dengan titik ke tengah bulatan. Kami melakukan perkara yang tepat dalam Contoh 1.14, 1.15,

Gambarajah alat mesin di sebelah kanan menunjukkan simetri Sekatan V,

di mana satu roller bulat duduk di atas roller bulat yang lebih kecil.

Setiap roller menyentuh kedua sisi blok V yang condong. Cari di-

ameter d roller besar, diberi maklumat dalam rajah.

Penyelesaian: Diameternya d dari roller besar adalah dua kali jejari


Buku: Elementary Trigonometry (Corral) - Matematik

Mata pelajaran matematik sekolah menengah

Buku teks standard AS yang digunakan oleh sekolah banyak diejek, walaupun saya memberikan pautan ke beberapa dari mereka di bahagian bawah dokumen ini. Saya telah memberi tumpuan kepada alternatif lain di sini. Saya mulakan dengan Pra-Aljabar (pada dasarnya gambaran keseluruhan satu tahun untuk semua matematik yang diharapkan dapat dikuasai sebelum memulakan aljabar) kerana, walaupun biasanya tidak dianggap sebagai peringkat sekolah menengah, ini adalah kursus pertama yang mempunyai banyak buku teks gaya dewasa kepadanya.

Siri yang merangkumi semua mata pelajaran

Lihat di bawah untuk maklumat lebih lanjut mengenai perkara ini.

  • Seni Menyelesaikan Masalah (Di AoPS)
  • OpenStax
  • Matematik Jepun (terjemahan dari University of Chicago) http://ucsmp.uchicago.edu/resources/translations/
  • Seni Penyelesaian Masalah: Algebra
  • Gelfand, Algebra
  • Foerster, Algebra (2006 Edisi Klasik: ISBN 978-0131657083, Amazon 1999 Edisi Klasik: ISBN 978-0201324587, Amazon 1994 Edisi Klasik: ISBN 978-0201860948, Amazon)

Algebra dan trigonometri berterusan

Meliputi bahagian kurikulum AS yang disebut dengan istilah Algebra 2, Trigonometry dan Precalculus.

  • Seni Penyelesaian Masalah: Aljabar Menengah
  • Seni Penyelesaian Masalah: Precalculus
  • OpenStax Algebra dan Trigonometri
  • Lang, Matematik Asas
  • Gelfand, Trigonometri
  • Axler, Precalculus. (1e: Amazon 2e: Amazon)
  • Simmons, Precalculus secara ringkas
  • Foerster, Algebra dan Trigonometry (Edisi Klasik 2005: ISBN 978-0131657106, Amazon)
  • Seni Penyelesaian Masalah: Pengenalan Geometri
  • Lang dan Murrow, Geometri: Kursus Sekolah Menengah (2e, manual Penyelesaian)
  • Geometri I Kiselev
  • Meyer. Geometri dan Aplikasinya (2e, 2006: ISBN 978-0123694270, Worldcat, Amazon)
  • Masih sihat. Empat Tiang Geometri (1e 2005: ISBN 978-0387255309, Worldcat, Amazon)
  • Leonard, Lewis, Liu, Tokarsky. Geometri Klasik: Euclidean, Transformasional, Inversive, dan Projective (1e 1997: ISBN 978-0760706602, Amazon 2e 2003: ISBN 978-1592441303, Amazon)

Sumber teks dan sumber

Matematik Bersambung (CMP)

Nampaknya merupakan siri matematik konstruktivis yang paling banyak digunakan untuk sekolah menengah.

Matematik konstruktivis mendekati matematik dengan meminta pelajar menyelesaikan masalah yang membolehkan mereka "membina" konsep matematik untuk diri mereka sendiri. Penyelidikan secara amnya menunjukkan bahawa ini adalah cara yang baik untuk melakukan sesuatu, kerana memikirkan perkara inilah yang membuat anda mempelajarinya (berbanding dengan mengulangi apa yang disuruh anda lakukan, yang jauh lebih berkesan dan dengan itu memerlukan lebih banyak waktu belajar untuk dicapai hasil yang sama). Peringatan besar adalah bahawa pendekatan konstruktivis memerlukan guru yang kompeten untuk mengawasi pembelajaran dan memastikan pelajar tidak tersasar: tugas guru sebahagian besarnya menjadi salah satu menyedari dan membetulkan kesalahpahaman.

Ciri-ciri ini menjadikan buku-buku konstruktivis tidak sesuai sebagai sumber utama untuk belajar sendiri (kerana anda tidak mempunyai guru untuk membetulkan kesalahpahaman anda), tetapi mereka mungkin tetap berguna dalam kombinasi dengan teks lain sebagai sumber masalah.

Untuk melihat pemikiran di sebalik arahan matematik konstruktivis, Arahan Matematik yang kaya dengan konsep (ISBN 978-1416603597, Amazon) adalah gambaran keseluruhan yang berguna.

Projek OpenStax menawarkan buku teks berkualiti tinggi percuma untuk pelbagai subjek. Inilah pautan ke bahagian matematik:

Salinan cetak telah tersedia di Amazon tetapi banyak lagi yang dicetak lebih lama dan tidak banyak salinan terpakai yang terdapat di sekitar.

Pada masa ini, mereka menawarkan buku teks untuk Pra-aljabar, Algebra Kolej, Algebra-Trigonometri, Precalculus dan Kalkulus I-III. Terutama, tidak ada teks Geometri.

Seperti biasa dengan urutan seperti itu, Algebra Kolej, Algebra dan Trigonometri dan Pra-kalkulus pada dasarnya adalah buku yang sama dengan titik permulaan dan akhir yang sedikit berbeza untuk setiap buku. Oleh itu, tidak ada gunanya memiliki semua itu.

Sejauh yang saya tahu, Algebra Kolej mengandungi subset bab yang ketat dari Algebra dan Trigonometri, dan Pra-kalkulus adalah sama seperti Algebra-Trigonometri kecuali bahawa ia menghilangkan dua bab pertama ("Prasyarat" dan "Persamaan dan Ketidakseimbangan"), ia mempunyai liputan trigonometri yang sedikit berbeza (satu bahagian dikeluarkan yang saya perhatikan) dan ia menambah bab baru yang disebut "Pengantar Kalkulus".

Untuk tujuan belajar sendiri, Algebra dan Trigonometri nampaknya yang paling diinginkan, kerana bahan dalam bab "Pengantar Kalkulus" dari Pra-kalkulus boleh didapati di mana-mana buku teks kalkulus.

Perhatikan bahawa buku-buku ini mempunyai dua versi PDF: versi "OP" yang dihubungkan ke halaman buku matematik utama, dan versi "Edisi Cetak" yang terdapat di pautan di halaman perincian. Saya tidak pasti apa perbezaannya, tetapi saya perhatikan bahawa versi OP adalah fail yang lebih besar, sedangkan Edisi Cetak mengandungi kunci jawapan pelajar (penyelesaian untuk latihan bernombor ganjil).

Oleh kerana laman web OpenStax menjengkelkan untuk digunakan, saya menyediakan beberapa pautan langsung di sini, walaupun ini mungkin akan ketinggalan zaman pada masa akan datang:

Algebra dan Trigonometri, Edisi Cetak PDF (termasuk kunci jawapan pelajar di bahagian belakang buku)

Halaman ini merangkumi pautan ke halaman errata, dan sumber tambahan yang tersedia secara eksklusif untuk tenaga pengajar.

Sheldon Axler adalah seorang profesor universiti yang telah menulis sejumlah buku teks matematik untuk pelajar sarjana. Ini menawarkan persembahan yang tidak masuk akal untuk penonton dewasa. Axler tidak berusaha menghiburkan anda (banyak), tetapi dia menawarkan banyak petua berguna tentang cara berfikir tentang matematik semasa anda mempelajarinya. Membaca bukunya memberi saya pengertian bahawa dia mengajar banyak pelajar sarjana pada masanya dan dia mempunyai idea yang cukup baik tentang apa yang dia boleh dan tidak boleh mengharapkan mereka mengetahui sendiri. Dia juga berhati-hati untuk memberi anda idea tentang mengapa dia memberitahu anda sesuatu, dan bukannya mengambil sikap "akan masuk akal ketika anda sampai di sana" yang diamalkan oleh banyak profesor matematik dalam menulis buku mereka.

Kedua-dua buku ini bertindih sedikit. Saya tidak pasti sama ada terdapat perbezaan yang ketara di antara mereka selain urutan topik. Buku beliau yang lain pada tahap ini, Algebra Kolej, berlebihan kerana sepenuhnya terkandung dalam Algebra dan Trigonometri (dan ia hanya sedikit lebih murah).

Saya cadangkan membeli salinan berkualiti dari mana-mana edisi yang paling murah. Pada penulisan ini, ini adalah pilihan termurah untuk membeli terpakai:

Perhatikan bahawa sampul buku paperback ini tidak terlalu kuat dan cenderung melengkung.

Seni Menyelesaikan Masalah

Saya mengumpulkan siri ini bermula sebagai dua buku karya Richard Rusczyk, Seni Menyelesaikan Masalah jilid 1 dan 2, yang merangkumi kurikulum pra-aljabar dan ditujukan kepada peserta Mathcounts. Walau bagaimanapun, siri ini telah diperluas untuk memasukkan buku teks dari pra-aljabar melalui semua matematik sekolah menengah. Orang ramai memarahi mereka, jadi mereka mungkin cukup baik. Saya hanya melihat Pengenalan kepada Algebra, tetapi saya dapati penjelasannya menarik dan menyeluruh.

  • Prealgebra
  • Pengenalan kepada Algebra
  • Pengenalan Geometri
  • Pengenalan Teori Nombor
  • Pengenalan Mengira dan Kebarangkalian
  • Algebra Pertengahan
  • Pengiraan dan Kebarangkalian Pertengahan
  • Pra-kalkulus
  • Kalkulus

Mata pelajaran kurikulum sekolah menengah utama yang diliputi di sini (Prealgebra, Pengenalan kepada Algebra, Algebra Pertengahan, Pengenalan Geometri, Pra-kalkulus, biasanya tidak diberi rawatan yang mencabar di buku lain yang tersedia, jadi ini menjadikan alternatif yang sangat menarik.

Saya tidak tahu sama ada terdapat banyak keperluan untuk buku kalkulus, kerana pelajar sudah mempunyai banyak pilihan untuk itu (seperti yang diperincikan di halaman buku saya yang lain), tetapi apa yang saya suka mengenainya berdasarkan sampel yang tersedia dalam talian adalah memberikan panduan terperinci mengenai masalah yang lebih rumit daripada yang anda lihat dalam contoh buku teks biasa.

Oleh kerana terdapat banyak pertindihan antara kursus mengenai "Algebra II" dan "Precalculus", saya membandingkan kandungan Algebra Pertengahan dan Pra-kalkulus. Mereka kebanyakan berbeza, dengan Algebra Pertengahan memfokuskan polinomial, fungsi lain, dan siri, sedangkan Pra-kalkulus hampir sepenuhnya dikhaskan untuk trigonometri dan pengenalan kepada algebra linear.

AoPS juga mempunyai satu set buku yang disebut Akademi Binatang yang dirancang untuk merangkumi gred 2-5, walaupun pada masa ini hanya gred 3 dan 4 yang lengkap. Saya tidak tahu apakah itu bagus.

Laman web Art of Problem Solving juga menawarkan kursus dalam talian yang sesuai dengan buku-buku ini.

Israel M. Gelfand (Гельфанд) menulis satu siri buku untuk mengajar matematik asas kepada pelajar sekolah gred sebagai sebahagian daripada program korespondensi. Rangkaian buku yang dihasilkan merangkumi algebra hingga precalculus:

  • Gelfand dan Shen. Algebra (Birkhäuser 1993)
  • Gelfand, Glagoleva, Kirillov. Kaedah Koordinat (Dover 2002)
  • Gelfand, Glagoleva, Shnol. Fungsi dan Grafik (Dover 2002)
  • Gelfand dan Saul. Trigonometri (Birkhäuser 2001)
  • S. I. Gelfand, Gerver, Kirillov, Konstantinov. Urutan, Gabungan, Had

Rutgers masih menjalankan Program Korespondensi Lanjutan Gelfand dalam Matematik (http://www.egcpm.com/), yang membolehkan anda membuat latihan anda dinilai. Anda tentu saja boleh melakukannya sendiri, tetapi tidak ada jawapan yang diberikan. Program ini menerima pelajar berumur 13-17 tahun.

Buku-buku Gelfand kelihatan seperti cara yang cukup menarik untuk memperkenalkan bahan sekolah menengah kepada pelajar yang bermotivasi. Mereka tidak kering seperti kebanyakan buku teks Amerika, walaupun tidak mempunyai warna dan kilauan. Namun, saya tidak pasti sama ada ia benar-benar cukup mendalam di beberapa kawasan, jadi anda mungkin perlu menambahkannya dengan buku seperti Axler's.

Andrei P. Kiselev (Киселёв, juga ditulis Kiselyov) menulis sebuah buku berjudul Geometry, yang merupakan teks standard di Rusia selama beberapa dekad (dan telah disemak berkali-kali dalam tempoh itu). Ia tersedia dalam bahasa Inggeris dalam dua jilid, Planimetri dan Stereometri, yang diterjemahkan dan disesuaikan untuk USA oleh Alexander Givental.

Jilid I: Planimetri merangkumi garis, bulatan, persamaan, poligon dan kawasan biasa. Jilid II: Stereometri merangkumi angka dalam tiga dimensi: garis dan satah, poliedra dan pepejal bulat kemudian dibungkus dengan pengenalan kepada vektor dan kemudian gambaran keseluruhan sejarah geometri dan pengenalan ringkas mengenai geometri bukan Euclidean. Jilid II khususnya melampaui apa yang diharapkan pelajar sekolah menengah di AS belajar dari kursus geometri, dan ia menjadi sangat padat.

Yakolev, Matematik Sekolah Menengah. (Worldcat) Dorofeev, Matematik Dasar Vygodsky, Buku Panduan Matematik: Matematik Dasar Govorov, Masalah dalam Matematik: dengan Petunjuk dan Penyelesaian Bukhovtsev, Masalah Dalam Fizik Dasar

Buku Jacobs menggabungkan ulasan yang menghiburkan dan eksposisi yang teliti. Dia bertujuan untuk meyakinkan orang-orang yang "tidak suka matematik" bahawa sebenarnya itu adalah subjek yang menarik. Buku-buku ini digambarkan dengan banyak, dengan banyak gambar yang dipilih dengan baik yang membantu menggambarkan dan memperkukuhkan kandungan matematik.

  • Matematik: Usaha Manusia (3e, 2e)
  • Algebra Dasar (1e)
  • Geometri: Melihat, Melakukan, Memahami (3e, 2e)

Algebra Dasar dan Geometri kurikulum sekolah menengah yang agak standard untuk mata pelajaran tersebut. Usaha Manusia adalah buku jenis "topik" yang sesuai untuk sesiapa sahaja di peringkat pra-aljabar yang belum mengetahui topik tersebut. Topik yang dikemukakannya tidak begitu maju, tetapi topik tersebut penting, dan banyak daripadanya (misalnya statistik, topologi) tidak diliputi dalam kurikulum sekolah menengah standard.

Sebilangan topik yang dibahas dalam Usaha Manusia (mis. simetri) adalah yang biasanya diperkenalkan dalam kurikulum pra-aljabar, kemudian diabaikan begitu lama sehingga pelajar tertanya-tanya mengapa mereka dibesarkan sehingga mereka muncul semula dalam kursus aljabar abstrak satu dekad kemudian untuk mana-mana pelajar yang kajiannya dibuat sejauh itu. Tetapi itu adalah perbincangan yang sama sekali berbeza.

Petikan dari pengenalan Barbeau Polinomial:

Buku ini bukan buku teks. Topiknya juga tidak disarankan untuk dimasukkan ke dalam kurikulum sekolah tanpa pandang bulu. Walau bagaimanapun, ia harus menyampaikan sebilangan besar dan kedalaman yang terdapat di dekat kurikulum sekolah dan perguruan tradisional, dan mendorong pembaca tidak hanya untuk menindaklanjuti beberapa rujukan sejarah dan teknikal, tetapi juga mengeluarkan pen dan kertas untuk mengatasi beberapa masalah berkepentingan khas. Sebilangan matematik akan sukar, tetapi saya percaya bahawa semuanya akan dapat dicapai.

Penonton yang dimaksudkan terdiri daripada pelajar di sekolah menengah dan perguruan tinggi yang ingin melampaui kurikulum biasa, serta guru yang ingin memperluas pengalaman matematik mereka dan mencari bahan yang mungkin untuk digunakan dengan pelajar biasa atau yang diperkaya. Secara khusus, saya mengambil berat tentang dua kumpulan pelajar. Terdapat mereka yang mengikuti kurikulum sekolah dalam matematik sementara mereka masih belum menyelesaikan mata pelajaran lain. Tindak balas standard terhadap situasi ini adalah mempercepat mereka, baik ke dalam kalkulus atau ke kolej sebelum waktunya.

Walaupun ini tidak diragukan lagi sesuai untuk beberapa orang, pengalaman saya adalah bahawa percepatan seperti ini sangat tidak produktif dan membawa kepada pengalaman akademik yang tidak tenteram. Kemudian ada yang terperangkap dalam aktiviti peraduan. Sekarang mungkin menghabiskan sebahagian besar semester musim semi untuk menyiapkan dan menulis pertandingan, dan ini mungkin mempunyai nilai. Walau bagaimanapun, ada beberapa di antaranya peraduan yang tidak menyenangkan dan yang lain menekankan matlamat jangka pendek untuk menyelesaikan masalah dan memenangi pertandingan dengan mengorbankan pertumbuhan matematik yang betul.

Apa yang kelihatannya diperlukan adalah pengayaan matematik yang bermula dengan matematik sekolah, memperluasnya tetapi cukup rendah sehingga pelajar dapat menerokainya dengan cara asas dengan pensil dan kertas atau kalkulator.

Buku ini merangkumi aljabar, tetapi merangkumi lebih mendalam daripada kursus sekolah menengah biasa.Ia sesuai, seperti yang dicadangkan oleh Barbeau, sebagai bacaan pengayaan untuk pelajar sekolah menengah yang terlalu mahir untuk kurikulum biasa tetapi belum dipercepat melaluinya. Ini akan membantu mengatasi salah satu kegagalan kurikulum sekolah menengah biasa, iaitu aljabar biasanya tidak diajar dengan sangat teliti, maka ketika tiba waktunya belajar kalkulus, kemahiran aljabar pelajar lemah dan kemahiran kalkulus mereka menderita.

Banyak masalah diambil dari pelbagai pertandingan matematik.

Sebagai contoh dari apa yang anda dapati dalam buku ini, ia merangkumi kaedah untuk menyelesaikan persamaan kubik, yang, walaupun tidak terlalu sukar, lebih banyak melibatkan kaedah untuk persamaan kuadratik dan biasanya tidak diajar kepada pelajar sekolah menengah. Selain berguna (persamaan kubik muncul dan tidak tahu bagaimana menyelesaikannya memalukan), saya dapati teknik ini sangat berguna sebagai contoh bagaimana anda dapat menyelesaikan masalah.

Barbeau mempunyai buku lain, Persamaan Pell, yang serupa semangatnya, dan (tidak menghairankan) meneroka persamaan Pell.

Buku lama di domain awam

Leonhard Euler menulis pengenalan kepada aljabar yang disebut (dalam bahasa Inggeris) Elements of Algebra:

  • Percuma dalam talian
    • Penetapan Jenis MS MS Scott Hecht: https://archive.org/details/ElementsOfAlgebraLeonhardEuler2015
    • Salinan terjemahan Hewlett edisi tahun 1800: https://archive.org/details/elementsalgebra00lagrgooghttps://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.513805https://archive.org/details/elementsalgebra00lagrgoog
    • Cetakan faksimili hard Springer: https://smile.amazon.com/dp/0387960147
    • Penetapan Jenis MS Word Scott Hecht: https://smile.amazon.com/dp/150890118X
    • Nampaknya dicetak dari fotokopi Archive.org (penetapan asal tetapi berkualiti rendah dengan tanda dan garis bawah): https://smile.amazon.com/dp/1544862199

    Ini nampaknya masih sangat popular di India. Oleh kerana mereka berada di domain awam, anda boleh menjumpainya secara dalam talian secara percuma. PDF boleh didapati di archive.org, mungkin juga di tempat lain. Mereka masih dalam bentuk cetak, walaupun tidak semurah yang anda harapkan memandangkan hak cipta telah tamat. Berhati-hatilah bahawa sejak mereka tua, gaya penulisan tidak seperti yang anda harapkan dari buku kontemporari.

    • Dewan dan Kesatria, Algebra Sekolah Rendah (@ Archive.org (Michigan))
    • Dewan dan Kesatria, Algebra yang lebih tinggi (@ Archive.org (Michigan), @ Archive.org (Wellesley), Penyelesaian @ Archive.org (Cornell))
    • Dewan dan Kesatria, Trigonometri Elemen (@ Archive.org (Boston College), Penyelesaian @ Archive.org (UC))
    • Loney, Trigonometri satah (@ Archive.org (Michigan))
    • Chrystal, Pengenalan Algebra: Untuk Penggunaan Sekolah Menengah dan Kolej Teknikal (@ Archive.org (UC))
    • Chrystal, Aljabar: buku teks Elemen (dua jilid) (Vol I @ Archive.org (Toronto), Vol II @ Archive.org (Toronto) Vol I @ Archive.org (Michigan), Vol II @ Archive.org (Michigan))

    Algebra Sekolah Rendah mungkin tidak diperlukan hari ini. Ini merangkumi kira-kira setara dengan Algebra I dan mungkin Algebra II di sekolah menengah AS, tetapi buku teks moden berfungsi dengan lebih baik dengan bahan tersebut.

    Selain itu, Algebra yang lebih tinggi masih merupakan buku yang sangat berguna kerana banyak bahan yang dibahasnya tidak diambil kira oleh kurikulum moden. Sebahagian dari apa yang diliputi adalah serupa dengan Barbeau Polinomial (mis. Hall dan Knight merangkumi kaedah Cardano untuk menyelesaikan persamaan kubik). Topik lain di sini, seperti pecahan berterusan, jarang dibincangkan dalam buku teks moden.

    Ahli matematik India yang terkenal Ramanujan membaca Hall and Knight's Algebra yang lebih tinggi dan memetiknya dalam buku catatannya, dan persatuan ini mungkin menyebabkan kemasyhurannya terus berlanjutan di India, kerana Ramanujan adalah pahlawan nasional.

    Loney's Trigonometri satah mempunyai banyak maklumat, tetapi saya tidak pasti betapa bergunanya lagi sebagai buku teks. Ini mungkin hanya bias peribadi saya, tetapi saya tidak menganggap trigonometri cukup menarik untuk mendedikasikan banyak masa dan tenaga untuk semua itu sendiri. Buku seperti Gelfand's atau Axler memberi anda asas-asas yang anda perlukan, dan selebihnya biasanya diliputi di tempat lain (mis. Dalam kalkulus dan analisis) apabila diperlukan. Sekiranya anda benar-benar ingin tahu banyak tentang trig, Loney mungkin yang anda mahukan.

    Hall dan Knight dan Loney boleh didapati dari penerbit India dengan harga yang cukup murah. Cuba cari AbeBook untuk membelinya jika anda berada di AS. Saya tidak dapat menjamin kualiti edisi murah itu, tetapi saya pernah mendengarnya lebih baik daripada yang anda jangkakan (tidak seperti edisi India yang teruk yang diterbitkan oleh syarikat seperti Wiley).

    Chrystal ni Pengenalan kepada Algebra dan Aljabar: buku teks Elemen membentuk pasangan asas dan maju yang serupa dengan Hall dan Knight Algebra Sekolah Rendah dan Algebra yang lebih tinggi, dan yang serupa, yang pertama tidak menarik. Teks lanjutan Chrystal, Aljabar: buku teks Elemen (bertajuk mengelirukan), bermula dengan prinsip asas aljabar tetapi sebenarnya bukan buku pemula, dan ia berkembang dengan cepat ke pelbagai topik yang jarang diajarkan hari ini, atau hanya diajarkan pada tahap aljabar dan analisis yang lebih tinggi. Buku-buku Chrystal menawarkan banyak masalah yang mencabar.

    Saya tidak tahu sama ada masih ada yang menggunakan buku lama lain atau tidak, tetapi ada yang menyukainya.

    • Charles Smith. Rawatan pada Algebrahttps://archive.org/details/atreatiseonalge00smitgoog
    • Telaga. Kursus Pertama di Algebra
    • Telaga. Kursus Kedua di Algebra
    • Telaga. Algebra Universiti
    • Anak Kembar. Aljabar untuk pemula (1880 ed @ Archive.org (Toronto))
    • Anak Kembar. Aljabar Untuk Kegunaan Kolej dan Sekolah (1889 ed @ Archive.org (Toronto))

    Teks klasik yang lebih baru, belum ada di domain awam

    • Durell dan Robson. Trigonometri Lanjutan (Dover)
    • Levi. Unsur Algebra (AMS Chelsea)
    • Baik. Algebra Kolej (AMS Chelsea)

    Schaum's mempunyai beberapa "garis besar" mereka yang sesuai untuk tahap ini. Garis besar Schaum penuh dengan masalah yang boleh anda gunakan untuk belajar atau berlatih. (Jawapannya ada di sana, jadi, anda harus menutupnya jika anda ingin menggunakannya untuk latihan.) Garis besarnya juga memberikan beberapa penjelasan mengenai topik tersebut, jadi secara teori anda bahkan dapat menggunakannya sebagai buku teks, walaupun Sebenarnya apa yang mereka rancangkan.

    • Algebra Dasar
    • Algebra Pertengahan
    • Trigonometri
    • Algebra Kolej
    • Geometri
    • Pra-kalkulus

    Kurikulum standard lebih kurang

    • Ellison, Matematik Keras untuk Sekolah Rendah
    • Halmos, Teori Set Naif
    • Cofman, Nombor dan Bentuk Dilayari
    • Rademacher, Matematik yang lebih tinggi dari sudut asas
    • Lang, Matematik Asas
    • Vilenkin, Cerita Mengenai Set
    • Krause, Geometri Taxicab: Pengembaraan dalam Geometri Bukan Euclidean (c)
    • Richeson, Permata Euler: Formula Polyhedron dan Kelahiran Topologi (PUP HC, PUP PB)
    • Keras dan Booth, Matematik Kejuruteraan (7e, 6e, 5e)

    Buku masalah, penyelesaian masalah, persiapan pertandingan matematik

    Tanton. Trigonometri: Panduan Kajian Pandai (1e)

    Masalah Peraduan Math Olympiad

    Posamentier, Orang Salkind. Masalah yang Mencabar di Aljabar (Dover 1996, ISBN 978-0486691480, Amazon)

    Posamentier, Orang Salkind. Masalah yang Mencabar dalam Geometri (Dover 1996, ISBN 978-0486691541, Amazon)

    Yaglom dan Yaglom. Mencabar Masalah Matematik Dengan Penyelesaian Elemen (Jilid I, Dover 1987: ISBN 978-0486655369, Amazon Volume II, Dover 1987: ISBN 978-0486655376, Amazon)


    Anda mungkin ingin melihat rujukan buku berikut:

    Trigonometri, I.M. Gelfand, Mark Saul

    Trigonometry Refresher (Dover Books on Mathematics), A. Albert Klaf, Matematik

    Garis Besar Trigonometri Schaum, Edisi Ke-5, Robert Moyer, Frank Ayres

    Trigonometri, Edisi ke-8, Ron Larson ($$)

    Trigonometri Lanjutan, oleh C.V. Durell, A. Robson

    Anda mungkin juga ingin menyemak item dalam talian. Sebagai contoh:

    Trigonometri Pesawat oleh S.L. Loney adalah buku terbaik untuk trigonometri. Konsepnya dijelaskan dengan sangat baik dalam buku ini.

    Trigonometri Michael Corral sangat baik, membina asas geometri sebelum beralih ke aspek analisis. Ia juga membantu bahawa ia adalah tampan yang tidak masuk akal. Ia juga dilengkapi dengan Lesen Dokumentasi Percuma GNU.

    Sekiranya anda ingin belajar trigonometri dari peringkat asas, maka Trigonometri Plane S.L.Loney adalah yang terbaik. Ia membawa kita melalui pelbagai tahap pemahaman trigonometri secara beransur-ansur tanpa rasa sukar.

    Sumber yang terlalu rendah dan harganya rendah adalah Precalculus Secara Ringkasnya oleh George F. Simmons: Ini adalah buku teks terakhir yang menakjubkan oleh Simmons, yang merangkumi klasik seperti Pengenalan Topologi dan Analisis Moden dan Persamaan Pembezaan dengan Aplikasi dan Catatan Sejarah. Setiap buku ini ditandai dengan gabungan unik eksposisi terperinci, prosa yang hidup dan kejelasan konsep Simmons. Ini adalah buku terakhir dan paling asasnya dan tidak terkecuali. Tujuan Simmons dari buku yang indah ini adalah untuk menjadi rawatan yang mudah dibaca dan dianggap jelas yang difikirkan pentingnya untuk dipelajari oleh pelajar sekolah menengah sebelum mempelajari kalkulus asas. Dia merangkumi apa yang difikirkannya perlu dalam aljabar, geometri dan trigonometri untuk menguasai kalkulus-dan saya fikir topik pilihannya memang bagus. Saya rasa anda akan sangat membantu.

    Adakah anda hanya berminat dengan Buku, bolehkah saya mencadangkan bahan yang mempunyai nota kuliah? Sebuah video? :) Ia telah menjadi bahan pembelajaran yang sangat baik bagi banyak orang yang saya kenal.

    Untuk buku, cubalah juga:

    Saya juga mencadangkan pemikiran baik tetapi sebagai makanan tambahan bukan hidangan utama. Larson bagus tapi sangat mahal dan klaf & durell terlalu banyak jika belum mengetahui sesuatu. Gelfand & amp; Loney secara amnya merupakan perlakuan subjek yang lebih tegas dan jelas secara konseptual. Saya mempunyai satu cadangan lain, iaitu "Stitz & amp Zeager, trigonometry" percuma. Ini juga sangat bagus, hanya keluhan sedikit kering dan penampilannya terlalu sederhana, bahkan untuk buku matematik!

    Bagaimana dengan Trigonometri oleh Charles P. McKeague dan Mark D. Turner?

    Tidak ada yang banyak berubah dalam asas Trigonometri selama satu abad. Genre buku Loney adalah lain:

    Dewan Henry Sinclair, Samuel Ratcliffe Knight, Macmillan and Company, 1893 - Trigonometri pesawat - 404 halaman

    Buku trigonometri terbaik yang saya baca buku trigonometri А.Ф.БЕРМАНТ, Н.М.БЕСКИН dan И.М.ГЕЛФАНД tetapi dalam bahasa Rusia anda juga boleh melihat

    1.Palmer C.I, pesawat Leigh C.w dan trigonometri sfera yang lama tetapi benar-benar bagus dan banyak aplikasi fizik 2. I.M Gelfand (versi Rusia jauh lebih ketat) 3. Bettinger A.K Algebra dan trigonometri 4. Swokowski E.W, Cole J.A Aljabar dan Trigonometri

    Bagi mereka yang memahami bahasa Rusia, buku "Спецыальный курс тригонометрии" karya S. I. Novoselov ("Kursus khas mengenai Trigonometri") akan sangat bernilai, bersama dengan buku-buku indah lain yang disebutkan di sini.


    Tonton videonya: Unit Circle Trigonometry - Sin Cos Tan - Radians u0026 Degrees (Disember 2021).