Artikel

1.4: Velocity and Angular Velocity - Matematik


Soalan Fokus

Soalan berikut bertujuan untuk menuntun kajian kami mengenai bahan di bahagian ini. Setelah mempelajari bahagian ini, kita harus memahami konsep yang dimotivasikan oleh soalan-soalan ini dan dapat menulis jawapan yang tepat dan koheren untuk soalan-soalan ini.

  • Berapakah panjang arka?
  • Apakah perbezaan antara halaju linear dan halaju sudut?
  • Apakah formula yang mengaitkan halaju linear dengan halaju sudut?

Aktiviti Permulaan

  1. Apakah rumus untuk lilitan (C ) bulatan yang jari-jarinya (r )?
  2. Andaikan orang (A ) berjalan di lilitan bulatan dengan jari-jari 10 kaki, dan orang B berjalan di sepanjang lilitan bulatan jejari 20 kaki. Juga, anggaplah kedua (A ) dan (B ) 1 minit untuk berjalan satu perempat dari lilitan bulatan masing-masing (seperempat revolusi lengkap). Siapa yang berjalan paling jauh?
  3. Katakan kedua-dua orang itu terus berjalan dengan langkah yang sama seperti yang mereka lakukan pada minit pertama. Berapa banyak putaran bulatan lengkap yang akan dilalui setiap orang dalam 8 minit? Dalam 10 minit?

Panjang Arc pada Bulatan

Dalam Bahagian 1.3, kami mengetahui bahawa ukuran radian sudut sama dengan panjang busur pada lingkaran unit yang berkaitan dengan sudut itu. Oleh itu, lengkok panjang 1 pada bulatan unit menundukkan sudut 1 radian. Akan ada ketikanya berguna untuk mengetahui panjang lengkok pada bulatan lain yang mempunyai sudut yang sama.

Rajah ( PageIndex {1} ): Busur dipelihara oleh sudut 1 radian.

Dalam Rajah ( PageIndex {1} ), lingkaran dalam mempunyai jari-jari 1, lingkaran luar memiliki jari-jari (r ), dan sudut yang ditunjukkan mempunyai ukuran radian ( theta ). Jadi panjang lengkok pada bulatan unit yang dijaga oleh sudut adalah ( theta ), dan kami telah menggunakan s untuk mewakili panjang lengkungan pada lingkaran jejari (r ) yang dipelihara oleh sudut.

Ingat bahawa lilitan bulatan jejari (r ) adalah (2 pi r ) sementara lilitan bulatan jejari 1 adalah (2 pi ). Oleh itu, nisbah panjang lengkok (s ) pada bulatan jejari (r ) yang menundukkan sudut ( theta ) radian ke arka yang sepadan pada bulatan unit adalah ( dfrac {2 pi r} {2 pi} = r ). Oleh itu, ia mengikutinya

[ dfrac {s} { theta} = dfrac {2 pi r} { pi} ]

[s = r theta ]

Definisi

Pada bulatan jejari (r ), panjang lengkok yang dipintas oleh sudut tengah dengan ukuran radian adalah

[s = r theta ]

Nota

Penting untuk diingat bahawa untuk mengira panjang busur, kita mesti mengukur sudut tengah pada radian.

(Tidak jelas mengapa huruf (s ) biasanya digunakan untuk mewakili panjang busur. Satu penjelasan adalah bahawa busur "menundukkan" sudut.)

Latihan ( PageIndex {1} )

Menggunakan bulatan dalam aktiviti permulaan untuk bahagian ini:

  1. Gunakan formula untuk panjang busur untuk menentukan panjang busur pada bulatan jejari 10 kaki yang cenderung sudut sudut radian ( dfrac { pi} {2} ). Adakah hasilnya sama dengan satu perempat dari lilitan bulatan?
  2. Gunakan formula untuk panjang busur untuk menentukan panjang busur pada bulatan jejari 20 kaki yang cenderung sudut sudut radian ( dfrac { pi} {2} ). Adakah hasilnya sama dengan satu perempat dari lilitan bulatan?
  3. Tentukan panjang lengkok pada bulatan jejari 3 kaki yang ditundukkan oleh sudut (22 ^ circ ).
Jawapan
  1. Gunakan formula (s = r theta ). [s = r theta = (10ft) dfrac { pi} {2} ] [s = 5 pi ] Panjang lengkungan adalah (5 pi ) kaki.
  2. Gunakan formula (s = r theta ). [s = r theta = (20ft) dfrac { pi} {2} ] [s = 5 pi ] Panjang lengkungan adalah (10 ​​ pi ) kaki.
  3. Pertama tukar (22 ^ circ ) ke radian. Oleh itu ( theta = 22 ^ circ times ( dfrac { pi rad} {180 ^ circ}) = dfrac {11 pi} {90} ), dan [s = r theta = (3ft) dfrac {11 pi} {90} ] [s = dfrac {11 pi} {30} ] Panjang lengkungan adalah ( dfrac {11 pi} {30} ) kaki atau kira-kira (1.1519 ) kaki.

Mengapa Radian?

Ukuran darjah sudah biasa dan senang, jadi mengapa kita memperkenalkan unit radian? Ini adalah soalan yang bagus, tetapi satu dengan jawapan yang halus. Seperti yang baru kita lihat, panjang (s ) lengkok pada lingkaran jejari (r ) ditunduk oleh sudut radian ( theta ) diberikan oleh (s = r theta ), jadi ( theta = dfrac {s} {r} ). Akibatnya, radian adalah nisbah dua panjang (hasil bagi panjang busur dengan jari-jari bulatan), yang menjadikan radian dalam kuantiti tanpa dimensi. Oleh itu, pengukuran dalam radian hanya dapat dianggap sebagai bilangan nyata. Ini sesuai untuk menangani panjang busur (dan halaju sudut seperti yang akan kita lihat nanti), dan ini juga berguna apabila kita mengkaji fenomena berkala dalam Bab 2. Atas sebab ini ukuran radian digunakan secara universal dalam matematik, fizik, dan kejuruteraan sebagai bertentangan dengan darjah, kerana ketika kita menggunakan ukuran darjah kita selalu harus mempertimbangkan dimensi darjah dalam pengiraan. Ini bermaksud bahawa ukuran radian sebenarnya lebih semula jadi dari sudut matematik daripada ukuran darjah.

Halaju Linear dan Sudut

Hubungan antara busur pada bulatan dan sudut yang diukur dalam radian memungkinkan kita menentukan kuantiti yang berkaitan dengan gerakan pada bulatan. Objek yang bergerak di sepanjang jalan bulat menunjukkan dua jenis halaju: linear dan sudut halaju. Fikirkan berputar pada pusingan gembira. Sekiranya anda menjatuhkan kerikil dari pinggir putaran gembira, kerikil tidak akan jatuh langsung ke bawah. Sebagai gantinya, ia akan terus bergerak maju dengan kecepatan putaran merry pada saat kerikil dilepaskan. Ini adalah halaju linear kerikil. The halaju linear mengukur bagaimana panjang lengkok berubah dari masa ke masa.

Pertimbangkan satu titik (P ) bergerak pada halaju tetap sepanjang lilitan bulatan jejari (r ). Ini dipanggil gerakan bulat seragam. Katakan P bergerak jarak unit s dalam masa (t ). The halaju linear v titik (P ) adalah jarak yang dilaluinya dibahagi dengan masa yang berlalu. Iaitu, (v = dfrac {s} {t} ). Jarak s adalah panjang lengkok dan kita tahu bahawa (s = r theta ).

Definisi: halaju linear

Pertimbangkan satu titik (P ) bergerak pada halaju tetap sepanjang lilitan bulatan jejari (r ). The halaju linear (v ) titik (P ) diberikan oleh

[v = dfrac {s} {t} = dfrac {r theta} {t} ]

di mana ( theta ), diukur dalam radian, adalah sudut tengah yang ditundukkan oleh lengkok panjang (s ).

Cara lain untuk mengukur seberapa pantas objek bergerak pada kelajuan tetap pada jalan bulat disebut halaju sudut. Sedangkan halaju linear mengukur bagaimana panjang busur berubah dari masa ke masa, halaju sudut adalah ukuran seberapa pantas sudut tengah berubah dari masa ke masa.

Definisi: halaju sudut

Pertimbangkan titik P yang bergerak dengan halaju tetap di lilitan bulatan jejari r pada busur yang sepadan dengan sudut tengah ukuran ( theta ) (dalam radian). The halaju sudut ( omega ) titik adalah ukuran radian sudut ( theta ) dibahagi dengan masa yang diperlukan untuk menyapu sudut ini. Itu dia

[ omega = dfrac { theta} {t}. ]

Nota

Simbol ( omega ) adalah huruf kecil huruf Yunani "omega." Juga, perhatikan bahawa halaju sudut tidak bergantung pada jejari r.

Ini adalah definisi yang agak khusus mengenai halaju sudut yang sedikit berbeza daripada istilah umum yang digunakan untuk menggambarkan seberapa pantas titik berputar di sekeliling bulatan. Istilah ini adalah revolusi seminit atau rpm. Kadang-kadang unit revolusi sesaat digunakan. Cara yang lebih baik untuk mewakili revolusi per minit adalah dengan menggunakan "pecahan unit" ( dfrac {rev} {min} ). Oleh kerana 1 revolusi adalah radian (2 pi ), kita melihat bahawa jika objek min bergerak pada putaran x per minit, maka

[ omega = x dfrac {rev} {min} cdot dfrac {2 pi rad} {rev} = x (2 pi) dfrac {rad} {min}. ]

Latihan ( PageIndex {2} )

Katakan cakera bulat berputar pada kadar 40 putaran seminit. Kami ingin menentukan halaju linear v (dalam kaki sesaat) titik yang berjarak 3 kaki dari pusat cakera.

  1. Tentukan halaju sudut ( omega ) titik dalam radian per minit. Petunjuk: Gunakan formula [ omega = x dfrac {rev} {min} cdot dfrac {2 pi rad} {rev}. ]
  2. Kita sekarang tahu ( omega = dfrac { theta} {t} ). Oleh itu, gunakan formula (v = dfrac {r theta} {t} ) untuk menentukan (v ) dalam kaki per minit.
  3. Akhirnya, ubah kelajuan linear v dalam kaki per minit ke kaki sesaat.
Jawapan

1. Kami melihat bahawa

[ omega = 40 dfrac {rev} {min} kali dfrac {2 pi space rad} {rev} ]
[ omega = 80 pi dfrac {rad} {min} ]

2. Hasil dari bahagian (a) memberi

[v = r ( dfrac { theta} {r}) = r omega ]
[v = (3ft) kali 80 pi dfrac {rad} {min} ]
[v = 240 pi dfrac {ft} {min} ]

3. Sekarang kita menukar kaki per minit menjadi kaki sesaat.

[v = 240 pi dfrac {ft} {min} kali dfrac {1 ruang min} {60 ruang sekejap} ]
[v = 4 pi dfrac {ft} {sec} lebih kurang 12.566 dfrac {ft} {sec} ]

Perhatikan bahawa dalam Latihan 1.18, setelah kita menentukan halaju sudut, kita dapat menentukan halaju linear. Apa yang kami lakukan dalam kes khusus ini dapat kami lakukan secara umum. Terdapat formula ringkas yang secara langsung mengaitkan halaju linear dengan halaju sudut. Rumus kami untuk halaju linear ialah (v = dfrac {s} {t} dfrac {r theta} {t} ). Perhatikan bahawa kita dapat menulis ini adalah (v = r dfrac { theta} {t} ). Iaitu, (v = r omega )

Nota

Pertimbangkan titik (P ) bergerak dengan halaju (linier) malar (v ) sepanjang lilitan bulatan jejari (r ). Sekiranya halaju sudut adalah ( omega ), maka

[v = r omega ]

Jadi dalam Latihan 1.18, setelah kami menentukan bahawa ( omega = 80 pi dfrac {rad} {min} ), kami dapat menentukan v sebagai berikut:

[v = r omega = (3 space ft) (80 pi dfrac {rad} {min} = 240 pi dfrac {ft} {min}). ]

Perhatikan bahawa kerana radian adalah "tanpa unit", kita dapat menjatuhkannya ketika berhadapan dengan persamaan seperti yang sebelumnya.

Contoh ( PageIndex {1} ): Kecepatan Linear dan Sudut

Rakaman vinil LP (long play) atau 331 rpm adalah media penyimpanan bunyi analog dan telah lama digunakan untuk mendengar muzik. LP biasanya berdiameter 12 inci atau 10 inci. Untuk bekerja dengan formula kami untuk halaju linier dan sudut, kita perlu mengetahui halaju sudut dalam radian per unit masa. Untuk melakukan ini, kami akan menukar revolusi (33 dfrac {1} {3} ) per minit menjadi radian per minit. Kami akan menggunakan fakta bahawa (33 dfrac {1} {3} = dfrac {100} {3} )

[ omega = dfrac {100} {3} dfrac {rev} {min} kali dfrac {2 pi space rad} {1 space rev} = dfrac {200 pi} {3} dfrac {rad} {min} ]

Kita sekarang boleh menggunakan formula v D r! untuk menentukan halaju linear titik di pinggir LP 12 inci. Jejari adalah 6 inci dan lebih kurang

[v = r omega = (6 inci ruang) ( dfrac {200 pi} {3} dfrac {rad} {min}) = 400 pi dfrac {inci} {min} ]

Mungkin lebih senang untuk menyatakannya sebagai nilai perpuluhan dalam inci sesaat. Jadi kita dapat

[v = 400 pi dfrac {inci} {min} kali dfrac {1 ruang min} {60 ruang sekian} lebih kurang 20. 944 dfrac {inci} {sec} ]

Halaju linear kira-kira 20.944 inci sesaat.

Latihan ( PageIndex {3} )

Untuk masalah ini, kita akan menganggap bahawa Bumi adalah sfera dengan radius 3959 batu. Semasa Bumi berputar pada paksinya, seseorang yang berdiri di Bumi akan bergerak dalam bulatan yang berserenjang dengan paksi.

  1. Bumi berputar pada paksinya sekali setiap (24 ) jam. Tentukan halaju sudut Bumi dalam radian per jam. (Tinggalkan jawapan anda dari segi nombor ( pi ).)
  2. Semasa Bumi berputar, seseorang yang berdiri di khatulistiwa akan bergerak dalam lingkaran yang radius 3959 batu. Tentukan halaju linear orang ini dalam batu per jam.
  3. Semasa Bumi berputar, seseorang yang berdiri di titik yang garis lintangnya (60 ^ circ ) utara akan bergerak dalam lingkaran radius 2800 batu. Tentukan halaju linear orang ini dalam batu per jam dan kaki per saat.
Jawapan
  1. Satu revolusi sepadan dengan (2 pi ) radian. Oleh itu [ omega = dfrac {2 pi space rad} {24 space hr} = dfrac { pi space rad} {12 space hr}. ]
  2. Untuk menentukan halaju linear, kita menggunakan formula (v = r omega ) [v = r omega = (3959mi) ( dfrac { pi} {12} dfrac {rad} {hr}) = dfrac {3959 pi} {12} dfrac {mi} {hr} ] Halaju linier kira-kira 1036.5 batu sejam.
  3. Untuk menentukan halaju linear, kami menggunakan formula (v = r omega ) [v = r omega = (2800mi) ( dfrac { pi} {12} dfrac {rad} {hr}) = dfrac {2800 pi} {12} dfrac {mi} {hr} ] Halaju linear kira-kira 733.04 batu sejam. Untuk menukarnya menjadi kaki per saat, kami menggunakan fakta bahawa terdapat 5280 kaki dalam satu batu, 60 minit dalam satu jam, dan 60 saat dalam satu minit. Jadi

[v = ( dfrac {2800 pi} {12} dfrac {mi} {hr}) ( dfrac {5280 space ft} {1 space mi}) ( dfrac {1 space hr} { 60 min ruang}) ( dfrac {1 min ruang} {60 ruang sec)) = dfrac {(2800 pi) (5280)} {12 cdot 60 cdot 60} dfrac {ft} { saat} ]

Jadi halaju linear kira-kira (1075.1 ) kaki sesaat.

Ringkasan

Dalam bahagian ini, kami mengkaji konsep dan idea penting berikut:

  • Pada bulatan jejari (r ), panjang lengkok (s ) dipintas oleh sudut tengah dengan ukuran radian adalah [s = r theta ]
  • Pergerakan bulat yang seragam adalah ketika titik bergerak pada halaju yang tetap sepanjang lilitan bulatan. The halaju linear ialah panjang lengkungan yang dilalui titik dibahagi dengan masa yang berlalu. Sedangkan halaju linear mengukur bagaimana panjang busur berubah dari masa ke masa, halaju sudut adalah ukuran seberapa pantas sudut pusat berubah dari masa ke masa. The halaju sudut titik adalah ukuran radian sudut dibahagi dengan masa yang diperlukan untuk menyapu sudut ini.
  • Untuk titik (P ) bergerak dengan halaju (linier) v sepanjang lilitan bulatan jejari (r ), kita mempunyai [v = r omega ] di mana ( omega ) adalah halaju sudut sudut.

1 Jawapan 1

Halaju sudut sendi adalah halaju sudut sendi anda, kerana kami secara akut menangani masalah 2D. Ini akan menjadi jelas jika anda melihat sistem anda dari arah paksi $ z_0, z_1 $. Dalam gambar halaju sudut ini diberikan oleh $ dot < beta> $.

Anda harus mempertimbangkan empat kerangka koordinat. Kerangka koordinat pertama terpaku pada paksi sendi anda $ K_0 = (x_0, y_0, z_0) $. Bingkai kedua adalah bingkai 1 tetapi sekarang berputar di sekitar paksi $ z_0 = z_1 $. Dua bingkai lain terdapat dalam gambar inital anda. Sekiranya anda mengubah dari bingkai 1 ke bingkai lain, anda akan melihat bahawa matriks putaran akan bergantung pada masa. Ini jelas, kerana bergantung pada pergerakan bergantung pada masa $ beta $, bingkai koordinat juga akan bergerak dengan pergantungan masa.

  1. Mengapa halaju sudut hanya berbeza dengan halaju sudut sendi dan matriks putaran varian masa? Apa sebenarnya maksudnya?

Ini bermaksud bahawa kecepatan sudut bingkai koordinat kiri $ omega_1 $ dan halaju sudut bingkai koordinat kanan $ omega_2 $ dihubungkan oleh halaju sudut sendi $ dot < beta> $. Hubungan itu diberikan oleh:

Perhatikan, bahawa persamaan sederhana ini hanya berlaku kerana kita hanya mempunyai putaran 2D. Bayangkan $ dot < beta> = 0 $, maka sambungan itu bertindak seperti pautan tetap, oleh itu bingkai koordinat kiri dan kanan mempunyai halaju sudut yang sama. Sekiranya $ dot < beta> $ positif maka halaju sudut bingkai kanan $ omega_2 $ akan menjadi jumlah kelajuan sudut bingkai kiri $ omega_1 $ dan halaju sudut sendi $ dot < beta> $.


Contoh Pengiraan Kelajuan Sudut

Contoh 1: Carousel kanak-kanak berputar dengan 10 putaran seminit. Berapakah halaju sudut dalam darjah sesaat? Pertama, ubah putaran per minit ke darjah per minit. Oleh kerana satu revolusi adalah 360 & deg, 10 revolusi akan menjadi 3600 & deg per minit. Satu minit mempunyai 60 saat, jadi kita hanya membahagikan 3600 dengan 60 hingga 60 & deg / s. Pengiraan ini juga dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan kelajuan sudut pertama dan kedua di atas: f = 60/10 = 6 saat per putaran jadi & omegadarjah = 360/6 = 60 & deg / saat dan & omegarad = 2 & middot & pi / 60 & deg / s = 6.283184 / 6 = 1.0471973 radian sesaat.

Contoh 2: Roda Ferris dengan radius 20 meter berputar untuk menghasilkan halaju linier 0.5 m / s. Berapakah halaju sudut roda Ferris pada radian sesaat? Kami hanya menggunakan formula & omegarad = r / v = 20 / 0.5 = 0.0250 radian sesaat. Menggunakan alat di atas dalam mod kalkulator kelajuan linear akan mengesahkan matematik.

Contoh 3: Cari jarak dari Bumi ke Matahari jika anda mengetahui bahawa kelajuan Orbital Bumi adalah 29.800 m / s dan, tentu saja, ia menjadikan satu revolusi mengelilingi Matahari dalam 1 tahun. Pertama, kita perlu menukar revolusi setahun menjadi radian sesaat dengan mengalikan 1 tahun menjadi 2 & middot & pi = 6.283184 dan kemudian kita perlu membahagikan dengan (86.400 saat * 365.2421 hari) untuk mendapatkan 0.000000199106434243010 radian sesaat. Penyelesaiannya kemudian mudah dengan menggunakan formula r = v / & omega = 29,800 m / s / 0,000000199106434243010 = 149668694099.701 meter atau sekitar 149,667 km (

93,000 batu) - tepatnya anggaran jarak antara Bumi dan Matahari (periksa cek).

Sudah tentu, semasa menggunakan kalkulator kami, anda tidak perlu melakukan penukaran unit ini, kerana ia dikendalikan untuk anda dengan cepat.

Rujukan

[1] NIST Penerbitan Khas 330 (2008) - "The International System of Units (SI)", disunting oleh Barry N.Taylor dan Ambler Thompson, h. 52

[2] "Sistem Unit Antarabangsa" (SI) (2006, edisi ke-8). Biro antarabangsa des poids et mesures ms 142–143. ISBN 92-822-2213-6


Aduan DMCA

Sekiranya anda percaya bahawa kandungan yang tersedia melalui Laman Web (seperti yang ditentukan dalam Syarat Perkhidmatan kami) melanggar satu atau lebih hak cipta anda, harap maklumkan kepada kami dengan memberikan pemberitahuan bertulis ("Pemberitahuan Pelanggaran") yang mengandungi maklumat yang dijelaskan di bawah ini kepada yang ditentukan ejen yang disenaraikan di bawah. Sekiranya Tutor Varsity mengambil tindakan sebagai tindak balas terhadap Pemberitahuan Pelanggaran, ia akan berusaha dengan niat baik untuk menghubungi pihak yang menyediakan kandungan tersebut melalui alamat e-mel terbaru, jika ada, yang diberikan oleh pihak tersebut kepada Varsity Tutor.

Pemberitahuan Pelanggaran Anda boleh dikemukakan kepada pihak yang menyediakan kandungan tersebut atau kepada pihak ketiga seperti ChillingEffects.org.

Harap maklum bahawa anda akan bertanggungjawab atas ganti rugi (termasuk kos dan yuran pengacara) jika anda secara salah menyatakan bahawa produk atau aktiviti melanggar hak cipta anda. Oleh itu, jika anda tidak pasti kandungan yang terdapat di atau dihubungkan oleh Laman Web melanggar hak cipta anda, anda harus mempertimbangkan untuk menghubungi pengacara terlebih dahulu.

Ikuti langkah-langkah ini untuk mengemukakan notis:

Anda mesti memasukkan perkara berikut:

Tanda tangan fizikal atau elektronik pemilik hak cipta atau orang yang diberi kuasa untuk bertindak bagi pihaknya Pengenalan hak cipta yang didakwa telah dilanggar Keterangan mengenai sifat dan lokasi sebenar kandungan yang anda tuntut melanggar hak cipta anda, cukup terperinci untuk membolehkan Varsity Tutor mencari dan mengenal pasti kandungan itu secara positif. Contohnya, kami memerlukan pautan ke soalan tertentu (bukan hanya nama soalan) yang mengandungi kandungan dan perihalan bahagian soalan tertentu - gambar, gambar pautan, teks, dan lain-lain - aduan anda merujuk kepada nama, alamat, nombor telefon dan alamat e-mel Anda dan pernyataan oleh anda: (a) bahawa anda percaya dengan niat baik bahawa penggunaan kandungan yang anda tuntut melanggar hak cipta anda adalah tidak dibenarkan oleh undang-undang, atau oleh pemilik hak cipta atau ejen pemilik tersebut (b) bahawa semua maklumat yang terkandung dalam Pemberitahuan Pelanggaran anda adalah tepat, dan (c) di bawah hukuman sumpah, bahawa anda pemilik hak cipta atau orang yang diberi kuasa untuk bertindak bagi pihaknya.

Hantarkan aduan anda kepada ejen kami di:

Charles Cohn Varsity Tutor LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Louis, MO 63105


Penyelesaian kecepatan dan pecutan dikira dalam model 3D dengan cara yang sama seperti pada model 2D. Walau bagaimanapun, terdapat tiga pilihan dalam model 3D mengenai bagaimana data pesanan tinggi diwakili.
Oleh kerana orientasi sudut badan Modeler3D ditentukan oleh empat parameter umum Euler, , salah satu cara untuk mewakili kecepatan sudut dan pecutan badan dalam ruang 3 adalah dengan turunan pertama dan kedua dari Parameter Euler, dan . Kaedah lain yang lebih biasa untuk mewakili halaju dan pecutan sudut adalah dengan vektor halaju dan pecutan, dan , dalam koordinat global atau koordinat tempatan yang melekat pada setiap badan individu. Modeler3D dapat merumuskan penyelesaian yang lebih tinggi dalam representasi ini, yang masing-masing memerlukan set persamaan yang berbeza dibina oleh fungsi SetConstraints. Formulasi mana yang digunakan ditentukan dengan pilihan Kaedah dan Koordinat untuk SetSymbols.

Pilihan Kaedah untuk SetSymbols juga dapat digunakan dengan Modeler2D untuk menentukan koordinat sudut atau versi koordinat Euler yang merosot, walaupun koordinat Euler jarang digunakan dalam model 2D. Menentukan Kaedah - & gt Euler dalam model Modeler2D menyebabkan orientasi sudut setiap badan diwakili oleh sepasang koordinat = bukannya satu koordinat, n. Kecepatan dan pecutan juga diwakili oleh pasangan koordinat dan . Kemasukan ciri ini dalam Modeler2D sebahagian besarnya menentukan kaedah akademik - & gt Euler menyebabkan empat persamaan dihasilkan untuk setiap badan, bukannya hanya tiga, dan biasanya memperlambat fasa penyelesaian. Terdapat dua kelebihan yang diberikan oleh koordinat Euler degenerasi 2D: tidak ada fungsi trigonometri yang dihasilkan dalam ekspresi kekangan sehingga semua kekangan itu adalah aljabar semata-mata, dan turunan kedua dari matriks putaran 2D sangat mudah yang membawa kepada penyelesaian yang lebih cepat dalam beberapa sistem dinamik .

Model depan strut MacPherson yang ditentukan dalam Bahagian 4.1.3 digunakan untuk menunjukkan penyelesaian kecepatan dan pecutan 3D. Pilihan Penyelesaian - & gt Velocity menyebabkan SolveMech mengira lokasi dan halaju setiap badan dalam model.

Perhatikan bahawa halaju sudut setiap badan dikembalikan dalam bentuk turunan parameter Euler. Ini kerana persamaan kekangan dibina dengan semua pilihan lalai untuk SetSymbols. Sekiranya model dibina semula dengan Kaedah - & gt pilihan sudut untuk SetSymbols, turunan pertama parameter Euler akan digantikan oleh halaju sudut.

Kelajuan sudut casis dalam koordinat global ditunjukkan oleh simbol .
Pilihan Penyelesaian - & gt Percepatan menyebabkan SolveMech mengira lokasi, halaju, dan pecutan setiap badan dalam model. Perhatikan bahawa memerlukan lebih banyak masa untuk melaksanakan perintah berikut pada kali pertama daripada yang diperlukan pada semua pelaksanaan berikutnya. Ini kerana persamaan pecutan mesti dibina pada kali pertama.

Oleh kerana pecutan sudut adalah turunan pertama dari sudut sudut, vektor pecutan sudut pembawa, diwakili oleh turunan halaju sudut .
Modelnya kini dibina semula dengan pilihan Koordinat - & gt Local sehingga halaju sudut ditunjukkan dalam koordinat tempatan, bukannya global.

Perhatikan bahawa halaju sudut badan 3 hanya sedikit berbeza dengan halaju sudut global. Ini kerana orientasi sudut pembawa roda sangat hampir sejajar dengan sistem koordinat global.


MathHelp.com

Sekiranya anda & quot; memutar & memutar lilitan ini untuk mendapatkan garis lurus, maka anda akan menemui jarak perjalanan basikal. Hubungan semacam ini antara langkah-langkah yang berbeza adalah, saya fikir, mengapa topik ini sering timbul pada masa ini dalam kajian seseorang.

Pertama, kita memerlukan sebilangan istilah dan definisi teknikal.

& quot; Kecepatan sudut & quot adalah ukuran pusingan setiap masa. Ini memberitahu anda ukuran sudut di mana sesuatu berputar dalam jangka masa tertentu. Sebagai contoh, jika roda berputar enam puluh kali dalam satu minit, maka ia mempunyai kecepatan sudut 120 & pi radian per minit. Kemudian halaju sudut diukur dari segi radian sesaat, omega huruf kecil Yunani (& omega) sering digunakan sebagai namanya.

& quot; Halaju linear & quot adalah ukuran jarak setiap unit masa. Contohnya, jika roda pada contoh sebelumnya memiliki radius 47 sentimeter, maka setiap lilitan lilitan adalah 94 & pi cm, atau sekitar 295 cm. Oleh kerana roda melakukan enam puluh putaran ini dalam satu minit, maka panjang keseluruhan yang diliputi adalah 60 & kali 94 & pi = 5,640 & pi cm, atau kira-kira 177 meter, dalam satu minit. (Itu kira-kira 10.6 kph, atau sekitar 6.7 mph.)

& quotRevolutions per minute & quot, biasanya disingkat sebagai & rpm & quot, adalah ukuran pusingan per unit masa, tetapi unit waktu adalah selalu satu minit. Dan daripada memberikan ukuran sudut putaran, ia hanya memberikan bilangan putaran. Semasa anda melihat tachometer pada papan pemuka kenderaan, anda melihat rpm enjin kenderaan semasa. Dalam contoh di atas, rpm adalah & quot; 60 & quot.

& quotFrequency & quot f adalah ukuran putaran (atau getaran) setiap satuan masa, tetapi unit waktu selalu satu saat. Unit untuk frekuensi adalah & quothertz & quot, yang dilambangkan sebagai Hz.

Hubungan antara kekerapan f (dalam Hz), rpm, dan kecepatan sudut & omega (dalam radian) ditunjukkan di bawah (semua elemen dalam satu baris sama)


Edit Definisi

Edit halaju sudut

Hubungan segitiga Edit

Seperti yang ditunjukkan dalam rajah, pin engkol, pusat engkol dan pin piston membentuk segitiga NOP.
Dengan undang-undang kosinus dilihat bahawa:

Persamaan yang berikut menerangkan gerakan omboh berulang bagi sudut engkol. Contoh grafik persamaan ini ditunjukkan di bawah.

Edit kedudukan

Kedudukan berkenaan dengan sudut engkol (dari hubungan segitiga, melengkapkan petak, menggunakan identiti Pythagoras, dan menyusun semula):

Edit Kecepatan

Kecepatan berkenaan dengan sudut engkol (ambil turunan pertama, menggunakan peraturan rantai):

(jika anda ingin memanipulasi ini lebih jauh, sila tambahkan subseksyen di sini, termasuk penjelasan maksud (mis. "untuk mengasingkan istilah dosa"))

Edit Pecutan

Pecutan berkenaan dengan sudut engkol (ambil turunan kedua, menggunakan peraturan rantai dan peraturan bagi):

(jika anda ingin memanipulasi ini lebih jauh, sila tambahkan subseksyen di sini, termasuk penjelasan maksud (mis. "untuk mengasingkan istilah dosa")).

Turunan halaju sudut Edit

Sekiranya halaju sudut tetap, maka

dan hubungan berikut berlaku:

Menukar dari sudut domain ke domain domain Edit

Persamaan-persamaan yang berikut menggambarkan pergerakan omboh berulang-ulang dengan masa. Sekiranya domain masa diperlukan bukan domain sudut, ganti A dengan yang pertama ωt dalam persamaan, dan kemudian skala untuk halaju sudut seperti berikut:

Edit Kedudukan

Kedudukan berkenaan dengan masa adalah:

Edit Kecepatan

Kecepatan sehubungan dengan masa (menggunakan peraturan rantai):

Edit Pecutan

Percepatan sehubungan dengan masa (menggunakan peraturan rantai dan peraturan produk, dan turunan halaju sudut):

Penskalaan untuk kecepatan sudut

Anda dapat melihat bahawa x tidak diskala, x 'diskala oleh ω, dan x "diskala oleh ω². Untuk menukar x 'dari halaju vs sudut [m / rad] ke halaju vs masa [m / s] darabkan x' dengan ω [rad / s]. Untuk menukar x "dari pecutan vs sudut [m / rad²] ke pecutan vs masa [m / s²] darabkan x" dengan ω² [rad² / s²]. Perhatikan bahawa analisis dimensi menunjukkan bahawa unitnya konsisten.

Lintas sifar pecutan Edit

Secara definisi, kecepatan maksimum dan minimum berlaku pada angka sifar pecutan (penyeberangan paksi mendatar) ini bergantung pada panjang rod (l) dan separuh strok (r) dan buat tidak berlaku pada sudut engkol (A) ± 90 °.

Sudut engkol tidak bersudut tegak Edit

Maksima dan minimum halaju tidak semestinya berlaku semasa engkol membuat sudut yang betul dengan batang. Contoh kontra ada untuk membantah idea bahawa maksimum dan minima halaju hanya berlaku apabila sudut engkol batang bersudut tegak.

Contoh Edit

Untuk panjang rod 6 "dan radius engkol 2" (seperti yang ditunjukkan dalam contoh grafik di bawah), secara numerik menyelesaikan lintasan sifar pecutan mendapati kecepatan maksimum / minima berada pada sudut engkol ± 73.17615 °. Kemudian, dengan menggunakan hukum segitiga sinus, didapati bahawa sudut menegak batang adalah 18,60647 ° dan sudut batang engkol adalah 88,21738 °. Jelas, dalam contoh ini, sudut antara engkol dan batang bukan sudut tepat. Menjumlahkan sudut segitiga 88.21738 ° + 18.60647 ° + 73.17615 ° memberikan 180.00000 °. Contoh kontra tunggal cukup untuk membantah penyataan "maxima halaju / minima berlaku apabila engkol membuat sudut yang betul dengan batang".

Grafik menunjukkan x, x ', x "berkenaan dengan sudut engkol untuk pelbagai separuh pukulan, di mana L = panjang batang (l) dan R = separuh pukulan (r):

Animasi gerakan omboh dengan panjang rod yang sama dan nilai jejari engkol dalam grafik di atas:


Algoritma

curl mengira terbitan separa dalam definisinya dengan menggunakan perbezaan terhingga. Untuk titik data dalaman, derivatif separa dikira menggunakan perbezaan pusat . Untuk titik data di sepanjang tepi, derivatif separa dikira menggunakan perbezaan satu sisi (hadapan) .

Sebagai contoh, pertimbangkan medan vektor 2-D F yang diwakili oleh matriks Fx dan Fy di lokasi X dan Y dengan ukuran m -by- n. Lokasi adalah grid 2-D yang dibuat oleh [X, Y] = meshgrid (x, y), di mana x adalah vektor panjang n dan y adalah vektor panjang m. curl kemudian mengira terbitan separa ∂Fy / ∂x dan ∂Fx / ∂y sebagai

dFy_dx (:, i) = (Fy (:, i + 1) - Fy (:, i-1)) / (x (i + 1) - x (i-1)) dan

dFy_dx (:, 1) = (Fy (:, 2) - Fy (:, 1)) / (x (2) - x (1)) dan

untuk titik data di tepi kiri dan kanan.

dFx_dy (1, :) = (Fx (2, :) - Fx (1,:)) / (y (2) - y (1)) dan

untuk titik data di tepi atas dan bawah.

Keriting numerik medan vektor sama dengan curlz = dFy_dx - dFx_dy dan halaju sudut adalah cav = 0.5 * curlz.


Kecepatan Sudut vs Kecepatan Linear

Berdasarkan masalah sebelumnya, bayangkan diri anda pada putaran merry yang sangat besar, dengan radius 10 kilometer (10,000 meter) yang tidak mungkin. Merry-go-round ini menjadikan satu revolusi lengkap setiap 1 minit dan 40 saat, atau setiap 100 saat.

Salah satu akibat perbezaan antara halaju sudut, yang tidak bergantung pada jarak dari paksi putaran, dan halaju bulat linier, yang tidak, adalah bahawa dua orang mengalami & # 8203ω& # 8203 mungkin mengalami pengalaman fizikal yang sangat berbeza. Sekiranya anda berada 1 meter dari pusat jika putaran merry go-go yang besar ini, kelajuan linear (tangensial) anda adalah:


Tonton videonya: Pārgalvība uz ceļiem: Vidzemē palielinās ātruma pārkāpēju skaits (Disember 2021).