Artikel

7.2: Nilai Eigen - Matematik


Definisi 7.2.1. Biarkan (T ) di ( mathcal {L} (V, V) ). Maka ( lambda ) di ( mathbb {F} ) ialah nilai eigen (T ) jika terdapat vektor bukan sifar (u in V ) sedemikian rupa

[T u = lambda u. ]

Vektor (u ) dipanggil an eigenvector (T ) sepadan dengan nilai eigen ( lambda ).

Mencari nilai eigen dan eigen vektor operator linear adalah salah satu masalah yang paling penting dalam Linear Algebra. Kita akan melihat kemudian bahawa apa yang disebut "maklumat eigen" ini mempunyai banyak kegunaan dan aplikasi. (Sebagai contoh, mekanik kuantum didasarkan pada pemahaman nilai eigen dan vektor eigen pengendali pada ruang vektor yang ditentukan secara khusus. Walau bagaimanapun, ruang vektor ini selalunya tidak berukuran dimensi, dan oleh itu kita tidak menganggapnya lebih jauh dalam nota ini.)

Contoh 7.2.2.

  • Biarkan (T ) menjadi peta sifar yang ditentukan oleh (T (v) = 0 ) untuk semua (v di V ). Kemudian setiap vektor (u neq 0 ) adalah vektor eigen (T ) dengan nilai eigen (0 ).
  • Biarkan (I ) menjadi peta identiti yang ditentukan oleh (I (v) = v ) untuk semua (v di V ). Kemudian setiap vektor (u neq 0 ) adalah vektor eigen (T ) dengan nilai eigen (1 ).
  • Peta unjuran (P: mathbb {R} ^ 3 to mathbb {R} ^ 3 ) yang ditentukan oleh (P (x, y, z) = (x, y, 0) ) mempunyai nilai eigen (0 ) dan (1 ). Vektor ((0,0,1) ) adalah eigenvector dengan nilai eigen (0 ), dan kedua ((1,0,0) ) dan ((0,1,0) ) adalah vektor eigen dengan nilai eigen (1 ).
  • Arahkan operator (R: mathbb {F} ^ 2 ) ke ( mathbb {F} ^ 2 ) yang ditentukan oleh (R (x, y) = (- y, x) ). Apabila ( mathbb {F} = mathbb {R} ),

(R ) dapat ditafsirkan sebagai putaran berlawanan arah jarum jam oleh (90 ^ 0 ). Dari tafsiran ini, jelas bahawa tidak ada vektor bukan sifar di ( mathbb {R} ^ 2 ) yang dipetakan ke gandaan skalarnya sendiri. Oleh itu, untuk ( mathbb {F} = mathbb {R} ), pengendali (R ) tidak mempunyai nilai eigen.

Untuk ( mathbb {F} = mathbb {C} ), keadaannya berbeza! Dalam kes ini, ( lambda in mathbb {C} ) adalah nilai eigen dari (R ) jika

[R (x, y) = (-y, x) = lambda (x, y) ]

supaya (y = - lambda x ) dan (x = lambda y ). Ini menunjukkan bahawa (y = - lambda ^ 2 y ), iaitu ( lambda ^ 2 = -1 ). Oleh itu, penyelesaiannya adalah ( lambda = pm i ). Seseorang boleh memastikan bahawa ((1, -i) ) adalah eigenvector dengan nilai eigen (i ) dan ((1, i) ) adalah eigenvector dengan nilai eigen (- i ).

Eigenspaces adalah contoh penting bagi ruang bawah yang tidak berubah. Mari (T in mathcal {L} (V, V) ), dan biarkan ( lambda in mathbb {F} ) menjadi nilai eigen dari (T ). Kemudian

[V_ lambda = {v in V mid Tv = lambda v } ]

disebut sebagai ruang eigens daripada (T ). Sama,

[V_ lambda = kernel (T- lambda I). ​​]

Perhatikan bahawa (V_ lambda neq {0 } ) kerana ( lambda ) adalah nilai eigen jika dan hanya jika terdapat vektor bukan nol (u ) di (V ) sehingga ( Tu = lambda u ). Kami dapat merumuskannya seperti berikut:

( lambda in mathbb {F} ) adalah nilai eigen (T ) jika dan hanya jika pengendali (T- lambda I ) tidak menyuntik.

Oleh kerana tanggapan mengenai suntikan, keterlaluan, dan kebolehubahan adalah setara untuk pengendali pada ruang vektor dimensi terhingga, kita boleh mengatakan salah satu daripada yang berikut:

  • ( lambda in mathbb {F} ) adalah nilai eigen dari (T ) jika dan hanya jika pengendali (T- lambda I ) tidak menduga.
  • ( lambda in mathbb {F} ) adalah nilai eigen (T ) jika dan hanya jika pengendali (T- lambda I ) tidak dapat dibalikkan.

Kami menutup bahagian ini dengan dua fakta asas mengenai nilai eigen dan eigenvektor.

Teorem 7.2.3. Biarkan (T in mathcal {L} (V, V) ), dan biarkan ( lambda_1, ldots, lambda_m in mathbb {F} ) menjadi (m ) nilai eigen yang berbeza dari (T ) dengan eigen vektor bukan sifar (v_1, ldots, v_m ). Kemudian ((v_1, ldots, v_m) ) bebas secara linear.

Bukti. Katakan bahawa ((v_1, ldots, v_m) ) bergantung secara linear. Kemudian, oleh Linear Dependence Lemma, terdapat indeks (k in {2, ldots, m } ) sehingga

[v_k in Span (v_1, ldots, v_ {k-1}) ]

dan sedemikian rupa sehingga ((v_1, ldots, v_ {k-1}) ) bebas secara linear. Ini bermaksud bahawa terdapat skalar (a_1, ldots, a_ {k-1} ) di ( mathbb {F} ) sehingga

[v_k = a_1 v_1 + cdots + a_ {k-1} v_ {k-1}. tag {7.2.1} ]

Menerapkan (T ) ke kedua-dua sisi menghasilkan, menggunakan fakta bahawa (v_j ) adalah eigenvector dengan nilai eigen ( lambda_j ),

[ lambda_k v_k = a_1 lambda_1 v_1 + cdots + a_ {k-1} lambda_ {k-1} v_ {k-1}. ]

Menolak Persamaan ( lambda_k ) kali (7.2.1) dari ini, kita memperoleh

[0 = ( lambda_k - lambda_1) a_1 v_1 + cdots + ( lambda_k- lambda_ {k-1}) a_ {k-1} v_ {k-1}. ]

Oleh kerana ((v_1, ldots, v_ {k-1}) ) bebas secara linear, kita mesti mempunyai (( lambda_k- lambda_j) a_j = 0 ) untuk semua (j = 1,2, ldots, k-1 ). Dengan anggapan, semua nilai eigen berbeza, jadi ( lambda_k- lambda_j neq 0 ), yang menunjukkan bahawa (a_j = 0 ) untuk semua (j = 1,2, ldots, k-1 ) . Tetapi kemudian, dengan Persamaan (7.2.1), (v_k = 0 ), yang bertentangan dengan anggapan bahawa semua vektor eigen bukan sifar. Oleh itu ((v_1, ldots, v_m) ) bebas secara linear.

Akibat 7.2.4. Mana-mana pengendali (T in mathcal {L} (V, V) ) mempunyai paling banyak ( redup (V) ) nilai eigen yang berbeza.

Bukti. Mari ( lambda_1, ldots, lambda_m ) menjadi nilai eigen yang berbeza dari (T ), dan biarkan (v_1, ldots, v_m ) menjadi eigenvektor bukan sifar. Dengan Teorem 7.2.3, senarai ((v_1, ldots, v_m) ) bebas secara linear. Oleh itu (m le redup (V) ).


Penyelesaian untuk Bab 7.2: Nilai Eigen dan Eigenvektor

Penyelesaian untuk Bab 7.2: Nilai Eigen dan Eigenvektor

  • 7.2.1: Hitung nilai eigen dan vektor eigen yang berkaitan dengan followin.
  • 7.2.2: Hitung nilai eigen dan vektor eigen yang berkaitan dengan followin.
  • 7.2.3: Cari nilai eigen kompleks dan vektor eigen yang berkaitan untuk fo.
  • 7.2.4: Cari nilai eigen kompleks dan vektor eigen yang berkaitan untuk fo.
  • 7.2.5: Cari jejari spektrum untuk setiap matriks dalam Latihan 1.
  • 7.2.6: Cari jejari spektrum untuk setiap matriks dalam Latihan 2.
  • 7.2.7: Matrik yang manakah dalam Latihan 1 yang bertumpu?
  • 7.2.8: Matrik yang manakah dalam Latihan 2 yang bersatu?
  • 7.2.9: Cari norma l2 untuk matriks dalam Latihan 1.
  • 7.2.10: Cari norma l2 untuk matriks dalam Latihan 2.
  • 7.2.11: Biarkan A1 = 1 0 1 4 1 2 dan A2 = 1 2 0 16 1 2. Tunjukkan bahawa A1 bukan co.
  • 7.2.12: Matriks n n A dipanggil nilpotent jika bilangan bulat m wujud dengan Am.
  • 7.2.13: Tunjukkan bahawa ciri polinomial p () = det (A I) untuk n n.
  • 7.2.14: a. Tunjukkan bahawa jika A adalah matriks n n, maka det A = & ampn i = 1 i, di mana i.
  • 7.2.15: 15. Biarkan nilai eigen dari n n matriks A dan x = 0 menjadi kaitan.
  • 7.2.16: Tunjukkan bahawa jika A adalah simetri, maka || A || 2 = (A).
  • 7.2.17: Dalam Latihan 15 Bahagian 6.3, kami menganggap bahawa sumbangan a.
  • 7.2.18: Cari matriks A dan B yang (A + B) & gt (A) + (B). (Ini menunjukkan bahawa.
  • 7.2.19: Tunjukkan bahawa jika || || adakah norma semula jadi, maka (|| A1 ||) 1 || || A || untuk.
Buku Teks: Analisis Berangka
Edisi: 9
Pengarang: Richard L. Burden, J. Douglas Faires
ISBN: 9780538733519

Panduan survival buku teks yang luas ini merangkumi bab berikut dan penyelesaiannya. Bab 7.2: Nilai Eigen dan Eigenvektor merangkumi 19 penyelesaian langkah demi langkah penuh. Panduan survival buku teks ini dibuat untuk buku teks: Analisis Numerik, edisi: 9. Analisis Numerik ditulis oleh dan dikaitkan dengan ISBN: 9780538733519. Sejak 19 masalah dalam bab 7.2: Nilai Eigen dan Eigenvectors telah dijawab, lebih daripada 31356 pelajar telah melihat penyelesaian langkah demi langkah sepenuhnya dari bab ini.

Tv = Av + ​​Vo = transformasi linear ditambah peralihan.

Det (A) adalah jumlah n! syarat. Untuk setiap istilah: Gandakan satu entri dari setiap baris dan lajur A: baris dalam urutan 1,. , dan susunan lajur diberikan oleh permutasi P. Setiap n! P & # 39 mempunyai tanda + atau -.

Apabila pemboleh ubah rawak Xi mempunyai nilai rata-rata = nilai purata = 0, kovarians & quot & # 39 £ ij adalah purata XiX j. Dengan kaedah Xi, matriks: E = min bagi (x - x) (x - x) T adalah positif (separa) pasti: E adalah pepenjuru jika Xi bebas.

B j mempunyai b menggantikan lajur j dari A x j = det B j I det A

0,1,1,2,3,5,. memuaskan Fn = Fn-l + Fn- 2 = (A7 -A

) Saya () q -A2). Kadar pertumbuhan Al = (1 + .J5) 12 adalah nilai eigen terbesar dari matriks Fibonacci [> A].

Lajur tanpa pangsi adalah gabungan lajur sebelumnya.

Balikkan operasi demi baris pada [A I] untuk mencapai [I A-I].

Akar kuasa dua x T x (Pythagoras dalam dimensi n).

Penambahan vektor dan pendaraban skalar.

Setiap vektor V di ruang input berubah menjadi T (v) di ruang keluaran, dan linearitas memerlukan T (cv + dw) = c T (v) + d T (w). Contoh: Pendaraban matriks A v, pembezaan dan penyepaduan dalam ruang fungsi.

Ln = 2, J, 3, 4 ,. memuaskan Ln = L n- l + Ln- 2 = A1 + A

, dengan AI, A2 = (1 ± - / 5) / 2 dari matriks Fibonacci U

Semua mij & gt 0 dan setiap jumlah lajur adalah 1. Nilai eigen terbesar A = 1. Sekiranya mij & gt 0, lajur Mk menghampiri eigenvektor keadaan tetap M s = s & gt O.

Di setiap lajur, pilih pivot terbesar yang tersedia untuk mengawal pusingan semua pengganda mempunyai leij I & lt 1. Lihat nombor keadaan.

MATLAB membuat matriks dengan entri rawak, diedarkan secara seragam pada [0 1] untuk rand dan taburan normal standard untuk randn.

Pivots = 1 sifar di atas dan di bawah pivot, baris n bukan sifar R memberikan asas untuk ruang baris A.

Satu pemboleh ubah bebas ialah Si = 1, pemboleh ubah bebas lain = o.

Simetri A sebenar mempunyai A & # 39S dan Q & # 39 ortonormal sebenar.

Entri AL = Ajj. AT is n oleh In, AT A adalah semidefinite persegi, simetri, positif. Transposisi AB dan A-I adalah BT AT dan (AT) -I.


3 Jawapan 3

Penjelasannya cukup mudah dengan perubahan asas yang sesuai.

Membiarkan $ B = bermula 1 & amp 0 & amp 1 & amp 0 i & amp 0 & amp -i & amp 0 0 & amp 1 & amp 0 & amp 1 0 & amp i & amp 0 & amp -i end$ kita mempunyai $ B ^ <-1> M _ < mu> B = bermula 1 + i mu & amp 1 & amp 0 & amp 0 -1 & amp 0 & amp 0 & amp 0 0 & amp 0 & amp 1-i mu & amp 1 0 & amp 0 & amp -1 & amp 0 end$ Membiarkan $ N_ mu = bermula 1 + i mu & amp 1 -1 & amp 0 akhir$, dengan itu kita mempunyai $ B ^ <-1> AB = bermula prod N_ < mu_i> & amp 0 0 & amp overline < prod N _ < mu_i >> akhir$ di mana bar menunjukkan konjugasi kompleks masuk akal. Oleh itu, nilai eigen $ A $ adalah $ prod N _ < mu_i> $ ditambah dengan $ overline < prod N _ < mu_i >> $, yang merupakan konjugasi kompleks mereka. Lebih-lebih lagi, kerana $ N_ mu $ mempunyai penentu $ 1 $, begitu juga $ prod N _ < mu_i> $, jadi dua nilai eigennya adalah kebalikan satu sama lain.

EDIT: hanya jawapan separa yang tidak menyelesaikan soalan sepenuhnya.

Ini adalah varian matriks simplektik. Matriks anda $ M_ mu $ adalah ortogonal sebagai produk skalar tak tentu yang disebabkan oleh $ Omega = begin 0 & amp 0 & amp 0 & amp 1 0 & amp 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp -1 & amp 0 & amp 0 -1 & amp 0 & amp 0 & amp 0 end, $ iaitu, mereka memenuhi harta $ M ^ <*> Omega M = Omega. $

Seseorang dapat melihat bahawa jika $ ( lambda, v) $ adalah pasangan eigen dengan harga $ M $, maka $ ( frac <1> < lambda>, Omega v) $ adalah pasangan eigen dengan harga $ M ^ * $, dan oleh itu $ frac <1> < overline < lambda >> $ berada dalam spektrum $ M $: $ frac <1> < lambda> Omega v = frac <1> < lambda> M ^ * Omega Mv = frac <1> < lambda> M ^ * Omega lambda v = M ^ * Omega v. $

Harta ini, bersama-sama dengan fakta bahawa matriks sebenar mempunyai nilai eigen yang terdapat dalam pasangan konjugasi kompleks, meletakkan kekangan yang kuat untuk menilai nilai eigen yang anda dapat.

Terdapat juga kemungkinan nilai eigen dalam bentuk $ lambda_1, lambda_2, frac1 < lambda_1>, frac1 < lambda_2> $, seharga $ lambda_1, lambda_2 in mathbb$. Kes ini sebenarnya berlaku: misalnya, $ M_2M_ <-2> $ mempunyai empat nilai eigen sebenar, walaupun dalam kes ini saya mendapat $ lambda_1 = lambda_2 $.

Empat nilai eigen khayalan juga boleh muncul: misalnya $ M_ <-2> M_ <1/2> $ mempunyai nilai eigen $ < pm 2i, pm frac12 i > $.

EDIT: jika difikirkan lebih lanjut, saya masih tidak dapat mengecualikan bahawa nilai eigen adalah dalam bentuk yang disarankan oleh Sascha dalam komen, ini bukan contohnya kerana nilai eigen sebenar mempunyai banyaknya 2. Maaf :(


Nilai Eigen dan Eigenvektor: Pengenalan

Masalah nilai eigen adalah masalah kepentingan teori dan aplikasi yang luas. Sebagai contoh, masalah ini sangat penting dalam menyelesaikan sistem persamaan pembezaan, menganalisis model pertumbuhan penduduk, dan mengira kekuatan matriks (untuk menentukan matriks eksponensial). Bidang lain seperti fizik, sosiologi, biologi, ekonomi dan statistik telah memusatkan perhatian pada "nilai eigen" dan "vektor eigen" - aplikasi mereka dan pengiraannya. Sebelum kita memberikan definisi formal, mari kita memperkenalkan konsep-konsep ini sebagai contoh.

Contohnya. Pertimbangkan matriks

Pertimbangkan matriks tiga lajur

Seterusnya pertimbangkan matriks P yang lajurnya adalah C 1, C 2, dan C 3, iaitu,

Kami mempunyai det (P) = 84. Oleh itu matriks ini tidak dapat ditukar. Pengiraan mudah memberi

Seterusnya kita menilai matriks P -1 AP. Kami menyerahkan butirannya kepada pembaca untuk memeriksa bahawa kami mempunyai

Dengan menggunakan pendaraban matriks, kita memperoleh

yang menunjukkan bahawa A serupa dengan matriks pepenjuru. Khususnya, kita mempunyai

untuk. Perhatikan bahawa hampir mustahil untuk mencari A 75 secara langsung dari bentuk asal A.

Contoh ini begitu kaya dengan kesimpulan sehingga banyak persoalan memaksakan diri dengan cara semula jadi. Sebagai contoh, diberi matriks persegi A, bagaimana kita dapat mencari matriks lajur yang mempunyai tingkah laku yang serupa dengan yang di atas? Dengan kata lain, bagaimana kita dapat menemukan matriks lajur ini yang akan membantu mencari matriks P yang boleh dibalikkan sehingga P -1 AP adalah matriks pepenjuru?

Mulai sekarang, kita akan memanggil vektor matriks lajur. Jadi matriks lajur di atas C 1, C 2, dan C 3 kini menjadi vektor. Kami mempunyai definisi berikut.

Definisi. Biarkan A menjadi matriks persegi. Vektor bukan sifar C dipanggil eigen vektor A jika dan hanya jika ada nombor (nyata atau kompleks) sehingga

Sekiranya bilangan tersebut ada, ia disebut nilai eigen dari A. Vektor C dipanggil eigenvector yang berkaitan dengan nilai eigen.

Catatan. Eigenvector C mestilah tidak sifar sejak kita ada

Contohnya. Pertimbangkan matriks

Jadi C 1 adalah eigenvector A yang dikaitkan dengan nilai eigen 0. C 2 adalah eigenvector A yang dikaitkan dengan nilai eigen -4 sementara C 3 adalah eigenvector A yang dikaitkan dengan nilai eigen 3.

Mungkin menarik untuk mengetahui sama ada kita menjumpai semua nilai eigen A dalam contoh di atas. Di halaman seterusnya, kita akan membincangkan soalan ini serta bagaimana mencari nilai eigen dari matriks persegi.


Matematik Di Sebalik PCA

PCA boleh dianggap sebagai masalah pembelajaran yang tidak diawasi. Keseluruhan proses mendapatkan komponen asas dari set data mentah dapat dipermudah dalam enam bahagian:

  • Ambil keseluruhan dataset yang terdiri daripada d + 1 dimensi dan abaikan label sehingga set data baru kami menjadi d dimensi.
  • Kira bermaksud untuk setiap dimensi keseluruhan dataset.
  • Kira matriks kovarians keseluruhan dataset.
  • Pengiraan vektor eigen dan yang sesuai nilai eigen.
  • Isih vektor eigen dengan mengurangkan nilai eigen dan pilih vektor eigen dengan nilai eigen terbesar untuk membentuk dimensi d × k matriks W.
  • Guna ini matriks eigenvektor d × k untuk mengubah sampel ke ruang bawah yang baru.

Jadi, mari kita buka matematik di belakang setiap satu ini satu demi satu.

  1. Ambil keseluruhan dataset yang terdiri daripada d + 1 dimensi dan abaikan label sehingga set data baru kami menjadi d dimensi.

Katakanlah kita mempunyai set data yang d + 1 dimensi. Di mana d boleh difikirkan sebagai X_train dan 1 boleh dianggap sebagai tren y_ (label) dalam paradigma pembelajaran mesin moden. Jadi, X_train + y_train merangkumi set data kereta api lengkap kami.

Oleh itu, setelah kita meletakkan label yang kita tinggalkan d dimensi dataset dan ini akan menjadi dataset yang akan kita gunakan untuk mencari komponen utama. Juga, anggaplah kita dibiarkan dengan set data tiga dimensi setelah mengabaikan label iaitu d = 3.

kita akan menganggap bahawa sampel berasal dari dua kelas yang berbeza, di mana satu setengah sampel kumpulan data kami dilabel kelas 1 dan separuh kelas 2 yang lain.

Biarkan matriks data kami X menjadi skor tiga pelajar:

2. Hitung min setiap dimensi dari keseluruhan kumpulan data.

Data dari jadual di atas dapat ditunjukkan dalam matriks A, di mana setiap lajur dalam matriks menunjukkan skor pada ujian dan setiap baris menunjukkan skor pelajar.

Jadi, min matriks A akan menjadi

3. Kira matriks kovarians keseluruhan dataset (kadangkala disebut juga sebagai matriks varians-kovarians)

Oleh itu, kita dapat mengira kovarians dua pemboleh ubah X dan Y menggunakan formula berikut

Dengan menggunakan formula di atas, kita dapat mencari matriks kovarians A. Juga, hasilnya akan menjadi matriks segi empat sama dengan dimensi d × d.

Mari tulis semula matriks asal kami seperti ini

Ini cmatriks ovarians akan menjadi

Beberapa perkara yang dapat diperhatikan di sini ialah:

  • Ditunjukkan dalam Biru di sepanjang pepenjuru, kita melihat perbezaan skor untuk setiap ujian. Ujian seni mempunyai varians terbesar (720) dan ujian bahasa Inggeris, terkecil (360). Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa skor ujian seni mempunyai kebolehubahan lebih banyak daripada skor ujian bahasa Inggeris.
  • Kovarians ditunjukkan dalam warna hitam dalam elemen matriks diagonal A

a) Kovarians antara matematik dan bahasa Inggeris adalah positif (360), dan kovarians antara matematik dan seni adalah positif (180). Ini bermaksud skor cenderung bersifat kovari dengan cara yang positif. Apabila skor matematik meningkat, skor seni dan bahasa Inggeris juga cenderung meningkat dan sebaliknya.

b) Walau bagaimanapun, kesamaan antara bahasa Inggeris dan seni adalah sifar. Ini bermaksud tidak ada hubungan yang dapat diramalkan antara pergerakan bahasa Inggeris dan skor seni.

4. Hitung Eigenvektor dan nilai Eigen yang sepadan

Secara intuitif, vektor eigen adalah vektor yang arahnya tetap tidak berubah ketika transformasi linear diterapkan padanya.

Sekarang, kita dapat menghitung eigenvalue dan eigenvectors dengan mudah dari matriks kovarians yang kita ada di atas.

Biarkan A menjadi matriks persegi, ν vektor dan λ skalar yang memuaskan Aν = λν, kemudian λ dipanggil eigenvalue yang berkaitan dengan eigenvector ν daripada A.

Nilai eigen dari A adalah punca persamaan ciri


Sumber Web Wolfram

Alat # 1 untuk membuat Demonstrasi dan apa sahaja teknikal.

Terokai apa sahaja dengan enjin pengetahuan pengkomputeran pertama.

Terokai ribuan aplikasi percuma untuk sains, matematik, kejuruteraan, teknologi, perniagaan, seni, kewangan, sains sosial dan banyak lagi.

Sertailah inisiatif untuk memodenkan pendidikan matematik.

Selesaikan integrasi dengan Wolfram | Alpha.

Jalani masalah kerja rumah selangkah demi selangkah dari awal hingga akhir. Petunjuk membantu anda mencuba langkah seterusnya sendiri.

Masalah dan jawapan amalan rawak tanpa had dengan penyelesaian Langkah demi langkah yang terbina dalam. Berlatih dalam talian atau buat helaian belajar yang boleh dicetak.

Koleksi alat pengajaran dan pembelajaran yang dibina oleh pakar pendidikan Wolfram: buku teks dinamik, rancangan pelajaran, widget, Demonstrasi interaktif, dan banyak lagi.


Matematik Lanjutan STPM T

Secara amnya, siri Taylor mempunyai banyak kegunaan. Kita boleh menggunakannya untuk melakukan salah satu perkara berikut:

A. BUAT FUNGSI YANG DIBERIKAN

Anda diberi senarai siri Maclaurin di bahagian terakhir. Sekarang saya menunjukkannya kepada anda sekali lagi di bawah:

Ini semua tidak berlaku. Anda masih boleh mencari dan memperoleh siri Taylor atau Maclaurin fungsi lain seperti dosa -1 x, coth -1 x atau lg x 2 . Kaedahnya sama, dengan menyenaraikan siri fungsi Taylor atau Maclaurin. Sebagai contoh,
sin -1 x = a + bx + cx 2 + dx 3 + ex 4 + & # 8230

dan anda menggantikan x = 0 untuk mendapatkan a. Untuk mendapatkan b, anda membezakan sekali dan menggantikan x = 0, dan c, bezakan dua kali, dan lain-lain. Pekali a, b, c dan sebagainya mungkin tidak mempunyai urutan tertentu seperti fungsi yang disenaraikan di atas, tetapi sekurang-kurangnya anda mempunyai polinomial yang munasabah untuk menganggarkan fungsi tersebut tanpa adanya kalkulator.

Selain itu, anda juga boleh menggabungkan lebih dari 2 fungsi untuk mencari siri Taylor baru untuk mereka. Sebagai contoh, (1 + x) 2 kos x boleh berasal dari

Menambah dan mengurangkan fungsi (seperti sin x + cos xatau penggantian pemboleh ubah (seperti e 8x atau dosa x 2 ) juga boleh diturunkan dengan mudah.

B. MEMBEZAKAN DAN MENGATASI SIRI UNTUK MENDAPATKAN KEPUTUSAN LAIN

Adakah anda perhatikan bahawa undang-undang kalkulus juga mematuhi peraturan rangkaian kuasa? Mengambil cos x sebagai contoh, membezakan kedua-dua belah pihak, memberi

Ini adalah maklumat yang sangat berguna. Anda dapat mempercepat pengiraan jika anda diminta untuk mendapatkan rangkaian fungsi yang berkaitan dengan fungsi yang diketahui di atas. Ngomong-ngomong, jika anda dapat mencari senarai polinomial, anda juga ingin belajar bagaimana mencari notasi penjumlahan dari siri turunannya. Baca Matematik T anda Urutan & Siri amp, dan cuba memanfaatkan pengetahuan yang anda pelajari di sana.

C. MENEMUKAN BATAS FUNGSI

Apabila anda diminta untuk mengetahui had fungsi yang rumit sebagai x & # 8594 0, anda sebenarnya dapat memanfaatkan rangkaian fungsi Maclaurin. Sebagai contoh,

Untuk menolong anda, anda mungkin ingin belajar Peraturan L & # 8217Ho & # 770pital & # 8217s juga. Peraturan ini sangat berguna dalam keadaan ini, ia menyatakan bahawa jika f (a) = 0, g (a) = 0, dan g & # 8217 (a) & # 8800 0, kemudian

Gunakan peraturan ini apabila anda mendapat keputusan 0/0. Ingat bahawa peraturan ini hanya berlaku jika f (a) = 0 benda memang betul.

D. MENYELESAIKAN PERBEZAAN PERBEZAAN NOMBOR

Saya percaya anda sudah tahu apa itu persamaan pembezaan, hanya anda yang tahu bagaimana menyelesaikan sedikit daripada mereka. Jadi di sini, kami cuba menganggarkan dan mewakili satu set persamaan pembezaan sebagai siri Taylor, dan dengan itu cuba menganggarkan fungsi untuk nilai x mendekati a, apabila diperluas pada x = a. Saya & # 8217 akan menunjukkan contoh:

Cari penyelesaian siri Taylor & # 8217s untuk y hingga dan termasuk istilah dalam x 4 untuk persamaan pembezaan

Oleh itu, cari y betul hingga 9 d.p. apabila x = 0.01.

Itu & # 8217 untuk bab ini. Masih ingat turunan dari Pengedaran Poisson? Anda mungkin boleh menjelaskan kepada rakan anda sekarang menggunakan pengetahuan anda di Seri Kuasa. ☺


7. Nilai Eigen dan Penentu

Nilai eigen dan penentu menunjukkan banyak maklumat mengenai matriks. Dalam llab ini kita akan belajar bagaimana menggunakan MATLAB untuk menghitung nilai eigen, vektor eigen, dan penentu suatu matriks. Penekanan akan diberikan pada nilai eigen dan bukan penentu, kerana konsep yang pertama lebih berguna daripada yang terakhir - ini harus menjadi jelas melalui latihan.

Seperti yang anda sedia maklum sekarang, ada formulafor yang bagus yang mengira penentu matriks 2x2. Walaupun kes 3x3 tidak sukar. Tetapi apabila saiz matriks meningkat, begitu juga kerumitan penentu pengiraan. Di sinilah MATLAB, atau program komputeralgebra lain masuk.

Mari mulakan dengan memasukkan rujukan berikut ke dalam MATLAB:

Untuk mengira penentu matriks ini kita akan menggunakan perintah det ( ) . Maksudnya, untuk mengira penentu A kita taipkan yang berikut

MATLAB memberi kita -472 sebagai jawapannya. Begitu juga yang kita dapat

(a) Hitung penentu B dengan tangan. Pastikan anda memberi ruang yang cukup dalam catatan anda untuk pengiraan. Tunjukkan semua kerja.

(b) Gunakan MATLAB untuk mengira penentu matriks berikut:

Catatan: Dalam MATLAB transposisi matriks dilambangkan dengan apostrof iaitu A T diberikan oleh perintah

(c) Matrik di atas yang manakah TIDAK boleh diterbalikkan? Terangkan alasan anda.

(d) Sekarang kita tahu penentu A dan B, tetapi seandainya kita kehilangan matriks asalnya A dan B. Yang manakah antara penentu di bahagian (b) yang masih akan dapat kita hitung, walaupun tanpa A atau B di tangan? Terangkan alasan anda.

Catatan 7.1 The penggunaan penentu dalam kelas ini berkaitan dengan idea kebolehbalikan. Apabila anda menggunakan MATLAB untuk tujuan tersebut, anda harus memahami bahawa program ini memperkenalkan kesalahan pembulatan (seperti yang anda lihat di Makmal 2). Oleh itu, ada kemungkinan bahawa matriks nampaknya tidak mempunyai penentu sifar namun belum dapat dibalikkan. Ini hanya berlaku untuk matriks dengan entri bukan bilangan bulat. Abovematrice tidak termasuk dalam kategori ini kerana semua entri mereka adalah bilangan bulat.

Latihan 7.2 Dalam latihan ini kita akan menggunakan matriks berikut:

Gunakan det ( ) untuk mengira penentu N ^ 100. Adakah anda berfikir bahawa N ^ 100 tidak dapat ditarik balik? Gunakan juga arahan untuk mengira penentu N.

Sekarang, menggunakan penentu N sebagai kuantiti yang diketahui, hitung dengan tangan penentu N ^ 100. Apa yang anda perhatikan?

Petunjuk: lihat Catatan 7.1 dan pertimbangkan beberapa sifat penentu.

Untuk sisa makmal ini, kita akan melihat nilai eigen dan eigen vektor matriks. Perintah yang akan kita gunakan di sini adalah eig ( ) . Kita boleh menggunakan untuk menghitung nilai eigen sahaja, atau dengan sedikit perubahan kita dapat memperoleh vektor eigen juga. Mari gunakannya di twomatrice kami A dan B.

Hitung nilai eigen dari thematrix B dan berikan nilai kepada vektor b.

Kami melakukan ini dengan menaip perkara berikut

Nilai eigen adalah 1, 8, 3, 2. Terdapat empat daripadanya kerana matriks kita adalah 4x4. Perhatikan juga bahawa sangat mudah untuk menghitung jangka masa yang ditentukan B. Yang harus kita lakukan adalah menggandakan semua nilai eigen bersama-sama. Jelas 48 = 1 * 8 * 3 * 2. (Maklumat lebih lanjut mengenai ini boleh didapati di buku linearalgebra anda, Aljabar Linear dan Aplikasinya oleh D. Lay, dalam bab 5 bahagian 2.)

(a) Hitung nilai eigen matriks Vandermonde 5x5 V dan memberikannya kepada vektor v. Untuk memasukkan matriks ini ke dalam MATLAB gunakan arahan berikut:

Sekiranya anda tidak tahu apa itu matriks Vandermonde di sini. Kami sangat menggalakkan anda untuk membiasakan diri dengan matriks ini kerana ia mempunyai sifat yang sangat bagus.

(b) Tentukan jika V tidak dapat diubah dengan melihat nilai eigen. Terangkan alasan anda.

Sekarang mari kita hitung nilai eigen dan vektor eigen B dalam satu arahan. Untuk melakukan ini, kami menaip

1.0000 -0.1980 0.2357 0.9074
0 0.6931 - 0.2357 -0.1815
0 0.6931 0.9428 0.3630
0 0 0 0.1089

MATLAB mentakrifkan matriks P yang mempunyai vektor youigen B sebagai lajur dan matriksnya D sebagai diagonalmatrix dengan nilai eigen yang sesuai di sepanjang thediagonal.

Penggunaan nilai eigen dan vektor eigen yang penting adalah dalam matriks pepenjuru. Anda akan melihat mengapa kami mungkin mahu melakukannya di bahagian seterusnya. Buat masa ini, semua yang ingin kita lakukan ialah mencari matriks yang boleh ditukar Q seperti itu Q * B * Q -1 = matriks pepenjuru. Tetapi sebelum kita melakukan ini, kita perlu memastikannyaB boleh diagonalisasi. Secara umum cara untuk menentukan kebolehpasaran suatu matriks adalah dengan memastikan vektor-vektornya bebas secara linear. Ada cara lain juga. Kita sudah mengetahui nilai eigen dari B jadi mari kita gunakan. B boleh diagonalisasi kerana semua nilai eigennya berbeza.

Catatan 7.2 The pernyataan terakhir mengatakan bahawa jika matriks mempunyai nilai eigen yang berbeza, maka ia boleh diagonalisasikan. Perhatikan bahawa pembalikan ke pernyataan sebelumnya tidak semestinya benar iaitu, jika matriks boleh diagonalisasikan, tidak semestinya benar bahawa semua nilai eigennya tidak sesuai. Matriks boleh diagonalisasi walaupun mempunyai nilai eigen berulang: fikirkan tentang matriks identiti (sudahdiagonal) yang nilai eigennya semuanya 1.

Di sinilah dua matriks kami P dan D masuklah. Taipkan arahan berikut:

1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000
0 8.0000 0 -0.0000
0 0.0000 3.0000 0
0 0 0 2.0000

Apa yang anda harus sedar adalah bahawa kita menggunakan eigen vektor bebas linear (dari matriks P) untuk menyerongkan matriksB kita. Hasilnya adalah matriks pepenjuru dengan nilai eigen sebagai entri pepenjuru.

Catatan 7.3 Ingat semula bahawa inv () arahan mengira kebalikan suatu matriks. Untuk melihat bahawa ia benar-benar berfungsi perintah berikut:

Latihan 7.4 Cari matriks P dan D untuk matriks Vandermonde kami V. Hitung inv (P) * V * P untuk memeriksa hasil kerja anda.

Nombor Fibonacci terdiri daripada urutan inmatematik yang terkenal. Idea sangat mudah. Anda bermula dengan dua nombor, 1 dan 1, dan dapatkan setiap penggal berturut-turut dengan menjumlahkan dua istilah sebelumnya. Maksudnya, istilah ketiga adalah 1 + 1 = 2, istilah keempat 1 + 2 = 3, istilah kelima2 + 3 = 5, dan seterusnya, menghasilkan

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, . . .

Kami akan menggunakan nombor Fibonacci sebagai model untuk urutan anda sendiri. Ini dia:

Daripada menambah dua istilah berturut-turut untuk membuat istilah berikutnya, kami akan menggunakan formula berikut:

Maksudnya, setiap istilah dalam urutan adalah jumlah istilah sebelumnya dan dua kali istilah sebelumnya. Mari cuba tentukan formula untuk istilah ke-9 mengikut urutan kami. Melihatnya, tidak semestinya wujud formula seperti itu.

Pendekatan kami adalah untuk memulakan dengan merumuskan interms masalah sistem persamaan linear:

di mana an adalah istilah ke-n. Sekarang, setiap sistem persamaan linear mempunyai perwakilan matriksnya. Dalam kes ini kita dapat

Kami kemudian mendapat persamaan berikut:

Begitu juga, fn-1 = F * fn-2, boleh kita ganti fn-1 dengan F * fn-2. Maka kita boleh menggantikan fn-2, dan sebagainya. Ini akan menghasilkan formula berikut:

Kami menganggap bahawa a0 adalah istilah pertama dalam urutan dan

Yang harus kita buat sekarang adalah mencari formula untuk F ^ n . Kaedah terbaik untuk mendekati tugas ini adalah melalui pepenjuru. Untuk melakukan itu, kita mesti menentukan sama ada F boleh diagonalisasi. Masukkan F ke dalam MATLAB.

Latihan 7.5 Cari matrik P dan D untuk matrik kami F seperti yang dijelaskan di atas dan terangkan mengapa F boleh diagonalisasi.

Latihan di atas memberitahu kita bahawa F = P * D * P -1 . Kami menggunakan ini untuk mendapatkan persamaan berikut

F ^ n = [P * D * P -1] * [P * D * P -1] *. * [P * D * P -1] (n kali)

Apa yang kita perlukan ketika ini adalah D ^ n ,dan sejak D adalah pepenjuru pengiraannya sangat mudah. Perkara terakhir yang perlu dilakukan ialah memasukkan semuanya kembali ke persamaan asal dan membaca formulanya. Tetapi sebelum kita dapat melakukan ini, kita harus ambil perhatian bahawa MATLAB suka menormalkan eigen vektor. Dalam kes ini, ini bermaksud membuat entri tidak rasional, dan dengan itu memperkenalkan kemungkinan untuk penunjuk cermin terapung. Untuk mengatasi ini, kita akan menggunakan arahan berikut:

(a) Sertakan input dan output dari arahan di atas

(b) Gunakan matriks P di atas (satu dengan pecahan) untuk mengira sebaliknya bagi P.

(c) Tentukan formula untuk istilah n dalam urutan kami, iaitu formula untuk an. (Ini adalah soalan yang sukar. Pastikan mengira istilah dengan betul.) Gunakan formula anda untuk mengira istilah 5, 15 dan 20 mengikut urutan kami.

Walaupun proses pengkomputeran penentu dan nilai eigen cukup mudah difahami, kerumitan perhitungan boleh menjadi mengerikan. MATLAB adalah alat yang sempurna untuk ini. Hanya ada satu peringatan: kesalahan titik terapung. Walau bagaimanapun, halangan ini dapat diatasi jika anda tahu ia mungkin berlaku.


Keupayaan Diperluas

Penjanaan Kod C / C ++ Hasilkan kod C dan C ++ menggunakan MATLAB & # 174 Coder & # 8482.

Nota dan had penggunaan:

Asas vektor eigen boleh berbeza dalam kod yang dihasilkan daripada di MATLAB & # x00AE. Secara umum, dalam output nilai eigen, nilai eigen untuk input sebenar tidak disusun sehingga pasangan konjugasi kompleks berdekatan.

Perbezaan dalam vektor eigen dan susunan nilai eigen boleh menyebabkan perbezaan dalam output nombor keadaan.


Tonton videonya: Aljabar Linier Nilai-Eigen u0026 Vektor-Eigen - Diagonalisasi 1 (Disember 2021).