Artikel

7.6: Diagonalisasi matriks dan Aplikasi (2 kali 2 )

7.6: Diagonalisasi matriks dan Aplikasi  (2  kali 2 )



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Mari (A = begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix} in mathbb {F} ^ {2 times 2} ), dan ingat bahawa kita boleh menentukan operator linear (T in mathcal {L} ( mathbb {F} ^ {2}) ) on ( mathbb {F} ^ {2} ) dengan menetapkan (T (v) = A v ) untuk setiap (v = mulakan {bmatrix} v_1 v_2 end {bmatrix} in mathbb {F} ^ 2 ).

Salah satu kaedah untuk mencari maklumat eigen (T ) adalah dengan menganalisis penyelesaian persamaan matriks (A v = lambda v ) untuk ( lambda in mathbb {F} ) dan ( v in mathbb {F} ^ {2} ). Khususnya, menggunakan definisi eigenvector dan eigenvalue, (v ) adalah eigenvector yang dikaitkan dengan eigenvalue ( lambda ) jika dan hanya jika (A v = T (v) = lambda v ).

Kaedah yang lebih mudah melibatkan persamaan matriks setara ((A - lambda I) v = 0 ), di mana (I ) menunjukkan peta identiti di ( mathbb {F} ^ {2} ). Khususnya, (0 neq v in mathbb {F} ^ {2} ) adalah eigenvector untuk (T ) yang dikaitkan dengan nilai eigen ( lambda in mathbb {F} ) jika dan hanya jika sistem persamaan linear

mulakan {persamaan}
ditinggalkan.
mulakan {array} {rrrrr}
(a - lambda) v_ {1} & + & b v_ {2} & = & 0
c v_ {1} & + & (d - lambda) v_ {2} & = & 0
end {susunan}
kanan } label {7.6.1}
end {persamaan}

mempunyai penyelesaian yang tidak remeh. Lebih-lebih lagi, Sistem ref {7.6.1} mempunyai penyelesaian bukan sepele jika dan hanya jika polinomial (p ( lambda) = (a - lambda) (d - lambda) - bc ) dinilai menjadi sifar. (Lihat Latihan Penulisan Bukti 12 dalam Latihan untuk Bab 7.)

Dengan kata lain, nilai eigen untuk (T ) adalah persis ( lambda in mathbb {F} ) yang (p ( lambda) = 0 ), dan vektor eigen untuk (T ) dikaitkan dengan nilai eigen ( lambda ) betul-betul vektor bukan sifar (v = begin {bmatrix} v_ {1} v_ {2} end {bmatrix} in mathbb {F} ^ 2 ) yang memenuhi Sistem ref {7.6.1}.

Contoh ( PageIndex {1} )

Mari (A = bermula {bmatrix} -2 & -1 5 & 2 end {bmatrix} ). Kemudian (p ( lambda) = (-2 - lambda) (2 - lambda) - (-1) (5) = lambda ^ {2} + 1 ), yang sama dengan nol tepat ketika ( lambda = pm saya ). Lebih-lebih lagi, jika ( lambda = i ), maka Sistem (7.6.1) menjadi

[
ditinggalkan.
mulakan {array} {rrrrr}
(-2 - i) v_ {1} & - & v_ {2} & = & 0
5 v_ {1} & + & (2 - i) v_ {2} & = & 0
end {susunan}
kanan },
]

yang dipuaskan oleh mana-mana vektor (v = begin {bmatrix} v_1 v_2 end {bmatrix} in mathbb {C} ^ 2 ) sehingga (v_ {2} = (-2 - i) v_ {1} ). Begitu juga, jika ( lambda = -i ), maka Sistem ref {7.6.1} menjadi

[
ditinggalkan.
mulakan {array} {rrrrr}
(-2 + i) v_ {1} & - & v_ {2} & = & 0
5 v_ {1} & + & (2 + i) v_ {2} & = & 0
end {susunan}
kanan },
]

yang dipuaskan oleh mana-mana vektor (v = begin {bmatrix} v_1 v_2 end {bmatrix} in mathbb {C} ^ 2 ) sehingga (v_ {2} = (-2 + i) v_ {1} ).

Ini menunjukkan bahawa, diberikan (A = begin {bmatrix} -2 & -1 5 & 2 end {bmatrix} ), operator linear pada ( mathbb {C} ^ {2} ) ditentukan oleh (T (v) = A v ) mempunyai nilai eigen ( lambda = pm i ), dengan vektor eigen yang berkaitan seperti yang dinyatakan di atas.

Contoh ( PageIndex {2} )

Lakukan putaran (R_ theta: mathbb {R} ^ 2 to mathbb {R} ^ 2 ) dengan sudut ( theta in [0,2 pi) ) yang diberikan oleh matriks

mulakan {persamaan *}
R_ theta = bermula {bmatrix} cos theta & - sin theta sin theta & cos theta end {bmatrix}
end {persamaan *}

Kemudian kami memperoleh nilai eigen dengan menyelesaikan persamaan polinomial

mulakan {persamaan *}
mulakan {perpecahan}
p ( lambda) & = ( cos theta - lambda) ^ 2 + sin ^ 2 theta
& = lambda ^ 2-2 lambda cos theta + 1 = 0,
tamat {perpecahan}
end {persamaan *}

di mana kita telah menggunakan kenyataan bahawa ( sin ^ 2 theta + cos ^ 2 theta = 1 ). Selesaikan untuk ( lambda ) di ( mathbb {C} ), kami memperoleh

mulakan {persamaan *}
lambda = cos theta pm sqrt { cos ^ 2 theta -1} = cos theta pm sqrt {- sin ^ 2 theta}
= cos theta pm i sin theta = e ^ { pm i theta}.
end {persamaan *}

Kami melihat bahawa, sebagai operator di atas ruang vektor sebenar ( mathbb {R} ^ 2 ), pengendali (R_ theta ) hanya mempunyai nilai eigen ketika ( theta = 0 ) atau ( theta = pi ). Walau bagaimanapun, jika kita mentafsirkan vektor ( begin {bmatrix} x_1 x_2 end {bmatrix} in mathbb {R} ^ 2 ) sebagai nombor kompleks (z = x_1 + ix_2 ), maka (z ) adalah eigenvector jika (R_ theta: mathbb {C} to mathbb {C} ) maps (z mapsto lambda z = e ^ { pm i theta} z ) . Selain itu, dari Bahagian 2.3, kita tahu bahawa pendaraban dengan (e ^ { pm i theta} ) sesuai dengan putaran dengan sudut ( pm theta ).


Tonton videonya: ISTNUBA - Matiks u0026 Ruang Vektor - Diagonalisasi Matriks 3x3 (Ogos 2022).