11.4: Pecahan Separa - Matematik

$11.4: Pecahan Separa - Matematik$

We are searching data for your request:

Forums and discussions:

Manuals and reference books:

Data from registers:

Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Objektif Pembelajaran

Uraikan ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ), di mana

(Q (x) ) hanya mempunyai faktor linear yang tidak berulang.
(Q (x) ) mempunyai faktor linear berulang.
(Q (x) ) mempunyai faktor kuadratik yang tidak dapat diulang.
(Q (x) ) mempunyai faktor kuadratik yang tidak dapat diulang berulang.

Sebelumnya dalam bab ini, kami mengkaji sistem dua persamaan dalam dua pemboleh ubah, sistem tiga persamaan dalam tiga pemboleh ubah, dan sistem nonlinier. Di sini kami memperkenalkan cara lain agar sistem persamaan dapat digunakan - penguraian ungkapan rasional. Pecahan boleh menjadi rumit; menambahkan pemboleh ubah dalam penyebut menjadikannya lebih besar. Kaedah yang dikaji dalam bahagian ini akan membantu mempermudah konsep ungkapan rasional.

Menguraikan ( frac {P (x)} {Q (x)} ) di mana (Q (x) ) Hanya Mempunyai Faktor Linear Tidak Berulang

Ingat kembali algebra mengenai penambahan dan pengurangan ungkapan rasional. Operasi ini bergantung pada mencari penyebut yang sama sehingga kita dapat menulis jumlah atau perbezaan sebagai satu ungkapan rasional yang sederhana. Di bahagian ini, kita akan melihat penguraian pecahan separa, yang merupakan pembatalan prosedur untuk menambah atau mengurangkan ungkapan rasional. Dengan kata lain, ia adalah pulangan dari single yang dipermudahkan ungkapan yang rasional kepada ungkapan asal, yang disebut pecahan separa.

Sebagai contoh, anggaplah kita menambah pecahan berikut:

[ dfrac {2} {x − 3} + dfrac {−1} {x + 2} bukan nombor ]

Pertama kita perlu mencari penyebut yang sama: ((x + 2) (x − 3) ).

Seterusnya, kami akan menulis setiap ungkapan dengan penyebut umum ini dan mencari jumlah istilah.

[ start {align *} dfrac {2} {x-3} kiri ( dfrac {x + 2} {x + 2} kanan) + dfrac {-1} {x + 2} kiri ( dfrac {x-3} {x-3} kanan) & = dfrac {2x + 4-x + 3} {(x + 2) (x-3)} [4pt] & = dfrac {x + 7} {x ^ 2-x-6} end {align *} ]

Pecahan separa penguraian adalah kebalikan dari prosedur ini. Kita akan mulakan dengan penyelesaian dan menulis semula (menguraikan) sebagai jumlah dua pecahan.

[ underbrace { dfrac {x + 7} {x ^ 2-x-6}} _ { text {Simplified sum}} = underbrace { dfrac {2} {x-3} + dfrac {- 1} {x + 2}} _ { text {Penguraian pecahan separa}} bukan nombor ]

Kami akan menyiasat ungkapan rasional dengan faktor linear dan faktor kuadratik dalam penyebut di mana darjah pembilangnya kurang daripada darjah penyebutnya. Tanpa mengira jenis ungkapan yang kita huraikan, perkara pertama dan paling penting adalah faktor penyebutnya.

Apabila penyebut ungkapan yang dipermudahkan mengandungi faktor linear yang berbeza, kemungkinan setiap ungkapan rasional asal, yang ditambahkan atau dikurangkan, mempunyai salah satu faktor linear sebagai penyebut. Dengan kata lain, menggunakan contoh di atas, faktor (x ^ 2 − x − 6 ) adalah ((x − 3) (x + 2) ), penyebut dari ungkapan rasional yang terurai. Oleh itu, kita akan menulis semula bentuk yang dipermudah sebagai jumlah pecahan individu dan menggunakan pemboleh ubah untuk setiap pengangka. Kemudian, kami akan menyelesaikan setiap pengangka menggunakan salah satu daripada beberapa kaedah yang tersedia untuk penguraian pecahan separa.

DEKOMPOSISI PAKAIAN BAHAGIAN DARI ( frac {P (x)} {Q (x)} ): (Q (x) ) TELAH MENYEBABKAN FAKTOR LINEAR

The penguraian pecahan separa daripada ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ) apabila (Q (x) ) mempunyai faktor linear yang tidak berulang dan darjah (P (x) ) kurang daripada darjah (Q (x) ) adalah

[ dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1} {(a_1x + b_1)} + dfrac {A_2} {(a_2x + b_2)} + dfrac {A_3} {( a_3x + b_3)} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_n} {(a_nx + b_n)} ]

Cara: Mengingat ungkapan rasional dengan faktor linear yang berbeza dalam penyebutnya, susunlah

Gunakan pemboleh ubah untuk pengangka asal, biasanya (A ), (B ), atau (C ), bergantung pada jumlah faktor, meletakkan setiap pemboleh ubah di atas satu faktor. Untuk tujuan definisi ini, kami menggunakan (A_n ) untuk setiap pengangka
( dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1} {(a_1x + b_1)} + dfrac {A_2} {(a_2x + b_2)} + dfrac {A_3} {( a_3x + b_3)} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_n} {(a_nx + b_n)} )
Gandakan kedua-dua sisi persamaan dengan penyebut yang sama untuk menghilangkan pecahan.
Kembangkan sebelah kanan persamaan dan kumpulkan sebutan seperti.
Tetapkan pekali sebutan serupa dari sisi kiri persamaan sama dengan yang ada di sebelah kanan untuk membuat sistem persamaan untuk menyelesaikan pembilangnya.

Contoh ( PageIndex {1} ): Menguraikan Fungsi Rasional dengan Faktor Linier yang Berbeza

Menguraikan ungkapan rasional yang diberikan dengan faktor linear yang berbeza.

( dfrac {3x} {(x + 2) (x − 1)} )

Penyelesaian

Kami akan memisahkan faktor penyebut dan memberikan label simbolik kepada setiap pengangka, seperti (A ), (B ), atau (C ).

( dfrac {3x} {(x + 2) (x − 1)} = dfrac {A} {(x + 2)} + dfrac {B} {(x − 1)} )

Gandakan kedua-dua sisi persamaan dengan penyebut biasa untuk menghilangkan pecahan:

((x + 2) (x − 1) kiri [ dfrac {3x} {(x + 2) (x − 1)} kanan] = (x + 2) (x − 1) kiri [ dfrac {A} {(x + 2)} kanan] + (x + 2) (x − 1) kiri [ dfrac {B} {(x − 1)} kanan] )

Persamaan yang dihasilkan adalah

(3x = A (x − 1) + B (x + 2) )

Kembangkan sebelah kanan persamaan dan kumpulkan sebutan seperti.

[ start {align *} 3x & = Ax-A + Bx + 2B [4pt] 3x & = (A + B) x-A + 2B end {align *} ]

Sediakan sistem persamaan yang mengaitkan pekali yang sepadan.

[ start {align *} 3 & = A + B [4pt] 0 & = -A + 2B end {align *} ]

Tambahkan dua persamaan dan selesaikan (B ).

[ start {align *} 3 & = A + B [4pt] garis bawah {0} & = garis bawah {-A + 2B} [4pt] 3 & = 0 + 3B [4pt] 1 & = B end {align *} ]

Ganti (B = 1 ) menjadi salah satu persamaan asal dalam sistem.

[ start {align *} 3 & = A + 1 [4pt] 2 & = A end {align *} ]

Oleh itu, penguraian pecahan separa adalah

( dfrac {3x} {(x + 2) (x − 1)} = dfrac {2} {(x + 2)} + dfrac {1} {(x − 1)} )

Kaedah lain untuk digunakan untuk menyelesaikan (A ) atau (B ) adalah dengan mempertimbangkan persamaan yang terhasil daripada menghilangkan pecahan dan menggantikan nilai untuk (x ) yang akan menjadikan salah satu (A- ) atau (B - ) istilah sama 0. Jika kita membiarkan (x = 1 ), maka

Istilah (A- ) menjadi 0 dan kita dapat menyelesaikannya dengan (B ).

[ start {align *} 3x & = A (x-1) + B (x + 2) [4pt] 3 (1) & = A [(1) -1] + B [(1) +2 ] [4pt] 3 & = 0 + 3B [4pt] 1 & = B end {align *} ]

Seterusnya, gantikan (B = 1 ) ke dalam persamaan dan selesaikan (A ), atau buat istilah (B - ) (0 ) dengan menggantikan (x = −2 ) ke dalam persamaan.

[ start {align *} 3x & = A (x-1) + B (x + 2) [4pt] 3 (-2) & = A [(- 2) -1] + B [(- 2 ) +2] [4pt] -6 & = -3A + 0 [4pt] dfrac {-6} {- 3} & = A [4pt] 2 & = A end {align *} ]

Kami memperoleh nilai yang sama untuk (A ) dan (B ) menggunakan salah satu kaedah, jadi penguraiannya sama menggunakan kedua kaedah tersebut.

( dfrac {3x} {(x + 2) (x − 1)} = dfrac {2} {(x + 2)} + dfrac {1} {(x − 1)} )

Walaupun kaedah ini tidak sering dilihat dalam buku teks, kami mengemukakannya di sini sebagai alternatif yang dapat memudahkan penguraian sebahagian pecahan. Ia dikenali sebagai Kaedah Heaviside, dinamakan Charles Heaviside, pelopor dalam kajian elektronik.

Latihan ( PageIndex {1} )

Cari penguraian pecahan separa bagi ungkapan berikut.

( dfrac {x} {(x − 3) (x − 2)} )

Jawapan: ( dfrac {3} {x − 3} - dfrac {2} {x − 2} )

Menguraikan ( frac {P (x)} {Q (x)} ) di mana (Q (x) ) Mempunyai Faktor Linier Berulang

Beberapa pecahan yang mungkin kita temui adalah kes khas yang dapat kita terurai menjadi pecahan separa dengan faktor linear berulang. Kita mesti ingat bahawa kita memperhitungkan faktor berulang dengan menulis setiap faktor dalam meningkatkan kekuatan.

DEKOMPOSISI PAKAIAN BAHAGIAN DARI ( frac {P (x)} {Q (x)} ): (Q (x) ) TELAH MENGulangi FAKTOR LINEAR

Penguraian pecahan separa ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ), apabila (Q (x) ) mempunyai faktor linear berulang yang berlaku pada n kali dan darjah (P (x ) ) kurang daripada darjah (Q (x) ), adalah

[ dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1} {(a_1x + b_1)} + dfrac {A_2} {(a_2x + b_2)} + dfrac {A_3} {( a_3x + b_3)} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_n} {(a_nx + b_n)} ]

Tuliskan kekuatan penyebutnya dalam urutan yang bertambah.

Cara: menguraikan ungkapan rasional dengan faktor linear berulang

Gunakan pemboleh ubah seperti (A ), (B ), atau (C ) untuk pengangka dan pertimbangkan untuk meningkatkan kuasa penyebut. [ Dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1} {(a_1x + b_1)} + dfrac {A_2} {(a_2x + b_2)} + dfrac {A_3} {(a_3x + b_3)} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_n} { (a_nx + b_n)} ]
Gandakan kedua-dua sisi persamaan dengan penyebut yang sama untuk menghilangkan pecahan.
Kembangkan sebelah kanan persamaan dan kumpulkan sebutan seperti.
Tetapkan pekali sebutan serupa dari sisi kiri persamaan sama dengan yang ada di sebelah kanan untuk membuat sistem persamaan untuk menyelesaikan pembilangnya.

Contoh ( PageIndex {2} ): Mengurai dengan Faktor Linier Berulang

Menguraikan ungkapan rasional yang diberikan dengan faktor linear berulang.

( dfrac {−x ^ 2 + 2x + 4} {x ^ 3−4x ^ 2 + 4x} )

Penyelesaian

Faktor penyebutnya adalah (x {(x − 2)} ^ 2 ). Untuk membolehkan faktor berulang ((x − 2) ), penguraian akan merangkumi tiga penyebut: (x ), ((x − 2) ), dan ({(x − 2)} ^ 2 ). Oleh itu,

( dfrac {−x ^ 2 + 2x + 4} {x ^ 3−4x ^ 2 + 4x} = dfrac {A} {x} + dfrac {B} {(x − 2)} + dfrac {C} {{(x − 2)} ^ 2} )

Seterusnya, kita mengalikan kedua-dua sisi dengan penyebut yang sama.

[ start {align *} x {(x-2)} ^ 2 kiri [ dfrac {-x ^ 2 + 2x + 4x} {{(x-2)} ^ 2} kanan] & = kiri [ dfrac {A} {x} + dfrac {B} {(x-2)} + dfrac {C} {{(x-2)} ^ 2} kanan] x {(x-2) } ^ 2 [4pt] -x ^ 2 + 2x + 4 & = A {(x-2)} ^ 2 + Bx (x-2) + Cx end {align *} ]

Di sebelah kanan persamaan, kami mengembangkan dan mengumpulkan sebutan serupa.

[ start {align *} -x ^ 2 + 2x + 4 & = A (x ^ 2-4x + 4) + B (x ^ 2-2x) + Cx [4pt] & = Ax ^ 2-4Ax + 4A + Bx ^ 2-2Bx + Cx [4pt] & = (A + B) x ^ 2 + (- 4A-2B + C) x + 4A akhir {align *} ]

Seterusnya, kita membandingkan pekali kedua-dua belah pihak. Ini akan memberikan sistem persamaan dalam tiga pemboleh ubah:

Selesaikan untuk (A ) dalam Persamaan ref {2.3}, kita ada

[ start {align *} 4A & = 4 [4pt] A & = 1 end {align *} ]

Ganti (A = 1 ) ke dalam Persamaan ref {2.1}.

Kemudian, untuk menyelesaikan (C ), gantikan nilai untuk (A ) dan (B ) ke Persamaan ref {2.2}.

[ start {align *} -4A-2B + C & = 2 [4pt] -4 (1) -2 (-2) + C & = 2 [4pt] -4 + 4 + C & = 2 [4pt] C & = 2 end {align *} ]

Oleh itu,

( dfrac {−x ^ 2 + 2x + 4} {x ^ 3−4x ^ 2 + 4x} = dfrac {1} {x} - dfrac {2} {(x − 2)} + dfrac {2} {{(x − 2)} ^ 2} )

Latihan ( PageIndex {2} )

Cari penguraian pecahan separa ungkapan dengan faktor linear berulang.

( dfrac {6x − 11} {{(x − 1)} ^ 2} )

Jawapan: [ dfrac {6} {x − 1} - dfrac {5} {{(x − 1)} ^ 2} bukan nombor ]

Menguraikan ( frac {P (x)} {Q (x)} ), di mana (Q (x) ) Mempunyai Faktor Kuadratik Tidak Berulang Tidak Berulang

Sejauh ini, kami telah melakukan penguraian pecahan separa dengan ungkapan yang mempunyai faktor linear dalam penyebut, dan kami menggunakan pengangka (A ), (B ), atau (C ) yang mewakili pemalar. Sekarang kita akan melihat contoh di mana salah satu faktor dalam penyebutnya adalah ungkapan kuadratik yang tidak memfaktorkan. Ini disebut sebagai faktor kuadratik yang tidak dapat direduksi. Dalam kes seperti ini, kami menggunakan pengangka linier seperti (Ax + B ), (Bx + C ), dll.

DEKOMPOSISI ( frac {P (x)} {Q (x)} ): (Q (x) ) MEMPUNYAI FAKTOR KUADRATIK YANG TIDAK TERBANGKIT

Penguraian pecahan separa ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ) sehingga (Q (x) ) mempunyai faktor kuadratik yang tidak dapat diulang dan tahap (P (x) ) kurang daripada darjah (Q (x) ) ditulis sebagai

[ dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1x + B_1} {(a_1x ^ 2 + b1_x + c_1)} + dfrac {A_2x + B_2} {(a_2x ^ 2 + b_2x + c_2)} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_nx + B_n} {(a_nx ^ 2 + b_nx + c_n)} ]

Penguraian mungkin mengandungi ungkapan yang lebih rasional sekiranya terdapat faktor linear. Setiap faktor linier akan mempunyai pengangka pemalar yang berbeza: (A ), (B ), (C ), dan sebagainya.

Howto: menguraikan ungkapan rasional di mana faktor penyebutnya berbeza, faktor kuadratik yang tidak dapat direduksi

Gunakan pemboleh ubah seperti (A ), (B ), atau (C ) untuk pengangka tetap atas faktor linear, dan ungkapan linear seperti (A_1x + B_1 ), (A_2x + B_2 ) , dll., untuk pengangka setiap faktor kuadratik dalam penyebut.
( dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A} {ax + b} + dfrac {A_1x + B_1} {(a_1x ^ 2 + b1_x + c_1)} + dfrac { A_2x + B_2} {(a_2x ^ 2 + b_2x + c_2)} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_nx + B_n} {(a_nx ^ 2 + b_nx + c_n)} )
Gandakan kedua-dua sisi persamaan dengan penyebut yang sama untuk menghilangkan pecahan.
Kembangkan bahagian kanan persamaan dan kumpulkan sebutan seperti.
Tetapkan pekali sebutan serupa dari sebelah kiri persamaan sama dengan yang ada di sebelah kanan untuk membuat sistem persamaan untuk menyelesaikan pembilangnya.

Contoh ( PageIndex {3} ): Menguraikan ( frac {P (x)} {Q (x)} ) Bila (Q (x) ) Mengandungi Faktor Kuadratik Tidak Berulang Tidak Berulang

Cari penguraian pecahan separa dari ungkapan yang diberi.

( dfrac {8x ^ 2 + 12x − 20} {(x + 3) (x ^ 2 + x + 2)} )

Penyelesaian

Kami mempunyai satu faktor linear dan satu faktor kuadratik yang tidak dapat diredakan dalam penyebutnya, jadi satu pengangka akan menjadi pemalar dan pengangka yang lain akan menjadi ungkapan linear. Oleh itu,

( dfrac {8x ^ 2 + 12x − 20} {(x + 3) (x ^ 2 + x + 2)} = dfrac {A} {(x + 3)} + dfrac {Bx + C} {(x ^ 2 + x + 2)} )

Kami mengikuti langkah yang sama seperti masalah sebelumnya. Pertama, kosongkan pecahan dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan penyebut yang sama.

[ start {align *} (x + 3) (x ^ 2 + x + 2) kiri [ dfrac {8x ^ 2 + 12x-20} {(x + 3) (x ^ 2 + x + 2 )} kanan] & = kiri [ dfrac {A} {(x + 3)} + dfrac {Bx + C} {(x ^ 2 + x + 2)} kanan] (x + 3) ( x ^ 2 + x + 2) [4pt] 8x ^ 2 + 12x-20 & = A (x ^ 2 + x + 2) + (Bx + C) (x + 3) akhir {align *} ]

Perhatikan bahawa kita dapat dengan mudah menyelesaikan (A ) dengan memilih nilai untuk (x ) yang akan menjadikan istilah (Bx + C ) sama (0 ). Biarkan (x = −3 ) dan gantikannya ke dalam persamaan.

[ start {align *} 8x ^ 2 + 12x-20 & = A (x ^ 2 + x + 2) + (Bx + C) (x + 3) [4pt] 8 {(- 3)} ^ 2 + 12 (-3) -20 & = A ({(- 3)} ^ 2 + (- 3) +2) + (B (-3) + C) ((- 3) +3) [4pt ] 16 & = 8A [4pt] A & = 2 end {align *} ]

Sekarang setelah kita mengetahui nilai (A ), gantikannya kembali ke persamaan. Kemudian kembangkan bahagian kanan dan kumpulkan istilah seperti.

[ start {align *} 8x ^ 2 + 12x-20 & = 2 (x ^ 2 + x + 2) + (Bx + C) (x + 3) [4pt] 8x ^ 2 + 12x-20 & = 2x ^ 2 + 2x + 4 + Bx ^ 2 + 3B + Cx + 3C [4pt] 8x ^ 2 + 12x-20 & = (2 + B) x ^ 2 + (2 + 3B + C) x + (4+ 3C) end {align *} ]

Menetapkan koefisien istilah di sebelah kanan sama dengan pekali istilah di sebelah kiri memberikan sistem persamaan.

Selesaikan untuk (B ) menggunakan Persamaan ref {3.1}

[ start {align *} 2 + B & = 8 label {1} [4pt] B & = 6 end {align *}

dan selesaikan untuk (C ) menggunakan Persamaan ref {3.3}.

Oleh itu, penguraian pecahan separa ungkapan adalah

[ dfrac {8x ^ 2 + 12x − 20} {(x + 3) (x ^ 2 + x + 2)} = dfrac {2} {(x + 3)} + dfrac {6x − 8} {(x ^ 2 + x + 2)} bukan nombor ]

Soal Jawab: Mungkinkah kita hanya membuat sistem persamaan untuk menyelesaikan contoh di atas?

Ya, kita boleh menyelesaikannya dengan membuat sistem persamaan tanpa menyelesaikannya untuk (A ) terlebih dahulu. Pengembangan di sebelah kanan adalah:

[ start {align *} 8x ^ 2 + 12x-20 & = Ax ^ 2 + Ax + 2A + Bx ^ 2 + 3B + Cx + 3C [4pt] 8x ^ 2 + 12x-20 & = (A + B ) x ^ 2 + (A + 3B + C) x + (2A + 3C) end {align *} ]

Jadi sistem persamaannya adalah:

Latihan ( PageIndex {3} )

Cari penguraian pecahan separa ungkapan dengan faktor kuadratik yang tidak dapat diulang.

[ dfrac {5x ^ 2−6x + 7} {(x − 1) (x ^ 2 + 1)} bukan nombor ]

Jawapan: ( dfrac {3} {x − 1} + dfrac {2x − 4} {x ^ 2 + 1} )

Menguraikan ( frac {P (x)} {Q (x)} ) Bila (Q (x) ) Mempunyai Faktor Kuadratik Tidak Berulang Berulang

Sekarang kita dapat menguraikan ungkapan rasional yang dipermudahkan dengan faktor kuadratik yang tidak dapat direduksi, kita akan belajar bagaimana melakukan penguraian pecahan separa apabila ungkapan rasional yang dipermudahkan telah mengulang faktor kuadratik yang tidak dapat direduksi. Penguraian akan terdiri daripada pecahan separa dengan pengangka linier di atas setiap faktor kuadratik yang tidak dapat direduksi yang ditunjukkan dalam peningkatan kuasa.

DEKOMPOSISI ( frac {P (x)} {Q (x)} ) KETIKA (Q (X) ) MEMPUNYAI FAKTOR KUADRATIK YANG TIDAK DILAKSANAKAN

Penguraian pecahan separa ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ), apabila (Q (x) ) mempunyai faktor kuadratik yang tidak dapat diulang berulang dan tahap (P (x) ) kurang daripada darjah (Q (x) ), adalah

[ dfrac {P (x)} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ n} = dfrac {A_1x + B_1} {(ax ^ 2 + bx + c)} + dfrac {A_2x + B_2} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ 2} + dfrac {A_3x + B_3} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ 3} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_nx + B_n} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ n} ]

Tuliskan penyebutnya dalam meningkatkan kuasa.

Cara: menguraikan ungkapan rasional yang mempunyai faktor berulang yang tidak dapat direduksi

Gunakan pemboleh ubah seperti (A ), (B ), atau (C ) untuk pengangka tetap atas faktor linear, dan ungkapan linear seperti (A_1x + B_1 ), (A_2x + B_2 ), dan lain-lain, untuk pengangka setiap faktor kuadratik dalam penyebut yang ditulis dalam peningkatan kuasa, seperti
( dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A} {ax + b} + dfrac {A_1x + B_1} {(ax ^ 2 + bx + c)} + dfrac { A_2x + B_2} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ 2} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_nx + B_n} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ n} )
Gandakan kedua-dua sisi persamaan dengan penyebut yang sama untuk menghilangkan pecahan.
Kembangkan bahagian kanan persamaan dan kumpulkan sebutan seperti.
Tetapkan pekali sebutan serupa dari sebelah kiri persamaan sama dengan yang ada di sebelah kanan untuk membuat sistem persamaan untuk menyelesaikan pembilangnya.

Contoh ( PageIndex {4} ): Menguraikan Fungsi Rasional dengan Faktor Kuadratik Tidak Berulang Berulang di Penyebut

Menguraikan ungkapan yang diberi yang mempunyai faktor yang tidak dapat diulang berulang dalam penyebutnya.

( dfrac {x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 − x + 1} {x {(x ^ 2 + 1)} ^ 2} )

Penyelesaian

Faktor penyebutnya ialah (x ), ((x ^ 2 + 1) ), dan ({(x ^ 2 + 1)} ^ 2 ). Ingatlah bahawa, apabila faktor penyebutnya adalah kuadratik yang merangkumi sekurang-kurangnya dua istilah, pengangka mestilah dalam bentuk linear (Ax + B ). Jadi, mari kita mulakan penguraian.

( dfrac {x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 − x + 1} {x {(x ^ 2 + 1)} ^ 2} = dfrac {A} {x} + dfrac {Bx + C} {(x ^ 2 + 1)} + dfrac {Dx + E} {{(x ^ 2 + 1)} ^ 2} )

Kami menghilangkan penyebutnya dengan mengalikan setiap istilah dengan (x {(x ^ 2 + 1)} ^ 2 ). Oleh itu,

[ start {align *} x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2-x + 1 & = A {(x ^ 2 + 1)} ^ 2+ (Bx + C) (x) (x ^ 2 + 1) + (Dx + E) (x) [4pt] x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2-x + 1 & = A (x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1) + Bx ^ 4 + Bx ^ 2 + Cx ^ 3 + Cx + Dx ^ 2 + Ex qquad text {Luaskan sebelah kanan.} [4pt] & = Ax ^ 4 + 2Ax ^ 2 + A + Bx ^ 4 + Bx ^ 2 + Cx ^ 3 + Cx + Dx ^ 2 + Ex end {align *} ]

Sekarang kita akan mengumpulkan sebutan seperti.

(x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 − x + 1 = (A + B) x ^ 4 + (C) x ^ 3 + (2A + B + D) x ^ 2 + (C + E) x + A )

Sediakan sistem persamaan yang sepadan dengan pekali yang sepadan di setiap sisi tanda sama.

[ start {align *} A + B & = 1 [4pt] C & = 1 [4pt] 2A + B + D & = 1 [4pt] C + E & = -1 [4pt] A & = 1 end {align *} ]

Kita boleh menggunakan penggantian dari sudut ini. Ganti (A = 1 ) ke dalam persamaan pertama.

[ start {align *} 1 + B & = 1 [4pt] B & = 0 end {align *} ]

Ganti (A = 1 ) dan (B = 0 ) ke dalam persamaan ketiga.

Ganti (C = 1 ) ke dalam persamaan keempat.

Sekarang kita telah menyelesaikan semua perkara yang tidak diketahui di sebelah kanan tanda sama. Kami mempunyai (A = 1 ), (B = 0 ), (C = 1 ), (D = −1 ), dan (E = −2 ). Kita boleh menulis penguraian seperti berikut:

( dfrac {x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 − x + 1} {x {(x ^ 2 + 1)} ^ 2} = dfrac {1} {x} + dfrac {1} {(x ^ 2 + 1)} - dfrac {x + 2} {{(x ^ 2 + 1)} ^ 2} )

Latihan ( PageIndex {4} )

Cari penguraian pecahan separa ungkapan dengan faktor kuadratik yang tidak dapat diulang berulang.

[ dfrac {x ^ 3−4x ^ 2 + 9x − 5} {{(x ^ 2−2x + 3)} ^ 2} bukan nombor ]

Jawapan: [ dfrac {x − 2} {x ^ 2−2x + 3} + dfrac {2x + 1} {{(x ^ 2−2x + 3)} ^ 2} bukan nombor ]

Konsep kunci

Menguraikan ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ) dengan menulis pecahan separa sebagai [ dfrac {A} {a_1x + b_1} + dfrac {B} {a_2x + b_2}. nonumber ] Selesaikan dengan membersihkan pecahan, mengembangkan sisi kanan, mengumpulkan sebutan seperti, dan menetapkan pekali yang sepadan antara satu sama lain, kemudian mengatur dan menyelesaikan sistem persamaan (lihat Contoh ( PageIndex {1} )) .
Penguraian ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ) dengan faktor linier berulang mesti memperhitungkan faktor penyebut dalam meningkatkan kuasa (lihat Contoh ( PageIndex {2} )).
Penguraian ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ) dengan faktor kuadratik tidak boleh diulang yang tidak berulang memerlukan pengangka linear atas faktor kuadratik, seperti dalam ( dfrac {A} {x} + dfrac {Bx + C} {(ax ^ 2 + bx + c)} ) (lihat Contoh ( PageIndex {3} )).
Dalam penguraian ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ), di mana (Q (x) ) mempunyai faktor kuadratik yang tidak dapat diulang, apabila faktor kuadratik yang tidak dapat diulang diulang, kekuatan faktor penyebut mesti ditunjukkan dalam peningkatan kuasa sebagai [ dfrac {A_1x + B_1} {ax ^ 2 + bx + c} + dfrac {A_2x + B_2} {(ax ^ 2 + bx + c) ^ 2} + ⋅ ⋅⋅ + dfrac {A_nx + B_n} {(ax ^ 2 + bx + c) ^ n} nonumber ] Lihat Contoh ( PageIndex {4} ).

Pecahan Separa

Penguraian pecahan separa adalah teknik yang digunakan untuk menulis fungsi rasional sebagai jumlah ungkapan rasional yang lebih sederhana.

Penguraian pecahan separa adalah teknik yang berguna untuk beberapa masalah integrasi yang melibatkan ungkapan rasional. Penguraian pecahan separa juga berguna untuk menilai jumlah teleskop. Ini adalah asas untuk bukti formula Euler dengan mencari penawar ungkapan rasional dengan dua cara yang berbeza.

Kandungan

11.4: Pecahan Separa - Matematik

> endstream endobj 10 0 obj 112 endobj 11 0 obj> stream q 4.7 0 0 -7.9 227.7 659.3 cm / R9 Do Q q 27.12 0 0 -0.48 216.696 646.536 cm BI / IM true / W 1 / H 1 / BPC 1 / F [/ A85] ID !!

> EI Q endstream endobj 12 0 obj 128 endobj 13 0 obj>] >> aliran 4: n /! N4''Z'0jM6, Nk] _ = 2sR $ o! Ms7h'SrYR K + J "^ rd0: Vs71dAn: U] M * Ze & UpgNrIq% rOF4 eY "9

> endstream endobj 14 0 obj 106 endobj 15 0 obj> stream q 5.4 0 0 -5 217.1 640 cm / R13 Do Q endstream endobj 16 0 obj 36 endobj 17 0 obj>] >> aliran, D "kSJ-Z. *

> endstream endobj 18 0 obj 13 endobj 19 0 obj> stream q 7.3 0 0 -0.5 227 638.1 cm / R17 Do Q endstream endobj 20 0 obj 38 endobj 21 0 obj>] >> stream 3efk_O [- [7 @> $ + / 3FJn_kViVs1: $ 2tnds7g # P i5'k, "on (Ds7em) + t4Ms) DW / 5Q" 0SL "11.4: Pecahan Separa - Matematik, [nobr] [H1toH2]

11.4: Pecahan Separa - Matematik

sehingga sekarang kita dapat mengatakan bahawa penguraian pecahan separa adalah

Konsep ini juga dapat digunakan dengan fungsi. Sebagai contoh,

sehingga sekarang kita dapat mengatakan bahawa penguraian pecahan separa adalah

Sudah tentu, yang ingin kita lakukan ialah mencari penguraian pecahan separa untuk fungsi tertentu. Sebagai contoh, untuk apa penguraian pecahan separa? Mulakan dengan memfaktor penyebutnya, mendapatkan

Sekarang NILAI bahawa terdapat pemalar dan sebagainya

1. kedua-duanya dan polinomial (pemalar bersama kekuatan integer positif sahaja)

2. darjah (kuasa tertinggi) lebih kecil daripada darjah.

(Dapatkan penyebut yang sama dan tambah pecahannya.)

Oleh kerana pecahan dalam persamaan di atas mempunyai penyebut yang sama, maka pengangka mereka mesti sama. Oleh itu,

Bahagian kanan persamaan ini boleh dianggap fungsi yang sama dengan 6 untuk semua nilai. Secara khusus, ia juga mesti berlaku untuk nilai-nilai tertentu. Contohnya, jika kita memilih untuk

Kita sekarang boleh mengatakan bahawa penguraian pecahan separa adalah

Harus diingat bahawa dan dipilih untuk digunakan dalam persamaan (**) untuk kemudahan mereka "memusatkan" istilah dalam persamaan. Walau bagaimanapun, dua pilihan lain akan membawa kepada nilai yang sama untuk dan (setelah menyelesaikan dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui). Cubalah. Setelah membiasakan diri dengan proses ini, untuk menjimatkan masa, biasakan pergi dari langkah pada persamaan (*) terus ke langkah pada persamaan (**). Berikut adalah satu lagi perkara penting yang perlu dipertimbangkan semasa menerapkan kaedah pecahan separa ke fungsi rasional. Sekiranya darjah (daya tertinggi) sama atau lebih besar daripada darjah, maka anda mesti menggunakan pembahagian polinomial untuk menulis semula fungsi rasional yang diberikan sebagai jumlah fungsi polinomial dan rasional baru yang memenuhi syarat 2 di atas. Contohnya, pembahagian polinomial membawa kepada

di mana fungsi rasional di sebelah kanan persamaan memenuhi syarat 2. Terdapat perkara lain yang perlu dipertimbangkan. Ingat bahawa nombor kompleks sehingga dan. Di samping itu, jika dua nombor kompleks sama, maka komponen sebenar dan kompleksnya sama. Iaitu, jika

Sekarang mari kita buat contoh lain. Cari penguraian pecahan separa untuk. Mulakan dengan memfaktor penyebutnya, mendapatkan

Sekarang NILAI bahawa terdapat pemalar dan sebagainya

Sejak adalah ungkapan kuadratik yang tidak dapat direduksi, dengan andaian hanya itu

TIDAK CUKUP UMUM dan tidak akan selalu menyebabkan penguraian pecahan separa yang betul. Bersambung, kita ada

(Dapatkan penyebut yang sama dan tambah pecahannya.)

Oleh kerana pecahan dalam persamaan di atas mempunyai penyebut yang sama, maka pengangka mereka mesti sama. Oleh itu,

Persamaan ini boleh dianggap dua fungsi yang sama antara satu sama lain untuk semua nilai. Secara khusus, ia juga mesti berlaku untuk nilai-nilai tertentu. Sebagai contoh, jika kita `` dengan senang hati '' memilih untuk

Kita sekarang boleh mengatakan bahawa penguraian pecahan separa adalah

Sekiranya anda memilih untuk TIDAK menggunakan nombor kompleks untuk menyelesaikan pemalar yang tidak diketahui dalam contoh sebelumnya, menggunakan DUA nilai nyata lain dan bukannya akan membawa kepada nilai yang sama untuk dan. Terdapat satu kes terakhir yang perlu dipertimbangkan. Bagaimanakah faktor berulang dalam penyebut ditangani? Contoh berikut menggambarkan penguraian pecahan separa fungsi rasional, di mana faktor linear diulang tiga kali dan faktor kuadratik yang tidak dapat diulang diulang dua kali. Oleh itu,

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 1.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 2.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 3.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 4.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 5.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 6.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 7.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 8.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 9.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 10.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 11.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 12.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 13.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 14.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 15.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 16.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 17.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 18.

Klik DI SINI untuk melihat penyelesaian terperinci untuk masalah 19.

Klik DI SINI untuk kembali ke senarai asal pelbagai jenis masalah kalkulus.

Komen dan cadangan anda dialu-alukan. Sila hantarkan surat-menyurat kepada Duane Kouba melalui e-mel dengan mengklik alamat berikut:

Pecahan Separa

Aljabar adalah komponen utama matematik yang digunakan untuk menyatukan konsep matematik. Aljabar dibina berdasarkan pengalaman dengan nombor dan operasi bersama dengan geometri dan analisis data. Perkataan "aljabar" berasal dari perkataan Arab "al-Jabr". Ahli matematik Arab Al-Khwarizmi secara tradisional dikenali sebagai "Bapa aljabar". Aljabar digunakan untuk mencari perimeter, luas, isipadu sebarang bentuk satah dan pepejal.

Pecahan tidak wajar dapat dinyatakan sebagai jumlah fungsi integral dan pecahan wajar.

Proses menulis pecahan tunggal sebagai jumlah atau perbezaan dua atau lebih pecahan sederhana disebut pemisahan menjadi pecahan separa .

Secara amnya sekiranya hlm (x) dan q (xadalah dua fungsi algebra terpadu rasional x dan pecahan p (x) / q (x) dinyatakan sebagai jumlah algebra (atau perbezaan) pecahan lebih sederhana mengikut peraturan tertentu, maka pecahan p (x) / q (x) dikatakan diselesaikan menjadi separa pecahan.

Pecahan Separa

Ungkapan bentuk ( frac ), di mana f (x) dan g (x) adalah polinomial dalam x, disebut pecahan rasional.

Fungsi rasional yang betul: Fungsi bentuk ( frac ), di mana f (x) dan g (x) adalah polinomial dan g (x) ≠ 0, disebut fungsi rasional x.
Sekiranya darjah f (x) kurang daripada darjah g (x), maka disebut fungsi rasional yang tepat.
Fungsi rasional yang tidak betul: Sekiranya darjah f (x) lebih besar daripada atau sama dengan darjah g (x), maka ( frac ) disebut fungsi rasional yang tidak betul.
Pecahan separa: Sebarang fungsi rasional yang tepat dapat dipecah menjadi kumpulan pecahan rasional yang berbeza, masing-masing mempunyai faktor sederhana penyebut fungsi rasional yang asal. Setiap pecahan tersebut disebut pecahan separa.

Sekiranya dengan beberapa proses, kita dapat memecahkan fungsi rasional tertentu ( frac ) menjadi pecahan yang berbeza, yang penyebutnya adalah faktor g (x), maka proses memperoleh mereka dipanggil peleraian atau penguraian ( frac ) menjadi pecahan separa.

Kes pecahan separa berbeza

(1) Apabila penyebutnya terdiri daripada faktor linear yang tidak berulang:
Bagi setiap faktor linier (x & # 8211 a) yang berlaku sekali dalam penyebut pecahan wajar, terdapat sepadan dengan pecahan separa tunggal dari bentuk ( frac ), di mana A adalah pemalar untuk menjadi bertekad.
Sekiranya g (x) = (x - a₁) (x - a₂) (x - a₃) ……. (x - a_n), maka kita menganggap bahawa,

di mana A₁, A₂, A₃, ………. A_n adalah pemalar, dapat ditentukan dengan menyamakan pembilang L.H.S. kepada pengangka R.H.S. (selepas L.C.M.) dan menggantikan x = a₁, a₂, …… a_n.
(2) Apabila penyebutnya terdiri daripada faktor linier, beberapa diulang:
Bagi setiap faktor linier (x - a) yang berlaku r kali dalam penyebut fungsi rasional yang betul, terdapat jumlah pecahan separa r.
Biarkan g (x) = (x - a) k (x - a₁) (x - a₂) ……. (x - a_r). Kemudian kita menganggap bahawa

Di mana A₁, A₂, A₃, ………. A_k adalah pemalar. Untuk menentukan nilai pemalar pakai prosedur seperti di atas.
(3) Apabila penyebutnya terdiri daripada faktor kuadratik yang tidak berulang:
Bagi setiap faktor kuadratik yang tidak dapat direduksi ax 2 + bx + c, terdapat sepadan dengan pecahan separa bentuk ( frac < ^ <2> + bx + c>> ), di mana A dan B adalah pemalar yang akan ditentukan.
Contoh:

(4) Apabila penyebutnya terdiri daripada faktor kuadratik berulang:
Bagi setiap faktor kuadratik yang tidak dapat direduksi ax 2 + bx + c berlaku r kali dalam penyebut pecahan rasional yang tepat terdapat jumlah pecahan separa r bentuk.

di mana, A dan B adalah pemalar yang harus ditentukan.

Sebahagian pecahan fungsi rasional yang tidak betul

Sekiranya darjah lebih besar daripada atau sama dengan darjah g (x), maka ( frac ) disebut sebagai fungsi rasional yang tidak betul dan setiap fungsi rasional dapat diubah menjadi fungsi rasional yang tepat dengan membahagi pembilang dengan penyebut.
Kami membahagikan pembilang dengan penyebut sehingga selebihnya diperoleh yang darjah lebih rendah daripada penyebut.

Faktor Kuadratik

Teorem. Katakan bahawa $ f (x) = P (x) / Q (x) $, di mana $ P (x) $ dan $ Q $ adalah polinomial tanpa faktor sepunya dan dengan darjah $ P $ kurang daripada darjah $ Q $. Sekiranya $ Q $ adalah hasil daripada faktor kuadratik yang tidak dapat direduksi, maka untuk setiap faktor bentuk $ (ax ^ 2 + bx + c) ^ n $, penguraian pecahan separa adalah jumlah pecahan separa $ n $ berikut: begin frac + frac <(ax ^ 2 + bx + c) ^ 2> cdots + frac <(ax ^ 2 + bx + c) ^ n> akhir di mana $ A_i $, $ B_i $ untuk $ i = 1, 2, ldots, n $ adalah pemalar yang akan ditentukan.

Contohnya. Nilai $ displaystyle int frac <8 (x ^ 2 + 4)> , dx $.

Penyelesaian. Kami menggunakan kaedah pecahan separa dan menulis begin frac <8 (x ^ 2 + 4)> & amp = frac + frac akhir Setelah menyamakan pekali, kita memperoleh $ A = 4 $, $ B = 0 $ dan $ C = 4 $, jadi kita harus int frac <8 (x ^ 2 + 4)> , dx & amp = int kiri ( frac <4x> + frac <4> kanan] , dx = ln [(x ^ 2 + 8) ^ 2 x ^ 4] + C akhir seperti yang dikehendaki.

Contohnya. Nilai $ displaystyle int frac <20x> <(x-1) (x ^ 2 + 4x + 5)> , dx $.

Contohnya. Nilaikan $ displaystyle int frac <2> , dx $.

Contohnya. Nilai $ displaystyle int frac <3x ^ 4 + 4x ^ 3 + 16x ^ 2 + 20x + 9> <(x + 2) (x ^ 2 + 3) ^ 2> , dx $.

Selamat datang ke majuhighermaths.co.uk

Pemahaman yang baik mengenai Pecahan Separa sangat mustahak untuk memastikan kejayaan peperiksaan.

Belajar di peringkat Matematik Tinggi Lanjutan akan memberikan persiapan yang sangat baik untuk pengajian anda semasa di universiti. Beberapa universiti mungkin memerlukan anda memperoleh lulus di AH Maths untuk diterima mengikut pilihan anda. Kursus AH Maths pantas, jadi sila lakukan yang terbaik untuk mengikuti pengajian anda.

Bagi pelajar yang mencari bantuan tambahan dalam kursus AH Maths, anda mungkin ingin mempertimbangkan untuk melengkapkan sumber daya peperiksaan tambahan yang hebat yang terdapat dalam Pek Kajian Dalam Talian.

Untuk mengakses banyak tambahan sumber percuma mengikut topik sila gunakan Search Bar di atas atau klik DI SINI memilih topik yang ingin anda kaji.

Kami harap laman web ini berguna dan semoga berjaya dengan kursus AH Maths pada tahun 2021/22. Sila dapatkan di bawah:

Sumber Matematik Tinggi Lanjutan

1. Mengenai Pecahan Separa

Untuk mengetahui mengenai Pecahan Separa sila klik pada pautan Panduan Teori di Bahagian 2 di bawah. Bagi pelajar yang bekerja dari buku teks Maths In Action, soalan yang disyorkan mengenai topik ini diberikan dalam Bahagian 3. Lembaran kerja termasuk Soalan Peperiksaan SQA sebenar sangat digalakkan.

Sekiranya anda ingin lebih banyak membantu memahami Pecahan Separa terdapat penyelesaian penuh, mudah diikuti, langkah demi langkah untuk puluhan soalan peperiksaan AH Maths Past & amp Practice mengenai semua topik dalam Pek Kajian Dalam Talian AH Maths. Juga termasuk dalam Pek Kajian adalah penyelesaian penuh untuk soalan buku teks MIA yang disyorkan. Harap beri diri anda setiap peluang untuk berjaya, berbincang dengan ibu bapa anda, dan berlangganan peperiksaan berfokus Pek Kajian dalam talian hari ini.

Pecahan Separa

Pecahan Separa adalah cara & # 8216 memecah pecahan & # 8217 pecahan dengan polinomial di dalamnya
Beberapa jenis fungsi rasional p (x) / q (x) dapat diuraikan menjadi Pecahan Separa
Sekiranya pengangka mempunyai darjah yang lebih tinggi (atau sama) daripada penyebutnya, maka pembahagian panjang algebra harus digunakan terlebih dahulu untuk mendapatkan fungsi rasional yang tepat
Dalam peperiksaan q (x) boleh berupa kuadratik atau kubik yang boleh difaktorkan dengan mudah menjadi salah satu daripada tiga jenis & # 8211 Faktor Linear, Faktor Linier Berulang atau Faktor Tidak Dapat Dikurangkan.

Contoh setiap tiga jenis ditunjukkan di bawah.

Contoh Satu & # 8211 Faktor Linier yang berbeza

Contoh Dua & # 8211 Faktor Linear Berulang

Sekiranya penyebutnya mengandungi faktor linear berulang, lebih daripada satu pecahan separa mesti dimasukkan untuk faktor ini, seperti yang digambarkan dalam contoh di bawah.

Contoh Tiga & # 8211 Faktor Tidak Boleh Diuruskan

Soalan Peperiksaan

Sumber: Kertas Matematik SQA AH 2017 Soalan 2

.

2. Pecahan Separa & # 8211 Lembaran Kerja Peperiksaan & amp Teori Panduan

Terima kasih kepada SQA dan pengarang kerana menjadikan AH Maths Worksheet & amp Theory Guides yang sangat baik tersedia secara percuma untuk digunakan oleh semua. Ini akan membuktikan sumber yang hebat dalam membantu menggabungkan pemahaman anda tentang AH Maths. Penyelesaian yang jelas, mudah diikuti, langkah demi langkah untuk semua Soalan Matematik SQA AH dalam lembaran kerja di bawah terdapat dalam Pek Kajian Dalam Talian.

Lembaran Kerja / Panduan Teori __________________________	Pautan Sumber ________________________________	Jawapan ____________
Soalan Peperiksaan AH	Soalan Peperiksaan Pecahan Separa	Jawapan
Senarai Formula AH Maths	Senarai AH Maths Fomulae
Panduan Teori 1	Panduan Teori Pecahan Separa 1
Panduan Teori 2	Panduan Teori Pecahan Separa 2
Panduan Teori 3 (HSN)	Panduan Teori Pecahan Separa 3 (HSN)

.

3. Pecahan Separa & # 8211 Soalan Buku Teks yang Disyorkan

Soalan yang disyorkan dari buku teks Maths In Action (Edisi ke-2) oleh Edward Mullan ditunjukkan di bawah. Penyelesaian yang jelas, mudah diikuti, langkah demi langkah untuk semua soalan di bawah terdapat dalam Pek Kajian Dalam Talian.

Subtopik _______________________________	Mukasurat _____________	Senaman _____________	Soalan yang Disyorkan _______________________	Komen ________________
Jenis Satu - Pecahan Separa	Halaman 23	Latihan 2.2	S1, 5, 12, 18, 19, 22, 25
Jenis Dua - Pecahan Separa	Halaman 24	Latihan 2.3	S1, 3, 5, 10, 14, 18
Jenis Tiga - Pecahan Separa	Halaman 25	Latihan 2.4	S1, 5, 7, 9, 11
Lembaran Kerja Bahagian Panjang Algebra	Lembaran kerja	Penyelesaian yang diusahakan
Pecahan Separa - Pembahagian Panjang	Halaman 26	Latihan 2.5	Q1 a, b, e, j, l

‘

4. Lembaran Kerja Peperiksaan AH Maths Past Paper mengikut Topik

Terima kasih kepada SQA kerana menyediakannya. Lembaran kerja mengikut topik di bawah adalah sumber kajian yang sangat baik kerana ia adalah soalan peperiksaan kertas SQA yang lalu. Penyelesaian yang jelas, mudah diikuti, langkah demi langkah untuk semua Soalan Matematik SQA AH di bawah terdapat dalam Pek Kajian Dalam Talian.

Nombor ______	Topik ____________________________________________	Jawapan _________
1	Teorem Binomial	Jawapan
2	Nombor Kompleks	Jawapan
3	Pembezaan	Jawapan
4	Pembezaan (Lebih Lanjut)	Jawapan
5	Persamaan Pembezaan - Pemboleh ubah Terpisah	Jawapan
6	Persamaan Pembezaan (Lebih Lanjut)	Jawapan
7	Fungsi & Graf amp	Jawapan
8	Kesepaduan	Jawapan
9	Integrasi (Lebih Lanjut)	Jawapan
10	Matrik	Jawapan
11	Teori Nombor - Kaedah Pembuktian	Jawapan
12	Teori Nombor (Lebih Lanjut) - Dasar Nombor Euclidean & amp	Jawapan
13	Pecahan Separa	Jawapan
14	Urutan & Siri amp	Jawapan
15	Urutan & Siri amp - Maclaurin	Jawapan
16	Sistem Persamaan	Jawapan
17	Vektor	Jawapan

5. AH Maths Past Paper Questions by Topic

Terima kasih kepada SQA kerana menyediakannya. Soalan dan jawapan telah dibahagikan mengikut topik untuk kemudahan rujukan anda. Penyelesaian yang jelas, mudah diikuti, langkah demi langkah untuk semua soalan Matematik SQA AH di bawah terdapat dalam Pek Kajian Dalam Talian.

.
Kertas
___________

.
Menandakan
______

Binomial
Teorem
________

Separa
Pecahan
________

.
Pembezaan
___________

Pembezaan Lebih Lanjut
___________

.
Kesepaduan
___________

Lebih jauh
Kesepaduan
____________

Fungsi
& amp Grafik
___________

Sistem dari
Persamaan
____________

Kompleks
Nombor
__________

Seq & amp
Seri
_________

Jauh Lebih Lanjut
& amp Seri
____________

.
Matrik
_________

.
Vektor
__________

Kaedah
Bukti
__________

Lebih Lanjut No.
Teori
___________

Pembezaan
Persamaan
____________

Lebih jauh
Persamaan Pembezaan
_________________

6. AH Maths Past & amp Practice Exam Kertas

Terima kasih kepada SQA kerana menyediakannya. Penyelesaian yang jelas, mudah diikuti, langkah demi langkah untuk semua soalan Matematik SQA AH di bawah terdapat dalam Pek Kajian Dalam Talian.

Tahun ____	Jenis Kertas _________________	Kertas Peperiksaan ______________	Skema Penandaan _______________________________________
2019	Spesimen AH	Spesimen	Skema Penandaan
2019	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2018	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2017	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2016	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2016	Spesimen AH	Spesimen	Skema Penandaan
2016	AH Contoh	Teladan	Skema Penandaan
2015	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2014	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2013	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2012	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2011	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2010	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2009	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2008	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2007	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2006	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2005	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2004	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2003	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2002	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan
2001	Lanjutan Lebih Tinggi	Kertas Peperiksaan	Skema Penandaan

7. Kertas Peperiksaan Spesimen AH Maths 2020

Sila dapatkan di bawah dua Kertas Spesimen berdasarkan SQA. Penyelesaian yang jelas, mudah diikuti, langkah demi langkah untuk Kertas Spesimen Matematik SQA AH yang terdapat dalam Pek Kajian Dalam Talian.

.
Tarikh
__________

.
Kertas
___________

.
Menandakan
______

Binomial
Teorem
________

Separa
Pecahan
________

.
Pembezaan
___________

Pembezaan Lebih Lanjut
___________

.
Kesepaduan
___________

Lebih jauh
Kesepaduan
____________

Fungsi
& amp Grafik
___________

Sistem dari
Persamaan
____________

Kompleks
Nombor
__________

Seq & amp
Seri
_________

Jauh Lebih Lanjut
& amp Seri
____________

.
Matrik
_________

.
Vektor
__________

Kaedah
Bukti
__________

Lebih Lanjut No.
Teori
___________

Pembezaan
Persamaan
____________

Lebih jauh
Persamaan Pembezaan
_________________

.

8. AH Maths Prelim & amp Kertas Amalan Peperiksaan Akhir

Terima kasih kepada SQA dan pengarang kerana menyediakannya secara percuma. Sila gunakan secara berkala untuk semakan sebelum penilaian, ujian dan peperiksaan akhir. Penyelesaian yang jelas, mudah diikuti, langkah demi langkah untuk lima Kertas Amalan pertama di bawah terdapat dalam Pek Kajian Dalam Talian.

Kertas Ujian Amalan AH _____________________	Menandakan ___________	Kertas Ujian Amalan AH _____________________	Menandakan ___________
Kertas Peperiksaan Amali 1	SINI	Kertas Peperiksaan Amalan 5	SINI
Kertas Peperiksaan Amalan 2	SINI	Kertas Peperiksaan Amali 6	SINI
Kertas Peperiksaan Amalan 3	SINI	Kertas Peperiksaan Amalan 7	SINI
Kertas Peperiksaan Amalan 4	SINI	Kertas Peperiksaan Amalan 8	SINI

9. Panduan Teori Matematik AH

Terima kasih kepada pengarang kerana menjadikan Panduan Matematik AH Maths yang sangat baik tersedia secara percuma untuk digunakan oleh semua orang. Ini akan membuktikan sumber yang hebat dalam membantu menggabungkan pemahaman anda tentang AH Maths.

Topik 1 ______________________	Topik 2 ___________________	Topik 3 _____________________	Topik 4 ___________________	Topik 5 ___________________	Topik 6 ___________________
Pecahan Separa 1	Binomial 1	Gaussian 1	Fungsi 1	Pembezaan 1	Integrasi 1
Pecahan Separa 2	Binomial 2	Gaussian 2	Fungsi (HSN)	Pembezaan 2	Integrasi (HSN)
Pecahan Separa (HSN)	Binomial (HSN)	Gaussian (HSN)	Pembezaan (HSN)

Topik 1 ______________________	Topik 2 ________________________	Topik 3 ___________________	Topik 4 ____________________	Topik 5 _________________________
Pembezaan Lebih Lanjut 1	Integrasi Lanjut 1	Nombor Kompleks 1	Urutan & amp Siri 1	Kaedah Pembuktian
Pembezaan Lebih Lanjut 2	Integrasi Lanjut 2	Nombor Kompleks 2	Urutan & Siri 2	Bukti dengan Aruhan
Pembezaan (HSN)	Integrasi (HSN)	Nos Kompleks (HSN)	Seq & amp Series (HSN)	Kaedah Pembuktian (HSN)

Topik 1 ________________________	Topik 2 _________________	Topik 3 _____________________	Topik 4 _____________________	Topik 5 ______________________________
Vektor 1	Matrik 1	Maclaurin Siri 1	Persamaan Pembezaan 1	Teori Nombor Lanjut
Vektor 2	Matrik 2	MacLaurin Siri 2	Persamaan Pembezaan 2
Vektor 3	Matrik 3	Siri Maclaurin (HSN)	Persamaan Pembezaan (HSN)
Vektor (HSN)	Matrik (HSN)

.

10. Garis Besar Kursus AH Maths, Lembaran Rumusan & Senarai Semak

Terima kasih kepada SQA dan pengarang kerana menyediakan sumber yang sangat baik di bawah ini dengan percuma. Ini adalah senarai semak yang hebat untuk menilai pengetahuan AH Maths anda. Cuba gunakan ini secara berkala untuk semakan sebelum ujian, pendahuluan dan peperiksaan akhir.

Tajuk ____________________________________	Pautan ___________	Kesopanan ___________________
Garis Besar Kursus AH Maths & amp Timings	SINI
Senarai Rumusan Peperiksaan Matematik SQA AH	SINI	Dengan hormatnya SQA
Senarai Rumusan Peperiksaan Matematik Tinggi SQA	SINI	Dengan hormatnya SQA
Nota Sokongan SQA AH Maths	SINI	Dengan hormatnya SQA
Senarai Semak Lengkap AH Maths	SINI

11. Masa Teks yang Disarankan Buku Teks & Soalan & # 8211 Unit Satu

Waktu kursus, bersama dengan latihan / soalan buku teks khusus untuk Unit Satu, dengan hormat dari Teejay Publishers boleh didapati di SINI.

Pecahan Separa

Soalan yang disyorkan dari Maths In Action (Edisi ke-2) oleh Edward Mullan Text Book ditunjukkan di bawah. Penyelesaian yang jelas, mudah diikuti, langkah demi langkah untuk semua soalan di bawah terdapat dalam Pek Kajian Dalam Talian.

Subtopik _______________________________	Mukasurat _____________	Senaman _____________	Soalan yang Disyorkan _______________________	Komen ________________
Jenis Satu - Pecahan Separa	Halaman 23	Latihan 2.2	S1, 5, 12, 18, 19, 22, 25
Jenis Dua - Pecahan Separa	Halaman 24	Latihan 2.3	S1, 3, 5, 10, 14, 18
Jenis Tiga - Pecahan Separa	Halaman 25	Latihan 2.4	S1, 5, 7, 9, 11
Lembaran Kerja Bahagian Panjang Algebra	Lembaran kerja	Penyelesaian yang diusahakan
Pecahan Separa - Pembahagian Panjang	Halaman 26	Latihan 2.5	Q1 a, b, e, j, l

Teorem Binomial

Subtopik ____________________________________	Mukasurat _____________	Senaman ___________	Soalan yang Disyorkan _______________________________	Catatan untuk Pelajaran __________________________________________________________________________________
Gabungan nCr	Halaman 33	Latihan 3.3	Q1a, b, c, 2a, b, c, 4a-d, 5a, b, 6a, 7a, b, d
Memperluas - Pelajaran 1	Halaman 36	Latihan 3.4	Q1a, b, c, 2a, i, ii, iii, iv
Memperluas - Pelajaran 2	Halaman 36	Latihan 3.4	Q3a-d, 4a-f	TEORI - Soalan 3 & amp 4
Mencari Pekali	Halaman 38	Latihan 3.5	Q1a, b, c, 4a, 5a, 6
Pendekatan misalnya 1.05 ^ 5 =?	Halaman 40	Latihan 3.6	Q1a, b, c, d
Memudahkan Istilah Umum (Soalan SQA)	Soalan & Jawapan SQA	Soalan Binomial SQA biasa yang tidak terdapat dalam Buku Teks AH

Sistem Persamaan

Subtopik ______________________________	Mukasurat _____________	Senaman _______________	Soalan yang Disyorkan _______________________
Penghapusan Gauss	Halaman 265	Latihan 14.4	Q1a, b, c, d, 2a, b, c
Redundansi & Ketidakselarasan	Halaman 268	Latihan 14.6	Q1a, b, c, 2
Soalan SQA Redundancy	S4 2016 (SQA)
Soalan Ketidakselarasan SQA	2017 S5 (SQA)
Penyaman ILL	Halaman 274	Latihan 14.9	Q2a, b, c, d
Soalan SQA Mengatur ILL	2012 S14c (SQA)

Fungsi & Graf amp

Subtopik ______________________________	Mukasurat _____________	Senaman ___________	Soalan yang Disyorkan _______________________
Fungsi Modulus Lakaran y = \| x \|	Halaman 66	Latihan 5.2	S1-9
Fungsi songsang	Halaman 67	Latihan 5.3	Q1a, c, e, g, i, 2a, c, e, 3
Fungsi Genap & Ganjil	Halaman 74	Latihan 5.8	S3a-l
Asimptot menegak & Kelakuan amp	Halaman 75	Latihan 5.9	Q1a-f
Asimptot serong mendatar & amp	Halaman 76	Latihan 5.10	Q1a, b, f, g, k, l
Melakar Grafik	Halaman 77	Latihan 5.11	Q1a, c, e, i, k

Kalkulus Pembezaan

Subtopik ___________________________	Mukasurat ____________	Senaman ___________	Soalan yang Disyorkan _______________________
Turunan dari Prinsip Pertama	Halaman 45	Latihan 4.1	S1,3,5,7
Peraturan Rantai	Halaman 48	Latihan 4.3	Q1a, d, 2a, c, 3b, 4a, 5a
Peraturan Produk	Halaman 51	Latihan 4.5	Q1a-h, Q2b, Q3a-l
Peraturan Quotient	Halaman 52	Latihan 4.6	S1,2,3,4
Pembezaan - Campuran!	Halaman 53	Latihan 4.7	Q1,2,3,4,5
Sek, Cosec & amp Cot	Halaman 55	Latihan 4.8	Q1a, b, 2a, c, d, 3a, c, e, g
Fungsi Eksponensial	Halaman 58	Latihan 4.9	Q1a, c, e, 2a, 3e, 4a, b, 5a, e
Fungsi Logaritma	Halaman 58	Latihan 4.9	Q1k, m, o, q, s, 2f, g, 3a, b, c, 4d, e, 5d
Alam semula jadi & Melukis Polinomial	Halaman 70	Latihan 5.5	Q1a, b, c, 2a, b
Kesimpulan	Halaman 73	Latihan 5.7	Q5a, b, c, Q1a, b
Permohonan	Halaman 187	Cth 11.1	Q1a, b, e, f, 2a, c, 3a, c

Kalkulus Integral

Subtopik ______________________________________	Halaman No. __________	Senaman ___________	Soalan yang Disyorkan _____________________
Integrasi (Semakan Lebih Tinggi)	Halaman 100	Latihan 7.1	Q1a-i, 2a-i, 3a-l, 4a-f
Integrasi oleh Penggantian	Halaman 103	Latihan 7.2	Q1a, c, e, g, i, k, m, o, q, s, u, w
Integrasi oleh Penggantian - Semakan Tambahan!	Halaman 103	Latihan 7.2	Q1b, d, f, h, j, l, n, p, r, t, v, x
Integrasi Lebih Lanjut dengan Penggantian	Halaman 105	Latihan 7.3	Q2a, b, c, d, 4a, b, c, d
Integrasi Lebih Lanjut dengan Penggantian	Halaman 105	Latihan 7.3	Q6a, b, c, d
Selanjutnya Int'n oleh Sub'n - sin ^ m (x), cos ^ n (x)	Halaman 105	Latihan 7.3	Q7a, b, c, d, e, f
Integrasi Lebih Lanjut dengan Penggantian - log	Halaman 105	Latihan 7.3	Q11a, b, c, d
Penggantian & Integrasi Pasti	Halaman 107	Latihan 7.4	Q1a, c, e, g, i, k
Luas antara lengkung & paksi x	Halaman 120	Latihan 7.10	S1,3
Luas antara lengkung & paksi-y	Halaman 120	Latihan 7.10	S6,7
Isipadu - berputar di sekitar Soalan SQA paksi-x	2014 Q10 (SQA)
Isipadu - berkisar pada soalan SQA paksi-y	2017 S16 (SQA)
Isipadu - berputar di sekitar paksi-x	Halaman 120	Latihan 7.10	S11,12
Aplikasi Kalkulus Integral	Halaman 187	Latihan 11.1	S4,14

12. Masa Teks yang Disarankan Buku Teks & Soalan & # 8211 Unit Dua

Waktu kursus, bersama latihan / soalan buku teks khusus untuk Unit Dua, dengan hormat dari Teejay Publishers boleh didapati di SINI.

Pembezaan Lebih Lanjut

Subtopik _______________________________________	Mukasurat _____________	Senaman ______________	Soalan yang Disyorkan _____________________
Fungsi Trig Terbalik & Peraturan Rantai amp	Halaman 85	Latihan 6.2	Q1a, b, c, Q2b, c, dQ3a, d
Invers Trig Fns & Peraturan Produk / Kuota	Halaman 86	Latihan 6.3	Q2, Q3
Fungsi Tersirat & Eksplisit - 1	Halaman 89	Latihan 6.4	Q1, Q2
Fungsi Tersirat & Eksplisit - 2	Halaman 89	Latihan 6.4	Q5, Q9, Q4
Derivatif Kedua Fungsi Tersirat	Halaman 90	Latihan 6.5	Q1a, d, f, k (i), 6
Pembezaan Logaritma	Halaman 92	Latihan 6.6	Q1, Q2
Persamaan Parametrik	Halaman 95	Latihan 6.7	Q1a, b, c
Parametrik Eqns - Pembezaan	Halaman 96	Latihan 6.8	S1,2,3
Parametrik Eqns - Pembezaan (Alternatif)	Halaman 96	Latihan 6.8	S1 (i)
Parametrik Eqns - Pembezaan (Alternatif)	Halaman 96	Latihan 6.8	Q1 (ii), Q2, Q3
Aplikasi Pembezaan Lebih Lanjut	Halaman 193	Latihan 11.2	Q1, Q2, Q3

Integrasi Lebih Lanjut

Soalan yang disyorkan dari Maths In Action (Edisi ke-2) oleh Edward Mullan Text Book seperti di bawah. Penyelesaian yang jelas, mudah diikuti, langkah demi langkah untuk semua soalan di bawah terdapat dalam Pek Kajian Dalam Talian.

Subtopik ______________________________________	Halaman No. __________	Senaman _________________	Soalan yang Disyorkan __________________________
Integrasi menggunakan Fungsi Inrig Trig	Halaman 111	Latihan 7.6	Q1,2,3,4a, b
Integrasi menggunakan Pecahan Separa	Halaman 113	Latihan 7.7	Q1a, b, 2a, b, 3a, b, 4a, b, 5a, b, 6a, b
Kesepaduan mengikut Bahagian - 1	Halaman 116	Latihan 7.8	S1a-l
Integrasi mengikut Bahagian - 2	Halaman 116	Latihan 7.8	Q2a, c, d, e, f, g, h
Integrasi mengikut Bahagian - 3	Halaman 116	Latihan 7.8	Q5a, b, Q6a, b
Kesepaduan mengikut Bahagian - Kes Khas - 1	Halaman 118	Latihan 7.9	Q1a, b, c, d
Kesepaduan mengikut Bahagian - Kes Khas - 2	Halaman 118	Latihan 7.9	Q2a, b, c, d, e
Perintah Pertama Diff Eqns - General Soln	Halaman 128	Latihan 8.1	S1a-j
Perintah Pertama Diff Eqns - Soln Khusus	Halaman 128	Latihan 8.1	Q2a-g
Persamaan Pembezaan dalam Konteks	Halaman 131	Latihan 8.2	S2,4,5,6

Nombor Kompleks

Subtopik _________________________________	Mukasurat _____________	Senaman ______________	Soalan yang Disyorkan _________________________
Aritmetik dengan Nombor Kompleks	Halaman 207	Latihan 12.1	S1,2,3,6,7,8
Bahagian & amp Akar Persegi Kompleks No.	Halaman 209	Latihan 12.2	Q1a, b, c, 2c, e, 3a, b, f, 5a, b
Rajah Argand	Halaman 211	Latihan 12.3	Q3a, b, d, e, f, i, 6a, b, f, 7a, b, c
Mendarab / Membahagi dalam Bentuk Kutub	Halaman 215	Latihan 12.5	Q1a, b, f, g
Teorema De Moivre	Halaman 218	Latihan 12.6	Q1,2,3a, 4g, h, i, j
Nombor Kompleks Polinomial & amp	Halaman 224	Latihan 12.8	Q2a, d, 3a, b, 4,5,6a, b
Cari di Kompleks Pesawat	Halaman 213	Latihan 12.4	Q1a, b, d, f, j, 3a, b, 4a, b, c
Memperluas Formula Trig	Halaman 219	Latihan 12.6	Q5,6,7a
Akar Nombor Kompleks	Halaman 222	Latihan 12.7	Q2a, b, c, d, e, f, 1a (i)

Urutan & Siri amp, Notasi Sigma

Subtopik _______________________________	Mukasurat _____________	Senaman ______________	Soalan yang Disyorkan __________________________
Urutan Aritmetik	Halaman 151	Latihan 9.1	Q1a-f, 2a-f, Q3, Q4, Q6
Mencari Jujukan - Urutan Aritmetik	Halaman 153	Latihan 9.2	Q1a, b, c, Q3a-d, Q4a, b, Q5a
Urutan Geometri	Halaman 156	Latihan 9.3	Q1a-e, Q2, Q3, Q5
Mencari Jumlah - Urutan Geometri	Halaman 159	Latihan 9.4	Q1a-f, Q2a-d, Q3a-d, Q4
Mencari Jumlah hingga Tak Terhingga	Halaman 162	Latihan 9.5	S1,2,3,4,6
Notasi Sigma	Halaman 168	Latihan 10.1	Q1a-e, Q2a-e

Teori Nombor & Bukti amp

Topik _______________________________	Pengajaran __________	Soalan _________	Penyelesaian Jenis _______________	Penyelesaian dengan tulisan tangan ______________________	Soalan Peperiksaan - Penyelesaian Berfungsi dalam Pek Kajian dalam talian ______________________________________________________
Bukti Langsung	Pelajaran 1	Cth 1 & amp 2	Cth 1 & amp 2 Solns tulisan tangan	2018-Q9,2015-Q12, 2010-Q8a
Bukti berdasarkan Counterexample	Pelajaran 2	Cth 3	Contoh 3 Soln Jenis	Cth 3 Solns tulisan tangan	2016-Q10, 2013-Q12, 2008-Q11
Bukti berdasarkan Counterexample	Cth 4	Contoh 4 Soln Jenis	Cth 4 Solns tulisan tangan	2016-Q10, 2013-Q12, 2008-Q11
Bukti dengan Percanggahan	Pelajaran 3	Cth 5	Cth 5 Soln Jenis	Cth 5 Solns tulisan tangan	2010-Q12
Bukti dengan Kontrapositif	Pelajaran 4	Cth 6	Cth 6 Soln Jenis	Cth 6 Solns tulisan tangan	2017-S13
Bukti dengan Aruhan	Pelajaran 5	Cth 7	Cth 7 Soln yang Diketik	Cth 7 Solns tulisan tangan	2014-Q7,2013-Q9,2012-Q16a, 2011-Q12,2010-Q8b, 2009-Q4,2007-Q12
Bukti dengan Induksi - Notasi Sigma	Pelajaran 6	Cth 8	Contoh 8 Soln yang Diketik	Cth 8 Solns tulisan tangan	2018-Q12,2016-Q5, 2013-Q9,2009-Q4

13. Masa Teks yang Disarankan Buku Teks & Soalan & # 8211 Unit Tiga

Waktu kursus, bersama latihan / soalan buku teks khusus untuk Unit Tiga, dengan hormat dari Teejay Publishers boleh didapati di SINI.

Subtopik __________________________________	Mukasurat _____________	Senaman ______________	Soalan yang Disyorkan ________________________	Pelajaran / Catatan _________________
Semakan Lebih Tinggi Mengenai Vektor	Halaman 282	Latihan 15.1	Q6,7,8
Produk Vektor - 1	Halaman 286	Latihan 15.3	Q1,2a, b, 5,7,8a, b, 10	Pelajaran 1
Produk Vektor - 2	Halaman 286	Latihan 15.3	S3,4,6,12	Pelajaran 2
Persamaan Garisan	Halaman 298	Latihan 15.8	Q1a, b, 2a, 3a, c, e, 5	Pelajaran 3
Vektor Persamaan Garis Lurus	Halaman 298	Latihan 15.9	S2	Pelajaran 3
Persamaan satah	Halaman 291	Latihan 15.5	Q1a, b, c, d, 2a, b, 3,4a, c, 9,10	Pelajaran 4
Sudut Antara 2 satah	Halaman 293	Latihan 15.6	S1,2,3	Pelajaran 5
Persimpangan Garisan & Pesawat	Halaman 300	Latihan 15.10	Q1a, b, c, 2a, b, 3,4a	Pelajaran 6
Persimpangan 2 Garisan	Halaman 302	Latihan 15.11	S1,2	Pelajaran 7
Persimpangan 2 Pesawat menggunakan Gaussian	Halaman 303	Latihan 15.12	S1,2	Pelajaran 8
Persimpangan 2 Pesawat - Alternatif	Halaman 303	Latihan 15.12	S1,2
Persimpangan 3 Pesawat	Halaman 307	Latihan 15.3	Q1a, c, 2a, c	Pelajaran 9

Subtopik __________________________________	Mukasurat _____________	Senaman ______________	Soalan yang Disyorkan ____________________________
Sifat Asas & Operasi Matrik	Halaman 231	Latihan 13.1	Q1,2,3a, 4a, c, e, i, p, t, 7a, f, 9,10
Pendaraban Matriks	Halaman 235	Latihan 13.3	Q1a, c, 2a, c, k, m, o, 3a, 4,5a, c
Sifat Pendaraban Matriks	Halaman 236	Latihan 13.4	Q6a, b, 7a, b, 8a
Penentu Matriks 2 x 2	Halaman 240	Latihan 13.6	Q1a, b, d, h
Penentu Matriks 3 x 3	Halaman 247	Latihan 13.9	Q4a, b, c, d, 5a, b
Sebalik Matriks 2 x 2	Halaman 243	Latihan 13.7	Q1,2,4,8,9a, b, c
Sebalik Matriks 3 x 3	Halaman 275	Latihan 14.10	Q1a, b, c, d
Matrik Transformasi	Halaman 251	Latihan 13.10	Q1,2,5

Urutan Lebih Lanjut & Seri amp (Siri Maclaurin)

Subtopik ________________________________	Mukasurat _____________	Senaman ______________	Soalan yang Disyorkan _______________________
Siri Maclaurin untuk f (x)	Halaman 179	Latihan 10.5	Q1a, b, c, d, 3a, b
Siri Maclaurin - Fungsi Komposit	Halaman 182	Latihan 10.7	Q1a, f, 2a, 3a, 6a, 7a, 8a, b
Siri Maclaurin - Soalan SQA	Soalan & Jawapan SQA

Persamaan Pembezaan Lebih Lanjut

Subtopik __________________________________	Mukasurat _____________	Senaman ______________	Soalan yang Disyorkan ________________________
Persamaan Pembezaan Linear Susunan Pertama	Halaman 136	Latihan 8.3	Q1a, b, 2a, 3a, b
Persamaan Pembezaan Urutan ke-2 (Akar Sebenar & Amat Berbeza)	Halaman 140	Latihan 8.4	Q1a, b, c, 2a, b
Persamaan Pembezaan Urutan ke-2 (Akar Sebenar & Kebetulan)	Halaman 141	Latihan 8.5	Q1a, b, c, 2a, b
Persamaan Pembezaan Urutan ke-2 (Akar Tidak Nyata)	Halaman 142	Latihan 8.6	Q1a, b, c, 2a, b
Persamaan Pembezaan Bukan Homogen (Mencari Penyelesaian Umum)	Halaman 146	Latihan 8.9	Q1a, b, c
Persamaan Pembezaan Bukan Homogen (Mencari Penyelesaian Khusus)	Halaman 146	Latihan 8.9	Q2a, b, c

Teori Nombor Lanjut & Bukti

Subtopik _______________________________________	Mukasurat _____________	Senaman _________	Soalan yang Disyorkan ____________________________
Mencari Pembahagi Biasa yang Paling Hebat (GCD)	Halaman 318	Cth 16.3	Q1a, c, e, g, i
Menyatakan GCD dalam bentuk xa + yb = d	Halaman 320	Cth 16.4	S1,2,3,4
Pangkalan Nombor	Halaman 322	Cth 16.5	Q1a-d, 2a-f
Teori Nombor Lanjut - Soalan SQA	Soalan & Jawapan SQA

14. Penilaian Unit Amalan AH Maths & # 8211 Penyelesaian Disertakan

Terima kasih kepada maths777 kerana menjadikan sumber yang sangat baik tersedia secara percuma untuk digunakan oleh semua orang. Ini akan membuktikan sumber yang hebat dalam membantu anda membuat persediaan untuk penilaian, ujian dan peperiksaan akhir.

Kaedah dalam Algebra & amp Kalkulus __________________________	Aplikasi Algebra & amp Calculus ____________________________	Geometri, Bukti & Sistem Persamaan ____________________________________
Berlatih 1	Amalkan 1	Berlatih 1
Amalkan 2	Amalkan 2	Amalkan 2
Amalkan 3	Amalkan 3	Amalkan 3

15. Pautan Video AH Maths

Sila klik DLB Maths untuk melihat penyelesaian video AH Maths Past Paper. Terdapat juga banyak video yang menunjukkan contoh kerja berdasarkan topik di pautan Saluran YouTube St Andrews StAnd Maths. Kedua-dua pautan video adalah sumber yang sangat baik untuk membantu anda membuat persediaan untuk penilaian, ujian dan peperiksaan akhir.

16. Buku Teks AH Maths - Maths In Action (Edisi ke-2) oleh Edward Mullan

Kursus yang telah disemak sepenuhnya untuk peperiksaan Kurikulum Kecemerlangan baru yang dirancang untuk menyokong sepenuhnya struktur dan penilaian unit baru kursus ini. Sebahagian daripada siri Matematik dalam Aksi yang sangat dihormati, ia memberi pelajar pengalaman pembelajaran yang biasa, jelas dan tersusun dengan teliti yang mendorong mereka membina keyakinan dan pemahaman.

17. Pek Kajian Dalam Talian Matematik Tinggi Lanjutan

Melalui penyelesaian langkah demi langkah untuk soalan peperiksaan dan soalan buku teks MIA yang disyorkan yang terdapat dalam Pek Kajian Dalam Talian, kami merangkumi semua yang perlu anda ketahui Pecahan Separa untuk lulus peperiksaan akhir anda.

Bagi pelajar yang mencari lulus 'bagus' di AH Maths, anda mungkin ingin mempertimbangkan untuk melanggan sumber daya peperiksaan tambahan yang hebat yang terdapat dalam Pek Kajian Dalam Talian. Melanggan boleh menjadi salah satu pelaburan terbaik anda.

Harap beri diri anda setiap peluang untuk berjaya, berbincang dengan ibu bapa anda, dan berlangganan peperiksaan berfokus Pek Kajian dalam talian hari ini.

Kami berharap sumber-sumber di laman web ini terbukti berguna dan semoga berjaya dengan kursus AH Maths anda pada tahun 2021/22.

Kami menggunakan laman web Advancedhighermaths.co.uk dan sangat bagus. Ini telah banyak membantu semasa guru sekolah kami yang hebat berjuang melalui mimpi buruk teknologi lockdown. Kelak anak perempuan saya akan menggunakan laman web 5 matematik kebangsaan percuma. Terima kasih banyak-banyak.

Jennifer & # 8211 Ibu Bapa Januari 2021

Saya menghantar e-mel untuk memberitahu anda bahawa laman web anda telah banyak membantu. Saya menggunakannya secara berkala sepanjang tahun dan, setelah Kertas AH 2019, saya sekarang berharap dapat mencapai & # 8216A & # 8217 lulus. Tidak mungkin saya melakukan ini tanpa bantuan laman web cemerlang anda.

Rebecca & # 8211 AH Pelajar Matematik

Sekadar ingin mengucapkan terima kasih atas pek panduan belajar yang luar biasa, ia sangat membantu saya dalam mengulangkaji peperiksaan!

F. Roberts & # 8211 AH Pelajar Matematik

Hai saya ingin mengucapkan terima kasih atas pek sumber yang anda ada di sini. Hebat untuk belajar dan tanpa mereka saya ragu saya akan lulus AH. Saya selalu dapat mempercayai hal ini semasa saya & # 8217m terjebak pada soalan dalam kertas kerja atau kerja rumah yang lalu. Sekarang saya & # 8217m akan membeli AH Online Online Pack untuk bersiap sedia menghadapi peperiksaan .. Terima kasih

Saya & # 8217 telah menggunakan laman web AH Maths ini secara berkala untuk penyelesaian tulisan tangan ke Buku Teks MIA. Penyelesaian untuk Persimpangan 3 Pesawat sangat membantu kerana soalannya agak rumit apabila matriks tidak konsisten. Ia juga bagus untuk soalan peperiksaan mengikut topik. Saya & # 8217 telah memberitahu kelas saya mengenai sumber daya yang hebat ini & # 8211 Terima kasih.

Laman web yang hebat, ia sangat membantu saya maju dan maju dalam pekerjaan saya. Ini pasti laman web terbaik yang saya temui. Anda & # 8217 telah sangat membantu saya dan saya sangat mengesyorkan laman web ini.

Saya sangat menggemari laman web ini, saya berfikir untuk membuang matematik AH sehingga saya menjumpai laman web ini. Ini adalah harga yang sangat murah untuk apa yang anda dapat

Laman web ini sememangnya hebat! Saya telah berjuang dengan Advanced Higher sejak tahun bermula. Saya baru sahaja menjumpai laman web ini seminggu yang lalu dan sumbernya banyak dan senang diikuti. Saya & # 8217 akan membuat ujian saya pasti dengan bantuan laman web ini!

Saya tidak tahu betapa sukarnya AH Maths tetapi dengan bantuan laman web anda dan anak-anak lelaki saya bekerja keras sejak beberapa tahun kebelakangan ini, dia memperoleh 'A' di peringkat Nasional 5 dan Tinggi. Oleh itu, jari melintasi ke tahap seterusnya.

Baru sahaja menjumpai laman web yang menakjubkan ini dan tidak dapat mempercayai nasib saya! Dengan AH Prelim saya muncul, saya meminta ibu saya membayar £ 9,99 untuk Pek Kajian Dalam Talian. Ia & # 8217s hebat! Terdapat penyelesaian yang mudah difahami untuk beratus-ratus soalan kertas yang lalu. Buku teks berfungsi, panduan teori & # 8211 semuanya & # 8217 semuanya ada! Malah tutor saya membeli Pek Kajian Dalam Talian dan mengatakan bahawa ini adalah sumber AH Maths terbaik di luar sana. Saya berasa lebih yakin kerana menemui laman web yang hebat ini!

& # 8220Saya sangat suka bagaimana Pek Kajian Dalam Talian membagi kursus menjadi 18 bahagian supaya anak saya dapat mengatasi kelemahannya & # 8211 setiap bahagian mempunyai panduan teori topik, penyelesaian buku teks, soalan kertas lalu, skema penandaan dan penyelesaian yang berjaya. Mark jauh lebih yakin sekarang telah mengakses panduan beberapa kali & # 8211 dengan kebanyakan tutor mengenakan bayaran £ 30 sejam di laman web adalah nilai terbaik untuk wang & # 8211 hanya satu dari £ 9,99! & # 8221

& # 8220Saya gembira diterima Universiti untuk memperoleh ijazah dalam Matematik mulai September 2018. Saya benar-benar ingin memperoleh & # 8216A & # 8217 Lulus AH Matematik tahun ini untuk memberi saya keyakinan ketika saya memulakan. Laman web ini sememangnya hebat kerana semuanya ada di sini untuk membantu saya mencapai matlamat & # 8221

& # 8220Penyelesaian kerja buku teks sangat bagus untuk menolong saya memulakan beberapa soalan yang lebih sukar & # 8211 jika tidak & # 8217tanya, saya akan benar-benar bergelut dengan kursus ini. & # 8221

& # 8220 Laman web yang hebat ini telah menjadikan kursus AH Maths sebagai keseronokan mutlak.

Setelah mengajar teori, pelajar saya dan saya mengakses AH Maths Online Study Pack yang mudah alih untuk membandingkan jawapan kami dengan penyelesaian yang betul dan mudah diikuti. Kami melakukan perkara yang sama hampir setiap tempoh dan tidak ada yang tersekat lama!

Saya & # 8217m mengharapkan semua pelajar saya lulus AH Matematik dengan warna terbang pada tahun 2021! & # 8221

Mr M, Pelanggan Seluruh Sekolah

Pengenalan

Untuk mengira pekali menggunakan kaedah penutup, pertama sediakan penguraian pecahan separa dengan satu istilah untuk setiap faktor dalam penyebutnya. Sebagai contoh, jika penyebutnya mempunyai tiga sebutan linear yang berbeza, kita mempunyai penguraiannya

Nota: Perlu diingat bahawa untuk menerapkan pecahan separa, darjah polinomial dalam pengangka mestilah lebih kecil daripada darjah polinomial dalam penyebut. Sekiranya ini tidak berlaku, maka perlulah menerapkan pembahagian polinomial terlebih dahulu untuk mendapatkan polinomial hasil dan selebihnya, yang mana tahap pengangkanya jauh lebih kecil daripada pada penyebutnya. Pecahan separa kemudian boleh digunakan pada selebihnya.

Berikut adalah contoh asas mengenai cara menggunakan peraturan pecahan separa untuk pemfaktoran.

Cubalah masalah berikut berdasarkan pemahaman penggunaan pecahan separa.

Persamaan di atas mewakili penguraian pecahan separa bagi pemalar A, B, C A, B, C A, B, C dan P P P.

Berapakah nilai terkecil bagi nombor perdana P P P sehingga A, B A, B A, B dan C C C semua bilangan bulat?

11.4: Pecahan Separa - Matematik

Anda akan padamkan kerja anda mengenai aktiviti ini. Adakah anda pasti mahu melakukan ini?

Versi yang dikemas kini tersedia

Ada satu versi yang dikemas kini aktiviti ini. Sekiranya anda mengemas kini ke versi terbaru aktiviti ini, maka kemajuan semasa anda dalam aktiviti ini akan dihapus. Walau apa pun, rekod penyelesaian anda akan tetap ada. Bagaimana anda mahu meneruskan?

Penyunting Ekspresi Matematik

Di Bahagian ?? kami melihat bahawa pengembangan menjadi pecahan separa adalah alat yang diperlukan semasa menerapkan kaedah transformasi Laplace. Dalam kes yang paling mudah pecahan separa berfungsi seperti berikut. Anggaplah itu dan ada dua polinomial sedemikian

(a) darjah kurang atau sama dengan darjah (b) tidak mempunyai pelbagai punca.

Akar mungkin sama ada nyata atau kompleks. Kemudian pengembangan menjadi pecahan separa mempunyai bentuk

dari mana skalar ditentukan dari dan.

Terdapat kaedah mudah untuk mengira pemalar. Tentukan tahap polinomial Darabkan kedua sisi (??) dengan dan nilaikan untuk mendapatkan

Sebagai contoh, hitung pengembangan pecahan separa untuk Dalam contoh ini,, dan. Polinomial yang berkaitan adalah: Ini mengikutinya

Pecahan Separa dengan Akar Kompleks

Andaikan penyebutnya mempunyai akar konjugat kompleks dan. Bilakah akar sederhana yang kompleks, maka pengembangan pecahan separa mengandungi dua istilah di mana. Bersama-sama kedua istilah ini mesti dinilai dengan nyata, dan mengikutinya. Oleh itu pengembangan adalah untuk beberapa skalar yang kompleks. Istilah ini bergabung sebagai mana. Dengan perubahan Laplace terbalik dalam fikiran, kami lebih suka menulis ungkapan ini sebagai

Pada bahagian ketiga Bahagian ?? kita melihat bagaimana untuk mengira perubahan fungsi Laplace terbalik seperti yang terdapat di (??).

Pecahan Separa Menggunakan MATLAB

Sisa perintah MATLAB boleh digunakan untuk menentukan pengembangan pecahan separa. Kita mulakan dengan membincangkan bagaimana polinomial ditakrifkan dalam MATLAB. Polinomial disimpan dalam MATLAB oleh vektor q = [ad a1 a0] yang terdiri daripada pekali dalam turutan menurun. Sebagai contoh, dalam MATLAB, polinomial dikenal pasti dengan vektor.

Katakan bahawa dua vektor p dan q mewakili dua polinomial (darjah kurang dari) dan (darjah). Vektor akar dan vektor skalar ditentukan menggunakan perintah

Untuk menggambarkan perintah ini, cari pengembangan pecahan separa (yang kami kirakan sebelumnya di (??)) dengan menaip jawapan MATLAB dengan Perhatikan bahawa hasil ini sesuai dengan pengiraan kami sebelumnya di (??).

Perhatikan bahawa keadaan di mana polinomial mempunyai akar yang kompleks tidak dikecualikan. Memang, biarkan dan, dan ketik untuk mendapatkan jawapannya Secara khusus, mempunyai tiga akar dan kita mempunyai pengembangan

Pengembalian kepada Bentuk Sebenar dalam Pecahan Separa

Kita boleh kembali ke perwakilan dalam jumlah nyata dengan menggabungkan istilah yang sesuai dengan akar konjugat kompleks. Bilakah akar sederhana kompleks, maka pengembangan pecahan separa mengandungi dua istilah untuk beberapa skalar kompleks. Istilah ini digabungkan untuk memberi di mana, seperti di (??).

Kita dapat menulis file m-MATLAB untuk melakukan pengiraan dalam (??) seperti berikut: File m ini diakses menggunakan perintah di mana saya adalah indeks yang sesuai dengan akar konjugasi kompleks. Sebagai contoh, jika kita mempertimbangkan pengembangan di (??), maka kita mengetik menghasilkan jawapannya Output ini sesuai dengan ungkapan Menggabungkan istilah kedua dan ketiga di sebelah kanan mengarah ke

Mengulangi Pengiraan Menggunakan MATLAB

Pengembangan pecahan separa (??), dijumpai dengan menaip Kami memperoleh Oleh itu kita mempunyai pengembangan Sekarang kita menggunakan bentuk nyata untuk kembali ke perwakilan menghindari nombor kompleks. Ketik untuk mendapatkan yang sesuai dengan (??).